10-11第一学期数学分析09-3专用B卷

2010 ～2011 学年度第一学期《高等数学21（理工）》试卷（B 卷）评阅标准及考核说明适用年级专业：2010级高等数学21理工类（本科） 考 试 形 式：（ ）开卷、（√）闭卷一、选择题（每小题 3 分，共 12 分。

请将答案填在下面的表格内） 1、C 2、A 3、D 4、B 二、填空题（每题 3分，共 12 分）[1、32 2、第一类3、14、0三、求下列极限（每题 5 分，共 10 分）[]1、解：11lim1x x x →→=- （1分）1x →= （2分）12x →== （2分）2、解：03limx x x →∞→∞=⎰3分） 13=………………………………………………………（2分） 四、求下列函数的导数或微分（每题 5 分，共 15 分）]1、解：()12sin x x e y '⎛⎫⋅ ⎪''==……………………………（2分）=（2分）……………………………（1分）[]2、解：方程sin cos()0y x x y --=两边同时对x 求导得sin cos sin()()0y x y x x y x y ''++-⋅-=……………………………（1分） sin cos sin()(1)0y x y x x y y ''++-⋅-= ……………………………（2分）[]sin()sin cos sin()x y x y y x x y '--=+-……………………………（1分）cos sin()sin()sin y x x y y x y x +-'=--，所以cos sin()sin()sin y x x y dy dx x y x+-=-- ……………………………（1分）[]3、解：由(sin )(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩，则由参数方程求导得()(1cos )(1cos )()sin sin dx x t a t t dy y t a t t'--===' …………………………… （2分）22233(1cos )sin (1cos )cos 1cos sin sin sin sin t d x t t t t t dy a t a t a t '-⎡⎤⎢⎥---⎣⎦=== ……………………………（2分） 所以223661cos 1(8sin t t d x t dy a t aππ==-⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦ ……………………………（1分） 五、求下列积分（每题 6 分，共 12 分）1、解：22--=⎰⎰……………（2分）2分）12π=-………………………………………（2分）2、解：因为222tan (sec 1)sec x xdx x x dx x xdx xdx =-=-⎰⎰⎰⎰……………………（1分）2211tan tan tan 22xd x x x x xdx x =-=--⎰⎰………（2分） 22sin 111tan tan cos cos 2cos 2x x x dx x x x d x x x x =--=+-⎰⎰…… （2分）21tan ln cos 2x x x x C =+-+……………………（1分） 六、简答题（共 8 分）解：（1）函数()f x 的定义域为2x ≠-的一切实数……………（1分）（2）因为23(6)()(2)x x f x x +'=+， ……………（1分） （3）又因为424()(2)xf x x ''=+，令()0f x ''=，得10x =，22x =-为()f x ''不存在的点（1分） （4）以10x =，22x =-为分断点，将()f x 的定义域分成三段列表如下 （3分）（5）所以()f x 的凸区间是(,2)-∞-和(2,0)-，凹区间是(0,)+∞，拐点是(0,4)（2分） 七、应用题（共 7 分）解：联立方程243y y x x =⎧⎨=-+-⎩得121,3x x ==…………………………（2分） 所以可得所围图形的面积是33322114(43)2333x x x dx x x ⎡⎤-+-=-+-=⎢⎥⎣⎦⎰…………………………（5分）八、解微分方程（每小题 7分，共14分）[教师答题时间：6分钟][]（1）解：由22dy y dx x y =-可得212y dy x ydx x=-…………………………（1分） 该方程为齐次微分方程，令y u y ux x =⇒=可得dy du u x dx dx=+ ……………（2分） 则原方程变形为12(12)u dx du u u x-=+ ………………………………………（1分）两边积分可得2(12)uCx u =+ （C 为常数）………………………………………（2分） 将yu x=代入上式可得2(2)y C x y =+（C 为常数）…………………………（1分） []（2）解：由已知可得方程4x y y xe ''-=的特征方程为210r -=特征值为121,1r r =-=……………………………（2分）所以其相应的齐次方程的通解为12x x y C e C e -=+ （12,C C 为常数）……………………………（1分）又因为1是一重特征根，由已知可得1m =，故原方程有特解*()x y x ax b e =+，代入原方程可得(422)4x x ax a b e xe ++=，解得1,1a b ==-， 可得原方程的一个特解为 *(1)x y x x e =- 所以原方程的通解为12(1)x x x y C e C e x x e -=++-……………………………………………（2分） 又因为，00|0,|1x x y y =='==可得1212011C C C C +=⎧⎨-+-=⎩，解得1211C C =-⎧⎨=⎩ 所以满足初始条件的特解为(1)x x x y e e x x e -=-++-………………（2分） 九、综合题[综合型]（共10分）] 证明：220()()()a a a af x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰（2分）令2x a t =-，则当x a =时，t a =；当2x a =时，0t =，dx dt =- （4分） 所以200()(2)(2)a a aaf x dx f a t dt f a x dx =--=-⎰⎰⎰（2分）所以[]20()()(2)aaf x dx f x f a x dx =+-⎰⎰（2分）注：考核类型是指：三基类、一般综合型和综合型。

