高中数学第一章直线多边形圆1_2圆与直线1_2_2圆的切线的判定和性质课后作业北师大版选修4_1

1.2．1 圆周角定理课标解读1.掌握圆周角定理，圆周角定理的两个推论．2．会用圆周角定理及其推论解决与圆心角、圆周角有关的问题.1．圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．2．圆周角定理的两个推论推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弧是半圆．1．通过圆周角定理及其推论判断：“相等的圆周角所对的弧相等”是否正确．【提示】不正确．“相等的圆周角所对的弧相等”是在“同圆或等圆中”这一大前提下成立的，如图．若AB∥DG，则∠BAC＝∠EDF，但.2．圆的一条弦所对的圆周角都相等吗？【提示】不一定相等．一般有两种情况：相等或互补．弦所对的优弧与所对劣弧所成的圆周角互补，所对同一条弧上的圆周角都相等，直径所对的圆周角既相等又互补．与圆周角定理相关的证明如图1－2－1，已知：△ABC内接于⊙O，D、E在BC边上，且BD＝CE，∠1＝∠2.图1－2－1求证：AB＝AC.【思路探究】证明此题可先添加辅助线，再由圆周角∠1＝∠2得到其所对弧相等．进而构造等弦、等弧的条件．【自主解答】延长AD、AE，分别交⊙O于F、G，连接BF、CG，∵∠1＝∠2，∴BF＝CG，∴BF＝CG，BG＝CF，∴∠FBC＝∠GCE.又∵BD＝CE，∴△BFD≌△CGE，∴∠F＝∠G，AB＝AC，∴AB＝AC.1．解答本题时利用∠1＝∠2，添加辅助线，构造等弧是解题的关键．2．利用圆周角定理证明等量关系是一类重要的数学问题，在解此类问题时，主要是分析圆周角、圆心角、弧、弦之间的等量关系，有时，需添加辅助线构造等弧、等角、等弦的条件．如图1－2－2，△ABC内接于⊙O，高AD、BE相交于H，AD的延长线交⊙O于F，求证：BF＝BH.图1－2－2【证明】∵BE⊥AC，AD⊥BC，∴∠AHE＝∠C.∵∠AHE＝∠BHF，∠F＝∠C，∴∠BHF＝∠F.∴BF＝BH.直径所对的圆周角图1－2－3如图1－2－3所示，AB是半圆的直径，AC为弦，且AC∶BC＝4∶3，AB＝10 cm，OD⊥AC于D.求四边形OBCD的面积．【思路探究】由AB是半圆的直径知∠C＝90°，由条件求出AC，BC，四边形OBCD面积可求．【自主解答】∵AB是半圆的直径，∴∠C＝90°.∵AC∶BC＝4∶3，∴可设AC＝4x，BC＝3x.又∵AB＝10，∴16x2＋9x2＝100，∴x＝2，∴AC＝8 cm，BC＝6 cm.又∵OD⊥AC，∴OD∥BC，∴AD＝4 cm，OD＝3 cm.∴S四边形OBCD＝S△ABC－S△AOD＝12×6×8－12×3×4＝24－6＝18(cm2)．1．解答本题时利用AC∶BC＝4∶3，得到AC与BC的关系，然后根据勾股定理可求出AC 与BC的长度．2．在圆中，直径是一条特殊的弦，其所对的圆周角是直角，所对的弧是半圆，利用此性质既可以计算角大小、线段长度又可以证明线线垂直、平行等位置关系，还可以证明比例式相等．图1－2－4如图1－2－4，AB 是⊙O 的直径，AB ＝2 cm ，点C 在圆周上，且∠BAC ＝30°，∠ABD ＝120°，CD ⊥BD 于D .求BD 的长．【解】 如图，连接BC ， ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°.∵∠A ＝30°，AB ＝2 cm ， ∴BC ＝AB2＝1(cm)．∵∠ABD ＝120°，∴∠DBC ＝120°－60°＝60°. ∵CD ⊥BD ，∴∠BCD ＝90°－60°＝30°，∴BD ＝BC 2＝12＝0.5(cm)．与圆周角定理有关的计算问题图1－2－5已知：如图1－2－5，△ABC 内接于⊙O ，，点D 是上一点，AD 交BC 于E 点，AD ＝6 cm ，BD ＝5 cm ，CD ＝3 cm ， 求DE 的长．【思路探究】 解答本题可先观察图形，AD ，BD ，CD 及未知边DE ，分别在△ABD 与△CED 中，再证明△ABD ∽△CED ，利用相似三角形的性质求得DE 的长．【自主解答】∵，∴∠ADB＝∠CDE，又∵，∴∠BAD＝∠ECD，∴△ABD∽△CED，∴ADCD＝BDDE，即63＝5DE，∴DE＝2.5(cm)．1．解答本题时寻找已知和未知的关系，从而确定△ABD与△CED的相似关系，是解答本题的关键．2．和圆周角定理有关的线段、角的计算，不仅可以通过计算弧、圆心角、圆周角的度数来求相关的角、线段，有时还可以通过比例线段，相似三角形来计算．图1－2－6(2011·湖南高考)如图1－2－6，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC＝4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为________．【解析】如图，连接CE、AO、AB.根据A，E是半圆周上的两个三等分点，BC为直径，可得∠CEB＝90°，∠CBE＝30°，∠AOB＝60°.故△AOB 为等边三角形，AD ＝3，OD ＝BD ＝1，∴DF ＝33， ∴AF ＝AD －DF ＝233.【答案】233图1－2－7(教材第12页练习第1题)已知：如图1－2－7，△ABC 内接于⊙O ，AE ⊥BC ，垂足为E ，AD 是⊙O 的直径．求证：AB ·AC ＝AD ·AE .(2012·课标全国卷)如图1－2－8，D ，E 分别为△ABC 边AB ，AC的中点，直线DE 交△ABC 的外接圆于F ，G 两点．若CF ∥AB ，证明：图1－2－8(1)CD ＝BC ； (2)△BCD ∽△GBD .【命题意图】本题考查平面几何中线段的相等以及三角形相似的判定，以及逻辑推理能力．【证明】(1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC.又已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD＝AD.而CF∥AD，连接AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CD＝AF.因为CF∥AB，所以BC＝AF，故CD＝BC.(2)因为FG∥BC，故GB＝CF.由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD，所以∠BGD＝∠BDG.由BC＝CD知∠CBD＝∠CDB，又因为∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，所以△BCD∽△GBD.图1－2－91．如图1－2－9，AB为⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠BAC＝20°，AD＝CD，则∠DAC的度数是( )A．30°B．35°C．45° D．70°【解析】∵∠BAC＝20°，【答案】 B2．在半径等于7 cm的圆内有长为7 3 cm的弦，则此弦所对的圆周角为( )A．60°或120° B．30°或150°C．60° D．120°【解析】如图所示，⊙O 的半径为7 cm ，AB ＝7 3 cm ，过O 作OC ⊥AB 于C ，则AC ＝72 3 cm ，∴sin ∠AOC ＝AC AO ＝32， ∴∠AOC ＝60°， ∴∠AOB ＝120°.又圆的一条弦所对的圆周角相等或互补， 故弦AB 所对的圆周角为60°或120°. 【答案】 A3．△ABC 内接于⊙O ，且＝3∶4∶5，则∠A ＝________，∠B ＝________，∠C ＝________.【解析】 ∵＝3∶4∶5，∴的度数为90°，的度数为120°，的度数为150°，∴∠A ＝60°，∠B ＝75°，∠C ＝45°. 【答案】 60° 75° 45°4．如图1－2－10，A 、B 、C 是⊙O 的圆周上三点，若∠BOC ＝3∠BOA ，则∠CAB 是∠ACB 的________倍．图1－2－10【解析】 ∵∠ACB ＝12∠AOB ，∠CAB ＝12∠BOC ，又∵∠BOC ＝3∠BOA ， ∴∠CAB ＝3∠ACB . 【答案】 3一、选择题图1－2－111．如图1－2－11，已知圆心角∠AOB 的度数为100°，则圆周角∠ACB 的度数是( ) A ．80° B ．100° C ．120° D．130° 【解析】 ∵∠AOB ＝100°， ∴AMB 所对圆心角为260°， ∴∠ACB ＝130°. 【答案】 D2．如图1－2－12，已知AB 是半圆O 的直径，弦AD 、BC 相交于点P ，那么CDAB等于( )图1－2－12A ．sin ∠BPDB ．cos ∠BPDC ．tan ∠BPD D ．以上答案都不对【解析】 连接BD ，由BA 是直径，知△ADB 是直角三角形．根据△CPD ∽△APB ，PD PB ＝CDAB＝cos ∠BPD .【答案】 B图1－2－133．如图1－2－13所示，∠A ＝50°，∠ABC ＝60°，BD 是⊙O 的直径，则∠AEB 等于( ) A ．70° B ．110° C ．90° D ．120°【解析】 由题意知，∠D ＝∠A ＝50°， ∠BCD ＝90°，∴∠CBD ＝90°－50°＝40°. 又∠ACB ＝180°－50°－60°＝70°， ∴∠AEB ＝∠CBD ＋∠ACB ＝40°＋70°＝110°. 【答案】 B4．如图1－2－14，点A 、B 、C 是圆O 上的点，且AB ＝4，∠ACB ＝30°，则圆O 的面积等于( )图1－2－14A ．4π B．8π C ．12π D．16π【解析】连接OA，OB.∵∠ACB＝30°，∴∠AOB＝60°.又∵OA＝OB，∴△AOB为等边三角形．又AB＝4，∴OA＝OB＝4.∴S⊙O＝π·42＝16π.【答案】 D二、填空题5．如图1－2－15所示，AB是⊙O的直径，D是AE的中点，∠ABD＝20°，则∠BCE＝________(答案用数值表示)．图1－2－15【解析】连接AD、DE，∵∠ABD＝20°，∴∠AED＝20°，又D是AE的中点，∴∠DAC＝∠DEA＝20°.又∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DCA＝70°，∴∠BCE ＝70°. 【答案】 70°6．(2013·商丘模拟)如图1－2－16，AB 为⊙O 的直径，弦AC ，BD 交于点P ，若AB ＝3，CD ＝1，则sin ∠APD ＝__________.图1－2－16【解析】 由于AB 为⊙O 的直径，则∠ADP ＝90°， 所以△APD 是直角三角形． 则sin ∠APD ＝AD AP ，cos ∠APD ＝PD AP， 由题意知，∠DCP ＝∠ABP ，∠CDP ＝BAP ， 所以△PCD ∽△PBA .所以PD AP ＝CD AB ，又AB ＝3，CD ＝1，则PD AP ＝13.∴cos ∠APD ＝13.又∵sin 2∠APD ＋cos 2∠APD ＝1，∴sin ∠APD ＝223.【答案】223三、解答题图1－2－177．如图1－2－17，G 是BC 为直径的圆上一点，A 是劣弧BG 的中点，AD ⊥BC ，D 为垂足，连接AC 、BG ，其中BG 交AD 、AC 于点E 、F .求证：BE ＝EF .【证明】 连接AB ，∵BC 为直径， ∴∠BAC ＝90°， ∴∠2＋∠DAC ＝90°.∵∠C＋∠DAC＝90°，∴∠2＝∠C.∵BA＝AG，∴∠1＝∠C，∴∠1＝∠2，∴AE＝BE.又∵∠1＋∠BFA＝90°，∠2＋∠DAF＝90°，∴∠BFA＝∠DAF，∴AE＝EF，∴BE＝EF.8．如图1－2－18，已知△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交⊙O于D，DE∥BA交⊙O于E.求证：AC＝DE.图1－2－18【证明】连接AE、DC.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC.∵AB∥ED，∴∠BAD＝∠ADE，∴∠DAC＝∠ADE.∵EC是公共弧，∴∠EAC＝∠EDC，∴∠DAC＋∠CAE＝∠ADE＋∠EDC，∴∠DAE＝∠ADC，∴AC＝DE.图1－2－199．(2012·江苏高考)如图1－2－19，AB是圆O的直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使BD＝DC，连接AC、AE、DE.求证：∠E＝∠C.【证明】如图，连接OD，因为BD＝DC，O为AB的中点，所以OD∥AC，于是∠ODB＝∠C.因为OB＝OD，所以∠ODB＝∠B.于是∠B＝∠C.因为点A，E，B，D都在圆O上，且D，E为圆O上位于AB异侧的两点，所以∠E和∠B 为同弧所对的圆周角，故∠E＝∠B.所以∠E＝∠C.10．如图所示，已知△ABC 内接于圆，D 为BC 中点，连接AD 交BC 于E . 求证：(1)AE EC ＝BE ED； (2)AB ·AC ＝AE 2＋EB ·EC . 【证明】 (1)连接CD . ∵∠1＝∠3，∠4＝∠5， ∴△ABE ∽△CDE ， ∴AE EC ＝BE ED.(2)连接BD . ∵AE EC ＝BE DE， ∴AE ·ED ＝BE ·EC ， ∴AE 2＋BE ·EC ＝AE 2＋AE ·DE ＝AE (AE ＋DE )＝AE ·AD ① 在△ABD 与△AEC 中， ∵D 为BC 的中点， ∴∠1＝∠2，又∵∠ACE ＝∠ACB ＝∠ADB ， ∴△ABD ∽△AEC ， ∴AB AE ＝AD AC，即AB ·AC ＝AD ·AE ②由①②知：AB ·AC ＝AE 2＋EB ·EC .。

