有理数及运算中的分类讨论思想1

有理数运算中的数学思想武汉市黄陂区横店中学 陈 浩 吴学军数学习题浩瀚无边，问题又可变式发散，这样习题就林林总总，题量就千千万万，但是蕴涵在问题中的数学思想方法总是永恒不变的，它是数学的精髓，是解决问题的有效手段，是制胜的法宝.一、转化的思想“转化的思想”就是将未知的问题转化成我们已经解决的问题，将复杂的问题转化成简单的问题，也就是将 “未知”的问题“已知化”，“复杂”的问题“简单化”.转化的思想是解决问题的常见思想方法.【例1】计算:①－3－(－6)；②)52(76－－÷ 分析：有理数的减法，是将其转化为加法、将除法转化为乘法然后按照有理数的加法、乘法法则，减法化为加法时，注意两变，一是将减号改为加号，而是将减数改为其相反数；除法转化为乘法时，除数变为原来的倒数.解：①－3－(－6)＝－3+6＝3②)52(76－－÷＝)25(76－－⨯＝715 点评：在进行除法运算时，在不能整除时，才采用这一办法.在能够整除的情况下，则采用“两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除的办法的办法.如（－16）÷（－2）＝8，若采用（－16）÷（－2）＝）（－－2116⨯＝8就麻烦了.二、分类讨论思想有时将问题看成一个整体时，则无从下手，若分而治之，各个击破，则能柳暗花明，分类讨论正是这一种思想，也是一种重要是数学思想方法，为了解决问题，将问题说涉及的是对象不遗漏地分成若干类问题，然后逐一解决，从而最终解决整个问题的目的.【例2】（五城市联赛题）若ab>0，求ab abb ba a-+的值.分析：因为ab>0，则a>0，b>0或a<0，b<0，于是将问题分成两种情况进行讨论，不难得到结果.解：因为ab>0，则a>0，b>0或a<0，b<0，① 当a>0，b>0时，1==a a a a ，1==bb b b ，1==ab ab ab ab ab abb ba a-+＝abab b b a a -+＝1+1-1＝1. ② 当a<0，b<0时，1-=-=aa a a ，1-=-=b b b b ，1==ab ab ab ab ab abb ba a-+＝abab b b a a --+-＝－1－1－1＝－3. 故当ab>0， ab abb ba a-+＝1或－3.点评：在分类讨论时，应注意不遗漏地将问题所涉级的各种情况作出讨论，最后应总结各种讨论的结果.二、整体思想与分解，分步处理问题相反，整体思想是将问题看成一个完整的整体，从大处着眼，由整体入手，突出对问题的整体结构的分析和改造，把一些彼此孤立实际上紧密联系的量作为整体考虑.在整体思想中，往往能够找到问题的捷径.【例3】已知m ，n 互为相反数，求n m ++-+1)2(的值.分析：已知m ，n 互为相反数，所以.将其看成一个整体，代入后式，对比联想，容易找到解决问题的思路.解：因为m ，n 互为相反数，则m+n=0 ，所以 n m ++-+1)2( ＝1)2(+-++n m ＝1)2(0+-+， ＝1-＝1三、数形结合思想数形结合思想，是一种重要的思想，有时力图用图形来直观体现数量的关系，将抽象复杂的数（量），利用图形的直观表达，然后利用图形的性质（特征），分析解决问题，有时力图用数（量）来体现图形的关系，将图形的性质（特征），利用数（量）的关系来加以解决的思想方法，也是一种重要的思想方法.【例4】（迎春杯数学竞赛试题）已知：a>0，b<0，且a+b<0，那么有理数a，b，-a，-b 的大小关系是（用“<”连接）.解析：因为a>0，b<0且a+b<0，根据有理数加法法则，可得，a<b，以形辅数，在数轴上表示它们的位置关系，又根据相反数的定义，可以得到a，b，－a，－b的位置关系.，故b<－a<a<－b.点评：正如我国著名的数学家华罗庚所言——“数形结合百般好，隔离分家万事非”，将图形的数量关系，辅之以数，则更加具体直观，从而快速得到问题的答案.。

