不定积分练习题(竞赛辅导)

不定积分（Ａ）１、求下列不定积分１）⎰2xdx２）⎰xxdx2３）dxx⎰-2)2(４）dxxx⎰+221５）⎰⋅-⋅dxxxx32532６）dxxxx⎰22sincos2cos７）dxxe x)32(⎰+８）dxxxx)11(2⎰-２、求下列不定积分（第一换元法）１）dxx⎰-3)23(２）⎰-332xdx３）dttt⎰sin４）⎰)ln(lnln xxxdx５）⎰xxdxsincos６）⎰-+xx eedx７）dxxx)cos(2⎰８）dxxx⎰-4313９）dxxx⎰3cossin10）dxxx⎰--249111）⎰-122xdx12）dxx⎰3cos13)⎰xdxx3cos2sin14)⎰xdxx sectan315)dxxx⎰+23916)dxxx⎰+22sin4cos3117)dxxx⎰-2arccos211018)dxxxx⎰+)1(arctan3、求下列不定积分（第二换元法）１）dxxx⎰+211２）dxx⎰sin３）dxxx⎰-42４）⎰>-)0(,222adxxax５）⎰+32)1(xdx６）⎰+xdx21７）⎰-+21xxdx８）⎰-+211xdx４、求下列不定积分（分部积分法）１）inxdxxs⎰２）⎰xdxarcsin３）⎰xdxx ln2４）dxxe x⎰-2sin2５）⎰xdxx arctan2６）⎰xdxx cos2７）⎰xdx2ln８）dxxx2cos22⎰５、求下列不定积分（有理函数积分）１）dx xx⎰+33２）⎰-++dxxxx1033223）⎰+)1(2xxdx（Ｂ）1、一曲线通过点)3,(2e，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的方程。

2、已知一个函数)(xF的导函数为211x-，且当1=x时函数值为π23，试求此函数。

3、证明：若⎰+=c x F dx x f )()(，则)0(,)(1)(≠++=+⎰a cb ax F a dx b ax f 。

第四单元 不定积分一、填空题1、⎰dx x x =___________。

2、⎰x xdx 2=_____________。

3、⎰+-dx x x )23(2=_____________。

4、⎰-dx x x x sin cos 2cos =___________。

5、⎰+x dx 2cos 1=____________。

6、dt t t ⎰sin =___________。

7、⎰xdx x sin =___________。

8、⎰xdx arctan =__________。

9、=+⎰dx x x 2sin 12sin ____________。

10、⎰=''dx x f x )(____________。

11、⎰=++dx x x 1)3(1________________。

12、⎰=++__________522x x dx 。

二、单项选择1、对于不定积分()dx x f ⎰，下列等式中（ ）是正确的.（A ）()()x f dx x f d =⎰； （B ） ()()x f dx x f ='⎰； （C ） ()()x f x df =⎰； （D ） ()()x f dx x f dx d =⎰。

2、函数()x f 在()+∞∞-,上连续，则()[]dx x f d ⎰等于（ ）（A ）()x f ； （B ）()dx x f ； （C ）()C x f + ； （D ）()dx x f '。

3、若()x F 和()x G 都是()x f 的原函数，则（ ）（A ）()()0=-x G x F ； （B ）()()0=+x G x F ；（C ）()()C x G x F =-(常数)； （D ）()()C x G x F =＋(常数)。

4、若⎰+='c x dx x f 33)(，则=)(x f （ ）（A ）c x +3556；（B ）c x +3559；（C ）c x +3；（D ）c x +。

