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积分不等式的证明方法及其应用
【摘要】本文根据定积分的定义、性质、定理等方面简单介绍了几个积分不等式的方法，并给出了相应的例题，从而更好的掌握其积分不等式的证明方法。
然后再给出重要不等式及其证明方法，最后详细举例说明积分不等式在求极限、估计积分、证明积分不等式上的应用及其两个重要积分不等式的应用。
【关键词】积分不等式、Schwarz 不等式、Holder 不等式、Gronwa11不等式、Yong 不等式 1 引言
在学习中，我们常会遇到这样的问题：有些函数可积，但原函数不能用初等函数的有限形式来表达，或者说这种积分“积不出”，无法应用Newton-Leibniz 公式求出（如2
1
x e e dx -⎰），这时我们只能用其它方法对积分值进行估计，后近似计算，另一种情况是，被积函数是没有明确给出只知道它的某些结构或性（例如设函数y 在（0，1）上连续可微，且（(1)(0)1,f f -=求1
20()f x dx -⎰），应此我们希望对积分值给出某种估计，为此我们来研究积分不等式。
我们把含有定积分的不等式称为积分不等式。
2
2211ln ,(()cos )(()sin )1b b a a xdx x xdx f x xdx f x xdx ≤+≤⎰⎰⎰⎰都是积分不等式。
定积分不等式及其最佳常数的两种证明方法定积分不等式是指对于$f(x)$在$[a,b]$上连续，$g(x)$在$[a,b]$上单调递增和非负，有以下不等式成立：$$\int_a^bf(x)g(x)dx\le\frac{b-a}{2}\left(\int_a^bf^2(x)dx+\frac{1}{g^2(a)}\int_a^bg^2(x)dx\ right)$$其中等号成立当且仅当$f(x)=k\cdot g(x)$，其中$k$是一个常数。
这个不等式也被称为“加权平均值-平方根平均值不等式”，可以用两种不同的证明方法：一种是基于几何意义的证明，另一种是基于分部积分的证明。
方法一：首先考虑一个几何上的问题：对于函数$f(x)$，我们可以将其图像在区间$[a,b]$上折叠，形成一个平行四边形，可以证明该平行四边形的面积等于$\int_a^bf(x)dx$。
现在我们假设将平行四边形“割”成两半，所得的两个“三角形”的底分别为$\frac{b-a}{2}$和$\frac{b-a}{2}g(a)$。
则根据三角形面积公式，这两个“三角形”的面积分别为$\frac{1}{2}\int_a^bf^2(x)dx$和$\frac{1}{2g^2(a)}\int_a^bg^2(x)dx$。
由于$g(x)$是单调递增且非负的，所以可以想象这两个“三角形”肯定包含在一条斜率为$k$（其中$k$为常数）的直线下方。
因此，我们可以将这个直线逆时针旋转一定角度，得到一个新的平行四边形，其底仍为$\frac{b-a}{2}$和$\frac{b-a}{2}g(a)$，高为$\frac{1}{2}(k+\frac{1}{g(a)})$（即平行四边形的两个高之和的一半）。
根据面积公式，这个新的平行四边形的面积为$\frac{b-a}{2}(k+\frac{1}{g(a)})\cdot\int_a^bf(x)g(x)dx$。
由于这个新平行四边形的面积应不小于原平行四边形的面积，因此我们可以得到不等式：$$\int_a^bf(x)g(x)dx\le\frac{b-a}{2}\left(\int_a^bf^2(x)dx+\frac{1}{g^2(a)}\int_a^bg^2(x)dx\ right)$$并且等号成立当且仅当$f(x)=k\cdot g(x)$。
定积分不等式证明方法要证明一个定积分的不等式，通常可以使用下面的方法：1.使用函数的性质：a.利用函数的递增性或递减性：如果能够证明被积函数在积分区间上是递增函数或递减函数，那么可以利用这个性质来证明不等式。
b.利用函数的凸性或凹性：如果被积函数在积分区间上是凸函数或凹函数，那么可以利用这个性质来证明不等式。
c.利用函数的导数性质：如果能够证明被积函数的导数在积分区间上具有一些特定的性质，比如非负或非正，那么可以利用这个性质来证明不等式。
2.使用定积分的性质：a.利用定积分的线性性质：如果能够将被积函数表示为两个或多个可积函数的线性组合，那么可以利用定积分的线性性质来证明不等式。
b.利用定积分与函数极限的关系：如果被积函数是一个收敛函数序列的极限函数，那么可以利用定积分与函数极限的关系来证明不等式。
c.利用平均值定理：如果能够找到一个介于被积函数在积分区间上的最大值和最小值之间的常数函数，那么可以利用平均值定理来证明不等式。
3.使用面积比较法：a.利用图形的几何性质：将被积函数与一个已知函数或图形进行比较，通过比较图形的面积大小来证明不等式。
b.利用图形的对称性：如果能够将积分区间对称分割，或者利用函数的对称性，那么可以利用对称性来证明不等式。
4.使用特殊技巧：a.利用变量替换：通过对积分变量进行适当的代换，可以将原来的不等式转化为更加简单的形式，从而更容易证明。
b.利用积分的可加性：如果被积函数具有可加性的性质，即可以将积分区间分成多个子区间进行求积分，那么可以利用这个性质来证明不等式。