《圆的切线的判定和性质》教学设计与反思教学目标1、记住圆的切线的判定定理，并能判定一条直线是否是圆的切线；2、记住切线的性质定理；3、会运用切线的判定定理和性质定理解决问题。

重点：切线的判定定理和切线判定的方法难点：切线判定定理中所阐述的由位置来判定直线是圆的切线的两大要素:一是经过半径外端；二是直线垂直于这条半径。

学习流程一、揭示目标二、自学指导1、复习下列内容(1)、直线与圆的位置关系有几种？分别是那些关系？直线与圆的位置关系的判断方法有哪几种?(2)、直线与圆相切有哪几种判断方法？(3)、思考作图：已知：点A为⊙o上的一点，如和过点A作⊙o的切线呢？交流总结：根据直线要想与圆相切必须d=r,所以连接OA过A点作OA的垂线2、知识导入：______如图：直线BC和⊙O的位置关系是____，直线BC叫⊙O的_____，公共点Ａ叫思考：如图所示，它的数学语言该怎样表示呢？3、思考探索；(1)、直线l垂直于半径OA，直线l是⊙O的切线吗？(2)、直线l经过半径OA的外端A，直线l是⊙O的切线吗？小结：判定一条直线是圆的切线的三种方法（1)、利用定义：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。

(２)、利用定理：与圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线。

(３)、利用切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

4、例题精析：例1、（教材103页例1）如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB,CA=CB,求证:直线AB是⊙O的切线。

oA BC练习1： AB是⊙O的直径,TB=AB, ∠TAB=45°直线BT是⊙O的切线吗？为什么？练习2、如图已知直线AB过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB求证：直线ＡＢ是⊙O的切线例2.如图：点O为∠ABC平分线上一点，OD⊥AB于D，以O为圆心，OD为半径作圆。

