高中数学选修2-2单元测试：变化率与导数、导数的运算word版含答案

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（二) 变化率与导数(时间120分钟,满分150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.某质点沿直线运动的位移方程为f（x）＝－2x2＋1，那么该质点从x＝1到x＝2的平均速度为( )A.－4 B。

－5C.－6 D。

－7【解析】错误!＝错误!＝错误!＝－6。

【答案】C2。

设曲线y＝ax2在点（1，a）处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝（)A。

1 B.错误!C。

－错误!D。

－1【解析】y′＝2ax,于是切线斜率k＝f′(1）＝2a，由题意知2a＝2,∴a＝1.【答案】A3。

下列各式正确的是( )A。

（sin α)′＝cos α（α为常数）B.（cos x)′＝sin xC。

(sin x)′＝cos xD.(x－5）′＝－错误!x－6【解析】由导数公式知选项A中（sin α）′＝0；选项B中（cos x）′＝－sin x；选项D中(x－5)′＝－5x－6。

【答案】C4。

设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x,则a等于（)A。

0 B。

1 C。

2 D。

3【解析】令f(x）＝ax－ln（x＋1)，则f′（x）＝a－1x＋1。

一、选择题1．若直线y =kx +b (k 1>)是曲线y =lnx +2-e 的切线，也是y =1x e -的切线，则bk=（ ） A ．-1B ．-2C ．-eD ．-122．函数()2sin f x k x =+在()0,2处的切线l 也是函数3231y x x x =---图象的一条切线，则k =（ ） A ．1B ．1-C ．2D ．2-3．如图，()y f x =是可导函数，直线l ：2y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线，令2()()g x x f x =，()g x '是()g x 的导函数，则()3g '等于（ ）A ．3B ．0C ．2D ．44．已知()sin cos f x x x =-，定义1()()f x f x '=，[]'21()()f x f x =，…[]1()()n n f x f x '+=，（*n N ∈），经计算，1()cos sin f x x x =+，2()sin cos f x x x =-+，3()cos sin f x x x =--，…，照此规律，2019()f x =（ ）A ．cos sin x x --B ．cos sin x x -C ．sin cos x x +D ．cos sin x x -+5．已知()4cos 72f x ax b x x =++-.若()20186f '=，则()2018f '-=（ ） A ．6- B ．8- C ．6D ．86．已知()ln 1xf x x=+，则()0f '等于（ ） A ．12B ．12-C ．14D ．14-7．已知221111x xf x x --⎛⎫= ⎪++⎝⎭，则曲线()y f x =在点)2,(2)f 处的切线的斜率为（ ）A ．19-B ．29-C ．19D ．298．曲线()33ln y x x x =-⋅在点(1,0)处的切线方程为（ ）A ．220x y +-=B ．210x y +-=C ．10x y +-=D ．440x y +-=9．已知函数()2f x x =的图象在1x =处的切线与函数()e xg x a=的图象相切，则实数a =( )A ．eB ．e e2C ．e 2D ．e e10．已知函数()f x 在0x x =处可导,若()()00021x f x x f x lim x∆→+∆-=∆,则()0'f x = （ ）A ．2B ．1C ．12D ．011．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()2()f x xf e ='lnx +，则()f e =（ ） A ．eB ．1e-C ．1-D ．e -12．已知函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，数列1()f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则2020S 的值为（ ） A ．20202021B ．20192020C ．20182019D ．20172018二、填空题13．已知223,1()ln ,1x x x f x x x ⎧--+≤=⎨>⎩，若函数1()2y f x kx =-+有4个零点，则实数k的取值范围是______．14．已知函数()()2xf x x a e =-，且()'13f e =，则曲线()y f x =在0x =处的切线方程为______.15．曲线y ＝x 2＋3x 在点（－1，－2）处的切线与曲线y ＝ax ＋ln x 相切，则a ＝________． 16．已知函数为偶函数，若曲线的一条切线的斜率为，则该切点的横坐标等于______． 17．抛物线2yx 上的点到直线20x y --=的最短距离为________________．18．如果曲线f (x )＝x 3＋x －16，的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，则切线方程_________.19．曲线2ln y x x =-在1x =处的切线方程是__________．20．过点()1,1-与曲线()32f x x x =-相切的直线方程是__________．三、解答题21．已知函数24(),(1)2,'(1)13f x ax ax b f f =-+==； (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在(1,2)处的切线方程．22．已知函数()()221f x 2ax x lnx ax x =--+. （a ∈R ）． （1）当a ＝0时，求曲线y ＝f （x ）在（e ，f （e ）处的切线方程（e ＝2.718…） （2）已知x ＝e 为函数f （x ）的极值点，求函数f （x ）的单调区间． 23．已知函数（ ）（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）当时，试讨论的单调性．24．设函数()ln ()f x ax x a R =-∈ （1）求函数()f x 的单调区间；（2）过坐标原点O 作曲线2()y f x x =+的切线，求切点的横坐标． 25．已知函数ln +()x af x x x=+()a R ∈． （1）当0a =时，求曲线()f x 在=1x 处的切线方程；（2）若函数()f x 在区间(1,)+∞上有极值，求实数a 的取值范围． 26．已知函数sin cos ()sin cos x xf x x x +=-.（Ⅰ）若()3f x =，求tan x ； （Ⅱ）证明：2'()sin 21f x x =-.