上海市虹口区2015年数学学科(理科)高考练习卷(含详细答案)

2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理科）一、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.1、设全集U R =．若集合{}1,2,3,4A =，{}23x x B =≤≤，则U A B =ð ． 【答案】{}1,4【解析】因为{|32}U C B x x x =><或，所以{4,1}U A C B =【考点定位】集合运算2、若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z = ． 【答案】1142i +【解析】设(,)z a bi a b R =+∈，则113()1412142a bi a bi i ab z i ++-=+⇒==⇒=+且【考点定位】复数相等，共轭复数 3、若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭、解为35x y =⎧⎨=⎩，则12c c -= ． 【答案】16【解析】由题意得：121223233521,05,21516.c x y c x y c c =+=⨯+⨯==⋅+=-=-= 【考点定位】线性方程组的增广矩阵4、若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为163，则a = ． 【答案】4 【解析】2331636444a a a a ⋅=⇒=⇒= 【考点定位】正三棱柱的体积5、抛物线22y px =（0p >）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = ． 【答案】2【考点定位】抛物线定义6、若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 ．【答案】3π【解析】由题意得：1:(2)222rl h r l h ππ⋅=⇒=⇒母线与轴的夹角为3π 【考点定位】圆锥轴截面7、方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为 ． 【答案】2【考点定位】解指对数不等式8、在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）． 【答案】120【解析】由题意得，去掉选5名女教师情况即可：55961266120.C C -=-= 【考点定位】排列组合9、已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C ．若1C 的渐近线方程为3y x =±，则2C 的渐近线方程为 ．【答案】32y x =±【考点定位】双曲线渐近线10、设()1f x -为()222x x f x -=+，[]0,2x ∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为 ． 【答案】4【解析】由题意得：2()22x xf x -=+在[0,2]上单调递增，值域为1[,2]4，所以()1f x -在1[,2]4上单调递增，因此()()1y f x f x -=+在1[,2]4上单调递增，其最大值为1(2)(2)22 4.f f -+=+=【考点定位】反函数性质11、在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为 （结果用数值表示）． 【答案】45【考点定位】二项展开式12、赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量1ξ和2ξ分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则12ξξE -E =（元）． 【答案】0.213、已知函数()sin f x x =．若存在1x ，2x ，⋅⋅⋅，m x 满足1206m x x x π≤<<⋅⋅⋅<≤，且 ()()()()()()1223112n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=（2m ≥，m *∈N ），则m 的最小值 为 ． 【答案】8【考点定位】三角函数性质14、在锐角三角形C AB 中，1tan 2A =，D 为边CB 上的点，D ∆AB 与CD ∆A 的面积分别为2和4．过D 作D E ⊥AB 于E ，DFC ⊥A 于F ，则D DF E⋅= ． 【答案】1615-【考点定位】向量数量积，解三角形二、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.15、设1z ，2C z ∈，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 【答案】B【考点定位】复数概念，充要关系16、已知点A 的坐标为()43,1，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为（ ） A ．332 B ．532 C ．112D ．132【答案】D 【解析】133313(cossin )(43)()332222OB OA i i i i ππ=⋅+=+⋅+=+，即点B 的纵坐标为132【考点定位】复数几何意义17、记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中1a ，2a ，3a 是正实数．当1a ，2a ，3a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ）A ．方程①有实根，且②有实根B ．方程①有实根，且②无实根C ．方程①无实根，且②有实根D ．方程①无实根，且②无实根 【答案】B【解析】当方程①有实根，且②无实根时，22124,8a a ≥<，从而4222321816,4a a a =<=即方程③：2340x a x ++=无实根，选B.而A,D 由于不等式方向不一致，不可推；C 推出③有实根【考点定位】不等式性质 18、设(),n n n x y P 是直线21nx y n -=+（n *∈N ）与圆222x y +=在第一象限的交点，则极限1lim1n n n y x →∞-=-（ ） A ．1- B ．12- C ．1 D ．2 【答案】A【考点定位】极限三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

虹口区2015年数学学科（理科）高考练习卷时间120分钟，满分150分 2015.4.21一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1、计算：20151+1i i=+_________.（i 是虚数单位）2、已知函数()()()132,0,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则()()3f f -=_________.3、函数()()1ln 10f x x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的反函数()1f x -=_______.4、已知正实数,x y 满足31x y +=，则13xx y+的最小值为___________. 5、已知复数3sin cos z i θθ=+（i 是虚数单位），且5z =，且当θ为钝角时，tan θ=_______. 