不定积分的习题及答案不定积分的习题及答案数学作为一门精确的科学，无论在理论还是实践中都扮演着重要的角色。

而在数学中，不定积分是一个重要的概念，它与求导密切相关，被广泛应用于微积分、物理学等领域。

本文将围绕不定积分展开，介绍一些相关的习题及答案。

1. 求解以下不定积分：a. ∫(3x^2 + 2x - 1) dx解答：根据不定积分的性质，我们可以将该积分拆分成三个部分：∫(3x^2) dx + ∫(2x) dx - ∫(1) dx对于每个部分，我们可以利用不定积分的基本公式进行求解：∫(3x^2) dx = x^3 + C1∫(2x) dx = x^2 + C2∫(1) dx = x + C3因此，原积分的解为：x^3 + C1 + x^2 + C2 - x + C3，其中C1、C2、C3为常数。

b. ∫(e^x + 1/x) dx解答：对于第一部分∫(e^x) dx，我们可以利用指数函数的不定积分公式进行求解，即e^x + C1。

对于第二部分∫(1/x) dx，我们可以利用对数函数的不定积分公式进行求解，即ln|x| + C2。

因此，原积分的解为：e^x + ln|x| + C1 + C2，其中C1、C2为常数。

2. 求解以下不定积分：a. ∫(2sinx + 3cosx) dx解答：对于第一部分∫(2sinx) dx，我们可以利用正弦函数的不定积分公式进行求解，即-2cosx + C1。

对于第二部分∫(3cosx) dx，我们可以利用余弦函数的不定积分公式进行求解，即3sinx + C2。

因此，原积分的解为：-2cosx + 3sinx + C1 + C2，其中C1、C2为常数。

b. ∫(x^3 + 2x^2 + 3x + 4) dx解答：根据不定积分的性质，我们可以将该积分拆分成四个部分：∫(x^3) dx + ∫(2x^2) dx + ∫(3x) dx + ∫(4) dx对于每个部分，我们可以利用不定积分的基本公式进行求解：∫(x^3) dx = (1/4)x^4 + C1∫(2x^2) dx = (2/3)x^3 + C2∫(3x) dx = (3/2)x^2 + C3∫(4) dx = 4x + C4因此，原积分的解为：(1/4)x^4 + (2/3)x^3 + (3/2)x^2 + 4x + C1 + C2 + C3 + C4，其中C1、C2、C3、C4为常数。

