高中数学选修人教A教案导学案复数代数形式的乘除运算

3.2.2 复数代数形式的乘除运算(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，了解共轭复数的概念．2．过程与方法理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化问题，通过运算过程体会这一变形本质意图．3．情感、态度与价值观利用多项式除法和复数除法类比，知道事物之间是普遍联系的．通过复数除法运算，培养学生探索问题、分析问题、解决问题的能力．●重点难点重点：复数代数形式的乘除法运算．难点：复数除法法则的运用．(教师用书独具)●教学建议建议本节教学采用自学指导法，在学生自主学习的基础上可利用一下教学方法及手段完成本节教学：(1)类比分析法，通过对比多项式的乘法法则推出复数乘法法则．(2)归纳推理法，运用已有的多项式乘法法则和分母有理化及复数加减法的知识，通过归纳类比，推导复数除法法则．(3)合理、恰当地运用多媒体教学手段，将静态事物动态化，将抽象事物直观化，以突破教学难点．●教学流程创设问题情境，引出问题，引导学生思考两个复数如何进行代数形式的乘法与除法运算．让学生自主完成填一填，使学生进一步熟悉复数代数形式的乘法、除法运算的法则，及其满足的运算律．引导学生分析例题1的运算方法并求解，教师只需指导完善，解答疑惑并要求学生独立完成变式训练．由学生分组探究例题2解法，引导学生去发现i n运算的周期性，及其应用方法．完成互动探究．完成当堂双基达标，巩固所学知识及应用方法．并进行反馈矫正．归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识，强调重点内容和规律方法．学生自主完成例题3变式训练，老师抽查完成情况，对出现问题及时指导．通过易错辨析纠正运算中出现的错误．让学生自主分析例题3，老师适当点拨解题思路，学生分组讨论给出解法．老师组织解法展示，引导学生总结解题规律．【问题导思】1．如何规定两个复数相乘？【提示】两个复数相乘类似于多项式相乘，只要在所得结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．2．复数乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律吗？【提示】满足．(1)设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋b i)·(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.(2)对于任意z1，z2，z3∈C，有如何规定两个复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R ，c ＋d i≠0)相除？ 【提示】z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝a ＋b c －dc ＋d c －d＝ac ＋bd ＋bc －adc 2＋d 2.(1)z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d 为实数，c ＋d i≠0)，z 1，z 2进行除法运算时，通常先把(a ＋b i)÷(c ＋d i)写成a ＋b ic ＋d i的形式再把分子与分母都乘以c －d i 化简后可得结果：ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i. (2)共轭复数如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数，z 的共轭复数用z 表示．即z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i.虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数.) A ．－1＋i B ．－1－i C ．1＋i D ．1－i (2)(2013·大纲全国卷)(1＋3i)3＝( ) A ．－8 B ．8 C ．－8iD ．8i(3)计算(1＋i 1－i )6＋2＋3i3－2i＝________.【思路探究】 (1)先设出复数z ＝a ＋b i ，然后运用复数相等的充要条件求出a ，b 的值．(2)直接利用复数的乘法运算法则计算．(3)先计算1＋i 1－i 再乘方，且将2＋3i3－2i的分母实数化后再合并．【自主解答】 (1)设z ＝a ＋b i ，则(1－i)(a ＋b i)＝2i ，即(a ＋b )＋(b －a )i ＝2i.根据复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，b －a ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，∴z ＝－1＋i.故选A.(2)原式＝(1＋3i)(1＋3i)2＝(1＋3i)(－2＋23i)＝－2＋6i 2＝－8.(3)法一 原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤＋226＋2＋33＋25＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i.法二 原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤＋226＋2＋33－2＝i 6＋2＋32＋3i＝－1＋i.【答案】 (1)A (2)A (3)－1＋i1．复数的乘法类比多项式相乘进行运算，复数除法要先写成分式形式后，再将分母实数化，注意最后结果要写成a ＋b i(a ，b ∈R )的形式．2．记住以下结论可以提高运算速度 (1)(1＋i)2＝2i ，(1－i)2＝－2i ； (2)1－i 1＋i ＝－i ，1＋i 1－i ＝i ； (3)1i＝－i.计算： (1)(1－i)2；(2)(－12＋32i)(32＋12i)(1＋i)；(3)2i 2＋i. 【解】 (1)(1－i)2＝1－2i ＋i 2＝－2i.(2)(－12＋32i)(32＋12i)(1＋i)＝(－34－14i ＋34i ＋34i 2)(1＋i) ＝(－34＋12i －34)(1＋i) ＝(－32＋12i)(1＋i) ＝－32－32i ＋12i －12＝－1＋32＋1－32i.(3)2i2＋i ＝－＋－＝2＋4i 5＝25＋45i.(2)若复数z ＝1＋i 1－i，求1＋z ＋z 2＋…＋z 2 013的值．【思路探究】 将式子进行适当的化简、变形，使之出现i n 的形式，然后再根据i n的值的特点计算求解．