北京市通州区2015届高三模拟考试(一)数学理试题 Word版含答案

北京市西城区2015 年高三一模试卷数学（理科）2015.4本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1 至2 页，第Ⅱ卷3 至6 页，共150 分。

考试时长120 分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共40 分）一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

＝，则实数a的取值范围是（）1．设集合A ={0，1}，集合B ={x | x > a}，若A BA．a≤1 B．a≥1 C．a≥0 D．a≤02．复数z 满足z ⋅i = 3 − i，则在复平面内，复数z 对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．在极坐标系中，曲线ρ = 2cosθ 是（）A．过极点的直线B．半径为2 的圆C．半于极点对称的图形D．关于极轴对称的图形4．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为3，则输出的n 的值为（）A．4 B．5 C．6 D．75．设函数f (x)的定义域为R，则“∀x∈R，f (x +1) > f (x) ”是“函数f (x)为增函数”的( ) A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是( )7．已知6 枝玫瑰与3 枝康乃馨的价格之和大于24 元，而4 枝玫瑰与4 枝康乃馨的价格之和小于20 元，那么2 枝玫瑰和3 枝康乃馨的价格的比较结果学科网是( )A．2 枝玫瑰的价格高B．3 枝康乃馨的价格高C．价格相同D．不确定8．已知抛物线所围成的封闭曲线如图所示，给定点A(0，a)，若在此封闭曲线上恰有三对不同的点，满足每一对点关于点A 对称，则实数a 的取值范围是( )A．(1，3) B．(2，4) C．（32，3）D．（52，3）第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分.9．已知平面向量a , b满足a = (1, −1), (a + b) ⊥ (a −b),那么｜b｜＝.10．已知双曲线()222210x y a b a b=>>0－，的一个焦点是抛物线 y 2 = 8x 的焦点，且双曲线C 的离心率为2，那么双曲线C 的方程为 .11．在△ABC 中，角 A , B , C 所对的边分别为a , b , c ,若则a = .12．若数列a n 满足a 1 2，且对于任意的m , n ∈N ＊，都有m n m n a a a +=+, 则3a ；数列 a n 前10 项的和S 10 .13．某种产品的加工需要 A , B , C , D , E 五道工艺，其中 A 必须在D 的前面完成（不一定相 邻），其它工艺的顺序可以改变，但不能同时进行，为了节省加工时间， B 与C 必须相 邻，那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有 种. （用数字作答）14．如图，四面体 ABCD 的一条棱长为 x ，其余棱长均为 1，记四面体 ABCD 的体积为F x ，则函数F x 的单调增区间是 ；最大值为 .三、解答题：本大题共6 小题，共80 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤．15．（本小题满分13 分） 设函数（Ⅰ）当， 时，求函数 f (x )的值域；（Ⅱ）已知函数 y = f (x )的图象与直线 y =1有交点，求相邻两个交点间的最短距离．16．（本小题满分13 分）2014 年12 月28 日开始，北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价．具体如下表．（不考虑公交卡折扣情况）已知在北京地铁四号线上，任意一站到陶然亭站的票价不超过5 元，现从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭出站的乘客中随机选出120 人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示．（Ⅰ）如果从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中任选1 人，试估计此人乘坐地铁的票价小于5 元的概率；（Ⅱ）从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选2 人，记X 为这2人乘坐地铁的票价和，根据统计图，并以频率作为概率，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）小李乘坐地铁从A 地到陶然亭的票价是5 元，返程时，小李乘坐某路公共电汽车所花交通费也是5 元，假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为s 公里，试写出s 的取值范围．（只需写出结论）17．（本小题满分14 分）如图，在五面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形，EF ∥AD ，平面 ADEF ⊥平面 ABCD ，且BC = 2EF ， AE = AF ，点G 是EF 的中点。

北京市西城区2015 年高三一模试卷数学（理科）2015.4本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1 至2 页，第Ⅱ卷3 至6 页，共150 分。

考试时长120 分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共40 分）一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