高等数学竞赛题库.不定积分与定积分高等数学竞赛 不定积分不定积分的概念与性质 1、设)10(tan 2cos )(sin22<<+='x x x x f ，求)(x f2、设x x f +='1)(ln ，求)(x f3、已知]1)([)(-'=-'x f x x f ，试求函数)(x f 利用基本积分法求不定积分 一、 利用凑微分法求不定积分 1、 求下列不定分;(1)⎰+dx x x x cos sin 12cos （2）⎰++dxx x5212（3）⎰+xx dx22cos 2sin（4）⎰+-dxx x xx 5)sin (cos cos sin2、求下列不定积分 （1）⎰+++dxe x x e x x xx)13()(22（2）⎰+dxx x x )1(ln )ln (23（3）dxx x ⎰+211arctan （4）⎰+-dxxe x xx x )cos 1(cos sin cos sin 2 （5）⎰++dxx x x x x )ln 1(ln 2ln 2二、利用第二换元积分法求不定积分 1、三角代换求下列积分 （1）⎰-+221)1(xx xdx （2）⎰+2323)1(x dx x （3）dx xx ⎰-229（4）⎰-+211xdx2、倒代换（即令t x 1=）求下列积分 （1）)0(222>+⎰a x a x dx （2）⎰+)2(7x x dx3、指数代换（令,t a x=则tdt a dx ⋅=ln 1） （1）⎰++xx x dx4212 （2）⎰+++6321x x xee e dx4、利用分部积分法求不定积分 （1）⎰+dxe x x 22)1( （2）⎰++xdxx x2cos )52(3（3）⎰xdx x arccos 2 （4）⎰dxx x 23)(ln（5）⎰xdxex cos5、建立下列不定积分的递推公式 （1）⎰+=dx a xI nn)(122（2）⎰=xdxI nntan有理函数的积分 1、求下列不定积分 （1）⎰+++dxx xx 3422（2）⎰-2)1(x x dx （3）⎰++)1)(21(2x x dx2、求下列不定积分 （1）⎰+)2(10x x dx（2）⎰+-dxx x n n 112 （3）⎰-+dxx x 1003)1(12 （4）⎰+x x dx x 3811简单无理函数积分 1、dxxx ⎰+31 2、dxx x x x ⎰+++1)1(三角有理式积分 1、⎰+dxx sin 1 2、⎰dx x 3sin 13、⎰+dx xxsin 1sin 4、⎰++dx x x x cos 1sin 5、⎰xdx x x 3cos 2cos 4sin 6、⎰xdx x 65cos sin含有反三角函数的不定积分 1、⎰+xdxx x arctan 1222、⎰-dxx x 32)1(arccos抽象函数的不定积分 1、⎰⎭⎬⎫⎩⎨⎧'''-'dx x f x f x f x f x f 32)]([)()()()( 2、dxx f x x f ⎰')(ln )(ln分段函数的不定积分 例如：设⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤+<=1,2;10,1;0,1)(x x x x x x f 求⎰dx x f )(.高等数学竞赛 定积分比较定积分大小1、 比较定积分⎰21ln xdx 和⎰212)(ln dxx 的大小2、 比较定积分⎰+10)1ln(dx x 和⎰+11arctan dx xx的大小 利用积分估值定理解题 一、估值问题 1、试估计定积分⎰+4542)sin 1(ππdxx 的值2、试估计定积分⎰333arctan xdxx 的值二、不等式证明 1、证明不等式：edx ex ≤≤⎰10212、证明不等式：⎰-≤+≤1143812dx x三、求极限 1、⎰+∞>-21021lim dx x x nn 2、dxe e x x xn n ⎰+∞>-101lim关于积分上限函数及牛顿-莱布尼兹公式问题 1、求下列导数： （1）⎰+=3241)(x x tdt x F ；（2）由方程⎰⎰=+yx t dt tt dt e 0221sin 确定的隐函数)(x f y =的导数dxdy 2、设)(x f 在),0[+∞上连续且满足⎰+=)1(02)(x x xdt t f ，求)2(f3、设)(x f 为关于x 的连续函数，且满足方程⎰⎰+++=11816298)()(x x Cx x dt t f t dt t f ，求)(x f 及常数C .4、求下列极限： （1）xx t x ex tdt te 62sin lim ⎰>- （2）2520)cos 1(lim xdt t xx ⎰-+>-5、设)(x f 是连续函数，且⎰+=1)(2)(dtt f x x f ，求)(x f .6、已知8)()(80='⎰dx x f x f 且0)0(=f ，求⎰2)(dxx f 及)(x f定积分的计算一、分段函数的定积分 1、设;,2,20,)(⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤≤=l x l c l x kx x f 求⎰=Φxdtt f x 0)()(2、求定积分⎰-222),max (dxx x二、被积函数带有绝对值符号的积分 1、求下列定积分：（1）⎰eedx x 1ln （2）⎰-1dt x t t 2、求定积分⎰--223cos cos ππdxx x 的值三、对称区间上的积分 1、设)(x f 在],[a a -上连续，计算⎰-++1132)cos 1sin (dxx xx x2、设)(x f 在),(+∞-∞上连续，且对任何yx ,有)()()(y f x f y x f +=+，计算⎰-+112)()1(dx x f x3、计算积分⎰--+=4421sin ππdxe x I x4、设)(),(x g x f 在区间)0](,[>-a a a 上连续，)(x g 为偶函数，且)(x f 满足条件A x f x f =-+)()(（A 为常数）. （1）证明：⎰⎰-=aaadx x g A dx x g x f 0)()()((2) 利用（1）的结论计算定积分⎰-22arctan sin ππdxe x x四、换元积分法 1、求下列定积分： （1）⎰-2141)1(arcsin dxx x x （2）⎰--2ln 021dxex（3）dxxx xx ⎰---21010cos sin 4cos sin π五、分部积分1、设)(x f 有一个原函数为xx sin ，求⎰'ππ2)(dxx f x2、⎰+301arcsin dx xx x3、⎰-+102)2()1ln(dx x x 积分等式的证明一、换元法（适用于被积函数或其主要部分仅给出连续条件）1、若函数)(x f 连续，证明： （1）⎰⎰=2023)(21)(a a dxx xf dx x f x（2）dxx a b a f a b dx x f ba⎰⎰-+-=10])([)()(（3）⎰⎰+=+x x dxx dx x 1121211112、设)(x f 连续，求证dxx f dx x xf ⎰⎰=πππ)(sin 2)(sin ，并计算⎰+π023cos 1sin dxxx x3、设)(x f 连续，且关于T x =对称，b T a <<，z 证明： ⎰⎰⎰-+=babTbT adx x f dx x f dx x f 2)()(2)(（提示：)(x f 关于T 对称，即)()(x T f x T f -=+） 二、分部积分法（适用于被积函数中含有)(x f '或变上限积分的命题）例：设)(x f '连续，⎰-'=x dt t a f t f x F 0)2()()(，证明： )2()0()()(2)2(2a f f a f a F a F -=-三、构造辅助函数法（适用于证明在积分限中至少存在一点ξ或0x 使等式成立的命题）解题思路：（1）将ξ或0x 改成x ，移项使等式一端为零，则另一端即为所作的辅助函数)(x F 或)(x F '。