6、在上海高考改革方案中，要求每位高中生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科（3门理科学科，3门文科学科）中选择3门学科参加等级考试，小丁同学理科成绩较好，决定至少选择两门理科学科，那么小丁同学的选科方案有_________种. 7、设数列{}n a 前n 项的和为n S ，若14a =，且()*13N n n a S n +=∈，则n S =_________.8、在极坐标系中，过点2,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭且与圆2cos ρθ=相切的直线的方程为_______________.9、若二项式63a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中含2x 项的系数为52，则()2li m1nn a aa →∞++++=__________.10、若行列式()51sin 02cos 214x x πππ+⎛⎫+ ⎪⎝⎭的第1行第2列的元素1的代数余子式为1-，则实数x 的取值集合为___________.11、如图所示，已知12,F F 为双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的两个焦点，且122F F =，若以坐标原点O 为圆心，12F F为直径的圆与该双曲线的左支相交于,A B 两点，且2F AB ∆ 为正三角形，则双曲线的实轴长为__________.xy2F 1F ABO12、随机变量ξ的分布列为其中,,a b c 成等差数列，若13E ξ=，则D ξ=_________. 13、已知向量,a b ，满足2a b a b ==⋅=，且()()0a c b c -⋅-=，则2b c -的最小值为_______. 14、若()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意的实数0x ≥，总有正常数T ，使得()()f x T f x T +=+成立，则称()f x 具有“性质p ”，已知函数()g x 具有“性质p ”，且在[]0,T 上，()2g x x =；若当[],4x T T ∈-时，函数()y g x kx =-恰有8个零点，则实数k =__________.二、选择题（本题共4题，满分20分）15.设全集R U =，已知2302x A xx ⎧+⎫=>⎨⎬-⎩⎭，{}12B x x =-<，则()U A B =ð（ ）A. 3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭B. (]1,2-C. (]2,3D. [)2,316.设R a ∈，则“1a =-”是“()()2f x ax x =-在()0,+∞上单调递增”的（ ） A.充要条件 B.既不充分也不必要条件 C.充分不必要条件D.必要不充分条件17.如图所示，PAB ∆所在平面α和四边形ABCD 所在的平面β互相垂直，且AD α⊥，BC α⊥，4AD =，8BC =，6AB =，若tan 2tan 1ADP BCP ∠-∠=，则动点P 在平面α内的轨迹是（ ）A.线段B.椭圆的一部分C.抛物线D.双曲线的一部分 18.已知F 为抛物线24y x =的焦点，,,A B C 为抛物线上的三点， O 为坐标原点，F 若为ABC ∆的重心，,,OFA OFB OFC ∆∆∆面积分别记为123,,S S S ，则222123S S S ++的值为（ ） A.3 B.4C.6D.9三、解答题（本大题共5题，满分74分）19.（本题满分12分）本题共2小题，第1小题5分，第2小题7分. 已知函数()log a f x b x =+（0a >且1a ≠）的图像经过点()8,2和()1,1-. （1）求函数()f x 的解析式；（2）令()()()21g x f x f x =+-，求()g x 的最小值及取最小值时x 的值. ξ 1- 0 1P ab cβαPB ADC20.（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.在如图所示的几何体中，四边形C D P Q 为矩形，四边形ABCD 为直角梯形，且90BAD ADC ∠=∠=，平面CDPQ ⊥平面ABCD ，112AB AD CD ===，2PD =.（1）若M 为PA 的中点，求证：AC //平面DMQ ； （2）求平面PAD 与平面PBC 所成的锐二面角的大小.21.（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.如图，经过村庄A 有两条夹角60为的公路,AB AC ，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库,M N （异于村庄A ），要求2PM PN MN ===（单位：千米）.记AMN θ∠=.（1）将,AN AM 用含θ的关系式表示出来；（2）如何设计（即,AN AM 为多长时），使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离AP 最大）？ABCQPD MA MBPNC22.（本题满分16分）本题共3小题，第1小题5分，第2小题5分，第2小题6分. 已知圆()221:18F x y ++=，点()21,0F ，点Q 在圆1F 上运动，2QF 的垂直平分线交1QF 于点P . （1）求动点P 的轨迹的方程C ；（2）设,M N 分别是曲线C 上的两个不同点，且点M 在第一象限，点N 在第三象限，若122OM ON OF +=，O 为坐标原点，求直线MN 的斜率；（3）过点10,3S ⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线l 交曲线C 于,A B 两点，在y 轴上是否存在定点T ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点T 的坐标，若不存在，请说明理由.23.（本题满分18分）本题共3小题，第1小题6分，第2小题6分，第2小题6分.已知数列{}n a 满足：121a a ==，且()*22N n n n a a n +-=∈，设3n n b a =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）在数列{}n b 中，是否存在连续的三项构成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，请说明理由；（3）试证明：在数列{}n b 中，一定存在正整数(),1k l k l <<，使得1,,k l b b b 构成等比数列；并求出,k l 之间的关系.虹口区2015年数学学科（理科）高考练习卷答案（仅供参考）一．填空题 1. i -； 2. 12； 3. 11()(0)1x f x x e -=>-； 4. 7； 5. 1-；6. 10；7. 4n； 8. 1y =； 9. 23； 10. {|2,}x x k k Z ππ=+∈ 11.31-； 12.59； 13. 71-； 14. 436-；二．选择题15. B ； 16. C ； 17. D ； 18. A ； 三．解答题19.（1）2()1log f x x =-+；（2）1x =，()1g x =； 20.（1）联结PC ，证明略；（2）3π； 21.（1）43sin 3AN θ=；43sin(120)3AM θ=︒-；（2）2AM AN ==，23AP = 22.（1）2212x y +=；（2）31414；（3）(0,1)；23.（1）1(21)31(21)3nn n n a n ⎧+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩，为奇数，为偶数；（2）23b =，39b =，415b =成等差数列；（3）略。

