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（苏科版）九年级上册数学《第2章对称图形圆》专题切线的性质与判定的综合运用（共30题）（基础题＆提升题＆压轴题）1．（2022秋•斗门区期末）如图，AB为⊙O的直径，P在BA的延长线上，C为圆上一点，且∠ACP＝∠OBC．（1）求证：PC与⊙O相切；（2）若P A＝4，PC＝BC，求⊙O的半径．2．（2023•太平区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BD为直径的半圆交BC于点F，点E是边AC和半圆的公共点，且满足DE＝EF．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若∠A＝30°，AB＝9，求BF的长度．3．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，△ABC的外角平分线BD交⊙O于D，DE∥AC交CB的延长线于E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若∠A＝30°，BD＝3，求BC的长．4．（2023•东港区校级三模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点E，点D在AB 上，且以AD为直径的⊙O经过点E．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）当AD＝3BD，且BE＝4时，求⊙O的半径．5．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6．以BC为直径的⊙O交AC于D，E是AB的中点，连接ED并延长交BC的延长线于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）求DB的长．6．（2023•鲁山县一模）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D是AB延长线上的一点，AE⊥CD交DC的延长线于E，CF⊥AB于点F，且CE＝CF．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB＝8，BD＝4，求AE的长．7．（2022秋•嘉祥县校级期末）已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB＝AD，AE是⊙O的弦，∠AEC＝30°．（1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为10，求AE的长．8．（2023•莱芜区模拟）如图，在△ADC中，AC＝CD，∠D＝30°，点B是AD上一点，∠ACB的角平分线CE交以AB为直径的⊙O于点E，过点B作BF⊥EC，垂足为F，⊙O恰好过点C．（1）求证：CD是⊙O切线；（2）若AC=4√3，求CF的长．9．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上的一点，点D为BĈ的中点，DE⊥AC于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AE＝8，DE＝4，求⊙O的半径．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为边AC上的点，以AD为直径作⊙O，连接BD并延长交⊙O 于点E，连接CE．（1）若CE＝BC，求证：CE是⊙O的切线．（2）在（1）的条件下，若CD＝2，BC＝4，求⊙O的半径．11．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CD，AD交⊙O于E点，BĈ=CÊ，F为⊙O上一点，AF∥CD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）AC＝5，AF＝6，求⊙O的半径．12．如图，已知，BE是⊙O的直径，BC切⊙O于B，弦DE∥OC，连接CD并延长交BE的延长线于点A．（1）证明：CD是⊙O的切线；（2）若AD＝2，AE＝1，求CD的长．13．（2023•鞍山二模）如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O，⊙O恰好经过点C，点D为半圆AB中点，连接CD，过D作DE∥AB交AC延长线于点E．（1）求证：DE为⊙O切线：（2）若AC＝4，CD=√2，求⊙O的半径长．14．（2023•新余一模）⊙O是△ABC的外接圆，OC∥AB，延长OC至D点．（1）如图1，若OC＝CD，且B为弧AC的中点，求证：BD是⊙O的切线；（2）如图2，若BD是⊙O的切线，且BD＝3，CD＝1，求圆的半径及弦AB的长．15．（2023•云梦县校级三模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，在AC上取一点D，以AD为直径作⊙O，与AB相交于点E，作线段BE的垂直平分线MN交BC于点N，连接EN．（1）求证：EN是⊙O的切线；（2）若AC＝3，BC＝4，⊙O的半径为1，求线段EN的长．16．（2023•榆阳区一模）如图，BP为⊙O的直径，点A为PB延长线上一点，点C是⊙O上一点，过点C 作CE⊥BO交BO于点D，交⊙O于点E，连接OE，CB，∠ACB＝∠ECB．（1）求证：AC为⊙O的切线；（2）若AB＝3，BD＝1，求CE的长度．17．（2023•乌鲁木齐一模）如图，AB是⊙O的直径，AD和CD分别切⊙O于A、E两点，BC与⊙O有公共点B，且EC＝BC．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若AB＝12，AD＝8，求BC的长．18．（2022秋•同心县期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，以点D为圆心、AD的长为半径的⊙D与AB相切于点A，与AC相交于点E．（1）求证：BC是⊙D的切线；（2）若AB＝5，BC＝13，求AC和AD的长．19．（2022秋•蔡甸区期末）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D为斜边BC的中点，以AD为直径作⊙O，分别与边AB、AC交于点E、F，过点E作EG⊥BC，垂足为G．（1）求证：EG是⊙O的切线；（2）已知⊙O的半径为6，若AF＝8，求BE的长．20．