《有理数》中分类讨论思想运用一、数轴与移动问题（注意：起点、移动的方向、移动的距离）（一）点的移动：1、点A 位于原点，向右移动3个单位到达B 点，则B 点表示的数是2、点A 位于原点，移动3个单位到达B 点，则B 点表示的数是3、点A 表示的数是—2，向右移动3个单位到达B 点，则B 点表示的数是4、点A 表示的数是—2，移动3个单位到达B 点，则B 点表示的数是5、点A 表示的数是3，向左移动 个单位，到达表示—4的B 点6、点A 表示的数是—2，向右移动 个单位，到达表示4的B 点7、点A 向左移动3个单位到达表示—2的B 点，则点A 原来表示的数是8、点A 向右移动5个单位到达表示2的B 点，则点A 原来表示的数是9、点A 移动5个单位到达表示—2的B 点，则点A 原来表示的数是10、点A 移动3个单位到达表示1的B 点，则点A 原来表示的数是11、点A 在数轴上距原点2个单位，将A 点向右移动5个单位，再向左移动7个单位，A 点表示的数是 .12、如图所示，数轴上一动点A 向左移动2个单位长度到达点B ，再向右移动5个单位长度到达点C 点.（1）求动点A 所走过的路程及A 、C 之间的距离.（2）若C 表示的数为1，则点A 表示的数为 .（二）数轴的移动 1、点A 表示的数是3，点A 不动，把数轴向右移动4个单位，此时点A 表示的数是2、点A 表示的数是—2，点A 不动，把数轴向左移动3个单位，此时点A 表示的数是3、点A 表示的数是3，点A 不动，把数轴移动4个单位，此时点A 表示的数是4、点A 表示的数是—2，点A 不动，把数轴移动3个单位，此时点A 表示的数是5、数轴上的点A 不动，把数轴移动4个单位，此时此时点A 表示的数是—2，则点A 原来表示的数是 .6、数轴上的点A 不动，把数轴移动3个单位，此时此时点A 表示的数是5，则点A 原来表示的数是 .二、与绝对值相关的分类讨论（ |x|＝? ）1、绝对值不大于10的整数有 个，它们是2、（1）|a|＝5，|b|=3，求a+b 的值 （2）|a|＝5，|b|=3，且a 与b 异号，求a+b 的值3、（1）a 、b 是非零有理数，求b b a a +的值 （2）a 、b 、c 是非零有理数，求cc b b a a ++的值4、（1）解方程：|x-1|=2 （2）解方程：|2x-4|=6《有理数》培优精选1、若有理数a ＞0，b ＜0，则四个数a ＋b ，a －b ，－a ＋b ，－a －b 中最大的是 ，最小的是 ．2、已知的值是那么y x y x +==,213,6 ．3、若8a =，3b =，且0a >，0b <，则a b -＝________．4、若||||a b a b =-=312，，且、异号，则a b -=___________．5、如果|a |＝4，|b |＝2，且|a ＋b |＝a ＋b ，则a －b 的值是 ．6、三个连续整数，中间一个数是a ，则这三个数的和是___________．7、当0b <时，a 、a b -、a b +中最大的是_______，最小的是_______．8、若0a <，那么()a a --等于___________．9、若数轴上，Ａ点对应的数为－5，B 点对应的数是7，则A 、B 两点之间的距离是 ．10、有若干个数，第一个数记为a 1,第二个数记为a 2,第3个数记为a 3,…,第n 个数记为a n ,若a 1＝－0.5，从第二个数起，每个数都等于“1”与它前面的那个数的差的倒数。

例谈数学思想在《有理数》中的运用数学思想是数学的精髓，是解决问题的制胜法宝．新教材七年级数学中蕴涵着许多十分经典的数学思想，这些数学思想在学生今后漫长的数学学习中将起到十分重要的奠基作用．下面就有理数内容里的数学思想作简单的归纳介绍．一、分类讨论思想在“有理数”这一章中，许多概念都是运用分类讨论的思想方法阐明的．整数和分数统称有理数，而整数又分为正整数、零、负整数，分数分为正分数和负分数．另外有理数又可分为正有理数、零和负有理数，这样的文字表达显得比较烦琐，实际教学中不妨使用分类图表示，则一目了然．绝对值概念用分类讨论思想来理解，则分为正数、负数和零三个方面．（1）一个正数的绝对值是它本身；（2）一个负数的绝对值是它的相反数；（3）0的绝对值是0．分类讨论思想同样运用在有理数的运算中，例如有理数的加法法则就是通过四种情形的讨论而概括出来的，它分同号两数、绝对值不相等的异号两数、互为相反数的两个数和任何一个数与0相加．另外，有理数的乘法、除法及乘方法则都是运用了分类讨论思想概括的．解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行分类讨论．如比较和2a的大小，必须分a为正数、负数和0三种情况讨论．如已知求的值，本题应分a与b同号和异号两种情况讨论．二、数形结合思想在解决问题时，选择用图形来直观体现数量的关系，或用数量来体现图形的关系，这就是数形结合思想．比如，数轴上的点表示有理数，就是最简单的数形结合思想的运用，关于相反数的概念，课本中给出了定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，而由此定义，学生只能从形式上强行记忆概念，很难真正理解相反数的实质意义．如果运用数轴，则能形象地反映相反数的概念．在数轴上画出﹣2与2所对应的点，它们分别位于原点的两旁，且到原点的距离相等，由此学生就有了直观形象的认识．例如：已知a>0, b<0, 试比较a, b,﹣a,﹣b．此种类型的题目借助数轴来分析，在数轴上可表示出a, b,﹣a,﹣b的位置关系，可使问题条理清楚，形象生动．三、化归思想将所要解决的复杂问题转化为另一个较易解决的简单问题或已经解决的问题即为化归思想．有理数的运算都是先确定符号，再计算绝对值，在符号确定后，绝对值的计算实际上就是小学里学过的算术．有理数的加法、乘法，化归为两个算术数的加法、乘法，例如，-1.2+(-5)=-(1.2+5),这是有理数的加法转化为小学算术中的加法．通过这样的化归思想训练，学生对有理数的各种运算关系就能透彻的理解，同时形成解决问题的转化意识．从以上可以看到，数学思想在有理数的学习中得到了充分的运用，我们教师在教学中应更好地理解和运用数学思想方法，加强对学生数学思想方法和思维能力的综合培养，让学生在学习数学的过程中逐步领悟、掌握和学会运用，促进学生思维方法和能力的全面提高．。