虹口区2015年数学学科（理科）高考练习卷时间120分钟，满分150分 2015.4.21一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1、计算：20151+1i i=+_________.（i 是虚数单位）2、已知函数()()()132,0,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则()()3f f -=_________.3、函数()()1ln 10f x x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的反函数()1f x -=_______.4、已知正实数,x y 满足31x y +=，则13xx y+的最小值为___________. 5、已知复数3sin cos z i θθ=+（i 是虚数单位），且z =θ为钝角时，tan θ=_______. 6、在上海高考改革方案中，要求每位高中生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科（3门理科学科，3门文科学科）中选择3门学科参加等级考试，小丁同学理科成绩较好，决定至少选择两门理科学科，那么小丁同学的选科方案有_________种.7、设数列{}n a 前n 项的和为n S ，若14a =，且()*13N n n a S n +=∈，则n S =_________.8、在极坐标系中，过点4π⎫⎪⎭且与圆2cos ρθ=相切的直线的方程为_______________.9、若二项式6x ⎛- ⎝展开式中含2x 项的系数为52，则()2lim 1n n a a a →∞++++=__________.10、若行列式()51sin 0cos 24x x ππ+⎛⎫+ ⎪⎝⎭的第1行第2列的元素1的代数余子式为1-，则实数x 的取值集合为___________.11、如图所示，已知12,F F 为双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的两个焦点，且122F F =，若以坐标原点O 为圆心，12F F为直径的圆与该双曲线的左支相交于,A B 两点，且2F AB ∆ 为正三角形，则双曲线的实轴长为__________.12、随机变量ξ的分布列为其中,,a b c 成等差数列，若13E ξ=，则D ξ=_________. 13、已知向量,a b ，满足2a b a b ==⋅=，且()()0a c b c -⋅-=，则2b c -的最小值为_______. 14、若()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意的实数0x ≥，总有正常数T ，使得()()f x T f x T +=+成立，则称()f x 具有“性质p ”，已知函数()g x 具有“性质p ”，且在[]0,T 上，()2g x x =；若当[],4x T T ∈-时，函数()y g x kx =-恰有8个零点，则实数k =__________.二、选择题（本题共4题，满分20分）15.设全集R U =，已知2302x A xx ⎧+⎫=>⎨⎬-⎩⎭，{}12B x x =-<，则()U A B =（ ）A. 3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭B. (]1,2-C. (]2,3D. [)2,316.设R a ∈，则“1a =-”是“()()2f x ax x =-在()0,+∞上单调递增”的（ ） A.充要条件 B.既不充分也不必要条件 C.充分不必要条件D.必要不充分条件17.如图所示，PAB ∆所在平面α和四边形ABCD 所在的平面β互相垂直，且AD α⊥，BC α⊥，4AD =，8BC =，6AB =，若tan 2tan 1ADP BCP ∠-∠=，则动点P 在平面α内的轨迹是（ ）A.线段B.椭圆的一部分C.抛物线D.双曲线的一部分 18.已知F 为抛物线24y x =的焦点，,,A B C 为抛物线上的三点， O 为坐标原点，F 若为ABC ∆的重心，,,OFA OFB OFC ∆∆∆面积分别记为123,,S S S ，则222123S S S ++的值为（ ） A.3 B.4C.6D.9三、解答题（本大题共5题，满分74分）19.（本题满分12分）本题共2小题，第1小题5分，第2小题7分. 已知函数()log a f x b x =+（0a >且1a ≠）的图像经过点()8,2和()1,1-. （1）求函数()f x 的解析式；（2）令()()()21g x f x f x =+-，求()g x 的最小值及取最小值时x 的值.20.（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.βαPB ADC在如图所示的几何体中，四边形CDPQ 为矩形，四边形ABCD 为直角梯形，且90BAD ADC ∠=∠=，平面CDPQ ⊥平面ABCD ，112AB AD CD ===，PD =（1）若M 为PA 的中点，求证：AC //平面DMQ ； （2）求平面PAD 与平面PBC 所成的锐二面角的大小.21.（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.如图，经过村庄A 有两条夹角60为的公路,AB AC ，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库,M N （异于村庄A ），要求2PM PN MN ===（单位：千米）.记AMN θ∠=.（1）将,AN AM 用含θ的关系式表示出来；（2）如何设计（即,AN AM 为多长时），使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离AP 最大）？ABCQPD MA MBPNC22.（本题满分16分）本题共3小题，第1小题5分，第2小题5分，第2小题6分. 已知圆()221:18F x y ++=，点()21,0F ，点Q 在圆1F 上运动，2QF 的垂直平分线交1QF 于点P .（1）求动点P 的轨迹的方程C ；（2）设,M N 分别是曲线C 上的两个不同点，且点M 在第一象限，点N 在第三象限，若122OM ON OF +=，O 为坐标原点，求直线MN 的斜率；（3）过点10,3S ⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线l 交曲线C 于,A B 两点，在y 轴上是否存在定点T ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点T 的坐标，若不存在，请说明理由.23.（本题满分18分）本题共3小题，第1小题6分，第2小题6分，第2小题6分. 已知数列{}n a 满足：121a a ==，且()*22N n n n a a n +-=∈，设3n n b a =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）在数列{}n b 中，是否存在连续的三项构成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，请说明理由；（3）试证明：在数列{}n b 中，一定存在正整数(),1k l k l <<，使得1,,k l b b b 构成等比数列；并求出,k l 之间的关系.虹口区2015年数学学科（理科）高考练习卷答案（仅供参考）一．填空题 1. i -； 2. 12； 3. 11()(0)1x f x x e -=>-； 4. 7； 5. 1-； 6. 10； 7. 4n； 8. 1y =； 9. 23； 10. {|2,}x x k k Z ππ=+∈11.1； 12.59；13. 1；14. 6；二．选择题15. B ； 16. C ； 17. D ； 18. A ； 三．解答题19.（1）2()1log f x x =-+；（2）1x =，()1g x =； 20.（1）联结PC ，证明略；（2）3π； 21.（1）AN θ=；)AM θ=︒-；（2）2AM AN ==，AP =22.（1）2212x y +=；（2）14；（3）(0,1)；23.（1）1(21)31(21)3nn n n a n ⎧+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩，为奇数，为偶数；（2）23b =，39b =，415b =成等差数列；（3）略。

