2015年上海高考数学(理科)试题(完整版)

2015年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（本大题共有14题，满分48分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．（4分）（2015•上海）设全集U=R．若集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，则Α∩∁UΒ=．2．（4分）（2015•上海）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z=．3．（4分）（2015•上海）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2=．4．（4分）（2015•上海）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=．5．（4分）（2015•上海）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p=．6．（4分）（2015•上海）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为．7．（4分）（2015•上海）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为．8．（4分）（2015•上海）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．9．（2015•上海）已知点P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹分别为双曲线C1和C2．若C1的渐近线方程为y=±x，则C2的渐近线方程为．10．（4分）（2015•上海）设f﹣1（x）为f（x）=2x﹣2+，x∈[0，2]的反函数，则y=f（x）+f﹣1（x）的最大值为．11．（4分）（2015•上海）在（1+x+）10的展开式中，x2项的系数为（结果用数值表示）．12．（4分）（2015•上海）赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则Eξ1﹣Eξ2=（元）．13．（4分）（2015•上海）已知函数f（x）=sinx．若存在x1，x2，…，x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12（m≥0，m∈N*），则m的最小值为．14．（2015•上海）在锐角三角形A BC中，tanA=，D为边BC上的点，△A BD与△ACD 的面积分别为2和4．过D作D E⊥A B于E，DF⊥AC于F，则•=．二、选择题（本大题共有4题，满分15分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）（2015•上海）设z1，z2∈C，则“z1、z2中至少有一个数是虚数”是“z1﹣z2是虚数”16．（5分）（2015•上海）已知点A的坐标为（4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（）B17．（2015•上海）记方程①：x2+a1x+1=0，方程②：x2+a2x+2=0，方程③：x2+a3x+4=0，其中a1，a2，a3是正实数．当a1，a2，a3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是18．（5分）（2015•上海）设P n（x n，y n）是直线2x﹣y=（n∈N*）与圆x2+y2=2在第一象限的交点，则极限=（）三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）（2015•上海）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=1，AB=AD=2，E、F分别是AB、BC的中点，证明A1、C1、F、E四点共面，并求直线CD1与平面A1C1FE所成的角的大小．20．（14分）（2015•上海）如图，A，B，C三地有直道相通，AB=5千米，AC=3千米，BC=4千米．现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为f （t）（单位：千米）．甲的路线是AB，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为8千米/小时．乙到达B地后原地等待．设t=t1时乙到达C地．（1）求t1与f（t1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t1≤t≤1时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t1，1]上的最大值是否超过3？说明理由．21．（14分）（2015•上海）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别于椭圆交于A、B和C、D，记得到的平行四边形ABCD的面积为S．（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=2|x1y2﹣x2y1|；（2）设l1与l2的斜率之积为﹣，求面积S的值．22．（16分）（2015•上海）已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n），n∈N*．（1）若b n=3n+5，且a1=1，求数列{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项，即a≥a n（n∈N*），求证：数列{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1=λ＜0，b n=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得{a n}有最大值M与最小值m，且∈（﹣2，2）．23．（18分）（2015•上海）对于定义域为R的函数g（x），若存在正常数T，使得cosg（x）是以T为周期的函数，则称g（x）为余弦周期函数，且称T为其余弦周期．已知f（x）是以T为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R．设f（x）单调递增，f（0）=0，f（T）=4π．（1）验证g（x）=x+sin是以6π为周期的余弦周期函数；（2）设a＜b，证明对任意c∈[f（a），f（b）]，存在x0∈[a，b]，使得f（x0）=c；（3）证明：“u0为方程cosf（x）=1在[0，T]上得解，”的充分条件是“u0+T为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解”，并证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）．2015年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有14题，满分48分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．（4分）（2015•上海）设全集U=R．若集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，则Α∩∁UΒ= {1，4}．2．（4分）（2015•上海）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z=．，则，则=a=1+i，b=故答案为：3．（4分）（2015•上海）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2=16．，是方程组，是方程组4．（4分）（2015•上海）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=4．•a=16的等边三角形，面积为•a=165．（4分）（2015•上海）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p=2．=16．（4分）（2015•上海）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为．=故答案为：．7．（4分）（2015•上海）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为2．8．（4分）（2015•上海）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为120（结果用数值表示）．9．（2015•上海）已知点P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q 的轨迹分别为双曲线C1和C2．若C1的渐近线方程为y=±x，则C2的渐近线方程为．，即故答案为：．10．（4分）（2015•上海）设f﹣1（x）为f（x）=2x﹣2+，x∈[0，2]的反函数，则y=f（x）+f﹣1（x）的最大值为4．[在[[]11．（4分）（2015•上海）在（1+x+）10的展开式中，x2项的系数为45（结果用数值表示）．1+x+，令．12．（4分）（2015•上海）赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则Eξ1﹣Eξ2=0.2（元）．1 2 3 4 5（1.42.8 4.2 5.6====（1+2+3+13．（4分）（2015•上海）已知函数f（x）=sinx．若存在x1，x2，…，x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12（m≥0，m∈N*），则m的最小值为8．14．（2015•上海）在锐角三角形A BC中，tanA=，D为边BC上的点，△A BD与△ACD的面积分别为2和4．过D作D E⊥A B于E，DF⊥AC于F，则•=﹣．cosA=，∴，，，∴tanA=，∴，联立，得cosA=，得∴•=．故答案为：二、选择题（本大题共有4题，满分15分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）（2015•上海）设z1，z2∈C，则“z1、z2中至少有一个数是虚数”是“z1﹣z2是虚数”16．（5分）（2015•上海）已知点A的坐标为（4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（）B4=，=逆时针旋转，则，）sin）（×+ +6=17．（2015•上海）记方程①：x2+a1x+1=0，方程②：x2+a2x+2=0，方程③：x2+a3x+4=0，其中a1，a2，a3是正实数．当a1，a2，a3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是，）18．（5分）（2015•上海）设P n（x n，y n）是直线2x﹣y=（n∈N*）与圆x2+y2=2在第一象限的交点，则极限=（）y=y=，而∴三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）（2015•上海）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=1，AB=AD=2，E、F分别是AB、BC的中点，证明A1、C1、F、E四点共面，并求直线CD1与平面A1C1FE所成的角的大小．的法向量为，所以，即，，所以，=arcsin20．（14分）（2015•上海）如图，A，B，C三地有直道相通，AB=5千米，AC=3千米，BC=4千米．现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是AB，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为8千米/小时．乙到达B地后原地等待．设t=t1时乙到达C地．（1）求t1与f（t1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t1≤t≤1时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t1，1]上的最大值是否超过3？说明理由．=h=PC=时，，＜，综合可得当=×千米，=PC==时，乙在，＜＜，21．（14分）（2015•上海）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别于椭圆交于A、B和C、D，记得到的平行四边形ABCD的面积为S．（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=2|x1y2﹣x2y1|；（2）设l1与l2的斜率之积为﹣，求面积S的值．xd=|AB|=2|AO|=2的斜率为﹣，可求得的斜率分别为，则，利用xd=|AB|=2|AO|=2的斜率为﹣，消去±==|=的斜率分别为，则，∴（+4+=，．22．（16分）（2015•上海）已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n），n∈N*．（1）若b n=3n+5，且a1=1，求数列{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项，即a≥a n（n∈N*），求证：数列{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1=λ＜0，b n=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得{a n}有最大值M与最小值m，且∈（﹣2，2）．，求得，然后分﹣∈∴∴）可得，单调递减，有最大值；∴∈∴，23．（18分）（2015•上海）对于定义域为R的函数g（x），若存在正常数T，使得cosg（x）是以T为周期的函数，则称g（x）为余弦周期函数，且称T为其余弦周期．已知f（x）是以T为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R．设f（x）单调递增，f（0）=0，f（T）=4π．（1）验证g（x）=x+sin是以6π为周期的余弦周期函数；（2）设a＜b，证明对任意c∈[f（a），f（b）]，存在x0∈[a，b]，使得f（x0）=c；（3）证明：“u0为方程cosf（x）=1在[0，T]上得解，”的充分条件是“u0+T为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解”，并证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）．=x+sin∴参与本试卷答题和审题的老师有：whgcn；孙佑中；maths；caoqz；刘长柏；翔宇老师；danbo7801；sxs123；雪狼王；lincy；wfy814；wkl197822（排名不分先后）菁优网2015年7月10日第21页（共21页）。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海）卷数学（理科）一．填空题：共14小题，每小题4分，共56分。

1．设全集U R =，若集合{}1,2,3,4A =，{}23B x x =≤≤，则UAB =_________。

2．若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z =_________。

3．若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫⎪⎝⎭，解为35x y =⎧⎨=⎩，则12c c -=__________。

4．若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为a =__________。

5．抛物线22y px =（0p >）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p =_______。

6．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为_______。

7．方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为___________。

28．在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为________（结果用数值表示）。

9．已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C 。

若1C的渐近线方程为y =，则2C 的渐近线方程为__________。

10．设()1fx -为()222x x f x -=+，[]0,2x ∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为_________。

11．在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为________（结果用数值表示）。

12．赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1,2,3,4,5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海）卷数学（理科）一．填空题：共14小题，每小题4分，共56分。

1．设全集U R =，若集合{}1,2,3,4A =，{}23B x x =≤≤，则U A B = ð_________。

2．若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z =_________。

3．若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫⎪⎝⎭，解为35x y =⎧⎨=⎩，则12c c -=__________。

4．若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为a =__________。

5．抛物线22y px =（0p >）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p =_______。

6．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为_______。

7．方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为___________。

28．在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为________（结果用数值表示）。

9．已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C 。

若1C的渐近线方程为y =，则2C 的渐近线方程为__________。

10．设()1fx -为()222x xf x -=+，[]0,2x ∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为_________。

11．在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为________（结果用数值表示）。

12．赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1,2,3,4,5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）。

数学试卷 第1页（共18页） 数学试卷 第2页（共18页） 数学试卷 第3页（共18页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理科数学注意事项:1.本试卷共6页,23道试题,满分150分.考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上,在试卷上作答一律不得分.3.答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号,并将核对后的条形码贴在指定位置上.一、填空题：本大题共有14题,满分56分.直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．设全集=U R .若集合={1,2,3,4}A ，{23}B x x ≤≤=，则U AB =ð .2．若复数z 满足31i z z +=+，其中i 为虚数单位，则z = .3．若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭、解为35x y ，，=⎧⎨=⎩则12c c -= . 4．若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为，则a = .5．抛物线22(0)y px p =>上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = . 6．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 . 7．方程1122log (95)log (32)2x x ---=-+的解为 .8．在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）.9．已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C .若1C的渐近线方程为y =，则2C 的渐近线方程为 . 10．设1()f x -为2()22x xf x -=+，[0,2]x ∈的反函数，则1()()y f x f x -=+的最大值为 . 11．在1020151(1)x x++的展开式中，2x 项的系数为 （结果用数值表示）. 12．赌博有陷阱.某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）.若随机变量1ξ和2ξ分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则12E E ξξ-= 元.13．已知函数()sin f x x =.若存在12,,m x x x 满足1206πm x x x ≤＜＜＜≤，且1|f x （）223-1|||++||=122,m m f x f x f x f x f x m m *N （）（）（）（）（）（≥）-+--∈，则m 的最小值为 .14．在锐角三角形ABC 中，1tan 2A =，D 为边BC 上的点，ABD △与ACD △的面积分别为2和4.过D 作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，则 DE DF = . 二、选择题：本大题共有4题,满分20分.每题有且只有一个正确答案,将正确答案填在题后括号内,选对得5分,否则一律得零分.15．设12,z z C ∈，则“12z z ,中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的( )A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .既非充分又非必要条件16．已知点A的坐标为（），将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转π3至OB ，则点B 的纵坐标为( )ABC .112D .13217．记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中1a ，2a ，3a 是正实数.当1a ，2a ，3a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实数根的是( )A .方程①有实根，且②有实根B .方程①有实根，且②无实根C .方程①无实根，且②有实根D .方程①无实根，且②无实根18．设(),n n n P x y 是直线2()1nx y n n *N -=∈+与圆222x y +=在第一象限的交点，则极限 1lim 1n n ny x →∞-=-( ) A .1- B .12- C .1D .2三、解答题：本大题共有5题,满分74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.19.（本小题满分12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AA =，2AB AD ==，E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点.证明：11A C F E ，，，四点共面，并求直线1CD 与平面11A C FE 所成的角的大小.20.（本小题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.如图，A ，B ，C 三地有直道相通，5AB =千米，3AC =千米，4BC =千米.现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为f t ()(单位：千米).甲的路线是AB ，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB ，速度为8千米/小时.乙到达B 地后在原地等待.设1=t t 时，乙到达C 地. （Ⅰ）求1t 与1f t ()的值；（Ⅱ）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当11t t ≤≤时，求f t ()的表达式，并判断f t ()在1[,1]t 上的最大值是否超过3？说明理由.21.（本小题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第4页（共18页） 数学试卷 第5页（共18页） 数学试卷 第6页（共18页）已知椭圆1222=+y x ，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点A ，B 和C ，D .记得到的平行四边形ACBD 的面积为S .（Ⅰ）设11(,)A x y ，22(,)C x y .用A ，C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明12212||S x y x y =-；（Ⅱ）设1l 与2l 的斜率之积为21-，求面积S 的值.22.（本小题满分16分）本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.已知数列{}n a 与{}n b 满足112()n n n n a a b b ++-=-，n *N ∈. （Ⅰ）若35n b n =+，且11a =，求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设{}n a 的第0n 项是最大项，即0()n n a a n *N ≥∈.求证：{}n b 的第0n 项是最大项； （Ⅲ）设10a ＜λ=，()n n b n *N λ=∈.求λ的取值范围，使得{}n a 有最大值M 和最小值m ，且使得(2,2)Mm∈-.23.（本小题满分18分）本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.对于定义域为R 的函数()g x ，若存在正常数T ，使得cos ()g x 是以T 为周期的函数，则称()g x 为余弦周期函数，且称T 为其余弦周期.已知()f x 是以T 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R ，设()f x 单调递增，(0)0f =，()4πf T =. （Ⅰ）验证()sin3xh x x =+是以6π为余弦周期的余弦周期函数； （Ⅱ）设a b <.证明对任意[(),()]c f a f b ∈，存在0[,]x a b ∈，使得0()f x c =； （Ⅲ）证明：“0u 为方程cos ()1f x =在[0,]T 上的解”的充要条件是“0+u T 为方程cos ()1f x =在[,2]T T 上的解”，并证明对任意[0,]x T ∈都有()()()f x T f x f T +=+.数学试卷 第7页（共18页） 数学试卷 第8页（共18页） 数学试卷 第9页（共18页）1sin602a a ︒，1sin 601632a a a ⎫︒=⎪⎭1sin 601632a a a ⎫︒=⎪⎭【考点】棱锥的结构特征123270x+=011019102015201511(1)C x x x ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，项的系数．数学试卷 第10页（共18页） 数学试卷 第11页（共18页） 数学试卷 第12页（共18页）【解析】对任意的i x ，j x ，max min |()()|()()2i j f x f x f x f x -≤-=， 欲使m 取最小值，尽可能多的让(1,2,,)i x i m =取最值点，考虑到1206πm x x x ≤<<<≤，*12231|()()||()()||()()|12(2,)m m f x f x f x f x f x f x m m N --+-++-=≥∈，按照下图所示取值可以满足条件，所以m的最小值为8．【提示】对任意的i x ，j x ，|()()|2i j f x f x -=，让i x 取最值点，考虑到1206πm x x x ≤<<<≤，12231|()()||()()||()()|12m m f x f x f x f x f x f x --+-++-=，【解析】解：如图，ABD △与ACD △的面积分别为2和4||||22AB DE =，||||4AC DF =，可得4||||DE AB =，8||||DF AC =，32||||||||DE DF AB AC =．1tan 2A =，∴sin 1cos 2A A =，联立||||sin 2AB AC A ||||12AB AC =85||||15DE DF =8||||||||cos ,DE DF DE DF DE DF ==故答案为：1615-．85||||15DE DF =数学试卷 第13页（共18页） 数学试卷 第14页（共18页） 数学试卷 第15页（共18页）为坐标原点，、DC 、DD 分别为xyz 轴，建立空间直角坐标系，易求得(0,2,D C =，11(2,2,0)A C =-，(0,1,A E =设平面11AC EF 的法向量为(,y,)n x z =11100n A C n A E ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以,,)(2,2,0)0,)(0,1,1)x y z y z -=-=2-⎧所以(1,1,1)n =，111|||(1,1,1)(0,2,1)||cos ,|||||35n D C n D C n D C -===1CD 与平面11A C FE 所成的角的大小arcsincos AC AP A =上的Q 点，设甲在cos QB PB B22(78)(5t --cos AC AP A ，代值计算可得；由已知数据和余弦定理可得3数学试卷 第16页（共18页） 数学试卷 第17页（共18页） 数学试卷 第18页（共18页）2(a a +-+2112()b b a +++-112)b a +-2(a a +-+1(22n a b +)n x <<；则1()f x T +，2()f x T +，…，()n f x T +为方程c o s ()f x c =在[,2]T T 上的解；又()(4π8π)f x T +∈,；而1()4πf x +，2()4πf x +，…，()4π(4π,8π)n f x +∈为方程cos ()f x c =在[,2]T T 上的解； ∴()()4π()()i i i f x T f x f x f T +=+=+；∴综上对任意,[]0x T ∈，都有()()()f x T f x f T +=+．【提示】（Ⅰ）根据余弦周期函数的定义，判断(6π)cosg x +是否等于cos ()g x 即可； （Ⅱ）根据()f x 的值域为R ，便可得到存在0x ，使得0()f x c =，而根据()f x 在R 上单调递增即可说明0,[]x a b ∈，从而完成证明；（Ⅲ）只需证明0u T +为方程cos ()1f x =在区间[2]T T ,上的解得出0u 为方程cos ()1f x =在[0]T ,上的解，是否为方程的解，带入方程，使方程成立便是方程的解．证明对任意,[]0x T ∈，都有()()()f x T f x f T +=+，可讨论0x =，x T =，(0)x T ∈,三种情况：0x =时是显然成立的；x T =时，可得出cos (2)1f T =，从而得到1(2)2πf T k =，1k ∈Z ，根据()f x 单调递增便能得到12k >，然后根据()f x 的单调性及方程cos ()1f x =在[],2T T 和它在[0]T ,上解的个数的情况说明13k =，和15k ≥是不存在的，而14k =时结论成立，这便说明x T =时结论成立；而对于(0)x T ∈,时，通过考查c o s ()f x c =的解得到()()()f x T f x f T +=+，综合以上的三种情况，最后得出结论即可．【考点】函数与方程的综合运用。