【自主解答】 (1)原式＝＋231＋23i ＋[(21－i )2]1 006·(21－i ) ＝i ＋(2－2i )1 006·2＋2＝i ＋i1 006·2＋2＝－22＋2－22i (2)1＋z ＋z 2＋…＋z 2 013＝1－z 2 0141－z，而z ＝1＋i 1－i＝＋2－＋＝2i2＝i ， 所以1＋z ＋z 2＋…＋z 2 013＝1－i 2 0141－i ＝1－i 21－i＝1＋i.1．要熟记i n的取值的周期性，要注意根据式子的特点创造条件使之与i n联系起来以便计算求值．2．如果涉及数列求和问题，应先利用数列方法求和后再求解．在本例(2)中若z＝i，求1＋z＋z2＋…＋z2 013的值．【解】由题意知1＋z＋z2＋…＋z2 013＝1＋i＋i2＋…＋i2 013＝－i2 0141－i＝1－i4×503＋21－i＝1－i21－i＝1＋i.∴原式＝1＋i.设z1，z2∈C，A＝z1·z2＋z2·z1，B＝z1·z1＋z2·z2，问A与B是否可以比较大小？为什么？【思路探究】设出z1，z2的代数形式→化简A，B→判断A，B是否同为实数→结论【自主解答】设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则z1＝a－b i，z2＝c－d i，∴A＝z1·z2＋z2·z1＝(a＋b i)(c－d i)＋(c＋d i)(a－b i)＝ac－ad i＋bc i－bd i2＋ac－bc i＋ad i－bd i2＝2ac＋2bd∈R，B＝z1·z1＋z2·z2＝|z1|2＋|z2|2＝a2＋b2＋c2＋d2∈R，∴A与B可以比较大小．1．z·z＝|z|2＝|z|2是共轭复数的常用性质．2．实数的共轭复数是它本身，即z∈R⇔z＝z，利用此性质可以证明一个复数是实数．3．若z≠0且z＋z＝0，则z为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若z ·z －3i z ＝1＋3i ，求z . 【解】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i(a ，b ∈R )， 由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ， 即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝3，所以z＝－1或z ＝－1＋3i.记错i 2值而致误设复数z 满足1＋2i z＝i ，则z ＝( )A ．－2＋iB ．－2－iC ．2－iD ．2＋i【错解】 设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )满足1＋2i z＝i ，所以1＋2i ＝a i ＋b . 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，所以z ＝2＋i ，故选D 项． 【答案】 D【错因分析】 将i 2＝－1当成i 2＝1来运算漏掉负号．【防范措施】 在进行乘除法运算时，灵活运用i 的性质，并注意一些重要结论的灵活应用．【正解】 设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )满足1＋2i z＝i ，所以1＋2i ＝a i －b . 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1，所以z ＝2－i ，故选C 项．【答案】 C1．复数代数形式的乘除运算(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化．2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题． 3．复数问题实数化思想．复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，利用复数相等的充要条件转化.1．(2012·北京高考)在复平面内，复数10i3＋i 对应的点的坐标为( )A ．(1,3)B ．(3,1)C ．(－1,3)D ．(3，－1)【解析】10i3＋i＝－32＋12＝－10＝1＋3i ，∴其对应点的坐标为(1,3)，选A. 【答案】 A2．(2013·安徽高考)设i 是虚数单位，若复数a －103－i(a ∈R )是纯虚数，则a 的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 【解析】 因为a －103－i＝a －＋－＋＝a －＋10＝(a －3)－i ，由纯虚数的定义，知a －3＝0，所以a ＝3.【答案】 D3．若x －2＋y i 和3x －i 互为共轭复数，则实数x ＝________，y ＝________. 【解析】 由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3x ，y ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.【答案】 －1 1 4．计算：(1)(1－i)(－12＋32i)(1＋i)；(2)2＋3i 3－2i；(3)(2－i)2.【解】 (1)法一 (1－i)(－12＋32i)(1＋i)＝(－12＋32i ＋12i －32i 2)(1＋i)＝(3－12＋3＋12i)(1＋i) ＝3－12＋3＋12i ＋3－12i ＋3＋12i 2＝－1＋3i.法二 原式＝(1－i)(1＋i)(－12＋32i)＝(1－i 2)(－12＋32i)＝2(－12＋32i)＝－1＋3i.(2)2＋3i3－2i＝2＋3i 3＋2i 3－2i 3＋2i＝2＋3i3＋2i32＋22＝6＋2i ＋3i －65＝5i5＝i. (3)(2－i)2＝(2－i)(2－i) ＝4－4i ＋i 2 ＝3－4i.一、选择题1．复数(2＋i)2等于( ) A ．3＋4i B ．5＋4i C ．3＋2iD ．5＋2i【解析】 (2＋i)2＝4＋4i ＋i 2＝4＋4i －1＝3＋4i.故选A. 【答案】 A2．i 是虚数单位，复数5＋3i4－i ＝( )A ．1－iB ．－1＋iC ．1＋iD ．－1－i【解析】5＋3i4－i＝＋＋42＋1＝17＋17i 17＝1＋i.【答案】 C3．(2013·课标全国卷Ⅰ)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( ) A ．－4 B ．－45C ．4D ．45【解析】 ∵(3－4i)z ＝|4＋3i|，∴z ＝|4＋3i|3－4i ＝42＋323－4i ＝＋25＝35＋45i ，∴z 的虚部为45.