利用角与角之间的关系求三角函数值

特殊角的三角函数值三角函数是数学中常见且重要的概念之一，它描述了角度与三角比之间的关系。

在三角函数中，存在一些特殊角，它们的三角函数值具有特殊的性质和数值。

本文将探讨这些特殊角的三角函数值，并分析其应用。

1. 0度的三角函数值当角度为0度时，三角函数的值具有如下特点：- 正弦函数sin(0°) = 0- 余弦函数cos(0°) = 1- 正切函数tan(0°) = 0- 余切函数cot(0°) = 无穷由于三角函数与圆的关系，正弦函数和余切函数在0度时对应的值为0，即在单位圆上，角度为0度时，对应的点位于圆的原点位置；而余弦函数在0度时对应的值为1，即在单位圆上，角度为0度时，对应的点位于圆的X轴正方向上。

2. 30度的三角函数值当角度为30度时，三角函数的值具有如下特点：- 正弦函数sin(30°) = 1/2- 余弦函数cos(30°) = √3/2- 余切函数cot(30°) = √330度是一个较为常见的特殊角度，可以通过正六边形的内角和等于180度，再进行角度变换得到。

在单位圆上，角度为30度时，对应的点位于圆的边界上，与圆心连线成30度的角度。

3. 45度的三角函数值当角度为45度时，三角函数的值具有如下特点：- 正弦函数sin(45°) = √2/2- 余弦函数cos(45°) = √2/2- 正切函数tan(45°) = 1- 余切函数cot(45°) = 145度是一个特殊的直角三角形中，两个直角边相等时的角度。

在单位圆上，角度为45度时，对应的点位于圆的边界上，与圆心连线成45度的角度。

4. 60度的三角函数值当角度为60度时，三角函数的值具有如下特点：- 正弦函数sin(60°) = √3/2- 余弦函数cos(60°) = 1/2- 余切函数cot(60°) = 1/√360度是一个常见的特殊角度，可以通过正六边形的内角和等于180度，再进行角度变换得到。

三角函数值的计算方法三角函数是数学中非常重要且常用的概念之一，主要用于描述角度和边长之间的关系。

在三角函数中，最常见的是正弦函数、余弦函数和正切函数，这三个函数的计算方法有以下几种。

一、利用特殊角的三角函数值：1.0度和360度的三角函数值：正弦函数：sin(0°) = 0，sin(360°) = 0余弦函数：cos(0°) = 1，cos(360°) = 1正切函数：tan(0°) = 0，tan(360°) = 02.30度和150度的三角函数值：正弦函数：sin(30°) = 1/2，sin(150°) = 1/2余弦函数：cos(30°) = √3/2，cos(150°) = -√3/2正切函数：tan(30°) = 1/√3，tan(150°) = -1/√34.60度和120度的三角函数值：正弦函数：sin(60°) = √3/2，sin(120°) = √3/2余弦函数：cos(60°) = 1/2，cos(120°) = -1/2正切函数：tan(60°) = √3，tan(120°) = -√35.90度的三角函数值：正弦函数：sin(90°) = 1余弦函数：cos(90°) = 0正切函数：tan(90°) = 无穷大二、利用角度的周期性：由于三角函数的周期为360度(或2π)，所以对于大于360度的角度，可以利用三角函数的周期性进行计算。

三、借助三角函数的特征：1. 互余函数：余弦函数与正弦函数互为相反数，即sin(θ) =cos(90°-θ)，而cos(θ) = sin(90°-θ)。

2. 倍角公式：sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)，cos(2θ) = cos^2(θ) - sin^2(θ)，tan(2θ) = 2tan(θ) / (1 - tan^2(θ))。

【诱导公式】常用的诱导‎公式有以下‎六组：（公式一～公式五函数‎名未改变，公式六函数‎名发生改变‎）公式一：设α为任意‎角，终边相同的‎角的同一三角函数的值相等：对于x轴正‎半轴为起点‎轴而言弧度制下的角的表‎示：sin（2kπ+α）=sinα‎（k∈Z）cos（2kπ+α）=cosα‎（k∈Z）tan（2kπ+α）=tanα‎（k∈Z）角度制下的角的表‎示：sin (α+k·360°)=sinα（k∈Z）cos(α+k·360°)=cosα（k∈Z）tan‎(α+k·360°)=tanα（k∈Z）公式二：设α为任意‎角，π+α的三角函‎数值与α的‎三角函数值‎之间的关系‎：对于x轴负‎半轴为起点‎轴而言弧度制下的‎角的表示：sin（π+α）=－sinα‎cos（π+α）=－cosα‎tan（π+α）=tanα‎角度制下的‎角的表示：sin（180°+α）=－sinα‎cos（180°+α）=－cosα‎tan（180°+α）=tanα‎公式三：任意角α与‎-α的三角函‎数值之间的‎关系：sin（－α）=－sinα‎cos（－α）=cosα‎tan（－α）=－tanα‎公式四：利用公式二‎和公式三可‎以得到π-α与α的三‎角函数值之‎间的关系：弧度制下的‎角的表示：sin（π－α）=sinα‎cos（π－α）=－cosα‎tan（π－α）=－tanα‎角度制下的‎角的表示：sin（180°－α）=sinα‎cos（180°－α）=－cosα‎tan（180°－α）=－tanα‎公式五：利用公式一‎和公式三可‎以得到2π‎-α与α的三‎角函数值之‎间的关系：弧度制下的‎角的表示：sin（2π－α）=－sinα‎cos（2π－α）=cosα‎tan（2π－α）=－tanα‎角度制下的‎角的表示：sin（360°－α）=－sinα‎cos（360°－α）=cosα‎tan（360°－α）=－tanα‎小结：以上五组公‎式可简记为‎：函数名不变‎，符号看象限‎.即α+k·360°（k∈Z），﹣α，180°±α，360°－α的三角函‎数值，等于α的同‎名三角函数‎值，前面加上一‎个把α看成‎锐角时原函‎数值的符号‎。

角的三角函数值1. 定义角的三角函数是数学中用来描述角度关系的一组函数，包括正弦函数（sine）、余弦函数（cosine）、正切函数（tangent）、余切函数（cotangent）、正割函数（secant）和余割函数（cosecant）。