不定积分练习题211sin )_________2x dx -=⎰一、选择题、填空题：、（ 22()(ln )_______x e f x x f x dx =⎰、若是的原函数，则：3sin(ln )______x dx =⎰、2224()(tan )sec _________;5(1,1)________;6'()(),'()_________;1()7(),_________;18()arcsin ,______()x x xe f x f x xdx dxy x xF x f x f ax b dx f e f x dx c dx x exf x dx x c dx f x --===+==+==+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰、已知是的一个原函数，则、在积分曲线族中，过点的积分曲线是、则、设则、设则____;9'(ln )1,()________;10()(,)(,)()______;()()()()11()sin sin ,()______;12'()(),'()(),()_____()()()()()(f x x f x f x a b a b f x A B C D xf x dx x x xdx f x F x f x x f x f x dx A F x B x C x κϕϕ=+==-====⎰⎰⎰、则、若在内连续，则在内必有导函数必有原函数必有界必有极限、若则、若则)()()()c D F x x cϕ+++13()[()]()()[()]()()()()()()()dA d f x dx f xB f x dx f x dxC df x f xD df x f x cdx====+⎰⎰⎰⎰、下列各式中正确的是：(ln )14(),_______11()()ln ()()ln x f x f x e dx xA cB x cC cD x cxx-==++-+-+⎰、设则：115______(1)dx x x =-⎰、1()arcsin ()arcsin ()2arcsin(21)()arcsin(21)2A x cB x cC x cD x c ++-+-+16()[,][,]()()()()()()()()'()f x a b a b A f x B f x C f x D f x f x 、若在上的某原函数为零，则在上必有____的原函数恒等于零；的不定积分恒等于零；恒等于零；不恒等于零,但导函数恒为零。

