河北省2019届中考数学系统复习 第四单元 图形的初步认识与三角形 第19讲 锐角三角形

滚动小专题(六) 与三角形有关的计算与证明类型1 以全等为基础的有关计算与证明1．(2018·镇江)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点E ，F 在边BC 上，BE ＝CF ，点D 在AF 的延长线上，AD ＝AC.(1)求证：△ABE ≌△ACF ；(2)若∠BAE ＝30°，则∠ADC ＝75°.证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACF.又∵BE ＝CF ，∴△ABE ≌△ACF(SAS)．2．在平面内，正方形ABCD 与正方形CEFH 如图放置，连接DE ，BH ，两线相交于点M.求证：(1)BH ＝DE ；(2)BH ⊥DE.证明：(1)在正方形ABCD 与正方形CEFH 中，BC ＝DC ，CE ＝CH ，∠BCD ＝∠ECH ＝90°，∴∠BCD ＋∠DCH ＝∠ECH ＋∠DCH ，即∠BCH ＝∠DCE.在△BCH 和△DCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝DC ，∠BCH ＝∠DCE ，CH ＝CE ，∴△BCH ≌△DCE(SAS)．∴BH ＝DE.(2)令BH 与CD 相交于点O.∵△BCH ≌△DCE ，∴∠CBH ＝∠CDE.又∵∠BOC ＝∠DOM ，∴∠DMB ＝∠BCD ＝90°.∴BH ⊥DE.3．(1)探究：如图1，分别以△ABC 的两边AB 和AC 为边向△ABC 外作正三角形ABD 和正三角形ACE ，连接DC ，BE ，求证：DC ＝BE ；(2)拓展：如图2，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝5，∠ABC ＝45°，连接AC ，BD ，若∠DAC ＝90°，AC ＝AD ，求BD 的长．解：(1)证明：∵以AB ，AC 为边分别向外作等边△ABD 和等边△ACE ，∴AD ＝AB ，AE ＝AC ，∠ACE ＝∠AEC ＝60°，∠DAB ＝∠EAC ＝60°.∴∠DAB ＋∠BAC ＝∠EAC ＋∠BAC.∴∠DAC ＝∠BAE.∴△DAC ≌△BAE(SAS)．∴CD ＝BE.(2)以AB 为边向外作等腰直角三角形ABE ，连接CE ，使AE ＝AB ，∠BAE ＝90°.∴∠BAD ＝∠CAE.∵AC ＝AD ，∴△ACE ≌△ABD(SAS)．∴CE ＝BD.∵BE ＝2AB ＝52，∵∠ABC ＝45°，∴∠EBC ＝90°.∴CE ＝BE 2＋BC 2＝5 3.∴BD ＝5 3.类型2 以相似为基础的有关计算与证明4．如图，在△ABC 中，AD 是角平分线，点E 在边AC 上，且AD 2＝AE ·AB ，连接DE.(1)求证：△ABD ∽△ADE ；(2)若CD ＝3，CE ＝94，求AC 的长．解：(1)证明：∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠BAD ＝∠EAD.∵AD 2＝AE ·AB ，∴AD AE ＝AB AD. ∴△ABD ∽△ADE.(2)∵△ABD ∽△ADE ，∴∠ADB ＝∠AED.∵∠DAE ＋∠ADE ＋∠AED ＝180°，∠ADB ＋∠ADE ＋∠CDE ＝180°，∴∠CDE ＝∠DAE ，即∠CDE ＝∠CAD.又∵∠DCE ＝∠ACD ，∴△DCE ∽△ACD.∴AC CD ＝CD CE ，即AC 3＝394，∴AC ＝4. 5．如图，矩形纸片ABCD ，将△AMP 和△BPQ 分别沿PM 和PQ 折叠(AP>AM)，点A 和点B 都与点E 重合；再将△CQD 沿DQ 折叠，点C 落在线段EQ 上点F 处．