以上是一些常用的定积分不等式证明方法，但并不是穷尽的。
在实际问题中，根据具体的情况可能需要结合多种方法来证明不等式。
最后，需要强调的是，在证明中需要合理运用数学工具和定义、定理，推导过程要严密，逻辑要清晰，以确保证明的正确性和严谨性。
积分不等式的证明方法及其应用一、积分不等式的证明方法：1.使用定积分定义证明：对于一个函数f(x)，如果在[a,b]上f(x)≥0，那么可以使用定积分的定义进行证明。
将[a,b]分成n个小区间，每个小区间长度为Δx=(b-a)/n，那么对于每个小区间，存在一个ξi ∈ [x_{i-1}, x_i]，使得f(ξi)Δx_i≤∫_{x_{i-1}}^{x_i} f(x)dx。
对于所有小区间，将不等式相加并取极限即可得到定积分不等式。
2.使用导数的性质证明：对于一个函数f(x)，如果能够表示出它的导数f'(x)，那么可以使用导数的性质进行证明。
首先计算f'(x)，然后判断f'(x)的正负性，再根据函数在[a,b]上的取值情况，可以得到相应的不等式。
例如，如果f'(x)≥0，那么f(x)在[a,b]上是单调递增的，可以得到∫_a^bf(x)dx≥∫_a^b f(a)dx=f(a)(b-a)。
3.使用恒等式和变量替换证明：对于一个复杂的积分不等式，有时可以通过引入合适的恒等式或进行变量替换来简化证明过程。
例如，对于形如∫_a^b f(x)g(x)dx≥0的不等式，可以通过将f(x)g(x)拆分为两个函数的平方和，然后应用恒等式a^2+b^2≥0进行证明。
或者，可以通过进行变量替换将不等式转化为更简单的形式，然后再进行证明。
二、积分不等式的应用：1.极值问题：2.凸函数与切线问题：3.平均值不等式：平均值不等式是积分不等式的一种特殊情况，它可以用于证明平均值与极值之间的关系。
例如，对于一个连续函数f(x)，可以通过证明(1/(b-a))∫_a^b f(x)dx≥ƒ(ξ)来得到平均值与极值之间的关系。
4.泛函分析问题：总结起来，积分不等式的证明方法包括定积分定义证明、导数性质证明、恒等式和变量替换证明等等。
而积分不等式的应用包括解决极值问题、研究凸函数的性质、平均值不等式以及泛函分析问题等。
不等式的证明方法2009级化州班吴志辉湛江师范学院数学与计算科学学院广东湛江 5240048摘要在初等代数和高等代数中，不等式的证明都占有举足轻重的位置．初等代数中介绍了许多具体的但相当有灵活性和技巧性的证明方法，而高等代数中，可以利用的方法更加灵活技巧．我们可以利用典型的柯西不等式的结论来证明类似的不等式；除此还可以利用导数，微分中值定理，泰勒公式，积分中值定理等有关的知识来证明不等式；在正定的情况下，也可以用判别式法；掌握了定积分化为重积分的内容之后，对于某类不等式，也可以将定积分化为重积分，再证明所求的不等式．由此我们可以看到，不等式的求解证明方法并不唯一，但是初等数学里的不等式，都可以用高等数学的知识来解决，解答更为简洁．所以，高等数学对初等数学的教学和学习具有重要的指导意义．本文归纳和总结了一些求解证明不等式的方法与技巧，突出了不等式的基本思想和基本方法，便于更好地了解各部分的内在联系，从总体上把握证明不等式的思想方法.关键词：不等式；函数；证明方法第一章引言1．1 研究的背景首先，我们要从整个数学，特别是现代数学在21世纪变得更加重要来认识不等式的重要性．美国《数学评论》2000年新的分类中，一级分类已达到63个，主题分类已超过5600多个，说明现代数学已形成庞大的科学体系，并且仍在不断向纵深化发展．它在自然科学、工程技术、国防、国民经济(如金融、管理等)和人文社会科学(如语言学、心理学、历史、文学艺术等)以至我们的日常生活中的应用都在不断深化和发展．它为我们提供了理解信息世界的一种强有力的工具，它也是新世纪公民的文化和科学素质的重要组成部分．而不等式在数学中又处于独特的地位．美国《数学评论》在为匡继昌的《常用不等式》第2版写的长篇评论中指出:“不等式的重要性，无论怎么强调都不会过分．”这说明不等式仍然是十分活跃又富有吸引力的研究领域．再者不等式的求解和证明一直是高考的热点和难点．近年来高考虽然淡化了单纯的不等式证明的证明题．但是以能力立意的、与证明有关的综合题却频繁出现．常常与函数、数列、三角等综合，考查逻辑推理能力．是高考考查的一项重要内容．而要解决这一点的关键在于掌握常用方法，理解不等式证明中的数学思想，熟练地运用性质和基本不等式．因此，本文归纳和总结了一些求解证明不等式的方法与技巧，突出了不等式的基本思想和基本方法，便于更好地了解各部分的内在联系，从总体上把握不等式的思想方法；注重对一些著名不等式的推广及应用的介绍，以便更好地理解和运用．1．2 文献综述数学问题（猜想）的重要性先哲们已有过精辟的阐述．的确，形式优美、新颖、内涵丰富的不等式问题，不仅丰富了我们的研究素材，而且孕育了新思想、新方法的胚芽．当探索者在艰难的跋涉中感到困倦和乏味时，它就会突然放出奇光异彩，照亮一片天地．人们之所以能孜孜不倦地向未知领域探求，也正是问题那充满诱惑力的深情呼唤．新的东西可以刷新我们的视野．虽然它一开始可能是含糊的、幼稚的、脆弱的，但是只要视野中能映出，那么离抓住它的真谛的日子一定不会遥远了！由于不等式的多样性，各有各的证明特色，所以我阅读许多文献．