2015虹口二模Word版上海市虹口区2015届高三二模数学理试题 Word版含答案虹口区2015年数学学科（理科）高考练卷时间120分钟，满分150分。

2015年4月21日。

一、填空题（本大题满分56分）1.计算：$\frac{1+i}{1+i^2}$ = $\frac{1+i}{1-1}$ = $-i$2.已知函数$f(x)$ = $\begin{cases}2x。

(x\leq 1) \\ x。

(x>1)\end{cases}$，则$f(f(-3))$ = $f(2)$ = 43.函数$f(x)$ = $ln(\frac{1}{x}+1)$，则$f^{-1}(x)$ = $\frac{1}{1+e^{-x}}$4.已知正实数$x,y$满足$x+3y=1$，则$\frac{13x}{xy}$的最小值为$\frac{13}{9}$5.已知复数$z$ = $3sin\theta+icos\theta$，且$z$ = 5，且当$\theta$为钝角时，$tan\theta$ = $-\frac{4}{3}$6.在上海高考改革方案中，要求每位高中生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科（3门理科学科，3门文科学科）中选择3门学科参加等级考试，XXX同学理科成绩较好，决定至少选择两门理科学科，那么XXX同学的选科方案有20种。

7.设数列$\{a_n\}$前$n$项的和为$S_n$，若$a_1$ = 4，且$a_{n+1}$ = $3S_n$，则$S_n$ = $\frac{4(3^n-1)}{2}$8.在极坐标系中，过点$(2,\frac{\pi}{4})$且与圆$\rho$ = $2cos\theta$相切的直线的方程为$y=x\sqrt{2}$9.若二项式$(x-\frac{3}{2})^6$展开式中含$x^2$项的系数为20，则$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{2x(1+a+a^2+。

2015年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（本大题共有14题，满分48分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．（4分）（2015•上海）设全集U=R．若集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，则Α∩∁UΒ=．2．（4分）（2015•上海）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z=．3．（4分）（2015•上海）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2=．4．（4分）（2015•上海）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=．5．（4分）（2015•上海）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p=．6．（4分）（2015•上海）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为．7．（4分）（2015•上海）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为．8．（4分）（2015•上海）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．9．（2015•上海）已知点P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹分别为双曲线C1和C2．若C1的渐近线方程为y=±x，则C2的渐近线方程为．10．（4分）（2015•上海）设f﹣1（x）为f（x）=2x﹣2+，x∈[0，2]的反函数，则y=f（x）+f﹣1（x）的最大值为．11．（4分）（2015•上海）在（1+x+）10的展开式中，x2项的系数为（结果用数值表示）．12．（4分）（2015•上海）赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则Eξ1﹣Eξ2=（元）．13．（4分）（2015•上海）已知函数f（x）=sinx．若存在x1，x2，…，x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12（m≥0，m∈N*），则m的最小值为．14．（2015•上海）在锐角三角形A BC中，tanA=，D为边BC上的点，△A BD与△ACD 的面积分别为2和4．过D作D E⊥A B于E，DF⊥AC于F，则•=．二、选择题（本大题共有4题，满分15分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）（2015•上海）设z1，z2∈C，则“z1、z2中至少有一个数是虚数”是“z1﹣z2是虚数”16．（5分）（2015•上海）已知点A的坐标为（4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（）B17．（2015•上海）记方程①：x2+a1x+1=0，方程②：x2+a2x+2=0，方程③：x2+a3x+4=0，其中a1，a2，a3是正实数．当a1，a2，a3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是18．（5分）（2015•上海）设P n（x n，y n）是直线2x﹣y=（n∈N*）与圆x2+y2=2在第一象限的交点，则极限=（）三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）（2015•上海）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=1，AB=AD=2，E、F分别是AB、BC的中点，证明A1、C1、F、E四点共面，并求直线CD1与平面A1C1FE所成的角的大小．20．（14分）（2015•上海）如图，A，B，C三地有直道相通，AB=5千米，AC=3千米，BC=4千米．现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为f （t）（单位：千米）．甲的路线是AB，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为8千米/小时．乙到达B地后原地等待．设t=t1时乙到达C地．（1）求t1与f（t1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t1≤t≤1时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t1，1]上的最大值是否超过3？说明理由．21．（14分）（2015•上海）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别于椭圆交于A、B和C、D，记得到的平行四边形ABCD的面积为S．（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=2|x1y2﹣x2y1|；（2）设l1与l2的斜率之积为﹣，求面积S的值．22．（16分）（2015•上海）已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n），n∈N*．（1）若b n=3n+5，且a1=1，求数列{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项，即a≥a n（n∈N*），求证：数列{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1=λ＜0，b n=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得{a n}有最大值M与最小值m，且∈（﹣2，2）．23．（18分）（2015•上海）对于定义域为R的函数g（x），若存在正常数T，使得cosg（x）是以T为周期的函数，则称g（x）为余弦周期函数，且称T为其余弦周期．已知f（x）是以T为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R．设f（x）单调递增，f（0）=0，f（T）=4π．（1）验证g（x）=x+sin是以6π为周期的余弦周期函数；（2）设a＜b，证明对任意c∈[f（a），f（b）]，存在x0∈[a，b]，使得f（x0）=c；（3）证明：“u0为方程cosf（x）=1在[0，T]上得解，”的充分条件是“u0+T为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解”，并证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）．2015年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有14题，满分48分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．（4分）（2015•上海）设全集U=R．若集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，则Α∩∁UΒ= {1，4}．2．（4分）（2015•上海）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z=．，则，则=a=1+i，b=故答案为：3．（4分）（2015•上海）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2=16．，是方程组，是方程组4．（4分）（2015•上海）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=4．•a=16的等边三角形，面积为•a=165．（4分）（2015•上海）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p=2．=16．（4分）（2015•上海）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为．=故答案为：．7．（4分）（2015•上海）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为2．8．（4分）（2015•上海）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为120（结果用数值表示）．9．（2015•上海）已知点P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q 的轨迹分别为双曲线C1和C2．若C1的渐近线方程为y=±x，则C2的渐近线方程为．，即故答案为：．10．（4分）（2015•上海）设f﹣1（x）为f（x）=2x﹣2+，x∈[0，2]的反函数，则y=f（x）+f﹣1（x）的最大值为4．[在[[]11．（4分）（2015•上海）在（1+x+）10的展开式中，x2项的系数为45（结果用数值表示）．1+x+，令．12．（4分）（2015•上海）赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则Eξ1﹣Eξ2=0.2（元）．1 2 3 4 5（1.42.8 4.2 5.6====（1+2+3+13．（4分）（2015•上海）已知函数f（x）=sinx．若存在x1，x2，…，x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12（m≥0，m∈N*），则m的最小值为8．14．（2015•上海）在锐角三角形A BC中，tanA=，D为边BC上的点，△A BD与△ACD的面积分别为2和4．过D作D E⊥A B于E，DF⊥AC于F，则•=﹣．cosA=，∴，，，∴tanA=，∴，联立，得cosA=，得∴•=．故答案为：二、选择题（本大题共有4题，满分15分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）（2015•上海）设z1，z2∈C，则“z1、z2中至少有一个数是虚数”是“z1﹣z2是虚数”16．（5分）（2015•上海）已知点A的坐标为（4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（）B4=，=逆时针旋转，则，）sin）（×+ +6=17．（2015•上海）记方程①：x2+a1x+1=0，方程②：x2+a2x+2=0，方程③：x2+a3x+4=0，其中a1，a2，a3是正实数．当a1，a2，a3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是，）18．（5分）（2015•上海）设P n（x n，y n）是直线2x﹣y=（n∈N*）与圆x2+y2=2在第一象限的交点，则极限=（）y=y=，而∴三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）（2015•上海）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=1，AB=AD=2，E、F分别是AB、BC的中点，证明A1、C1、F、E四点共面，并求直线CD1与平面A1C1FE所成的角的大小．的法向量为，所以，即，，所以，=arcsin20．（14分）（2015•上海）如图，A，B，C三地有直道相通，AB=5千米，AC=3千米，BC=4千米．现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是AB，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为8千米/小时．乙到达B地后原地等待．设t=t1时乙到达C地．（1）求t1与f（t1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t1≤t≤1时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t1，1]上的最大值是否超过3？说明理由．=h=PC=时，，＜，综合可得当=×千米，=PC==时，乙在，＜＜，21．（14分）（2015•上海）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别于椭圆交于A、B和C、D，记得到的平行四边形ABCD的面积为S．（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=2|x1y2﹣x2y1|；（2）设l1与l2的斜率之积为﹣，求面积S的值．xd=|AB|=2|AO|=2的斜率为﹣，可求得的斜率分别为，则，利用xd=|AB|=2|AO|=2的斜率为﹣，消去±==|=的斜率分别为，则，∴（+4+=，．22．（16分）（2015•上海）已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n），n∈N*．（1）若b n=3n+5，且a1=1，求数列{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项，即a≥a n（n∈N*），求证：数列{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1=λ＜0，b n=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得{a n}有最大值M与最小值m，且∈（﹣2，2）．，求得，然后分﹣∈∴∴）可得，单调递减，有最大值；∴∈∴，23．（18分）（2015•上海）对于定义域为R的函数g（x），若存在正常数T，使得cosg（x）是以T为周期的函数，则称g（x）为余弦周期函数，且称T为其余弦周期．已知f（x）是以T为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R．设f（x）单调递增，f（0）=0，f（T）=4π．（1）验证g（x）=x+sin是以6π为周期的余弦周期函数；（2）设a＜b，证明对任意c∈[f（a），f（b）]，存在x0∈[a，b]，使得f（x0）=c；（3）证明：“u0为方程cosf（x）=1在[0，T]上得解，”的充分条件是“u0+T为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解”，并证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）．=x+sin∴参与本试卷答题和审题的老师有：whgcn；孙佑中；maths；caoqz；刘长柏；翔宇老师；danbo7801；sxs123；雪狼王；lincy；wfy814；wkl197822（排名不分先后）菁优网2015年7月10日第21页（共21页）。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海）卷数学（理科）一．填空题：共14小题，每小题4分，共56分。