2015年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（本大题共有14题，满分48分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．（4分）设全集U=R ．若集合Α={1，2，3，4}，Β={x |2≤x ≤3}，则Α∩∁U Β= ． 2．（4分）若复数z 满足3z +z =1+i ，其中i 是虚数单位，则z= ． 3．（4分）若线性方程组的增广矩阵为(23c 101c 2)解为{x =3y =5，则c 1﹣c 2= ．4．（4分）若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为16√3，则a= ． 5．（4分）抛物线y 2=2px （p ＞0）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p= ．6．（4分）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 ．7．（4分）方程log 2（9x ﹣1﹣5）=log 2（3x ﹣1﹣2）+2的解为 ．8．（4分）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）． 9．已知点 P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线C 1和C 2．若C 1的渐近线方程为y=±√3x ，则C 2的渐近线方程为 ．10．（4分）设f ﹣1（x ）为f （x ）=2x ﹣2+x 2，x ∈[0，2]的反函数，则y=f （x ）+f ﹣1（x ）的最大值为 ．11．（4分）在（1+x +1x 2015）10的展开式中，x 2项的系数为 （结果用数值表示）．12．（4分）赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则 Eξ1﹣Eξ2= （元）．13．（4分）已知函数f （x ）=sinx ．若存在x 1，x 2，…，x m 满足0≤x 1＜x 2＜…＜x m≤6π，且|f （x 1）﹣f （x 2）|+|f （x 2）﹣f （x 3）|+…+|f （x m ﹣1）﹣f （x m ）|=12（m ≥2，m ∈N *），则m 的最小值为 ．14．在锐角三角形 A BC 中，tanA=12，D 为边 BC 上的点，△A BD 与△ACD 的面积分别为2和4．过D 作D E ⊥A B 于 E ，DF ⊥AC 于F ，则DE →•DF →= ．二、选择题（本大题共有4题，满分15分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）设z 1，z 2∈C ，则“z 1、z 2中至少有一个数是虚数”是“z 1﹣z 2是虚数”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件16．（5分）已知点A 的坐标为（4√3，1），将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转π3至OB ，则点B 的纵坐标为（ ）A ．3√32B ．5√32C ．112D ．13217．记方程①：x 2+a 1x +1=0，方程②：x 2+a 2x +2=0，方程③：x 2+a 3x +4=0，其中a 1，a 2，a 3是正实数．当a 1，a 2，a 3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ）A ．方程①有实根，且②有实根B ．方程①有实根，且②无实根C ．方程①无实根，且②有实根D ．方程①无实根，且②无实根 18．（5分）设 P n （x n ，y n ）是直线2x ﹣y=nn+1（n ∈N *）与圆x 2+y 2=2在第一象限的交点，则极限lim n→∞y n −1x n−1=（ ）A ．﹣1B ．﹣12C ．1D ．2三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1=1，AB=AD=2，E 、F 分别是AB、BC的中点，证明A1、C1、F、E四点共面，并求直线CD1与平面A1C1FE 所成的角的大小．20．（14分）如图，A，B，C三地有直道相通，AB=5千米，AC=3千米，BC=4千米．现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是AB，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为8千米/小时．乙到达B地后原地等待．设t=t1时乙到达C地．（1）求t1与f（t1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t1≤t≤1时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t1，1]上的最大值是否超过3？说明理由．21．（14分）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别于椭圆交于A、B 和C、D，记得到的平行四边形ACBD的面积为S．（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=2|x1y2﹣x2y1|；（2）设l1与l2的斜率之积为﹣12，求面积S的值．22．（16分）已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n），n∈N*．（1）若b n=3n+5，且a1=1，求数列{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项，即a n≥a n（n∈N*），求证：数列{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1=λ＜0，b n=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得{a n}有最大值M与最小值m，且Mm∈（﹣2，2）．23．（18分）对于定义域为R的函数g（x），若存在正常数T，使得cosg（x）是以T为周期的函数，则称g（x）为余弦周期函数，且称T为其余弦周期．已知f （x）是以T为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R．设f（x）单调递增，f（0）=0，f（T）=4π．（1）验证g（x）=x+sin x3是以6π为周期的余弦周期函数；（2）设a＜b，证明对任意c∈[f（a），f（b）]，存在x0∈[a，b]，使得f（x0）=c；（3）证明：“u0为方程cosf（x）=1在[0，T]上得解，”的充要条件是“u0+T为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解”，并证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）．2015年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有14题，满分48分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．（4分）设全集U=R ．若集合Α={1，2，3，4}，Β={x |2≤x ≤3}，则Α∩∁U Β= {1，4} ．【解答】解：∵全集U=R ，集合Α={1，2，3，4}，Β={x |2≤x ≤3}， ∴（∁U B ）={x |x ＞3或x ＜2}， ∴A ∩（∁U B ）={1，4}， 故答案为：{1，4}．2．（4分）若复数z 满足3z +z =1+i ，其中i 是虚数单位，则z= 14+12i ．【解答】解：设z=a +bi ，则z =a ﹣bi （a ，b ∈R ）， 又3z +z =1+i ，∴3（a +bi ）+（a ﹣bi ）=1+i ， 化为4a +2bi=1+i ， ∴4a=1，2b=1，解得a=14，b=12．∴z=14+12i ．故答案为：14+12i ．3．（4分）若线性方程组的增广矩阵为(23c 101c 2)解为{x =3y =5，则c 1﹣c 2= 16 ．【解答】解：由题意知{x =3y =5，是方程组{2x +3y =c 1y =c 2的解，即{c 1=6+15=21c 2=5，则c 1﹣c 2=21﹣5=16， 故答案为：16．4．（4分）若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为16√3，则a= 4 ． 【解答】解：由题意可得，正棱柱的底面是变长等于a 的等边三角形，面积为12•a•a•sin60°，正棱柱的高为a ， ∴（12•a•a•sin60°）•a=16√3，∴a=4，故答案为：4．5．（4分）抛物线y 2=2px （p ＞0）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p= 2 ．【解答】解：因为抛物线y 2=2px （p ＞0）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，所以p2=1，所以p=2． 故答案为：2．6．（4分）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为π3．【解答】解：设圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线长为l ， 则圆锥的侧面积为：πrl ，过轴的截面面积为：rh ， ∵圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π， ∴l=2h ，设母线与轴的夹角为θ，则cosθ=ℎl =12，故θ=π3，故答案为：π3．7．（4分）方程log 2（9x ﹣1﹣5）=log 2（3x ﹣1﹣2）+2的解为 2 ．【解答】解：∵log 2（9x ﹣1﹣5）=log 2（3x ﹣1﹣2）+2，∴log 2（9x ﹣1﹣5）=log 2[4×（3x ﹣1﹣2）]，∴9x ﹣1﹣5=4（3x ﹣1﹣2）， 化为（3x ）2﹣12•3x +27=0，因式分解为：（3x ﹣3）（3x ﹣9）=0， ∴3x =3，3x =9， 解得x=1或2．经过验证：x=1不满足条件，舍去． ∴x=2． 故答案为：2．8．（4分）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 120 （结果用数值表示）． 【解答】解：根据题意，报名的有3名男老师和6名女教师，共9名老师， 在9名老师中选取5人，参加义务献血，有C 95=126种； 其中只有女教师的有C 65=6种情况；则男、女教师都有的选取方式的种数为126﹣6=120种； 故答案为：120．9．已知点 P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线C 1和C 2．若C 1的渐近线方程为y=±√3x ，则C 2的渐近线方程为 ．【解答】解：设C 1的方程为y 2﹣3x 2=λ，设Q （x ，y ），则P （x ，2y ），代入y 2﹣3x 2=λ，可得4y 2﹣3x 2=λ， ∴C 2的渐近线方程为4y 2﹣3x 2=0，即． 故答案为：．10．（4分）设f ﹣1（x ）为f （x ）=2x ﹣2+x 2，x ∈[0，2]的反函数，则y=f （x ）+f ﹣1（x ）的最大值为 4 ．【解答】解：由f （x ）=2x ﹣2+x 2在x ∈[0，2]上为增函数，得其值域为[14，2]，可得y=f ﹣1（x ）在[14，2]上为增函数，因此y=f （x ）+f ﹣1（x ）在[14，2]上为增函数，∴y=f （x ）+f ﹣1（x ）的最大值为f （2）+f ﹣1（2）=1+1+2=4． 故答案为：4．11．（4分）在（1+x +1x2015）10的展开式中，x 2项的系数为 45 （结果用数值表示）．【解答】解：∵（1+x +1x2015）10 =C 100(1+x)10⋅(1x 2015)0+C 101(1+x)9⋅(1x 2015)1+⋯， ∴仅在第一部分中出现x 2项的系数．再由T r+1=C 10r x r ，令r=2，可得，x 2项的系数为C 102=45． 故答案为：45．12．（4分）赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则 Eξ1﹣Eξ2= 0.2 （元）． 【解答】解：赌金的分布列为ξ1 12345P15 15 15 15 15所以 Eξ1=15（1+2+3+4+5）=3，奖金的分布列为：若两张卡片上数字之差的绝对值为1，则有（1，2），（2，3），（3，4），（4，5），4种，若两张卡片上数字之差的绝对值为2，则有（1，3），（2，4），（3，5），3种， 若两张卡片上数字之差的绝对值为3，则有（1，4），（2，5），2种，若两张卡片上数字之差的绝对值为4，则有（1，5），1种，则P （ξ2=1.4）=4C 52=25，P （ξ2=2.8）=3C 52=310，P （ξ2=4.2）=2C 52=15，P （ξ2=5.6）=1C 52=110ξ2 1.42.84.25.6P25 310 15 110所以 Eξ2=1.4×（25×1+310×2+15×3+110×4）=2.8，则 Eξ1﹣Eξ2=3﹣2.8=0.2元． 故答案为：0.213．（4分）已知函数f （x ）=sinx ．若存在x 1，x 2，…，x m 满足0≤x 1＜x 2＜…＜x m ≤6π，且|f （x 1）﹣f （x 2）|+|f （x 2）﹣f （x 3）|+…+|f （x m ﹣1）﹣f （x m ）|=12（m ≥2，m ∈N *），则m 的最小值为 8 ．【解答】解：∵y=sinx 对任意x i ，x j （i ，j=1，2，3，…，m ），都有|f （x i ）﹣f （x j ）|≤f （x ）max ﹣f （x ）min =2，要使m 取得最小值，尽可能多让x i （i=1，2，3，…，m ）取得最高点，考虑0≤x 1＜x 2＜…＜x m ≤6π，|f （x 1）﹣f （x 2）|+|f （x 2）﹣f （x 3）|+…+|f （x m ﹣1）﹣f （x m ）|=12，按下图取值即可满足条件，∴m 的最小值为8． 故答案为：8．14．在锐角三角形 A BC 中，tanA=12，D 为边 BC 上的点，△A BD 与△ACD 的面积分别为2和4．过D 作D E ⊥A B 于 E ，DF ⊥AC 于F ，则DE →•DF →= ﹣1615． 【解答】解：如图，∵△ABD 与△ACD 的面积分别为2和4，∴12|AB →|⋅|DE →|=2，12|AC →|⋅|DF →|=4，可得|DE →|=4|AB →|，|DF →|=8|AC →|，∴|DE →|⋅|DF →|=32|AB →|⋅|AC →|． 又tanA=12，∴sinA cosA =12，联立sin 2A +cos 2A=1，得sinA =√55，cosA=2√55． 由12|AB →|⋅|AC →|sinA =6，得|AB →|⋅|AC →|=12√5． 则|DE →|⋅|DF →|=8√515．∴DE →•DF →=|DE →|⋅|DF →|cos ＜DE →，DF →＞=8√515×(−2√55)=−1615．故答案为：−1615．二、选择题（本大题共有4题，满分15分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）设z 1，z 2∈C ，则“z 1、z 2中至少有一个数是虚数”是“z 1﹣z 2是虚数”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【解答】解：设z 1=1+i ，z 2=i ，满足z 1、z 2中至少有一个数是虚数，则z 1﹣z 2=1是实数，则z 1﹣z 2是虚数不成立，若z 1、z 2都是实数，则z 1﹣z 2一定不是虚数，因此当z 1﹣z 2是虚数时， 则z 1、z 2中至少有一个数是虚数，即必要性成立，故“z 1、z 2中至少有一个数是虚数”是“z 1﹣z 2是虚数”的必要不充分条件，故选：B ．16．（5分）已知点A 的坐标为（4√3，1），将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转π3至OB ，则点B 的纵坐标为（ ）A ．3√32B ．5√32C ．112D ．132【解答】解：∵点 A 的坐标为（4√3，1），∴设∠xOA=θ，则sinθ=√1+(4√3)2=√49=17，cosθ=√3√1+(4√3)2=4√37，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转π3至OB ，则OB 的倾斜角为θ+π3，则|OB |=|OA |=√1+(4√3)2=√49=7，则点B 的纵坐标为y=|OB |sin （θ+π3）=7（sinθcos π3+cosθsin π3）=7（17×12+√32×4√37）=12+6=132， 故选：D ．17．记方程①：x 2+a 1x +1=0，方程②：x 2+a 2x +2=0，方程③：x 2+a 3x +4=0，其中a 1，a 2，a 3是正实数．当a 1，a 2，a 3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ）A ．方程①有实根，且②有实根B ．方程①有实根，且②无实根C ．方程①无实根，且②有实根D ．方程①无实根，且②无实根【解答】解：当方程①有实根，且②无实根时，△1=a 12﹣4≥0，△2=a 22﹣8＜0， 即a 12≥4，a 22＜8， ∵a 1，a 2，a 3成等比数列， ∴a 22=a 1a 3， 即a 3=a 22a 1，则a 32=（a 22a 1）2=a 24a 12＜824=16，即方程③的判别式△3=a32﹣16＜0，此时方程③无实根，故选：B18．（5分）设P n（x n，y n）是直线2x﹣y=nn+1（n∈N*）与圆x2+y2=2在第一象限的交点，则极限limn→∞y n−1x n−1=（）A．﹣1 B．﹣12C．1 D．2【解答】解：当n→+∞时，直线2x﹣y=nn+1趋近于2x﹣y=1，与圆x2+y2=2在第一象限的交点无限靠近（1，1），而y n−1x n−1可看作点P n（x n，y n）与（1，1）连线的斜率，其值会无限接近圆x2+y2=2在点（1，1）处的切线的斜率，其斜率为﹣1．∴limn→∞y n−1x n−1=﹣1．故选：A．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=1，AB=AD=2，E、F分别是AB、BC的中点，证明A1、C1、F、E四点共面，并求直线CD1与平面A1C1FE 所成的角的大小．【解答】解：连接AC，因为E，F分别是AB，BC的中点，所以EF是△ABC的中位线，所以EF∥AC．由长方体的性质知AC∥A1C1，所以EF∥A1C1，所以A1、C1、F、E四点共面．以D为坐标原点，DA、DC、DD1分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，易求得D 1C→=(0，2，−1)A 1C 1→=(−2，2，0)，A 1E →=(0，1，−1) 设平面A 1C 1EF 的法向量为n →=(x ，y ，z)则{n →⋅A 1C 1→=0n →⋅A 1E →=0，所以{(x ，y ，z)⋅(−2，2，0)=0(x ，y ，z)(0，1，−1)=0，即{−2x +2y =0y −z =0，z=1，得x=1，y=1，所以n →=(1，1，1)，所以|cos ＜n →，D 1C →＞|=|n →⋅D 1C →||n →||D 1C →|=√3√5=√1515， 所以直线CD 1与平面A 1C 1FE 所成的角的大小arcsin √1515．20．（14分）如图，A ，B ，C 三地有直道相通，AB=5千米，AC=3千米，BC=4千米．现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为f （t ）（单位：千米）．甲的路线是AB ，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB ，速度为8千米/小时．乙到达B 地后原地等待．设t=t 1时乙到达C 地． （1）求t 1与f （t 1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t 1≤t ≤1时，求f （t ）的表达式，并判断f （t ）在[t 1，1]上的最大值是否超过3？说明理由．【解答】解：（1）由题意可得t 1=AC v 乙=38h ，设此时甲运动到点P ，则AP=v 甲t 1=5×38=158千米，∴f （t 1）=PC=√AC 2+AP 2−2AC ⋅AP ⋅cosA=√32+(158)2−2×3×158×35=3√418千米；（2）当t 1≤t ≤78时，乙在CB 上的Q 点，设甲在P 点，∴QB=AC +CB ﹣8t=7﹣8t ，PB=AB ﹣AP=5﹣5t ，∴f （t ）=PQ=√QB 2+PB 2−2QB ⋅PB ⋅cosB =√(7−8t)2+(5−5t)2−2(7−8t)(5−5t)0.8 =√25t 2−42t +18，当78＜t ≤1时，乙在B 点不动，设此时甲在点P ， ∴f （t ）=PB=AB ﹣AP=5﹣5t∴f （t ）={√25t 2−42t +18，38≤t ≤785−5t ，78＜t ≤1∴当38＜t ≤1时，f （t ）∈[0，3√418]，故f （t ）的最大值没有超过3千米．21．（14分）已知椭圆x 2+2y 2=1，过原点的两条直线l 1和l 2分别于椭圆交于A 、B 和C 、D ，记得到的平行四边形ACBD 的面积为S ．（1）设A （x 1，y 1），C （x 2，y 2），用A 、C 的坐标表示点C 到直线l 1的距离，并证明S=2|x 1y 2﹣x 2y 1|；（2）设l 1与l 2的斜率之积为﹣12，求面积S 的值．【解答】解：（1）依题意，直线l 1的方程为y=y 1x 1x ，由点到直线间的距离公式得：点C 到直线l 1的距离d=|y 1x 2x 1−y 2|√1+(y 1x 1)2=1212√x 12+y 12，因为|AB |=2|AO |=2√x 12+y 12，所以S=|AB |d=2|x 1y 2﹣x 2y 1|； 当l 1与l 2时的斜率之一不存在时，同理可知结论成立； （2）方法一：设直线l 1的斜率为k ，则直线l 2的斜率为﹣12k，设直线l 1的方程为y=kx ，联立方程组{y =kxx 2+2y 2=1，消去y 解得x=±√1+2k2， 根据对称性，设x 1=√1+2k 2，则y 1=√1+2k 2，同理可得x 2=√2k √1+2k 2，y 2=−√22√1+2k 2，所以S=2|x 1y 2﹣x 2y 1|=√2．方法二：设直线l1、l2的斜率分别为y1x1、y2x2，则y1y2x1x2=﹣12，所以x1x2=﹣2y1y2，∴x12x22=4y12y22=﹣2x1x2y1y2，∵A（x1，y1）、C（x2，y2）在椭圆x2+2y2=1上，∴（x12+2y12）（x22+2y22）=x12x22+4y12y22+2（x12y22+x22y12）=1，即﹣4x1x2y1y2+2（x12y22+x22y12）=1，所以（x1y2﹣x2y1）2=12，即|x1y2﹣x2y1|=√22，所以S=2|x1y2﹣x2y1|=√2．22．（16分）已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n），n∈N*．（1）若b n=3n+5，且a1=1，求数列{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项，即a n≥a n（n∈N*），求证：数列{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1=λ＜0，b n=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得{a n}有最大值M与最小值m，且Mm∈（﹣2，2）．【解答】（1）解：∵a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n），b n=3n+5，∴a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n）=2（3n+8﹣3n﹣5）=6，∴{a n}是等差数列，首项为a1=1，公差为6，则a n=1+（n﹣1）×6=6n﹣5；（2）∵a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1 =2（b n﹣b n﹣1）+2（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+2（b2﹣b1）+a1=2b n+a1﹣2b1，∴b n=12(a n+2b1−a1)，∴b n0=12(a n+2b1−a1)≥12(a n+2b1−a1)．∴数列{b n}的第n0项是最大项；（3）由（2）可得a n=2λn−λ，①当﹣1＜λ＜0时，a2n=2(λ2)n−λ单调递减，有最大值M=a2=2λ2−λ；a2n−1=2λ2n−1−λ单调递增，有最小值m=a1=λ，∴Mm=2λ−1∈（﹣2，2），∴λ∈(−12，32)，∴λ∈(−12，0)．②当λ=﹣1时，a2n=3，a2n﹣1=﹣1，∴M=3，m=﹣1，Mm=−3∉（﹣2，2），不满足条件．③当λ＜﹣1时，当n→+∞时，a2n→+∞，无最大值；当n→+∞时，a2n﹣1→﹣∞，无最小值．综上所述，λ∈（﹣12，0）时满足条件．23．（18分）对于定义域为R的函数g（x），若存在正常数T，使得cosg（x）是以T为周期的函数，则称g（x）为余弦周期函数，且称T为其余弦周期．已知f （x）是以T为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R．设f（x）单调递增，f（0）=0，f（T）=4π．（1）验证g（x）=x+sin x3是以6π为周期的余弦周期函数；（2）设a＜b，证明对任意c∈[f（a），f（b）]，存在x0∈[a，b]，使得f（x0）=c；（3）证明：“u0为方程cosf（x）=1在[0，T]上得解，”的充要条件是“u0+T为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解”，并证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）．【解答】解：（1）g（x）=x+sin x 3；∴cosg(x+6π)=cos(x+6π+sin x+6π3)=cos(x+sinx3)=cosg（x）∴g（x）是以6π为周期的余弦周期函数；（2）∵f（x）的值域为R；∴存在x0，使f（x0）=c；又c∈[f（a），f（b）]；∴f（a）≤f（x0）≤f（b），而f（x）为增函数；∴a≤x0≤b；即存在x0∈[a，b]，使f（x0）=c；（3）证明：若u0+T为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解；则：cosf（u0+T）=1，T≤u0+T≤2T；∴cosf（u0）=1，且0≤u0≤T；∴u0为方程cosf（x）=1在[0，T]上的解；∴“u0为方程cosf（x）=1在[0，T]上得解”的充分条件是“u0+T为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解”；下面证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f （T）：①当x=0时，f（0）=0，∴显然成立；②当x=T时，cosf（2T）=cosf（T）=1；∴f（2T）=2k1π，（k1∈Z），f（T）=4π，且2k1π＞4π，∴k1＞2；1）若k1=3，f（2T）=6π，由（2）知存在x0∈（0，T），使f（x0）=2π；cosf（x0+T）=cosf（x0）=1⇒f（x0+T）=2k2π，k2∈Z；∴f（T）＜f（x0+T）＜f（2T）；∴4π＜2k2π＜6π；∴2＜k2＜3，无解；2）若k1≥5，f（2T）≥10π，则存在T＜x1＜x2＜2T，使得f（x1）=6π，f（x2）=8π；则T，x1，x2，2T为cosf（x）=1在[T，2T]上的4个解；但方程cosf（x）=1在[0，2T]上只有f（x）=0，2π，4π，3个解，矛盾；3）当k1=4时，f（2T）=8π=f（T）+f（T），结论成立；③当x∈（0，T）时，f（x）∈（0，4π），考查方程cosf（x）=c在（0，T）上的解；设其解为f（x1），f（x2），…，f（x n），（x1＜x2＜…＜x n）；则f（x1+T），f（x2+T），…，f（x n+T）为方程cosf（x）=c在（T，2T）上的解；又f（x+T）∈（4π，8π）；而f（x1）+4π，f（x2）+4π，…，f（x n）+4π∈（4π，8π）为方程cosf（x）=c在（T，2T）上的解；∴f（x i+T）=f（x i）+4π=f（x i）+f（T）；∴综上对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）．。