求证：BC是⊙O 的切线。

练习3、如图，⊙O的半径为8厘米，圆内的弦AB为83厘米，以O为圆心，4厘米为半径作小圆，求证：小圆与直线ＡＢ相切。

圆的切线的判定(教案)章节一：圆的切线的定义与性质1.1 教学目标让学生了解圆的切线的定义。

让学生掌握圆的切线的性质。

1.2 教学内容圆的切线的定义。

圆的切线的性质。

1.3 教学步骤1.3.1 引入利用实物或图片展示圆和切线，引导学生思考圆的切线的定义。

1.3.2 讲解讲解圆的切线的定义，强调圆的切线与圆的接触点是切点。

讲解圆的切线的性质，如切线与半径垂直，切线与圆的切点处的切线斜率为0等。

1.3.3 练习提供一些图形，让学生判断哪些是圆的切线，并解释原因。

1.4 教学评价通过学生的练习和提问，评估学生对圆的切线的定义和性质的理解程度。

章节二：圆的切线的判定定理2.1 教学目标让学生了解圆的切线的判定定理。

让学生能够运用判定定理判断一条直线是否为圆的切线。

2.2 教学内容圆的切线的判定定理。

判定定理的应用。

2.3 教学步骤2.3.1 引入回顾上一章节的圆的切线的性质，引导学生思考如何判断一条直线是否为圆的切线。

2.3.2 讲解讲解圆的切线的判定定理，包括定理的表述和证明过程。

讲解判定定理的应用，如何通过已知条件判断一条直线是否为圆的切线。

2.3.3 练习提供一些题目，让学生运用判定定理判断直线是否为圆的切线，并提供解题思路和步骤。

2.4 教学评价通过学生的练习和提问，评估学生对圆的切线的判定定理的理解程度和应用能力。

章节三：圆的切线方程的求法3.1 教学目标让学生了解圆的切线方程的求法。

让学生能够运用求法求出圆的切线方程。

3.2 教学内容圆的切线方程的求法。

切线方程的求法应用。

3.3 教学步骤3.3.1 引入回顾上一章节的内容，引导学生思考如何求出圆的切线方程。

3.3.2 讲解讲解圆的切线方程的求法，包括切线方程的一般形式和求法步骤。

讲解切线方程的求法应用，如何根据已知条件求出圆的切线方程。

3.3.3 练习提供一些题目，让学生运用求法求出圆的切线方程，并提供解题思路和步骤。

3.4 教学评价通过学生的练习和提问，评估学生对圆的切线方程的求法的理解程度和应用能力。

1.2.2 圆的切线的判定和性质课后作业提升1下列说法:①与圆有公共点的直线是圆的切线;②垂直于圆的半径的直线是圆的切线;③与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线;④过直径的端点,且垂直于此直径的直线是圆的切线.其中正确的是( ).A.①②B.②③C.③④D.①④解析:与圆有公共点的直线,可能是切线,也可能是割线,则①不正确;②不符合切线判定定理的条件,缺少“过半径外端”这一条件,则②不正确;很明显③④正确.答案:C2如图,A,B是☉O上的两点,AC为☉O的切线,∠OBA=75°,☉O的半径为1,则OC=( ).A. B.C. D.解析:∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA=75°.∴∠AOB=180°-2∠OBA=30°.∵AC为☉O的切线,∴OA⊥AC.又∵OA=1,∴在Rt△OAC中,OC=.答案:C3如图,PB与☉O相切于点B,OP交☉O于点A,BC⊥OP于点C,OA=3,OP=4,则AC=( ).A. B.C. D.不确定解析:如图,连接OB,则OB⊥PB,OB=OA=3,又BC⊥OP,∴在Rt△OBP中,有OB2=OC·OP.∴OC=.∴AC=OA-OC=3-.答案:A4如图所示,AC与☉O相切于点D,AO的延长线交☉O于点B,且BC与☉O相切于点B,若AD=DC,则=( ).A.2B.1C.D.解析:如图所示,连接OD,OC,∵AC,BC是☉O的切线,∴OD⊥AC,OB⊥BC.又AD=DC,∴△OAC是等腰三角形.∴OA=OC.∴∠A=∠OCD.又OC=OC,OD=OB,∴△ODC≌△OBC.∴∠OCD=∠OCB.∴∠BCA=2∠A.则∠A+∠BCA=3∠A=90°.解得∠A=30°.∴=2.答案:A5如图所示,已知AB为半圆O的直径,直线MN切半圆于点C,AD⊥MN于点D,BE⊥MN于点E,BE交半圆于点F,AD=3cm,BE=7cm,则☉O的半径为cm.解析:如图,连接OC.∵MN切半圆于点C,∴OC⊥MN.∵AD⊥MN,BE⊥MN,∴AD∥OC∥BE.∵OA=OB,∴CD=CE.∴OC=(AD+BE)=×(3+7)=5(cm).∴☉O的半径为5cm.答案:56如图,☉O的直径AB=8,C为圆周上一点,BC=4,过点C作☉O的切线l,过点A作直线l的垂线AD,D为垂足,AD与☉O交于点E,则线段AE的长为.解析:如图所示,连接OC,连接BE交OC于点F,则OC⊥l,BE⊥AD.又AD⊥l,所以AD∥OC,OC⊥BE.又直径AB=8,则OB=OC=4.又BC=4,则△OBC是等边三角形.所以F是OC的中点.所以AE=2OF=OC=4.答案:47如图所示,AB是☉O的直径,D是AB延长线上的一点,PD是☉O的切线,P是切点,∠D=30°.求证:PA=PD.分析:欲证PA=PD,只要证明∠PAB=∠D=30°即可.证明:如图,连接OP,∵PD是☉O的切线,P为切点,∴PO⊥PD.∵∠D=30°,∴∠POD=60°.又∵OA=OP,∴∠PAB=∠APO.∴∠PAB=30°.可得∠PAB=∠D.∴PA=PD.8如图,已知两个同心圆O,大圆的直径AB交小圆于C,D两点,大圆的弦EF切小圆于点C,ED 交小圆于点G,若小圆的半径为2,EF=4,试求EG的长.解:如图,连接GC.∵CD为小圆的直径,∴GC⊥ED.∵EF切小圆于点C,∴EF⊥OC.在大圆中,EC=EF=×4=2.在Rt△DEC中,ED===2.∵EF⊥DC,GC⊥ED,∴由直角三角形的射影定理可知,EC2=EG·ED.∴EG=.备课资源参考备选习题1.在Rt△ABC中,AC⊥CB,AB=12,AC=6,以C为圆心,作与AB相切的圆C,则☉C的半径r=.解析:如图,设切点为D,连接CD,则CD⊥AB,CD=r.∵AC⊥CB,∴CD2=AD·BD.又AB=12,AC=6,AC2=AD·AB,∴AD==3.∴BD=AB-AD=12-3=9.∴CD2=3×9=27.解得CD=3.答案:32.如图,AB是☉O的直径,AC是弦,∠BAC的平分线AD交☉O于点D,DE⊥AC,且DE交AC的延长线于点E,OE交AD于点F.若,求的值.分析:由于之间的联系不密切,所以考虑用中间量代换,作辅助线OD,则AE∥OD,转化为求的值.解:如图所示,连接OD,则OA=OD,∴∠ODA=∠OAD.又AD平分∠BAC,∴∠OAD=∠DAC.∴∠ODA=∠DAC.∴OD∥AE.∴△AEF∽△DOF.∴.连接BC,过点D作DH⊥AB于点H,连接BD.则有∠DOH=2∠BAD=∠CAB.∵AB是☉O的直径,∴AC⊥BC.∴在Rt△ABC中,cos∠CAB=.∴cos∠DOH=.设DO=5x,则OH=3x,DH=4x,AB=10x,∴AH=AO+OH=OD+OH=8x,AD=4x.又△AED∽△ADB,∴AD2=AE·AB.∴AE==8x.∴,于是.。