（2023•鱼峰区模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC边于点D、F．过点D作DE⊥CF于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O半径为5，且AF﹣DE＝2，求EF的长．21．（2023•漳平市一模）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CF⊥AF于点F，且CF＝CE．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若∠D＝30°，AB＝10，求CD的长．22．（2023•怀远县校级模拟）AB是△ABC的外接圆⊙O的直径，P是半径OB上一点，PE⊥AB交BC于F，交AC的延长线于E，D是EF的中点，连接CD；（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）连OD交BC于G，若G为OD的中点，AC＝6，求CE的长．23．（2023•桑植县模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C是劣弧BD中点，AC与BD相交于点E．连接BC，∠BCF＝∠BAC，CF与AB的延长线相交于点F．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）求证：∠ACD＝∠F；（3）若AB＝10，BC＝6，求AD的长．24．如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线AO与⊙O于点E和点D，OB与⊙O交于点F，连接DF，DC．已知OA＝OB，CA＝CB，DE＝10，DF＝6．（1）求证：①直线AB是⊙O的切线；②∠EDC＝∠FDC；（2）求CD的长．25．（2022秋•华容区期末）如图1，AB为⊙O直径，CB与⊙O相切于点B，D为⊙O上一点，连接AD、OC，若AD∥OC．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）如图2，过点A作AE⊥AB交CD延长线于点E，连接BD交OC于点F，若AB＝3AE＝12，求BF 的长．26．（2023•高青县二模）如图，△ABC内接于⊙O，BC为⊙O的直径，点A是弧MC的中点，CD交⊙O 于M，CD交AB于E，DB＝DE．（1）求证：DB是⊙O的切线；（2）求证：∠D＝2∠ACD；（3）若DB＝6，DC＝10，求ME的长．27．如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线AO与⊙O交于点E和点D，OB与⊙O交于点F连接DF、DC．已知OA＝OB，CA＝CB．（1）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）求证：∠FDC＝∠EDC；（3）已知：DE＝10，DF＝8，求CD的长．28．如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，AB与CD交于点E，点P是CD延长线上的一点，AP ＝AC，且∠B＝2∠P．（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）若PD=√3，求⊙O的直径；（3）在（2）的条件下，若点B等分半圆CD，求DE的长．29．（2023•南海区校级模拟）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE ⊥PO交PO延长线于点E，连接OC，PB，已知PB＝6，DB＝8，∠EDB＝∠EPB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径．（3）连接BE，求BE的长．30．已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，作OF∥AB交BC于点F，连接EF．（1）求证：OF⊥CE（2）求证：EF是⊙O的切线；（3）若⊙O的半径为3，∠EAC＝60°，求AD的长．。
1切线的判定与性质综合1、 如图，P 点是∠AOB 的平分线OC 上一点，PE ⊥OA 于E ，以P 为圆心，PE 为半径作⊙P .求证：⊙P 与OB 相切.例2、如图，△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，DE ⊥AC 于E ，求证：DE 是⊙O 的切线.1．下列说法错误的个数是（ ）① 圆的切线垂直于半径；②圆的切线垂直于过切点的半径；③过半径端点的垂线是圆的切线；④过直径外端的垂线是圆的切线．A ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．4个2．AB 是⊙O 的切线，在下列给出的条件中，能判定AB ⊥CD 的是（ ）A ．CD 经过AB 与⊙O 的公共点 Ｂ．CD 过圆心OＣ．CD 既过圆心O ，又过AB 与⊙O 的公共点 Ｄ．CD 必须是直径3．如图，直线AB 切⊙O 于点C ，OAC OBC ∠=∠，则下列结论错误的是（ ）A ．OC 是ABO △中AB 边上的高 B ．OC 所在直线是ABO △的对称轴 C ．OC 是AOB ∠的平分线D ．AC BC >4．如图，EB 为半圆O 的直径，点A 在EB 的延长线上，AD 切半圆O 于点D ，BC ⊥AD 于点C ，AB ＝2，半圆O 的半径为2，则BC 的长为（ ）A ．2B ．1C ．1.5D ．0.55．如图，已知AB 、AC 分别是⊙O 的直径和切线，BC 交⊙O 于D ，AB ＝8，AC ＝6，则AD ＝ ．6．如图，在平面直角坐标系中，点P 在第一象限， ⊙P 与x 轴相切于点Q ，与y 轴交于(02)M ，，(08)N ，两点，则点P 的坐标是 .7．如图，△ABC 中，∠ACB=90°，以AC 为直径的⊙O ，交AB 于D ，E 为BC 中点.求证：DE 是⊙O 切线.8．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，切点为B ，OC 平行于弦AD ，求证：DC 是⊙O 的切线．9．如图，在⊙O 中，直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，连接AC ，将△ACE 沿AC 翻折得到△ACF ，直线FC 与直线AB 相交于点G ．（1）直线FC 与⊙O 有何位置关系？并说明理由； （2）若2OB BG ==，求CD 的长．C第3题 第5题。