＝，则实数a的取值范围是（）1．设集合A ={0，1}，集合B ={x | x > a}，若A BA．a≤1 B．a≥1 C．a≥0 D．a≤02．复数z 满足z ⋅i = 3 − i，则在复平面内，复数z 对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．在极坐标系中，曲线ρ = 2cosθ 是（）A．过极点的直线B．半径为2 的圆C．半于极点对称的图形D．关于极轴对称的图形4．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为3，则输出的n 的值为（）A．4 B．5 C．6 D．75．设函数f (x)的定义域为R，则“∀x∈R，f (x +1) > f (x) ”是“函数f (x)为增函数”的( ) A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是( )7． 已知6 枝玫瑰与3 枝康乃馨的价格之和大于24 元，而4 枝玫瑰与4 枝康乃馨的价格之和小于20 元，那么2 枝玫瑰和3 枝康乃馨的价格的比较结果是 ( )A ．2 枝玫瑰的价格高B ．3 枝康乃馨的价格高C ．价格相同D ．不确定8． 已知抛物线所围成的封闭曲线如图所示，给定点 A (0，a )，若 在此封闭曲线上恰有三对不同的点，满足每一对点关于点A 对称，则实数a 的取值范围是 ( )A ．(1，3)B ．(2，4)C ．（32，3）D ．（52，3） 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分.9． 已知平面向量a , b 满足a = (1, −1), (a + b ) ⊥ (a − b ),那么｜b ｜＝ .10．已知双曲线()222210x y a b a b=>>0－，的一个焦点是抛物线 y 2 = 8x 的焦点，且双曲线C 的离心率为2，那么双曲线C 的方程为 .11．在△ABC 中，角 A , B , C 所对的边分别为a , b , c ,若则a = .12．若数列{a n }满足a 1 = 2，且对于任意的m , n ∈N ＊，都有m n m n a a a +=+ , 则3a = ； 数列{ a n } 前10 项的和S 10 = .13．某种产品的加工需要 A , B , C , D , E 五道工艺，其中 A 必须在D 的前面完成（不一定相邻），其它工艺的顺序可以改变，但不能同时进行，为了节省加工时间， B 与C 必须相邻，那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有 种. （用数字作答）14．如图，四面体 ABCD 的一条棱长为 x ，其余棱长均为 1，记四面体 ABCD 的体积为F (x )，则函数F(x)的单调增区间是；最大值为.三、解答题：本大题共6 小题，共80 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13 分）设函数（Ⅰ）当，时，求函数 f (x)的值域；（Ⅱ）已知函数y = f (x)的图象与直线y =1有交点，求相邻两个交点间的最短距离．16．（本小题满分13 分）2014 年12 月28 日开始，北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价．具体如下表．（不考虑公交卡折扣情况）已知在北京地铁四号线上，任意一站到陶然亭站的票价不超过5 元，现从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭出站的乘客中随机选出120 人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示．（Ⅰ）如果从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中任选1 人，试估计此人乘坐地铁的票价小于5 元的概率；（Ⅱ）从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选2 人，记X 为这2人乘坐地铁的票价和，根据统计图，并以频率作为概率，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）小李乘坐地铁从A 地到陶然亭的票价是5 元，返程时，小李乘坐某路公共电汽车所花交通费也是5 元，假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为s 公里，试写出s 的取值范围．（只需写出结论）17．（本小题满分14 分）如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD是边长为4 的正方形，EF∥AD ，平面ADEF ⊥平面ABCD，且BC = 2EF ，AE = AF ，点G 是EF 的中点。

海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理）2015.4一、选择题（1）设集合1{|}A x x >=∈R ，2{|4}B x x =∈R ≤，则AB =（ ） （A ）[2,)-+∞（B ）(1,)+∞ （C ）(1,2] （D ）(,)-∞+∞【难度】1【考点】集合的运算【答案】A【解析】 2{|4}{|2}B x x x x =∈=∈-R R ≤≤≤2,1{|}A x x >=∈R 所以，{}2AB x R x =∈≥- 故选A（2）抛物线2=4x y 上的点到其焦点的最短距离为（ ）（A ）4（B ）2 （C ）1 （D ）12【难度】1【考点】抛物线【答案】C【解析】抛物线2=4x y 的焦点为(0,1)，准线方程为：1y =-又因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以，抛物线2=4x y 上的点到其焦点的最短距离为坐标原点到准线的距离故选C（3）已知向量a 与向量b 的夹角为60︒，1||||==a b ，则-=a b （ ）（A ）3（B （C ）2 （D ）1 【难度】1【考点】平面向量的线性运算【答案】D【解析】 2222()2a b a b a b a b -=-=+-⋅ 222cos ,a b a b a b =+-⋅⋅<>1=故选D（4）“sin 0α>”是“角α是第一象限的角”的（ ）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件 【难度】1【考点】充分条件与必要条件【答案】B【解析】先考察充分性：当sin 0α>时，取23πα=，则不满足“角α是第一象限的角” 所以，充分性不成立；再考查必要性：当“角α是第一象限的角”时，由正弦函数的定义知，sin 0α>所以，必要性成立。