数学试卷 第1页（共42页） 数学试卷 第2页（共42页） 数学试卷 第3页（共42页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理科数学注意事项:1.本试卷共6页,23道试题,满分150分.考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上,在试卷上作答一律不得分.3.答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号,并将核对后的条形码贴在指定位置上.一、填空题：本大题共有14题,满分56分.直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．设全集=U R .若集合={1,2,3,4}A ，{23}B x x ≤≤=，则U A B =ð . 2．若复数z 满足31i z z +=+，其中i 为虚数单位，则z = .3．若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭、解为35x y ，，=⎧⎨=⎩则12c c -= . 4．若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为163，则a = .5．抛物线22(0)y px p =>上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = . 6．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 . 7．方程1122log (95)log (32)2x x ---=-+的解为 .8．在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）.9．已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C .若1C 的渐近线方程为3y x =±，则2C 的渐近线方程为 .10．设1()f x -为2()22x xf x -=+，[0,2]x ∈的反函数，则1()()y f x f x -=+的最大值为 . 11．在1020151(1)x x++的展开式中，2x 项的系数为 （结果用数值表示）. 12．赌博有陷阱.某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）.若随机变量1ξ和2ξ分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则12E E ξξ-= 元.13．已知函数()sin f x x =.若存在12,,m x x x 满足1206πm x x x ≤＜＜＜≤，且1|f x （）223-1|||++||=122,m m f x f x f x f x f x m m *N （）（）（）（）（）（≥）-+--∈，则m 的最小值为 .14．在锐角三角形ABC 中，1tan 2A =，D 为边BC 上的点，ABD △与ACD △的面积分别为2和4.过D 作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，则 DE DF = . 二、选择题：本大题共有4题,满分20分.每题有且只有一个正确答案,将正确答案填在题后括号内,选对得5分,否则一律得零分.15．设12,z z C ∈，则“12z z ,中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的( )A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .既非充分又非必要条件16．已知点A 的坐标为43,1（），将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转π3至OB ，则点B 的纵坐标为( )A .33 B .53C .112D .13217．记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中1a ，2a ，3a 是正实数.当1a ，2a ，3a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实数根的是( )A .方程①有实根，且②有实根B .方程①有实根，且②无实根C .方程①无实根，且②有实根D .方程①无实根，且②无实根18．设(),n n n P x y 是直线2()1nx y n n *N -=∈+与圆222x y +=在第一象限的交点，则极限 1lim 1n n ny x →∞-=-( ) A .1- B .12- C .1D .2三、解答题：本大题共有5题,满分74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.19.（本小题满分12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AA =，2AB AD ==，E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点.证明：11A C F E ，，，四点共面，并求直线1CD 与平面11A C FE 所成的角的大小.20.（本小题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.如图，A ，B ，C 三地有直道相通，5AB =千米，3AC =千米，4BC =千米.现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为f t ()(单位：千米).甲的路线是AB ，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB ，速度为8千米/小时.乙到达B 地后在原地等待.设1=t t 时，乙到达C 地. （Ⅰ）求1t 与1f t ()的值；（Ⅱ）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当11t t ≤≤时，求f t ()的表达式，并判断f t ()在1[,1]t 上的最大值是否超过3？说明理由.21.（本小题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第4页（共42页） 数学试卷 第5页（共42页） 数学试卷 第6页（共42页）已知椭圆1222=+y x ，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点A ，B 和C ，D .记得到的平行四边形ACBD 的面积为S .（Ⅰ）设11(,)A x y ，22(,)C x y .用A ，C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明12212||S x y x y =-；（Ⅱ）设1l 与2l 的斜率之积为21-，求面积S 的值.22.（本小题满分16分）本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.已知数列{}n a 与{}n b 满足112()n n n n a a b b ++-=-，n *N ∈. （Ⅰ）若35n b n =+，且11a =，求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设{}n a 的第0n 项是最大项，即0()n n a a n *N ≥∈.求证：{}n b 的第0n 项是最大项； （Ⅲ）设10a ＜λ=，()n n b n *N λ=∈.求λ的取值范围，使得{}n a 有最大值M 和最小值m ，且使得(2,2)Mm∈-.23.（本小题满分18分）本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.对于定义域为R 的函数()g x ，若存在正常数T ，使得cos ()g x 是以T 为周期的函数，则称()g x 为余弦周期函数，且称T 为其余弦周期.已知()f x 是以T 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R ，设()f x 单调递增，(0)0f =，()4πf T =. （Ⅰ）验证()sin 3x h x x =+是以6π为余弦周期的余弦周期函数；（Ⅱ）设a b <.证明对任意[(),()]c f a f b ∈，存在0[,]x a b ∈，使得0()f x c =； （Ⅲ）证明：“0u 为方程cos ()1f x =在[0,]T 上的解”的充要条件是“0+u T 为方程cos ()1f x =在[,2]T T 上的解”，并证明对任意[0,]x T ∈都有()()()f x T f x f T +=+.3 / 141sin602a a ︒，正棱柱的高1sin 601632a a a ⎫︒=⎪⎭【提示】由题意可得1sin 601632a a a ⎛⎫︒=⎪⎭【考点】棱锥的结构特征数学试卷 第10页（共42页）数学试卷 第11页（共42页） 数学试卷 第12页（共42页）123270x +=5 / 14011019102015201511(1)C x x x ⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，项的系数．数学试卷 第17页（共42页） 数学试卷 第18页（共42页）【解析】对任意的i x ，j x ，max min |()()|()()2i j f x f x f x f x -≤-=， 欲使m 取最小值，尽可能多的让(1,2,,)i x i m =取最值点，考虑到1206πm x x x ≤<<<≤，*12231|()()||()()||()()|12(2,)m m f x f x f x f x f x f x m m N --+-++-=≥∈，6m x <<≤|(m f x -++的最小值．7 / 14【解析】解：如图，||||2AB DE =，||||4AC DF =，可得4||||DE AB =，8||||DF AC =，32||||||||DE DF AB AC =．1tan 2A =，∴sin 1cos 2A A =，联立||||sin 2AB AC A ||||12AB AC =85||||15DE DF =8||||||||cos ,DE DF DE DF DE DF ==故答案为：1615-． 85||||15DE DF =数学试卷第22页（共42页）数学试卷第23页（共42页）数学试卷第24页（共42页）9 / 14易求得(0,2,D C =，(2,2,0)AC =-，(0,1,A E =11AC EF 的法向量为(,y,)n x z =11100n A C n A E ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以,)(2,2,0),)(0,1,1)z z -=-=，所以(1,1,1)n =，所以111|||(1,1,1)(0,2,1)||cos ,|||||35n D C n D C n D C -===CD 与平面11A C FE 所成的角的大小arcsincos AC AP A =数学试卷 第28页（共42页）数学试卷 第29页（共42页） 数学试卷 第30页（共42页）cos QB PB B22(78)(5t --cos AC AP A ，代3数学试卷 第34页（共42页）2(a a +-+2112()b b a +++-2)b a +-2(a +-+1(2a b +（Ⅱ）∵()f x 的值域为R ；∴存在0x ，使0()f x c =；又(),)]([c f a f b ∈；∴0()()()f a f x f b ≤≤，而()f x 为增函数；∴0a x b ≤≤；即存在0,[]x a b ∈，使0()f x c =；（Ⅲ）证明：若0u T +为方程cos ()1f x =在区间[],2T T 上的解；则：0cos ()1f u T +=，02T u T T +≤≤；∴0cos ()1f u =，且00u T ≤≤；∴0u 为方程cos ()1f x =在[0]T ,上的解；∴“0u 为方程cos ()1f x =在[0]T ,上得解”的充分条件是“0u T +为方程cos ()1f x =在区间[],2T T 上的解”；下面证明对任意,[]0x T ∈，都有()()()f x T f x f T +=+：①当0x =时，(0)0f =，∴显然成立；②当x T =时，cos (2)cos ()1f T f T ==；∴11(2)2,()f T k k Z π=∈，()4πf T =，且12π4πk >，∴12k >；1）若13k =，(2)6πf T =，由（Ⅱ）知存在0(0,)x T ∈，使0()2πf x =；0002cos ()cos ()1()2πf x T f x f x T k +==⇒+=，2k ∈Z ；∴0()()(2)f T f x T f T <+<；∴24π2π6πk <<；∴223k <<4，无解；2）若15k ≥，(2)10πf T ≥，则存在122T x x T <<<，使得1()6πf x =，2()8πf x =；则T ，1x ，2x ，2T 为cos ()1f x =在[],2T T 上的4个解；但方程cos ()1f x =在[0]2T ,上只有()0f x =，2π，4π，3个解，矛盾； 3）当14k =时，(2)8π()()f T f T f T ==+，结论成立；③当(0)x T ∈,时，()(04π)f x ∈,，考查方程cos ()f x c =在(0)T ,上的解； 设其解为1()f x ，2()f x ，…，()n f x ，12()n x x x <<<；则1()f x T +，2()f x T +，…，()n f x T +为方程cos ()f x c =在[,2]T T 上的解；又()(4π8π)f x T +∈,； 而1()4πf x +，2()4πf x +，…，()4π(4π,8π)n f x +∈为方程cos ()f x c =在[,2]T T 上的解；∴()()4π()()i i i f x T f x f x f T +=+=+；数学试卷 第40页（共42页）∴综上对任意,[]0x T ∈，都有()()()f x T f x f T +=+．【提示】（Ⅰ）根据余弦周期函数的定义，判断(6π)cosg x +是否等于cos ()g x 即可；（Ⅱ）根据()f x 的值域为R ，便可得到存在0x ，使得0()f x c =，而根据()f x 在R 上单调递增即可说明0,[]x a b ∈，从而完成证明；（Ⅲ）只需证明0u T +为方程cos ()1f x =在区间[2]T T ,上的解得出0u 为方程cos ()1f x =在[0]T ,上的解，是否为方程的解，带入方程，使方程成立便是方程的解．证明对任意,[]0x T ∈，都有()()()f x T f x f T +=+，可讨论0x =，x T =，(0)x T ∈,三种情况：0x =时是显然成立的；x T =时，可得出cos (2)1f T =，从而得到1(2)2πf T k =，1k ∈Z ，根据()f x 单调递增便能得到12k >，然后根据()f x 的单调性及方程cos ()1f x =在[],2T T 和它在[0]T ,上解的个数的情况说明13k =，和15k ≥是不存在的，而14k =时结论成立，这便说明x T =时结论成立；而对于(0)x T ∈,时，通过考查cos ()f x c =的解得到()()()f x T f x f T +=+，综合以上的三种情况，最后得出结论即可．【考点】函数与方程的综合运用。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海）卷数学（理科）一．填空题：共14小题，每小题4分，共56分。