人教版九年级上册数学24章圆-切线的性质与判定的综合应用一、解答题1．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 的直线与AB 延长线相交于点P ．若∠COB ＝2∠PCB ，求证：PC 是⊙O 的切线．2．如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的切线，切点为C ，BE CD ⊥，垂足为E ，连接,AC BC .（1）求证：BC 平分ABE ∠；（2）若60A ∠=︒，2OA =，求CE 的长.3．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是和⊙O 相切于点B 的切线，⊙O 的弦AD 平行于OC ．求证：DC 是⊙O 的切线.4．如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，点D 在AB 的延长线上，CD 是O 的切线．（1）证明：ACO BCD ∠=∠；（2）若O 的半径是5，12CD =，求BD 的长．5．如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上一点，点D 是弧BC 的中点，连接AC 、BD ，过点D 作AC 的垂线EF ，交AC 的延长线于点E ，交AB 的延长线于点F ． （1）判断直线EF 与圆O 的位置关系，并说明理由； （2）若AB ＝5，BD ＝3，求线段AE 的长．6．已知P 是O 外一点，PO 交O 于点C ，2OC CP ==，弦AB OC AOC ⊥∠，的度数为60°，连接PB ．()1求BC 的长；()2求证：PB 是O 的切线．7．如图，以AB为直径的⊙O交△ABC的边AC于D，且AB2＝AC•AD．求证：BC是⊙O的切线．8．如图，P A，PB分别与⊙O相切于点A，B，AC为弦，BC为⊙O的直径，若∠P＝60°，PB＝2cm．（1）求证：△P AB是等边三角形；（2）求AC的长．9．如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，且=AC BD，过点O作OE⊥AC于点E⊙O的切线AF交OE的延长线于点F，弦AC、BD的延长线交于点G.（1）求证：∠F＝∠B；（2）若AB＝12，BG＝10，求AF的长.10．如图，已知AB为O的直径，C为O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D.求证：AC平分DAB.11．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F．(1)求证：DF⊥AC；(2)若⊙O的半径为4，∠CDF=22.5°，请直接写出弧AE的长．12．如图，点C在以AB为直径的☉O上，BD平分∠ABC交☉O于点D，过D作BC 的垂线，垂足为E．（1）求证：DE与☉O相切；（2）请用线段AB、BE表示CE的长，并说明理由；（3）若AB=5，BE=4，求BD的长．13．在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝3，CA ＝4，点P 在∠ABC 平分线上，以点P 为圆心作⊙P ．（1）如图，当⊙P 经过点C 时，求证：⊙P 与直线AB 相切； （2）当⊙P 同时与直线BC 、AC 相切时，求⊙P 的半径．14．如图，在RtΔABC 中，∠ACB =90°，D 为AB 边上的一点，以AD 为直径的⊙O 交BC 于点E ，过点C 作CG ⊥AB ，垂足为G ，交AE 于点F ，过点E 作EP ⊥AB ，垂足为P ，∠EAD =∠DEB ．（1）求证：BC 是⊙O 的切线； （2）求证：CE =EP ；（3）若CG =12，AC =15，求四边形CFPE 的面积．15．如图，AB 是⊙O 的直径，点P 是⊙O 外一点，P A 切⊙O 于点A ，连接OP ，过点B 作BC //OP 交⊙O 于点C ，点E 是AB 的中点． （1）求证：PC 是⊙O 的切线； （2）若10,6AB BC ==，求CE 的长．16．如图，ABC 中，90,ACB BAC ∠=︒∠的平分线交BC 于点O ，以点O 为圆心，OC 长为半径作圆．（1）求证：AB 是O 的切线；（2）若30,4CAO OC ∠=︒=，求阴影部分面积．17．如图，四边形ABCD 为矩形，以AD 为直径作O ，过点C 作CF 与O 相切于点F ，连接AF 交BC 于点E ，连接OC ． （1）求证：四边形AOCE 为平行四边形； （2）若点F 为AE 的中点，2AD =，求DC 的长．18．如图，已知AB 是O 的直径，PA 与O 相切于点A ，点C 是O 上异于点A ，B 的一点，且PA PC =．（1）求证：PC 是O 的切线；（2）若30BAC ∠=︒，6AB =，求PA 的长．参考答案1． 【详解】 连接AC ，∵OA ＝OC ， ∴∠A ＝∠ACO ． ∴∠COB ＝2∠ACO ． 又∵∠COB ＝2∠PCB ， ∴∠ACO ＝∠PCB ． ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACO+∠OCB ＝90°．∴∠PCB+∠OCB ＝90°，即OC ⊥CP ． ∵OC 是⊙O 的半径， ∴PC 是⊙O 的切线． 2．（1）证明：∵CD 是O 的切线， ∴OC DE ⊥， 又∵BE DE ⊥， ∴OCBE ，∴OCB CBE ∠=∠， ∴OBC CBE ∠=∠， 即BC 平分ABE ∠；（2）解：∵AB 为O 的直径， ∴90ACB ∠=︒， ∵60A ∠=︒，∴OAC 是等边三角形，2AC OA ==. ∴24AB OA ==，∴BC ===∵1302OBC AOC ∠=∠=︒，且OBC CBE ∠=∠，∴30CBE ∠=︒.∴12CE BC ==3．证明：连接OD,∵BC 是和⊙O 相切于点B 的切线 ∴∠CBO=90°. ∵AD 平行于OC ，∴∠COD=∠ODA ，∠COB=∠A ； ∵∠ODA=∠A ，∴∠COD=∠COB ，OC=OC ，OD=OB ， ∴△OCD ≌△OCB ， ∴∠CDO=∠CBO=90°． ∴DC 是⊙O 的切线． 4． 证明：（1）AB 是圆О的直径，90ACB ∴∠=︒，即90ACO OCB ∠+∠=︒，又CD 是圆О的切线，90OCB BCD ∴∠+∠=︒，ACO BCD ∴∠=∠；（2）在Rt OCD △中，由勾股定理得222OC CD OD +=，512OC OD CD ===，∴13OD ∴1358BD OD OB =-=-=．BD ∴的长为8．5．