省高数竞赛学生报名网址：/mathcpt/第一讲 不定积分例1. 求下列不定积分 （1）⎰+dx e x e x（2）⎰--dx e x x x 22)1(（3）⎰++⋅+dx e x x e x x x x )13()(22 例2.（1）dx e x x xx x ⎰⋅+-)cos 1(cos sin cos sin 2（2）⎰--dx x x x2)ln (ln 1例3. （1）⎰+)2(7x x dx（2）⎰++232)1(x x dx例4.（1）⎰++xx x dx4212（2）⎰+++6321x x x ee e dx例5. （1）dx e xx x⎰++cos 1sin 1 （2）⎰++dx x e x x2)2()1( （3）⎰+dx x e x x22)2( 例6. 设⎰+=C x dx x xf arcsin )(，则⎰=)(x f dx____________ 例7. （1）6532+-+x x x（2）2)1(1-x x（3）)1)(21(12x x ++例8. (1) dx x x x x x x ⎰++--++)22()1(3612332 (2) ⎰+dx x x 91例9.（1）⎰-+dx x x 1003)1(12 （2） ⎰++dx x x x 234811例10. ⎰+++dx x x 3111例11. ⎰++3cos sin 2x x dx例12.（1）⎰x x dx53cos sin（2）⎰+dx x sin 1例13. （1）⎰+dx x xsin 1sin （2）⎰++dx xxx cos 1sin例14. （1）dx x x x ⎰3cos 2cos 4sin （2）⎰xdx x 42cos sin例15. （1）⎰+xdx x x arctan 122（2）⎰dx ee arc xxcot例16. dx x f x f x f x f x f ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡'''-')()()()()(32例17. ⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤+<=121011)(x x x x x x f 求⎰dx x f )(第二讲 定积分例1. ],[)(b a C t g ∈，⎰=xa dt t g x f )()(，证明：至少],[b a ∈∃ξ，使)()(ξg ab b f =-. 例2. （1）⎰-aa dx xa x 2422 （2）⎰--2ln 021dx e x（3）⎰---201010cos sin 4cos sin πdx xx xx例3. 估值（1）⎰333arctan xdx x （2）⎰+--13224xx x dx例4. 求导数 （1）由方程1sin 220=+⎰⎰x yt dt tt dt e ，确定y 为x 的函数，求dx dy（2）⎰-=x dt t x f x F 0)()(例5. 设当0>x 时，)(x f 可导，且满足)0()(11)(1>+=⎰x dt t f xx f x，求)(x f例6. )(x f 为连续函数，且⎰+=10)(2)(dt t f x x f ，则=)(x f ____________例7. 求极限（1）⎰-+∞→x t xx dt et xe 0222lim（2）xdt t x x ⎰∞→0sin lim例8. 求积分（1）⎰-20)1(dx x f ，其中⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=+0110)(11x e x x f x x ，例9.（1）⎰-10dt x t t ， （2）b a dx x ba <⎰,例10. ⎰--=x a y a y dy e x f 0)2()(，求⎰adx x f 0)(例11. （1）)(x f 在),(∞+-∞上连续，且x ∀，有)()()(y f x f y x f +=+，求⎰-+112)()1(dx x f x（2）⎰--+=4421sin ππdx e xI x例12. （1）⎰++--42)3ln()9ln()9ln(dx x x x（2）dx e e e I xx x⎰+=20cos sin sin π例13. （1） ⎰+=π023c o s 1s i n dx xxx I （2）⎰+40)tan 1ln(πdx x例14. 已知A dx x x =+⎰π02)2(cos ，求⎰+201cos sin πdx x x x例15. )(x f 是连续函数，证明：（1）⎰⎰=20023)(21)(a a dx x xf dx x f x（2）dx x f dx x f ⎰⎰=2020)cos (4)cos (ππ（3）⎰⎰⎰++=+1001)(ln )()1(ln)(ln dt t f dt t f t f dt t x f x（4）设n 为正整数，证：⎰⎰=2020cos 21sin cos ππxdx xdx x n nnn例17. 若)(x f 连续，则⎰⎰⎰-=xxudu u f u x du dt t f 000)()(])([.例18. )(),(x g x f 在],[b a 上连续，证：至少),(b a ∈∃ξ，使得⎰⎰=ξξξξabdx x f g dx x g f )()()()(例19. ],[)(b a C x f ∈，证明：⎰⎰-≤b a ba dx x f ab dx x f )()())((22例20. ],[)(b a C x f ∈，且严格单调增，证：⎰⎰<+ba b a dx x xf dx x f b a )(2)()(.例21. )(x f 在],[b a 上可导，且0)(,)(=≤'a f M x f ，证：2)(2)(a b Mdx x f ba -≤⎰例22. 设)(x f 在],[b a 上不恒等于零，且其导数)(x f '连续，且有0)()(==b f a f ，证：],[b a ∈∃ξ，使⎰-≥'b adx x f a b f )()(4)(2ξ例23. 在],0[a 上，0)(>''x f ，证)2()(0aaf dx x f a ≥⎰例24. )(x f '在],0[a 连续，且0)0(=f ，证2)(2Ma dx x f a≤⎰，其中，)(max 0x f M ax '=≤≤.反常积分 例1. （1）⎰∞++02)1(1dx e x （2）⎰∞+∞-++942x x dx（3）⎰∞++022)1(ln dx x x x （4）⎰-e dx x x 12)(ln 11 例2. ⎰∞++03)1(x x dx定积分应用例1. 求由曲线x x y e x xx y axa 21)(,1lim)(221=-+=+∞→，及1=x 所围图形的面积。