这些函数是用角的对边、邻边、斜边等比例关系来定义的。

针对一个给定角A，我们可以通过三角函数计算出角A的对应值。

下面将依次介绍这些函数的定义、用途和工作方式。

1.1 正弦函数（sine）在直角三角形中，正弦函数（sine）可以用对边和斜边之间的比值来定义，即：[sin(A) = ] 其中，A为角A的度数。

正弦函数的用途非常广泛，特别是在三角学中的应用非常多。

它常用于解决与角度、长度、速度、周期等有关的问题。

在物理学中，正弦函数可以描述振动、波动、摆动等现象。

在工程学中，正弦函数可以用于描述交流电信号、机械振动等。

在计算机图形学中，正弦函数用于生成动画、光线追踪等。

正弦函数的工作方式是通过给定角的度数，计算出这个角的对边与斜边之间的比值。

1.2 余弦函数（cosine）余弦函数（cosine）可以用邻边和斜边之间的比值来定义，即： [cos(A) = ]与正弦函数类似，余弦函数也有广泛的应用。

它常被用于解决与角度、长度、速度、周期等有关的问题。

在物理学中，余弦函数可以描述物体的运动轨迹、力的分解等。

在工程学中，余弦函数可用于计算力的分解、力矩的计算等。

在计算机图形学中，余弦函数用于生成动画、计算光照等。

余弦函数的工作方式是通过给定角的度数，计算出这个角的邻边与斜边之间的比值。

1.3 正切函数（tangent）正切函数（tangent）可以用对边和邻边之间的比值来定义，即： [tan(A) = ]正切函数的应用非常广泛。

它常被用于解决与角度、长度、速度、周期等有关的问题。

在物理学中，正切函数可以描述斜面的倾斜角、自由落体运动等。

在工程学中，正切函数可以用于计算斜坡的坡度、电子元件的电流等。

【诱导公式】常用的诱导公式有以下六组：（公式一～公式五函数名未改变，公式六函数名发生改变）公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：对于x轴正半轴为起点轴而言弧度制下的角的表示：sin（2kπ+α）=sinα （k∈Z）cos（2kπ+α）=cosα （k∈Z）tan（2kπ+α）=tanα （k∈Z）cot（2kπ+α）=cotα （k∈Z）sec（2kπ+α）=secα （k∈Z）csc（2kπ+α）=cscα （k∈Z）角度制下的角的表示：sin (α+k·360°)=sinα（k∈Z）cos(α+k·360°)=cosα（k∈Z）tan (α+k·360°)=tanα（k∈Z）cot（α+k·360°）=cotα （k∈Z）sec（α+k·360°）=secα （k∈Z）csc（α+k·360°）=cscα （k∈Z）公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：对于x轴负半轴为起点轴而言弧度制下的角的表示：sin（π+α）=－sinα cos（π+α）=－cosα tan（π+α）=tanα cot（π+α）=cotα sec（π+α）=－secα csc（π+α）=－cscα 角度制下的角的表示：sin（180°+α）=－sinα cos（180°+α）=－cosα tan（180°+α）=tanα cot（180°+α）=cotα sec（180°+α）=－secα csc（180°+α）=－cscα 公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（－α）=－sinα cos（－α）=cosα tan（－α）=－tanα cot（－α）=－cotα sec（－α）=secα csc (－α）=－cscα 公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：弧度制下的角的表示：sin（π－α）=sinα cos（π－α）=－cosα tan （π－α）=－tanα cot（π－α）=－cotα sec（π－α）=－secα csc（π－α）=cscα 角度制下的角的表示：sin（180°－α）=sinα cos（180°－α）=－cosα tan（180°－α）=－tanα cot（180°－α）=－cotα sec（180°－α）=－secα csc（180°－α）=cscα 公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：弧度制下的角的表示：sin（2π－α）=－sinα cos（2π－α）=cosα tan （2π－α）=－tanα cot（2π－α）=－cotα sec（2π－α）=secα csc（2π－α）=－cscα 角度制下的角的表示：sin（360°－α）=－sinα cos（360°－α）=cosα tan（360°－α）=－tanα cot（360°－α）=－cotα sec（360°－α）=secα csc（360°－α）=－cscα 小结：以上五组公式可简记为：函数名不变，符号看象限.即α+k·360°（k∈Z），﹣α，180°±α，360°－α的三角函数值，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。

高中数学中的三角函数利用特殊角值简化计算的技巧三角函数是数学中的重要概念，而在高中数学中，我们经常会遇到需要计算三角函数值的情况。

为了简化计算过程，我们可以利用特殊角值的技巧，来快速得到结果。

本文将介绍一些常见的特殊角值，并说明如何利用这些特殊角值简化计算。

一、特殊角值的定义在三角函数中，我们通常会用到正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等。

而特殊角值指的是一些特定角的函数值，这些值具有简单的表达式，可以方便我们进行计算。

下面是一些常见的特殊角值及其函数值：1. 0度：sin 0° = 0，cos 0° = 1，tan 0° = 02. 30度：sin 30° = 1/2，cos 30° = √3/2，tan 30° = 1/√33. 45度：sin 45° = √2/2，cos 45° = √2/2，tan 45° = 14. 60度：sin 60° = √3/2，cos 60° = 1/2，tan 60° = √3以上是一些常见的特殊角值，我们可以将它们牢记于心，以便在计算过程中使用。

二、利用特殊角值简化计算的技巧1. 利用特殊角的三角关系在三角函数中，存在一些特殊的角之间的关系，如30度角、45度角、60度角之间的关系。

通过利用这些关系，我们可以推导出其他角的函数值，从而简化计算。

以30度角为例，我们已知 sin 30° = 1/2，cos 30° = √3/2，tan 30° = 1/√3。

利用这些已知值，我们可以得到其他角的函数值：- sin 60° = sin (2 * 30°) = 2 * sin 30° * cos 30° = √3/2- cos 60° = cos (2 * 30°) = cos² 30° - sin² 30° = 1/2- tan 60° = tan (2 * 30°) = 2 * tan 30° / (1 - tan² 30°) = √3通过这种方法，我们可以快速得到其他角度的三角函数值，从而简化计算过程。