(1)判断△AMP ，△BPQ ，△CQD 和△FDM 中有哪几对相似三角形？(不需说明理由)(2)如果AM ＝1，sin ∠DMF ＝35，求AB 的长．解：(1)有三对相似三角形：△AMP ∽△BPQ ∽△CQD.(2)设AP ＝x ，由折叠的性质，得BP ＝AP ＝EP ＝x.∴AB ＝DC ＝2x.由△AMP ∽△BPQ ，得AM BP ＝AP BQ，∴BQ ＝x 2. 由△AMP ∽△CQD ，得AP CD ＝AM CQ，∴CQ ＝2. AD ＝BC ＝BQ ＋CQ ＝x 2＋2，MD ＝AD －AM ＝x 2＋2－1＝x 2＋1.在Rt △FDM 中，sin ∠DMF ＝35，DF ＝DC ＝2x ， ∴2x x 2＋1＝35. 解得x 1＝3，x 2＝13(不合题意，舍去)， ∴AB ＝2x ＝6.类型3 以解直角三角形为基础的有关计算与证明6．如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，tanB ＝cos ∠DAC.(1)求证：AC ＝BD ；(2)若sinC ＝1213，AD ＝24，求BC 的长．解：(1)证明：∵AD 是BC 上的高，∴AD ⊥BC.∴∠ADB ＝90°，∠ADC ＝90°.在Rt △ABD 和Rt △ADC 中，∵tanB ＝AD BD ，cos ∠DAC ＝AD AC， 又∵tanB ＝cos ∠DAC ，∴AD BD ＝AD AC.∴AC ＝BD. (2)在Rt △ADC 中，sinC ＝AD AC ＝1213，则AC ＝26， ∴CD ＝AC 2－AD 2＝10.∵BC ＝BD ＋CD ，又∵AC ＝BD ＝26，∴BC ＝26＋10＝36.7．在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝30°，AD 是△ABC 的角平分线，BC ＝4，将△ABC 绕点C 旋转得到△A ′B ′C.(1)如图1，若B ′落在AB 上，求证：四边形ABCA ′是平行四边形；(2)如图2，若点B ′落在在AD 上，A ′B ′交AC 于点M.①求点B 经过的路径长；②连接AA ′，求四边形AA ′CB ′的面积．图1 图2解：(1)证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB.∵∠BAC ＝30°，∴∠B ＝∠ACB ＝75°.∵将△ABC 绕点C 旋转得到△A ′B ′C ，B ′落在AB 上， ∴CB ＝CB ′，∴∠B ＝∠CB ′B ＝75°.∴∠BCB ′＝30°.∴∠BCB ′＝∠ACA ′＝30°.∴∠BAC ＝∠ACA ′＝30°.∴AB ∥A ′C.∵AB ＝AC ＝A ′C ，∴四边形ABCA ′是平行四边形．(2)①∵AB ＝AC ，AD 是△ABC 的角平分线，∴∠ADC ＝90°，BD ＝CD.∵将△ABC 绕点C 旋转得到△A ′B ′C ，B ′落在AD 上， ∴BC ＝CB ′＝2CD.∴cos ∠BCB ′＝CD CB ′＝12.∴∠BCB ′＝60°. ∴点B 经过的路径长为60180×π×4＝43π. ②∵∠ACA ′＝∠BCB ′＝60°，A ′C ＝AC ，∴△ACA ′是等边三角形．∴A ′C ＝A ′A.∵∠BAC ＝30°，AD 是△ABC 的角平分线，∴∠BAD ＝∠CAD ＝15°.∵∠ACB ＝75°，∠BCB ′＝60°，∴∠ACB ′＝∠CAD ＝15°.∴AB ′＝CB ′.∴A ′B ′垂直平分AC.∵∠CAD ＝∠B ′AM ，∠AMB ′＝∠ADC ＝90°，∴△AMB ′∽△ADC.∴AM AD ＝AB ′AC. ∵CD ＝2，CB ′＝4，∴B ′D ＝2 3.∴AD ＝4＋2 3. ∴AM 4＋23＝4AC. ∴12AC 2＝16＋8 3. ∴四边形AA ′CB ′的面积为12AC 2＝16＋8 3.。