不定积分练习题(一)1.不定积分：⎰=_____xxdx 22.不定积分：dx x ⎰-2)2(=______3.不定积分： dx x x x )11(2⎰-=_______ 4.不定积分：dx x ⎰-2)2(=__________5.不定积分：dx xe x )32(⎰+=_______6.一曲线通过点)3,e (2，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，则该曲线的方程为____________________7.已知一个函数)x (F 的导函数为2x 11-，且当1x =时函数值为π23，则此函数为_______________8.=+⎰x d )x 1 x ( ________9. 设1()f x x=，则()f x dx '=⎰ 10.如果x e -是函数()f x 的一个原函数，则()f x dx =⎰11. 设21()ln(31)6f x dx x c =-+⎰,则()f x = .12. 经过点(1,2),且其切线的斜率为2x 的曲线方程为 .13. 已知()21f x x '=+,且1x =时2y =,则()f x = .14. (103sin x x dx +=⎰ . 15. 222()a x dx +=⎰ . 16. 3(1x x dx -+=⎰ .1、，则设x d x1I 4⎰= I =（ ）c x3 1)D ( c x 3 1)C ( cx 3 1)B ( c x 4)A (3335++-+-+--- 2、222222的一个原函数为则，设 )x (fx 1 1)x (f 2-=( ) ()arcsin ()arctan A x B x x1 x 1 ln2 1)C (+- x 1x 1 ln 2 1)D (-+ 3、函数x 2 cosπ的一个原函数为 （ ） (A) x 2 sin2 ππ (B) x 2 sin 2 ππ- （C ）x 2 sin 2ππ (D) x2 sin 2ππ- 4、设f(x) 的一个原函数为F(x)， 则⎰=dx )x 2(f （ ）(A) F(2x)+ C (B) F(2 x )+ C (C) C )x 2(F 2 1+ (D) 2F(2 x )+ C 5.设3()ln sin 44f x dx x C =+⎰，则()f x =（ ）A. cot 4xB. cot 4x -C. 3cos 4xD. 3cot 4x6. 若()f x 为可导、可积函数，则（ ）A. ()()f x dx f x '⎡⎤=⎣⎦⎰ B. ()()d f x dx f x ⎡⎤=⎣⎦⎰C. ()()f x dx f x '=⎰D. ()()df x f x =⎰7. 设C F(x) dx )x (f +=⎰ ，则 =⎰dx )cosx ( f sinx （ ）(A)C )sinx ( F + (B) C )sinx ( F +- (C) C )cosx ( F +- (D) sin x ( cosx ) C F + 8.设()F x 是()f x 在(),-∞+∞上的一个原函数,且()F x 为奇函数,则()f x 是 ( ) A ．偶函数 B ． 奇函数 C ． 非奇非偶函数 D ．不能确定9.已知()f x 的一个原函数为cos x ,()g x 的一个原函数为2x ,则()f g x ⎡⎤⎣⎦的一个原函数为 ( ) A ．2x B ． 2cos x C ． 2cos x D ．cos x 10.设2x e -是()f x 的一个原函数,则()02()limx f x x f x x∆→-∆-=∆ ( )A ．22x e -B ．-28x e -C ．22x e --D ．24x e - 11. 21(),()1f x f x x=-设则的一个原函数为 ()arcsin ()arctan 1111()ln ()ln 2121A x B x x x C D x x -+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭不定积分练习题(二)1.=⎰x d x tan 2__________．2.x d 1x1x 3x 3224⎰+++＝ ． 3.⎰+)x 1 ( x dx2 = ______________________________．4. dx e 1 1x ⎰-+= 5.=⎰dx x 2cos x12 ．6.设 )x (f 的一个原函数 xx sin 为，则 =⎰dx )x (f ．7.设 )x (f 的一个原函数为 ln x ， 则⎰+dx )x 21(f ______________．8.设)x (f 的一个原函数为 lnx , 则=')x (f _______________． 9.，的一个原函数为若x ln x )x (f =)x (f 则______ _______．1. =+-=⎰I x d 1e1e I xx ，则设（ ） c )1e ( ln )B ( c )1e ( ln )A (x x +++- c x )1e ( ln 2)C (x +-+ c )1e ( ln x 3x )D (x ++-　2. 设f(x)的一个原函数是F(x) ，则⎰+dx )b ax (f ＝（ ） (A) F(ax ＋b)＋c (B) aF(ax+b)+c (C)b ax )b ax (F +++c (D)a 1F(ax+b)+c3. =-+=⎰⎰dx )x 1 ( f x c x sin dx )x (f 2，则若（ ）(A)c )x 1 ( sin 22+- (B)c )x 1 ( sin 22+--(C) c )x 1 ( sin 2 12+- (D) c )x 1 ( sin2 12+-- 4.不定积分：21( 1 ) cos d sinx x x +=⎰ （ ） (A) C x sin 1x +-(B) Cx sin 1x ++ (C) C x sin 1x sin +-(D) Cx sin 1x sin ++ 5. 