数学科学学院10－11学年第一学期期末考试试题考试科目：数学分析 年级： 09适用专业：数学与应用数学考试时间：120分钟 考试方式：闭卷 试卷类别：B 试题满分：100分一．填空题（每题4分，共20分）1．2200x y →→= ．2．设n 是曲面222236x yz ++=在点(1,1,1)P 处指向外侧的法矢量，则u =P 点处沿n 方向的方向导数=_______．3．设数量场u =,则()div gradu =_ ____．4．交换积分顺序()()231320010,,x x I dx f x y dy dx f x y dy -=+⎰⎰⎰⎰= ．5．全微分()22sin cos x y dx x ydy +的所有原函数为 ．二．计算（每题8分，共40分）1．求arctany z x=的所有二阶偏导数． 2．求二重积分22224x y ππ≤+≤⎰⎰．3．设L 是半圆周cos :sin x a t L y a t=⎧⎨=⎩，0t π≤≤，计算第一型曲线积分()22L I x y ds =+⎰． 4．计算()333S x dydz y dzdx z dxdy ++⎰⎰ 外，其中S 为球面2222x y z R ++=的外侧．5．计算曲线积分224L xdy ydx I x y-=+⎰ ，其中L 是以点()1,0为中心，R 为半径的圆周（1R ≠），取逆时针方向．三．证明题（每题10分，共40分）1．设,ϕψ均为二次可微函数，()()u x x y y x y ϕψ=+++，证明：2222220u u u x x y y ∂∂∂-+=∂∂∂∂． 2．设()1,1f x y xy=-，()[)[),0,10,1x y D ∈=⨯，证明：(),f x y 在D 上非一致连续． 3．设(),f x y 在[][],,a b c d ⨯上连续，则()(),dc I x f x y dy =⎰在[],a b 上连续．4．设函数()()2222220,0,0x y x y f x y x y ⎧++≠⎪=⎨⎪+=⎩，证明：(),f x y 在()0,0点可微．。