三角函数公式应用大全三角函数的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。

通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。

其定义域为整个实数域。

现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。

一、两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB-cosAsinBcos(A+B) = cosAcosB-sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB二、倍角公式三、三倍角公式四、半角公式五、和差化积六、积化和差七、诱导公式八、万能公式九、其它公式十、双曲函数其他三角函数公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）= sinαcos（2kπ＋α）= cosαtan（2kπ＋α）= tanαcot（2kπ＋α）= cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）= -sinαcos（π＋α）= -cosαtan（π＋α）= tanαcot（π＋α）= cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin（-α）= -sinαcos（-α）= cosαtan（-α）= -tanαcot（-α）= -cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π-α）= sinαcos（π-α）= -cosαtan（π-α）= -tanαcot（π-α）= -cotα公式五：利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π-α）= -sinαcos（2π-α）= cosαtan（2π-α）= -tanαcot（2π-α）= -cotα公式六：公式七：。

方法12 已知角求三角函数值一、单选题1．等腰三角形底和腰之比为黄金分割比的三角形称为黄金三角形，它是最美的三角形.例如，正五角星由5个黄金三角形和一个正五边形组成，且每个黄金三角形都是顶角为36°的等腰三角形，如图所示：在黄金角形ABC中，BC AC =，根据这些信息，可求得cos144︒的值为（ ）A．14- B．12-C．14+-D．38+-【答案】C 【分析】由已知求得72ACB ∠=︒，可得cos72︒的值，再由二倍角的余弦及三角函数的诱导公式求解cos144︒． 【解析】由图可知72ACB ∠=︒，且12cos 72BCAC ︒==所以21cos1442cos 7214︒=︒-=- 故选:C . 2．已知sin()cos(2)()cos()tan x x f x x xπππ--=--，则313f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．12B ．13 C ．12-D ．13-【答案】C 【分析】利用诱导公式先化简整理函数()f x ，再利用诱导公式求值即可. 【解析】 由sin()cos(2)()cos()tan x x f x x xπππ--=--，利用诱导公式得：sin cos ()cos cos tan x xf x x x x==--，所以31311cos cos 103332f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=---=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 故选：C.3．sin160cos10cos20sin10︒︒+︒︒=（ ）A ．B ．12-C ．12D 【答案】C 【分析】利用诱导公式将160化为20，再根据两角和的正弦公式可得结果. 【解析】1sin160cos10cos 20sin10sin 20cos10cos 20sin10sin 302︒︒+︒︒=︒︒+︒︒==。