【答案】 D4．若z ＋z ＝6，z ·z ＝10，则z ＝( ) A ．1±3i B ．3±i C ．3＋iD ．3－i【解析】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝6a 2＋b 2＝10，解得a ＝3，b ＝±1，则z ＝3±i.【答案】 B5．(2013·湖北高考)在复平面内，复数z ＝2i1＋i (i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】 z ＝2i1＋i＝－＋－＝1＋i ，所以z ＝1－i ，故复数z 的共轭复数对应的点位于第四象限．【答案】 D 二、填空题6．(2013·江苏高考)设z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的模为________． 【解析】 z ＝(2－i)2＝3－4i ，所以|z |＝|3－4i|＝32＋－2＝5.【答案】 57．若3＋b i 1－i ＝a ＋b i(a ，b 为实数，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝________.【解析】3＋b i1－i＝＋b＋2＝12[(3－b )＋(3＋b )i]＝3－b 2＋3＋b 2i. ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3－b 2，3＋b 2＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝3.∴a ＋b ＝3.【答案】 38．当z ＝－1－i 2时，z 2 012＋z 2 014＝________.【解析】 z ＝－1－i 2，∴z 2＝－2i 2＝－i ，∴z2 012＝(－i)2 012＝1，z 2 014＝(－i)2 014＝－1，∴z2 012＋z2 014＝1－1＝0.【答案】 0 三、解答题 9．计算下列各题： (1)＋71－i＋－71＋i－－＋34＋3i；(2)1i (2＋2i)5＋(11＋i )4＋(1＋i 1－i )7； (3)(－32－12i)12＋(2＋2i 1－3i)8. 【解】 (1)原式＝[(1＋i)2]31＋i1－i ＋[(1－i)2]3·1－i 1＋i －－＋2＋－＝(2i)3·i＋(－2i)3·(－i)－＋i＝8＋8－16－16i ＝－16i.(2)1i (2＋2i)5＋(11＋i )4＋(1＋i 1－i )7 ＝－i·(2)5·[(1＋i)2]2·(1＋i)＋[1＋2]2＋i 7＝162(－1＋i)－14－i＝－(162＋14)＋(162－1)i.(3)(－32－12i)12＋(2＋2i 1－3i)8 ＝(－i)12·(－32－12i)12＋(1＋i 12－32i )8＝(－12＋32i)12＋[1＋i 2]4·12－32i [12－32i 3]3＝[(－12＋32i)3]4＋(－8＋83i)＝1－8＋83i ＝－7＋83i. 10．复数z ＝＋2＋1－2＋i，若z 2＋a z<0，求纯虚数a .【解】 z ＝2i ＋3－3i2＋i ＝1－i ，∵a 为纯虚数，设a ＝m i(m ∈R ，m ≠0)， 则z 2＋a z＝(1－i)2＋m i 1－i＝－2i ＋m i －m2＝－m 2＋(m2－2)i<0，⎩⎪⎨⎪⎧－m 2<0m 2－2＝0，∴m ＝4，∴a ＝4i.11．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，则满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1＋2i 1－i 1＋i ＝0的复数z 所对应的点在第几象限？【解】 结合⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc 可知⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1＋2i 1－i 1＋i ＝z (1＋i)－(1－i)(1＋2i)＝0， ∴z ＝－＋1＋i ＝－2＋＋－＝2－i ，∴复数z 所对应的点在第四象限.(教师用书独具)已知z 1、z 2∈C ，z 1＋2z 2∈R ，且5z 1z 2＋5z 22z 1＝1，求证：z 2－3z 1为纯虚数．【思路探究】 由题目条件推出(z 2－3z 1)2，再证明其小于0即可． 【自主解答】 ∵5z 1z 2＋5z 22z 1＝1，∴10z 21＋5z 22＝2z 1·z 2，即z 21＋4z 22＋4z 1·z 2＝－9z 21－z 22＋6z 1·z 2， 也即－(z 1＋2z 2)2＝(3z 1－z 2)2. ∵z 1＋2z 2∈R ，z 1≠0，z 2≠0， ∴－(z 1＋2z 2)2<0， ∴(3z 1－z 2)2<0， ∴(3z 1－z 2)2为负实数， ∴z 2－3z 1为纯虚数．1．证明z 为纯虚数的方法：(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，证明a ＝0且b ≠0； (2)z 2<0⇔z 为纯虚数；(3)z ≠0，且z ＋z ＝0⇔为纯虚数． 2．证明z ∈R 的方法：(1)设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，证明b ＝0； (2)z ∈R ⇔z ＝z ； (3)z ∈R ⇔z 2≥0； (4)z ∈R ⇔|z |2＝z 2.设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，若z1＋z 2∈R ，则a 、b 应满足什么条件？并说明理由．【解】z1＋z2＝a ＋b i1＋a 2－b 2＋2ab i＝a ＋b a 2－b 2＋1－2ab a 2－b 2＋2＋ab 2＝a3＋ab2＋a－b a2＋b2－a2－b2＋2＋4a2b2∈R，∴b(a2＋b2－1)＝0，∴b＝0或a2＋b2＝1.复数复数的概念复数相等的充要条件复数与复数分类共轭复数复数的模复数的运算复数的减法法则(a＋b i)－(c＋d i)＝(a－c)＋(b－d)i复数减法的几何意义复平面上两点间的距离d ＝|z1－z2|复数的加法法则(a＋b i)＋(c＋d i)＝(a＋c)＋(b＋d)i复数加法的几何意义复数的乘法法则(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i复数的除法法则a＋b ic＋d i＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c＋d i≠0)。