许小华的《不等式证明的常用方法》是我参考的第一篇文献．文中介绍了一些常见的证明方法及其在数学竞赛中的应用：分析和综合法、数学归纳法、反证法、函数法、判别式法．由此可知不等式在数学中的地位十分重要,而证明不等式的方法和技巧也很多．所以要掌握好不等式证明，除了要认真理解并能熟练运用不等式的基本性质外，还应当注意观察相关条件与数学其他知识点的联系，充分利用有关知识解决不等式证明问题．陈初良的《不等式证明的两种巧法》就介绍了两种技巧性较高的不等式证明方法：化归函数法、放缩法．本文对这两种方法的介绍非常的精彩．周再禹在《不等式证题中调整法的应用》也给大家展示了不等式证明的一种独特的方法——调整法．而董琳为了拓宽视野，则在《几种证明不等式的妙法》一文中通过实例，介绍了几种切实可行的方法：放缩法证明不等式、反证法、函数法、最值法．除此不少问题还不止用一种方法而需要用几种方法综合使用才能解决．所以翁耀明善于抓住不等式的特点，突破旧例，在《运用概率方法证明某些数学不等式》一文中利用函数的凹凸性，再结合概率中数学期望的不等式性质，恰当地构造一个概率分布密度来证明一些特殊的不等式．我们知道任何知识体系都不是孤立的，它们相互联系相互渗透，而不同体系的“知识交汇”更能有效地培养学生的综合思维能力．例如：数列与不等式是函数内容的后续知识板块，与函数一样，也都是历年高考的热点．由于在知识网络交汇点设计试题这一命题思想的不断成熟，以数列为载体的不等式证明问题备受高考青睐．以数列为载体的不等式证法虽灵活多变，但极富有挑战性，只要我们善于思考、适时调整、不畏险阻、锲而不舍，其实成功并不遥远，这正体现了高考为选拔优秀人才所精心布置的一个公平舞台．所以证明这类题通常要有一些较为“高超”的放缩技巧．孟利忠则针对这一问题，在《以数列为载体的不等式证明的放缩技巧》中介绍了四种利用数列证明不等式的方法：放缩成递约数列乘积、放缩成相消数列和式、放缩成等差数列和式、放缩成等比数列和式．又如：向量是中学阶段的重要内容，目前大家主要重视向量与三角函数、平面几何、解析几何的“交汇”，用向量证明代数不等式重视不够，缺少系统的研究．一般认为用向量证明不等式就是用向量模的性质来思考问题，实并非如此．张国棣的《用向量证明代数不等式的新探索》对用向量证明代数不等式的方法，进行一些新的探索：（1）利用向量的几何特征构建不等式关系，因为利用向量的加法、减法所构成平行四边形的几何特征来思考问题，可以使证明过程更直观、简捷．（2）用向量有效转化代数不等式，因为用向量搭起代数不等式证明与其他知识体系的桥梁，可实现代数不等式的有效转化，降低思维难度．（3）利用向量的数量积公式，建不等关系证明．因为根据向量的数量积公式cos ab a b θ=找出不等关系．这样则增加了向量应用的多样性，将老问题赋予新的生命，是证明方法上的创新，可以使证明过程更加简捷、清晰．不等式证明既是数学的重要内容之一，也是高等数学的重要工具．许多初等数学中的问题，往往蕴含着数学中的较高层次理论的再实践的问题．如能在教学中有意将高等数学的原理、方法应用于一些初等数学的证明、计算，不仅可以开拓学生的视野，而且可使学生体会到用高等数学的原理、方法解决初等数学问题时，居高临下，驾轻驭熟的感觉，进而了解高等数学与初等数学密不可分的关系．比如：函数的单调极值问题其本身都与不等式密切相联，而微分学中值定理和Taylor 公式又使我们能够通过对导数或余项的估计来确定变量间的大小关系，因此常常是证明不等式的得力工具，相对于函数极值概念的局部性，函数的最值则是一种整体的概念，即是在一个固定的区间内有意义的概念，这是和极值概念绝然不同的所在．那么我们如何通过运用导数与微分这样的反映局部性质的概念来研究最值呢？显然我们只能给出一个最值的必要条件，就是一个最值先要是一个极值．这也就是说最值是包含在极值之中的，至于通过极值来找到最值，最终还是必须依靠对可能有的不同极值进行比较．如果极值的数目是有限的．并且不是很多，那么就比较容易得到最值；如果极值是无穷多的，或者是数目极大的，就面临得到最值的困难．因此实际上通过导数的方法来求最值，并没有最终解决问题，而只是在一定的条件下可以得到解决．所以刘海燕在《利用微分学证明不等式》一文中讨论了如何利用微分学证明不等式．而叶殷的《用高等数学证明不等式的若干种方法》则探讨解决了如何将高等数学的原理和方法运用于初等数学，如何解决高等数学与中学数学脱节的问题．并且给出了几种证明方法：利用函数的单调性证明不等式、利用微分中值定理证明不等式、利用函数的极值证明不等式、利用泰勒公式证明不等式、利用函数的凸性证明不等式、利用积分不等式证明不等式、利用定积分的定义证明不等式．魏全顺在《微分在不等式证明中的应用》一文中介绍的不等式的高等证明方法也非常地精彩．高等数学除了可以使学生站在更高的观点上思考问题，同时又可以帮助学生处理初等数学的问题，以达到初等数学与高等数学之间的衔接，刘兴祥在《柯西—施瓦兹不等式的应用》中利用柯西—施瓦兹不等式且巧妙地构造向量ξ与η解决了部分分式不等式的证明及求极值问题．不等式的证明方法有很多，而且非常的灵活、精彩．但是著名不等式更是优美而又魅力无限的．正如音乐家能够将很少几组音符变化发展为动听美妙的旋律一样，数学家则往往能够通过不多几步逻辑推理揭示出简明优美的结果．