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】直线()1y kx b k =+>与ln 2y x e =+-的切点为()11,ln 2x e x +-，与1x y e -=的切点为()212,x x e -，分别求出切线方程，由切线相同列出关于1x ，2x 的方程组，解出方程即可得出切线方程进而得结果. 【详解】直线()1y kx b k =+>与ln 2y x e =+-的切点为()11,ln 2x e x +-， 与1x y e -=的切点为()212,x x e-，由ln 2y x e =+-的导数为1y x'=，1x y e -=的导数为1x y e -'=， 可得2111x k e x -==， ∴切线分别为()1111ln 2y x e x x x --+=-和()22112x x y e e x x ---=-， 即111ln 1y x x e x =++-和()221121x x y e x e x --=+- 由于两切线相同，∴()221111211ln 11x x e x x e e x --⎧=>⎪⎨⎪+-=-⎩，解得1212x e x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则切线为y ex e =-，∴k e =，b e =-，则1bk=-， 故选：A. 【点睛】本题主要考查求切线方程，考查直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题.2．C解析：C 【分析】利用导数的几何意义得出()f x 在()0,2的切线l 的方程，设切线l 在函数3231y x x x =---上的切点为00,x y ，结合导数的几何意义得出在点00,x y 的切线方程，并将点()0,2代入切线方程和函数3231y x x x =---，求出01x =-，00y =，再代入2y kx =+，即可得出k 的值. 【详解】∵()cos f x k x '=，∴()0f k '=，所以在()0,2的切线l 的方程为直线2y kx =+ 设切线l 在函数3231y x x x =---上的切点为00,x y 由2323y x x '=--，得出0200323x x y x x ='=-- 故切线方程为()()20000323y y x x x x -=---由()()20000320002323031y x x x y x x x ⎧-=---⎪⎨=---⎪⎩整理得3200230x x -+=，即32200022330x x x +-+=所以()()002012330x x x +-+=，所以()20031512048x x ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得01x =-，00y = 代入2y kx =+，解得2k =. 故选：C 【点睛】本题主要考查了导数几何意义的应用，属于中档题.3．A解析：A 【分析】2y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线求出=(3)k f ，由图(3)=1f ，对2()()g x x f x =求导取值可得.【详解】2y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线,所以切点(3,1)代入切线方程得1=(3)=3k f ，又(3)=1f 2()()g x x f x =，2()2()+()g x xf x x f x ''=，(3)6(3)+9(3)=3g f f ''∴=故选：A. 【点睛】本题考查导数的几何意义.根据导数的几何意义求参数值的思路根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点00)(P x y ，既在曲线上又在切线上构造方程组求解．4．A解析：A 【分析】根据归纳推理进行求解即可． 【详解】解：由题意知：()sin cos f x x x =-，1()()cos sin f x f x x x '==+，[]1'2()()sin cos f x f x x x ==-+， []'23()()cos sin f x f x x x ==--， []'34()()sin cos f x f x x x ==-，照此规律，可知：[]'201923()()co )s (s in f x f x x x f x ==--=，故选：A. 【点睛】本题考查函数值的计算，利用归纳推理是解决本题的关键．5．D解析：D 【分析】分析()f x 的导函数()f x '，构造关于()f x '的新函数，借助新函数奇偶性即可计算()2018f '-的值.【详解】因为()4cos 72f x ax b x x =++-，所以()34sin 7f x ax b x '=-+，所以()374sin f x ax b x '-=-，令()()374sin g x f x ax b x '=-=-，所以()()34sin g x ax x g x -=-+=-且函数()g x 定义域为R 关于原点对称，所以()g x 是奇函数，所以()()201820180g g +-=，所以()()20187201870f f ''-+--=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以()20181468f '-=-=. 故选：D. 【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，难度一般.一般地，形如()()()0g x f x c c =+≠的函数中，已知()f x 为奇函数，根据()f a 的值求解()f a -的值的方法：构造新函数()g x c -，根据新函数的奇偶性求解()f a -的值.6．C解析：C 【分析】首先利用换元法求出函数()f x 的解析式，再求出其导函数，最后代入求值即可； 【详解】 解：()ln 1xf x x=+， 令ln t x =，t R ∈，则t x e =()1tt e f t e ∴=+，t R ∈ ()1xxe f x e ∴=+，x ∈R()()()()()222111x x x xx x e e e e f x e e +-'∴==++()()201041e f e '∴==+故选：C 【点睛】本题考查换元法求函数解析式，导数的计算，属于中档题.7．B解析：B 【分析】先用换元法，求得22()1xf x x =+，再求导，进而求得曲线()y f x =在点)f 处的切线的斜率. 【详解】 令11xt x -=+， 则1,1tx t-=+ 所以.2221121()1111t t t f t t t t -⎛⎫- ⎪+⎝⎭==+-⎛⎫+ ⎪+⎝⎭所以22()1x f x x=+ 所以()()22221()1x f x x -'=+，∴29f '=-. 故选：B 【点睛】本题主要考查求函数解析式和导数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于中档题.8．A解析：A 【分析】求导得到()()23133ln 3y x x x x x'=-⋅+⋅-，代入数据计算斜率得到答案.【详解】()()23133ln 3y x x x x x'=-⋅+⋅-，故切线斜率12x k y ='==- 故所求切线方程为2(1)y x =--，即220x y +-= 故选：A . 【点睛】本题考查了曲线的切线方程，意在考查学生的计算能力.9．