3.2.2 复数代数形式的乘除运算教学设计一、教材分析复数四则运算是本章的重点，也是高考的重点，每年必考。

复数代数形式的乘法与多项式法类似，不同的是将所得结果中把i2换成－1，再把部、虚部分别合并；复数的除法运算法则是将分母实数化转化为乘法运算。

通过复数的乘、除运算，使学生体会数学类比、转化的思想。

二、教学目标：1. 理解并掌握复数代数形式的乘法与除法运算法则及轭复数的概念；2. 理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题；3. 通过对复数乘除法运算的学习，使学生渗透数学转化的数学思想方法。

三、教学重难点：重点：复数代数形式的乘除运算及共轭复数的概念。

难点：复数除法法则的应用。

四、学情分析授课班级是高二文科录播班学生，学生的数学基础相对比较弱。

学生已经学习了数系的扩充、复数的概念、几何意义、加、减运算。

类比实数四则运算，学生很容易想到复数也有乘、除运算。

从而探究复数乘法、除法法则。

五、教学过程（一）复习导入1.复数加、减法的运算法则①z1＋z2= ②z1－z2=2.加法运算律①z1＋z2= ②(z1＋z2)＋z3=设计意图：使学生过度自然，能类比实数四则运算，想到复数的乘除运算。

（二）探求新知探究一：复数乘法z1z2=(a＋bi)(c＋di)=归纳：乘法解题步骤：学生计算：(1) i(3＋4i) (2) (3＋4i)i归纳运算律①交换律②结合律③乘法对加法的分配律设计意图：学生回顾、类比多项式乘法写出两复数的展开形式。

让学生通过已经熟悉的知识，学习新内容。

学生计算，归纳复数的运算律。

（三）例题解析例1.计算(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)例2.计算(1) (3＋4i)(3－4i)；(2) (1＋i)2.（学生计算、师生归纳）设计意图：例1是为使学生熟悉乘法法则，例2是使加深学生对法则的理解，同时观察式子，引出共轭复数。

探究二：共轭复数通过例2，归纳共轭复数概念：由复数在复平面的几何意义，可画出共轭复数在复平面内所对的点坐标。

3.2.2 复数代数形式的乘除运算一、学习目标：（1）掌握复数代数形式的乘法与除法的运算法则，会进行乘法与除法运算；（2）理解共轭复数的概念，并会用它及其性质求解相关问题；（3）掌握复数的乘法所满足的运算律，并能应用它们熟练地进行的四则运算．四、学习过程：1、课前准备⑴设12i,i z a b z c d =+=+，则12z z = ___________，12z z =___________． ⑵对于123,,C z z z ∈有12z z = ___________，123()z z z = ___________，123()z z z += ___________．⑶一般地，当两个复数的实部___________，虚部___________时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不为零的两个共轭复数也叫做___________．设i z a b =+，则z =___________． ⑷已知12,z z 是共轭复数，那么①若12,z z 是共轭虚数，在复平面内，12,z z 所对应的点关于___________对称；②12z z = ___________．2、学习引领(1）乘法运算的解读复数代数形式的乘法运算也并不繁琐，两个复数相乘，只要按照多项式的乘法进行，并将i 的平方换成1-，最后将结果整理成i(,R)a b a b +∈的形式即可．（2）除法运算的解读复数代数形式的除法运算,要求掌握除法运算的一般规律：分子分母同乘以分母的共轭复数，然后分子运用复数代数形式的乘法运算进行化简，而分母则运用z z =2||z 进行化简，最后将结果整理成i(,R)a b a b +∈的形式即可．（3）共轭复数的解读共轭复数是复数集中比较重要且具有独特性质的复数，应注意它的几何特性：关于是轴对称；代数特性：实部相等，虚部互为相反数．这正是建立方程组的出发点．②实数a 的共轭复数仍然是a 本身，即C z ∈，z z z R =⇔∈，这是判断一个数是否是实数的一个准则．（4）复数运算中i n 的周期性：4414243i1,i i,i 1,i i n n n n +++===-=-．3、典例导析题型一 复数的乘法基本运算例1计算 ⑴2(1+i)(1i)(1+i)--； ⑵(12i)(34i)(56i)4i +++-．【变式练习1】计算⑴2(1i)-；⑵(13i)(34i)-+-；题型二 复数的除法基本运算例2计算 ⑴(2i)(2i)-÷+；⑵i(2i)12i +-．【变式练习2】计算⑴i 2i -；⑵1i 1i-+．题型三 共轭复数及应用例3 已知复数222(32)i()x x x x x R +-+-+∈是420i -的共轭复数，求x 的值．【变式练习3】若2i x y -+和3i x -互为共轭复数，则实数,x y 的值为（）（A ）3,3 （B ）5，1 （C ）1,1-- （D ）1,1-题型四 简单的复数方程例4 证明：在复数范围内，方程255i (1i)(1i)2iz z z -+--+=+（i 为虚数单位）无解．【变式练习4】已知C z ∈，解方程3i 13i zz z -=+．。