有理数中的分类讨论思想湖北省黄石市下陆中学宋毓彬在有理数的概念和运算中，因为“相反数到原点的距离相等”、“在数轴上两点间的距离即这两数差的绝对值”、“相反数的绝对值、偶次方相等”等相关性质，以及用字母代替数的代数方法，可能会使有理数的相关运算出现答案的不唯一性，要求我们建立分类讨论的思想。

一、相反数、绝对值在数轴上的意义（几何意义）例1 在数轴上，与表示－２的点相距５个单位长度的点表示的数是。

分析：在数轴上与表示－２的点相距５个单位长度的点，可以在表示－２的点的左边为－７，也可以在表示－２的点的右边为３。

故符合题意的数有－７或３。

例２已知数轴上的A点到原点的距离是2，那么在数轴上到A点的距离是3的点所表示的数有。

A 1个B 2个C 3个D 4个分析：A点到原点的距离是2，即，由“相反数的绝对值相等”可知，a=±2。

设到A点的距离是3的点所表示的数为x，根据绝对值的几何意义，即有，∴x－2=±3或x+2=±3 ∴x=5或－１或１或－５故选（Ｄ）。

也可以这样分析：Ａ点到原点的距离是２，Ａ点可能在原点的左边，也可能在原点的右边，有两种情况；到Ａ点距离是３的点又可能在Ａ的左边或右边，有两种可能。

故共有４种符合条件的情况。

二、相反数的绝对值、偶次幂相等例3已知。

求a+b的值。

分析：由“相反数的绝对值相等”，，a=±8；，b=±6。

a、b的取值有4种情况：⑴a=8，b=6时，a+b=8+6=14；⑵a=8，b=－6时，a+b=8+（－6）=2；⑶a=－８，ｂ＝６时，ａ+ｂ＝－８+６＝－２；⑷ａ＝－８，ｂ＝－６时，ａ+ｂ＝－８+（－６）＝－１４。

例4已知，（y+2）=4，求x+y的值。

分析：由“相反数的绝对值、偶次幂相等”，有x+1=±4，故x=3或－5；y+2=±2，故y=0或－4。

X、y的取值应分4种情况讨论：⑴x=3，y=2；⑵x=3，y=－２；⑶ｘ＝－３，ｙ＝２；⑷ｘ＝－３，ｙ＝－２。

运用数学思想解决有理数问题桂平市石咀二中 梁智华在数学的学习中，掌握一些必备的数学思想可以帮助我们更加理性地学习、驾驭数学，更好的解题. 下面针对有理数中涉及的数学思想作简单举例分析。

希望对大家能有所帮助。

一、分类讨论思想.在有理数及其运算中，涉及分类讨论思想的知识点较多，比如：有关数轴、绝对值、偶次幂的题目往往涉及多种情况，要具备分类讨论思想，才能将题目回答完整。

例1、在数轴上与点3距离5个单位长度的点是__________。

解答的时候往往比较多的学生只是注意到点3的右边的点，而忽略了另一个点，应该分在点3的左边或右边来解求才完整。

例2、已知│a-5│=3，│b+3│=5,求a+b 的值。

析解：此题主要考查绝对值的意义. 因为│a │= 所以它们的绝对值有两种情况，或者是它们的本身，或者是它们的相反数，所以此题需要分为以下四种情况讨论求值：解：（1）、当a-5》0，b+3》0时，a+b=10（2）、当a-5》0，b+3《0时，a+b=0（3）、当a-5《0, b+3》0时，a+b=4（4）、当a-5《0, b+3《0时，a+b=-10例3、如果a 、b 、c 是非零有理数，求c c b b a a ++的值. 析解：同样此题也是主要考查绝对值的意义。