《 数学分析(1) 》试卷(A)参考答案一、叙述题(每题5分共30分)1．叙述函数()f x 在区间I 上无界的定义和A x f Ix =∈)(sup 的定义.2．叙述极限)(lim 0x f x x -→存在的归结原则.3．叙述极限)(lim x f x +∞→存在的Cauchy 准则，据此再叙述)(lim x f x +∞→不存在的充要条件.4．分别叙述)(x f 在区间I 上连续和一致连续的定义.5．叙述函数()f x 在点0x 可微的定义，并说明函数在一点连续、可导、可微的关系.6．叙述)(x f 是区间I 上凸函数的定义，并给出可导凸函数的一个充要条件. 二、计算题（每题6分共30分） 1．求)]11ln([lim 2nn n I n +-=∞→.解 由归结原则得⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+-=→∞→)1ln(11lim )]11ln([lim 202t t t x x x I t x (3)21)1(2lim 2111lim)1ln(lim002=+=+-=+-=→→→t t t tttt t t t t …………………………3 2. 求 422cos limxex I xx -→-=.解 由麦克劳林公式得)(2421cos 542x o xxx ++-=， (2))(82154222x o xxex++-=-， (2))(12cos 5422x o xex x+-=--.所以求得121)(121limcos lim4540422-=+-=-=→-→xx o x xex I x xx (2)3．设 (),1,()10,1g x x f x x x ⎧≠⎪=-⎨⎪=⎩，且(1)(1)0,(1)2g g g '''===，求(1)f '.解 因为2()(1)()1(1)f x fg x x x -=--， (2)所以由洛必达法则得 (2)211()()(1)limlim(1)2(1)x x g x g x f x x →→''==--11()(1)1lim(1)1212x g x g g x →''-''===-.■ (2)4. 设x ey xxarcsin 51cot2-+=，求d .y解 ='y 221cot1)1csc(1cot25ln 52xxx x-⋅-⋅⋅211arcsin xex exx-+--- (4)21cot22111d (5ln 52cot(csc)xy xxx-=⋅⋅-⋅arcsin d xxex ex ---+ (2)5．求155345++-=x x x y 在]2,1[-上的最大值与最小值. 解 )3)(1(5152052234--=+-='x x x x x x y令0='y 得驻点3,1,0=x . 计算 (3)10)1(-=-y ，1)0(=y ，2)1(=y ，7)2(-=y ，所以最大值 2)1(=y ，最小值 10)1(-=-y .■ (3)三、（10分）设a x g x =+∞→)(lim （a 为有限数），)(x f 在点a 连续，证明：)()]([lim a f x g f x =+∞→证 因)(x f 在点a 连续，故0>∀ε，0>∃δ，当δ<-a x 时，有ε<-)()(a f x f ……………3 又因a x g x =+∞→)(lim ，对上面δ，0>∃M ，当M x >时，有δ<-a x g )(，从而ε<-)()]([a f x g f ……………4 综上，0>∀ε，0>∃M ，当M x >时，有ε<-)()]([a f x g f ，这就证明了)()]([lim a f x g f x =+∞→ (3)四．（10分）设f 在[,)a +∞上连续，且lim ()x f x →+∞存在.证明f 在[,)a +∞上一致连续.证 因为lim ()x f x →+∞存在，由Cauchy 准则知：0ε∀>，X a ∃≥，只要,x x X '''≥，就有()()f x f x ε'''-<. ………………………………3 又因为f 在[,)a +∞上连续，所以f 在[,1]a X +上连续，进而在[,1]a X +上一致连续.即对上述ε，)1(<∃δ，对任何]1,[,+∈'''X a x x ，只要δ<'-''x x 就有ε<'-'')()(x f x f . (4)综上，可知0>∀ε，任何),[,+∞∈'''a x x ，只要δ<'-''x x 就有ε<'-'')()(x f x f .即f 在),[+∞a 上一致连续.■ (3)五、（10分）、设)(x f 在)(0x U 连续，在)(00x U 可导，证明：如果)0(0+'x f 存在，则)(0x f +'也存在，且)0()(00+'='+x f x f .并由此结论证明，如果)(x f 在区间I 上可导，则)(x f '不存在第一类间断点.【证】)(lim)()(lim)(00000ξ'--='+→+→+f x x x f x f x f x x x x Cauchy 中值定理（其中x x <ξ<0）.当+→0x x 时，有+→ξ0x ，由假设条件)0(0+'x f 存在，即)0()(lim00+'=ξ'+→x f f x x 存在.说明)(0x f +'存在且)0()(00+'='+x f x f .同理可证，如果)0(0-'x f 存在，则)(0x f -'也存在，且)0()(00-'='-x f x f .…………………6分下证导函数不存在第一类间断点. 对I x ∈∀0，如果)0(0-'x f 和)0(0+'x f 都存在，由上述结论和)(0x f '存在，知必有)()0()0(000x f x f x f '=+'=-'，这说明)(x f '在0x 点连续.…………………4分六．（10分）设)(x f 在],[b a 上二阶可导.若有0)()(,0)()(>'⋅'==b f a f b f a f ，则存在),(b a ∈ξ，使得0)(=''ξf .证 不妨假设0)(),(>''b f a f ，则由导数定义和极限保号性可知，存在2121),,(,x x b a x x <∈，使得0)()(,0)()(21=<=>b f x f a f x f . (3)而)(x f 在],[b a 上连续，故由介值定理可知存在),(21x x c ∈，使得0)(=c f (2)在],[],,[b c c a 上对函数应用由罗尔定理，知存在),(),,(21b c c a ∈∈ξξ，使得0)()(21='='ξξf f . (3)那么对函数f '在],[21ξξ再应用罗尔定理，则存在),(b a ∈ξ，使得0)(=''ξf . (2)。