3.2.2 《复数代数形式的乘除运算》导学案【学习目标】1. 理解共轭复数的概念；2. 掌握复数的代数形式的乘、除运算一．基础感知：阅读课本思考并完成下列问题：（一）：复数代数形式的乘法运算规定，复数的乘法法则如下：设12,z a bi z c di =+=+，是任意两个复数，那么 2()()a bi c di ac bci adi bdi ++=+++ = 即：两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把2i 换成1-，并且把实部与虚部分别合并即可问题：复数的乘法是否满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律？ 新知：对于任意123,,z z z C ∈，有 1221z z z z ⋅=⋅123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅, 1231213())z z z z z z z +=+反思：复数的四则运算类似于多项式的四则运算，也满足其在实数集上的运算律. ※ 知识拓展i 具有周期性，即：41n i =；41n i i +=；4221n i i +==-；43n i i +=-（二）：共轭复数当两个复数的 ，虚部互为 ，这两个复数叫做互为共轭复数。

虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.试试：34i +的共轭复数为 问：若12,z z 是共轭复数，那么（1）在复平面内，它们所对应的点的位置关系为：（2）12z z ⋅是一个怎样的数？（三）：复数的除法法则 2222()()()()()()a bi a bi c di ac bd bc ad a bi c di i c di c di c di c d c d ++-+-+÷+===+++-++(0)c di +≠ 二、深入学习例1 计算：（1）(34)(34)i i +-；（2）（2）2(1)i +（3） (32)(32)i i +-+；（4）(2)(12)i i i --（5）(12)(34)i i +÷-；（6）232(12)i i -+，例2 .已知(12)43i z i +=+，求z 及zz .例3．设复数z 满足()132i z i +=-+，则z ＝____________．2．设复数z 满足(1)2i z i -=,其中i 为虚数单位，则=z ．四、当堂检测1. 复数52i -的共轭复数是（ ）A ．2i +B ．2i -C ．2i --D ．2i -2. 复数313()22i +的值是（ ）A ．i -B ．iC ．1-D ．13. 如果复数212bii-+的实部和虚部互为相反数，那么实数b的值为（）A．B．-2 C．23-D．234. 若复数z满足11ziz-=+，则|1|z+的值为。