庖丁巧解牛知识·巧学一、圆的切线的性质定理及推论1.圆的切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.此定理强调半径必须经过切点，否则结论不成立.由于过已知点有且只有一条直线与已知直线垂直，所以经过圆心且垂直于切线的直线一定过切点；反过来，过切点且垂直于切线的直线一定经过圆心，由此可以得到两个推论.2.推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.知识拓展分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系，可得出如下结论：如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可推出第三个:(1)垂直于切线；(2)过切点；(3)过圆心.于是在利用切线性质时，过切点的半径是常作的辅助线.误区警示圆的切线还有两条性质应当注意，一是切线和圆只有一个公共点；二是切线和圆心的距离等于圆的半径.在许多实际问题中，我们也利用它们来解决.二、切线的判定定理1.切线的判定定理是经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.在定理中要分清定理的题设和结论，强调“经过半径外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线，如图2-3-1的例子就不同时满足两个条件，所以都不是圆的切线.图2-3-12.用判定定理证明一直线与圆相切时，必须满足两个条件：①过半径的外端；②垂直于这条半径.方法归纳在解决相关问题时，若已知要证的切线经过圆上一点，则需把这点与圆心相连，证这直线与这半径垂直；否则需先向这直线作垂线，再证这垂线段是圆的半径.问题·探究问题判断一条直线是否是圆的切线，通常有哪些方法？一般如何选取合适的方法？思路:从圆与直线公共点的个数、直线到圆心的距离、直线与半径的位置思考.探究:判定切线通常有三种方法：（1）和圆有唯一一个公共点的直线是圆的切线；（2）和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；（3）过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线. “过半径外端，垂直于这条半径的直线是圆的切线”只是把“到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线”的定理具体化，在使用时要根据题目的具体要求选取合适的方法，如果涉及到数值计算或距离问题，通常利用（2），如果涉及到线段的位置关系等，通常选取（3）.典题·热题例1如图2-3-2所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，且AD+BC=AB，AB为⊙O的直径，图2-3-2求证：⊙O 与CD 相切.思路分析：欲证⊙O 与CD 相切,只需证明圆心O 到直线CD 的距离等于⊙O 的半径即可.证明：过O 点作OE ⊥CD ，垂足为E ，∴AD ∥OE ∥BC.∵O 为AB 的中点，∴E 为CD 的中点.∴OE=21(AD+BC). 又∵AD+BC=AB ， ∴OE=21AB=OA,即OE 是⊙O 的半径. ∴⊙O 与CD 相切.方法归纳 在不知道圆与直线是否有公共点的情况下,通常过圆心作直线的垂线段，然后证垂线段的长等于半径，即“作垂直，证半径”，这是证直线与圆相切的常用方法之一.例2如图2-3-3所示，已知AB 为半圆O 的直径，直线MN 切半圆于点C ，AD ⊥MN 于点D ，BE ⊥MN 于点E ，BE 交半圆于点F ，AD=3 cm ，BE=7 cm.图2-3-3（1）求⊙O 的半径；（2）求线段DE 的长.思路分析：（1）连结OC ，证C 为DE 的中点.在解有关圆的切线问题时，常常需要作出过切点的半径.对于（2）则连结AF ，证四边形ADEF 为矩形，从而得到AD=EF ，DE=AF ，然后在Rt △ABF 中运用勾股定理,求AF 的长.解：（1）连结OC.∵MN 切半圆于点C ，∴OC ⊥MN.∵AD ⊥MN ，BE ⊥MN ，∴AD ∥OC ∥BE.∵OA=OB ，∴CD=CE.∴OC=21（AD+BE ）=5 cm. ∴⊙O 的半径为5 cm.（2）连结AF.∵AB 为半圆O 的直径，∴∠AFB=90°.∴∠AFE=90°.又∠ADE=∠DEF=90°，∴四边形ADEF 为矩形.∴DE=AF ，AD=EF=3 cm.在Rt △ABF 中，BF=BE-EF=4 cm ，AB=2OC=10 cm.由勾股定理，得AF=2124102222=-=-BF AB ，∴DE=212 cm.深化升华 在梯形当中，最常见的辅助线是高，通过作高，可以构造出直角三角形，然后在直角三角形中进行相关计算；当题目中涉及圆的切线问题时，常常需要作出过切点的半径，通过它可以构建有用的垂直关系.例3如图2-3-4所示，AB 为⊙O 的直径，BC 、CD 为⊙O 的切线，B 、D 为切点，图2-3-4（1）求证：AD ∥OC ；（2）若⊙O 的半径为1，求AD·OC 的值.思路分析：对于（1），连结OD 、BD ，证AD ⊥BD ，OC ⊥BD ；对于（2），连结BD ，证△ABD ∽△OCB 即可.（1）证明：连结OD 、BD.∵BC 、CD 是⊙O 的切线，∴OB ⊥BC ，OD ⊥CD.∴∠OBC=∠ODC=90°.又∵OB=OD ，OC=OC ，∴Rt △OBC ≌Rt △ODC.∴BC=CD.∵OB=OD ，∴OC ⊥BD.又∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB=90°,即AD ⊥BD.∴AD ∥OC.（2）解：∵AD ∥OC ，∴∠A=∠BOC.又∠ADB=∠OBC=90°，∴△ABD ∽△OCB. ∴OBAD OC AB =. ∴AD·OC=AB·OB=2×1=2.例4如图2-3-5,已知两个同心圆O,大圆的直径AB 交小圆于C 、D ，大圆的弦EF 切小圆于C ，ED 交小圆于G ，若小圆的半径为2，EF=34，试求EG 的长.图2-3-5思路分析：由EF 和小圆切于点C ，易知EF ⊥CD.因为CD 为小圆的直径，联想“直径上的圆周角为90°”，考虑连结GC ，则GC ⊥ED.由已知条件容易求出CD 、EC 的长.在Rt △ECD 中利用勾股定理和射影定理不难求出EG 的长.解：连结GC ，则GC ⊥ED.∵EF 和小圆切于C ，∴EF ⊥CD ，EC=21EF=32. 又CD=4，∴在Rt △ECD 中，有ED=724)32(2222=+=+CD EC .∵EC 2=EG·ED ， ∴EG=77672)32(22==ED EC。