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第19讲锐角三角函数命题点解直角三角形1．（2017·承德模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，tanB＝错误!，点D在BC上,且BD＝AD，求AC的长和cos∠ADC的值．解：∵在Rt△ABC中，BC＝8，tanB＝错误!＝错误!，∴AC＝BC·tanB＝4.设AD＝x，则BD＝x，CD＝8－x，在Rt△ADC中,（8－x)2＋42＝x2,解得x＝5.∴AD＝5，CD＝8－5＝3，∴cos∠ADC＝错误!＝错误!.2．（2017·河北模拟)如图，AD是△ABC的中线，tanB＝错误!，cosC＝错误!,AC＝错误!.求: (1）BC的长；（2)sin∠ADC的值．解：（1)过点A作AE⊥BC于点E.∵cosC＝错误!，∴∠C＝45°.在Rt△ACE中，CE＝AC·cosC＝1，∴AE＝CE＝1.在Rt△ABE中,tanB＝错误!,即错误!＝错误!,∴BE＝3AE＝3。

∴BC＝BE＋CE＝4。

（2)∵AD是△ABC的中线，∴CD＝错误!BC＝2。

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方法技巧训练（一）与角平分线有关的基本模型错误!三角形中角平分线的夹角的计算类型1 两个内角平分线的夹角如图1，在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线BE，CF相交于点G，则∠BGC＝90°＋错误!∠A。

图1 图2图3解题通法：三角形两内角的平分线的夹角等于90°与第三个内角的一半的和．类型2 一个内角平分线和一个外角平分线的夹角如图2，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角,BP与CP相交于点P,则∠P＝错误!∠A。

解题通法：三角形一内角与另一外角的平分线的夹角等于第三个内角的一半．类型3 两外角平分线的夹角如图3，在△ABC中，BO,CO是△ABC的外角平分线,则∠O＝90°－12∠A。

解题通法：三角形两外角的平分线的夹角等于90°与第三个内角的一半的差．Ｋ1．如图，在△ABC中，∠A＝40°，点D是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，则∠BDC＝110°．【变式1】如图，若点D是∠ABC的平分线与∠ACB外角平分线的交点，则∠D＝20°．【变式2】如图，若点D是∠ABC外角平分线与∠ACB外角平分线的交点,则∠D＝70°．【变式3】如图,BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线,BA2是∠A1BD的平分线，CA2是∠A1CD的平分线，BA3是∠A2BD的平分线，CA3是∠A2CD的平分线．若∠A1＝α,则∠A2 019＝错误!．错误!与角平分线有关的图形与辅助线1．角平分线＋平行线→等腰三角形如图4，BD是∠ABC的平分线，点O是BD上一点，OE∥BC交AB于点E，则△BOE是等腰三角形．解题通法：遇到角平分线及平行线，除了可以得到角度的关系，还可以得到一个等腰三角形．图4 图5 图6 图7 2．与角平分线有关的辅助线①过角平分线上的点作角两边的垂线如图5，BO是∠ABC的平分线，过点O作OE⊥AB于点E，过点O作OF⊥BC于点F，则OE ＝OF，△BEO≌△BFO.②角平分线的两端过角的顶点取相等的两条线段构造全等三角形如图6，BO是∠ABC的平分线，在BA，BC上取线段BE＝BF，则△BEO≌△BFO。

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滚动小专题（六) 与三角形有关的计算与证明类型1 以全等为基础的有关计算与证明1．(2018·镇江）如图，在△ABC中,AB＝AC，点E,F在边BC上，BE＝CF，点D在AF的延长线上，AD＝AC.（1)求证:△ABE≌△ACF；（2)若∠BAE＝30°，则∠ADC＝75°.证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACF.又∵BE＝CF，∴△ABE≌△ACF(SAS)．2．在平面内,正方形ABCD与正方形CEFH如图放置,连接DE，BH，两线相交于点M。

求证：（1)BH＝DE；(2）BH⊥DE。

证明:（1）在正方形ABCD与正方形CEFH中,BC＝DC,CE＝CH，∠BCD＝∠ECH＝90°，∴∠BCD＋∠DCH＝∠ECH＋∠DCH，即∠BCH＝∠DCE.在△BCH和△DCE中，错误!∴△BCH≌△DCE（SAS）．∴BH＝DE.(2)令BH与CD相交于点O.∵△BCH≌△DCE，∴∠CBH＝∠CDE。

又∵∠BOC＝∠DOM，∴∠DMB＝∠BCD＝90°.∴BH⊥DE。