因为a 、b 、c 是非零有理数，所以它们的绝对值有两种情况，或者是它们的本身，或者是它们的相反数. 此题可分为以下四种情况求值：（1）、当a 、b 、c 的绝对值都取本身时，原式为3.（2）、当a 、b 、c 的绝对值有两个取本身时，原式为1.（3）、当a 、b 、c 的绝对值有一个取本身时，原式为1-.（4）、当a 、b 、c 的绝对值都取相反数时，原式为3-.a a 》0-a a 《0c b a 0例4、已知｜x ｜=3，()412=+y , 且xy ＜0 ， 求x －y 的值。

偶次幂与绝对值一样都是非负数，所以同样要分类进行讨论，再结合所给的条件进行解决问题。

学习指导２０２３年８月下半月㊀㊀㊀分类讨论思想在初中数学解题中的应用◉江苏省昆山开发区青阳港学校㊀沈俊杰㊀㊀摘要:近年来,分类讨论的问题已经成为各地中考压轴试题的热门考点,这类问题学生在解答中极易出现漏解．本文中就分类讨论思想在初中数学各个专题中的应用浅谈应用策略．关键词:分类讨论;初中数学;解题;应用㊀㊀在初中数学教学过程中发现,大多数学生对分类讨论思想了解不够深入,把握不够牢固,分析问题比较片面,导致问题解决不彻底．本文中笔者根据自身教学实践,就分类讨论思想在初中数学各个专题中的应用进行探讨研究．１分类讨论思想在绝对值问题中的运用由绝对值的概念可知,绝对值可用来表示数轴上两点之间的距离,但无法明确这两点的具体位置,对此类问题,我们就需要进行分类讨论后再确定相应的值．例１㊀解决下面的问题:(１)如果|x ＋１|＝２,求x 的值;(２)若数轴上表示数a 的点位于－３与５之间,求|a ＋３|＋|a －５|的值;(３)当a ＝㊀㊀㊀时,|a －１|＋|a ＋５|＋|a －４|的值最小,最小值是㊀㊀㊀㊀．点拨:显然,例１中的每一个问题都涉及到了绝对值,由于绝对值里的式子不知是正还是负,因此需要进行分类讨论．(１)由|x ＋１|＝２,可得x ＋１＝２,或x ＋１＝－２,解得x ＝１,或x ＝－３．(２)中因为已经明确表示数a 的点位于－３与５之间,故可以判断a ＋３和a －５的正负,则不需要进行分类讨论,可直接根据正负情况去掉绝对值进行解答．(３)中没有明确数a 的具体大小,无法直接判断a －１,a ＋５,a －４的正负,这就需要利用三个零点从四个方面进行分类讨论,再根据具体的取值分析最小值即可．从例１的分析可知,在遇到数轴上点的位置不明确时,就需要考虑使用分类讨论思想进行解答,从而将绝对值符号去掉并轻松解题[１]．２分类讨论思想在二次根式中的运用在涉及有关二次根式的计算与化简问题时,常常会遇到形如a ２的式子,如何对这类式子进行化简,则需要进行分类讨论．例２㊀若代数式(２－a )２＋(a －４)２＝２,求a 的值．点拨:若对代数式进行化简,则要去掉根号,根据a ２＝a ,将问题转化为含有绝对值的问题来处理,结合例１的分析可考虑利用分类讨论思想解题．(２－a )２＋(a －４)２＝|２－a |＋|a －４|,再分别从a ＜２,２ɤa ＜４,a ȡ４三个方面进行分类讨论,进而化简求值．在解决与二次根式有关的求数的平方根或者化简二次根式等问题都要注意分类讨论思想的运用．３分类讨论思想在方程中的运用在一些与方程有关的问题中,若方程含有字母参数,根据题干我们无法直接判断参数的情况,从而无法判断方程的类型,对下一步的问题解答造成麻烦,这个时候就需要进行分类讨论[２]．例３㊀已知关于x 的方程(m ＋１)x ２－(m －２)x ＋m ４＝０．(１)若方程有实数根,求m 的取值范围;(２)已知x １,x ２为方程的两个实数根,且x ２１－x ２２＝０,求m 的值．点拨:第(１)问只是说明这是关于x 的方程,从方程式可以看出未知数的最高次数是２次,但由于二次项系数m ＋１有可能为０,因此可以从m ＋１ʂ０和m ＋１＝０两方面判断该方程是一元二次方程或者一元一次方程．根据方程特点,可整理分析得２５Copyright ©博看网. All Rights Reserved.２０２３年８月下半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀到Δȡ０或m ＋１＝０两种情况,再解不等式或方程求出m 的取值范围即可．此类题型主要问题是概念指代不清,存在类似问题的还有函数是一次函数还是二次函数,都需要考虑分类讨论．４分类讨论思想在不等式中的运用在解决不等式的有关问题时,也常常遇到由a b ＞０或a b ＜０来判断a ,b 符号的问题,根据同号为正㊁异号为负的法则,需要我们针对具体情况进行分类讨论,如当a b ＞０时,有a ＞０,b ＞０,{或a ＜０,b ＜０．