故选：C 【小结】利用诱导公式将160化为20是解题关键.4．sin15cos15sin15cos15+-的值是（ ）A ．BCD 【答案】A 【分析】根据sin15cos150-<，将sin15cos15sin15cos15+-化为2(sin15cos15)-，利用同角公式和二倍角的正弦公式可解得结果. 【解析】因为sin15cos15<，所以sin15cos150-<，所以sin15cos15sin15cos15+-=2(sin15cos15)-30=== 故选：A 【小结】本题考查了同角公式，考查了二倍角的正弦公式，属于基础题. 5．若0000cos sin 63cos18cos63cos108x =+，则cos2x 等于（ ） A ．12- B ．34- C ．0 D．12【答案】C 【解析】0000cos sin 63cos18cos 63sin18sin 45,2x =-=︒=21cos 22cos 12102x x =-=⨯-=.故选：C.6．()cos 75-︒的值是() A．2B．2C．4- D ．4【答案】C 【分析】变形()()cos 75cos 45120-︒=︒-︒后，根据两角差的余弦公式计算可得答案. 【解析】()()1cos 75cos 45120cos 45cos120sin 45sin12022⎛⎫-︒=︒-︒=︒⋅︒+︒︒=-+ ⎪⎝⎭2=， 故选：C. 【小结】本题考查了两角差的余弦公式，属于基础题.7．17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36︒的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC 中，12BC AC =.根据这些信息，可得sin 234︒=（ ）A ．14- B ．38+-C ．14+-D ．48+-【答案】C 【分析】先求出1cos 4ACB ∠=，再根据二倍角余弦公式求出cos144，然后根据诱导公式求出sin 234. 【解析】由题意可得：72ACB ︒∠=，且12cos BCACB AC ∠==，所以22cos1442cos 72121︒︒=-=⨯-=⎝⎭， 所以()sin 234sin 14490cos144︒︒︒︒=+==， 故选：C 【小结】本题考查了二倍角的余弦公式和诱导公式，属于基础题.二、多选题8．下列选项中，与11sin()6π的值互为相反数的是（ ） A ．22cos 151- B ．cos18cos 42sin18sin 42︒︒︒︒-C ．2sin15sin 75D ．tan 30tan151tan 30tan15+-【答案】BC 【分析】先计算已知正弦值111sin(62π)=-，它的相反数等于12，逐一计算选项，判断是否相等即可.【解析】 首先111sin(sin()662ππ)=-=-，它的相反数等于12，下面计算选项：对于A ，2o o 2cos 151cos30-==对于B ，ooooooo1cos18cos 42sin18sin 42cos(1842)cos602-=+==，相等； 对于C ，ooooo12sin15sin 752sin15cos15sin 302===，相等； 对于D ，o o oo otan 30tan15tan 4511tan 30tan15+==-，不相等； 故选：BC.【小结】本题考查了三角恒等变换的应用，属于基础题. 9．下列选下选项中，值为14的是（ ） A ．cos72cos36︒︒ B．1sin 50cos50+︒︒C ．5sinsin1212ππ D ．22cossin 1212ππ-【答案】AC 【分析】利用三角恒等变换公式，逐个化简求值，即可得出答案. 【解析】对于A 中2sin 36cos36cos72cos36cos722sin 36︒︒︒︒︒=︒2sin 72cos72sin14414sin 364sin 364︒︒︒===︒︒.对于B中原式12cos50502cos50501sin 50cos502sin 50cos502⎛⎫︒︒ ⎪︒︒⎝⎭==︒︒⨯︒︒2sin802sin80411sin100sin8022︒︒===︒︒. 对于C 中sin2sincos511212sinsinsin cos 121212122246πππππππ====. 对于D中22πcos sin cos12126ππ-==故选：AC. 【小结】本题考查三角恒等变换公式，属于容易题. 10．下列四个等式其中正确的是（ ） A．tan 25tan 3525tan 35︒︒︒︒++=B ．2tan 22.511tan 22.5︒︒=- C ．221cossin 882ππ-=D．14sin10cos10︒︒-= 【答案】AD 【分析】根据利用两角和与差的正切、正弦、二倍角公式进行三角恒等变换一一计算可得答案. 【解析】 A 选项，tan 25tan 35tan(25351tan 25tan 3)5︒︒︒︒︒︒++==-tan 25tan 35tan 25tan 3525t )an 35︒︒︒︒︒︒∴-=+=tan 25tan 3525tan 3525tan 3525tan 35︒︒︒︒︒︒︒︒∴+=++=B 选项，2tan 22.5tan 22.5tan 4511tan 22.5︒︒︒==-+，2tan 22.511tan 22.52︒︒∴=-，所以错误； C 选项，22cos sin cos(2)cos 8884ππππ-=⨯==，所以错误； D 选项，132(cos10sin10)1cos103sin1022sin10cos10sin10cos10sin10cos10︒︒---==2(sin 30cos10cos30sin10)2sin 204112sin10cos10sin 2022-===⨯ 所以正确. 故选：AD. 【小结】本题考查三角恒等变换，两角和与差的正弦正切公式、二倍角公式等，公式要熟练记忆是解本题的关键. 11．下列化简正确的是（） A ．1cos82cos 22sin82sin 222︒︒+︒︒=B ．22cos 15sin 152︒-︒=C ．tan 48tan721tan 48tan72︒+︒=-︒︒D ．1sin15sin 30sin 754︒︒︒=【答案】ABC 【分析】利用两角差的余弦公式判断选项A ；利用二倍角公式判断选项B ；利用两角和的正切公式判断选项C ；先利用诱导公式转化，再利用二倍角公式判断选项D. 【解析】()1cos82cos 22sin82sin 22cos 8222cos602︒︒+︒︒=︒-︒=︒=，故A 正确；22cos 15sin 15cos30︒-︒=︒=B 正确； ()tan 48tan 72tan 4872tan1201tan 48tan 72︒+︒=︒+︒=︒=-︒︒C 正确；()1111sin15sin 30sin 75sin15sin 9015sin15cos15sin 302248︒︒︒=︒︒-︒=︒︒=︒=，故D 不正确.故选：A B C. 【小结】本题主要考查倍角公式和两角和与差公式.属于较易题.三、解答题12．已知函数()4cos sin 1()6f x x x x R π⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭，将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位，得到函数()y g x =的图象．（1）求3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值； （2）求函数()y g x =的解析式；（3）若02x f ⎛⎫=⎪⎝⎭，求()0g x ． 【答案】（1）2；（2）()2sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（3）1- 【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简函数得解析式()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再代入3x π=即可求解；（2）利用图像平移变换“左加右减”即可得到()y g x =的解析式；（3）由02x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可求出02()2=+∈x k k Z ππ或052()6=+∈x k k Z ππ，再分类讨论求出()0g x ． 