故选B （5）圆1,1x y ⎧=-+θ⎪⎨=+θ⎪⎩（θ为参数）被直线0y =截得的劣弧长为（ ）（A）2 （B ）π （C ）（D）4π【难度】2【考点】A【答案】参数和普通方程互化【解析】由1,1x y ⎧=-+θ⎪⎨=+θ⎪⎩得，22(1)(1)2x y ++-=圆心C (1,1)-，半径为2，设圆与0y =交于A B 、两点，令0y =得：2x =-或0x =，即(2,0)A -，(0,0)B显然，ABC ∆为等腰直角三角形，其中90A ∠=故所求劣弧长为圆周长的14，即12242r ππ= 故选A （6）若,x y 满足0,1,0,x y x x y +≥⎧⎪≥⎨⎪-≥⎩则下列不等式恒成立的是（ ）（A ）1y ≥（B ）2x ≥ （C ）220x y ++≥ （D ）210x y -+≥作出可行域如图：对于选项A ：故选项A 不正确；对于选项B ： 【难度】2【考点】线性规划【答案】D【解析】由题意得，题干表示的平面区域必须全部在选项表示的平面区域内部，故选项B不正确；对于选项C：故选项C不正确；对于选项D：所以选项D符合题意故选D（7）某三棱锥的正视图如图所示，则这个三棱锥的俯视图不可能．．．是（）正视图（A）（B）（C）（D）【难度】3【考点】空间几何体的三视图与直观图【答案】C【解析】由正视图可知该三棱锥的顶点一定是在右侧，而选项C的俯视图表示的三棱锥的顶点在左侧，故选C（8）某地区在六年内第x年的生产总值y（单位：亿元）与x之间的关系如图所示，则下列四个时段中，生产总值的年平均增长率．．．．．．最高的是（）（A）第一年到第三年（B）第二年到第四年（C）第三年到第五年（D）第四年到第六年【难度】3【考点】函数图象【答案】A【解析】年增长率是指当年比去年多出的产量与去年产量的比值，比如第一年产量100，第二年产量103，则年增长率为1031003100100-= 所以，由图可知，第二年与第三年的年增长率的和最大，所以，第一年到第三年的年平均增长率最大。

丰台区2014—2015学年度第二学期统一练习高三数学（理科）2015.31． 在复平面内，复数734ii++对应的点的坐标为（ ） (A) (1,1)- (B) (1,1)-(C) 17(,1)25- (D) 17(,1)5- 【难度】1【考点】复数综合运算 【答案】A 【解析】277212542525=1342525i i i i ii i ++---===-+()(3-4i ）(3+4i)(3-4i ） 故选A2．在等比数列}{n a 中，344a a +=，22a =，则公比q 等于（ ）(A) -2 (B) 1或-2(C) 1(D)1或2【难度】1 【考点】等比数列 【答案】B 【解析】22342()2()4a a a q q q q +=+=+=，解得：12q q ==-或 故选B3．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，它的一个焦点坐标为（2,0），则双曲线的方程为（ ）(A)22126x y -= (B)22162x y -= (C)2213y x -= (D) 2213x y -= 【难度】1 【考点】双曲线 【答案】C 【解析】由题意得：22232ba c abc ⎧=⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩解得：221,3a b ==所求双曲线的方程为：2213y x -= 故选C4．当n =5时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值是（ ）(A) 7(B)10(C) 11(D) 16【难度】2【考点】算法与程序框图 【答案】C 【解析】程序执行过程如下： 开始，输入5n =，1m =，1S =，满足条件m n <，进入循环体； 2S =，2m =，满足条件m n <，进入循环体； 4S =，3m =，满足条件m n <，进入循环体； 7S =，4m =，满足条件m n <，进入循环体； 11S =，5m =，不满足符合条件m n <，跳出循环体；输出11S =，结束。

通州区高三年级期末考试数学（理）试卷2013年1月本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，第I 卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页，共150分．考试时间长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷 （选择题 共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合{}24A x x =<，{}0,1,2B =，则A B =（A ）φ （B ）{}0 （C ）{}0,1（D ）{}0,1,2 【答案】C【KS5U 解析】因为{}24{22}A x x x x =<=-<<，所以{0,1}A B = ，选C. 2．在复平面内，复数21ii-对应的点位于 （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限 【答案】B 【KS5U 解析】22(1)2(1)121(1)(1)2i i i i i i i i i ++===-+-+-,，对应的点的坐标为(1,2)-，所以在第二象限，选B.3．已知圆的直角坐标方程为2220x y x +-=．在以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，该圆的方程为（A ）2cos ρθ=（B ）2sin ρθ=（C ）2cos ρθ=-（D ）2sin ρθ=- 【答案】A【KS5U 解析】因为在极坐标系中，cos ,sin x y ρθρθ==，代入方程2220x y x +-=得22cos ρρθ=，即2cos ρθ=，选A.4．设函数()22,0log ,0,x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩则()1f f -=⎡⎤⎣⎦（A ）2（B ）1（C ）2-（D ）1- 【答案】D【KS5U 解析】11(1)22f --==，所以()2111()log 122f f f -===-⎡⎤⎣⎦，选D. 5．一个几何体的三视图如图所示，该几何 体的表面积是（A）16+B）12+C）8+D）4+【答案】B【KS5U 解析】由三视图可知，该几何体是一个平放的直三棱柱，棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2，所以该几何体的底面积为122242⨯⨯⨯=，侧面积为(222)22++⨯=8412+=+B. 正（主）视图 侧（左）视图俯视图6．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（A ）5122-（B ）5022-（C ）5121-（D ）5021- 【答案】B【KS5U 解析】由程序框图可知，当150k +=时，满足条件，即49k =，所以该程序是求249222S =+++ 的程序，所以49249502(12)2222212S -=+++==-- ，选B. 7．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则“2cos a b C =”是“ABC ∆是等腰三角形”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A【KS5U 解析】若2c o s a b C =，由正弦定理得s i n 2s i n c AB C =，即s i n ()2s i n B C B C+=，所以s i n (B C B CB+==+，即s in BC B C -=，所以sin()0B C -=，即B C =，所以ABC ∆是等腰三角形。