拟题学院（系）： 数理学院 适用专业： 中德学院09级相关专业 2009-2010 学年 1学期 高等数学B （上）B 卷试题标准答案（答案要注明各个要点的评分标准） 一、填空题：（每小题3分，共15分） 1.4；2.212xxC eC e -+；3. 21x eC ++；4.12π-； 5. dx xyy 212+-二、选择题：（每小题3分，共15分）1). B 2). A 3).D 4).C 5). D 三、计算题：（共28分）200021.lim lim 42lim 272x x x x xx x xx e e x e e x e e -→-→-→+--=+==分分2．（1）0()(0)(0)lim 0x f x f f x --→-'=-00lim 1x x x-→-==， 200(0)lim 1x x x f x++→+-'==，所以(0)0f '=。

…………………4分 （2）当0x <时()1f x '=，0x >时()21f x x '=+，所以1,0(),21,0x f x x x <⎧'=⎨+≥⎩…………………7分3.23322dydy t t dt dx dx t dt=== …………………3分2233()3322()224d t d y d t dt dt dx dx dt dx t t dt==== …………………7分 4. 2(1)x x e dx +⎰=2(1)x x de +⎰=2(1)xx e +-2x xe dx ⎰…………………3分=2(1)xx e +-2x xe + 2x e dx ⎰…………………6分=2(1)x x e +-2x xe + 2xe C += 2(23)x e x x C -++ ………..……………7分拟 题 人： 赵立宽书写标准答案人： 赵立宽四、计算题：（共22分）2232220112311.1(0)22122(1)4182[]633x t t x t dx tdtxt dx tdt t dtt x t t +=≥==-==-+=-=⎰⎰⎰ 令，从而-1，分分分2.解：(1) 函数的定义域为()∞+∞-，（2）266y x x '=-驻点为0,1x x == ……………………2分 （3）126y x ''=-，由0=''y 得12x = ……………………3分（4）列表如下：单调增加区间为（-,0)∞，(1,)+∞；单调减少区间为(0,1)()02f =为极大值；()11f =为极小值 ……………………7分凹区间为⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1，2，凸区间为⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭1，2；拐点为⎛⎫ ⎪⎝⎭13，22。

共 7 页 第 1 页东 南 大 学 考 试 卷（A 卷）课程名称高等数学B 期末考试学期 09-10-3得分适用专业 选修高数B 的各专业 考试形式 闭卷考试时间长度 150分钟一.填空题(本题共9小题，每小题4分，满分36分)1. 幂级数1(1)2n nn x n ∞=-⋅∑的收敛域为； 2. 球面22230x y z x ++-=在点(1,1,1)处的切平面方程为 ； 3. 已知两条直线12112x y z m-+-==与3x y z==相交，m =； 4. 交换积分次序11d (,)d x x f x y y -=⎰⎰； 5. 将22222d ()d x y f x y z z -++⎰⎰（其中()f t 为连续函数）写成球面坐标系下的三次积分；6设L 为由点(2,1,2)A 到原点(0,0,0)O 的直线段,则曲线积分2()d Lx y z s ++⎰之值为7. 已知3222(cos )d (1sin 3)d axy y xx by x x y y -+++为某个二元函数(,)f x y 的全微分，则____,____a b ==； 8. 设{,,},x y z r ===r r div(e )r =r ；9.设∑是锥面1)z z =≤≤下侧，则3d d 2d d (1)d d x y z y z x z x y ∑∧+∧+-∧=⎰⎰ .二. 计算下列各题(本题共4小题，每小题7分，满分28分)共 7 页 第 2 页10．设 (,)z z x y =是由方程e e e zyxz x y =+所确定的隐函数，求,z z x y∂∂∂∂.11．计算二重积分d d Dy x y ⎰⎰，其中{}2222(,)2,2D x y xy x y y =+≥+≤.12．计算22222d ed d d yy x y x y x y x ----+⎰.共 7 页 第 3 页13. 计算三重积分e d d d yx y z Ω⎰⎰⎰，其中Ω由曲面2221,0,2x y z y y -+===所围成.共 7 页 第 4 页三（14）．（本题满分7分）求由抛物面222x y z +=与平面1,2z z ==所围成的密度均匀（密度1μ=）的立体对z 轴的转动惯量.四（15）。