1.2．2 圆的切线的判定和性质1．直线与圆的位置关系当直线与圆没有公共点时，称为直线与圆相离；当直线与圆_有唯一公共点时，称为直线和圆相切；当直线与圆有两个公共点时，称为直线和圆相交．2．切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．3．切线的性质定理(1)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．(2)推论1：经过圆心且垂直于切线的直线经过切点．(3)推论2：经过切点且垂直于切线的直线经过圆心．4．切线长定理过圆外一点作圆的两条切线，这两条切线长相等．1．证明直线和圆相切有哪些方法？【提示】通常有三种方法：(1)和圆有唯一一个公共点的直线是圆的切线；(2)到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；(3)过半径外端且和该半径垂直的直线是圆的切线．“过半径外端，垂直于这条半径的直线是圆的切线”只是把“到圆心距离等于半径的直线是圆的切线”的定理具体化，在使用时要根据题目的具体要求选取合适的方法，如果涉及到数值计算或距离问题，通常利用(2)，如果涉及到线段的位置关系，通常选取(3)．2．在学习圆的切线性质定理时需注意什么问题？【提示】(1)分析圆的切线的性质定理及两个推论的条件和结论间的关系，可以得出如下结论：如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可以推出第三个：①垂直于切线；②过切点；③过圆心．于是在利用切线性质时，通常作的辅助线是过切点的半径．(2)圆的切线还有两条性质应当注意：①切线和圆只有一个公共点；②切线和圆心的距离等于圆的半径．在许多实际问题中，我们也利用它们来解决．3．连接圆的两条平行切线的切点的线段是圆的直径吗？【提示】是．如图，AB、CD分别切⊙O于E、F，连接EO并延长交CD于F′.∵AB是⊙O的切线，∴OE⊥AB.∵AB∥CD，∴OF′⊥CD.∴F′为切点，∴F′与F重合，即EF是⊙O的直径．已知：AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，过点A作AD∥OC，交⊙O于点D.求证：DC是⊙O的切线．【思路探究】利用圆的切线的判定定理进行切线的证明，关键是找出定理的两个条件：①过半径的外端；②该直线与某一条半径所在的直线垂直．【自主解答】如图，连接OD，设∠OAD＝∠1，∠ODA＝∠2，∠BOC＝∠3，∠COD＝∠4.∵OA＝OD，∴∠1＝∠2.∵AD∥OC，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4.∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4.又∵OB＝OD，∠3＝∠4，OC＝OC.∴△OBC≌△ODC.∴∠OBC＝∠ODC.∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC＝90°.∴∠ODC＝90°，即OD⊥CD.∴DC是⊙O的切线．1．在证明OD⊥CD时，借助了三角形全等，则对应角相等．2．判断一条直线是圆的切线时，常用辅助线的作法：(1)如果已知这条直线与圆有公共点，则连接圆心与这个公共点，设法证明连接所得到的半径与这条直线垂直，简记为“连半径，证垂直”；(2)若题目未说明这条直线与圆有公共点，则过圆心作这条直线的垂线，得垂线段，再证明这条垂线段的长等于半径，简记“作垂直，证半径”．图1－2－20如图1－2－20，已知AC是⊙O的直径，OE⊥AD.OF⊥AB，E、F为垂足，OE＝OF.AC是AD和AB的比例中项．求证：BC是⊙O的切线．【证明】∵OE⊥AD，OF⊥AB，OE＝OF，∴∠1＝∠2.又∵AC2＝AD·AB，∴ACAB＝ADAC，∴△ACD∽△ABC，∴∠ACB＝∠ADC.∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，∴BC是⊙O的切线．图1－2－21如图1－2－21所示，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB，AD⊥CD.(1)求证：OC∥AD；(2)若AD＝2，AC＝5，求AB的长．【思路探究】(1)要证OC∥AD，只需证明OC⊥CD.(2)利用△ADC∽△ACB可求得．【自主解答】 (1)证明：如图所示，连接BC . ∵CD 为⊙O 的切线， ∴OC ⊥CD . 又AD ⊥CD ， ∴OC ∥AD .(2)∵AC 平分∠DAB ， ∴∠DAC ＝∠CAB . ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°.又AD ⊥CD ，∴∠ADC ＝90°， ∴△ADC ∽△ACB .∴AD AC ＝AC AB，∴AC 2＝AD ·AB . ∵AD ＝2，AC ＝5， ∴AB ＝52.1．本例中第(2)小题是通过三角形相似来寻找AD 、AC 与AB 之间关系的．2．利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算，有时需添加辅助线，其中连接圆心和切点的半径是常用辅助线，从而可以构造直角三角形，利用直角三角形边角关系求解，或利用勾股定理求解，或利用三角形相似求解等．如图1－2－22，圆O 1与圆O 2内切于点A ，其半径分别为r 1与r 2(r 1＞r 2)，圆O 1的弦AB 交圆O 2于点C (O 1不在AB 上)，求证：AB ∶AC 为定值．图1－2－22【证明】 如图，连接AO 1并延长，分别交两圆于点E 和点D .连接BD ，CE ，因为圆O 1与圆O 2内切于点A ，所以点O 2在AD 上，故AD ，AE 分别为圆O 1，圆O 2的直径．从而∠ABD ＝∠ACE ＝π2.所以BD ∥CE ，于是AB AC ＝AD AE ＝2r 12r 2＝r 1r 2.所以AB ∶AC 为定值.图1－2－23如图1－2－23所示，正方形ABCD 的边长为4 cm ，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD 内作半圆，再过A 点作半圆的切线，与半圆相切于F 点，与DC 相交于E 点．求△ADE 的面积．【思路探究】 利用切线长定理建立长度关系求解． 【自主解答】 设DE ＝x ，则CE ＝4－x . ∵CD ，AE ，AB 都与⊙O 相切， ∴EF ＝CE ＝4－x .AF ＝AB ＝4. ∴AE ＝AF ＋EF ＝8－x .在Rt △ADE 中，AE 2＝AD 2＋DE 2， 即(8－x )2＝42＋x 2，解得x ＝3. ∴S △ADE ＝12AD ·DE＝12×4×3＝6(cm 2)．1．解答本题时应注意AF ＝AB ，EF ＝EC ，且AE 2＝AD 2＋DE 2. 2．当过圆外一点作圆的切线时，常常用到切线长定理．图1－2－24如图1－2－24所示，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B，CD切⊙O于E，交PA，PB于C，D，OP＝10，⊙O的半径为6，求△PCD的周长．【解】连接OA，则OA⊥PA且OA＝6，∴PA2＝OP2－OA2＝102－62＝64，∴PA＝8，由切线长定理知PA＝PB，CE＝CA，DE＝DB，∴CD＝CE＋DE＝CA＋DB，∴PC＋PD＋CD＝PA＋PB＝2PA＝16，即△PCD的周长为16.图1－2－25如图1－2－25所示，已知等边△ABC，以边BC为直径的半圆与边AB，AC分别交于点D，点E.过点D作DF⊥AC，垂足为点F.(1)判断DF与⊙O的位置关系，并证明你的结论；(2)过点F作FH⊥BC，垂足为点H.若等边△ABC的边长为4，求FH的长(结果保留根号)．【思路探究】(1)由已知∠DOB＝60°，可得∠ODF＝∠AFD＝90°，可得DF是⊙O的切线．(2)先求FC，利用sin∠FCH可求FH.【自主解答】(1)DF与⊙O相切．连接OD.∵OB＝OD，∠ABC＝60°，∴△BOD是等边三角形．∴∠DOB＝60°.∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°.∴∠ACB＝∠DOB，则OD∥AC，∴∠ODF＝∠AFD＝90°，∴DF是⊙O的切线．(2)∵OD∥AC且O为BC的中点，∴D为AB的中点，∴AD＝BD＝2.又∠ADF＝30°，∴AF ＝1， ∴FC ＝AC －AF ＝3. ∵FH ⊥BC ， ∴∠FHC ＝90°.在Rt △FHC 中，sin ∠FCH ＝FHFC， ∴FH ＝FC ·sin 60°＝332.即FH 的长为332.1．在解答本例中第(2)小题时，利用了直角三角形中的锐角的正弦值求解．2．对圆的切线的性质与判定的综合考查往往是热点，其解答思路常常是先证明某直线是圆的切线，再利用切线的性质来求解相关结果．图1－2－26已知：如图1－2－26，A 是⊙O 上一点，半径OC 的延长线与过点A 的直线交于B 点，OC ＝BC ，AC ＝12OB .(1)求证：AB 为⊙O 的切线；(2)若∠ACD ＝45°，OC ＝2，求弦CD 的长． 【解】 (1)如图，连接OA ，∵OC ＝BC ，AC ＝12OB ，∴OC ＝BC ＝CA ＝OA ， ∴△ACO 为正三角形， ∴∠O ＝60°，∴∠B ＝30°，∴∠OAB ＝90°， ∴AB 为⊙O 的切线． (2)作AE ⊥CD 于点E ， ∵∠O ＝60°，∴∠D ＝30°. 又∵∠ACD ＝45°，AC ＝OC ＝2， ∴在Rt △ACE 中，CE ＝AE ＝2， 在Rt △ADE 中，∠D ＝30°， ∴AD ＝22，∴DE ＝6， ∴CD ＝DE ＋CE ＝6＋ 2.(教材第14页练习第3题)已知，如图1－2－27，AB 是⊙O 的直径，AD 是⊙O 的弦，BC 切⊙O 于点B ，OC ∥AD ，求证：CD 是⊙O 的切线．