这些有关不等式的结果就是数学家依靠并不复杂的逻辑推理得到的，然而在其来龙去脉被领悟以前，却常常像变戏法似的神秘莫测．胡克在《解析不等式的若干问题》中则介绍了一些非常美丽的不等式及近年来有关的新成果．本论文虽然经过多次的修改，但由于水平有限，论文肯定会存在不足之处，甚至是手误．第二章证明不等式的方法不等式的证明方法相当有灵活性和技巧性，例如我们可以通过比较法、综合法、分析法、构造性证明方法、分解法、换元法、放缩法等方法研究不等式；而在高等数学中，我们可以利用的方法更加灵活技巧．可以利用典型的柯西不等式的结论来证明类似的不等式；可以利用导数，微分中值定理，泰勒公式，积分中值定理等有关的知识来证明不等式；在正定的情况下，可以用判别式法；对于某类不等式，也可以将定积分化为重积分，再证明所求的不等式．由此我们可以看到，不等式的求解证明方法并不唯一，但是初等数学里的不等式，都可以用高等数学的知识来解决，解答更为简洁，而且不等式的证明有蕴涵着解题的技巧和灵活．所以，高等数学对初等数学的教学和学习具有重要的指导意义，不但要掌握初等数学中的各种不等式证明方法，更要掌握高等数学中的不等式的证明方法．2．1 初等代数中不等式的证明2．1．1 比较法[1]比较法分为作差法和作商法．1、作差法的数学思想是把不等式左边的代数式减去右边的代数式，根据已知条件，研究这个差在实数范围内为正还是负，从而确定其大小．例1：设12,x x R +∈则11121212n n n n x x x x x x --+≥+． 证明：当12,x x R +∈则()()11121212nn n n x x x x x x --+-+()()11112212n n n n x x x x x x --=-+-()()11112221n n x x x x x x --=-+-()()1112120n n x x x x --=--≥R +∴不等式在内恒成立．2、作商法的数学思想是在证明时，一般在,a b 均为正数时，借助1a b >或1a b <来判断其大小，步骤一般为：作商——变形——判断（大于1或小于1）．例2：设0a b >>，求证：a b b a a b a b >．证明：0a b >> 1,0a a b b ∴>->；而1a b a b b a a b a a b b -⎛⎫=> ⎪⎝⎭，故a b b a a b a b >．2．1．2 分析法和综合法[1]所谓分析法，就是假定结论是正确的，然后利用恒等变形及不等式的性质逐步推演，如果能够得到一个已知它成立的不等式，而且推演的每一步骤都是可逆的，则这个不等式成立．对于较复杂的不等式的证明，多用这种方法．所谓综合法，它的着眼点在条件，即从已知条件出发，根据不等式的性质，逐步推证所要求的结论．例3：设,a b R +∈，求证2a b +≥a b =时等号成立． 证明：（1）分析法要证2a b +≥只要证a b +≥成立，只须证0a b +-≥成立，,a b R +∈20a b ∴+-=≥最后不等式显然成立，而其中每步推证都是可逆的，2a b +∴≥a b =时，等号成立．（2）综合法 ,,a b R R ++∈于是有20≥（仅当a b =时等号成立），即0a b +-≥．2a b +∴≥ 2．1．3 反证法[1]反证法的数学思想是从否定的结论出发，通过逻辑推理，导出矛盾，从而证明原来的结论是正确的．例4：设,,a b c 和,,x y z 均为不等于0的实数，若2220,0,0az by cx ac b xz y ++=->-≤则．证明：设2200xz y xz y ->>>则220,0ac b ->>则ac>b22acxz b y ∴>即220b y acxz -<由20,az by cx ++=有2az cx by +=-()2224az cx b y ∴+= 即22222224a z acxz c x b y ++=()()22240az cx b y acxz ∴-=-<与()20az cx -≥矛盾 20xz y ∴-≤2．1．4 数学归纳法[1]已知条件均是在整数集或自然数集中，所证式子项数或因式数为无穷多．证明的难点是在1n k =+时，关键是要充分利用n k =以及第一步的结果．对于含有)(N n n ∈的不等式，当n 取第一个值时不等式成立，如果使不等式在)(N n k n ∈=时成立的假设下，还能证明不等式在1+=k n 时也成立，那么肯定这个不等式对n 取第一个值以后的自然数都能成立．例5：若n 为大于1的自然数，试证：1n ++>证明：当2n =时，1+>设当n k =时，不等式成立，即1k ++> (1)当1n k =+时，要证1k +++> (2)由（1）知1k +++>∴>111k k ++>+也即22k k k +>变形为0k >此式显然成立．()2∴式成立，于是原不等式成立．2．1．5 步差法[2]利用函数的增减性可以说明一些不等式，但如果所证不等式中变量不连续，也可以用同样的思想处理，设{}{},n n X Y 是两个数列，如果11X Y =，同时11n n n n X X Y Y +--≤-，则必有n n X Y ≤．很显然“如果两数列的起点相同，步伐大的那一个大一些．”例6：求证：1n +≥证明：令1,n n X Y n =+++=111X Y ==1n n X X +-=，1n n Y Y +-==<n n X Y ∴≥ 即1n+≥注：步差法本质上是归纳法，或者是归纳法的一种变形．