解：（1）相切， 理由如下： 连接OD ，∵点D 是弧BC 的中点， ∴∠BOD ＝∠F AE ， ∴OD ∥AE ， ∵AE ⊥EF ， ∴OD ⊥EF ，∴直线EF 是⊙O 的切线，即直线EF 与⊙O 相切； （2）连接AD ，BD ，∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°，∵AB ＝5，BD ＝3， ∴AD ＝4，∵∠E ＝∠ADB ＝90°，∠BAD ＝∠DAE ， ∴△ABD ∽ADE ， ∴AE AD ＝ADAB， ∴AE ＝3.2. 6．()1解：如图，连接OB ．AB OC ⊥，60AOC ∠=︒，30OAB ∴∠=︒， OB OA =，30OBA OAB ∴∠=∠=︒， 60BOC ∴∠=︒，OB OC =，OBC ∴的等边三角形，BC OC ∴=．又2OC =， 2BC ∴=；()2证明：由()1知，OBC 的等边三角形，则60COB ∠=︒，BC OC =．OC CP =， BC PC ∴=， P CBP ∴∠=∠．又60OCB ∠=︒，2OCB P ∠=∠，30P∴∠=︒，90OBP∴∠=︒，即OB PB⊥．又OB是半径，PB∴是O的切线．7．证明：连接BD，∵AB是⊙O的直径∴∠ADB＝90°，∵AB2＝AC•AD，∴AB AC AD AB=，又∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，∴∠ABC＝∠ADB，∴∠ABC＝90°，∴BC⊥AB，∴BC是⊙O的切线．8．解：（1）∵P A，PB分别与⊙O相切于点A，B，∴P A＝PB，且∠P＝60°，∴△P AB是等边三角形；（2）∵△P AB是等边三角形；∴PB＝AB＝2cm，∠PBA＝60°，∵BC是直径，PB是⊙O切线，∴∠CAB＝90°，∠PBC＝90°，∴∠ABC＝30°，∴tan∠ABC＝ACAB∴AC＝2.9．（1）证明：∵AC BD=，∴AD BC=.∴∠GAB＝∠B，∵AF是⊙O的切线，∴AF⊥AO.∴∠GAB+∠GAF＝90°.∵OE⊥AC，∴∠F+∠GAF＝90°.∴∠F＝∠GAB，∴∠F＝∠B；（2）解：连接OG.∵∠GAB＝∠B，∴AG＝BG.∵OA＝OB＝6，∴OG⊥AB.∴8 OG==，∵∠F AO＝∠BOG＝90°，∠F＝∠B，∴△F AO∽△BOG，∴AF OB AO OG=.∴66982OB AOAFOG⋅⨯===.10．连接OC .∵CD 是O 的切线，∴OC CD ⊥.∵AD CD ⊥，∴OC AD ∥，∴12∠=∠.∵OC OA =，∴13∠=∠，∴23∠∠=.∴AC 平分DAB ∠.11．(1)证明：如图，连接OD ，∵OB=OD ，∴∠ABC=∠ODB ，∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB ，∴∠ODB=∠ACB ，∴OD ∥AC ，∵过点D 作⊙O 的切线DF ，交AC 于点F ，∴DF ⊥OD ，∴DF ⊥AC ．(2)解：如图，连接OE ，∵DF ⊥AC ，∠CDF=22.5°，∴∠ABC=∠ACB=67.5°，∴∠BAC=45°，∵OA=OE ，∴∠AOE=90°，∵⊙O 的半径为4，∴弧AE 的长为90π42π180⨯=．12．解：（1）连接OD ，∵OD =OB ，∴∠ODB =∠OBD ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠OBD =∠CBD ，∴∠ODB =∠CBD ，∴OD ∥BE ，∵BE ⊥DE ，∴OD ⊥DE ，∴DE 与⊙O 相切；（2）CE =AB -BE ，理由如下：过D 作DH ⊥AB 于H ，∵BD 平分∠ABC ，DE ⊥BE ，∴DH =DE ，在Rt △BED 与Rt △BHD 中，DE DHBD BD =⎧⎨=⎩，∴Rt △BED ≅Rt △BHD （HL ），∴BH =BE ，∵∠DCE=∠A，∠DGA=∠DEC=90°，∴△ADH≅△CDE（AAS），∴AH=CE，∵AB=AH+BH，∴AB=BE+CE，∴CE=AB-BE；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵BE⊥DE，∴∠ADB=∠BED=90°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBE，∴△ABD∽△DBE，∴AB BD BD BE=，∴54BD BD=，∴BD．13．证明：（1）如图，过点P作PD垂直AB，交AB于D点，∵AB ＝5，BC ＝3，CA ＝4，∴222222534AB AC BC ==+=+ ，∴∠ACB ＝90°，∴PC ⊥BC ，∵BP 平分∠ABC ，PC ⊥BC ，PD ⊥AB ，∴PC ＝PD ＝r ，∴⊙P 与直线AB 相切．（2）如图，当⊙P 同时与直线BC 、AC 相切时，点P 在∠ACB 或∠ACM 的角平分线上存在两种情况：①当圆心在△ABC 内部，即⊙P 1分别与直线BC 、AC 相切时，∴P 1G ＝P 1F ＝P 1E ＝r ，P 1G ⊥BC ，P 1E ⊥AB ，P 1F ⊥AC ，∴111ABC ABP ACP BCP S S S S ∆∆∆∆=++＝111111222AB PE AC PF BC PG ⋅+⋅+⋅＝12ABC C r ∆⋅，∴1234221345ABC ABC S r C ∆∆⨯⨯⨯===++，②当圆心在△ABC 外部，⊙P 2分别与直线BC 、AC 相切时， ∴P 2M ＝P 2N ＝P 2Q ＝R ，P 2M ⊥BC ，P 2Q ⊥AB ，P 2N ⊥AC ， ∴S △ABC ＝222222111222ABP BCP ACP S S S AB PQ BC P M AC P N ∆∆∆+-=⋅+⋅-⋅1()2AB BC AC R =+-⋅， ∴1234223534ABC S R AB BC AC ∆⨯⨯⨯===+-+-，综上，⊙P 的半径为1或3．14．证明：（1）连接OE ，∵OE =OD ，∴∠OED =∠ADE ，∵AD 是直径，∴∠AED =90°，∴∠EAD +∠ADE =90°，又∵∠DEB =∠EAD ，∴∠DEB +∠OED =90°，∴∠BEO =90°，∴OE ⊥BC ，∴BC 是⊙O 的切线；（2）∵∠BEO =∠ACB =90°，∴AC∥OE，∴∠CAE=∠OEA，∵OA=OE，∴∠EAO=∠AEO，∴∠CAE=∠EAO，∴AE为∠CAB的角平分线，又∵EP⊥AB，∠ACB=90°，∴CE=EP；（3）连接PF，∵CG=12，AC=15，∴AG，∵∠CAE=∠EAP，∴∠AEC=∠AFG=∠CFE，∴CF=CE，∵CE=EP，∴CF=PE，∵CG⊥AB，EP⊥AB，∴CF∥EP，∴四边形CFPE是平行四边形，又∵CF=PF，∴四边形CFPE是菱形，∴CF=EP=CE=PF，∵∠CAE=∠EAP，∠EP A=∠ACE=90°，CE=EP，∴△ACE≌△APE（AAS），∴AP=AC=15，∴PG=AP-AG=15-9=6，∵PF2=FG2+GP2，∴CF2=（12-CF）2+36，∴CF=152，∴四边形CFPE的面积=CF×GP=152×6=45．