BvCBD +qv+qBA BB通州区2015年高三年级模拟考试（一）理综物理试卷2015年4月本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共12页。

第Ⅰ卷1页至4页，第Ⅱ卷5页至12页。

满分300分。

考试时间150分钟。

考生务必将答案答在答题卡上．．．．．．．．．．．，在试卷上作答无效。

可能用到的相对原子质量：N —14 O —16 Ag —108第Ⅰ卷 （选择题 每题6分 共120分）注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、学校、考号填写清楚并认真填涂考号下方的涂点。

2. 答题时，用2B 铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑，以盖住框内字母为准，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案。

请在下列各题的四个选项中选出唯一．．符合题目要求的选项。

一、选择题13．物理学发展史上，有一位科学家开创了实验与逻辑推理相结合的科学研究方法，并研究了落体运动的规律，这位科学家是A ．伽利略B ．安培C ．库仑D ．焦耳14．物体由大量分子组成，下列说法正确的是 A ．分子热运动越剧烈，物体内每个分子的动能越大 B ．分子间引力总是随着分子间的距离减小而减小 C ．物体的内能跟物体的温度和体积有关D ．只有外界对物体做功才能增加物体的内能15．如图所示的四幅图中，正确标明了带正电的粒子所受洛伦兹力f 方向的是16．一束由两种频率不同的单色光从空气射入玻璃三棱镜后，出射光分成a 、b 两束，如图所示，则a 、b 两束光A ．垂直穿过同一块平板玻璃，a 光所用的时间比b 光长B ．从同种介质射入真空发生全反射时，a 光临界角比b 光的大C ．分别通过同一双缝干涉装置，b 光形成的相邻亮条纹间距小D ．若照射同一金属都能发生光电效应，b 光照射时逸出的光电子最大初动能大 17．在科学技术研究中，关于原子定态、原子核变化的过程中，下列说法正确的是 A ．采用物理或化学方法可以有效地改变放射性元素的半衰期 B ．由玻尔理论知道氢原子从激发态跃迁到基态时会放出光子 C ．从高空对地面进行遥感摄影是利用紫外线良好的穿透能力-D ．原子核所含核子单独存在时的总质量小于该原子核的质量18．如图所示，一列简谐横波在介质中沿水平方向传播，实线是在t 1=0时波的图像，虚线是在t 2=0.5 s 时波的图像，已知介质中质点P 在0～0.5s 的时间内通过的路程为10cm 。