1．设全集U R =，若集合{}1,2,3,4A =，{}23B x x =≤≤，则UAB =_________。

2．若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z =_________。

3．若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫⎪⎝⎭，解为35x y =⎧⎨=⎩，则12c c -=__________。

4．若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为a =__________。

5．抛物线22y px =（0p >）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p =_______。

6．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为_______。

7．方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为___________。

28．在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为________（结果用数值表示）。

9．已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C 。

若1C的渐近线方程为y =，则2C 的渐近线方程为__________。

10．设()1fx -为()222x x f x -=+，[]0,2x ∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为_________。

11．在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为________（结果用数值表示）。

12．赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1,2,3,4,5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）。

2015年高考上海市理科数学真题（有简要答案）一、填空题（共14小题）1.设全集．若集合，，则 ．2.若复数满足，其中为虚数单位，则． 3.若线性方程组的增广矩阵为、解为，则 ． 4.若正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为，则．5.抛物线（）上的动点到焦点的距离的最小值为，则．6.若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为，则其母线与轴的夹角的大小为 ．7.方程的解为 ．8.在报名的名男教师和名女教师中，选取人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）． 9.已知点和的横坐标相同，的纵坐标是的纵坐标的倍，和的轨迹分别为双曲线和．若的渐近线方程为，则的渐近线方程为 ．10.设为，的反函数，则的最大值为 ． 11.在的展开式中，项的系数为 （结果用数值表示）．12.赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有，，，，的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量和分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则 （元）． 13.已知函数．若存在，，，满足，且（*2,n n N ≥∈），则n 的最小值为 ． 14.在锐角三角形中，，为边上的点，与的面积分别为和．过作于，于，则．二、单选题（共4小题）15.设，，则“、中至少有一个数是虚数”是“是虚数”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件16.已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的纵坐标为（）A． B． C． D．17.记方程①：，方程②：，方程③：，其中，，是正实数．当，，成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（）A．方程①有实根，且②有实根 B．方程①有实根，且②无实根C．方程①无实根，且②有实根 D．方程①无实根，且②无实根18.设是直线（）与圆在第一象限的交点，则极限（）A． B． C． D．三、解答题（共5小题）19.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=1，AB=AD=2，E、F分别是棱AB、BC的中点.证明A1、C1、F、E四点共面，并求直线CD1与平面A1C1FE所成的角的大小.20.如图，A 、B 、C 三地有直道相通，AB =5千米，AC =3千米，BC =4千米，现甲乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为(单位：千米).甲的路线是AB ，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB ，速度为8千米/小时. 乙到达B 地后在原地等待. 设t =t 1时，乙到达C 地. （1）求t 1与的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米. 当时，求的表达式，并判断在[t 1,1]上的最大值是否超过3？说明理由.21.已知椭圆，过原点的两条直线l 1和l 2分别与椭圆交于点A 、B 和C 、D 记得到的平行四边形ACBD 的面积为S . （1）设A ()，C (). 用A 、C 的坐标表示C 到直线l 1的距离，并证明；（2）设l 1与l 2的斜率之积为，求面积S 的值.22.已知数列满足*112(),n n n n a a b b n N ++-=-∈（1）若，，求的通项公式；（2）设的第项是最大项，即0*,n n a a n N ≥∈.求证的第项是最大项；（3）设.求的取值范围，使得有最大值与最小值，且.23.对于定义域为的函数，若存在正常数，使得是以为周期的函数，则称为余弦周期函数，且称为其余弦周期.已知是以为余弦周期的余弦周期函数，其值域为.设单调递增，，.（1）验证是以为余弦周期的余弦周期函数；（2）设.证明对任意，存在，使得；（3）证明：“为方程在上的解”的充要条件是“为方程在上的解”，并证明对任意都有.答案部分1.B2.D3.B4. A5. 6.7.16 8..4 9. 2 10.:11.:212.:120 13.14.4 15. 45 16. 0.2 17.8 18.19.答案:因此直线与平面所成的角的大小20.答案:（1）；（2）见解析21.答案:（1）见解析（2）22.答案:（1）的通项公式为，（2）见解析（3）的取值范围是23.答案:见解析。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、填空题（本大题共14小题，共56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．（2015上海理）设全集U R =，若集合{}1,2,3,4A =，{}|23B x x =≤≤，则U A B =I ð ． 【答案】{}1,4【解析】根据题意，可得{}|32U B x x x =><或ð，故{}1,4U A B =I ð．【考点】集合的基本性质 【难易】易 2．（2015上海理）若复数z 满足31i z z +=+，其中i 为虚数单位，则z = ．【答案】11i 42+【解析】设()i ,z x y x y R =+∈，根据题意，有i z x y =-，可把31i z z +=+化简成33i i 1i x y x y ++-=+，对于系数相等可得出1,4x =12y =，11i 42z ∴=+．【考点】复数的运算法则、复数相等，属于基础题． 【难易】易3．（2015上海理）若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭、解为35x y =⎧⎨=⎩，则12c c -= ． 【答案】16【解析】根据增广矩阵的定义可以还原成方程组12230x y c y c +=⎧⎨+=⎩把35x y =⎧⎨=⎩代入，可得1221,5c c ==，1216c c ∴-=．【考点】考查增广矩阵的求解【难易】易 4．（2015上海理）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为，则a = ． 【答案】4【解析】根据正三棱柱的体积计算公式=V h S =⋅底12a a ⨯⨯=3=4a ⇒=． 【考点】考查正棱柱的定义以及体积公式 【难易】易 5．（2015上海理）抛物线()220y px p =>上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = ． 【答案】2【解析】根据抛物线的性质，我们知道当且仅当动点Q 运动到原点的时候，才与抛物线焦点的距离的最小，所以有min 12pQP ==．2p ∴=.【考点】本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础． 【难易】易 6．（2015上海理）若圆锥的侧面积与过轴的截面积面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 ．【答案】3π 【解析】设这个圆锥的母线长为'h ，底面半径为r ，母线与轴的夹角为θ，所以'1=2S l h ⋅⋅侧，而过轴的截面是一个三角形，故122S r h =⋅⋅轴，有h ='122122l h S S r h π⋅⋅==⋅⋅侧轴，'2,h h h ⇒==,'h r ∴='sin r h θ==3πθ∴=．【考点】考查的知识点是旋转体，其中根据已知求出圆锥的母线与轴的夹角的余弦值 【难易】中 7．（2015上海理）方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为 ．【答案】2【解析】由条件可得()111195032095432x x x x ----⎧->⎪⎪->⎨⎪-=-⎪⎩()()()2111134330,33310x x x x ----⇒-⋅+=--=，133,x -=2,x ⇒=131,x -=1x ⇒=，所以1x =或2x =，检验后只有2x =符合．【考点】本题考查了对数的运算性质及指数运算性质及其方程的解法 【难易】中 8．（2015上海理）在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方法的种数为 ．（结果用数值表示） 【答案】120【解析】这里男女老师都要有的话，可以分男1、女4，男2、女3 和男3、女4，所以有142332363636456015120C C C C C C ++=++=．【考点】本题考查排列、组合的运用 【难易】中 9．（2015上海理）已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2 倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C ，若1C 的渐近线方程为y =，则2C 的渐近线方程为 ．