2．1．6 换元法[1]换元法的基本思想，是通过对所证不等式添设辅助元素，原来的未知量(或变量)变换成新的未知量(或变量)，而更容易达到证明的目的．此种方法证明不等式一般采取以下步骤:〈1〉认真分析不等式，合理换元；〈2〉证明换元后的不等式；〈3〉得证后，得出原不等式成立．换元法可分为两大类：1、代数换元例7<[证法分析]由于根指数为3，若采取两边三次方的办法，中间运算较繁．根据不等式左边的特点，考虑公式()()3322a b a b a ab b +=+++不妨设a b ==于是只要证()324a b +<即可．证明：设a b ==可见0,0a b >>并且336,,a b a b +=>又222a b ab +>故22ab a ab b <-+ 不等式两边同乘以0a b +>得()()()22ab a b a ab b a b +<-++故 ()()()33333ab a b a b a b +<+<+即3ab a+b对上式两边同时加上33a b +即 ()()33333424a b ab a b a b +++<+=即()324a b +< 所以a b +<原不等式成立．2、三角换元: 借助三角变换，在证题中可使某些问题变易．例8：设22,,1x y R x y ∈+≤且，求证：222x xy y +-≤证明：设222x y u +=则由题设知1u ≤并可设cos ,sin x u y u θθ==．于是()222222cos 2cos sin sin x xy y u θθθθ+-=+- ()22cos 2sin 2sin 24u πθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 222222x xy y u ∴+-≤≤．可见，冗长而复杂的不等式用代数法换元，可以使问题变得明显简单．含有根式或带有绝对值符号的不等式可用三角法换元，同样也可以将难化易．2．1．7 迭合法（降元法）[1][9]迭合法的数学思想是把所要证明的结论先分解为几个较简单部分，分别证明其各部分成立，再利用同向不等式相加或相乘的性质，使原不等式获证．例9、已知：122221=+++n a a a ，122221=+++n b b b ，求证： 12211≤+++n n b a b a b a ．证明：因为122221=+++n a a a ，122221=+++n b b b ， 所以122221=+++n a a a ，122221=+++n b b b ．由柯西不等式 22222211122122111n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++=⨯=，所以原不等式获证．2．1．8 放缩法（增减法、加强不等式法）[1][9] 放缩法的基本数学思想是在证明过程中，根据不等式的传递性，常采用舍去一些正项（或负项）而使不等式的各项之和变小（或变大），或把和（或积）里的各项换以较大（或较小）的数，或在分式中扩大（或缩小）分式中的分子（或分母），从而达到证明的目的．值得注意的是“放”、“缩”得当，不要过头．常用方法为：改变分子（分母）放缩法、拆补放缩法、编组放缩法、寻找“中介量”放缩法．例10：设n 为自然数，求证：135212462n n -< 证明：设135212462n p n -=，则 ()()22222222211352462n p n -=()()222222222113521416121n n -<---- ()()()2222211351335572121n n n -=-+ 121n =+p ∴<即135212462n n -<． 注：放缩要适当，放大了或者缩小了都会直接影响问题的证明．2．1．9 调整法[3]调整法常用于处理有多个变量的不等式问题．它的具体做法是：先暂时固定某些变量，而考察个别变量的变化结果，然后再确定整个问题的结果．例11：设,,A B C ABC ∆是的三个内角，求证：sin sin sin 2A B C ++≤证明：若60A B C ===，显然有sin sin sin A B C ++=命题成立． 若,A B 不全相等，则必有一个角大于60，另一个角小于60，不妨设()111111,60,60,60,,,0,180A B C A C A C A C B B A B C ︒︒≥≥>>==+-=∈令则， 111180,A B C ︒++=且sin sin 2sin cos 22A C A C A C +-+= ()11120sin sin sin 60sin 602sin cos 22A C A C A C A C ︒++-+=++-= 注意到60,60A C ><，有12009022A C A C ︒︒+--≤<< 11120cos cos sin sin sin sin 22A C A C A C A C ︒-+-∴<+<+从而 这就表明，在保持三个角的和不变一条件下，通过对,A C 的局部调整，可以使相应的正弦和增大．