15．（1）证明：如图，连接OC ，∵P A切⊙O于A∴PAO90∠=∵OP∥BC∴∠AOP=∠OBC，∠COP=∠OCB∵OC=OB∴∠OBC=∠OCB∴∠AOP=∠COP又∵OA=OC，OP=OP∴△P AO≌△PCO∴∠P AO=∠PCO=90 º又∵OC是⊙O的半径∴PC是⊙O的切线（2）解：连接AE，BE，AC过点B作BM⊥CE于点M∴∠CMB =∠EMB =∠AEB =90ºAB 是直径，∴90ACB ∠=︒，10,6AB BC ==8AC ∴，84cos 105AC CAB AB ∴∠=== 又∵点E 是AB 的中点∴∠ECB =∠CBM =∠ABE =45º，∴BE =AB ⨯cos45︒=cos 456CM BC =⨯︒==CB CB = CAB CEB ∴∠=∠4cos cos 5CEB CAB ∴∠=∠=∴EM =cos BE CEB ⨯∠45==∴CE =CM +EM =∴CE 的长为16．解：（1）证明：过O 作⊥OD AB 于D ，如图所示，90,ACB ∠=︒OC AC ∴⊥， OA 平分,BAC ∠OD OC ∴=， OC 为O 的半径，OD ∴为O 的半径，AB ∴是O 的切线．（2）∵OD ⊥AB ，∴∠ODB =90°，∵∠CAO =30°，∠ACB =90°，∴AC∵∠AOC =90°-30°=60°，∴∠COD =2∠AOC =120°，由（1）得：AB 是⊙O 的切线，OC ⊥AC ，∴AC 为⊙O 的切线，∴AD =AC∴阴影部分面积=△AOC 的面积+△AOD 的面积-扇形OCD 的面积21112044422360π⨯=⨯+⨯- 163π=． 17．（1）如图，连接DF 、OF ，DF 交于G ，∵AD 为O 直径，∴∠AFD =90°，∵CF与O相切于点F，∴∠OFC=90°，∵四边形ABCD为矩形，∴∠ADC=∠DAB=90°，OA//CE，∴DC是O切线，∴DC=CF，∵OD=OF，∴OC是线段DF的垂直平分线，∴∠OGD=90°，∴OC//AE，∴四边形AOCE是平行四边形．（2）如图，连接OE、OF，∵AD=2，OA=OD，∴OF=OA=1，∵四边形AOCE是平行四边形，∴OA=CE，∵AD=BC，∴OA=BE，∵OA//BE，∴四边形AOEB是平行四边形，∵∠DAB=90°，∴四边形AOEB是矩形，∴∠AOE=90°，OE=AB=DC，∵F为AE中点，∴AE =2OF =2，∴DC =OE18．解：（1）连接OC ．∵PA 是O 的切线，AB 是O 的直径，∴PA AB ⊥（圆的切线垂直于过切点的半径）∴90PAB ∠=︒，∴90PAC CAB ∠+∠=︒，∵PA PC =，∴PAC PCA ∠=∠（等边对等角）∵OA OC =，∴CAB ACO ∠=∠，∴90PCA ACO ∠+∠=︒，即90PCO ∠=︒，∴PC OC ⊥，又∵OC 是O 的半径，∴PC 是O 的切线（经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）． （2）连接BC ．∵90PAB ∠=︒，30BAC ∠=︒，∴60PAC ∠=︒，又∵PA PC =，∴PAC △是等边三角形（有一个角是60︒的等腰三角形是等边三角形） ∴PA AC =，∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒（直径所对的圆周角是直角）在Rt ACB 中，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，6AB =，∴3BC =，∴AC∴PA AC ==答：PA 的长是。
中考专题复习之切线的判定与性质知识考点：1、掌握切线的判定及其性质的综合运用，在涉及切线问题时，常连结过切点的半径，切线的判定常用以下两种方法：一是连半径证垂直，二是作垂线证半径。
2、掌握切线长定理的灵活运用，掌握三角形和多边形的内切圆，三角形的内心。
精典例题：【例1】如图，AC 为⊙O 的直径，B 是⊙O 外一点，AB 交⊙O 于E 点，过E 点作⊙O 的切线，交BC 于D 点，DE ＝DC ，作EF ⊥AC 于F 点，交AD 于M 点。
（1）求证：BC 是⊙O 的切线； （2）EM ＝FM 。
分析：（1）由于AC 为直径，可考虑连结EC ，构造直角三角形来解题，要证BC 是⊙O 的切线，证到∠1＋∠3＝900即可；（2）可证到EF ∥BC ，考虑用比例线段证线段相等。
证明：（1）连结EC ，∵DE ＝CD ，∴∠1＝∠2 ∵DE 切⊙O 于E ，∴∠2＝∠BAC ∵AC 为直径，∴∠BAC ＋∠3＝900∴∠1＋∠3＝900，故BC 是⊙O 的切线。
（2）∵∠1＋∠3＝900，∴BC ⊥AC 又∵EF ⊥AC ，∴EF ∥BC∴CDMFAD AM BD EM == ∵BD ＝CD ，∴EM ＝FM【例2】如图，△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC 的中点，以O 为圆心的圆与AB 相切于点D 。
求证：AC 是⊙O 的切线。
分析：由于⊙O 与AC 有无公共点未知，因此我们从圆心O 向AC 作垂线段OE ，证OE 就是⊙O 的半径即可。
证明：连结OD 、OA ，作OE ⊥AC 于E∵AB ＝AC ，OB ＝OC ，∴AO 是∠BAC 的平分线 ∵AB 是⊙O 的切线，∴OD ⊥AB 又∵OE ⊥AC ，∴OE ＝OD∴AC 是⊙O 的切线。
【例3】如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线，切点为B ，OC 平行于弦AD ，OA ＝r 。
（1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）求OC AD ⋅的值；（3）若AD ＋OC ＝r 29，求CD 的长。