1．设全集U R =，若集合{}1,2,3,4A =，{}23B x x =≤≤，则U A B = ð_________。

2．若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z =_________。

3．若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫⎪⎝⎭，解为35x y =⎧⎨=⎩，则12c c -=__________。

4．若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为a =__________。

5．抛物线22y px =（0p >）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p =_______。

6．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为_______。

7．方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为___________。

28．在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为________（结果用数值表示）。

9．已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C 。

若1C的渐近线方程为y =，则2C 的渐近线方程为__________。

10．设()1fx -为()222x xf x -=+，[]0,2x ∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为_________。

11．在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为________（结果用数值表示）。

12．赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1,2,3,4,5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）。

上海市教育考试院 保留版权数学（理）2015 第1页（共4页）2015年普通高等学校招生全国统一考试上海 数学试卷(理工农医类)考生注意：1. 本试卷共4页，23道试题，满分150分. 考试时间120分钟.2. 本考试分设试卷和答题纸. 试卷包括试题与答题要求. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1. 设全集U =R . 若集合{}1,2,3,4A =，{}23B x x =≤≤，则A ∁U B =________.2. 若复数z 满足31i z z +=+，其中i 为虚数单位，则z =________.3. 若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭、解为3,5,x y =⎧⎨=⎩ 则12c c -=________. 4. 若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为a =________.5. 抛物线22(0)y px p =>上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p =________.6. 若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为π2，则其母线与轴的夹角的大小为________.7. 方程1122log (95)log (32)2x x ---=-+的解为________.8. 在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为________（结果用数值表示）.9. 已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C . 若1C的渐近线方程为y =，则2C 的渐近线方程为________.10. 设1()f x -为[]2()2,0,22x xf x x -=+∈的反函数，则1()()y f x f x -=+的最大值为________.11. 在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为________.（结果用数值表示）数学（理）2015 第2页（共4页）12. 赌博有陷阱. 某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1,2,3,4,5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）. 若随机变量1ξ和2ξ分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则12E E ξξ-=________（元）.13. 已知函数()s i n f x x =. 若存在12,,,m x x x 满足π1206m x x x ≤<<<≤ ，且12231()()()()()()12m m f x f x f x f x f x f x --+-++-= （2m ≥，*m ∈N ），则m 的最小值为________.14. 在锐角三角形ABC 中，1tan 2A =，D 为边BC 上的点，△ABD 与△ACD 的面积分别为2和4. 过D 做DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，则DE DF ⋅=________.二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15. 设12,z z ∈C ，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（ ）.(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件 (C) 充要条件(D) 既非充分又非必要条件16. 已知点A的坐标为()，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转π3至OB ，则点B 的纵坐标为（ ）.(A)(B)(C)112(D)13217. 记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中123,,a a a 是正实数. 当123,,a a a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ）.(A) 方程①有实根，且②有实根 (B) 方程①有实根，且②无实根 (C) 方程①无实根，且②有实根 (D) 方程①无实根，且②无实根18. 设(,)n n n P x y 是直线*2()1nx y n n -=∈+N 与圆222x y +=在第一象限的交点，则极限1lim1n n n y x -=-→∞（ ）.(A) 1-(B) 12-(C) 1 (D) 2数学（理）2015 第3页（共4页）三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19. （本题满分12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AA =，2AB AD ==，E 、F 分别是棱AB 、BC 的中点. 证明1A 、1C 、F 、E 四点共面，并求直线1CD 与平面11A C FE 所成的角的大小.20. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，,,A B C 三地有直道相通，5AB =千米，3AC =千米，4BC =千米. 现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为()f t （单位：千米）. 甲的路线是AB ，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB ，速度为8千米/小时. 乙到达B 地后在原地等待. 设1t t =时，乙到达C 地. (1) 求1t 与1()f t 的值；(2) 已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当11t t ≤≤时，求()f t 的表达式，并判断()f t 在[]1,1t 上的最大值是否超过3？说明理由.21. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知椭圆2221x y +=，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点A 、B 和C 、D . 记得到的平行四边形ACBD 的面积为S .(1) 设11(,)A x y ，22(,)C x y . 用A 、C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明12212S x y x y =-.(2) 设1l 与2l 的斜率之积为12-，求面积S 的值.EFD1D B1BC1CA1ACBA数学（理）2015 第4页（共4页）22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知数列{}n a 与{}n b 满足112()n n n n a a b b ++-=-，*n ∈N . (1) 若35n b n =+，且11a =，求{}n a 的通项公式；(2) 设{}n a 的第0n 项是最大项，即0n n a a ≥*()n ∈N . 求证：{}n b 的第0n 项是最大项； (3) 设10a λ=<，n n b λ=*()n ∈N . 求λ的取值范围，使得{}n a 有最大值M 与最小值m ，且(2,2)Mm∈-.23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.对于定义域为R 的函数()g x ，若存在正常数T ，使得cos ()g x 是以T 为周期的函数，则称()g x 为余弦周期函数，且称T 为其余弦周期. 已知()f x 是以T 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R . 设()f x 单调递增，(0)0f =，π()4f T =. (1) 验证()sin 3xh x x =+是以π6为余弦周期的余弦周期函数；(2) 设a b <. 证明对任意[(),()]c f a f b ∈，存在0[,]x a b ∈，使得0()f x c =；(3) 证明：“0u 为方程cos ()1f x =在[]0,T 上的解”的充要条件是“0u T +为方程cos ()1f x =在[],2T T 上的解”，并证明对任意[]0,x T ∈都有()()()f x T f x f T +=+.上海市教育考试院 保留版权高考(2015)数学（理）答案 第1页（共5页）2015年普通高等学校招生全国统一考试上海 数学试卷(理工农医类)答案要点及评分标准说明1. 本解答列出试题的解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分.2. 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半. 如果有较严重的概念性错误，就不给分. 解答一、（第1题至第14题） 1. {}1,4. 2.11i 42+. 3. 16. 4. 4. 5. 2. 6.π3. 7. 2.8. 120. 9.y =. 10. 4. 11. 45. 12. 0.2. 13. 8. 14. 1615-. 二、（第15题至第18题）三、（第19题至第23题） 19. （本题满分12分）如图，以D 为原点建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为1(2,0,1)A 、1(0,2,1)C 、(2,1,0)E 、(1,2,0)F 、(0,2,0)C 、(0,0,1)D .因为11(2,2,0)AC =- ，(1,1,0)EF =-， 所以11//AC EF ，因此直线11AC 与EF 共面， 即1A 、1C 、F 、E 四点共面.······· 4分设平面11A C FE 的法向量为(,,)n u v w = ，则n EF ⊥，1n FC ⊥ ，又(1,1,0)EF =- ，1(1,0,1)FC =-，高考(2015)数学（理）答案 第2页（共5页）故0,0,u v u w -+=⎧⎨-+=⎩解得u v w ==.取1u =，得平面11A C FE 的一个法向量(1,1,1)n =. 又1(0,2,1)CD =- ，······· 7分故11CD n CD n⋅=. ······ 10分因此直线1CD 与平面11A C FE所成的角的大小为. ······ 12分20. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.(1) 138t =.······· 2分记乙到C 时甲所在地为D ，则158AD =千米. 在△ACD 中，2222cos CD AC AD AC AD A =+-⋅，所以1()f t CD =. ······· 6分(2) 甲到达B 用时1小时；乙到达C 用时38小时，从A 到B 总用时78小时.当13788t t =≤≤时，()f t =；当718t ≤≤时，()55f t t =-. ······ 10分所以37,88()755, 1.8t f t t t ≤≤=⎨⎪-<≤⎪⎩······ 11分因为()f t 在37,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是38f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()f t 在7,18⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是7588f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()f t 在3,18⎡⎤⎢⎥⎣⎦3.······ 14分21. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. (1) [证明]直线1l ：110y x x y -=，点C 到1l的距离d =. ······· 3分2AB OA ==所以122112222ABC S S AB d x y x y ==⨯⋅=-△. ······· 6分高考(2015)数学（理）答案 第3页（共5页）(2) 设1l ：y kx =，则2l ：12y x k=-. 设11(,)A x y ，22(,)C x y . 由22,21,y kx x y =⎧⎨+=⎩得212112x k =+.同理2222212211122k x k k ==+⎛⎫+- ⎪⎝⎭. ······ 10分由(1)，2121221211221222x x k S x y x y x kx x x k k⋅+=-=+⋅=⋅······ 12分=整理得S = ······ 14分22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.(1) 由13n n b b +-=，得16n n a a +-=，······· 2分所以{}n a 是首项为1，公差为6的等差数列， 故{}n a 的通项公式为65n a n =-，*n ∈N . ······· 4分 (2) [证明]由112()n n n n a a b b ++-=-，得1122n n n n a b a b ++-=-.所以{}2n n a b -为常数列，1122n n a b a b -=-，即1122n n a b a b =+-. ······· 7分 因为0n n a a ≥，*n ∈N ，所以011112222n n b a b b a b +-≥+-，即0n n b b ≥.故{}n b 的第0n 项是最大项.······ 10分 (3) 因为n n b λ=，所以112()n n n n a a λλ++-=-，当2n ≥时，112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+ 11222()2()2()n n n n λλλλλλλ---=-+-++-+2n λλ=-.······ 12分高考(2015)数学（理）答案 第4页（共5页）当1n =时，1a λ=，符合上式. 所以2n n a λλ=-. 因为0λ<，所以222nn a λλλ=->-，21212n n a λλλ--=--<-.① 当1λ<-时，由指数函数的单调性知，{}n a 不存在最大、最小值； ② 当1λ=-时，{}n a 的最大值为3，最小值为1-，而3(2,2)1∉--； ③ 当10λ-<<时，由指数函数的单调性知，{}n a 的最大值222M a λλ==-，最小值1m a λ==，由2222λλλ--<<及10λ-<<，得102λ-<<.······ 15分 综上，λ的取值范围是1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭.······ 16分23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. (1) [证明]易见()sin 3xh x x =+的定义域为R ，······· 1分对任意x ∈R ，ππππ6(6)6sin()63x h x x h x ++=++=+， 所以()ππcos (6)cos ()6cos ()h x h x h x +=+=，即()h x 是以π6为余弦周期的余弦周期函数.······· 4分(2) 由于()f x 的值域为R ，所以对任意[](),()c f a f b ∈，c 都是一个函数值，即有0x ∈R ，使得0()f x c =.······· 6分若0x a <，则由()f x 单调递增得到0()()c f x f a =<，与[](),()c f af b ∈矛盾，所以0x a ≥.同理可证0x b ≤. 故存在0[,]x a b ∈使得0()f x c =.······ 10分(3) 若0u 为cos ()1f x =在[]0,T 上的解，则0cos ()1f u =，且[]0,2u T T T +∈，00cos ()cos ()1f u T f u +==，即0u T +为方程cos ()1f x =在[],2T T 上的解.同理，若0u T +为方程cos ()1f x =在[],2T T 上的解，则0u 为该方程在[]0,T 上的解······ 13分以下证明最后一部分结论.高考(2015)数学（理）答案 第5页（共5页）由(2)所证知存在012340x x x x x T =<<<<=，使得π1()f x i =，0,1,2,3,4i =. 而[]1,i i x x +是函数cos ()f x 的单调区间，0,1,2,3i =.与之前类似地可以证明：0u 是cos ()1f x =-在[]0,T 上的解当且仅当0u T +是cos ()1f x =-在[],2T T 上的解. 从而cos ()1f x =±在[]0,T 与[],2T T 上的解的个数相同.故π()()4i i f x T f x +=+，0,1,2,3,4i =.对于[]10,x x ∈，[]π()0,f x ∈，[]ππ()4,5f x T +∈，而cos ()cos ()f x T f x +=，故π()()4()()f x T f x f x f T +=+=+. 类似地，当[]1,i i x x x +∈，1,2,3i =时，有()()()f x T f x f T +=+. 结论成立 ······ 18分23(3)的后一部分结论的评分说明（满分值5分）：。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、填空题（本大题共14小题，共56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． （1）【2015年上海，理1】设全集U R =，若集合{}{}1,2,3,4,|23A B x x ==≤≤，则U A B =ð ． 【答案】{}1,4【解析】根据题意，可得{}|32U B x x x =><或ð，故{}1,4U A B =ð．【点评】本题考查集合的交、并、补的混合运算，熟练掌握集合的交并补的运算规则是解本题的关键．本题考查了推理判断的能力．（2）【2015年上海，理2】若复数z 满足31i z z +=+，其中i 为虚数单位，则z = ．【答案】11i 42+【解析】设()i ,z x y x y R =+∈，根据题意，有i z x y =-，可把31i z z +=+化简成33i i 1i x y x y ++-=+，对于系数相等可得出11,42x y ==，11i 42z ∴=+．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，属于基础题．（3）【2015年上海，理3】若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭、解为35x y =⎧⎨=⎩，则12c c -= ． 【答案】16【解析】根据增广矩阵的定义可以还原成方程组12230x y c y c +=⎧⎨+=⎩把35x y =⎧⎨=⎩代入，可得1221,5c c ==，1216c c ∴-=．【点评】本题主要考查增广矩阵的求解，根据条件建立方程组关系是解决本题的关键． （4）【2015年上海，理4】若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为，则a = ． 【答案】4【解析】根据正三棱柱的体积计算公式31=42V h S a a a =⋅⨯⨯===底．【点评】本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式，属于基础题． （5）【2015年上海，理5】抛物线()220y px p =>上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = ．【答案】2【解析】根据抛物线的性质，我们知道当且仅当动点Q 运动到原点的时候，才与抛物线焦点的距离的最小，所以有min 1,22pQP p ==⇒=．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础． （6）【2015年上海，理6】若圆锥的侧面积与过轴的截面积面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 ． 【答案】3π【解析】设这个圆锥的母线长为'h ，底面半径为r ，母线与轴的夹角为θ，所以'1=2S l h ⋅⋅侧，而过轴的截面是一个三角形，故122S r h =⋅⋅轴，有h ='122122l h S S r h π⋅⋅==⋅⋅侧轴，''2,h h h h r ⇒=，'sin 3r h πθθ=∴=． 【点评】本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知求出圆锥的母线与轴的夹角的余弦值，是解答的关键．（7）【2015年上海，理7】方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为 ． 【答案】2【解析】由条件可得()111195032095432x x x x ----⎧->⎪⎪->⎨⎪-=-⎪⎩()()()2111134330,33310x x x x ----⇒-⋅+=--=，1133,2,31,1x x x x --=⇒==⇒=，所以1x =或2x =，检验后只有2x =符合．【点评】本题考查了对数的运算性质及指数运算性质及其方程的解法，考查了计算能力，属于基础题． （8）【2015年上海，理8】在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方法的种数为 ．