B解析：B 【分析】先求函数()2f x x =的图象在1x =处的切线，再根据该切线也是函数()e xg x a=图象的切线，设出切点即可求解. 【详解】由()2f x x =，得()2f x x '=，则()12f '=，又(1)1f =，所以函数()2f x x =的图象在1x =处的切线为12(1)y x -=-，即21y x =-. 设21y x =-与函数()ex g x a=的图象相切于点00(,)x y ,由e()xg x a '=，可得00000e ()2,e ()21,x x g x a g x x a ⎧==⎪⎪⎨⎪==-⎩'⎪解得32031,e =222x a ==. 故选：B. 【点睛】本题考查导数的几何意义与函数图象的切线问题.已知切点时，可以直接利用导数求解；切点未知时，一般设出切点，再利用导数和切点同时在切线和函数图象上列方程(组)求解.10．C解析：C 【分析】 根据条件得到()()0002122x f x x f x lim x∆→+∆-=∆，计算得到答案. 【详解】()()()()00000221122x x f x x f x f x x f x limlimxx∆→∆→+∆-+∆-=∴=∆∆即()()()000021'22x f x x f x f x lim x∆→+∆-==∆ 故选C 【点睛】本题考查了导数的定义，意在考查学生的计算能力.11．C解析：C 【分析】求得()12()f x f e x '='+，令x e =，解得1()f e e '=-，得到()2f x x lnx e=-+，即可求解()f e 的值，得到答案. 【详解】由题意，函数()2()f x xf e ='lnx +，则()12()f x f e x'='+， 令x e =，则()12()f e f e e '='+，解得1()f e e '=-，即()2f x x lnx e=-+， 令x e =，则()2ln 1f e e e e=-⨯+=-，故选C. 【点睛】本题主要考查了导数运算，以及函数值的求解，其中正确求解函数的导数，求得()f e '的值，得出函数的解析式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.12．A解析：A 【分析】由2()f x x bx =+，求导得到()2f x x b '=+，再根据函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，由(1)23f b '=+=求解，从而得到()2()1f x x x x x =+=+，则()1111()11f n n n n n ==-++，再利用裂项相消法求解. 【详解】因为2()f x x bx =+， 所以()2f x x b '=+，因为函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3， 所以(1)23f b '=+=， 解得1b =，所以()2()1f x x x x x =+=+，数列()1111()11f n n n n n ==-++， 所以202011111111 (12233420202021)S =-+-+-++-， 12020120212021=-=. 故选：A 【点睛】 本题主要考查导数的几何意义以及数列的裂项法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.二、填空题13．【分析】转化条件得有4个零点令画出两函数的图象后可得当函数过点和时函数与的图象相切时函数与的图象恰有3个交点；当在两者范围之间时满足条件利用导数的性质求出函数与的图象相切时的值即可得解【详解】由题意解析：1(2【分析】转化条件得1()2f x kx =-有4个零点,令()12g x kx =-，画出两函数的图象后可得当函数()g x 过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭和()1,0时、函数()g x 与()ln 1y x x =>的图象相切时，函数()g x 与()f x 的图象恰有3个交点；当k 在两者范围之间时，满足条件，利用导数的性质求出函数()g x 与()ln 1y x x =>的图象相切时k 的值即可得解.【详解】由题意1()2y f x kx =-+有4个零点即1()2f x kx =-有4个零点,设()12g x kx =-，则()g x 恒过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴函数()g x 与()f x 的图象有4个交点，在同一直角坐标系下作出函数()g x 与()f x 的图象，如图， 由图象可知，当12k <时，函数()g x 与()f x 的图象至多有2个交点； 当函数()g x 过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭和()1,0时，12k =，此时函数()g x 与()f x 的图象恰有3个交点；当函数()g x 与()ln 1y x x =>的图象相切时， 设切点为(),ln a a ，1y x'=， ∴1k a=，∴1ln 12a a a+=，解得a e =，∴e k e=，此时函数()g x 与()f x 的图象恰有3个交点；当ek e>时，两函数图象至多有两个交点； ∴若要使函数1()2y f x kx =-+有4个零点，则1(,)2k e e∈.故答案为：1(,)2ee.【点睛】本题考查了函数的零点问题和导数的几何意义，考查了数形结合思想，属于中档题.14．【分析】求导利用求出根据导数几何意义可求斜率利用点斜式写出切线方程即可【详解】∵∴解得即则∴曲线在点处的切线方程为即【点睛】本题主要考查了导数的几何意义切线方程属于中档题 解析：10x y --=【分析】求导，利用()'13f e =求出a ，根据导数几何意义可求斜率(0)k f '=，利用点斜式写出切线方程即可. 【详解】∵()()()'2222xxxf x e x a e x a e =+-=+-，∴()()'143f a e e =-=，解得1a =，即()()21x f x x e =-，()01f =-，则()()'21x f x x e =+，∴()'01f =，曲线()y f x =在点0x =处的切线方程为()110y x +=⨯-，即10x y --=.本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于中档题.15．0【解析】【分析】通过求导数得y ＝x2＋3x 在点（－1－2）处的切线再直线与曲线相切于点求导可得解方程组即可得解【详解】由得∴当时则曲线在点处的切线方程为即设直线与曲线相切于点由得∴解之得∴答案：0解析：0 【解析】 【分析】通过求导数得y ＝x 2＋3x 在点（－1，－2）处的切线1y x =-，再直线1y x =-与曲线ln y ax x =+相切于点()00,x y ，求导可得000000111a x y x y ax lnx⎧+=⎪⎪⎪=-⎨⎪=+⎪⎪⎩，解方程组即可得解.【详解】由23y x x =+得'23y x =+， ∴当1x =-时，'1y =，则曲线23y x x =+在点()1,2--处的切线方程为21y x +=+，即1y x =-， 设直线1y x =-与曲线ln y ax x =+相切于点()00,x y ， 由ln y ax x =+得1'(0)y a x x=+>， ∴000000111a x y x y ax lnx⎧+=⎪⎪⎪=-⎨⎪=+⎪⎪⎩，解之得01x =，00y =，0a =. ∴0a =. 