3．2 复数代数形式的四则运算3．2.2 复数代数形式的乘除运算1．理解复数代数形式的乘、除运算法则．2．会进行复数代数形式的乘、除运算．3．了解互为共轭复数的概念．基础梳理1．复数代数形式的乘法法则(1)复数代数形式的乘法法则已知z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R ，则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ．(2)复数乘法的运算律对于任意z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1·z 2＝z 2·z 1，(z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)，z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3．想一想：|z |2＝z 2，正确吗？解析：不正确．例如，|i|2＝1，而i 2＝－1.2．共轭复数已知z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R ，则z 1，z 2互为共轭复数的充要条件是a ＝c 且b ＝－d ，z 1，z 2互为共轭虚数的充要条件是a ＝c 且b ＝－d ≠0．想一想：三个实数|z |，|z －|，z ·z －具有怎样的关系？解析：设z ＝a ＋b i ，则z －＝a －b i ，所以|z |＝a 2＋b 2，|z －|＝a 2＋（－b ）2＝a 2＋b 2，z ·z －＝(a ＋b i)(a －b i)＝a 2－(b i)2＝a 2＋b 2，所以|z |2＝|z －|2＝z ·z －.3．复数代数形式的除法法则 (a ＋b i )÷(c ＋d i)＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)． 想一想：(2－i )÷i ＝________．解析：(2－i )÷i ＝2－i i ＝（2－i ）（－i ）i （－i ）＝－1－2i. 答案：－1－2i自测自评1．(2014·高考福建卷)复数(3＋2i)i 等于(B )A ．－2－3iB ．－2＋3iC ．2－3iD ．2＋3i解析：(3＋2i)i ＝3i ＋2i ·i ＝－2＋3i ，选B.2．已知z1＋i＝2＋i ，则复数z ＝(B ) A ．－1－3i B ．1－3iC ．3＋iD ．3－i解析：由题意知z ＝(2＋i)(1＋i)＝1＋3i ，∴z ＝1－3i.3．复数2i 1＋i(i 是虚数单位)的虚部是(A ) A ．1 B ．－1 C ．i D ．－i基础巩固1．(2014·高考江西卷)若复数z 满足z (1＋i)＝2i(i 为虚数单位)，则|z |＝(C )A ．1B ．2 C. 2 D. 3解析：因为z (1＋i)＝2i ，所以z ＝2i 1＋i ＝2i （1－i ）2＝1＋i 因此|z |＝|1＋i|＝ 2. 2．复数i 2＋i 3＋i 41－i＝(C ) A ．－12－12i B ．－12＋12iC.12－12iD.12＋12i 解析：∵i 2＝－1，i 3＝－i ，i 4＝1，∴i 2＋i 3＋i 41－i ＝－i 1－i ＝－1（1＋i ）2＝12－12i. 3．a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a ＝(B ) A ．2 B. 3 C. 2 D ．1解析：∵a ＋i i ＝(a ＋i)(－i)＝1－a i ，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|1－a i|＝1＋a 2＝2， 解得a ＝3或a ＝－3(舍)．4．(2014·高考湖南卷)复数3＋ii 2(为虚数单位)的实部等于________． 解析：由题可得3＋i i 2＝－3－i ，－3－i 的实部为－3，故填－3. 答案：－3 能力提升5．设a ，b ，c ，d ∈R ，则复数(a ＋b i)(c ＋d i)为实数的充要条件是(D )A ．ad －bc ＝0B ．ac －bd ＝0C ．ac ＋bd ＝0D ．ad ＋bc ＝0解析：a ，b ，c ，d ∈R ，复数(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i 为实数，∴ad ＋bc ＝0，选D.6．已知复数z ＝1＋i ，则z ＋1z 2＝(A ) A.12－i B.12＋i C ．－12－i D ．－12＋i 7．复数z 满足方程z －i ＝1－i ，则z ＝________．解析：∵z －·i ＝1－i ，∴z －＝1－i i ＝（1－i ）i i ·i＝－i(1－i)＝－1－i ，∴z ＝－1＋i. 答案：－1＋i8．已知复数z ＝3＋i （1－3i ）2，z －是z 的共轭复数，则z ·z －＝________． 解析：∵z ＝3＋i（1－3i ）2＝3＋i －2－23i ＝（3＋i ）（－2＋23i ）16＝－43＋4i 16＝－3＋i 4， ∴z －＝－34－i 4，∴z ·z －＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＋⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝14. 答案：149．已知z －为z 的共轭复数，若z ·z －－3i z －＝1＋3i ，求z .解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z －＝a －b i(a ，b ∈R)，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ，即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3. 所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.10. 复数z ＝（1＋i ）3（a ＋b i ）1－i且|z |＝4，z 对应的点在第一象限内，若复数0，z ，z －对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a ，b 的值．解析：z ＝（1＋i ）2（1＋i ）（a ＋b i ）1－i＝2i ·i(a ＋b i)＝－2a －2b i. 由|z |＝4，得a 2＋b 2＝4.①因为复数0，z ，z 对应的点是正三角形的三个顶点，所以|z |＝|z －z |，把z ＝－2a －2b i 代入化简，得|b |＝1.②又因为z 点在第一象限内，所以a ＜0，b ＜0.由①②，得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－1.故所求a ＝－3，b ＝－1.。