阶段强化专训五：切线判定和性质的四种应用类型名师点金：的切线判定和性质的应用较广泛，一般先利用圆的切线的判定方法判定切线，再利用切线的性质进行线段和角的计算或论证，在计算或论证中常通过作辅助线解决有关问题．应用于求线段的长1．如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD.(1)判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理由；(2)过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC＝2，⊙O的半径是3，求BE的长．(第1题)应用于求角的度数2．(中考·珠海)如图，⊙O经过菱形ABCD的三个顶点A、C、D，且与AB相切于点A.(1)求证：BC为⊙O的切线；(2)求∠B的度数．(第2题)应用于求圆的半径3．如图所示，四边形ABCD为菱形，△ABD 的外接圆⊙O与CD相切于点D，交AC于点E.(1)判断⊙O与BC的位置关系，并说明理由；(2)若CE＝2，求⊙O的半径r.(第3题)应用于探究数量和位置关系4．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于点D，过点A作⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连接PC，BC.(1)猜想：线段OD与BC有何数量关系和位置关系，并证明你的结论；(2)求证：PC是⊙O的切线．(第4题)答案阶段强化专训五1．解：(1)直线CD与⊙O相切．理由如下：连接OD，如图，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，即∠ADO＋∠1＝90°，又∵∠CDA＝∠CBD，而∠CBD＝∠1，∴∠1＝∠CDA，∴∠CDA＋∠ADO＝90°，即∠CDO＝90°，∴OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线；(2)∵AC＝2，⊙O的半径是3，∴OC＝2＋3＝5，OD＝3，在Rt△CDO中，由勾股定理得CD＝4，∵CE切⊙O于D，EB切⊙O于B，∴DE＝EB，∠CBE＝90°，设DE＝EB＝x，在Rt△CBE中，由勾股定理得：CE2＝BE2＋BC2，则(4＋x)2＝x2＋(5＋3)2，解得：x＝6，即BE＝6.(第1题)(第2题)2．(1)证明：连接OA、OB、OC，如图，∵AB与⊙O切于A点，∴OA⊥AB，即∠OAB＝90°，∵四边形ABCD为菱形，∴BA＝BC，又∵OA＝OC，OB＝OB，∴△ABO≌△CBO(SSS)，∴∠BCO＝∠BAO＝90°，∴OC⊥BC，∴BC为⊙O的切线；(2)解：连接BD，∵△ABO≌△CBO，∴∠ABO＝∠CBO，∵四边形ABCD为菱形，∴BD平分∠ABC，∴点O在BD上，∵∠BOC＝∠ODC＋∠OCD，而OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠BOC＝2∠ODC，而CB＝CD，∴∠OBC＝∠ODC，∴∠BOC＝2∠OBC，∵∠BOC＋∠OBC＝90°，∴∠OBC＝30°，∴∠ABC＝2∠OBC＝60°.3．解：(1)⊙O与BC相切，理由如下：如图所示，连接OD，OB，∵⊙O与CD相切于点D，∴OD⊥CD，∴∠ODC＝90°.∵四边形ABCD为菱形，∴AC垂直平分BD，AB ＝AD＝CD＝CB.∴△ABD的外接圆⊙O的圆心O在AC上，∵OD＝OB，OC＝OC，CB＝CD，∴△OBC≌△ODC.∴∠OBC＝∠ODC＝90°，又∵OB为⊙O的半径，∴⊙O 与BC相切．(2)∵AD＝CD，∴∠ACD＝∠CAD.∵AO＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.∵∠COD＝∠OAD＋∠ADO，∴∠COD＝2∠CAD，∴∠COD＝2∠ACD.又∵∠COD＋∠ACD＝90°，∴∠ACD ＝30°.∴OD＝12OC，即r＝12(r＋2)，∴r＝2.(第3题)(第4题)4．(1)解：猜想：OD ∥BC ，OD ＝12BC. 证明：∵OD ⊥AC ，∴AD ＝DC. ∵AB 是⊙O 的直径，∴OA ＝OB. ∴OD 是△ABC 的中位线，∴OD ∥BC ，OD ＝12BC.(2)证明：如图，连接OC ，设OP 与⊙O 交于点E.∵OD ⊥AC ，OD 经过圆心O ， ∴AE ︵＝CE ︵，即∠AOE ＝∠COE.在△OAP 和△OCP 中，∵OA ＝OC ，∠AOP ＝∠COP ，OP ＝OP ， ∴△OAP ≌△OCP ，∴∠OCP ＝∠OAP. ∵PA 是⊙O 的切线，∴∠OAP ＝90°， ∴∠OCP ＝90°，即OC ⊥PC. 又∵OC 是⊙O 的半径，∴PC 是⊙的切线。
人教版数学九年级上册《切线的性质与判定》证明题专项练习1.如图所示，⊙O的半径为4，点A是⊙O上一点，直线l过点A；P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l于点B，交⊙O于点E，直径PD延长线交直线l于点F，点A是弧DE的中点.（1）求证：直线l是⊙O的切线；（2）若PA=6，求PB的长2.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若CF=2，CE=4，求⊙O的半径.3.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，求证：AC与⊙D相切．4.如图，Rt△ADB中，∠ADB=90°，∠DAB=30°，⊙O为△ADB的外接圆，DH⊥AB于点H，现将△AHD沿AD翻折得到△AED，AE交⊙O于点C，连接OC交AD于点G．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB=10，求线段OG的长．5.如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是⊙O外一点且∠DBC=∠A，连接OE延长与圆相交于点F，与BC相交于点C．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为6，BC=8，求弦BD的长．6.如图，BE是O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C．（1）若∠ADE=25°，求∠C的度数；（2）若AC=4，CE=2，求⊙O半径的长．7.已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C.（1）如图①，若∠P=35°，求∠ABP的度数；（2）如图②，若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线.8.如图（1），在△ABC中，∠ACB=90°，以AB为直径作⊙O；过点C作直线CD交AB的延长线于点D，且BD=OB，CD=CA.（1）求证：CD是⊙O的切线.