第Ⅰ卷（共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.已知集合2{|320}A x x x =-+=，{21}B =--，，1，2，则A B =.{21}A --， .{1}B -，2 .{1}C ，2 .{2}D -，-1，1，2【答案】C 【解析】试题分析：化简集合A 得A={1，2}，故得}21{，B A = ；故选C.考点：集合的运算.2.在复平面内，复数2(12)i +对应的点位于.A 第一象限 .B 第二象限 .C 第三象限 .D 第四象限【答案】B 【解析】试题分析：由于2(12)i +=1+4i-4=-3+4i,故复数2(12)i +对应的点是(-3,4)在第二象限， 故选：B ．考点：复数的概念及运算.3.2πϕ=“”是“曲线sin()y x ϕ=+关于y 轴对称”的.A 充分而不必要条件 .B 必要而不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：由2πϕ=“”得函数sin()y x ϕ=+x x cos )2sin(=+=π其图象关于y 轴对称；反之，当曲线sin()y x ϕ=+关于y 轴对称时，有)(022z k k x k x ∈=-+=⇒+=+ϕππππϕ成立，所以)(,2z k k ∈+=ππϕ，故知不一定有2πϕ=“”，所以2πϕ=“”是“曲线sin()y x ϕ=+关于y 轴对称”的充分而不必要条件.故选A.考点：1.充要条件；2.三角函数的对称性.4.当5n =时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为.2A .4B .7C .11D【答案】D考点：程序框图.5.若441x y+=，则x y +的取值范围是.[0,1]A .[1,0]B - .[1,)C -+∞ .(,1]D -∞-【答案】D 【解析】试题分析： 由于1244244++=⨯≥+y x y x y x ，所以得0121201≤++⇒=≤++y x y x即1-≤+y x 故选D.考点：基本不等式.6.若双曲线22221x y a b -=.2A y x =± .4B y x =± 1.2C y x =± 1.4D x ±【答案】C 【解析】试题分析：由2125222=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+==a b c b a a c e ， 所以所求双曲线的渐近线方程为：x y 21±=； 故选：C ．考点：双曲线的性质．7.若,x y 满足42400kx y y x x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，且5z y x =-的最小值为8-，则k 的值为 1.2A - 1.2B .2C - .2D【答案】B 【解析】试题分析：作出不等式组42400kx y y x x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，所表示的平面区域如图：,由5z y x =-的最小值为8-得：直线5z y x =-必过点C （8，0）， 故知直线4=+y kx 必过点C ；所以得48=k ，得21=k ； 故选B.考点：线性规划.8.已知()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，有(1)()f x f x +=-，且当[0,1)x ∈时，2()log (1)f x x =+，给出下列命题① (2014)(2015)0f f +-=； ②函数()f x 在定义域上是周期为2的函数；③直线y x =与函数()f x 的图象有2个交点；④函数()f x 的值域为(1,1)-. 其中正确的是.A ①，② .B ②，③ .C ①，④ .D ①，②，③，④【答案】C 【解析】试题分析：由于当0x ≥时，有(1)()f x f x +=-，所以)()1()2(x f x f x f =+-=+， 从而当)2,1[∈x 时，)1,0[1∈-x 有x x f 2log )1(=-，又)1()1)1((--=+-x f x f x x f x f 2log )()1(=-=-⇒x x f 2log )(-=⇒ 即⎩⎨⎧∈-∈+=)2,1[,log )1,0[),1(log )(22x x x x x f ；再注意()f x 为定义在R 上的偶函数，所以可作出函数()f x 的图象如下：对于①)2015()010072()2015()2014(f f f f ++⨯=-+ 01log )1(0)110072()0(2=-=+=+⨯+=f f f ，故①正确；排除B ；对于②由图象可知函数不是周期函数，故②是错误的；排除A 、D对于③由图象可知直线y x =与函数()f x 的图象只有1个交点，故③错误； 对于④由图象可知函数的值域为(1,1)-，故④正确. 故选C.考点：函数的图象及性质.第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡相应位置．） 9.已知圆的极坐标方程为6sin ρθ=，圆心为M ，点N 的极坐标为(6,)6π，则||MN = .【答案】【解析】试题分析：由圆的极坐标方程为6sin ρθ=两边同时乘以ρ得：θρρsin 62= 化为直角坐标方程得：y y x 622=+，即9)3(22=-+y x 知圆心M 的坐标为)3,0(； 又将点N 的极坐标为(6,)6π化为直角坐标得)6sin6,6cos6(ππ，即)3,33(；所以=-+-=22)33()330(MN故答案为：考点：极坐标与直角坐标的互化.10.设向量),(2,2)a b ==-，若()(a b ab λλ+⊥- ，则实数λ= .【答案】【解析】试题分析：由已知得)2,23(-+=+λλλ，)2,23(+-=-λλλ；由()()a b a b λλ+⊥-得0)()(=-∙+λλ所以有0)2()2()23()23(=+⨯-+-⨯+λλλλ 即0842=-λ，解得2±=λ故答案为：考点：向量的数量积的坐标运算.11.已知无穷数列{}n a 满足：1110,2()n n a a a n N *+=-=+∈.则数列{}n a 的前n 项和的最小值为. 【答案】-30 【解析】试题分析：由已知1110,2()n n a a a n N *+=-=+∈得数列{}n a 是以-10为首项，2为公差的等差数列；所以)1(210-+-=n a n 即n a n 212+-= 由60212<⇒<+-=n n a n 知：当61<≤n 时0<n a ；当6=n 时0=n a ；当6>n 时0>n a ； 故知数列{}n a 的前n 项和的最小值为5S 或302256)10(66-=⨯⨯+-⨯=S ； 故答案为-30. 考点：等差数列.12.如图，在圆内接四边形ABCD 中，AB //DC ，过点A 作圆的切线与CB 的延长线交于点E .若5,6AB AD BC AE ====，则BE = ；DC = .