{两种情况．例４㊀解一元二次不等式:x ２－４＞０．点拨:将x ２－４分解因式,得x ２－４＝(x ＋２)(x －２),则原不等式转化(x ＋２)(x －２)＞０即可．根据有理数的乘法法则 两数相乘,同号得正 ,进行分类讨论,则有x ＋２＞０,x －２＞０,{或x ＋２＜０,x －２＜０,{进而解得一元二次不等式x ２－４＞０的解集为x ＞２或x ＜－２．在计算过程中出现同号为正㊁异号为负的情况时,都需要从两个方面进行计算,此时要关注分类讨论思想的体现,以防漏解或缺解．５分类讨论思想在几何图形中的应用几何图形中常见的分类讨论往往集中在等腰三角形的判定㊁相似三角形的判定㊁与圆相关的图形位置判断等方面．涉及几何图形的分类讨论问题往往融合在函数中,故处理相关问题时也要注意分类讨论[３]．例５㊀已知øA O B ＝８０．５ʎ,øA O D ＝１２øA O C ,øB O D ＝３øB O C (øB O C ＜５０ʎ),求øB O C 的度数．点拨:根据题干叙述,无法直接判断O C ,O D 的位置,从而无法进行计算,因此本题需要根据题干情况进行分类讨论．根据题意分析,可以得到符合要求的有三种情况,针对存在的三种情况,画出相应的图形,然后进行计算,即可得到øB O C 的度数[４]．图１例６㊀如图１,在直角梯形A B C D 中,A D ʊB C ,øC ＝９０ʎ,B C ＝１６,A D ＝２１,D C ＝１２,动点P 从点D 出发,沿线段D A 方向以每秒２个单位长度的速度运动,动点Q 从点C 出发,在线段C B 以每秒１个单位长度的速度向点B 运动．点P ,Q 分别从点D ,C 同时出发,当点P 运动到点A 时,点Q 随之停止运动,设运动时间为t s ．(１)设әB P Q 的面积为S ,求S 和t 之间的函数关系式;(２)当t 为何值时,以B ,P ,Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形?点拨:显然,第(２)问中以B ,P ,Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形,需要分三种情况讨论:①P Q ＝B Q ;②B P ＝B Q ;③P B ＝P Q ．根据勾股定理最终求得t ＝７２或t ＝１６３时,以B ,P ,Q 三点为顶点三角形是等腰三角形．图２例７㊀如图２,四边形A B C D 中,A D ʊB C ,øB ＝９０ʎ,A B ＝８,B C ＝２０,A D ＝１８,Q 为B C 的中点,动点P 在线段A D边上以每秒２个单位长度的速度由点A 向点D 运动,设动点P 的运动时间为t s ．在A D 边上是否存在一点R ,使得以B ,Q ,R ,P 四点为顶点的四边形是菱形若存在,请直接写出t 的值;若不存在,请说明理由．点拨:题目中要求探究的点R 在什么位置,我们一下子搞不清,故考虑分类讨论,可分为两种情况．一是点P 在点R 的左侧,四边形B Q R P 是菱形,此时B P ＝B Q ＝１０,根据勾股定理求得A P ＝６,则D P ＝１２,再列方程求出此时的t 值即可;二是点R 在点P 的左侧,四边形B Q P R 是菱形,此时B R ＝B Q ＝１０,A P ＝６＋１０＝１６,再列方程求出t 值．结合上述五个方面的研究发现,在解答数学问题的过程中遇到一些点或线位置不明确㊁图形不固定的情况时,要考虑分类讨论,让问题解答更加全面．总之,在初中数学问题研究中,充分运用分类讨论思想更能深刻挖掘学生的生活体验,引导他们从多个角度感知㊁分析问题情境,更多地激励学生开动脑筋,运用新思想新方法,拓展思维,从而培养学生多角度全方位的解题习惯,全面提升数学核心素养．参考文献:[１]顾宣峰．分类讨论思想在高中数学解题中的应用[J ]．高中数理化,２０２１(S １):２０．[２]任建平．分类讨论思想在初中数学解题教学中的运用探究[J ]．数理天地(初中版),２０２３(１３):３７Ｇ３８．[３]王珍．分类讨论思想在初中数学解题教学中的运用[J ]．中学数学,２０２３(１２):７３Ｇ７４．[４]孙高传．分类讨论思想在初中数学解题教学中的运用[J ]．第二课堂(D ),２０２２(２):３８Ｇ３９．Z ３５Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 小学数学思想方法的梳理(七)分类讨论思想小学数学思想方法的梳理（七）分类讨论思想七、分类讨论思想 1. 分类讨论思想的概念。