【答案】y = 【解析】设点P 和Q 的坐标为(),x y 、()00,x y ，则有002x x y y =⎧⎨=⎩，又因为1C 的渐近线方程为y =，故设1C 的方程为223x y λ-=，把P 点坐标代入，可得22034x y λ-=，令0λ=，20y ⇒±=即为曲线2C 的渐近线方程，即y =． 【考点】本题考查双曲线的方程与性质 【难易】中10．（2015上海理）设()1f x -为()[]22,0,22x xf x x -=+∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为 ．【答案】4【解析】通过分析，我们可得函数()222x x f x -=+在定义域[]0,2上是单调递增的，且值域为124⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，由反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域以及反函数与原函数的单调性相同，可得()1f x -的定义域为124⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，值域为[]0,2，又原函数与反函数的公共定义域为124⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，故()()1max max max 224y f f -=+=．【考点】本题考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，考查了函数的单调性 【难易】中11．（2015上海理）在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为 ．（结果用数值表示）【答案】45【解析】在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭中要得到2x 项的系数，肯定不能含有20151x 项，故只有()()010100102015111C x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，而对于()101x +，2x 项的系数为28210145C x =． 【考点】本题考本题考查了二项式系数的性质，关键是对二项展开式通项的记忆与运用【难易】中 12．（2015上海理）赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客现在标有1 ,2,3,4,5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量1ξ和2ξ分别表示赌客在每一局赌博中的赌金与奖金，则12E E ξξ-= ．（元） 【答案】0.2【解析】由题可知，()225441.4,10P C ξ===()225332.8,10P C ξ===()225224.2,10P C ξ===()215.610P ξ==，所以，ξ和ξ的分布列分别为：1ξ 1 2 3 4 5P 15 15 15 15 15()11123453,5E ξ=++++=2 1.40.4 2.80.3 4.20.2 5.60.1 2.8E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=，即有120.2E E ξξ-=．【考点】本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算 【难易】中 13．（2015上海理）已知函数()sin f x x =，若12,,,m x x x L 存在满足1206m x x x π≤<<<≤L ，且()()()()()()()*12231122,m m f x f x f x f x f x f x m m N --+-++-=≥∈L ，则m 的最小值为 ．【答案】8【解析】对任意的,i j x x ，()()()()max min 2i j f x f x f x f x -≤-=，欲使m 取最小值，尽可能多的让()1,2,,i x i m =L 取最值点，考虑到1206m x x x π≤<<<≤L ，()()()()()()()*12231122,m m f x f x f x f x f x f x m m N --+-++-=≥∈L ，按照右图所示取值可以满足条件，所以m 的最小值为8． 【考点】本题主要考察正弦函数的图像 【难易】中2ξ 1.4 2.8 4.2 5.6P 410 310 210 11014．（2015上海理）在锐角ABC ∆中，1tan 2A =，D 为BC 边上的一点，ABD ∆与ACD ∆面积分别为2和4，过D 作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，则DE DF ⋅=u u u r u u u r．【答案】1615-【解析】由题可知，cos cos EDF A ∠=-，122ABD S AB DE ∆==，142ACD S AC DF ∆==，1sin 62ABC S AB AC A ==V ，所以4DE AB =，8DF AC =，12sin AB AC A= 4832cos cos cos DE DF DE DF EDF A A AB AC AB AC⋅=⋅∠=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，化简可得28442tan 16sin cos sin 23331tan 15A DE DF A A A A ⋅=-=-=-=-+u u u r u u u r ． 【考点】本题考查平面向量的数量积运算，考查了数形结合的解题思想方法，考查了三角函数的化简与求值，是中档题．‘【难易】中二、选择题（本大题共有4题，满分20分）考生应在答题纸相应编号位置填涂，每题只有一个正确选项，选对得5分，否则一律得零分． 15．（2015上海理）设12,z z C ∈，则“12,z z 中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件 【答案】B【解析】充分性不成立，如11i z =+，22i z =+，121z z -=-不是虚数；必要性成立，采用反证法，若12,z z 全不是虚数，即12,z z 均为实数，则12z z -比为实数，所以12z z -是虚数，则12,z z 中至少有一个数是虚数，故选B ．【考点】本题主要考查充要条件+复数的有关概念 【难易】易16．（2015上海理）已知点A 的坐标为()43,1，将OA 绕坐标原点O 逆时针转3π至OB ，则B 的纵坐标为（ ） A ．33 B ．53 C ．112 D ．132【答案】D【解析】以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设(),A ρθ，则,3B πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，且sin 1ρθ=，cos 43ρθ=，B 的纵坐标为：131313sin sin cos 433222πρθρθρθ⎛⎫+=+=+⨯= ⎪⎝⎭，故选D ． 【点评】三角函数的定义以及两角和差的正弦公式． 【难易】中 17．（2015上海理）记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中1,a 2,a 3a 是正实数．当123,,a a a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ） A ．方程①有实根，且②有实根 B ．方程①有实根，且②无实根C ．方程①无实根，且②有实根D ．方程①无实根，且②无实根 【答案】B【解析】方程③无实根，则233160a ∆=-<，又2114a ∆=-，2228a ∆=-，当123,,a a a 成等比数列时，2213a a a =，即有2231a a a =，由30∆<得22223116160a a a ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，即422116a a <，当方程①有实根，且②无实根时，214a >，228a <，可以推出42216416416a a <<⨯<，故选B ．【考点】二次函数判别式+等比数列【难易】中18．（2015上海理）设(),n n n P x y 是直线()*21nx y n N n -=∈+与圆222x y +=在第一象限的交点，则极 限1lim1n n n y x →∞-=-（ ） A ．1- B ．12- C ．1 D ．2【答案】A【解析】采用极限思想求解当n →∞时，直线()*21nx y n N n -=∈+趋向于21x y -=，直线与圆的交点趋向于()1,1P ，1lim 1n n ny x →∞--可以理解为过点()1,1P 所作的圆的切线的斜率k ，设切线方程为()11y k x -=-，结合d r =，即2121kk -=+，解之1k =-，即1lim11n n n y x →∞-=--，故选A ． 【考点】本题考查了极限思想、圆的切线的斜率、斜率计算公式 【难易】中三、解答题（本题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19．（2015上海理）（本小题满分12分）如图，在长方体中1111ABCD A B C D -，11AA =，2AB AD ==，E 、F 分别是棱AB 、BC 的中点，证明1A 、1C 、F 、E 四点共面，并求直线1CD 与平面11A C FE 所成角的大小．解：由于E 、F 分别是棱AB 、BC 的中点，所以//EF AC ，又11//AC AC ，所以11//EF AC ，由公理三的推论，可知1A 、1C 、F 、E 四点共面．连接1A F 、1A B 由于11//CD A B ，所 以直线1CD 与平面11A C FE 所成角的大小与1A B 与平面11A C FE 所成角的大小相等．设1A B与平面11A C FE 所成角为θ，点B 到平面1A EF 的距离为d ，则1sin dA Bθ=，在三棱锥1A EFB -中，体积1A EFB B A EF V V --=，所以111133EFB A EF S AA S d ∆∆⋅=⋅，即11EFB A EF S AA d S ∆∆⋅=，结合题中的数据，可以计算出12EFB S ∆=，15AF A B ==，12A F EF ==，16A F =，由此可以计算出13A EF S ∆=，所以3d =，所以115sin d A B θ==，即15arcsin θ=，所以直线1CD 与平面11A C FE 所成角的大小为15arcsin ． 【考点】本题主要考查利用空间直角坐标系求出二面角的方法 【难易】中 20．（2015上海理）（本小题满分14分）如图，A 、B 、C 三地有直道相通，5AB =千米，3AC =千米，4BC =千米，现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为()f t （单位：千米）．甲的路线是AB ，速度是5千米/小时，乙的路线是ACB ，速度为8千米/小时．乙到达B 地后原地等待，设1t t =时，乙到达C 地． （Ⅰ）求1t 与()1f t 的值；（Ⅰ）已知警员的对讲机的有效通话距离为3千米．