【答案】4，254【解析】试题分析：由圆的弦切割定理可知：)(2BC EB EB EC EB EA +⨯=⨯=所以有036553622=-+⇒+=BE BE EB EB ，解得4=BE ；连结BD ，由AE 是圆的切线得：ADB BAE ∠=∠；又因为AB=AD ，所以ABD ADB ∠=∠，从而有：ABD BAE ∠=∠ 所以BD//AE ，故EBC AEB =∠；又因为AB//CD ，所以有ABD BDC ∠=∠，从而有BDC BAE ∠=∠ 因此得到DCB ABE ∆∆∽；故得；BE BC AB DC BE BC AB DC 425455=⨯=⨯=⇒= 故答案为：4和254.考点：平面几何证明选讲.13.如果在一周内（周一至周日）安排四所学校的学生参观顺义啤酒厂，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有__________种（用数字作答）. 【答案】360 【解析】试题分析： 第一步安排甲学校，由于甲学校连续参观两天，所以只能有6种不同的按排方法； 第二步按排余下的三所学校，由于这三所学校均只参观一天，所以有35A 种不同的按排方法； 由分步计数原理得共有不同的安排方法有3603456635=⨯⨯⨯=A 种. 故答案为：360. 考点：排列组合.14.已知函数()cos (0),.f x x x x R ωωω=+>∈又12()2,()0f x f x =-=且12||x x -的最小值等于π.则ω的值为_________． 【答案】12【解析】试题分析：因为)cos 21sin 23(2cos sin 3)(x x x x x f ωωωω+=+=)6sincos 6cos (sin 2πωπωx x +=)6sin(2πω+=x又因为12()2,()0f x f x =-=，所以12||x x -的最小值为4T； 故有21424=⇒==ωπωπT . 所以答案为：12.考点：1.三角恒等变形公式；2.三角函数的图象和性质.三、解答题 （本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15.（本小题满分13分）在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知b B ==, 2B A π-=.(I)求a 的值; (II)求cos C 的值. 【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）322. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知2B A π-=可得2π-=B A ，从而可求出A sin 的值，再由正弦定理sin sin a b A B=可得B Ab a sin sin =，代入即得a 的值；（Ⅱ）由已知及（Ⅰ）可求得A sin 、A cos 、B sin 、B cos 的值，再由三角形内角和定理可知()()cos cos cos C A B A B π=-+=-+⎡⎤⎣⎦，利用余弦的和角公式即可求得cos C 的值． 试题解析： (I)在ABC ∆中,因为2B A π-=,所以2B A π=+,即2B ππ<<, ..............2分所以sin sin sin cos 22A B B B ππ⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.................4分(=-= ..................5分 由正弦定理,sin sin a bA B =得sin 3sin b A a B===. .........7分(II)因为2B A π-=,即2B A π=+,所以B 为钝角,A 为锐角. 由(I)可知,sin 3A =,所以cos A ==. ...............9分又sin B B ==, ................10分 所以()()cos cos cos C A B A B π=-+=-+⎡⎤⎣⎦ .............11分................ 12分...........13分考点：1. 正弦定理；2. 三角恒等变换. 16.（本小题满分13分）某农民在一块耕地上种植一种作物，每年种植成本为800元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：（I ）设X 表示该农民在这块地上种植1年此作物的利润，求X 的分布列；（II ）若在这块地上连续3年种植此作物，求这3年中第二年的利润少于第一年的概率.【答案】（I ）；（II ）0.31.【解析】试题分析：（I ）由已知先求出X 的所有可能取值：1000，2200和4200，然后再由相互独立事件的概率积公式和互斥互事件的概率和公式计算出X 的所有可能取值所对应的概率，即得到X 的分布列；（II ）这3年中第二年的利润少于第一年的概率为：将（I ）中结果代入即得．试题解析： （I ）设A 表示事件“作物产量为300kg ”，B 表示事件“作物市场价格为 6元/kg ”，由题意知()0.3,()0.6.P A P B == ................1分 因为利润=产量⨯市场价格-成本 所以X 的所有可能的取值为................6分所以X 的分布列为........7分（II ）这3年中第二年的利润少于第一年的概率为=0.31.................13分考点：1. 相互独立事件的概率积公式；2. 互斥互事件的概率和公式；3.分布列. 17.（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AD //BC ，AD DC ⊥，平面PAD ⊥底面A B C D ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 的中点，12,1,3.2P A P D B C A C D =====（I ）求证：PQ AB ⊥；（II ）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值； （III ）求二面角P QB M --的余弦值.【答案】（I ）证明祥见解析；（II ）4；（III ）2. 【解析】试题分析：（I ）在PAD ∆中，,PA PD Q =为AD 中点.所以PQ AD ⊥；又因为平面PAD ⊥底面ABCD ，且平面PAD 底面ABCD AD =，由面面垂直的性质定理可得到PQ ⊥底面ABCD ，再由线面垂直的性质得PQ AB ⊥；（II ）由（I ）及已知条件易得AD QB ⊥，PQ AD ⊥和BQ PQ ⊥；故可以Q 为坐标原点，建立空间直角坐标系.Q xyz -从而由空间向量知识及可求得直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；（III ）在（II ）中所建立的空间直角坐标系中，求出平面PQB 的法向量和平面MQB 的法向量，代入公式二面角的夹角公式即可求出二面角P QB M --的余弦值. 