答案：0. 【点睛】本题考查导数几何意义的应用，解答此类问题的关键是求出切点坐标．若切点已知，则直接求导即可得切线的斜率，若切点未知，在解题时首先要设出切点，然后根据切点在曲线上及导数的几何意义得到关于切点坐标的方程，求出切点坐标后可得切线方程．16．ln3【解析】【分析】函数f(x)=ex+ae-x 为偶函数利用f(-x)=f(x)可得：a=1f(x)=ex+e-x 利用导数的几何意义即可得出【详解】∵函数f(x)=ex+ae-x 为偶函数∴f(-x 解析：【分析】 函数为偶函数，利用，可得：，利用导数的几何意义即可得出．【详解】 函数为偶函数，，即，可得：．， ，设该切点的横坐标等于，则，令，可得，化为：，解得．，解得． 则该切点的横坐标等于． 故答案为：．【点睛】本题考查了利用导数研究切线的斜率、函数的奇偶性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．【分析】当抛物线上点的切线与直线平行时这个点到直线的距离最短求出切点坐标利用点到直线的距离公式求出切点到直线的距离即最短距离【详解】由得令则所以抛物线上的点到直线的距离最短最短为故填【点睛】本题考查 解析：28【分析】当抛物线上点的切线与直线20x y --=平行时，这个点到直线20x y --=的距离最短.求出切点坐标，利用点到直线的距离公式求出切点到直线的距离，即最短距离 【详解】由2y x =，得2y x '=． 令1y '=，则12x =， 所以抛物线2y x =上的点11,24⎛⎫⎪⎝⎭到直线20x y --=的距离最短，最短为11272242--=72 【点睛】本题考查了导数的几何意义的应用，考查了点到直线的距离公式，解答本题的关键是理解曲线上的点到直线的最短距离，与这条直线和其平行且与曲线的相切的直线间的距离的关系.18．y ＝4x －18或y ＝4x －14【解析】【分析】先求然后求出的解即得切点的横坐标从而求得切线方程【详解】设切点为因切线与直线垂直故故或当时切线方程为；当时切线方程为综上填或【点睛】对于曲线的切线问题注解析：y ＝4x －18或y ＝4x －14.【解析】 【分析】先求()'f x ，然后求出()'4f x =的解即得切点的横坐标，从而求得切线方程. 【详解】设切点为()00,x y ，因切线与直线134y x =-+垂直，故()200'314f x x =+=，故01x =-或01x =，当01x =-时，()018f x =-，切线方程为()4118414y x x =+-=-； 当01x =时，()014f x =-，切线方程为()4114418y x x =--=-， 综上，填418y x =-或414y x =-. 【点睛】对于曲线的切线问题，注意“在某点处的切线”和“过某点的切线”的差别，切线问题的核心是切点的横坐标.如果切点为()()00,x f x ，那么切线方程为：()()()000'y f x x x f x =-+.19．【解析】分析：先求导再求切线的斜率再写出切线的方程详解：由题得因为切点为（12）所以切线方程为即切线方程为故答案为：点睛：（1）本题主要考查导数的几何意义和切线方程的求法意在考查学生对这些知识的掌握 解析：1y x =+【解析】分析：先求导，再求切线的斜率，再写出切线的方程. 详解：由题得1212112, 1.1x y k x x -⨯-=-=∴=='因为切点为（1,2）， 所以切线方程为21,y x -=-即切线方程为1y x =+.故答案为：1y x =+.点睛：（1）本题主要考查导数的几何意义和切线方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 函数()y f x =在点0x 处的导数0()f x '是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处的切线的斜率，相应的切线方程是000()()y y f x x x '-=-20．或【解析】由题意可得：设曲线上点的坐标为切线的斜率为切线方程为：(*)切线过点则：解得：或将其代入(*)式整理可得切线方程为：或点睛：曲线y ＝f(x)在点P(x0y0)处的切线与过点P(x0y0)的解析：20x y --=或5410x y +-= 【解析】由题意可得：()2'32f x x =-，设曲线上点的坐标为()3000,2x x x -，切线的斜率为2032k x =-，切线方程为：()()()320000232y x x x x x --=--，(*)切线过点()1,1-，则：()()()32012321x x x x ---=--，解得：01x =或012x =-将其代入(*)式整理可得，切线方程为：20x y --=或5410x y +-=.点睛：曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别：前者P (x 0，y 0)为切点，而后者P (x 0，y 0)不一定为切点．三、解答题21．（1）235()222f x x x =-+；（2）10x y －＋＝. 【解析】 试题分析：(1)由题意得到关于实数a,b 的方程组，求解方程组可得函数的解析式为()235222f x x x =-+ (2)利用导函数与切线方程的关系可得f (x )在(1,2)处的切线方程为x －y ＋1＝0. 试题(1)f ′(x )＝2ax －a .由已知得解得∴f (x )＝x 2－2x ＋.(2)函数f (x )在(1,2)处的切线方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0.22．（1）x +y ﹣e ＝0．（2）单调递增区间为（0，1）和（e ，+∞），单调递减区间为（1，e ）． 【分析】（1）当a ＝0时，求函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得结果. （2）根据导数和极值和单调性之间的关系，即可得到结论．【详解】 （1）∵a ＝0，∴f （x ）＝﹣xlnx +x ，f ′（x ）＝﹣lnx ， 则直线的斜率k ＝f ′（e ）＝﹣lne ＝﹣1， f （e ）＝﹣elne +e ＝﹣e +e ＝0， 故所求切线方程为x +y ﹣e ＝0．（2）函数的导数f ′（x ）＝（2ax ﹣1）lnx ﹣ax ﹣1+ax +1＝（2ax ﹣1）lnx ， ∵x ＝e 为函数f （x ）的极值点， ∴f ′（e ）＝2ae ﹣1＝0，解得a 12e=（经检验符合题意） 则f ′（x ）＝（1x e -）lnx x e e-=lnx ， 由f ′（x ）＝0得x ＝1或x ＝e ， 列表得 x （0，1） 1 （1，e ） e （e ，+∞） f ′（x ） + 0 ﹣ 0 + f （x ）增极大值减极小值增所以函数f （x ）的单调递增区间为（0，1）和（e ，+∞），单调递减区间为（1，e ）． 【点睛】本题主要考查函数切线的求解，以及函数极值和单调性与导数的关系，熟练掌握导数的几何意义和导数的综合应用是关键，属于中档题． 23．（1）（2）当时，在上单调递减，在单调递增；当时，在上单调递减； 当时，在和上单调递减，在上单调递增。