【解析】（1）1()4cos sin 14cos sin cos 162⎛⎫⎛⎫=-+=⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x x x x x x π2cos 2cos 12cos 2x x x x x =-+=-2sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭2sin 22sin 23362f ππππ⎛⎫⎛⎫∴=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）根据图像平移变换可知：2sin 22sin 6()2666πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦⎭⎝⎭g x f x x x π（3）02⎛⎫= ⎪⎝⎭x f 002sin 26⎛⎫⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x f x π，即0sin 6⎛⎫-= ⎪⎝⎭x π， 解得：02()63-=+∈x k k Z πππ或022()63-=+∈x k k Z πππ 所以：02()2=+∈x k k Z ππ或052()6=+∈x k k Z ππ 当022x k ππ=+时，()02sin 22s 66n 2142i ⎡π⎤7π⎛⎫+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎛⎫=+=+ ⎪⎦⎝⎭x k k g πππ 当0526x k π=+π时，()052sin 22s 21in 4666⎡π⎤11π⎛⎫+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎛⎫=+=+ ⎪⎦⎝⎭x k k g πππ 综上可知，()01g x =- 【小结】本题主要考查函数()sin y A ωx φ=+的图像变换规律，做题时要注意三点： （1）弄清楚是平移哪个函数的图像，得到哪个函数的图像；（2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，先利用诱导公式化为同名函数； （3）由sin y A x ω=的图像得到()sin y A ωx φ=+的图像时，需平移的单位数应为ϕω，而不是||ϕ． 13．设函数()sin 2f x x π=．（1）求()()()122020f f f +++；（2）令()2g x f x π⎛⎫=⎪⎝⎭，若任意α、R β∈，恒有()()2cos sin 22g g αβαβαπβ+-++=⋅，求537coscos 2424ππ⋅的值． 【答案】（1）()()()0122020f f f +++=；（2）5371coscos 24244ππ⋅=. 【分析】（1）计算出函数()f x 的最小正周期为4T =，计算出()()()()1234f f f f +++的值，由此可求得所求代数式的值；（2）求得()sin g x x =，根据题中条件得出sin sin 2cossin22αβαβαβ+--=⋅，利用诱导公式可得出5375coscos cos sin 24242424ππππ⋅=⋅，结合等式sin sin 2cos sin 22αβαβαβ+--=⋅可求得结果. 【解析】（1）函数()sin2f x x π=的最小正周期为242T ππ==，则()()()()31234sinsin sinsin 21010022f f f f ππππ+++=+++=+-+=， 又20205054=⨯，因此，()()()12202050500f f f +++=⨯=；（2）()22sin sin 2g x f x x x πππ⎛⎫⎛⎫==⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则对任意的α、R β∈，恒有()()()sin sin sin sin 2cossin22g g αβαβαπβαπβαβ+-++=++=-=⋅，373coscos sin 2422424ππππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，则5375cos cos cos sin 24242424ππππ⋅=⋅，令5224αβπ+=，224αβπ-=，可得4πα=，6πβ=，因此，53751511cos cos cos sin 2cos sin sin sin 24242424224242464ππππππππ⎛⎫⋅=⋅=⨯⋅=-=⎪⎝⎭. 【小结】本题的第（1）问在求解函数值时，要分析出函数()f x 的最小正周期为4，计算出()()()()1234f f f f +++的值，再结合函数()f x 的周期进行求解；本题的第（2）问要将代数式变形为5375cos cos cos sin 24242424ππππ⋅=⋅，并由5224αβπ+=，224αβπ-=求得α、β的值，结合题中信息求解. 14．在ABC 中，3B π∠=，15AB =，点D 在边BC 上，1CD =，1cos 26ADC ∠=.（1）求sin BAD ∠； （2）求ABC 的面积. 【答案】（1）26；（2） 【分析】（1）根据平方和公式算出sin ADC ∠，根据两角差的正弦公式算出sin BAD ∠； （2）由正弦定理算出7BD =，得到718BC =+=，代入面积公式1sin 2S AB BC ABD =⋅⋅⋅∠，即可得出面积值. 【解析】解：（1）由1cos 26ADC ∠=，知sin ADC ∠==， 则()sin sin 60BAD ADC ∠=∠-︒sin cos60cos sin60ADC ADC =∠⋅︒-∠⋅︒11226=-=， （2）在ABD △中，由正弦定理得：sin sin BD ABBAD ADB=∠∠=，即7BD =，所以718BC =+=，于是1sin 2S AB BC ABD =⋅⋅⋅∠ 1158sin 602︒=⨯⨯⨯= 【小结】三角形常用面积公式：（1）12a S ah =(a h 表示边a h 上的高)； （2）111sin sin sin 222S ab C ac B bc A ===；（3）1()2S r a b c =++ (r 为三角形内切圆半径).15．已知函数()sin sin 3f x x x π=+-⎛⎫⎪⎝⎭.（1）求f (0) 的值； （2）求f (x )的最小正周期；（3）当x ∈02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，时， 求f (x )的值域.【答案】（1（2）2π；（3）1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）直接代入求解即可；（2）利用两角差的正弦公式以及辅助角公式化简整理得到()sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，即可得出结果；（3）由x 的范围，结合不等式的性质，得到ππ5336π,x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，利用正弦函数的取值即可得出答案． 【解析】（1）由()sin sin 3f x x x π=+-⎛⎫⎪⎝⎭，得()0sin 0sin 032f π⎛⎫=+-=⎪⎝⎭； （2）()sin sin sin sin cos cos sin 333f x x x x x x πππ⎛⎫=+-=+-⎪⎝⎭1sin 2x x = sin 3x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()f x 的最小正周期为221T ππ==； （3）π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ5336π,x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∈ 13πsin ,12x ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． ∈ ()f x 的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 16．在ABC中，a =b =3B π=.（1）求sin()6A π+； （2）求C . 【答案】（1）4π；（2）512π. 【分析】（1）根据题意，由正弦定理和大边对大角可求得A ，代入sin()6A π+，再根据两角和的正弦公式即可求出结果；（2）利用三角形内角和是180︒，由C A B π=--，从而 得出结果. 【解析】解：（1）由题可知，a =b =3B π=，由正弦定理得sin sin a b A B=，即：3sin sin A =，解得：sin 2A =， 由a b <可知A B <，于是4A π=，故sin sin sin cos cos sin 6464646A πππππππ⎛⎫⎛⎫+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）在ABC 中，A B C π++=， 于是54312C A B πππππ=--=--=. 【小结】本题考查利用正弦定理解三角形，解题的关键在于：根据三角形中大边对大角从而得出A B <，还考查两角和的正弦公式和三角形内角和的应用，属于基础题.17．已知sin ,4102ππααπ⎛⎫⎛⎫+=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.求： （1）cos α的值； （2）sin 24πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值.【答案】（1）35；（2）50-. 【分析】（1）利用两角和差公式展开整理，根据同角三角函数的基本关系可求cos α的值；（2）根据二倍角公式求出22cos ,sin αα，再利用两角和差公式展开，代入即可得出结论. 