图1－2－27如图1－2－28，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF交⊙O于点E，过E作直线与AF垂直，交AF的延长线于点D，且交AB的延长线于点C.求证：CD是⊙O的切线．图1－2－28【命题意图】本题主要考查切线的判定定理等有关知识．【证明】如图，连接OE.∵OA＝OE，∴∠1＝∠2.又∵AE平分∠BAF，∴∠2＝∠3.∴∠1＝∠3，∴OE∥AD.∵AD⊥CD，∴OE⊥CD.∴CD与⊙O相切于点E.图1－2－291．如图1－2－29，AP 为圆O 的切线，P 为切点，OA 交圆O 于点B ，若∠A ＝40°，则∠APB 等于( )A ．25°B ．20°C ．40°D ．35°【解析】 如图，连接OP ， ∵AP 为圆O 的切线， ∴∠OPA ＝90°.∵∠A ＝40°，∴∠AOP ＝90°－40°＝50°. ∵OP ＝OB ，∴∠OPB ＝12×(180°－50°)＝65°.∴∠APB ＝∠OPA －∠OPB ＝90°－65°＝25°. 【答案】 A图1－2－302．如图1－2－30，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，AC 交⊙O 于D ，AB ＝6，BC ＝8，则BD 等于( )A ．4B ．4.8C ．5.2D ．6【解析】 ∵BC 是⊙O 的切线，AB 是⊙O 的直径， ∴AB ⊥BC ，∵AB ＝6，BC ＝8，∴AC ＝10， ∵AB 是⊙O 的直径，∴BD ⊥AC ， ∴12AB ·BC ＝12AC ·BD ， ∴BD ＝AB ·BC AC ＝6×810＝4.8. 【答案】 B3．如图1－2－31，AB 是半圆O 的直径，∠BAC ＝30°，BC 为半圆的切线，且BC ＝43，则点O 到AC 的距离OD ＝________.图1－2－31【解析】 ∵BC 为半圆的切线， ∴AB ⊥BC .∵∠BAC ＝30°，BC ＝43， ∴AC ＝83，AB ＝12， ∴OD BC ＝OA AC， ∴OD ＝6×4383＝3.【答案】 3图1－2－324．如图1－2－32，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3 cm ，BC ＝4 cm ，以C 为圆心，r 为半径作圆，若AB 与圆相切，则r ＝________.【解析】 过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ， 在Rt △ABC 中，AB ＝AC 2＋BC 2＝5，∴CD ·AB ＝AC ·BC ， ∴CD ＝AC ·BCAB＝2.4 cm ， ∵AB 与圆相切， ∴r ＝CD ＝2.4 cm.【答案】 2.4 cm一、选择题1．AB 是⊙O 的切线，能确定CD ⊥AB 的条件是( ) A ．O ∈CD B ．CD 过切点 C ．O ∈CD ，且CD 过切点 D ．CD 是⊙O 的直径 【解析】 由切线的性质定理知，选项C 正确． 【答案】 C图1－2－332．如图1－2－33所示，在△ABC 中，BC ＝14 cm ，AC ＝9 cm ，AB ＝13 cm ，内切圆分别和BC ，AC ，AB 切于D ，E ，F ，那么AF ，BD ，CE 分别为( )A ．AF ＝4 cm ，BD ＝9 cm ，CE ＝5 cmB ．AF ＝4 cm ，BD ＝5 cm ，CE ＝9 cmC ．AF ＝5 cm ，BD ＝4 cm ，CE ＝9 cm D ．AF ＝9 cm ，BD ＝4 cm ，CE ＝5 cm【解析】 由题意知AE ＝AF ，CE ＝CD ，BD ＝BF ，且AC ＝9 cm ，BC ＝14 cm ，AB ＝13 cm ，则⎩⎪⎨⎪⎧AF ＋BD ＝13BD ＋CE ＝14CE ＋AF ＝9，解得AF ＝4，BD ＝9，CE ＝5.【答案】 A图1－2－343．(2013·商丘模拟)如图1－2－34所示，⊙O 是正△ABC 的内切圆，切点分别为E 、F 、G ，点P 是弧EG 上的任意一点，则∠EPF 等于( )A ．120° B．90° C ．60° D．30°【解析】 如图所示，连接OE 、OF . ∵OE ⊥AB ，OF ⊥BC ，∴∠BEO ＝∠BFO ＝90°. ∴∠EOF ＋∠ABC ＝180°. ∴∠EOF ＝120°. ∴∠EPF ＝12∠EOF ＝60°.【答案】 C4．如图，在⊙O 中，AB 为直径，AD 为弦，过B 点的切线与AD 的延长线交于C ，若AD ＝DC ，则sin ∠ACO 等于( )A.1010 B.210 C.55 D.24【解析】 连接BD ，作OE ⊥AC 于E . ∵BC 切⊙O 于B ， ∴AB ⊥BC ，∵AB 为直径，∴BD ⊥AC ， ∵AD ＝DC ，∴BA ＝BC ， ∠A ＝45°， 设⊙O 的半径为R ，∴OC ＝BC 2＋OB 2＝4R 2＋R 2＝5R .OE ＝22R ，∴sin ∠ACO ＝OEOC＝22R 5R＝1010. 【答案】 A 二、填空题图1－2－355．如图1－2－35，在半径分别为5 cm 和3 cm 的两个同心圆中，大圆的弦AB 与小圆相切于点C ，则弦AB 的长为________cm.【解析】连接OA 、OC ， ∵AB 是小圆的切线，∴OC ⊥AB ， ∴AC ＝12AB .∵在Rt △AOC 中，AC ＝52－32＝4(cm)，∴AB ＝8 cm. 【答案】 8图1－2－366．如图1－2－36所示，AC 切⊙O 于D ，AO 的延长线交⊙O 于B ，且AB ⊥BC ，若AD ∶AC ＝1∶2，则AO ∶OB ＝________.【解析】 如图所示，连接OD ，则OD ⊥AC .∵AC 是⊙O 的切线，∴OB ＝OD ，OC ＝OC ，∠ODC ＝∠OBC ＝90°.∴△CDO ≌△CBO .∴BC ＝DC .∵AD AC ＝12，∴AD ＝DC . ∴BC ＝12AC .又OB ⊥BC ，∠ABC ＝90°，∴∠A ＝30°. ∴OB ＝OD ＝12AO .∴AO OB ＝21. 【答案】 2∶1 三、解答题图1－2－377．如图1－2－37，AB 是⊙O 的直径，∠BAC ＝30°，M 是OA 上一点，过M 作AB 的垂线交AC 于点N ，交BC 的延长线于点E ，直线CF 交EN 于点F ，且∠ECF ＝∠E .求证：CF 是⊙O 的切线．【证明】 连接OC ，∵AB 是⊙O 的直径． ∴∠ACB ＝90°， ∵∠BAC ＝30°， ∴∠ABC ＝60°，又∵OB ＝OC ，∴∠OCB ＝∠OBC ＝60°. 在Rt △EMB 中， ∵∠E ＋∠MBE ＝90°，∴∠E ＝30°.∵∠E ＝∠ECF ，∴∠ECF ＝30°， ∴∠ECF ＋∠OCB ＝90°，又∵∠ECF ＋∠OCB ＋∠OCF ＝180°， ∴∠OCF ＝90°，∴CF 为⊙O 的切线．8．如图1－2－38，AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，弦CD ⊥AB 于E ，∠POC ＝∠PCE .图1－2－38(1)求证：PC 是⊙O 的切线；(2)若OE ∶EA ＝1∶2，PA ＝6，求⊙O 半径． 【解】 (1)证明：在△OCP 与△CEP 中， ∵∠POC ＝∠PCE ，∠OPC ＝∠CPE ， ∴∠OCP ＝∠CEP .∵CD ⊥AB ，∴∠CEP ＝90°，∴∠OCP ＝90°. 又C 点在圆上， ∴PC 是⊙O 的切线． (2)法一 设OE ＝x ， 则EA ＝2x ，OC ＝OA ＝3x .∵∠COE ＝∠AOC ，∠OEC ＝∠OCP ＝90°， ∴△OCE ∽△OPC ，∴OC OE ＝OPOC. 即(3x )2＝x (3x ＋6)，∴x ＝1， ∴OA ＝3x ＝3，即圆的半径为3. 法二 由(1)知PC 是⊙O 的切线， ∴∠OCP ＝90°.又∵CD ⊥OP ，由射影定理知OC 2＝OE ·OP ，以下同法一． 9．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3 cm ，BC ＝4 cm. (1)求△ABC 内切圆的半径；(2)若移动圆心O 的位置，使⊙O 保持与△ABC 的边AC 和边BC 都相切，求r 的取值范围．【解】 (1)如图所示，⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，切点分别为D ，E ，F .连接OD ，OE ，OF ，OB ，则OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，OF ⊥AB .在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3 cm ，BC ＝4 cm ，∴AB ＝5 cm.∵OE ＝OD ，∠C ＝90°，∴四边形CEOD 是正方形．∴CD ＝DO .∵OB ＝OB ，OD ＝OF ，∠ODB ＝∠OFB ＝90°，∴△ODB ≌△OFB .∴BD ＝BF .同理可得，AE ＝AF .∴AC ＋BC －AB ＝AE ＋EC ＋BD ＋DC －AF －BF ＝EC ＋DC ＝2OD .∴内切圆的半径r ＝OD ＝AC ＋BC －AB 2＝3＋4－52＝1 cm.(2)如图所示，动⊙O 与AC ，BC 相切的最大的圆与AC ，BC 的切点分别是A ，D ，连接OA ，OD ，则四边形AODC 是正方形，此时应有OA ＝AC ＝3 cm ，∴动圆的半径r 的范围为(0,3]．10.如图，BE是⊙O的直径，点A在EB的延长线上，弦PD⊥BE，垂足为C，连接OD，且∠AOD＝∠APC.求证：AP是⊙O的切线．【证明】连接OP.∵PD⊥BE，∴∠OCD＝90°.∴∠ODC＋∠COD＝90°.∵OD＝OP，∴∠ODC＝∠OPC.∵∠AOD＝∠APC，∴∠OPC＋∠APC＝90°.∴∠APO＝90°，即AP⊥PO.∴AP是⊙O的切线．。