当11t t ≤≤时，求()f t 的表达式，并判断()f t 在[]1,1t 上的最大值是否超过3？说明理由．解：（Ⅰ）由题中条件可知138t =小时，此时甲与A 点距离为158千米，由余弦定理可知()2211515336992388564f t ⎛⎫=+-⨯⨯⨯=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，所以()1f t = ……6分 （Ⅰ）易知，当78t =时乙到达B 位置，所以①当3788t ≤≤时，()()()()()2222147855278552542185f t t t t t t t =-+--⋅-⋅-⋅=-+⎡⎤⎣⎦； ②当718t ≤≤时，()55f t t =-；综合①②，()13788755,18t f t t t ≤≤=⎨⎪-<≤⎪⎩当321825t ≤≤时，()f t单调递减，此时函数的值域为35⎡⎢⎣⎦； 当217258t ≤≤时，()f t 单调递增，此时函数的值域为35,58⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 当718t ≤≤时，()f t 单调递减，此时函数的值域为50,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 由此，函数()f t 在[]1,1t上的值域为⎡⎢⎣⎦，而298⎛< ⎝⎭3<， 所以()f t 在[]1,1t 上的最大值没有超过3． ……14分【考点】本题考查解三角形的实际应用，涉及余弦定理和分段函数 【难易】中 21．（2015上海理）（本小题满分14分）已知椭圆2221x y +=，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点A 、B和C 、D ，记得到的平行四边形ACBD 的面积为S ．（Ⅰ）设()11,A x y ，()22,C x y ．用A C 、坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明12212S x y x y =-； （Ⅰ）设1l 与2l 的斜率之积为12-，求面积S 的值．解：（Ⅰ）由题易知A C 、两点的横坐标不能同时为零，下面分两种情况：①当A C 、两点的横坐标有一个为零时，不妨设10x =，20x ≠不失一般性，此时1l 与y 轴重合，C 到直线1l 的距离为2x ，平行四边形ACBD 的面积为212S x y =；②当A C 、两点的横坐标均不为0时，即1l 和2l 的斜率均存在时，设1l 的方程为y kx =，其中11y k x = 2221y kxx y =⎧⎨+=⎩可得()222110k x +-=，所以弦长AB =====点C 到直线1l的距离d 所以四边形ACBD 的面积为12212S AB d x y x y =⋅=-综合①②点C 到直线1l，平行四边形ACBD 的面积为12212x y x y -． ……6分（Ⅰ）解法一：易知两直线的斜率分别为：111l y k x =，222l y k x =，由1l 与2l 的斜率之积为12-可得：12122x x y y =-，又221112x y =-，222212x y =-，所以()()2222222121212122124x x y y y y y y =-=-++，即221212y y +=， ()2212212S x y x y =-()22221221122142x y x y x y x y =+-()()222222211212412124y y y y y y ⎡⎤=-+-+⎣⎦化简得()2221242S y y =+=……14分 解法二：设直线1l 的斜率为k ，则直线2l 的斜率为12k -，设直线1l 的方程为y kx =，联立方程组2221y kx x y =⎧⎨+=⎩， 消去y解得x =1x =1y =，同理可得2x =2y =，所以12212S x y x y =-=． ……14分 【考点】本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查方程思想、等价转化思想与综合运算能力. 【难易】中22．（2015上海理）已知数列{}n a 与{}n b 满足()112n n n n a a b b ++-=-，n *∈N . （1）若35n b n =+，且11a =，求数列{}n a 的通项公式；（2）设{}n a 的第0n 项是最大项，即0n n a a >（n *∈N ），求证：数列{}n b 的第0n 项是最大项； （3）设10a λ=<，n n b λ=（n *∈N ），求λ的取值范围，使得{}n a 有最大值M 与最小值m ，且()2,2mM∈-. 【答案】（1）65n a n =-（2）详见解析（3）1,02⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】解：（1）由13n n b b +-=，得16n n a a +-=， 所以{}n a 是首项为1，公差为6的等差数列， 故{}n a 的通项公式为65n a n =-，n *∈N .证明：（2）由()112n n n n a a b b ++-=-，得1122n n n n a b a b ++-=-. 所以{}2n n a b -为常数列，1122n n a b a b -=-，即1122n n a b a b =+-. 因为0n n a a ≥，n *∈N ，所以011112222n n b a b b a b +-≥+-，即0n n b b ≥. 故{}n b 的第0n 项是最大项.解：（3）因为nn b λ=，所以()112n n n n a a λλ++-=-， 当2n ≥时，()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+⋅⋅⋅+-+ ()()()1122222n n n n λλλλλλλ---=-+-+⋅⋅⋅+-+2n λλ=-. 当1n =时，1a λ=，符合上式. 所以2n n a λλ=-. 因为0λ>，所以222nn a λλλ=->-，21212n n a λλλ--=-<-.①当1λ<-时，由指数函数的单调性知，{}n a 不存在最大、最小值； ②当1λ=-时，{}n a 的最大值为3，最小值为1-，而()32,21∉--； ③当10λ-<<时，由指数函数的单调性知，{}n a 的最大值222a λλM ==-，最小值1m a λ==，由2222λλλ--<<及10λ-<<，得102λ-<<. 综上，λ的取值范围是1,02⎛⎫-⎪⎝⎭. 【考点】本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了数列的函数特性，训练了累加法求数列的通项公式，以及极限思想方法【难易】难 23．（2015上海理）（本小题满分18分）对于定义域为R 的函数()g x ，若存在正常数T ，使得()cos g x 是以T为周期的函数，则称()g x 为余弦周期函数，且称T 为其余弦周期．已知()f x 是以T 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R ，设()f x 单调递增，()00f =，()4f T π=．（Ⅰ）验证()sin3xh x x =+是以6π为余弦周期的余弦周期函数； （Ⅰ）设a b <，证明对任意()(),x f a f b ∈⎡⎤⎣⎦，存在[]0,x a b ∈，使得()0f x c =；（Ⅰ）证明：“0u 为方程()cos 1f x =在[]0,T 上的解”的充要条件是“0u T +为方程()cos 1f x =在[],2T T 上的解”，并证明对任意[]0,x T ∈都有()()()f x T f x f T +=+．解：（Ⅰ）()cosh cos sin 3x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()()6cosh 6cos 6sin cos 6sin cos sin cosh 333x x x x x x x x ππππ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以()sin 3xh x x =+是以6π为余弦周期的余弦周期函数． ……4分（Ⅰ）当()c f a =或者()c f b =时，由于()f x 单调递增，所以存在0x a =或0x b =使得()0f x c =成立；当()()(),c f a f b ∈，构造函数()()p x f x c =-，则()0p a <，()0p b >，从而()()0p a p b ⋅<，所以存在()0,x a b ∈，使得()00p x =，即存在[]0,x a b ∈，使得()0f x c =成立，证毕． ……10分（Ⅰ）先证必要性：0u 为方程cos ()1f x =在[]0,T 上的解，即0cos ()1f u =，由[]00,u T ∈可得[]0,2u T T T +∈，由于函数()f x是以T 为余弦周期的余弦周期函数，所以00()cos cos ()1f u T f u +==，即0u T +为方程cos ()1f x =在[],2T T 上的解；再证充分性：0u T +为方程cos ()1f x =在[],2T T 上的解，即0c 1s ()o f u T +=，由[]0,2u T T T +∈可得[]00,u T ∈，由于函数()f x 是以T 为余弦周期的余弦周期函数，所以00cos cos ()()1f u f u T =+=，即0u 为方程cos ()1f x =在[]0,T 上的解；下证：对任意[]0,x T ∈都有()()()f x T f x f T +=+． 由于函数()f x 是以T 为余弦周期的余弦周期函数，所以cos ()cos ()f x f x T =+，即有cos ()cos ()0f x f x T -+=， 所以()()()()2sin sin022f x f x T f x f x T ++-+-=，即()()2f x f x T k π++=或()()()Z 2f x f x T k k π-+=∈， 所以()()2f x T f x k π++=或()()()2Z f x T k f x k π+=+∈．①若()()2f x T f x k π++=，由()00f =，()4f T π=，可得2k =． 所以()()4f x T f x π++=，这与函数()f x 为增函数矛盾，舍去； ②若()()()2Z f x T k f x k π+=+∈，由()00f =，()4f T π=，可得2k =， 所以()()4f x T f x π+=+，即()()()f x T f x f T +=+．由此，对任意[]0,x T ∈都有()()()f x T f x f T +=+． ……18分【考点】考查对余弦周期函数定义的理解，充分条件的概念，方程的解的概念，知道由()cos 1f x =能得出()2,f x kx k Z =∈，以及构造方程解题的方法【难易】难8,12题未用公式编辑器，还有很多题中数字，字母没有用公式编辑器，公式和公式之间没有分开（公式和公式之间应该用两个公式编辑，中间用中文的逗号隔开）。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海）卷数学（理科）一．填空题：共14小题，每小题4分，共56分。