【解析】（1）sin 410πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即sin coscos sin4410ππαα+=， 化简得1sin cos 5αα+=，∈ 又sin 2α+cos 2α=1，∈ 由∈∈解得cos α=35或cos α=45， 因为,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭， 所以3cos 5α=-.（2）因为,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭， cos α=35， 所以sin α=45，则cos2α=1-2sin 2α=725-， sin2α=2sin αcos α=2425-，所以sin 2sin 2cos cos 2sin 44450πππααα⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭. 【小结】本题主要考查了两角和差公式以及二倍角公式.属于较易题. 18．已知向量()cos ,sin ,(cos ,sin ),105a b a b ααββ==-=. （1）求cos()αβ-的值； （2）若0,022ππαβ<<-<<，且5sin 13β=-，求sin α. 【答案】（1）45；（2）1665. 【分析】（1）对等式10a b -=进行平方运算，根据平面向量的模和数量积的坐标表示公式，结合两角差的余弦公式直接求解即可；（2）由（1）可以结合同角的三角函数关系式求出sin()αβ-的值，再由同角三角函数关系式结合sin β的值求出cos β的值，最后利用两角和的正弦公式求出sin α的值即可. 【解析】（1）1,1a b ==，()()2210242555a b a a b ba b -=⇒-⋅+=⇒⋅=44cos cos sin sin cos()55αβαβαβ⇒+=⇒-=；（2）因为0,022ππαβ<<-<<，所以0αβπ<-<，而4cos()5αβ-=，所以sin()35αβ-==，因为02πβ-<<，5sin 13β=-，所以12cos 13β==. 因此有16sin sin[()]sin()cos cos()sin 65ααββαββαββ=-+=-+-=. 【小结】本题考查了已知平面向量的模求参数问题，考查了平面向量数量积的坐标表示公式，考查了两角差的余弦公式，考查了两角和的正弦公式，考查了同角的三角函数关系式的应用，考查了数学运算能力.属于中档题. 19．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，2b =，2242c a c +-=-. （1）求A 的值；（2）从∈a B =，∈4B π=两个条件中选一个作为已知条件，求sin C 的值.【答案】（1）23A π=；（2）选择见解析；sin C =【分析】 （1）由余弦定理结合已知即得解；（2）选择∈a B =，利用正弦定理求出π4B =，再利用sin sin()C A B =+即得解；选择∈4B π=，利用sin sin()C A B =+即得解. 【解析】（1）由2242c a c +-=-得：22222421cos 22242b c a c a c A bc c c +-+--====-⋅，又因为0A π<<，所以23A π=. （2）选择∈作为已知条件.在∈ABC 中，由a B =，以及正弦定理sin sin a b A B=，2sin sin 3B =，解得21sin 2B =， 由2π3A =，得B 为锐角，所以π4B =， 因为在∈ABC 中，πA B C ++=，所以sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+2ππ2ππsincos cos sin 3434=+，所以sin 4C =选择∈作为已知条件，因为在∈ABC 中，πA B C ++=，所以sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+2ππ2ππsincos cos sin 3434=+，所以sin C = 【小结】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查和角的正弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20．求下列三角函数值： （1）16sin 3π⎛⎫-⎪⎝⎭；（2）()cos 945-︒.【答案】（1（2）【分析】（1）利用诱导公式，把负角化正角，大角化小角，即可得出结果. （2）利用诱导公式，把负角化正角，大角化小角，即可得出结果.【解析】（1）16164sin()sin()sin(4)sin()sin 33333πππππππ-=-=-+=-+==（2）()()()cos 945cos945cos 720+225cos 180+45cos 452︒︒︒︒︒︒︒-====-=- 【小结】本题考查了诱导公式的应用，考查了计算能力，属于基础题目.21．设函数()()sin f x A x =+ωϕ（A ，ω，ϕ为常数，且0A >，0>ω，0ϕπ<<）的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）设0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()5f θ=-，求7cos 212πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】（1） ())3f x x π=+；（2）10-【分析】（1）由函数图象可得=A π，进而可得=2ω，由函数过点7(,12π，可得3πϕ=，进而可得结果 （2）3sin(2)035πθ+=-<和角的范围，可得4cos(2)35πθ+=-， 7cos(2)cos(2)1234πππθθ+=++，利用两角和的余弦公式可得结果. 【解析】（1）由图象可知，=A 373=(),41264ππππ--=∴=T T ，2==2ππωω⇒ ())ϕ=+f x x 过点7(,12π，7)2,123ππϕϕπ⋅+==+∈k k Z 0,3πϕπϕ<<∴=())3π=+f x x（2）()3)sin(2)0335ππθθθ=+=⇒+=-<f 又因为4(0,),2(,)2333ππππθθ∈+∈，所以42(,)33ππθπ+∈，4cos(2)35πθ∴+=- 7cos(2)cos(2)cos(2)cos sin(2)sin 12343434πππππππθθθθ+=++=+-+43=()55---=【小结】本题考查了通过三角函数的图象求解析式，利用三角恒等变换求三角函数值，考查了运算求解能力，属于基础题目. 22．计算： （1）sin 57sin 27cos30cos 27︒-︒︒︒；（2）tan 25tan 3525tan 35︒+︒+︒︒ 【答案】（1）12； （2）0. 【分析】（1）根据()sin 57sin 3027=+，结合两角和与差的正弦公式化简即可求得答案.（2）根据两角和与差的正切公式求得)tan 25tan351tan 25tan35︒+︒=-︒︒，进而代入化简即可得出答案. 【解析】解：（1）由()sin 3027sin 27cos30sin57sin 27cos30cos 27cos 27︒︒+-︒︒-=︒︒︒︒︒ sin 30cos 27cos30sin 27sin 27cos30cos 27︒︒︒︒+︒︒-=．sin 30cos 271sin 30cos 272=︒︒︒=︒=；（2）由()tan 25tan 35tan 60tan 25351tan 25tan 35︒+︒=︒+︒==-︒︒可得)tan 25tan351tan 25tan35︒+︒=-︒︒，所以tan 25tan 3525tan 35︒+︒︒⋅︒)1tan 25tan3525tan35=-︒︒︒⋅︒=故原式tan 25tan 3525tan 35︒+︒=︒︒0=. 【小结】本题考查三角函数的化简求值，涉及两角和与差的正弦公式和两角和与差的正切公式的应用，考查化简求值能力.23．求下列各式的值： （1）1sin10cos10-︒︒； （2）若8x π=，求()2sin cos 2cos 2x x x ++的值．【答案】（1）4；（2）. 【分析】（1）先进行通分，然后结合二倍角及辅助角公式进行化简即可求解； （2）展开后结合二倍角公式进行化简，代入即可求解． 【解析】（1）12sin(3010)4sin 2041sin10sin 20sin 202︒-︒︒====︒︒︒； （2）若8x π=，则2(sin cos )2cos21sin 22cos21sin2cos144x x x x x ππ++=++=++= 【小结】本题主要考查了和差角公式、辅助角公式、二倍角公式在三角化简求值中的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.24．已知()π02α∈，，()ππ2β∈，，1cos 3β=-，()7sin 9αβ+=． （1）求sin α的值； （2）求tan 2βα⎛⎫+⎪⎝⎭的值．【答案】（1）13；（2 【分析】（1）先利用同角的三角函数关系解得sin β和cos()αβ+，再由[]sin sin ()ααββ=+-，利用正弦的差角公式求解即可；（2）由（1）可得tan α和tan β，利用余弦的二倍角公式求得tan 2β，再由正切的和角公式求解即可.