1.2.5 相交弦定理图1－2－81相交弦定理(1)文字叙述圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(2)图形表示如图1－2－81，弦AB与CD相交于圆内一点P，则有：PA·PB＝PC·PD.1．相交弦定理、切割线定理、切线长定理之间有什么联系？【提示】相交弦定理中两弦的交点在圆内，若两弦的交点从圆内移到圆外便得到切割线定理的推论．若将一条割线变为圆的切线便可得到切割线定理，最后两条割线都变成切线便得到切线长定理，这些变化充分体现了运动变化的思想．2．应用相交弦定理应注意什么？【提示】相交弦定理中要求是两条相交弦，对于多条弦相交且不交于同一点时，要两条两条的利用定理方可．如图1－2－82，AC 为⊙O 的直径，弦BD ⊥AC 于点P ，PC ＝2，PA ＝8，则tan ∠ACD 的值为________．图1－2－82【思路探究】 由垂径定理知，点P 是BD 的中点，先用相交弦定理求PD ，再用射影定理或勾股定理求AD 、CD ，最后求tan ∠ACD .【自主解答】 ∵BD ⊥AC ，∴BP ＝PD ， ∴PD 2＝PA ·PC ＝2×8＝16， ∴PD ＝4.连接AD ，则∠ADC ＝90°， ∴tan ∠ACD ＝AD CD.又AD ＝PA 2＋PD 2＝82＋42＝45，CD ＝PC 2＋PD 2＝22＋42＝25，∴tan ∠ACD ＝4525＝2.【答案】 21．解答本题的关键是先用相交弦定理求PD ，再用勾股定理或射影定理求AD 、CD . 2．相交弦定理的运用往往与相似形联系密切，也经常与垂径定理、射影定理等相结合进行某些计算与证明．图1－2－83如图1－2－83，已知AB 是⊙O 的直径，OM ＝ON ，P 是⊙O 上的点，PM 、PN 的延长线分别交⊙O 于Q 、R .求证：PM ·MQ ＝PN ·NR . 【证明】 ∵OM ＝ON ，OA ＝OB ， ∴AM ＝BN ，BM ＝AN ， ∴AM ·BM ＝AN ·BN ， 又∵PM ·MQ ＝AM ·BM ，PN ·NR ＝AN ·BN ，∴PM ·MQ ＝PN ·NR .如图1－2－84，△ABC 内接于⊙O ，P 是△ABC 的高CE 的延长线上一点，PC 交⊙O 于D ，若PA 2＝PD ·PC ，AE ＝2，CE ＝32，cos ∠ACB ＝13，求BE 的长．图1－2－84【思路探究】 由PA 2＝PD ·PC 知PA 是⊙O 的切线，∠ACB 等于∠PAE ，则PA 可求，在Rt △APE 中PE 可求，由切割线定理求出PD ，进而求出DE ，再由相交弦定理求BE .【自主解答】 由PA 2＝PD ·PC ，知PA 是⊙O 的切线， ∴∠PAE ＝∠ACB . ∵PC ⊥AB ， ∴∠AEP ＝90°. 又∵cos ∠ACB ＝13，∴在Rt △PAE 中，cos ∠PAE ＝AE PA ＝13.∵AE ＝2，∴PA ＝6. 在Rt △PAE 中，PE ＝PA 2－AE 2＝62－22＝42， ∴PC ＝PE ＋CE ＝42＋32＝72， ∵PA 2＝PD ·PC ，∴PD ＝PA 2PC ＝6272＝1872，∴DE ＝PE －PD＝42－1827＝1072. ∵AE ·BE ＝DE ·CE ， ∴BE ＝DE ·CE AE＝1072×322＝307.1．解答本题时应注意所求与已知的关系，通过所求明确已知转化的方向，从而求得结论．2．在实际应用中，见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理，见到切线和割线时要想到切割线定理及推论．如图1－2－85所示，已知⊙O 1和⊙O 2相交于A ，B 两点，过点A 作⊙O 1的切线，交⊙O 2于点C ，过点B 作两圆的割线分别交⊙O 1，⊙O 2于点D ，E ，DE 与AC 相交于点P .图1－2－85(1)求证：PA ·PE ＝PC ·PD ；(2)当AD 与⊙O 2相切且PA ＝6，PC ＝2，PD＝12时，求AD 的长．【解】 (1)证明：连接AB ，CE ， ∵CA 切⊙O 1于点A ， ∴∠1＝∠D .又∵∠1＝∠E，∴∠D＝∠E.又∵∠2＝∠3，∴△APD∽△CPE.∴PAPC＝PDPE，即PA·PE＝PC·PD.(2)∵PA＝6，PC＝2，PD＝12.∴6×PE＝2×12，∴PE＝4.由相交弦定理，得PE·PB＝PA·PC.∴4PB＝6×2，∴PB＝3.∴BD＝PD－PB＝12－3＝9，DE＝PD＋PE＝16.∵DA切⊙O2于点A，∴DA2＝DB·DE，即AD2＝9×16，∴AD＝12.图1－2－86(教材第19页练习第2题)已知：如图1－2－86，AB是⊙O的直径，P和C 为AB两侧圆上的两点，过点P作PD⊥AB，垂足为D，交AC于点E，交BC的延长线于点F.求证：DP2＝DE·DF.(2013·湖南高考)图1－2－87如图1－2－87，在半径为7的⊙O 中，弦AB ，CD 相交于点P ，PA ＝PB ＝2，PD ＝1，则圆心O 到弦CD 的距离为________．【命题意图】 本题主要考查圆的相交弦定理及圆的弦的性质和利用勾股定理解直角三角形的方法．【解析】 由相交弦定理得PA ·PB ＝PC ·PD . 又PA ＝PB ＝2，PD ＝1，则PC ＝4， ∴CD ＝PC ＋PD ＝5.过O 作CD 的垂线OE 交CD 于E ，则E 为CD 中点， ∴OE ＝r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫CD 22＝7－254＝32.【答案】321．圆内两弦AB ，CD 相交于点P ，PA ＝3，PB ＝4，PC ∶PD ＝1∶3，则CD 等于( ) A ．12 B ．8 C ．4D ．2【解析】 设PC ＝x ，PD ＝3x ，则有：3×4＝x ×3x ， 解得x ＝2(负值舍去)，∴PC ＝2，PD ＝6，∴CD ＝8. 【答案】 B图1－2－882．如图1－2－88，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，△ABC 的外接圆直径AE 交BC 边于点G ，有下列四个结论：①AD 2＝BD ·CD ； ②BE 2＝EG ·AE ； ③AE ·AD ＝AB ·AC ； ④AG ·EG ＝BG ·CG .其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】 由△ABE ∽△ADC 得AB AD ＝AEAC，∴AE ·AD ＝AB ·AC ，故③正确；由相交弦定理得AG ·EG ＝BG ·CG ，故④正确． 【答案】 B图1－2－893．如图1－2－89，A ，B 是圆O 上的两点，且OA ⊥OB ，OA ＝2，C 为OA 的中点，连接BC 并延长交圆O 于点D ，则CD ＝________.【解析】 延长CO 交圆于点E ，依题意得，BC ＝OB 2＋OC 2＝5，BC ·CD ＝CA ·CE ，5×CD ＝1×3，因此CD ＝355. 