试题解析：（I ）证明：在PAD ∆中，,PA PD Q =为AD 中点.所以PQ AD ⊥ .................1分 因为平面PAD ⊥底面ABCD ，且平面PAD 底面ABCD AD = 所以PQ ⊥底面ABCD ............3分 又AB ⊂平面ABCD所以PQ AB ⊥. ..............4分 （II ）解：在直角梯形ABCD 中，AD //1,,2BC BC AD Q =为AD 中点 所以QD BC =//所以四边形BCDQ 为平行四边形 因为AD DC ⊥ 所以AD QB ⊥由（I ）可知PQ ⊥平面ABCD所以，以Q 为坐标原点，建立空间直角坐标系，.Q xyz -如图.则(0,0,0),(1,0,0),(1Q A P C -(1,0,0),D B -所以(0,(1,0,PB CD PD ===-u u r u u u r u u u r....................6分 设平面PCD 的法向量为(,,),n x y z =则0,0n CD n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,0x ⎧=⎪⎨-=⎪⎩亦即0y x =⎧⎪⎨=⎪⎩ 令1z =，得0.x y ==所以(n =.........8分设直线PB 与平面PCD 所成角为α，则sin |cos ,|4||||n PB n PB n PB α⋅=<>==所以PB 与平面PCD所成角的正弦值为4..............10分 （III ）解：如（II ）中建立空间直角坐标系 因为,AQ PQ AQ BQ ⊥⊥ 所以AQ ⊥平面PQB即QA 为平面PQB 的法向量，且(1,0,0).QA =................11分因为M 是棱PC 的中点 所以点M的坐标为1(,)222-又QB =设平面MQB 的法向量为(,,).m x y z =则00m QB m QM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0102x y z =⎨-++=⎪⎩ 令1,z =得0x y =所以m =......................................13分所以cos ,||||OA m QA m OA m ⋅<>==由题知，二面角P QB M --为锐角所以二面角P QB M --的余弦值为2...............................14分 考点：1.直线与平面、平面与平面的垂直关系；2. 直线与平面所成的角；3.二面角. 18.（本小题满分13分）已知函数22()ln f x a x ax x =+-.（I ）当0a >时，求函数()f x 的单调区间；（II ）设22()()g x a x f x =-，且函数()g x 在点1x =处的切线为l ，直线l '//l ，且l '在y 轴上的截距为1.求证：无论a 取任何实数，函数()g x 的图象恒在直线l '的下方. 【答案】（I ）函数()f x 的单调递增区间为1(,)2a+∞；单调递减区间位1(0,).2a ；（II ）祥见解析. 【解析】试题分析：（I ）求出函数22()ln f x a x ax x =+-的导函数，在0a >的条件下列出()f x 的单调性与()f x '符号的变化情况，即可写出函数()f x 的单调区间；（II ）首先利用导数的几何意义求出函数()g x 在点1x =处的切线为l 的斜率，从而就可写出直线l '的方程为(1)1y a x =-+；构造函数()()[(1)1]ln 1(0)h x g x a x x x x =--+=-->则无论a 取任何实数，函数()g x 的图象恒在直线l '的下方，等价于()0h x <(,0)a R x ∀∈∀>，再利用导数证明()0h x <即可. 试题解析： （I ）解：22()ln f x a x ax x =+-................2分所以，0a >时，()f x 与()f x '的变化情况如下：因此，函数()f x 的单调递增区间为1(,)2a +∞； 单调递减区间位1(0,).2a......................6分（II ）证明：22()()ln g x a x f x x ax =-=-1()g x a x'=- 所以(1)1g a '=- 所以l 的斜率为1l k a=-...................7分因为l '//l ，且l '在y 轴上的截距为1所以直线l '的方程为(1)1y a x =-+ .................8分 令()()[(1)1]ln 1(0)h x g x a x x x x =--+=-->则无论a 取任何实数，函数()g x 的图象恒在直线l '的下方，等价于()0h x <(,0)a R x ∀∈∀> ...............................9分而11()1x h x x x -'=-=............................10分 当(0,1)x ∈时，()0h x '>，当(1,)x ∈+∞时，()0h x '< 所以函数()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减 从而当1x =时，()h x 取得最大值(1)2h =-即在(0,)+∞上，()h x 取得最大值(1)2h =- .....................12分 所以()20(,0)h x a R x ≤-<∀∈∀>因此，无论a 取任何实数，函数()g x 的图象恒在直线l '的下方.................13分 考点：1. 利用导数研究函数的单调性；2. 导数的几何意义；3.利用导数证明不等式． 19.（本小题满分14分）已知椭圆223412.C x y +=： （I ）求椭圆C 的离心率；（II ）设椭圆C 上在第二象限的点P 的横坐标为1-，过点P 的直线12,l l 与椭圆C 的另一交点分别为,A B .且12,l l 的斜率互为相反数，,A B 两点关于坐标原点O 的对称点分别为,M N ,求四边形ABMN 的面积的最大值.【答案】（I ）21；（II ）【解析】试题分析：（I ）将椭圆方程化成标准形式得221.43x y +=可得224,3,a b ==从而计算得222 1.c a b =-=即可求得离心率．（II ）由题意可知，点P 的坐标为3(1,).2-设1l 的方程为3(1).2y k x =++则2l 的方程为3(1).2y k x =-++分别联立直线方程与椭圆方程消元得到一个一元二次方程，由于知道1x =-是此方程的根，利用韦达定理也就可求出另一根，即是点A 或B 的横坐标，进而可求出直线AB 的斜率，从而就可用斜截式设出直线AB 的方程；从而就可求出原点O 到直线AB 的距离d,然后联立直线AB 的方程与椭圆的方程，消元后得到一个关于直线AB 截距为参数的一元二次方程，由韦达定理及弦长公式可将弦AB 的长用直线AB 截距表示出来，从而就可用直线AB 截距将三角形OAB 的面积表示成为直线AB 截距的函数，求此函数的最大值即得到三角形OAB 的面积的最大值，再注意到四边形ABMN 为平行四边形,且四边形ABMN 的面积为三角形OAB 的面积的四倍得到结果．