【解析】解：（1）因为1,,cos 23πβπβ⎛⎫∈=-⎪⎝⎭，所以sin β===又0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故3,22ππαβ⎛⎫+∈⎪⎝⎭，所以cos()αβ+===，所以sin sin[()]sin()cos cos()sin ααββαββαββ=+-=+-+71193933⎛⎛⎫=⨯---⨯= ⎪ ⎝⎭⎝⎭； （2）由（1）得，1sin 3α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 3α===，所以sin tan cos ααα==，因为22222222cos sin 1tan 222cos cossin 22cos sin 1tan 222βββββββββ--=-==++且1cos 3β=-， 即221tan 1231tan 2ββ-=-+，解得2tan 22β=，因为,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以,242βππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以tan 02β>，所以tan2β=所以tan tan24tan 1221tan tan 122βαβαβα+⎛⎫+===⎪⎝⎭-⋅-. 【小结】本题考查已知三角函数值求值，考查三角函数的化简，考查和角公式，二倍角公式，同角的三角函数关系的应用，考查运算能力． 25．已知函数22()cos 22cos 3f x x x k π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭的最小值为-3. （1）求常数k 的值，和()f x 的对称轴方程； （2）若63ππθ<<，且4()3f θ=-，求cos2θ的值. 【答案】（1）1k =-，,26k x k Z ππ=+∈；（2. 【分析】（1）化简()f x sin 216x k π⎛⎫=++- ⎪⎝⎭求出k 的值，再利用正弦函数的对称轴方程，求出()f x 的对称轴方程；（2）利用角的配凑得cos 2cos 266ππθθ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，再利用两角差的余弦公式计算，即可得到答案； 【解析】222()cos 2cossin 2sin 2cos 1133f x x x x k ππ=⋅+⋅+-++1cos 22cos 212x x x k =-+++-1cos 2212x x k =++- sin 216x k π⎛⎫=++- ⎪⎝⎭∴sin 216x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，min ()23f x k =-=-，1k ∴=-；当262x k πππ+=+时，即,26k x k Z ππ=+∈为函数()f x 的对称轴方程； （2）4()sin 2263f πθθ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，∴sin 2632πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，63ππθ<<，∴52266πππθ<+<，cos 26πθ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭， ∴cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666πππππθθθθπ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2132=+⋅=【小结】本题考查两角差的余弦公式、二倍角公式、同角三角函数基本关系，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意角度范围的限制. 26．求值： （1cos351sin 20-；（2）tan19tan1013tan19tan101+-； （3）248coscoscos cos 17171717ππππ.【答案】（1（2）；（3）116.【分析】（1）利用二倍角的正弦、余弦公式结合辅助角公式化简可得结果；（2）利用两角和正切公式变形()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-，将所求代数式化简计算可得结果；（3）将所求代数式变形为447248c o oscoscos cos 1717428coscosc s cos 117172sin 1717171772sin1ππππππππππ⎛⎫⎪⎝⎭=，利用二倍角正弦的降幂公式结合诱导公式化简可求得所求代数式的值. 【解析】 （12222cos351sin 20cos35cos 10sin 102sin10cos10=-+-()()()2cos10sin10cos10sin102sin 1045cos10sin10cos 9055cos35cos 0co 310sin1s 5+-++===--552sin 55== （2）()tan19tan101tan120tan 1910131tan19tan101+=+==--，()tan19tan10131tan19tan10133tan19tan101∴+=--=-+，因此，tan19tan1013tan19tan1013+-=-；（3）447248c o oscoscos cos 1717428coscosc s cos 117172sin 1717171772sin1ππππππππππ⎛⎫⎪⎝⎭=324442248448882sin cos cos cos 2sin cos cos 2sin cos1717171717171717172sin2sin2sin171717ππππππππππππ===44416sin sinsin1171717162sin 2sin 2sin171717πππππππ⎛⎫- ⎪⎝⎭====. 【小结】本题考查三角代数式求值，考查二倍角公式、两角和的正切公式的应用，考查计算能力，属于中等题.27．设函数()cos f x x x =-，x ∈R ． （1）求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）已知6f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值． 【答案】（1）1；（2）2-- 【分析】（1）利用辅助角公式化简函数()y f x =的解析式，然后代值计算可得出3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）由6f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可求得α的值，再利用两角和的正切公式可求得tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 【解析】 （1）()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，2sin 136fππ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭； （2）2sin 6f παα⎛⎫+== ⎪⎝⎭，所以sin α=，又0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可知3πα=．故tan 1tan 241tan πααα+⎛⎫+===- ⎪-⎝⎭【小结】本题考查三角函数求值，同时也考查了利用两角和的正切公式求值，考查计算能力，属于基础题. 28．（12sin 50cos101︒+︒+︒（2）在ABC 中，已知2AC =，1AB =，且角A ，B ，C 满足2cos 22sin 12B CA ++=.求角A 的大小和BC 边的长；【答案】（1）2；（2）60A =︒，BC =.【分析】（1）先切化弦，再用辅导角公式，分母用倍角公式等三角恒等变换化简求值；（2）对2cos 22sin12B C A ++=利用倍角公式，降次公式化简，可得1cos 2A =， 从而求得60A =︒，再求余弦定理可求得BC 的长. 【解析】 解：（12sin 50cos101︒+︒+︒40cos 40︒⋅+︒⋅==2sin85cos5︒=︒2= （2）由2cos 22sin12B CA ++=，得cos 2cos()ABC =+，又180A B C ++=︒， 得cos2A =cos(180)A ︒-，得22cos 1cos A A -=-，得(cos 1)(2cos 1)0A A +-=， 由cos 10A +≠，得1cos 2A =，又(0,180)A ∈︒，得60A =︒， 2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅⋅211221232=+-⨯⨯⨯=，得BC =，即60A =︒，BC =【小结】本题考查了三角恒等变换的化简与求值，辅助角公式，二倍角公式，降次公式，余弦定理，还考查了学生分析推理能力，运算能力，属于中档题. 