（结果用数值表示） 【答案】120【解析】解法一：这里男女老师都要有的话，可以分男1、女4，男2、女3和男3、女4，所以有142332363636456015120C C C C C C ++=++=． 解法二：根据题意，报名的有3名男老师和6名女教师，在9名老师中选取5人，参加义务献血，有C 95=126种；其中只有女教师的有C 65=6种情况；则男、女教师都有的选取方式的种数为126﹣6=120种．【点评】本题考查排列、组合的运用，本题适宜用排除法（间接法），可以避免分类讨论，简化计算． （9）【2015年上海，理9】已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C ，若1C 的渐近线方程为y =，则2C 的渐近线方程为 ．【答案】y = 【解析】设点P 和Q 的坐标为(),x y 、()00,x y ，则有002x x y y =⎧⎨=⎩，又因为1C 的渐近线方程为y =，故设1C 的方程为223x y λ-=，把P 点坐标代入，可得22034x y λ-=，令0λ=，20y ⇒±=即为曲线2C 的渐近线方程，即y x =． 【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．（10）【2015年上海，理10】设()1f x -为()[]22,0,22x xf x x -=+∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为 ． 【答案】4【解析】通过分析，我们可得函数()222x x f x -=+在定义域[]0,2上是单调递增的，且值域为124⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，由反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域以及反函数与原函数的单调性相同，可得()1f x -的定义域为124⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，值域为[]0,2，又原函数与反函数的公共定义域为124⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，故()()1m a x m a x m a x 224y f f -=+=． 【点评】本题考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，考查了函数的单调性，属中档题．（11）【2015年上海，理11】在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为 ．（结果用数值表示）【答案】45【解析】在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭中要得到2x 项的系数，肯定不能含有20151x 项，故只有()()010100102015111C x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，而对于()101x +，2x 项的系数为28210145C x =． 【点评】本题考本题考查了二项式系数的性质，关键是对二项展开式通项的记忆与运用，是基础题．（12）【2015年上海，理12】赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客现在标有1,2,3,4,5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量1ξ和2ξ分别表示赌客在每一局赌博中的赌金与奖金，则12E E ξξ-= ．（元） 【答案】0.2【解析】由题可知，()()()()222222255544332211.4,2.8, 4.2, 5.610101010P P P P C C C ξξξξ===========，所以，ξ和的分布列分别为：()121123453, 1.40.4 2.80.3 4.20.2 5.60.1 2.85E E ξξ=++++==⨯+⨯+⨯+⨯=，即有120.2E E ξξ-=．【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，根据概率的公式分别进行计算是解决本题的关键． （13）【2015年上海，理13】已知函数()sin f x x =，若12,,,m x x x 存在满足1206m x x x π≤<<<≤，且()()()()()()()*12231122,m m f x f x f x f x f x f x m m N --+-++-=≥∈，则m 的最小值为 ．【答案】8【解析】对任意的,i j x x ，()()()()max min 2i j f x f x f x f x -≤-=，欲使m 取最小值，尽可能多的让()1,2,,i x i m =取最值点，考虑到1206m x x x π≤<<<≤，()()()()()()()*12231122,m m f x f x f x f x f x f x m m N --+-++-=≥∈，按照右图所示取值可以满足条件，所以m 的最小值为8． 【点评】本题主要考察正弦函数的图像，数形结合是本题关键．（14）【2015年上海，理14】在锐角ABC ∆中，1tan 2A =，D 为BC 边上的一点，ABD ∆与ACD ∆面积分别为2和4，过D 作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，则DE DF ⋅= ．【答案】1615-【解析】由题可知，cos cos EDF A ∠=-，122ABD S AB DE ∆==，142ACD S AC DF ∆==，1sin 62ABC S AB AC A ==，所以4DE AB =，8DF AC =，12sin AB AC A = 4832cos cos cos DE DF DE DF EDF A A AB AC AB AC⋅=⋅∠=-=-，化简可得28442tan 16sin cos sin 23331tan 15A DE DF A A A A ⋅=-=-=-=-+． 【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了数形结合的解题思想方法，考查了三角函数的化简与求值，是中档题． 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）考生应在答题纸相应编号位置填涂，每题只有一个正确选项，选对得5分，否则一律得零分． （15）【2015年上海，理15】设12,z z C ∈，则“12,z z 中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件 【答案】B【解析】充分性不成立，如11i z =+，22i z =+，121z z -=-不是虚数；必要性成立，采用反证法，若12,z z 全不是虚数，即12,z z 均为实数，则12z z -比为实数，所以12z z -是虚数，则12,z z 中至少有一个数是虚数，故选B ．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据复数的有关概念进行判断是解决本题的关键． （16）【2015年上海，理16】已知点A的坐标为()，将OA 绕坐标原点O 逆时针转3π至OB ，则B 的纵坐 标为（ ）（A（B（C ）112 （D ）132【答案】D【解析】以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设(),A ρθ，则,3B πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，且s i n 1ρθ=，cos ρθ=，B的纵坐标为：1113sin sin cos 3222πρθρθθ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，故选D ． 【点评】本题主要考查三角函数值的计算，根据三角函数的定义以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键． （17）【2015年上海，理17】记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中123,,a a a 是正实数．当123,,a a a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ） （A ）方程①有实根，且②有实根 （B ）方程①有实根，且②无实根（C ）方程①无实根，且②有实根 （D ）方程①无实根，且②无实根 【答案】B【解析】方程③无实根，则233160a ∆=-<，又2114a ∆=-，2228a ∆=-，当123,,a a a 成等比数列时，2213a a a =，即有2231a a a =，由30∆<得22223116160a a a ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，即422116a a <，当方程①有实根，且②无实根时，214a >，228a <，可以推出42216416416a a <<⨯<，故选B ．【点评】本题主要考查方程根存在性与判别式△之间的关系，结合等比数列的定义和性质判断判别式△的取值关系是解决本题的关键．（18）【2015年上海，理18】设(),n n n P x y 是直线()*21nx y n N n -=∈+与圆222x y +=在第一象限的交点，则极 限1lim 1n n n y x →∞-=-（ ） （A ）1- （B ）12- （C ）1 （D ）2【答案】A【解析】采用极限思想求解当n →∞时，直线()*21nx y n N n -=∈+趋向于21x y -=，直线与圆的交点趋向于()1,1P ，1lim 1n n n y x →∞--可以理解为过点()1,1P 所作的圆的切线的斜率k ，设切线方程为()11y k x -=-，结合d r ==1k =-，即1lim11n n ny x →∞-=--，故选A ．【点评】本题考查了极限思想、圆的切线的斜率、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 三、解答题（本题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． （19）【2015年上海，理19】（本小题满分12分）如图，在长方体中1111ABCD A B C D -，11AA =，2AB AD ==，E 、F 分别是棱AB 、BC 的中点，证明1A 、1C 、F 、E 四点 共面，并求直线1CD 与平面11A C FE 所成角的大小．解：由于E 、F 分别是棱AB 、BC 的中点，所以//EF AC ，又11//AC AC ，所以11//EF AC ，由公理三的推论，可知1A 、1C 、F 、E 四点共面．连接1A F 、1A B 由于11//CD A B ，所 以直线1CD 与平面11A C FE 所成角的大小与1A B 与平面11A C FE 所成角的大小相等．设1A B与平面11A C FE 所成角为θ，点B 到平面1A EF 的距离为d ，则1sin dA Bθ=，在三棱锥1A EFB -中，体积1A EFB B A EF V V --=，所以111133EFB A EF S AA S d ∆∆⋅=⋅，即11EFB A EF S AA d S ∆∆⋅=，结合题中的数据，可以计算出12EFB S ∆=，1AF A B ==1A F EF ==1A F =1A EF S ∆=，所以d =，所以1sin d A B θ==，即θ=，所以直线1CD 与平面11A C FE所成角的大小为． 【点评】本题主要考查利用空间直角坐标系求出二面角的方法，属高考常考题型；本题也可采用空间向量解决．（20）【2015年上海，理20】（本小题满分14分）如图，A 、B 、C 三地有直道相通，5AB =千米，3AC =千米，4BC =千米，现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为()f t （单位：千米）．甲的路线是AB ，速度是5千米/小时，乙的路线是ACB ，速度为8千米/小时．乙到达B 地后原地等待，设1t t =时，乙到达C 地． （Ⅰ）求1t 与()1f t 的值；（Ⅱ）已知警员的对讲机的有效通话距离为3千米．当11t t ≤≤时，求()f t 的表达式，并判断()f t 在[]1,1t 上的最大值是否超过3？说明理由．解：（Ⅰ）由题中条件可知138t =小时，此时甲与A 点距离为158千米，由余弦定理可知()2211515336992388564f t ⎛⎫=+-⨯⨯⨯=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，所以()18f t =． ……6分 （Ⅱ）易知，当78t =时乙到达B 位置，所以①当3788t ≤≤时，()()()()()2222147855278552542185f t t t t t t t =-+--⋅-⋅-⋅=-+⎡⎤⎣⎦； ②当718t ≤≤时，()55f t t =-；综合①②，()13788755,18t f t t t ≤≤=⎨⎪-<≤⎪⎩当321825t ≤≤时，()f t单调递减，此时函数的值域为3,58⎡⎢⎣⎦；当217258t ≤≤时，()f t 单调递增，此时函数的值域为35,58⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 当718t ≤≤时，()f t 单调递减，此时函数的值域为50,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 由此，函数()f t 在[]1,1t上的值域为⎡⎢⎣⎦，而29<⎝⎭3<， 所以()f t 在[]1,1t 上的最大值没有超过3． ……14分【点评】本题考查解三角形的实际应用，涉及余弦定理和分段函数，属中档题． （21）【2015年上海，理21】（本小题满分14分）已知椭圆2221x y +=，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点A B 、和C D 、，记得到的平行四边形ACBD 的面积为S ．（Ⅰ）设()11,A x y ，()22,C x y ．用A C 、坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明12212S x y x y =-； （Ⅱ）设1l 与2l 的斜率之积为12-，求面积S 的值．解：（Ⅰ）由题易知A C 、两点的横坐标不能同时为零，下面分两种情况：①当A C 、两点的横坐标有一个为零时，不妨设10x =，20x ≠不失一般性，此时1l 与y 轴重合，C 到直线1l 的距离为2x ，平行四边形ACBD 的面积为212S x y =；②当A C 、两点的横坐标均不为0时，即1l 和2l 的斜率均存在时，设1l 的方程为y kx =，其中11y k x =2221y kxx y =⎧⎨+=⎩可得()222110k x +-=，所以弦长AB ===点C 到直线1l的距离d =所以四边形ACBD 的面积为12212S AB d x y x y =⋅=-综合①②点C 到直线1l，平行四边形ACBD 的面积为12212x y x y -． ……6分（Ⅱ）解法一：易知两直线的斜率分别为：111l y k x =，222l y k x =，由1l 与2l 的斜率之积为12-可得：12122x x y y =-， 又221112x y =-，222212x y =-，所以()()2222222121212122124x x y y y y y y =-=-++，即221212y y +=，()()()()222222222222122112211221211212242412124S x y x y x y x y x y x y y y y y y y ⎡⎤=-=+-=-+-+⎣⎦化简得()2221242S y y =+=． ……14分 解法二：设直线1l 的斜率为k ，则直线2l 的斜率为12k -，设直线1l 的方程为y kx =，联立方程组2221y kx x y =⎧⎨+=⎩，消去y 解得x =1x =1y =，同理可得2x=，2y =，所以12212S x y x y =-=． ……14分 【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查方程思想、等价转化思想与综合运算能力，属于难题． （22）【2015年上海，理22】（本小题满分16分）已知数列与满足．（Ⅰ）若，且，求的通项公式；（Ⅱ）设的第项是最大项，即，求证：的第项是最大项；（Ⅲ）设，求的取值范围，使得有最大值与最小值，且． 解：（Ⅰ）由可得：，又，所以数列为以1为首项，6为公差的等差数列，即有． ……4分 （Ⅱ）由可得：将上述式子累加可得，当时，也成立，所以，由此可得，由于为常数，所以当的第项是最大项时，最大，即的第项是最大项． ……10分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，即，结合可得，分三种情况进行讨论：①当时，则为偶数时，为奇数时，即有，，此时，由此，此情况不符合条件；{}n a {}n b ()*112,N n n n n a a b b n ++-=-∈35n b n =+11a ={}n a {}n a 0n ()0*N n n a a n ≥∈{}n b 0n ()*10,N n n a b n λλ=<=∈λ{}n a M m ()2,2Mm∈-35n b n =+()()*1126N n n n n a a b b n ++-=-=∈11a ={}n a ()*65N n a n n =-∈()*112,N n n n n a a b b n ++-=-∈()21212a a b b -=-()32322a a b b -=-()()1122n n n n a a b b n ---=-≥()()1122n n a a b b n -=-≥1n =()()*112N n n a a b b n -=-∈111122n n b a b a =+-1112b a -{}n a 0n 111122n a b a +-{}n b 0n ()()*112N n n a a b b n -=-∈1122n n a b a b =+-1,n n a b λλ==2n n a λλ=⋅-1λ=-n 3n a =n 1n a =-3M =1m =-()32,2Mm=-∉-②当时，则为偶数时，，由于，所以，从而随着增 大值减小，此时，，无最小值（无限靠近0）；为奇数时，，此时，由于，所以，从而随着增大值减小，结合，可知随着增大值增大，此时()minn λλ=，无最大值（无限靠近0）；由此可知数列{}n a 的最大值22M λλ=-，最小值2m λλλ=-=，2221M m λλλλ-==-，又()2,2M m ∈-，所以21221210λλλ-<⎧⎪->-⎨⎪-<<⎩，解之102λ-<<；③当1λ<-时，则n 为偶数时，()nn λλ=-，由于1λ<-，所以()1,λ-∈+∞，从而n λ随着n 增大值增大，此时0n λ>，()2minn λλ=，无最大值（无限靠近+∞）；n 为奇数时，0n λ<，此时()nn λλ=--，由于1λ<-，所以1λ->，从而()nλ-随着n 增大值增大，结合()nn λλ=--，可知随着n 增大n λ值减小，此时()maxn λλ=，无最小值（无限靠近-∞）；由此可知，在1λ<-条件下，数列{}n a 无最值，显然不符合条件；综上，符合条件的实数λ的取值范围为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭． ……16分【点评】本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了数列的函数特性，训练了累加法求数列的通项公式，对（Ⅲ）的求解运用了极限思想方法，是中档题．（23）【2015年上海，理23】（本小题满分18分）对于定义域为的函数，若存在正常数，使得是以为周期的函数，则称为余弦周期函数，且称为其余弦周期．已知是以为余弦周期的余弦周期函数，其值域为，设单调递增，()00f =，()4f T π=．（Ⅰ）验证是以为余弦周期的余弦周期函数； （Ⅱ）设，证明对任意，存在，使得；（Ⅲ）证明：“为方程在上的解”的充要条件是“为方程在上的解”，并证明对任意都有．解：（Ⅰ）()cosh cos sin 3x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()()6cosh 6cos 6sin cos 6sin cos sin cosh 333x x x x x x x x ππππ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()sin 3xh x x =+是以6π为余弦周期的余弦周期函数． ……4分（Ⅱ）当()c f a =或者()c f b =时，由于()f x 单调递增，所以存在0x a =或0x b =使得()0f x c =成立；当()()(),c f a f b ∈，构造函数()()p x f x c =-，则()0p a <，()0p b >，从而()()0p a p b ⋅<，所以存在()0,x a b ∈，使得()00p x =，即存在[]0,x a b ∈，使得()0f x c =成立，证毕． ……10分（Ⅲ）先证必要性：0u 为方程cos ()1f x =在[]0,T 上的解，即0cos ()1f u =，由[]00,u T ∈可得[]0,2u T T T +∈，由于函数()f x是以T 为余弦周期的余弦周期函数，所以00()cos cos ()1f u T f u +==，即0u T +为方程cos ()1f x =在[],2T T 上的解；再证充分性：0u T +为方程cos ()1f x =在[],2T T 上的解，即0c 1s ()o f u T +=，由[]0,2u T T T +∈可得[]00,u T ∈，由于函数()f x 是以T 为余弦周期的余弦周期函数，所以00cos cos ()()1f u f u T =+=，即0u 为方程cos ()1f x =在[]0,T 上的解；下证：对任意[]0,x T ∈都有()()()f x T f x f T +=+．()1,0λ∈-n ()nn λλ=-()1,0λ∈-()0,1λ-∈n λn 0n λ>()2maxn λλ=n 0n λ<()nn λλ=--()1,0λ∈-()0,1λ-∈()nλ-n ()nn λλ=--n n λR ()g x T ()cos g x T ()g x T ()f x T R ()f x ()sin3xh x x =+6πa b <()(),c f a f b ∈⎡⎤⎣⎦[]0,x a b ∈()0f x c =0u cos ()1f x =[]0,T 0u T +cos ()1f x =[],2T T []0,x T ∈()()()f x T f x f T +=+由于函数()f x 是以T 为余弦周期的余弦周期函数，所以cos ()cos ()f x f x T =+，即有cos ()cos ()0f x f x T -+=， 所以()()()()2sin sin022f x f x T f x f x T ++-+-=，即()()2f x f x T k π++=或()()()Z 2f x f x T k k π-+=∈，所以()()2f x T f x k π++=或()()()2Z f x T k f x k π+=+∈．①若()()2f x T f x k π++=，由()00f =，()4f T π=，可得2k =． 所以()()4f x T f x π++=，这与函数()f x 为增函数矛盾，舍去； ②若()()()2Z f x T k f x k π+=+∈，由()00f =，()4f T π=，可得2k =， 所以()()4f x T f x π+=+，即()()()f x T f x f T +=+．由此，对任意[]0,x T ∈都有()()()f x T f x f T +=+． ……18分【点评】考查对余弦周期函数定义的理解，充分条件的概念，方程的解的概念，知道由()cos 1f x =能得出()2,f x kx k Z =∈，以及构造方程解题的方法，在证明最后一问时能运用第二问的结论．。