不定积分：⎰=x x de e sin （ ）(A) C e cos x + (B) C e cos x +- (C) C e arccosx + (D) C e arccos x +- 6. 不定积分：⎰+e 1 dxx＝（ ） (A)c e 1 ln x ++）（ (B) c e 1 ln x++-）（ (C) ce 1 e ln x x ++ (D)c e 1 1 ln x ++ 7. 设x 2 tan k )x (f = 的一个原函数是) x 2 cos ( ln32 ，则常数 =k （ ）(A) 3 2 - (B) 3 2 (C) 34 - (D) 3 41.⎰++dx )1x 2sin( )1x 2(cos 2求．2.求不定积分 4(1)xdx x +⎰．3.求不定积分dx)x 1( x3⎰-．不定积分练习题(三)1. 2x xe dx -=⎰( ).(a) x e c -+, (b)212x e c -+, (c)212x e c --+, (d) 2x e c --+.2. 2x e dx ⎰=( )(a) 2x e c +, (b) 212x e c +, (c) 2x e , (d) 212x e .3. 221(2)dx x =+⎰( )(a) arctan 2x c +, (b) arctan 2x , (c) arcsin 2x , (d) arcsin 2x c +. 4. 22sec 2xdx =⎰( )(a)tan 2x c +, (b) tan 2x , (c) tan x , (d) tan x c +.5.(1)n x dx +=⎰ .6. cos(34)x dx +=⎰ .7.= . 8. x e dx -=⎰ .9.1sin 2xdx ⎰= . 10.(2)x x dx -=⎰ . 11.2= . 12.12dx x =-⎰. 不定积分练习题(四)1. 设()xf x e -=,则()ln f x dx x'⎰=( )A ． 1x -c + B ． ln x c -+ C ． 1c x+ D ． ln x c + 2. 若()f x 的一个原函数为2ln x ,则()x f x dx '=⎰( )A ．2ln ln x x c -+B ．22ln ln x x c ++C ．22ln ln x x c -+D ．2ln ln x x c ++ 3. 设()()ln 1ln f x x x '=+,则()f x =( )A ．22xx xe c ++ B ．()212xx x e c -++ C ．22xx xe c -+ D ．()212xx x e c --+4. 2cos xdx x=⎰( ) A ． tan ln cos x x x c -+ B ． tan ln cos x x x c ++ C ． tan ln sin x x x c -+ D ． tan ln sin x x x c ++ 5. ()2211dx x x=+⎰ ( )A ．1arctan x c x ++ B ． 1arctan x c x -+ C ． 1arctan x c x --+ D ．1arctan x c x-++6. ,I I ==设则( )()arcsin;()arcsin n ()arcsin ;()arcsin x xA a cB a c a ax xC a cD ca a -- 7. ,I I ==设则( )22();()arctan ;(().A cB cC cD c -++8. ,x xdxI I e e-==+⎰设则( ) ()()arctan ;()arctan ;()x x x xxxA e e cB e cC e cD e e c ----+++++9.10(23),I x dx I =-=⎰设则( )991111()10(23);()20(23);11()(23);()(23).2211A x c B x c C x c D x c -+-+-+-+ 10. I I ==设则( ) ()2ln(1.(2ln(1.(2ln(1.()2ln(1.A cB cC cD c -+++-+11.1d ,1x xe I x I e -==+⎰设则( ) ()ln(1)()ln(1);()2ln(1);()2ln(1).x x xxA e cB e cC e x cD x e c -++++-+-++12. sin cos d ,I x x x I ==⎰设则( )2211()sin ;()cos ;2211()cos 2;()cos 244A x cB x cC x cD x c-+++-+ 13.求下列不定积分：dxx ⎰-3)23( ⎰-dxx32dx3dt tt ⎰sin⎰)ln(ln ln x x x dx ⎰x x dx sin cos ⎰-+x x e e dxdx x x )cos(2⎰ dx x x ⎰-4313 dx x x⎰3cos sin dx x x ⎰--2491 ⎰-122x dx dx x ⎰3cos ⎰xdx x 3cos 2sin ⎰xdx x sec tan 3dx x x ⎰+239 dx x x ⎰+22sin 4cos 31 dx x x⎰-2arccos 2110 dx x x x ⎰+)1(arctan dx xx ⎰+211 dxx ⎰sin ⎰+32)1(x dx⎰+x21dx inxdx xs ⎰ ⎰xdxarcsin⎰xdxx ln 2dx x e x⎰-2sin 2⎰xdx arctan x 2 ⎰xdx x cos 2 ⎰xdx 2ln dx x x 2cos 22⎰ ⎰-++dx x x x 103322 ⎰+)1(2x x dx⎰+dx xx211arctandx x ⎰-2sin 1 dx xa x x ⎰-2 ⎰+dx x xe x232arctan )1( ⎰+x x dx sin 2)2sin( ⎰-dx e xe x x1dx e e x x ⎰2arctan dx x x x x ⎰+cos sin cos sin 14. 设)(x f 的一个原函数为xxsin ，求⎰'dx x f x )(。