29．化简下列各式： （1cos 66ππαα⎛⎫⎛⎫---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()cos101sin 40︒︒︒+； （3）sin 2cos 3⎛⎫+-⎪⎝⎭πααα． 【答案】（1）2sin α-；（2）2；（3）12πα⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）由题意结合两角差的正弦公式化简即可得解；（2）由题意结合同角三角函数商数关系可得原式=，再利用两角和的正弦公式即可得解；（3）由题意结合两角差的正弦公式可得原式2sin 2cos 33ππαα⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再利用两角和的正弦公式即可得解. 【解析】（1）原式12sin cos 626⎤⎛⎫⎛⎫=---⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦ππαα 2sin cos cos sin 6666⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⋅--⋅ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ππππαα()2sin 2sin 2sin 66ππααα⎛⎫=--=-=- ⎪⎝⎭；（2）原式cos10cos10cos101sin 40cos10sin 40cos10︒︒︒︒︒︒︒︒︒⎛⎫=+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭12cos102cos10sin 40sin 40︒︒︒︒︒︒⎛⎫ ⎪+⎝⎭==()2sin30cos10cos30sin102sin 402sin 40sin 40︒︒︒︒︒︒︒⋅+⋅===； （3）原式12sin 2cos 23πααα⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2sin cos cos sin 2cos 333πππααα⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin 2cos 332323ππππαααα⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-+-⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦sin cos cos sin 343434ππππππααα⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦12⎛⎫=- ⎪⎝⎭πα．【小结】本题考查了三角恒等变换的应用，考查了运算求解能力，关键是对原式进行合理变形，属于中档题. 30．已知函数()sin cos 1(0,0)=++≠>f x a x b x ab ωωω的周期为π，()f x 的最大值为4，且162⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f π．（1）求a ，b 的值；（2）若()≠+∈k k Z αβπ，且,αβ是方程()0f x =的两个实根，求tan()αβ+的值．【答案】（1）3,2==a b ；（2【分析】（1）根据辅助角公式化简()f x ，可得())1f x x ωθ++(tan baθ=)，根据正弦函数周期计算公式求得ω，根据()f x 的最大值为4和16⎛⎫=+⎪⎝⎭f π，联立方程即可求得a ，b 的值； （2）根据,αβ是方程()0f x =的两个实根，求得,αβ，根据正切两角和公式即可求得tan()αβ+的值． 【解析】（1）()sin cos 1)1f x a x b x x ωωωθ=++=++(tan b aθ=) 根据函数()f x 的周期为π，可得：2||ππω= 解得：2ω= 又()f x 的最大值为4∴14=故229a b +=——∈16⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f π可得()sincos1633f a b πππ=++——∈由∈∈解得：30a b =⎧⎨=⎩或322a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩0ab ≠∴32a =，b =可得：()3sin(2)13f x x π=++（2）由（1）得()3sin(2)13f x x π=++令()3sin(2)103f x x π=++=可得122arcsin()33x k ππ+=+-或122arcsin()33x k πππ+=+--(k Z ∈) ∴11arcsin()623x k ππ=--或11arcsin()323x k ππ=++(k Z ∈)()≠+∈k k Z αβπ，且,αβ是方程()0f x =的两个实根不妨取511arcsin()623πα=-，11arcsin()323πβ=+ ∴51111tan()tan arcsin()arcsin()623323ππαβ⎡⎤+=-++⎢⎥⎣⎦7tan()tan()66ππ===【小结】本题主要考查了求正弦型函数表达式和求三角函数值，解题关键是掌握辅助角公式和正弦函数周期计算公式，及其解三角函数方程的解法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题． 31．求下列各式的值.（1）cos 20cos 40cos80︒︒︒； （24cos80︒︒+. 【答案】（1）18（2）1 【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简即可；（2）先切化弦，再利用两角差的正弦公式化简即可. 【解析】解：（1）原式1sin160sin 20cos20cos40cos8018sin 20sin 208︒︒===；4sin10︒+=（2）原式()2sin 30102sin 20cos10cos10︒︒︒︒︒︒︒+-+== cos10cos10︒︒= 1=【小结】本题主要考查了三角函数的化简求值，涉及了二倍角的正弦公式以及两角差的正弦公式，属于常考题.四、填空题32．sin 65sin 35cos30cos35︒︒︒︒-=__________. 【答案】12【分析】将sin 65变为()sin 3530+然后展开化简.【解析】()sin 35sin35sin 6305sin35cos30cos35cos3co 05s3︒︒︒︒︒︒︒︒︒+--=cos30cos35sin 30sin 3cos sin 3551sin 30cos35302︒︒︒︒=+-==.故答案为：12. 【小结】本题考查正弦两角和公式的运用，考查运用公式化简求值，解答时注意观察角度之间的关系，较简单. 33．设()()cos cos 30x f x x =-，则()()()1259f f f +++=__________．【答案】2 【分析】先求出()(60)x f x f +-=，再计算()()()()()()11259[(159)(2(58))2f f f f f f f +++=+++()()(591)]f f +++即得解.【解析】 由题得()()()cos cos cos 30cos 3060(60)(60)x f x x x x x f -+-=+--+ ()()()()cos cos cos cos cos 30co (60s 30cos 30cos 30)(60)x x x x x x x x =+=+------ ()()()(60)(603cos cos cos cos cos 22cos 30cos 30cos 3)0x x x x x x x x x +++==-=---- ()()()()3cos 3060)3sin(3090)3cos 30cos 30cos 30x x x x x x -+-+====---. 所以()()()()()()11259[(159)(2(58))2f f ff f f f +++=+++()()(591)]f f +++12=⨯= 故答案为：2. 【小结】本题主要考查辅助角公式和诱导公式的应用，考查差角的余弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.34．求值：sin 50sin 30sin10cos50cos30sin10︒+︒︒︒-︒︒=_______【分析】根据506010︒=︒-︒，代入原式利用正余弦的和差角公式求解即可.【解析】()()sin 6010sin 30sin10sin 50sin 30sin10cos50cos30sin10cos 6010cos30sin10︒-︒+︒︒︒+︒︒=︒-︒︒︒-︒-︒︒ sin 60cos10cos60sin10sin 30sin10cos60cos10sin 60sin10cos30sin10︒︒-︒︒+︒︒=︒︒+︒︒-︒︒ sin 60cos10tan 60cos60cos10︒︒==︒=︒︒【小结】本题主要考查了非特殊角的三角函数化简与求值，需要根据所给的角度与特殊角的关系，并利用三角恒等变换进行求解.属于中档题.。