2021-2022年度大学期末考试试卷 《数学分析三》大学考试试题B 卷及参考答案一、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题2分，共20分）1、 函数)(x f 在[a,b ]上可积的必要条件是（ ） A 连续 B 有界 C 无间断点 D 有原函数2、函数)(x f 是奇函数，且在[-a,a ]上可积，则（ ） A ⎰⎰=-a aa dx x f dx x f 0)(2)( B 0)(=⎰-aa dx x fC⎰⎰-=-aaadx x f dx x f 0)(2)( D )(2)(a f dx x f aa=⎰-3、 下列广义积分中，收敛的积分是（ ） A⎰11dx xB⎰∞+11dx xC⎰+∞sin xdx D⎰-1131dx x4、级数∑∞=1n na收敛是∑∞=1n na部分和有界且0lim =∞→n n a 的（ ）A 充分条件B 必要条件C 充分必要条件D 无关条件 5、下列说法正确的是（ ） A∑∞=1n na和∑∞=1n nb收敛，∑∞=1n nn ba 也收敛 B∑∞=1n na和∑∞=1n nb发散，∑∞=+1)(n n nb a发散C∑∞=1n na收敛和∑∞=1n nb发散，∑∞=+1)(n n nb a发散 D ∑∞=1n n a 收敛和∑∞=1n n b 发散，∑∞=1n nn ba 发散6、)(1x an n∑∞=在[a ，b ]收敛于a （x ），且a n （x ）可导，则（ ）A)()('1'x a x an n=∑∞= B a （x ）可导C⎰∑⎰=∞=ban ban dx x a dx x a )()(1D∑∞=1)(n nx a一致收敛，则a （x ）必连续7、下列命题正确的是（ ） A)(1x an n∑∞=在[a ，b ]绝对收敛必一致收敛B)(1x an n∑∞=在[a ，b ] 一致收敛必绝对收敛C 若0|)(|lim =∞→x a n n ，则)(1x an n∑∞=在[a ，b ]必绝对收敛D)(1x an n∑∞=在[a ，b ] 条件收敛必收敛8、∑∞=++-012121)1(n n nx n 的和函数为 A xe B x sin C )1ln(x + D x cos9、函数)ln(y x z +=的定义域是（ ） A {}0,0|),(>>y x y x B {}x y y x ->|),( C {}0|),(>+y x y x D {}0|),(≠+y x y x 10、函数f (x,y )在（x 0,,y 0）偏可导与可微的关系（ ） A 可导必可微 B 可导必不可微 C 可微必可导 D 可微不一定可导二、计算题：（每小题6分，共30分） 1、⎰=914)(dx x f ，求⎰+22)12(dx x xf2、计算⎰∞++02221dx xx 3、计算∑∞=11n nx n 的和函数并求∑∞=-1)1(n n n4、设023=+-y xz z ，求)1,1,1(xz ∂∂5、求2220lim yx yx y x +→→ 三、讨论与验证题：（每小题10分，共20分）1、 讨论⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-=)0,0(),(0)0,0(),(),(2222y x y x y x y x xyy x f 在（0，0）点的二阶混合偏导数2、 讨论∑∞=+-221sin 2)1(n n n n nx的敛散性 四、证明题：（每小题10分，共30分）1、设)(1x f 在[a ，b ]上Riemann 可积，),2,1()()(1 ==⎰+n dx x f x f ban n ，证明函数列)}({x f n 在[a ，b ]上一致收敛于02、设yx e z =，证明它满足方程0=∂∂+∂∂yz y x z x 3、 设)(x f 在[a ，b ]连续，证明⎰⎰=πππ)(sin 2)(sin dx x f dx x xf ，并求⎰+π2cos 1sin dx xxx参考答案一、1、B 2、B3、A4、C5、C6、D7、D8、C9、C10、C 二、1、⎰⎰++=+202222)12()12(21)12(x d x f dx x xf （3分）令122+=x u ，⎰⎰==+91222)(21)12(du u f dx x xf （3分）2、⎰∞++02221dxx x =4)1arctan(lim )1()1(11lim 002π=+=+++∞→∞→⎰A A A A x x d x （6分） 3、解：令)(x f =∑∞=11n n x n ，由于级数的收敛域)1,1[-（2分），)('x f =x x n n -=∑∞=-1111，)(x f =)1ln(110x dt t x-=-⎰（2分），令1-=x ，得2ln )1(1=-∑∞=n n n 4、解：两边对x 求导02232=--x x xz z z z （3分）x z z z x 2322-=（2分）2)1,1,1(=∂∂x z（1分）5、解：x yx yx ≤+≤||0222（5分）0lim 22200=+→→y x y x y x （1分）由于x =-2，x =2时，级数均不收敛，所以收敛域为（-2，2）（3分）三、1、解、⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-+=000)(4),(22222222224y x y x y x y y x x yy x f x （2分）⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++--=000)(4),(22222222224y x y x y x y y x x xy x f y (4分）1)0,0(),0(lim )0,0(02-=∆-∆=∂∂∂→∆y f y f x y zx x y1)0,0()0,(lim )0,0(02=∆-∆=∂∂∂→∆xf x f y x zy y x （6分）2、解：由于x nx n n n n n 221sin 2|sin 2)1(|lim =-+∞→（3分），即1sin 22<x 级数绝对收敛1sin 22=x 条件收敛，1sin 22>x 级数发散（7分）所以原级数发散（2分）四、证明题（每小题10分，共20分）1、证明：因为)(1x f 在[a ，b ]上可积，故在[a ，b ]上有界，即0>∃M ，使得]),[()(1b a x M x f ∈∀≤，（3分）从而)(|)(|)(12a x M dt t f x f xa-≤≤⎰一般来说，若对n 有)!1()()(1--≤-n a x M x f n n （5分）则)()!1()()(1∞→--≤-n n a b M x f n n ，所以)}({x f n 在[a ，b ]上一致收敛于0（2分）⎰⎰⎰=+++=+aa Ta Tdt t f T t d T t f t T x dx x f 0)()()()(（2）（4分）将式（2）代入（1）得证（2分）2、 y e x z y x 1=∂∂，2y x e y zy x -=∂∂，（7分）则012=-=∂∂+∂∂yx ye y xe y z y x z x y xy x （3分） 3、 证明：令t x -=π⎰⎰⎰⎰-=---=πππππππ0)(sin )(sin ))(sin()()(sin dt t tf dt t f dt t f t dx x xf 得证（7分）8cos 1sin 2cos 1sin 20202ππππ=+=+⎰⎰dx xx dx x x x （3分）。