不定积分练习题
1. 求解以下不定积分：
（1）∫(3x^2 + 4x - 2)dx
（2）∫(2cosx - 3sinx)dx
（3）∫(5/x^2)dx
2. 解答：
（1）∫(3x^2 + 4x - 2)dx
对于多项式函数，可以使用基本积分公式进行求解。

按照幂次递减的顺序，对每一项分别积分：
∫(3x^2)dx = x^3 + C1 （其中C1为常数）
∫(4x)dx = 2x^2 + C2 （其中C2为常数）
∫(-2)dx = -2x + C3 （其中C3为常数）
将上述结果相加得：
∫(3x^2 + 4x - 2)dx = x^3 + 2x^2 - 2x + C （其中C为常数）
因此，不定积分为x^3 + 2x^2 - 2x + C。

（2）∫(2cosx - 3sinx)dx
对于三角函数的积分，可以利用三角函数的积分公式进行求解：∫(2cosx)dx = 2sinx + C1 （其中C1为常数）
∫(-3sinx)dx = 3cosx + C2 （其中C2为常数）
将上述结果相加得：
∫(2cosx - 3sinx)dx = 2sinx + 3cosx + C （其中C为常数）
因此，不定积分为2sinx + 3cosx + C。

（3）∫(5/x^2)dx
对于含有倒数的函数，可以使用倒数的积分公式进行求解：
∫(5/x^2)dx = -5/x + C （其中C为常数）
因此，不定积分为-5/x + C。

注意事项：以上解答仅供参考，具体的求解步骤和结果可能因题目表达不清等因素而有所不同。

在实际做题中，应根据具体题目表达和积分公式的使用条件来进行求解。

不定积分练习题及答案（最新）
不定积分公式及练习题
不定积分公式：∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c，其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数或积分常量，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行不定积分。

在微积分中，一个函数f的不定积分，或原函数，或反导数，是一个导数等于f的函数F，即F′=f。

不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。

其中F是f的不定积分。

求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C 就得到函数f(x)的不定积分。

1。