2015年上海高考数学（理科）试题一、填空题（本大题共14小题，每题4分，满分56分）1、设全集U R =，若集合{}4,3,2,1=A ，{}32|≤≤=x x B ，则=B C A U _________. 分析：本题考查了学生的集合运算，属于基础题目和常考题目 。

答案：{1,4}2、若复数z 满足i z z +=+13_，其中i 为虚数单位，则z =___________. 分析：考查复数基本形式及共轭复数的概念，属于基础题目和常规题目。

答案：1142i+3、若线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛211302c c ，解为⎩⎨⎧==53yx ，则=-21c c ___________.分析：考查了二元一次方程组增广矩阵的概念，属于基础知识，但考前这个小知识点被遗漏的学校较多。

答案：164、若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为316，则=a ___________.分析：首先考查了学生对于正三棱柱的认识，其次考查了棱柱的体积公式，题型和知识点较为常规。

答案：45、抛物线()022>=p px y 上的动点Q 到其焦点距离的最小值为1，则=p ___________. 分析：考查了抛物线上的点到焦点的距离问题，可以通过第一定义，将到焦点的距离转化成到准线的距离，这样题目就非常容易解决掉。

答案：26、若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为1:2π，则其母线与轴的夹角的大小为 _______.7、方程()()223log 59log 1212+-=---x x 的解为___________.分析：考查了对数方程的知识点，通过对数运算，去掉对数符号，解出方程的根，易错点为根的验证。

答案：28、在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）分析：排列组合知识点出现在第十题这个位置，相比较模拟卷和往年高考卷，难度不算大，可以用容易来形容。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海）卷数学（理科）一．填空题：共14小题，每小题4分，共56分。

1．设全集U R =，若集合{}1,2,3,4A =，{}23B x x =≤≤，则U AB =ð_________。

2．若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z =_________。

3．若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫⎪⎝⎭，解为35x y =⎧⎨=⎩，则12c c -=__________。

4．若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为a =__________。

5．抛物线22y px =（0p >）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p =_______。

6．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为_______。

7．方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为___________。

28．在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为________（结果用数值表示）。

9．已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C 。

若1C的渐近线方程为y =，则2C 的渐近线方程为__________。

10．设()1fx -为()222x x f x -=+，[]0,2x ∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为_________。

11．在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为________（结果用数值表示）。

12．赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1,2,3,4,5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）。

2015年高考上海市理科数学真题（带解析）满分:班级：_________ 姓名：_________ 考号：_________一、单选题（共4小题）1．设，，则“、中至少有一个数是虚数”是“是虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件考点：充分条件与必要条件试题解析：若都是实数，则一定不是虚数，因此当是虚数时，则“中至少有一个数是虚数”成立，即必要性成立；当中至少有一个数是虚数，不一定是虚数，如，即充分性不成立，选B答案：B2．已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的纵坐标为（）A．B．C．D．考点：平面向量坐标运算试题解析：，即点的纵坐标为答案：D3．记方程①：，方程②：，方程③：，其中，，是正实数．当，，成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（）A．方程①有实根，且②有实根B．方程①有实根，且②无实根C．方程①无实根，且②有实根D．方程①无实根，且②无实根考点：等比数列试题解析：当方程①有实根，且②无实根时，，从而即方程③：无实根，选B.而A,D由于不等式方向不一致，不可推；C推出③有实根答案：B4．设是直线（）与圆在第一象限的交点，则极限（）A ．B．C．D．考点：数列极限试题解析：令，则与圆在第一象限的交点为，所以，，，又由得，所以，所以，选A答案：A第II卷（非选择题）本试卷第二部分共有19道试题。