【答案】3554．⊙O 中的两条弦AB 与CD 相交于E ，若AE ＝6 cm ，BE ＝2 cm ，CD ＝7 cm ，那么CE ＝________cm.【解析】 ∵AB 与CD 相交于E ， ∴AE ·BE ＝CE ·DE .∵AE ＝6 cm ，BE ＝2 cm ，CD ＝7 cm ，DE ＝CD －CE ＝7－CE.∴6×2＝CE (7－CE )， 即CE 2－7CE ＋12＝0， ∴CE ＝3(cm)或CE ＝4(cm)． 【答案】 3或4一、选择题图1－2－901．如图1－2－90，⊙O 的直径CD 与弦AB 交于P 点，若AP ＝4，BP ＝6，CP ＝3，则⊙O 半径为( )A ．5.5B ．5C ．6D ．6.5【解析】 由相交弦定理知AP ·PB ＝CP ·PD ， ∵AP ＝4，BP ＝6，CP ＝3，∴PD ＝AP ·BP CP ＝4×63＝8， ∴CD ＝3＋8＝11，∴⊙O 的半径为5.5. 【答案】 A图1－2－912．如图1－2－91所示，⊙O 的两条弦AB 、CD 相交于点E ，AC 和DB 的延长线交于点P ，下列结论成立的是( )A ．PC ·CA ＝PB ·BD B ．CE ·AE ＝BE ·EDC ．CE ·CD ＝BE ·BA D ．PB ·PD ＝PC ·PA【解析】 由切割线定理的推论知PB ·PD ＝PC ·PA ，故选项D 正确． 【答案】 D图1－2－923．如图1－2－92所示，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点P ，CD ＝12，AP ∶PB ＝1∶5，⊙O 的半径为( )A ．2 3B ．4 C.1855D ．2 6 【解析】 由题意知CP ＝PD ＝6， 由相交弦定理知，CP 2＝AP ·PB ＝5AP 2， ∴CP ＝5AP ， ∴AP ＝655，∴AB ＝6AP ＝3655，∴⊙O 的半径R ＝1855.【答案】 C图1－2－934．如图1－2－93所示，正方形ABCD 内接于⊙O ，E 为DC 中点，直线BE 交⊙O 于点F ，若⊙O 的半径为2，则BF 的长为( )A.32B.22C.655 D.455【解析】 由题意知BD ＝22，则CD ＝BC ＝2DE ＝2CE ＝2. ∴BE ·EF ＝1，又BE ＝BC 2＋CE 2＝22＋12＝5， ∴EF ＝55， ∴BF ＝5＋55＝655. 【答案】 C 二、填空题5．(2013·湖北高考)图1－2－94如图1－2－94，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E ，若AB ＝3AD ，则CE EO的值为________．【解析】 设圆O 的直径AB ＝2R ，则AD ＝2R 3，DO ＝R 3，DB ＝4R3.由相交弦定理，得CD 2＝AD ·DB ，所以CD ＝223R .在Rt △CDO 中，CO ＝R ，由射影定理可得EO ＝DO 2CO ＝R9，于是CE ＝R －R 9＝8R 9，故CEEO＝8.【答案】 8图1－2－956．如图1－2－95所示，PC 切⊙O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦CD ⊥AB 于点E ，PC ＝4，PB ＝8，则CD ＝________.【解析】 连接OC ，由切割线定理知PC 2＝PA ·PB ， 即42＝8PA ，∴PA ＝2，∴AB ＝PB －PA ＝8－2＝6， ∴OA ＝OC ＝3， ∴OP ＝3＋2＝5， 在Rt △OCP 中，CE ⊥OP ， ∴OC 2＝OE ·OP ， 即32＝5OE ， ∴OE ＝95，∴BE ＝3＋95＝245，AE ＝3－95＝65，∴CE 2＝BE ·AE ＝245×65＝14425，∴CE ＝125，∴CD ＝245.【答案】245三、解答题图1－2－967．如图1－2－96所示，A为⊙O上一点，⊙A和⊙O相交于C，D，两圆的连心线交⊙A 于E，F，交⊙O于A，B，交CD于G.求证：AG·BG＝EG·FG.【证明】由相交弦定理得AG·BG＝CG·GD，CG·GD＝EG·FG，∴AG·BG＝EG·FG.图1－2－978．如图1－2－97，两个同心圆的圆心为O，大圆的弦AD交小圆于B、C，大圆的弦AF 切小圆于E，经过B、E的直线交大圆于M、N.(1)求证：AE2＝BN·EN；(2)如果AD经过圆心O，且AE＝EC，求∠AFC的度数．【解】(1)证明∵AEF，ABC分别是小圆的切线和割线．∴AE2＝AB·AC，如图，连接OA、OD，作OH⊥AD于H，则AH＝DH，BH＝CH.∴AB＝CD.又BC＝BC，∴AB＋BC＝BC＋CD，即AC＝BD.同理可证：BM＝EN，由相交弦定理，得AB·BD＝BM·BN.∴AB·AC＝EN·BN，可得AE2＝BN·EN.(2)如图，连接OE，有OE⊥AF于E，AE＝EF＝EC，则∠ACF＝90°.因AD过圆心O，故FC是圆的切线，∴FC＝EF＝EC，∴∠AFC ＝60°.图1－2－989．如图1－2－98，BC 是半圆的直径，D 、E 是半圆上的两点，且CE ＝ED .过C 作半圆的切线，与BE 的延长线相交于F ，BE 与CD 相交于G ，CE 、BD 的延长线相交于A ，连接DE .(1)求证：AB ＝BC ；(2)如果DG ∶GE ＝3∶5，BG ＝3k ，试用含k 的代数式表示AC . 【解】 (1)证明：DE ＝EC ，∠ABE ＝∠CBE . ∴BC 是半圆的直径， ∴∠AEB ＝∠CEB ＝90°. 又∵BE ＝BE ，∴△ABE ≌△CBE . ∴AB ＝BC .(2)∵BC 是半圆的直径， ∴∠GEC ＝∠FEC ＝90°. ∵CF 是切线，∴∠GCE ＝∠CBE ＝∠FCE . 又∵CE ＝CE ， ∴△CEG ≌△CEF . ∴CG ＝CF ，EF ＝EG .由相交弦定理可得：DG ·GC ＝BG ·GE ， ∴BG CG ＝DGGE＝35. 由BG ＝3k ，得CG ＝5k ，∴CF ＝5k . ∵CF 是半圆的切线，由切割线定理得， ∴CF 2＝EF ·FB .设EF ＝EG ＝x ，则(5k )2＝x (x ＋x ＋3k )． 解得x 1＝k ，x 2＝－52k (舍去)．∴EF ＝k .∴AC ＝2EC ＝2FC 2－EF 2 ＝25k2－k 2＝4k .10．如图，已知PA 是⊙O 的切线，A 是切点，直线PO 交⊙O 于B ，C 两点，D 是OC 的中点，连接AD 并延长交⊙O 于点E ，若PA ＝23，∠APB ＝30°，则AE ＝________.【解析】 根据已知可得，在Rt △PAO 中，AO ＝AP tan 30°＝2.故OD ＝1，且∠AOD ＝120°.在△AOD 中，根据余弦定理可得AD ＝4＋1－2×2×1×cos 120°＝7.又根据相交弦定理得CD ×DB ＝AD ×DE ，即1×3＝7×DE ，所以DE ＝377，所以AE ＝1077. 【答案】1077。