第二章 变化率与导数 同步练习(二)1. 曲线y =x 3－3x 2+1在点（1，－1）处的切线方程为（ ）A ．y =3x －4B ．y =－3x +2C ．y =－4x +3D ．y =4x －52. 函数)1()1(2+-=x x y 在2=x 处的导数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 83. 如图，已知质点P 在半径为cm 2的圆上做匀角速度运动（逆时针），角速度s rad /1=ω，设)0,2(A 为起点，则在时刻)(3s t π=时，点P 在x 轴上的摄影点M的速度是（ ）A. s cm /1-B. s cm /1C. s cm /3-D. s cm /34. 已知函数x x x f +-=2)(的图像上一点（-1，-2）及邻近一点（)2,1f x ∆+-∆+-则=∆∆xf（ ） A ．3 B. 2)(3x x ∆-∆ C. 2)(3x ∆- D.x ∆-35. 汽车在笔直公路上行驶，如果)(t v 表示时刻t 的速度，则)(0t v '的意义是（ ）A. 表示当0t t =时汽车的加速度B. 表示当0t t =时汽车的瞬时速度C. 表示当0t t =时汽车的路程变化率D. 表示当0t t =时汽车与起点的距离6. 若曲线12-=x y 与31x y -=在0x x =处的切线互相垂直，则0x 的值为A ．32 B. 361C. 361- D. 32-或07. 如图，当点)4,3,2,1())(,(=j x f x P j j j 沿着曲线)(x f y =趋近于点))(,(000x f x P 时，函数)(x f 从点j P 到点0P 的平均变化率的大小关系是（ ）Ａ．40201030P P P P P P P P k k k k <<< Ｂ．40302010P P P P P P P P k k k k ===Ｃ．30102040P P P P P P P P k k k k <<< Ｄ．40302010P P P P P P P P k k k k <<<8. 已知命题)(:x f p 的导函数是常数函数，且命题p 是q 的必要不充分条件，则q 不可能是（ ）A. 3)(=x fB. 2)(x x f =C. x x f 2)(=D. x x f +=3)(9. 函数2cos 2sin xxx y -=的导数为（ ）yA.4)cos 2(sin 2x x x x --B.4)sin 2(cos 2xx x x -- C. 42)cos 2(sin 2)sin 2(cos x x x x x x x --- D. 42)cos 2(sin 2)sin 2(cos xx x x x x x --+10. 函数n m mx x f +=2)(的导数为34)(x x f ='，则_________=+m n 。