二、填空题（共14小题）5.设全集．若集合，，则．考点：集合的运算答案：6.若复数满足，其中为虚数单位，则．考点：复数综合运算答案：7.若线性方程组的增广矩阵为、解为，则．考点：矩阵答案：168.若正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为，则．考点：空间几何体的表面积与体积答案：49.抛物线（）上的动点到焦点的距离的最小值为，则．考点：抛物线答案：210.若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为，则其母线与轴的夹角的大小为．考点：柱，锥，台，球的结构特征答案：11.方程的解为．考点：对数与对数函数答案：212.在报名的名男教师和名女教师中，选取人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．考点：组合与组合的运用答案：12013.已知点和的横坐标相同，的纵坐标是的纵坐标的倍，和的轨迹分别为双曲线和．若的渐近线方程为，则的渐近线方程为．考点：双曲线答案：14.设为，的反函数，则的最大值为．考点：反函数答案：415.在的展开式中，项的系数为（结果用数值表示）．考点：二项式定理与性质答案：4516.赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有，，，，的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量和分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则（元）．考点：随机变量的期望与方差答案：0.217.已知函数．若存在，，，满足，且（，），则的最小值为．考点：三角函数的图像与性质答案：818.在锐角三角形中，，为边上的点，与的面积分别为和．过作于，于，则．考点：数量积的应用答案：三、解答题（共5小题）19.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=1，AB=AD=2，E、F分别是棱AB、BC的中点.证明A1、C1、F、E四点共面，并求直线CD1与平面A1C1FE所成的角的大小.考点：空间的角答案：因此直线与平面所成的角的大小20.如图，A、B、C三地有直道相通，AB=5千米，AC=3千米，BC=4千米，现甲乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为(单位：千米).甲的路线是AB，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为8千米/小时. 乙到达B地后在原地等待. 设t=t1时，乙到达C地.（1）求t1与的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米. 当时，求的表达式，并判断在[t1,1]上的最大值是否超过3？说明理由.考点：函数模型及其应用答案：（1）；（2）见解析21.已知椭圆，过原点的两条直线l1和l2分别与椭圆交于点A、B和C、D记得到的平行四边形ACBD的面积为S.（1）设A()，C(). 用A、C的坐标表示C到直线l 1的距离，并证明；（2）设l1与l2的斜率之积为，求面积S的值.考点：圆锥曲线综合答案：（1）见解析（2）22.已知数列满足（1）若，，求的通项公式；（2）设的第项是最大项，即.求证的第项是最大项；（3）设.求的取值范围，使得有最大值与最小值，且.考点：数列综合应用答案：（1）的通项公式为，（2）见解析（3）的取值范围是23.对于定义域为的函数，若存在正常数，使得是以为周期的函数，则称为余弦周期函数，且称为其余弦周期.已知是以为余弦周期的余弦周期函数，其值域为.设单调递增，，.（1）验证是以为余弦周期的余弦周期函数；（2）设.证明对任意，存在，使得；（3）证明：“为方程在上的解”的充要条件是“为方程在上的解”，并证明对任意都有.考点：直接证明与间接证明答案：见解析。