3.2.2《复数代数形式的乘除运算及其几何意义》导学案制作侯海燕高二数学组2016.05.12【学习目标】1.理解共轭复数的概念；2.掌握复数的代数形式的乘、除运算.【学习重点】复数的加、减运算【学习难点】复数运算的几何意义及应用【预习导航】一．自我阅读：（课本第58页至第59页）完成知识点的提炼问题1.计算：(a±b)2=(3a+2b)(3a-2b)=(3a+2b)(-a-3b)=问题2.复数代数形式的乘法运算法则如何？规定，复数的乘法法则如下：设z1=a+bi,z2=c+di，是任意两个复数，那么(a+bi)(c+di)=即：两个复数相乘，类似于（）相乘，只要在所得的结果中把（）换成-1，并且把（）与（）分别合并即可.【问题探究】探究活动一复数乘法运算问题1设z=a+b i,z=c+d i是任意两个复数，12求z z12问题2复数的乘法是否满足交换律，结合律以及乘法对加法的分配律？【应用训练】1.计算(1-2i)(3+4i)(-2+i)2.计算（1）(7-6i)(-3i);（2）(3+4i)(-2-3i);（3）(1+2i)(3-4i)(-2-i)b例 3 (1) (3+4i)(3-4i);2 已知 z =1+iz 2 + az + bz 2 - z + 1= 1 -i求实数 a ，b 的值.(2) (1 + i )23 设 n ∈N *,则问题 3 若 z 1 、 z 2 是共轭复数,那么i 4n =_____, i4n +1=_____, i4n +2=_____, i4n +3=_____.(1)在复平面内,它们所对应的点有怎样的位置关系?(2) z 、z 是一个怎样的数?y1 2(1-i)2=____ (1+ i ) 2 = ⎛ 1 - i ⎫2⎪ =⎝ 1 + i ⎭______Oax1 + i + i2 ++ i 2002 = ____【总结概括】-bZ 2本节课的收获：探究活动二：复数的除法法则【应用训练】1 计算（1＋2i)÷(3-4i )【课后作业】必做题：1 课本第 60 页练习 1，2，3 第 61 页习题 3.2A 组 4,5,62 同步练习册选做题：1．课本第 61 页习题 3.2 B 组2. 教材第 61 页 习题3.2 A 组 第 1，2，3 题.。

河北省承德市高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.2 复数代数形式的乘除运算导学案新人教A版选修1-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（河北省承德市高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.2 复数代数形式的乘除运算导学案新人教A版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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复数代数形式的乘除运算学习目标：掌握复数代数形式的乘法和除法运算．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．理解共轭复数的概念．重点：复数的乘除运算及共轭复数的概念．难点：复数的除法运算．方法:合作探究一新知导学1．复数的乘法、乘方复数的乘法与多项式的乘法是类似的,运算过程中把____看作一个字母，但必须在所得的结果中把i2换成_____，并且把实部与虚部分别________．在复数范围内，完全平方公式、平方差公式等仍然成立．正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立．须特别注意：|z|2≠z2（z为虚数)设z1＝a＋bi、z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积（a＋bi）(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝________（a、b、c、d∈R)．2．复数乘法的运算律对于任意z1、z2、z3∈C，有交换律z1·z2＝__________课堂随笔：结合律 (z 1·z 2)·z 3＝ __________乘法对加法的分配律z 1(z 2＋z 3)＝ __________3.（1±i)2＝__________。

复数代数形式的乘除运算【学习目标】1.知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算；2.过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题；3.情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系.【重点难点】重点：复数代数形式的除法运算.难点：对复数除法法则的运用.【学法指导】复数乘法运算是按照多项式与多项式相乘展开得到，在学习时注意将2i 换成1-；除法是乘法的逆运算，所以复数的除法运算可由乘法运算推导获得，但是也可由互为共轭复数的两个复数的乘积为实数，先将复数的分母实数化，再化简可得，学习时注意体会第二种方法的优势和本质. 【知识】1z 与2z 的和的定义：=+21z z ____________________；1z 与2z 的差的定义：=-21z z ____________________；3.复数的加法运算满足交换律:_________________________；4.复数的加法运算满足结合律：________________________；5.复数()R b a bi a z ∈+=,的共轭复数为__________.【课前预习】设z 1=a+bi ，z 2=c+di(a,b,c,d R ∈),则()di c bi a z z ++=⋅)(21=_________对任意C z z z ∈321,,,有3.设z=a+bi ()R b a ∈,,则_______=-z 叫z 的共轭复数。