一、选择题1．已知()()()()()()*1232,f x x x x x n n n N =++++≥∈，其导函数是()f x '，若()()10n f a f '-=，则50a =（ ）A ．150!B ．150C ．50D ．50!2．函数()2sin f x k x =+在()0,2处的切线l 也是函数3231y x x x =---图象的一条切线，则k =（ ） A ．1B ．1-C ．2D ．2-3．如图，()y f x =是可导函数，直线l ：2y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线，令2()()g x x f x =，()g x '是()g x 的导函数，则()3g '等于（ ）A ．3B ．0C ．2D ．44．已知函数()2f x x =的图象在1x =处的切线与函数()e xg x a=的图象相切，则实数a =( )A eB e eC eD ．e 5．221(1)1lim 1(1)1n n n→∞+--+的值为（ ） A ．0B ．1C ．12D ．不存在6．已知函数()f x 的导函数为()f x '且满足()()21ln f x x f x '=⋅+，则1f e ⎛⎫'= ⎪⎝⎭（ ） A ．12e- B ．2e - C ．1-D ．e7．曲线2xy x =-在点()1,1-处的切线方程为 A ．21y x =-+ B ．32y x =-+ C ．23y x =-D ．2y x =-8．若存在过点()0,0O 的直线l 与曲线()3232f x x x x =-+和2y x a =+都相切，则a 的值是( ) A ．1B ．164-C ．1或164-D ．1或1649．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( ) A ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B ．[0，π)C ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[0，4π]∪[2π，34π]10．曲线12e x y =在点2(4,e )处的切线与坐标轴所围三角形的面积为A ．29e 2B ．24eC ．22eD ．2e11．设点P ，Q 分别是曲线x y xe -=（e 是自然对数的底数）和直线+3y x =上的动点，则P ，Q 两点间距离的最小值为（ ） A ．22B ．322C ．(41)22e - D ．(41)22e + 12．设()lnf x x x =，若0()2f x '=，则0x =（ ） A ．2eB ．eC ．1ln 22D ．2ln 2二、填空题13．设曲线31x y x +=-在点()2,5处的切线与直线10ax y +-=平行，则a =_________ 14．已知函数为偶函数，若曲线的一条切线的斜率为，则该切点的横坐标等于______．15．若直线1y x =+与函数()ln f x ax x =-的图像相切，则a 的值为__________． 16．已知曲线()32ln 3x f x x x=+在点()()1,1f 处的切线的倾斜角为α，则222sin cos 2sin cos cos ααααα-+= ____________ 17．已知函数1()f x x x=+和点(1,0)P ，过点P 作曲线()y f x =的两条切线PM ，PN ，切点分别为M ，N ，则直线MN 的斜率等于____.18．已知()f x 的导函数为'()f x ，且满足关系式()3'(2)ln f x xf x =+，则(1)f '的值为___．19．设()0sin f x x =，()()10'f x f x =，()()21'f x f x =，…，()()1'n n f x f x +=，n N ∈，则()20170f = __________20．函数2(0)y x x =>的图象在点2(,)n n a a 处的切线与x 轴的交点的横坐标为1,n a n +为正整数，若116a =，则135+a a a +=________.三、解答题21．已知函数()e 2(xf x x e =--是自然对数的底数）．（1）求函数()f x 的图象在点()0,1A -处的切线方程；（2）若k 为整数，且当0x ＞时，(1)()10x k f x x '-+++>恒成立，其中()f x '为()f x 的导函数，求k 的最大值． 22．已知．（1）若曲线在处的切线与直线平行，求a 的值；（2）当时，求的单调区间．23．已知函数()31132f x x =+. （1）求曲线y =f （x ）在点516P ⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；（2）求过点122A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，作曲线y =f （x ）的切线方程. 24．已知函数()()()321166,32f x x a x ax b a b R =-+++∈. （1）若函数()f x 的图象过原点，且在原点处的切线斜率为2-，求a 、b 的值； （2）若在区间()2,3上，函数()f x 不单调，求a 的取值范围. 25．已知函数22y x =，函数图象上有两动点()11,A x y 、()22,B x y . （1）用1x 表示在点A 处的切线方程；（2）若动直线AB 在y 轴上的截距恒等于1，函数在A 、B 两点处的切线交于点P ，求证：点P 的纵坐标为定值. 26．已知曲线2:2C y x x =-+. （1）求曲线C 在点()1,2处的切线方程， （2）求过点()2,3且与曲线C 相切的直线的方程．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B 解析：B 【分析】求出()1f '-和()0f ，可得出n a 的表达式，进而可计算得出50a 的值. 