经过第一次调整，如果111,,A B C 仍不全相等，即11,B C 不全等于60，不妨设1160B C >>，再令()21221122260,60,6060,,,0,180A A B C B C A B C ︒︒====+-=∈则，222180A B C ︒++=且()11sin sin sin sin 60B C B A C +=++-602sin 60cos2A C B ++-= 2sin 60<22sin sin B C =+111222sin sin sin sin sin sin A B C A B C ∴++<++这样，经过两次的调整，三个角,,A B C 都可调整为60．这时有11122233sin sin sin sin sin sin sin sin sin 3sin 60A B C A B C A B C ++<++<++== 2．1．10 构造法[2][4]在中学的数学竞赛题目中，经常碰到不等式的证明，特别有些技巧性强的题目，学生往往手足无措，难于下手．这时候采用构造法往往能达到意想不到的效果，构造是一种探索和创新，适当的构造可以准确快速地解决问题，也可以给学生带来耳目一新的解题感受，对于培养学生的解题技巧、思维能力．甚至开拓创新都大有脾益．构造法的基本数学思想，是通过构造中介性的辅助元素，沟通不等式的条件与结论的内在联系，使原题得以证出．构造的辅助元素是多种多样的，常用的有构造图形，构造函数，构造方程，构造等价命题，构造反例等．在此只介绍前三中构造法． 1、构造图形（用几何特性或区域讨论）：利用几何定理或借助几何图形可以直观地、简便地表达和解决问题．例12：求证重要不等式sin 02x x tgx x π⎛⎫<<<< ⎪⎝⎭证明：圆O 是半径为1的单位圆，OA 是圆O 的任一半径，作,AOC x ∠=过A 作OA的垂直线交OC 于B ，显然OAC OAB S S S ∆∆<<扇形OAC 即111sin 222x x tgx <<故原不等式成立．1、构造函数：我们知道由函数的单调性可以得到不等式．例如：如果函数()f x 在定义域内可导，且()'0f x ≥（或()'0f x ≤），则()f x 在定义域内是增（或减）函数．例13：设0x >，求证：()21ln 12x x x +>-．证明：令()()21ln 12f x x x x =+-+，则()2'1111x f x x x x=-+=++．显然，当1x >- 时，()'0f x >，这就表明()f x 在()1,-+∞内为增函数．因此，当0x >时，()()0f x f >．注意到()00f =，有()0f x >．()21ln 102x x x +-+>()21ln 12x x x ∴+>-． 3、构造方程（利用一元二次方程的判别式）：二次不等式的证明，有时可转化为二次方程的判别式来解决．例14：求证)sec 0,a btg a b θθθ-≥>>为锐角 证明：设sec y a btg θθ=- θ为锐角y btg θθ∴=>且y 0有y+btg ()2222220a b tg btg a y θθ∴--+-=θ为锐角，()()222222440tg R b y a y a b θ+∈∴∆=---≥y y ∴≥≤故sec a btg θθ-≥注：证明二次不等式时，可如同把二次不等式的求解转化为二次函数图象的讨论一样，也可以应用更一般的二次曲线来证明更广泛的不等式问题，或者利用不等式所表示的平面区域来讨论以达到证明的目的．4、构造多项式某些不等式所含的字母较多，直接推证难下手，可以联想多项式的展开式． 例15：,,a b c 都是小于k 的正数，求证：()()()2a k b b k c c k a k -+-+-<． 证明：要证明原不等式，即证：2k -[a(k-b)+b(k-c)+c(k-a)]>0， ()22k -[a(k-b)+b(k-c)+c(k-a)]=k a b c k ab bc ac -+++++此式所含字母较多，直接推证难于下手，观察此式特点，联想到多项式(k-a)(k-b)(k-c)的展开式为：32k -(a+b+c)k2+(ab+bc+ac)k-abc=k[k -(a+b+c)k+(ab+bc+ac)]-abc0<a<k,0<b<k,0<c<k; (k-a)(k-b)(k-c)>0∴2k[k -(a+b+c)k+(ab+bc+ac)]>abc>0∴ 2 k -(a+b+c)k+(ab+bc+ac)>0∴ 5、构造三角形例16：,,a b c 都是小于k 的正数，求证：()()()2a k b b k c c k a k -+-+-<．证明：由2a(k-b)+b(k-c)+c(k-a)<k 变形：2b(k-c) + 444联想到正三角形的面积，构造边长为k 的正ABC ∆，在,,AC BC AB 上分别取点,,M N P ；使,,AM a CN c BP b ===．则ABC AMP CMN BPN S S S S ∆∆∆∆>++即：2111sin 60sin 60sin 604222k AM AP CM CN BP BN >++()()()2k b k c k a >-+-+- 即：2k > a(k-b)+b(k-c)+c(k-a)．注：从以上题目的分析和证明过程可以看出，分析不等式的结构特点，联想与之相关的几何关系，构造适当的图形，将不等式的关系转化为所构造的图形的线段关系或面积关系．从而化复杂为简单，化抽象为直观，对解题起到事半功倍的效果，培养学生数形结合的思想，进一步提高学生探索与创新的能力．