2015 年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（本大题共有14 题，满分 48 分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4 分，否则一律得零分．1．（ 4 分）（2015 ?上海）设全集 U=R ．若集合 Α={1 ，2，3， 4} ，Β={x|2 ≤x ≤3} ，则 Α∩?U Β=．2．（ 4 分）（2015?上海）若复数 z 满足3z+ =1+i ，其中 i 是虚数单位，则 z=．3．（ 4 分）（2015 ?上海）若线性方程组的增广矩阵为 解为 ，则 c 1﹣c 2=．4．（4 分）（2015?上海）若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为 16 ，则 a= ．25．（ 4 分）（2015?上海）抛物线 y =2px （ p ＞0）上的动点 Q 到焦点的距离的最小值为 1，则p=．6．（4 分）（2015?上海） 若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为 2π，则其母线与轴的夹角的大小为 ．x ﹣1x ﹣17．（ 4 分）（2015 ?上海）方程 log 2（9﹣5）=log 2（3﹣2）+2 的解为 ．8．（4 分）（2015 ?上海）在报名的 3 名男老师和 6 名女教师中，选取 5 人参加义务献血，要 求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示） ．9．（ 2015 ?上海）已知点 P 和 Q 的横坐标相同， P 的纵坐标是 Q 的纵坐标的 2 倍， P 和 Q的轨迹分别为双曲线 C 1 和 C 2．若 C 1 的渐近线方程为 y= ± x ，则 C 2 的渐近线方程为．﹣1x ﹣2（x ）为 f （x ）=210．（4 分）（2015?上海）设 f + ，x ∈[0，2]的反函数，则 y=f （x ）+f﹣1 （ x ）的最大值为．10 11．（4 分）（2015?上海）在（ 1+x+ ）2 的展开式中， x项的系数为 （结果用数值表示） ．12．（4 分）（2015?上海）赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有 1，2，3， 4，5 的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元） ；随后放回该卡片，Eξ2=随机变量金，则Eξ1﹣ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖（元）．13．（4 分）（2015?上海）已知函数f（x）=sinx ．若存在x1，x2，⋯，x m 满足0≤x1＜x2＜⋯*＜x m≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+⋯+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12（m≥12，m∈N），为．则m 的最小值14．（2015?上海）在锐角三角形A BC 中，tanA= ，D为边BC 上的点，△A BD 与△ACD的面积分别为D作D E⊥A B 于E，DF ⊥AC 于F，则? = ．2和4．过题共有4题，满分15分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题二、选择题（本大纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5 分）（2015?上海）设z1，z2∈C，则“z1、z2 中至少有一个数是虚数”是“z1﹣z2 是虚数”的（）A充分非必要 B 必要非充分．条件．条件C 充要条件 D既非充分又．．非必要条件16．（5 分）（2015?上海）已知点 A 的坐标为（ 4 ，1），将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转（）至OB，则点 B 的纵坐标为AB C D．．．．2 2 2 17．（2015?上海）记方程①：x +a1x+1=0 ，方程②：x +a2x+2=0 ，方程③：x +a3x+4=0 ，其中a1，a2，a3 是正实数．当a1，a2，a3 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（）A方程①有实 B 方程①有实．根，且②有实．根，且②无实根根C方程①无实 D 方程①无实．根，且②有实．根，且②无实根根* 2 218．（5 分）（2015?上海）设P n（x n，y n）是直线2x﹣y= （n∈N ）与圆x+y =2 在第一44页）第2页（共A ．﹣1 B．﹣ C．1 D．2三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12 分）（2015 ?上海）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，AA 1=1，AB=AD=2 ，E、F 分别是AB 、BC 的中点，证明A1、C1、F、E 四点共面，并求直线CD1 与平面A1C1FE 所成的角的大小．20．（14 分）（2015?上海）如图，A，B，C 三地有直道相通，AB=5 千米，AC=3 千米，BC=4 千米．现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t 小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是AB ，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB ，速度为8千米/小时．乙到达 B 地后原地等待．设t=t1 时乙到达 C 地．（1）求t1 与f（t1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是 3 千米．当t1≤t≤1 时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t 1，1]上的最大值是否超过3？说明理由．2 221．（14 分）（2015?上海）已知椭圆x+2y=1，过原点的两条直线l1 和l2 分别于椭圆交于A、B 和C、D，记得到的平行四边形ABCD 的面积为S．（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A 、C 的坐标表示点 C 到直线l1 的距离，并证明S=2|x1y2 ﹣x2y1|；（2）设l1 与l2 的斜率之积为﹣，求面积S的值．* 22．（16 分）（2015 ?上海）已知数列{a n} 与{b n} 满足a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n），n∈N ．（1）若b n=3n+5，且a1=1，求数列{a n} 的通项公式；*（2）设{a n} 的第n0 项是最大项，即a≥a n（n∈N ），求证：数列{b n} 的第n0 项是最大项；n （3）设a1=λ＜0，b n=λ（n∈N *），求λ的取值范围，使得{a n} 有最大值M 与最小值m，且∈（﹣2，2）．23．（18分）（2015?上海）对于定义域为R的函数g（x），若存在正常数T，使得cosg（x）T为其余弦周期．已知f（x）是是以T为周期的函数，则称g（x）为余弦周期函数，且称增f（x）单调递，f（0）=0，f（T）=4π．为R．设以T为余弦周期的余弦周期函数，其值域证g（x）=x+sin是以6π为周期的余弦周期函数；（1）验意c∈[f（a），f（b）]，存在x0∈[a，b]，使得f（x0）=c；（2）设a＜b，证明对任“u0为方程c osf（x）=1在[0，T]上得解，”的充分条件是“u0+T为方程c osf（x）（3）证明：=1在区间[T，2T]上的解”，并证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）．2015年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析有14题，满分48分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写一、填空题（本大题共结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．（4分）（2015?上海）设全集U=R．若集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，则Α∩?UΒ= {1，4}．考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：本题考查集合的运算，由于两个集合，故已经化简直接运算得出答案即可．解答：解：∵全集U=R，集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，∴（?U B）={x|x＞3或x＜2}，∴A∩（?U B）={1，4}，故答案为：{1，4}．点评：本题考查集合的交、并、补的混合运算，熟练掌握集合的交并补的运算规则是解本题的关键．本题考查了推理判断的能力．2．（4分）（2015?上海）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z=．考点：复数代数形式的乘除运算．题：数系的扩充专和复数．z=a+bi，则分析：设=a﹣b i（a，b∈R），利用复数的运算法复数相等则、即可得出．解答：解：设z=a+bi，则=a﹣b i（a，b∈R），又3z+=1+i，∴3（a+bi）+（a﹣b i）=1+i，化为4a+2bi=1+i，∴4a=1，2b=1，解得a=，b=．∴z=．故答案为：．了点评：本题考查复数的运算复数相法则、等，属于基础题．3．（4分）（2015?上海）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2=16．考点：二阶行列式与逆矩阵．专题：矩阵和变换．分析：根据增广矩阵的定义得到，是方程组的解，解方程组即可．解答：解：由题意知，是方程组的解，即，则c1﹣c2=21﹣5=16，故答案为：16．点评：本题主要考查增广矩阵的求解，根据条件建立方程组关系是解决本题的关键．4．（4分）（2015?上海）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=4．考点：棱锥的结构特征．专题：空间位置关分析：由题意可得（?a?a?sin60°）?a=16，由此求得a的值．解答：解：由题意可得，正棱柱的底面是变长等于a的等边三角形，面积为?a?a?sin60°，正棱柱的高为a，∴（?a?a?sin60°）?a=16，∴a=4，故答案为：4．点评：本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式，属于基础题．25．（4分）（2015?上海）抛物线y=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p=2．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用抛物线的顶点到焦点的距离最小，即可得出结论．解答：解：因为抛物2线y点Q到焦点的距离的最小值为1，所以=1，所以p=2．故答案为：2．点评：本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．6．（4分）（2015?上海）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，由已知中圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，可得l=2h，进而可得其母线与轴的夹角的余弦值，进而得到答案．解答：解：设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，则圆锥的侧面积为：πrl，***过轴的截面面积为：rh，∵圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，∴l=2h，设母线与轴的夹角为θ，则cosθ==，故θ=，故答案为：．点评：本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知求出圆锥的母线与轴的夹角的余弦值，是解答的关键．x﹣1x﹣17．（4分）（2015?上海）方程log2（9﹣5）=log2（3﹣2）+2的解为2．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数的运算性质化为指数类型方程，解出并验证即可．x解答：解：∵log（291﹣﹣5）=log2x﹣1（3﹣2）x+2，∴log（291﹣﹣5）x﹣=log2[4×（31*** 第10页（共44页）***x﹣1∴9﹣5=4x﹣1（3﹣2），2x化为（3）﹣x12?3+27=0，因式分解为：x x（3﹣3）（3﹣9）=0，x∴3=3，x3=9，解得x=1或2．经过验证：x=1不满足条件，舍去．∴x=2．故答案为：2．点评：本题考查了对数的运算性质及指数运算性质及其方程的解法，考查了计算能力，属于基础题．8．（4分）（2015?上海）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为120（结果用数值表示）．考点：排列、组合的实际应用．专题：计算题；排列组合．分析：根据题意，运用排除法分析，先在9名老师中选取5人，参加义务献血，由组合数公式可得其选法数目，再排除其中只有女教师第11页（共44页）解答：解：根据题意，报名的有3名男老师和6名女教师，共9名老师，在9名老师中选取5人，参加义务献血，5有C9=126种；其中只有女教师的有5C6=6种情况；则男、女教师都有的选取方式的种数为126﹣6=120种；故答案为：120．点评：本题考查排列、组合的运用，本题适宜用排除法（间接法），可以避免分类讨论，简化计算．9．（2015?上海）已知点P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q 的轨迹分别为双曲线C1和C2．若C1的渐近线方程为y=±x，则C2的渐近线方程为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设C1的方程2为y﹣23x=λ，利用系，求出 Q 的 轨迹方程， 即 可求出 C 2 的 渐近线方程．解答：解：设C 1 的2方程为 y ﹣ 23x =λ， 设Q （x ，y ）， 则P （x ，2y ），2代入 y ﹣23x =λ，可得22﹣3x 4y=λ，∴C 2 的渐近2线方程为 4y 2﹣3x =0，即．故答案为：．点评：本题考查双 曲线的方程 与性质， 考查 学生的计算 能力， 比较基 础．﹣1x ﹣2（x ）为 f （x ）=210．（4 分）（2015?上海）设f + ，x ∈[0，2]的反函数，则y =f （x ）+f﹣1 （ x ）的最大值为 4 ．考点 ： 反函数． 专题 ： 函数的性质 及应用．x分析： 由 f （x ）=2﹣2+ 在 x ∈[0， 2]上为增函数可得其值 域，得到 y=f ﹣144页）第13页（共数的单调性求得 y=f （x ）+f ﹣1 （x ）的 最大值．解答：解：由 f （x ）x ﹣2=2 + 在x ∈[0 ，2]上为 增函数， 得其 值域为 []，﹣1 可得 y=f （x ）在 []上为增函数，因此 y=f （x ）+f ﹣1 （x ）在 []上为增函数， ∴y=f （ x ）+f ﹣1（x ）的最大值为 f （2）+f ﹣1 （2） =1+1+2=4 ． 故答案为： 4．点评：本题考查了 互为反函数 的两个函数 图象间的关 系，考查了函 数的单调性， 属中档题．10 11．（4 分）（2015?上海）在（ 1+x+ ）2 的展开式中， x项的系数为45 （结果用数值表示）． 考点 ： 二项式系数 的性质． 专题 ： 二项式定理．分析：先把原式前两项结合展开，分析可知仅有展开后的第一项含2有x 项，然后写出第一项二项展开式的通项，由x的指数为 2 求得r 值，则答案可求．解答：解：∵（1+x+10）=，∴仅在第一部分中出现2x项的系数．再由，令r=2，可得，2x 项的系数为．故答案为：45．点评：本题考查了二项式系数的性质，关键是对二项展开式通项的记忆与运用，是基础题．12．（4 分）（2015?上海）赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5 的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的 1.4 倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量ξ1 和ξ2 分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则Eξ1﹣Eξ2= 0.2 （元）．考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：分别求出赌金的分布列和奖金的分布列，计算出对应的均值，即可得到结论．解答：解：赌金的分布列为P所以Eξ1=（1+2+3+4+5）=3，奖金的分布列为P所以Eξ2=1.4×（×1+ ×2+ ×3+ ×4）=2.8，则Eξ1﹣Eξ2=3﹣2.8=0.2 元．故答案为：0.2点评：本题主要考查离散型随第16页（共44页）***机变量的分布列和期望的计算，根据概率的公式分别进计行算是解决本．题的关键13．（4 分）（2015?上海）已知函数f（x）=sinx ．若存在x1，x2，⋯，x m 满足0≤x1＜x2＜⋯*f（x3）|+⋯+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12（m≥12，m∈N＜x m≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣），则m的最小值为8 ．考点：正弦函数的图象．14．（2015?上海）在锐角三角形 A BC 中，tanA= ，D为边BC 上的点，△A BD 与△ACD的面积分别为?=﹣．2和4．过D作D E⊥A B 于E，DF ⊥AC 于F，则考点：平面向量数量积的运算．题：平面向量及专应用．分析：由题意画出图形，结合面积求出cosA= ，，然后代入数量积公式得答案．解答：解：如图，∵△ABD 与***积分别为2和4，∴，，可得，，∴．又tanA=，∴，联立2sin A+cos 2 A=1，得，cosA=．由，得．则．∴?==．故答案为：．点评：本题考查平面向量的数量积运算，考结查了数形合的解题思想方法，考查了三角函数的化简与求值，是中档题．有4题，满分15分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题二、选择题（本大题共纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）（2015?上海）设z1，z2∈C，则“z1、z2中至少有一个数是虚数”是“z1﹣z2是虚数”的（）A充分非必要B必要非充分．条件．条件C充要条件D既非充分又．．非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．数题：简易逻辑；专系的扩充和复数．分析：根据充分条件和必要条结件的定义合复数的有关概念进行判断即可．解答：解：设满足z1、z2中至少有一个数是虚数，则z1﹣z2=1是实数，则z1﹣z2是虚数不成立，若z1、z2都是实数，则z1﹣z2一定不是虚数，因此当z1﹣z2是虚数时，则z1、z2中至少有一个数是虚数，即必要性成立，故“z1、z2中至少有一个数是虚数”是“z1﹣z2是虚数”的必要不充分条件，故选：B．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据复数的有关概念进行判断是解决本题的关键．16．（5分）（2015?上海）已知点A的坐标为（4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（）AB C D．．．．考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：根据三角函数的定义，求出∠xOA的三角函数值，利用两角和差的正弦公式进行求解即可．解答：解：∵点A的坐标为（4，1），∴设∠xOA=θ，则sinθ==，cosθ==，将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则OB的倾斜角为θ+，则|OB|=|OA|=，则点B的纵坐标为y=|OP|sin（θ+）=7（sinθcos+cosθsin）=7（×+）=+6=，故选：D．点评：本题主要考查三角函数，根值的计算据三角函数的定义以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键．222 17．（2015?上海）记方程①：x+a1x+1=0，方程②：x+a2x+2=0，方程③：x+a3x+4=0，a1，a2，a3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实其中a1，a2，a3是正实数．当根的是（）A方程①有实B方程①有实．根，且②有实．根，且②无实根根C方程①无实D方程①无实．根，且②有实．根，且②无实根根考点：根的存在性及根的个数判断．题：函数的性质专及应用．分析：根据方程根与判别式△之间的关系2求出a1≥4，244页）第22页（共出方程③的判别式△的取值即可得到结论．解答：解：当方程①有实根，且②无实根时，2△1=a1 ﹣24≥0，△2=a28＜0，﹣2 2即a1≥4，a2＜8，∵a1，a2，a3成等比数列，2∴a2 =a1a3，即a3= ，2a3则=（）2=，即方程③的判别式216 △3=a3﹣＜0，此时方程③无实根，故选：B点评：本题主要考查方程根存在性与判别式△之间的关系，结合等比数列的定判义和性质断判别式△的取值关系是解决本题44页）第23页（共* 2 218．（5 分）（2015?上海）设P n（x n，y n）是直线2x﹣y= （n∈N）与圆x+y =2 在第一象限的交点，则极限=（）A ．﹣1 B．﹣ C．1 D．2考点：极限及其运算．专题：导数的综合应用．分析：当n→+∞时，直线2x﹣y= 趋近于2x﹣y=1，2 与圆x+y 2 =2在第一象限的交点无限靠近（1，1），利用圆的切线的斜率、斜率计算公式即可得出．解答：解：当n→+∞时，直线2x﹣y= 趋近于2x﹣y=1，与圆2 2x +y =2 在第一象限的交点无限靠近（1，1），而可看作点P n（x n，y n）与（1，1）连线的斜率，其值会无限44页）第24页（共（1，1）处的切线的斜率，其斜率为﹣1．∴=﹣1．故选：A．点评：本题考查了极限思想、圆的切线的斜率、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）（2015?上海）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=1，AB=AD=2，E、F分别是AB、BC的中点，证明A1、C1、F、E四点共面，并求直线CD1与平面A1C1FE所成的角的大小．考点：直线与平面所成的角．专题：空间角．分析：利用长方体的集合关系建立直角坐标系．利用法向量求出二面角．解答：解：连接AC，因为E，F分别是AB，BC***的中点，所以EF是△ABC的中位线，所以EF∥AC．由长方体的性质知AC∥A1C1，所以EF∥A1C1，所以A1、C1、F、E四点共面．以D为坐标原点，DA、DC、DD1分别为xyz轴，建立空间直角坐标系，易求得，设平面A1C1EF的法向量为则，所以，即，z=1，得x=1，y=1，所以，所以=，所以直线CD1与平面A1C1FE所成的角的大小arcsin．点评：本题主要考间查利用空直角坐标系求出二面角的方法，属高考常考题型．20．（14分）（2015?上海）如图，A，B，C三地有直道相通，AB=5千米，AC=3千米，BC=4fA地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为千米．现甲、乙两警员同时从8千（t）（单位：千米）．甲的路线是AB，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为t=t1时乙到达C地．米/小时．乙到达B地后原地等待．设（1）求t1与f（t1）的值；是3千米．当t1≤t≤1时，求f（t）的表达式，并判（2）已知警员的对讲机的有效通话距离断f（t）在[t1，1]上的最大值是否超过3？说明理由．考点：余弦定理的应用．题：解三角形．专分析：（1）由题意可得t1==h，由余弦定理可得f（t1）=PC=，代值计算可得；（2）当t1≤t≤时，由已知数据和余弦定理可得f（t）=PQ=，当＜t≤1时，f（t）=PB=5﹣5t，综合可得当＜t≤1时，（f t）∈[0，]，．可得结论解答：解：（1）由题意可得t1==h，设此时甲运动到点P，则AP=v甲t1=5×=千米，∴f（t1）=PC==***= 千米；（2）当t1≤t≤时，乙在CB上的Q 点，设甲在P 点，∴QB=AC+CB﹣8t=7﹣8t，PB=AB ﹣AP=5﹣5t，∴f（t）=PQ===，当＜t≤1 时，乙在B 点不动，设此时甲在点P，∴f（t）=PB=AB ﹣AP=5﹣5t∴f（t）=∴当＜t≤1时，f（t）∈[0，]，故f（t）的最***大值超过了3千米．点评：本题考查解三角形的实际应用，涉及余弦定理和分段函数，属中档题．2221．（14分）（2015?上海）已知椭圆x+2y=1，过原点的两条直线l1和l2分别于椭圆交于A、B和C、D，记得到的平行四边形ABCD的面积为S．（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=2|x1y2﹣x2y1|；（2）设l1与l2的斜率之积为﹣，求面积S的值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；点到直线的距离公式．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）依题意，直线l1的方程为y=x，利用点到直线间的距离公式可求得点C到直线l1的距离d=，再利用|AB|=2|AO|=2，可证得***S=|AB|d=2|x1y2﹣x2y1|；（2）方法一：设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为﹣，可得直线l1与l2的方程，联立方程组，可求得x1、x2、y1、y2，继而可求得答案．方法二：设直线l1、l2的斜率分别为、，则=﹣，利用A（x1，y1）、C（x2，y2）在椭圆22x+2y=1上，可求得面积S的值．解答：解：（1）依题意，直线l1的方程为y=x，由点到直线间的距离公式得：点C到直线l1的距离d=***=，因为|AB|=2|AO|=2，所以S=|AB|d=2|x1y2﹣x2y1|；（2）方法一：设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为﹣，设直线l1的方程为y=kx，联立方程组，消去y解得x=±，根据对称性，设x1=，则y1=，***同理可得x2=，y2=，所以S=2|x1y2﹣x2y1|=．方法二：设直线l1、l2的斜率分别为、，则=﹣，所以x1x2=﹣2y1y2，∴=4=﹣2x1x2y1y2，∵A（x1，y1）、C（x2，y2）在椭圆2x+2y 2=1上，∴（）（）=+4+2***（+）=1，即﹣4x1x2y1y2+2（+）=1，所以（x1y2﹣x2y1）2=，即|x1y2﹣x2y1|=，所以S=2|x1y2﹣x2y1|=．点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查方程思想、等价转化思想与综合运算能力，属于难题．* 22．（16分）（2015?上海）已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n），n∈N．（1）若b n=3n+5，且a1=1，求数列{a n}的通项公式；*（2）设{a n}的第n0项是最大项，即a≥a n（n∈N），求证：数列{b n}的第n0项是最大项；n （3）设a1=λ＜0，b n=λ（n∈N *），求λ的取值范围，使得{a n}有最大值M与最小值m，且∈（﹣2，2）．考点：数列递推式；数列的函数特性．专题：创新题型；等差数列与等比数列；不等式的解法及第34页（共44页）***应用．分析：（1）把 b n =3n+5 代入 已知递推式 可得 a n+1﹣ a n =6，由此得 到{a n } 是等差 数列，则a n 可求； （2）由 a n = （a n ﹣a n ﹣1）+ （a n ﹣1﹣a n ﹣2）+⋯ +（ a 2﹣a 1）+a 1，结 合递推式累 加得到 a n =2b n +a 1﹣ 2b 1，求得，进一步得到得答案； （3）由（ 2） 可得，然后分﹣1 ＜λ＜ 0，λ=﹣ 1，λ＜﹣1 三 种情况求得 a n 的最大值 M 和最小值 m ，再由 ∈ （﹣2，2）列 式求得 λ的范 围．解答：（1）解： ∵a n+1﹣a n =2 （b n+1﹣b n ）， b n =3n+5 ， ∴a n+1﹣a n =2第 35 页（共44 页）***（b n+1﹣b n ） =2（3n+8﹣3n ﹣5） =6， ∴{a n } 是等差 数列， 首项为 a 1=1，公差为 6， 则a n =1+（n ﹣1）×6=6n ﹣ 5；（2）∵a n =（ a n ﹣a n ﹣1）+（ a n ﹣1﹣a n ﹣2）+⋯ +（a 2﹣a 1） +a 1=2（ b n ﹣b n ﹣1） +2（b n ﹣1﹣b n ﹣2）+⋯ +2（b 2﹣b 1）+a 1 =2b n +a 1﹣ 2b 1， ∴， ∴． ∴数列 {b n } 的第 n 0 项是 最大项； （3）由（ 2） 可得， ① 当﹣1＜λ ＜0 时，单调递减， 有 最大值；单调递增， 有 最小值 m=a 1=λ， ∴∈（﹣2，2）， ∴λ∈， ∴．② 当 λ=﹣1时，a 2n =3，a 2n﹣1=﹣1， ∴M=3 ，m= ﹣1， （﹣2，2），不满 足条件． ③ 当 λ＜﹣1 时，当 n →+∞ 时，a 2n →+∞， 无最大值； 当 n →+∞时， a 2n ﹣1→﹣∞， 无最小值． 综上所述， λ∈ （﹣，0）时 满足条件．点评：本题考查了数列递推式， 考查了等差 关系的确定，的函数特性，加训练了累法求数列的通项公式，对（3）的求解运用了极限思想方法，是中档题．23．（18分）（2015?上海）对于定义域为R的函数g（x），若存在正常数T，使得cosg（x）T为其余弦周期．已知f（x）是是以T为周期的函数，则称g（x）为余弦周期函数，且称f（x）单调递增，f（0）=0，f（T）=4π．以T为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R．设证g（x）=x+sin是以6π为周期的余弦周期函数；（1）验a＜b，证明对任意c∈[f（a），f（b）]，存在x0∈[a，b]，使得f（x0）=c；（2）设（3）证明：“u0为方程cosf（x）=1在[0，T]上得解，”的充分条件是“u0+T为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解”，并证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）．考点：函数与方程的综合运用．题：创新题型；函专数的性质及应用．分析：（1）根据余弦周期函数的定义，判断cosg（x+6π）是否等于cosg（x）即可；（2）根据f（x）的值域为R，便可得到存在x0，使得f（x0）=c，而根据f（x）在R上单调递增即可说明x0∈[a，b]，从而完成证明；（3）只需证程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解得出u0为方程cosf（x）=1在[0，T]上的解，是否为方程的解，带入方程，使方程成立便是方程的解．证明x∈[0，对任意T]，都有f（x+T）=（f x）+f（T），可讨论x=0，x=T，x∈（0，T）三种情况：x=0时是显然成立的；x=T时，可得出cosf （2T）=1，从而得到（f2T）=2k1π，k1∈Z，根据f（x）单调递增便能得到k1＞2，然后根据f调（x）的单性及方程cosf （x）=1在[T，2T]和它在[0，T]上解的个数的情况说明k1=3，和k1≥5是不存在的，而k1=4时结论成立，明x=T这便说时结论成立；x∈（0，而对于T）时，通过c osf（x）考查***=c的解得到f（x+T）=（f x）+f（T），综合以上的三种情况，最后得．出结论即可解答：解：（1）g（x）=x+sin；∴==cosg（x）∴g（x）是以6π为周期的余弦周期函数；（2）∵f（x）为R；的值域∴存在x0，使f（x0）=c；又c∈[f（a），f（b）]；∴f（a）≤（f x0）≤f（b），而f（x）为增函数；∴a≤x0≤b；即存在x0∈[a，b]，使f（x0）=c；（3）证明：若u0+T为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解；则：cosf（u0+T）=1，T≤u0+T≤2T；∴cosf（u0）=1，且∴u0为方程cosf（x）=1在[0，T]上的解；∴“u0为方程cosf（x）=1在[0，T]上得解”的充分条件是“u0+T为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解”；对下面证明任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=（f x）+f（T）：①当x=0时，f（0）=0，∴显然成立；②当x=T时，cosf（2T）=cos（f T）=1；∴f（2T）=2k1π，（k1∈Z），f （T）=4π，且2k1π＞4π，∴k1＞2；1）若k1=3，f （2T）=6π，由（2）知存在x0∈（0，T），使f（x0）=2π；cosf（x0+T）=cosf（x0）=1?f（x0+T）=2k2π，k2∈Z；∴f（T）＜f （x0+T）＜f （2T）；∴4π＜2k2π＜6π；无解；2）若k1≥5，f （2T）≥10π，则存在T＜x1＜x2＜2T，使得f（x1）=6π，f（x2）=8π；则T，x1，x2，2T为c os（f x）=1在[T，2T]上的4个解；但方程cosf （x）=1在[0，2T]上只有f （x）=0，2π，4π，3个解，矛盾；3）当k1=4时，f（2T）=8π=f （T）+f（T），；结论成立③当x∈（0，T）时，f（x）∈（0，4π），考查方程cosf （x）=c在（0，T）上的解；f设其解为（x1），f（x2），⋯，f （x n），（x1＜x2＜⋯＜x n）；则f（x1+T），f（x2+T），⋯，f（x n+T）为方程cosf（x）=c在（T，2T）上的解；又f（x+T）∈（4π，8π）；而f（x1）+4π，（x2）+4π，⋯，ff（x n）+4π∈方程cosf（x）=c在（T，2T）上的解；∴f（x i+T）=f（x i）+4π=f（x i）+f（T）；∴综上对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=（f x）+（f T）．弦点评：考查对余周期函数定义的理解，充分条件的概念，方程的解的概念，知道由cosf（x）=1能得出f（x）=2kx，k∈Z，以及构造方程解题的方法，在证明最后一问时能运用第．论二问的结。