1．设全集U R =，若集合{}1,2,3,4A =，{}23B x x =≤≤，则U AB =ð_________。

2．若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z =_________。

3．若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫⎪⎝⎭，解为35x y =⎧⎨=⎩，则12c c -=__________。

4．若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为a =__________。

5．抛物线22y px =（0p >）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p =_______。

6．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为_______。

7．方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为___________。

28．在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为________（结果用数值表示）。

9．已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C 。

若1C的渐近线方程为y =，则2C 的渐近线方程为__________。

10．设()1fx -为()222x xf x -=+，[]0,2x ∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为_________。

11．在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为________（结果用数值表示）。

12．赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1,2,3,4,5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）。

数学试卷 第1页（共18页） 数学试卷 第2页（共18页） 数学试卷 第3页（共18页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理科数学注意事项:1.本试卷共6页,23道试题,满分150分.考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上,在试卷上作答一律不得分.3.答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号,并将核对后的条形码贴在指定位置上.一、填空题：本大题共有14题,满分56分.直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．设全集=U R .若集合={1,2,3,4}A ，{23}B x x ≤≤=，则U AB =ð .2．若复数z 满足31i z z +=+，其中i 为虚数单位，则z = .3．若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭、解为35x y ，，=⎧⎨=⎩则12c c -= . 4．若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为，则a = .5．抛物线22(0)y px p =>上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = . 6．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 . 7．方程1122log (95)log (32)2x x ---=-+的解为 .8．在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）.9．已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C .若1C的渐近线方程为y =，则2C 的渐近线方程为 . 10．设1()f x -为2()22x xf x -=+，[0,2]x ∈的反函数，则1()()y f x f x -=+的最大值为 . 11．在1020151(1)x x++的展开式中，2x 项的系数为 （结果用数值表示）. 12．赌博有陷阱.某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）.若随机变量1ξ和2ξ分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则12E E ξξ-= 元.13．已知函数()sin f x x =.若存在12,,m x x x 满足1206πm x x x ≤＜＜＜≤，且1|f x （）223-1|||++||=122,m m f x f x f x f x f x m m *N （）（）（）（）（）（≥）-+--∈，则m 的最小值为 .14．在锐角三角形ABC 中，1tan 2A =，D 为边BC 上的点，ABD △与ACD △的面积分别为2和4.过D 作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，则 DE DF = . 二、选择题：本大题共有4题,满分20分.每题有且只有一个正确答案,将正确答案填在题后括号内,选对得5分,否则一律得零分.15．设12,z z C ∈，则“12z z ,中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的( )A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .既非充分又非必要条件16．已知点A的坐标为（），将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转π3至OB ，则点B 的纵坐标为( )ABC .112D .13217．记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中1a ，2a ，3a 是正实数.当1a ，2a ，3a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实数根的是( )A .方程①有实根，且②有实根B .方程①有实根，且②无实根C .方程①无实根，且②有实根D .方程①无实根，且②无实根18．设(),n n n P x y 是直线2()1nx y n n *N -=∈+与圆222x y +=在第一象限的交点，则极限 1lim 1n n ny x →∞-=-( ) A .1- B .12- C .1D .2三、解答题：本大题共有5题,满分74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.19.（本小题满分12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AA =，2AB AD ==，E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点.证明：11A C F E ，，，四点共面，并求直线1CD 与平面11A C FE 所成的角的大小.20.（本小题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.如图，A ，B ，C 三地有直道相通，5AB =千米，3AC =千米，4BC =千米.现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为f t ()(单位：千米).甲的路线是AB ，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB ，速度为8千米/小时.乙到达B 地后在原地等待.设1=t t 时，乙到达C 地. （Ⅰ）求1t 与1f t ()的值；（Ⅱ）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当11t t ≤≤时，求f t ()的表达式，并判断f t ()在1[,1]t 上的最大值是否超过3？说明理由.21.（本小题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第4页（共18页） 数学试卷 第5页（共18页） 数学试卷 第6页（共18页）已知椭圆1222=+y x ，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点A ，B 和C ，D .记得到的平行四边形ACBD 的面积为S .（Ⅰ）设11(,)A x y ，22(,)C x y .用A ，C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明12212||S x y x y =-；（Ⅱ）设1l 与2l 的斜率之积为21-，求面积S 的值.22.（本小题满分16分）本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.已知数列{}n a 与{}n b 满足112()n n n n a a b b ++-=-，n *N ∈. （Ⅰ）若35n b n =+，且11a =，求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设{}n a 的第0n 项是最大项，即0()n n a a n *N ≥∈.求证：{}n b 的第0n 项是最大项； （Ⅲ）设10a ＜λ=，()n n b n *N λ=∈.求λ的取值范围，使得{}n a 有最大值M 和最小值m ，且使得(2,2)Mm∈-.23.（本小题满分18分）本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.对于定义域为R 的函数()g x ，若存在正常数T ，使得cos ()g x 是以T 为周期的函数，则称()g x 为余弦周期函数，且称T 为其余弦周期.已知()f x 是以T 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R ，设()f x 单调递增，(0)0f =，()4πf T =. （Ⅰ）验证()sin3xh x x =+是以6π为余弦周期的余弦周期函数； （Ⅱ）设a b <.证明对任意[(),()]c f a f b ∈，存在0[,]x a b ∈，使得0()f x c =； （Ⅲ）证明：“0u 为方程cos ()1f x =在[0,]T 上的解”的充要条件是“0+u T 为方程cos ()1f x =在[,2]T T 上的解”，并证明对任意[0,]x T ∈都有()()()f x T f x f T +=+.数学试卷 第7页（共18页） 数学试卷 第8页（共18页） 数学试卷 第9页（共18页）1sin602a a ︒，1sin 601632a a a ⎫︒=⎪⎭1sin 601632a a a ⎫︒=⎪⎭【考点】棱锥的结构特征123270x+=011019102015201511(1)C x x x ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，项的系数．数学试卷 第10页（共18页） 数学试卷 第11页（共18页） 数学试卷 第12页（共18页）【解析】对任意的i x ，j x ，max min |()()|()()2i j f x f x f x f x -≤-=， 欲使m 取最小值，尽可能多的让(1,2,,)i x i m =取最值点，考虑到1206πm x x x ≤<<<≤，*12231|()()||()()||()()|12(2,)m m f x f x f x f x f x f x m m N --+-++-=≥∈，按照下图所示取值可以满足条件，所以m的最小值为8．【提示】对任意的i x ，j x ，|()()|2i j f x f x -=，让i x 取最值点，考虑到1206πm x x x ≤<<<≤，12231|()()||()()||()()|12m m f x f x f x f x f x f x --+-++-=，【解析】解：如图，ABD △与ACD △的面积分别为2和4||||22AB DE =，||||4AC DF =，可得4||||DE AB =，8||||DF AC =，32||||||||DE DF AB AC =．1tan 2A =，∴sin 1cos 2A A =，联立||||sin 2AB AC A ||||12AB AC =85||||15DE DF =8||||||||cos ,DE DF DE DF DE DF ==故答案为：1615-．85||||15DE DF =数学试卷 第13页（共18页） 数学试卷 第14页（共18页） 数学试卷 第15页（共18页）为坐标原点，、DC 、DD 分别为xyz 轴，建立空间直角坐标系，易求得(0,2,D C =，11(2,2,0)A C =-，(0,1,A E =设平面11AC EF 的法向量为(,y,)n x z =11100n A C n A E ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以,,)(2,2,0)0,)(0,1,1)x y z y z -=-=2-⎧所以(1,1,1)n =，111|||(1,1,1)(0,2,1)||cos ,|||||35n D C n D C n D C -===1CD 与平面11A C FE 所成的角的大小arcsincos AC AP A =上的Q 点，设甲在cos QB PB B22(78)(5t --cos AC AP A ，代值计算可得；由已知数据和余弦定理可得3数学试卷 第16页（共18页） 数学试卷 第17页（共18页） 数学试卷 第18页（共18页）2(a a +-+2112()b b a +++-112)b a +-2(a a +-+1(22n a b +)n x <<；则1()f x T +，2()f x T +，…，()n f x T +为方程c o s ()f x c =在[,2]T T 上的解；又()(4π8π)f x T +∈,；而1()4πf x +，2()4πf x +，…，()4π(4π,8π)n f x +∈为方程cos ()f x c =在[,2]T T 上的解； ∴()()4π()()i i i f x T f x f x f T +=+=+；∴综上对任意,[]0x T ∈，都有()()()f x T f x f T +=+．【提示】（Ⅰ）根据余弦周期函数的定义，判断(6π)cosg x +是否等于cos ()g x 即可； （Ⅱ）根据()f x 的值域为R ，便可得到存在0x ，使得0()f x c =，而根据()f x 在R 上单调递增即可说明0,[]x a b ∈，从而完成证明；（Ⅲ）只需证明0u T +为方程cos ()1f x =在区间[2]T T ,上的解得出0u 为方程cos ()1f x =在[0]T ,上的解，是否为方程的解，带入方程，使方程成立便是方程的解．证明对任意,[]0x T ∈，都有()()()f x T f x f T +=+，可讨论0x =，x T =，(0)x T ∈,三种情况：0x =时是显然成立的；x T =时，可得出cos (2)1f T =，从而得到1(2)2πf T k =，1k ∈Z ，根据()f x 单调递增便能得到12k >，然后根据()f x 的单调性及方程cos ()1f x =在[],2T T 和它在[0]T ,上解的个数的情况说明13k =，和15k ≥是不存在的，而14k =时结论成立，这便说明x T =时结论成立；而对于(0)x T ∈,时，通过考查c o s ()f x c =的解得到()()()f x T f x f T +=+，综合以上的三种情况，最后得出结论即可．【考点】函数与方程的综合运用。