人们面对比较复杂的问题，有时无法通过统一研究或者整体研究解决，需要把研究的对象按照一定的标准进行分类并逐类进行讨论，再把每一类的结论综合，使问题得到解决，这种解决问题的思想方法就是分类讨论的思想方法。

其实质是把问题分而治之、各个击破、综合归纳。

其分类规则和解题步骤是：（1）根据研究的需要确定同一分类标准；（2）恰当地对研究对象进行分类，分类后的所有子项之间既不能交叉也不能从属，而且所有子项的外延之和必须与被分类的对象的外延相等，通俗地说就是要做到既不重复又不遗漏；（3）逐类逐级进行讨论；（4）综合概括、归纳得出最后结论。

分类讨论既是解决问题的一般的思想方法，适应于各种科学的研究；同时也是数学领域解决问题较常用的思想方法。

2. 分类讨论思想的重要意义。

课程标准在总目标中要求学生能够有条理地思考，这种有条理性的思考就是一种有顺序的、有层次的、全面的、有逻辑性的思考，分类讨论就是具有这些特性的思考方法。

因此，分类讨论思想是培养学生有条理地思考和良好数学思维1/ 6品质的一种重要而有效的方法。

无论是解决纯数学问题，还是解决联系实际的问题，都要注意数学原理、公式和方法在一般条件下的适用性和特殊情况下的不适用性，注意分类讨论，从而做到全面地思考和解决问题。

从知识的角度而言，把知识从宏观到微观不断地分类学习，既可以把握全局、又能够由表及里、细致入微，有利于形成比较系统的数学知识结构和构建良好的认知结构。

分类讨论思想与集合思想也有比较密切的联系，知识的分类无时不渗透着集合的思想。

专题2.25 《有理数》数学思想-分类讨论（专项练习）分类讨论是人们常用的重要思想方法，是数学解题中的一个重要思想方法，它能训练人的思维条理性和严密性。

实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。

分类讨论遵循的原则：不重不漏分类讨论的步骤：1、先明确需讨论的对象及讨论对象的取值范围；2、正确选择分类的标准，进行合理分类；3、逐类讨论解决；4、归纳并作出结论。