（2）如图（2），过点C作CE⊥AB于点E，若⊙O的半径为8，∠A=30°，求线段BE.9.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，点D在AB的延长线上，且∠BCD=∠A.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为3，CD=4，求BD的长.10.如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若CF=2，DF=4，求⊙O的直径的长.11.如图，在▱OABC中，以O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点B，与OC相交于点D．(1)求的度数．(2)如图，点E在⊙O上，连结CE与⊙O交于点F，若EF=AB，求∠OCE的度数．12.如图，AB是半圆O上的直径，E是的中点，OE交弦BC于点D，过点C作⊙O的切线交OE 的延长线于点F，已知BC=8，DE=2.(1)求⊙O的半径；(2)求CF的长.13.如图，在⊙O中，点C是直径AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线，切点为D，连结BD．（1）求证：∠A=∠BDC；（2）若CM平分∠ACD，且分别交AD、BD于点M、N，当DM=1时，求MN的长．14.如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O 的切线，切点为F，FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF．（1）证明：AF平分∠BAC；（2）证明：BF=FD；（3）若EF=4，DE=3，求AD的长．15.已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．（Ⅰ）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小；（Ⅱ）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小．16.如图,已知直线PA交⊙0于A、B两点,AE是⊙0的直径.点C为⊙0上一点,且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA,垂足为D.(1)求证：CD为⊙0的切线；(2)若DC+DA=6,⊙0的直径为l0,求AB的长度.17.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆.（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD=HF；（3）已知：CD=1，EH=3，求AF的长.18.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BE交AC于点E，过点E作直线BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆.（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）过点E作EH⊥AB于点H，求证：EF平分∠AEH；（3）求证：CD=HF.参考答案1.（1）证明：连接DE，OA.∵PD是直径，∴∠DEP=90°，∵PB⊥FB，∴∠DEP=∠FBP，∴DE∥BF，∵，∴OA⊥DE，∴OA⊥BF，∴直线l是⊙O的切线.（2）作OH⊥PA于H.∵OA=OP，OH⊥PA，∴AH=PH=3，∵OA∥PB，∴∠OAH=∠APB，∵∠AHO=∠ABP=90°，∴△AOH∽△PAB，2.（1）证明：连接OE.∵OE=OB，∴∠OBE=∠OEB，∵BE平分∠ABC，∴∠OBE=∠EBC，∴∠EBC=∠OEB，∴OE∥BC，∴∠OEA=∠C，∵∠ACB=90°，∴∠OEA=90°，∴AC是⊙O的切线；（2）解：设⊙O的半径为r.过点O作OH⊥BF交BF于H，由题意可知四边形OECH为矩形，∴OH=CE=4，CH=OE=r，∴BH=FH=CH－CF=r－2，在Rt△BHO中，∵OH2+BH2=OB2，∴42+（r－2）2=r2，解得r=5.∴⊙O的半径为5.3.解：过D作DH⊥AC于H，由角平分线的性质可证DB=DH，∴AC与⊙D相切4.解：（1）连接OD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，由翻折得：∠OAD=∠EAD，∠E=∠AHD=90°，∴∠ODA=∠EAD，∴OD∥AE，∴∠E+∠ODE=180°，∴∠ODE=90°，∴DE与⊙O相切；（2）∵将△AHD沿AD翻折得到△AED，∴∠OAD=∠EAD=30°，∴∠OAC=60°，∵OA=OD，∴△OAC是等边三角形，∴∠AOG=60°，∵∠OAD=30°，∴∠AGO=90°，∴OG=2.5．5.（1）证明：连接OB，如图所示：∵E是弦BD的中点，∴BE=DE，OE⊥BD，=，∴∠BOE=∠A，∠OBE+∠BOE=90°，∵∠DBC=∠A，∴∠BOE=∠DBC，∴∠OBE+∠DBC=90°，∴∠OBC=90°，即BC⊥OB，∴BC是⊙O的切线；（2）解：∵OB=6，BC=8，BC⊥OB，∴OC==10，∵△OBC的面积=OC•BE=OB•BC，∴BE===4.8，∴BD=2BE=9.6，即弦BD的长为9.6．6.解：（1）连接OA，∵∠ADE=25°，∴由圆周角定理得：∠AOC=2∠ADE=50°，∵AC切⊙O于A，∴∠OAC=90°，∴∠C=180°﹣∠AOC﹣∠OAC=180°﹣50°﹣90°=40°；（2）设OA=OE=r，在Rt△OAC中，由勾股定理得：OA2+AC2=OC2，即r2+42=（r+2）2，解得：r=3，答：⊙O半径的长是3．7.（1）解：∵AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，∴AB⊥AP，∴∠BAP=90°；又∵∠P=35°，∴∠AB=90°﹣35°=55°.（2）证明：如图，连接OC，OD、AC.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），∴∠ACP=90°；又∵D为AP的中点，∴AD=CD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）；在△OAD和△OCD中，，∴△OAD≌△OCD（SSS），∴∠OAD=∠OCD（全等三角形的对应角相等）；又∵AP是⊙O的切线，A是切点，∴AB⊥AP，∴∠OAD=90°，∴∠OCD=90°，即直线CD是⊙O的切线.8.