09-10-3高数B 期末试卷(A)参考答案及评分标准10. 6.29一•填空题(本题共9小题，每小题4分，满分36分)1. 幕级数的收敛域为(-1,3)；幺心 —2. 球面/ + y 2 +分一3x = 0在点(1,1,1)处的切平瓯方程为x- 2y — 2? + 3 = 0 ；Y — [ Y + 27 — 1 I3-已知两条肓线T 二〒二计与 U 相交，心fl「()f V+14.交换积分次序 £(lx L / (x ，y)dy = £] dv£ /(x, y)血+5.将「血严dy 广 j.f(F + b+F)dz (其屮.f(f)为连续函数)写成球面坐标 系下的三次积分.f (宀八1厂；6. 设厶为由点A(2,l,2)到原点O(0,0,0)的直线段，则曲线积分J(x + y + zFd$Z 值为％L7. 已知(axy 3 - y 2 cos x)dx + (1 + by sin x + 3x 2 y 2 )dy 为某个二元函数 f(x,y)的全微分，则 a= 2, /? = —2 ；& 设r = {x, y,z}, r = |r| = yjx 2 + y 2+^2,则散度div(e r r) = e r (3 + r)；9.设刀是锥面z = jF + )，(0W),取下侧，则Adz + 2ydz Adr + (z-l)cU A dy = 2^.二.计算下列各题(本题共4小题，毎小题7分，满分28分)10•设Z = z(x,y)是由方程捋=剧+声所确定的隐函数,求车，车. ox dy解 令(l + z)eJe'+)eJ (2 分)二= -------------------------- ----- ,(2 分)刍= ---------- -- (3 分)ox dx 1 + ^ dy ] + z/(x, y)dx ；I7Tsin^d^ = - （3+2+2 分）212・计算x 2 + y 2<4,0<x<y] , （1分）=（14）.（本 满分7分)求由抛物血x 2 +)“ = 2z 与平面z = 1M = 2所围成的密度均匀(密11.计算二重积分 JJydxdy ，其中 £> = ｛（兀,刃 x 2 + y 2 > 2,x 2 + y 2 < 2y].D解 JJychxly = 2JJsin 0d3^（）p 2dp = -]｝（8sin 3 8_2近）D4 〜4"$ e o解£）=｛（x,y ）原式=JJe«®dxay= jld&[”pdp = —（1-「）（1+3+2 分） D7*13•计算三重积分jjje'drdydz ,其中Q 由曲面x 2 一 y 2 +才=1, y = 0, y = 2所围成.（2解+ r <l + r ，0<y<2, （1 分）jjje dAdydz = j e'dy Jjivdz =龙 J （1 + y 2）e dy = 3兀© 一 1）, （3+1 分） Q Z v °度“ =1 )的立体对z 轴的转动惯量. 解题屮的立体记为Q,则食=>2+ y 2)dv = £ dz JJ (x 2 + y 2 )d (7 = 271 £ dz p^dp = —7r (2+2+1+2 分) (2 1?+y 2<2z13四(15)。