本章结合有理数分类、绝对值、及数轴上的点进行专题巩固学习，对初入中学学习同学来说相当重要，让学生形成数学思想，对于提升学生数学素养十分重要。

一、单选题1．下列关于有理数的分类正确的是（ ）A ．有理数可以分为正有理数和负有理数B ．有理数可分为正有理数、负有理数和0C ．有理数可分为正整数、0和负整数D ．有理数可分为自然数、0和分数 2．已知0abc >，则式子：a b c a b c ++=（ ） A ．3 B ．3-或1C ．1-或3D ．1 3．若m 满足方程20192019m m -=+，则2020m -等于（ ）A ．2020m -B ．2020m --C ．2020m +D ．2020m -+ 4．对于任意实数x ，通常用[]x 表示不超过x 的最大整数，如[2.9]2=，下列结论正确的是（ ）①[]33-=- ②[]2.92-=- ③[0.9]0= ④[][]0x x +-=A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④5．已知a ，b ，c 为有理数，且0a b c ++=，0abc <，则a b c a b c++的值为（ ） A ．1 B ．1-或3- C ．1或3- D ．1-或3 6．在数轴上和有理数a 、b 、c 对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①(1)(1)(1)0a b c ---<；②a b b c a c -+-=-；③()()()0a b b c c a +++>；④1a bc <-，其中正确的结论有（ ）个A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 7．已知：23a bb cc am c a b +++=++，且0abc >，0a b c ++=，则m 共有x 个不同的值，若在这些不同的m 值中，最小的值为y ，则x y +=（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．38．如果a ，b ，c 是非零有理数，那么a b c abc a b c abc+++的所有可能的值为（ ）． A ．4-，2-，0，2，4B ．4-，2-，2，4C ．0D ．4-，0，49．有理数a 、b 、c 在数轴上对应点的位置如图所示，若|b |＞|c |，则下列结论中正确的是（ ）A ．abc ＜0B ．b ＋c ＜0C ．a ＋c ＞0D ．ac ＞ab二、填空题10．将下列各有理数按不同的标准分类：2，413， －7，1.5，0，－5.3, －32， 6，－80%. (1)按有理数的定义分；(2)按有理数的正、负性质分．11．若0a b c ++=，则||||||a ab abc a ab abc++的值是___________． 12．若|x+3|+45|x-5|=12，则x=_____． 13．如图，A 点的初始位置位于数轴上的原点，现对A 点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至B 点，第2次从B 点向左移动3个单位长度至C 点，第3次从C 点向右移动6个单位长度至D 点，第4次从D 点向左移动9个单位长度至E 点，……，依此类推，移动 6 次后该点对应的数是___；至少移动_____次后该点到原点的距离不小于20．14．在有理数范围内，我们定义三个数之间的新运算“⊗”法则：a b c a b c a b c ⊗⊗=++-+-，例如：()()()12-312-312-3⊗⊗=++-+-．在57274,,0,,,99393--这6个数中，任意取三个数作为,,a b c 的值，则a b c ⊗⊗的最大值为__________．15．点A 、B 在数轴上分别表示有理数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为AB ，则在数轴上A 、B 两点之间的距离AB a b ． 所以式子2x -的几何意义是数轴上表示x 的点与表示2的点之间的距离．借助于数轴回答下列问题：①数轴上表示2和5两点之间的距离是________，数轴上表示1和3-的两点之间的距离是________．②数轴上表示x 和2-的两点之间的距离表示为________．③数轴上表示x 的点到表示1的点的距离与它到表示3-的点的距离之和可表示为：13x x -++．则13x x -++的最小值是________． ④若318x x -++=，则x =________16．若a ，b ，c 为有理数，且abc ≠0，则b abc a c a b c abc++-＝_____． 17．数学真奇妙，小慧同学研究有两个有理数a 和b ，若计算a+b ，a-b ，ab ，a b 的值，发现有三个结果恰好相同，小慧突发灵感，想考考大家，请你们求()28b a +=_____________ 18．如图，将一个半径为1个单位长度的圆片上的点A 放在原点，并把圆片沿数轴滚动1周，点A 到达点A '的位置，则点A '表示的数是 _______；若起点A 开始时是与—1重合的，则滚动2周后点A '表示的数是______．19．若|x |＝11，|y |＝14，|z |＝20，且|x +y |＝x +y ，|y +z |＝﹣（y +z ），则x +y ﹣z ＝_____．三、解答题20． 有理数的两种分类方法：有理数 有理数 21．177.6,2,, 4.1,5,23--- （1）将以上有理数按从小到大的顺序排列，并用“<”连接；（2）将以上有理数按一定的分类标准分成若干类．22．把下列各数按要求分类．2224,2, 1.5,,0.6,,0,37π-- 整数集合：{ ．．．}，分数集合：{ ．．．}，非负整数集合：{ ．．．}，有理数集合：{ ．．．}．23．如图是数学果园里的一棵“有理数”知识树，请仔细辨别分类，把各类数填在它所属的横线上．24．（1）填空：①正数：35+= ，8= ； ②负数：0.7-= ，12-= ；③零：0= ；（2）根据（1）中的规律可以发现：无论什么数，它们的绝对值一定是 数，即0a ≥ （3）请认真阅读下列材料，求2x +的最小值 解：0x ≥，∴当0x =，即0x =时，2x +的最小值是2解答下列问题 ①求2020x +的最小值；②255a --有最大值还是最小值，求出这个值，并求出a 的值25．同学们都知道，|4(2)|--表示4与2-的差的绝对值，实际上也可理解为4与2-两数在数轴上所对应的两点之间的距离：问理|3|x -也可理解为x 与3两数在数轴上所对应的两点之问的距离，试探索：（1）|4(2)|--=_______．