若0≠b ,则-z 叫虚数z 的_____虚数，且_________________,=-=+--z z z z ,两共轭复数在复平面内所对应点关于____对称4.=++dic bi a 5.设i 为虚数单位，则____________________,_______,4321====i i i i ，【自我检测】1、复数=-221i___________； 2、已知_______,21=+=+-z i i z 则复数 2、设i 是虚数单位，则=-i i 25_________; 4、复数=⎪⎭⎫ ⎝⎛-31i i __________ 5、若复数z 满足z(1+i)=1-i ，则其共轭复数______=-z【问题探究】探究一、复数的乘法运算引导1:乘法运算规则设bi a z +=1、di c z +=2()R d c b a ∈,,,是任意两个复数，规定复数的乘法按照以下的法则进行： =⋅21z z其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i 换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.引导2:试验证复数乘法运算律（1）1221z z z z ⋅=⋅（2）()()321321z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅（3）()3121321z z z z z z z ⋅+⋅=+⋅点拨：两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i 换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.思考感悟：（1）两个共轭复数--⋅z z z z 的乘积,是个什么样的数？（2）设i 2321+-=ω,那么-⋅ωωωω与，32的值分别是多少？探究二、复数的除法运算引导1：复数除法定义：满足________________的复数()R y x yi x ∈+,叫复数bi a +除以复数di c +的商，记为：_______ ()0≠+di c . 引导2：除法运算规则：利用()()22d c di c di c +=-+.于是将dic bi a ++的分母有理化得： 原式=()()()()a bi a bi c di c di c di c di ++-==++- ∴(a +bi )÷(c +di )=______________.点拨：利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数di c +与复数di c -，相当于我们初中学习的23+的对偶式23-，它们之积为1是有理数，而()()=-+di c di c ___________是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法【典例分析】例1计算()()()i i i +-+-24321引导:可先将前两个复数相乘，再与第三个复数相乘.点拨：在复数的乘法运算过程中注意将2i 换成－1.例2计算：（1）()()i i 4343-+；（2）()21i +.引导:按照复数乘法运算展开即可.点拨：注意体会互为共轭复数的两个复数的乘积是一个实数，记住一些特殊形式代数式的运算结果，便于后续学习的过程中的化简、代换等.例3计算(12)(34i i +÷-引导:可按照复数除法运算方法，先将除式写成分式，再将分母实数化，然后化简即可.点拨：本题可将除法运算转化为乘法运算，但是相对麻烦，易于采用先将除式写成分式，再将分母实数化，然后化简的办法，学习时注意体会总结，寻求最佳方法.例4计算ii i i 4342)1)(41(++++- 引导:可先将分子化简，再按照除法运算方法计算，注意计算的准确性.点拨：对于混合运算，注意运算顺序，计算准确.【目标检测】22i 1+i ⎛⎫ ⎪⎝⎭等于（ ） A ．4i B ．4i - C ．2i D ．2i - z 满足12i i z+=，则z =（ ） A ．2i -+B ．2i --C ．2i -D ．2i + 3*.复数32321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+i 的值是（ ）A.i -B.iC.1-z 与()i z 822-+都是纯虚数，求z . 提示：复数z 为纯虚数，故可设()0z bi b =≠，再代入求解即可.5*.(1)试求87654321,,,,,,,i i i i i i i i 的值.(2)由（1）推测()*N n i n ∈的值有什么规律？并把这个规律用式子表示出来.提示：通过计算，观察计算结果，发现规律.【总结提升】复数的乘法和除法运算是复数的基本运算，在学习时注意运算法则和方法，在乘法运算中注意把2i 换成－1，在除法运算中注意方法的本质依据，计算时注意准确性.【总结反思】知识.重点.能力与思想方法.【自我评价】你完成本学案的情况为( )。

吉林省长春市实验中学高二数学《复数代数形式的乘除运算》导学案 新人教A版选修2-2学习目标：掌握复数的代数形式的乘、除运算。

学习重点：复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念学习难点：乘除运算模块一: 自主学习，明确目标知识再现1.虚数单位i :2. i 与－1的关系:3. i 的周期性：4.复数的定义5. 复数的代数形式:6. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：7. 两个复数相等的定义： 8. 复平面、实轴、虚轴：9．复数z 1与z 2的和的定义：10. 复数z 1与z 2的差的定义：11. 复数的加法运算满足交换律:12. 复数的加法运算满足结合律:1.复数代数形式的乘法运算：例1．计算（1）(14)(72)i i +⨯-（2）(72)(14)i i -⨯+（3）[(32)(43)](5)i i i -⨯-+⨯+（4）(32)(43)(5)]i i i -⨯-+⨯+[【探究】 ：观察上述计算，试验证复数的乘法运算是否满足交换、结合、分配律？例2．1、计算（1）(14)(14)i i +⨯- （2）(14)(72)(14)i i i -⨯-⨯+（3）2(32)i +模块二：合作释疑=，试写出复数的除法法则1． 复数的除法法则： ‘ 模块三：巩固训练，整理提高例3．计算(32)(23)i i -÷+，(12)(32)i i +÷-+（师生共同板演一道，再学生练习） 练习：计算232(12)i i -+，23(1)1i i -+-二．课堂总结 通过本节课的学习，你有哪些收获？1．知识上2．思想方法上3.反思【当堂检测】：1.设z =3+i ,则z 1= 2.aib bi a ai b bi a +-+-+= 3.已知z 1=2－i ,z 2=1+3i ,则复数521z z i +的虚部为 4.设iy i i x -+-=+1231 (x ∈R ,y ∈R ),则x =___________,y =___________.【作业】 1. 已知复数z 满足i z i z z 682-=⋅+⋅，求复数z.2. 复数z=a +bi,a,b ∈R ,且b ≠0,若24z bz -是实数，则有序实数对（a,b ）可以是 .(写出一个有序实数对即可)3.设z 的共轭复数是z ，或z +z =4,z ·z ＝8，则zz 等于D （A ）1 （B ）-i (C)±1 (D) ±i4.计算复数22(1)12i i i +---等于 （ ） A ．0 B ．2 C ．3iD ．3i - 5. Z ∈C ，若12z z i -=- 则43i z +的值是（ ） A ．2i B ．2i - C ．2D ．2-。