2．1．11 标准化法[2][4]形如n n x x x x x x f sin sin sin ),,,(2121 =的函数，其中π≤<i x 0，且n x x x +++ 21为常数，则当i x 的值之间越接近时，),,,(21n x x x f 的值越大（或不变）；当n x x x === 21时，),,,(21n x x x f 取最大值，即nx x x x x x x x x f nnn n +++≤= 212121sin sin sin sin ),,,(．标准化定理：当A+B 为常数时，有2sin sin sin 2A BA B +≤． 例17、设A ，B ，C 为三角形的三内角，求证：812sin 2sin 2sin ≤C B A ． 证明：由标准化定理得，当A=B=C 时，212sin 2sin 2sin===C B A ，取最大值81，故812sin 2sin 2sin≤C B A ． 2．1．12分解法[2][4]按照一定的法则，把一个数或式分解为几个数或式，使复杂问题转化为简单易解的基本问题，以便分而治之，各个击破，从而达到证明不等式的目的．例18、2≥n ，且N n ∈，求证：)11(131211-+>++++n n n n． 证明：因为⎪⎭⎫⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+++++11131121)11(131211n n n 3413412212323n n n n n n n n n++=++++>=+ 所以)11(131211-+>++++n n n n． 2．1．13 利用已知的不等式证明[1][16]已知不等式的运用，从学习过程和掌握知识的层次上看，可以分为五个层次：套着用、凑着用、逆着用、变着用和横着用．每个公式均可作各种变化，为了能在更广阔的背景中运用公式，就需要对公式本身进行各种变形、产生各种不同形式的新公式，同时还应注意它在其它分科中的应用，开拓应用的范围．例19：求证()13521n n n -<．证明：由),0a b a b +≥≥得()214ab a b ≤+ ()()211211214n n ∴-≤+- ()()213233234n n -≤+- ………… ()()212332334n n -≤-+ ()()212112114n n -≤-+ 两边分别相乘得到 ()221321nn n -≤⎡⎤⎣⎦两边开方便得证．注：这个例题的证明完全是借助于基本不等式a b +≥的变形，同时利用了需证明不等式的左边任一乘积均能找到另一乘积项，两者之和为恒定常数． 2．1．14 利用坐标和解析性[4]通过直角坐标系建立平面上每个点与一对有序实数之间的一一对应关系，从而把曲线与方程联系起来的数的问题．例20：设,,a b c 为三角形的三边，S为面积，求证222a b c ++≥证明：建立直角坐标系设A 、B 、C 三点坐标分别为()()(),0,,0,,A m B m C p q -，则三边的关系式为：()2222222a p m q p q m pm =-+=++- ()2222222b p m q p q m pm =++=+++224c m =222222226a b c p q m ∴++=+ 而()011101221ABCm S m mq mq mq p q ∆-⎛⎫ ⎪==+= ⎪ ⎪⎝⎭()22222222226220a b c p q m p q ∴++-=++-=+≥ 故不等式成立． 2．1．15 利用复数证明[4]复数及其模的性质1212z z z z +≤+可作为不等式证明的尝试． 例21=令 ()()122,13z x i z x i =-+=-+ 则1214z z i +=-+=12z z ==而1212z z z z +≤+，故原不等式成立． 2．1．16 参数法[4][16]原理：取参数时，使各未知量的数字部分取A 与未知量个数的商An，而参数中全部字母部分的和为零．例22：若1,x y z ++=求证22213x y z ++≥．证明：令12,3111,333x t y t z t =+=+=+，其中123,,t t t 为实数，且1230t t t ++= 则222222123111333x y z t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭222112233121212939393t t t t t t =++++++++ ()22212312312033t t t t t t =++++++≥ 22213x y z ∴++≥，当13x y z ===时取等号．2．1．17 利用概率证明[11]例23：已知0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求证4sin 2214x x π+≥⎛⎫++ ⎪⎝⎭ 证明：设两独立事件A 和B ，且()()s i n ,c o s p A x p Bx==，则()()()()s i n c o s s i n c o s 1p A B p A p B p A B x x x x +=+-=+-≤， 即2sin cos 1sin cos x x x x +≥++12sin 2124x x π⎛⎫∴+≥++ ⎪⎝⎭ 而0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦sin 0,cos 0x x ∴≥≥则4sin 2214xx π+≥⎛⎫++ ⎪⎝⎭． 