北京林业大学2010--2011学年第 一 学期考试试卷课程名称： 高等数学B （A 卷） 课程所在学院： 理学院 考试班级 学号 姓名 成绩试卷说明：1. 本次考试为闭卷考试。

本试卷共计 4 页，共 九 大部分，请勿漏答；2. 考试时间为 120分钟，请掌握好答题时间；3. 答题之前，请将试卷和答题纸上的考试班级、学号、姓名填写清楚；4. 本试卷所有答案均写在试卷上；5. 答题完毕，请将试卷正面向外交回，不得带出考场；6. 考试中心提示：请你遵守考场纪律，诚信考试、公平竞争！一、填空：（每题3分，共30分） 1.函数2()arcsin 1xf x x =++的定义域为 [-1/3，1] 。

2. 计算极限 01l i m s i n x x x→= ___0_______________________________________。

3. 当0x →时，1cos x -是x 的___二阶________无穷小（一阶，二阶，三阶）。

4. 已知()4f a '=，则0()()lim2h f a h f a h→+-=_______2____________。

5. 设函数()f x 可导，且已知2()y f x =，则dy =__22()'xf x dx _______________。

6. 已知21x t y t⎧=⎨=-⎩，则dydx =___-1/t ________________。

7. 已知()sin2f x dx x C =+⎰，则()f x 2cos2x 。

8.计算定积分2322sin x xdx -⎰= 0 。

9. 计算不定积分12dx x =-⎰1ln |12|2--+x c , ln xdx =⎰ln -+x x x c 。

10. 判断瑕积分121dxx -⎰是 发散 （收敛，发散）。

二、计算下列各题（每题5分，共30分） 1、()10lim 1xxx xe→+ 2、2203limxt x t e dt x→⎰()10lim 1→⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭xx ex xe x xe 3分 220lim 3→=x x xe x 3分 =e 2分 201lim 33→==x x e 2分3、y =dy dx 4、arctan()y x y =+，求dy dx 1ln(2)4ln(3)5ln(1)2=++--+y x x x 3分 211()'+'=++y y x y 3分 1452(2)31'=--+-+y x x x 2分 21()'=+y x y 2分5、 6、102()223x x f x x x ⎧+≤≤⎪=⎨⎪<≤⎩，求30()f x dx ⎰=t原式=1+⎰tdt t3分 323002()(1)2=++⎰⎰⎰x f x dx dx xdx 3分 ln |1|=-++t t cln |1=+c 2分 112= 2分三、求函数21()2x f x x x +=--的间断点，并判断其类型（可去型、跳跃型、无穷型、无穷次振荡型）（6分）。