（2）找出所有符合条件的整数x ，使|4||2|6x x -++=成立，并说明理由（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x ，|3||6|x x -+-是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 26．阅读下题和解题过程：化简：()2122x x -+--，使结果不含绝对值．解：当20x -≥时，即2x ≥时：原式21243x x x =-+-+=-+；当20x -<时，即2x <时：原式()212437x x x =--+-+=-+．这种解题的方法叫“分类讨论法”．请你用“分类讨论法”解一元一次方程：213x -=．27．分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简|a|时，可以这样分类：当a ＞0时，|a|=a ；当a=0时，|a|=0；当a ＜0时，|a|=﹣a ．用这种方法解决下列问题：(1)当a=5时，求a a的值． (2)当a=﹣2时，求a a的值．(3)若有理数a 不等于零，求a a的值． (4)若有理数a 、b 均不等于零，试求a a +b b的值． 28．[分类讨论思想] 甲、乙两名同学正在对8a ＞6a 进行讨论，甲说：“8a ＞6a 正确．”乙说“这不可能正确．”你认为谁的观点对？谈谈你的看法．29．阅读下题和解题过程：化简212(2)x x -+--，使结果不含绝对值．解：当20-≥x 时，即2x ≥时，原式2124x x =-+-+3x =-+；当20x -<，即2x <时，原式(2)124x x =--+-+37x =-+这种解题的方法叫“分类讨论法”．(1)请你用“分类讨论法”解一元一次方程：2(21)3x x +-=+；(2)试探究：当m 分别为何值时，方程21x m -=-①无解，②只有一个解，③有两个解30．定义：若A ，B ，C 为数轴上三点，若点C 到点A 的距离是点C 到点B 的距离2倍，我们就称点C 是[],A B 的美好点．例如；如图1，点A 表示的数为1-，点B 表示的数为2．表示1的点C 到点A 的距离是2，到点B 的距离是1，那么点C 是[,]A B 的美好点；又如，表示0的点D 到点A 的距离是1，到点B 的距高是2，那么点D 就不是[,]A B 的美好点，但点D 是[,]B A 的美好点．如图2，M ，N 为数轴上两点，点M 所表示的数为7-，点N 所表示的数为2．（1）点E ，F ，G 表示的数分别是3-，6.5，11，其中是[,]M N 美好点的是________；写出[,]N M 美好点H 所表示的数是___________．（2）现有一只电子蚂蚁P 从点N 开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t 为何值时，点P 恰好为M 和N 的美好点？31．概念学习规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如222÷÷，(3)(3)(3)(3)-÷-÷-÷-等，类比有理数的乘方，我们把222÷÷记作32，读作“2的3次商”，(3)(3)(3)(3)-÷-÷-÷-记作4(3)-，读作“3-的4次商”．一般地，我们把n 个(0)a a ≠相除记作n a ，读作“a 的n 次商”．初步探究（1）直接写出结果：32=________；（2）关于除方，下列说法错误的是_________．①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数n ，(1)1n -=-；③4334=；④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数．深入思考我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算能够转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例：2411112222222222⎛⎫=÷÷÷=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭（3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式 4(3)-=_______；517⎛⎫= ⎪⎝⎭_______． （4）想一想：将一个非零有理数a 的n 次商写成幂的形式等于___________；（5）算一算：2453111152344⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷-⨯-+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭________．参考答案1．B【分析】根据有理数的分类即可判断.【详解】有理数可以分为正有理数、负有理数和零，故A ，C ，D 错误，B 正确；故选B.【点拨】此题主要考查有理数的分类，解题的关键是熟知有理数的分类特点.2．C【分析】不妨设a ＜b ＜c ，分类讨论：①a ＜b ＜0＜c ，②a ＞0，b ＞0，c ＞0，根据绝对值的定义即可得到结论．【详解】不妨设a ＜b ＜c ．∵abc ＞0，∴分两种情况：①a ＜b ＜0＜c ，则abca b c ++=－1+（－1）+1=－1；②a ＞0，b ＞0，c ＞0，则a b c a b c ++=1+1+1=3．故选C ．【点拨】 本题考查了绝对值，有理数的混合运算，解题的关键是讨论字母的取值情况． 3．D【分析】根据绝对值的性质分情况讨论m 的取值范围即可解答.【详解】当2019m ≥时，20192019m m -=-，不符合题意；当0m ≤时，20192019m m -=+，符合题意；当02019m <<时，20192019m m -=-，不符合题意；所以0m ≤20202020m m -=-+故选D【点拨】本题考查绝对值的性质以及有理数的加减，熟练掌握以上知识点是解题关键.4．C【分析】根据符号[x]表示不超过x 的最大整数，依次判断可得答案．【详解】解：由题意可得，[-3]=-3，故①正确；[-2.9]=-3，故②错误；[0.9]=0，故③正确；当x 为整数时，[x]+[-x]=x+（-x ）=0，当x 为小数时，如x=1.2，则[x]+[-x]=1+（-2）=-1≠0，故④错误；故选：C ．【点拨】本题考查了有理数的大小比较，解答本题的关键是理解题目中的新定义．5．A【分析】先根据有理数的乘法法则推出：要使三个数的乘积为负，a ，b ，c 中应有奇数个负数，进而可将a ，b ，c 的符号分两种情况：1负2正或3负；再根据加法法则：要使三个数的和为0，a ，b ，c 的符号只能为1负2正，然后化简即得．【详解】∵0abc <∴a ，b ，c 中应有奇数个负数∴a ，b ，c 的符号可以为：1负2正或3负∵0a b c ++=。