【详解】()()()()()123f x x x x x n =++++，其中2n ≥且n *∈N ，()()()()()()()2313f x x x x n x x x n '∴=++++++++()()()121x x x n ++++-，()()11231f n '∴-=⨯⨯⨯⨯-，()()01231f n n =⨯⨯⨯⨯-⨯，则()()110n f a f n'-==， 因此，50150a =. 故选：B. 【点睛】本题考查导数值的计算，考查计算能力，属于中等题.2．C解析：C 【分析】利用导数的几何意义得出()f x 在()0,2的切线l 的方程，设切线l 在函数3231y x x x =---上的切点为00,x y ，结合导数的几何意义得出在点00,x y 的切线方程，并将点()0,2代入切线方程和函数3231y x x x =---，求出01x =-，00y =，再代入2y kx =+，即可得出k 的值. 【详解】∵()cos f x k x '=，∴()0f k '=，所以在()0,2的切线l 的方程为直线2y kx =+设切线l 在函数3231y x x x =---上的切点为00,x y 由2323y x x '=--，得出0200323x x y x x ='=--故切线方程为()()20000323y y x x x x -=---由()()200003200002323031y x x x y x x x ⎧-=---⎪⎨=---⎪⎩整理得3200230x x -+=，即32200022330x x x +-+=所以()()002012330x x x +-+=，所以()20031512048x x ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得01x =-，00y = 代入2y kx =+，解得2k =. 故选：C 【点睛】本题主要考查了导数几何意义的应用，属于中档题.3．A解析：A 【分析】2y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线求出=(3)k f ，由图(3)=1f ，对2()()g x x f x =求导取值可得.【详解】2y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线,所以切点(3,1)代入切线方程得1=(3)=3k f ，又(3)=1f 2()()g x x f x =，2()2()+()g x xf x x f x ''=， (3)6(3)+9(3)=3g f f ''∴=故选：A. 【点睛】本题考查导数的几何意义.根据导数的几何意义求参数值的思路根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点00)(P x y ，既在曲线上又在切线上构造方程组求解．4．B解析：B 【分析】先求函数()2f x x =的图象在1x =处的切线，再根据该切线也是函数()e xg x a=图象的切线，设出切点即可求解. 【详解】由()2f x x =，得()2f x x '=，则()12f '=，又(1)1f =，所以函数()2f x x =的图象在1x =处的切线为12(1)y x -=-，即21y x =-.设21y x =-与函数()e xg x a=的图象相切于点00(,)x y ,由e ()xg x a '=，可得00000e ()2,e ()21,x x g x ag x x a ⎧==⎪⎪⎨⎪==-⎩'⎪解得32031,e =222x a ==. 故选：B. 【点睛】本题考查导数的几何意义与函数图象的切线问题.已知切点时，可以直接利用导数求解；切点未知时，一般设出切点，再利用导数和切点同时在切线和函数图象上列方程(组)求解.5．A解析：A 【分析】 化简得到221lim 221n n n n →∞+-+，利用极限公式得到答案.【详解】22222112(1)121lim lim lim 0112221(1)12n n n n n n n n n n n n→∞→∞→∞+-++===-+-+-+ 故选：A 【点睛】本题考查了极限的计算，意在考查学生的计算能力.6．B解析：B 【分析】对函数求导得到导函数，代入1x =可求得()11f '=-，从而得到()f x '，代入1=x e求得结果. 【详解】由题意得：()()121f x f x''=+令1x =得：()()1211f f ''=+，解得：()11f '=-()12f x x '∴=-+12f e e ⎛⎫'∴=- ⎪⎝⎭本题正确选项：B 【点睛】本题考查导数值的求解，关键是能够通过赋值的方式求得()1f '，易错点是忽略()1f '为常数，导致求导错误.7．A解析：A 【分析】求得函数的导数，可得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线的方程. 【详解】2xy x =-的导数为22'(2)y x =--， 可得曲线22y x =-在点()1,1-处的切线斜率为1'|2x k y ===-， 所以曲线2xy x =-在点()1,1-处的切线方程为12(1)y x +=--，即21y x =-+，故选A. 【点睛】该题考查的是有关曲线在某点处的切线方程的问题，涉及到的知识点有求导公式，导数的几何意义，直线方程的点斜式，属于简单题目.8．D解析：D 【解析】 【分析】点()0,0O 在()3232f x x x x =-+上，分点()0,0O 是曲线()f x 上的切点，和点()0,0O 不是曲线()f x 上的切点进行讨论，分别对两条曲线求导，利用切点处的导数即为切线的斜率，列方程，可解出答案. 