（1）证明：如图1，连结OC，∴OC=OA=OB.∴点C 在⊙O 上，∵BD=OB ，∴AB=DO ，∵CD=CA ，∴∠A=∠D ，∴△ACB ≌△DCO ，∴∠DCO=∠ACB=90°，∴CD 是⊙O 的切线；（2）解：如图2，在Rt △ABC 中，BC=ABsin ∠A=2×8×sin30°=8，∵∠ABC=90°﹣∠A=90°﹣30°=60°，∴BE=BCcos60°=8×=4.9.解：(1)证明：如图，连接OC.∵AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，∴∠ACB=90°，即∠ACO ＋∠OCB=90°.∵OA=OC ，∠BCD=∠A ，∴∠ACO=∠A=∠BCD ，∴∠BCD ＋∠OCB=90°，即∠OCD=90°，∴OC ⊥CD.又∵OC 是⊙O 的半径，∴CD 是⊙O 的切线.(2)由(1)及已知得∠OCD=90°，OB=OC=3，CD=4，在Rt △OCD 中，根据勾股定理得OD=5，∴BD=OD －OB=5－3=2.10.解：(1)证明：如图，连接OD ，CD.∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ADC=90°，∴∠BDC=90°.又∵E 为BC 的中点，∴DE=12BC=CE ，∴∠EDC=∠ECD.∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∴∠EDC＋∠ODC=∠ECD＋∠OCD=∠ACB=90°，∴∠ODE=90°，即OD⊥DE.又∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线.(2)设⊙O的半径为x.在Rt△ODF中，根据勾股定理，得OD2＋DF2=OF2，即x2＋42=(x＋2)2，解得x=3.∴⊙O的直径的长为6.11.解：(1)连接OB，∵BC是圆的切线，∴OB⊥BC，∵四边形OABC是平行四边形，∴OA∥BC，∴OB⊥OA，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠ABO=45°，∴的度数为45°；(2)连接OE，过点O作OH⊥EC于点H，设EH=t，∵OH⊥EC，∴EF=2HE=2t，∵四边形OABC是平行四边形，∴AB=CO=EF=2t，∵△AOB是等腰直角三角形，∴OA=t，则HO===t，∵OC=2OH，∴∠OCE=30°．12.解：(1)设⊙O的半径为x，∵E点是的中点，O点是圆心，∴OD⊥BC，DC==4，在Rt△ODC中，OD=x﹣2，∴OD2+DC2=OC2∴(x﹣2)2+42=x2∴x=5，即⊙O的半径为5；(2)∵FC是⊙O的切线，∴OC⊥CF又∵E是的中点.∴OD⊥BC，∴OC2=OD•OF，即52=3•OF,∴在Rt△OCF中，OC2+CF2=OF2∴13.解：（1）如图，连接OD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即∠A+∠ABD=90°，又∵CD与⊙O相切于点D，∴∠CDB+∠ODB=90°，∵OD=OB，∴∠ABD=∠ODB，∴∠A=∠BDC；（2）∵CM平分∠ACD，∴∠DCM=∠ACM，又∵∠A=∠BDC，∴∠A+∠ACM=∠BDC+∠DCM，即∠DMN=∠DNM，∵∠ADB=90°，DM=1，∴DN=DM=1，∴MN=．14.解：15.解：（Ⅰ）如图①，连接OC，∵直线l与⊙O相切于点C，∴OC⊥l，∵AD⊥l，∴OC∥AD，∴∠OCA=∠DAC，∵OA=OC，∴∠BAC=∠OCA，∴∠BAC=∠DAC=30°；（Ⅱ）如图②，连接BF，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB=90°，∴∠BAF=90°﹣∠B，∴∠AEF=∠ADE+∠DAE=90°+18°=108°，在⊙O中，四边形ABFE是圆的内接四边形，∴∠AEF+∠B=180°，∴∠B=180°﹣108°=72°，∴∠BAF=90°﹣∠B=90°﹣72°=18°．16. (1)证明：连接OC,∵点C在⊙0上，0A=OC,∴∠OCA=∠OAC，∵CD⊥PA，∴∠CDA=90°，有∠CAD+∠DCA=90°，∵AC平分∠PAE，∴∠DAC=∠CAO。
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切线的判定和性质（一）教学目标：1、使学生深刻理解切线的判定定理，并能初步运用它解决有关问题；2、通过判定定理和切线判定方法的学习，培养学生观察、分析、归纳问题的能力；3、通过学生自己实践发现定理，培养学生学习的主动性和积极性．教学重点：切线的判定定理和切线判定的方法；教学难点：切线判定定理中所阐述的由位置来判定直线是圆的切线的两大要素：一是经过半径外端；二是直线垂直于这条半径；学生开始时掌握不好并极容易忽视．教学过程设计（一）复习、发现问题1．直线与圆的三种位置关系在图中，图(1)、图(2)、图(3)中的直线l和⊙O是什么·关系?２、观察、提出问题、分析发现（教师引导）图(2)中直线l是⊙O的切线，怎样判定？根据切线的定义可以判定一条直线是不是圆的切线，但有时使用定义判定很不方便．我们从另一个侧面去观察，那就是直线和圆的位置怎样时，直线也是圆的切线呢?如图，直线l到圆心O的距离OA等于圆O的半径，直线l是⊙O的切线．这时我们来观察直线l与⊙O的位置．发现：(1)直线l经过半径OC的外端点C；(2)直线l垂直于半径0C．这样我们就得到了从位置上来判定直线是圆的切线的方法——切线的判定定理．（二）切线的判定定理：1、切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．2、对定理的理解：引导学生理解：①经过半径外端；②垂直于这条半径．请学生思考：定理中的两个条件缺少一个行不行?定理中的两个条件缺一不可．·图(1)中直线了l经过半径外端，但不与半径垂直；图(2)（3）中直线l与半径垂直，但不经过半径外端．从以上两个反例可以看出，只满足其中一个条件的直线不是圆的切线．（三）切线的判定方法教师组织学生归纳．切线的判定方法有三种：①直线与圆有唯一公共点；②直线到圆心的距离等于该圆的半径；③切线的判定定理．（四）应用定理，强化训练'例1已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA＝CB．求证：直线AB是⊙O的切线．分析：欲证AB是⊙O的切线．由于AB过圆上点C，若连结OC，则AB过半径OC的外端，只需证明OC⊥OB。