试题解析：（I ）由题意，椭圆C 的标准方程为221.43x y += 所以224,3,a b ==从而222 1.c a b =-=因此，2, 1.a c == 故椭圆C的离心率1.2c e a ==................................4分（II ）由题意可知，点P 的坐标为3(1,).2- 设1l 的方程为3(1).2y k x =++则2l 的方程为3(1).2y k x =-++...............5分 由223(1)23412y k x x y ⎧=++⎪⎨⎪+=⎩得2222(43)(812)41230.k x k k x k k +++++-= 由于1x =-是此方程的一个解.所以此方程的另一解22412343A k k x k +-=-+同理22412343B k k x k --=-+.......................7分 故直线AB 的斜率为33(1)(1)22B A B AAB B AB Ak x k x y y k x x x x -++-+--==-- 22286(2)143.24243k k k k k -+-++==-+ ..............................9分设直线AB 的方程为1.2y x m =-+由22123412y x m x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩得2230x mx m -+-=所以||AB ==又原点O 到直线AB的距离为d =所以OAB ∆的面积12OAB S ∆==22(4)2m m +-≤= 当且仅当224m m =-，即22,2m m ==±时.OAB ∆的面积达到最大.分由题意可知，四边形ABMN 为平行四边形,所以，四边形ABMN 的面积4OAB S S ∆=≤故四边形ABMN 面积的最大值为分 考点：1. 椭圆的性质；2. 直线与椭圆的位置关系；3. 基本不等式. 20. （本小题满分13分）已知二次函数()y f x =的图象的顶点坐标为1(1,)3--，且过坐标原点O .数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈在二次函数()y f x =的图象上. （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设1c o s(1),()n n n b a a n n N π*+=+∈，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若2n T tn ≥对n N *∈恒成立，求实数t 的取值范围；（III ）在数列{}n a 中是否存在这样一些项：123,,,,,k n n n n a a a a 123(1n n n =<<,)k n k N *<<<∈ ，这些项都能够构成以1a 为首项，(05,)q q q N *<<∈为公比的等比数列{},k n a k N *∈？若存在，写出k n 关于k 的表达式；若不存在，说明理由.【答案】（Ⅰ）21()3n n a n N *+=∈；（Ⅱ）5(,].9-∞-（Ⅲ）存在，31().2k k n k N *-=∈ 【解析】试题分析：（I ）由已知可得数列{}n a 的前n 项和为n S 的公式，再利用⎩⎨⎧≥-==-)2(,)1(,11n S S n S a n n n 求得数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）分n 为奇数与偶数先求出n T ，由使2n T tn ≥对n N *∈恒成立，通过分离参数t 转化为求函数的最值，即可求得实数t 的取值范围； （III ）由213n n a +=知，数列{}n a 中每一项都不可能是偶数，假设存在，对q 的每一个取值：1，2，3，4逐一讨论即可获得结论． 试题解析：（I ）由题意可知211()(1).33f x x =+-所以221112(1)().3333n S n n n n N *=+-=+∈......................1分 当2n ≥时，221121221[(1)(1)].33333n n n n a S S n n n n -+=-=+--+-=当1n =时111a S ==适合上式 所以，数列{}n a 的通项公式为21()3n n a n N *+=∈......................4分 （II ）因为1cos(1),()n n n b a a n n N π*+=+∈ 所以12n n T b b b =+++1122334451(1)n n n a a a a a a a a a a -+=-+-++- 由（I ）可知，数列{}n a 是以1为首项，公差为23的等差数列. ① 当2,n m m N *=∈时，21212233445221(1)m n m m m T T a a a a a a a a a a -+==-+-++- 213435221212224222()()()44()33211(812)(26).99m m m m m a a a a a a a a a a a a a a m m m n n -+=-+-++-+=-+++=-⨯⨯=-+=-+② 当21,n m m N *=-∈时，21212221(1)m n m m m m T T T a a --+==-- 222211(812)(16163)9911(843)(267).99m m m m m m n n =-++++=++=++所以⎪⎩⎪⎨⎧+++-=为正奇数为正偶数n n n n n n T n ),7622(91),622(91；....................7分要使2n T tn ≥对n N *∈恒成立，只要使221(26)(9n n tn n -+≥为正偶数）恒成立.即使16(2)9t n-+≥对n 为正偶数恒成立， 故实数t 的取值范围是5(,].9-∞-.............9分（III ）由213n n a +=知，数列{}n a 中每一项都不可能是偶数. ① 如存在以1a 为首项，公比q 为2或4的数列{},k n a k N *∈，此时{}k n a 中每一项除第一项外都是偶数，故不存在以1a 为首项，公比为偶数的数列{}k n a . ② 当1q =时，显然不存在这样的数列{}k n a .当3q =时，若存在以1a 为首项，公比为3的数列{},k n a k N *∈，则11,n a = 1121311,3,.32k k k k n k n n a n -+-====所以存在满足条件的数列{}k n a ，且31().2k k n k N *-=∈..........................13分 考点：1. 数列的通项的求法；2. 数列的前n 项和的求法；3.等差数列与等比数列.。