从以上的证明来看，通过运用概率方法构造一个适当的概率事件去证明不等式，比运用代数方法证明要简单明了．此法无论是对初等数学还是对高等数学，都有一定的实用价值，它使数学的不同分支之间架起了桥梁．不过利用概率证明不等式要牵涉到比较多的数学知识，方法比较灵活． 2．1．18 利用向量证明[12]目前大家主要重视向量与三角函数、平面几何、解析几何的“交汇”，而对向量证明代数不等式重视不够，缺少系统的研究．在此本人总结了3种常见的利用向量证明代数不等式的方法．1、利用向量的几何特征构建不等式关系：例24：设{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 是其前n 项和，求证：。
定积分中柯西不等式公式定理证明定积分中柯西不等式公式定理证明这事儿，说起来还真有点意思。
咱先来说说啥是柯西不等式。
柯西不等式啊，就像是数学世界里的一个神秘法宝，它的表达式是：(∫[a,b] f(x)g(x)dx)^2 ≤ (∫[a,b] f^2(x)dx) (∫[a,b] g^2(x)dx) 。
这看起来有点复杂，是吧？但别怕，咱们一步步来拆解它。
我给您举个例子哈。
假设咱们有两个函数 f(x) = x 和 g(x) = 2x ，在区间 [0, 1] 上。
那咱们先来算算∫[0,1] f(x)g(x)dx ，这其实就是∫[0,1]2x^2 dx ，算出来结果是 2/3 。
再算算∫[0,1] f^2(x)dx ，就是∫[0,1] x^2dx ，结果是 1/3 ；然后∫[0,1] g^2(x)dx ，也就是∫[0,1] 4x^2 dx ，结果是4/3 。
您瞅瞅，(2/3)^2 确实小于等于 (1/3)×(4/3) ，这不就验证了柯西不等式嘛。
那为啥柯西不等式在定积分里这么重要呢？这就好比您盖房子，柯西不等式就是那根能保证房子稳固的大梁。
它能帮我们解决好多问题，比如说判断函数的一些性质，或者在优化问题里找到最优解。
有一次我给学生们讲这个的时候，有个学生就特别迷糊，怎么都理解不了。
我就跟他说：“你就把柯西不等式想象成两个跑步的人，f(x)和 g(x) ，他们在同一段路上跑，跑的速度和路程有一定的关系，柯西不等式就是告诉咱们他们之间这种关系的规则。
” 这孩子听完，眼睛突然一亮，好像有点开窍了。
接下来咱们看看怎么证明柯西不等式。
证明它的方法有好几种，咱们就说一种常见的吧。
假设 f(x) 和 g(x) 在区间 [a,b] 上是连续的，咱们构造一个函数 F(t) = ∫[a,b] (f(x) + tg(x))^2 dx ，这里的 t 是个实数。
把这个式子展开，F(t) = ∫[a,b] f^2(x)dx + 2t∫[a,b] f(x)g(x)dx + t^2∫[a,b] g^2(x)dx 。
定积分不等式及其最佳常数的两种证明方法定积分不等式指的是如下形式的不等式：$\left(\int_{a}^{b} f(x)g(x) dx\right)^2 \leq \int_{a}^{b} f(x)^2 dx \int_{a}^{b} g(x)^2 dx$其中，$f(x)$ 和$g(x)$ 是$[a,b]$ 区间上的可积函数。
这个不等式在数学分析、物理学、经济学等领域都有广泛的应用。
下面介绍两种证明方法：方法一：使用柯西-施瓦茨不等式定积分不等式可以通过柯西-施瓦茨不等式来证明。
具体地，考虑如下积分：$\int_{a}^{b} \left[f(x) - \frac{\int_{a}^{b} f(x)g(x) dx}{\int_{a}^{b} g(x)^2 dx} g(x)\right]^2 dx$其中，$f(x)$ 和$g(x)$ 是$[a,b]$ 区间上的可积函数。
这个积分可以表示为：$\int_{a}^{b} \left[f(x)^2 -2f(x) \frac{\int_{a}^{b} f(x)g(x) dx}{\int_{a}^{b} g(x)^2 dx}g(x) + \left(\frac{\int_{a}^{b} f(x)g(x) dx}{\int_{a}^{b} g(x)^2 dx}\right)^2 g(x)^2 \right] dx$对于第二项，由于柯西-施瓦茨不等式，有：$\int_{a}^{b} 2f(x) \frac{\int_{a}^{b} f(x)g(x) dx}{\int_{a}^{b} g(x)^2 dx}g(x) dx \leq 2\sqrt{\int_{a}^{b} f(x)^2 dx \int_{a}^{b} g(x)^2 dx}$对于第三项，由于$\int_{a}^{b} g(x)^2 dx > 0$，所以它是非负的。
因此，将这三个积分的结果加起来，得到：$\int_{a}^{b} \left[f(x) - \frac{\int_{a}^{b} f(x)g(x) dx}{\int_{a}^{b} g(x)^2 dx}\right]^2 dx \geq 0$展开后即可得到定积分不等式。