【详解】解：点()0,0O 在()3232f x x x x =-+上，且()2'362f x x x =-+①点()0,0O 是曲线()f x 上的切点 则()k '02f ==，切线l 的方程为：2y x =设直线l 在2y x a =+上的切点为()200,P x x a +因为'2y x =，所以0k 22x ==，所以01x =，所以()1,1P a +, 又点P 在直线2l y x =：上，所以12a +=，即1a =②点()0,0O 不是曲线()f x 上的切点，设曲线()f x 上的切点为()320000,32Q x x x x -+（00x ≠）则()322000000032k '362x x x f x x x x -+==-+=，解得032x =，1k 4=-所以33,28Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，切线l 的方程为：14y x =-设直线l 在2y x a =+上的切点为()200,P x x a +因为'2y x =，所以01k 24x ==-，所以018x =-，所以11,864P a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭, 又点P 在直线14l y x =-：上，所以1116448a ⎛⎫+=-⨯- ⎪⎝⎭，即164a =所以1a =或164故选：D. 【点睛】本题考查了导数的几何意义，求解与切线方程有关的问题一定要先确定切点，题中没给切点的要先设切点坐标，然后根据切点处的导数即为切线的斜率列式求解.9．A解析：A 【解析】由题得cos y x '=，设切线的倾斜角为α，则，3tan cos 1tan 1[0,][,)44k x ππαααπ==∴-≤≤∴∈⋃，故选A.10．D解析：D 【详解】因为曲线12x y e =，所以1212x y e '=切线过点（4，e 2） ∴f′（x ）|x=4=12e 2， ∴切线方程为：y-e 2=12e 2（x-4）， 令y=0，得x=2，与x 轴的交点为：（2，0）， 令x=0，y=-e2，与y 轴的交点为：（0，-e2），∴曲线12x y e =在点（4，e 2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积s=12×2×|-e 2|=e 2.故选D ．11．B解析：B 【分析】对曲线y ＝xe ﹣x 进行求导，求出点P 的坐标，分析知道，过点P 直线与直线y ＝x +2平行且与曲线相切于点P ，从而求出P 点坐标，根据点到直线的距离进行求解即可． 【详解】∵点P 是曲线y ＝xe ﹣x 上的任意一点，和直线y ＝x +3上的动点Q ，求P ，Q 两点间的距离的最小值，就是求出曲线y ＝xe ﹣x 上与直线y ＝x +3平行的切线与直线y ＝x +3之间的距离．由y ′＝（1﹣x ）e ﹣x ，令y ′＝（1﹣x ）e ﹣x ＝1，解得x ＝0， 当x ＝0，y ＝0时，点P （0，0），P ，Q 两点间的距离的最小值，即为点P （0，0）到直线y ＝x +3的距离， ∴d min ＝332=22. 故选B. 【点睛】此题主要考查导数研究曲线上某点的切线方程以及点到直线的距离公式，利用了导数与斜率的关系，这是高考常考的知识点，是基础题．12．B解析：B 【解析】()()00ln 1,ln 12f x x f x x ''=+=+=,解得0x e =,故选B. 二、填空题13．4【分析】求出原函数的导函数得到函数在x=2时的导数再由两直线平行与斜率的关系求得a 值【详解】由得：又曲线在点处的切线与直线平行即故填4【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程考查两直线解析：4 【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x =2时的导数，再由两直线平行与斜率的关系求得a 值． 【详解】 由31x y x +=-得：22134(1)(1)x x y x x ---'==--- 24x y =∴=-'又曲线31x y x +=-在点()2,5处的切线与直线10ax y +-=平行 4a ∴-=-，即4a =.故填4. 【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查两直线平行与斜率的关系，属于中档题.14．ln3【解析】【分析】函数f(x)=ex+ae-x 为偶函数利用f(-x)=f(x)可得：a=1f(x)=ex+e-x 利用导数的几何意义即可得出【详解】∵函数f(x)=ex+ae-x 为偶函数∴f(-x 解析：【解析】 【分析】 函数为偶函数，利用，可得：，利用导数的几何意义即可得出．【详解】 函数为偶函数，，即，可得：．， ，设该切点的横坐标等于，则，令，可得，化为：，解得．，解得． 则该切点的横坐标等于． 故答案为：．【点睛】本题考查了利用导数研究切线的斜率、函数的奇偶性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．2【解析】【分析】设直线与曲线的的切点坐标为根据导数的几何意义求得切线的斜率为求得进而得到切点的坐标代入曲线的方程即可求解【详解】设直线与函数的的切点坐标为因为函数则所以切线的斜率为则所以代入切线的解析：2 【解析】 【分析】设直线1y x =+与曲线的的切点坐标为00(,)P x y ，根据导数的几何意义，求得切线的斜率为01k a x =-，求得011x a =-，进而得到切点的坐标，代入曲线的方程，即可求解. 【详解】设直线1y x =+与函数()ln f x ax x =-的的切点坐标为00(,)P x y ， 因为函数()ln f x ax x =-，则1()f x a x'=-，所以切线的斜率为001()k f x a x =-'=， 则011a x -=，所以011x a =-，代入切线的方程得01111a y a a =+=--，即1(,)11a P a a --，把点P 代入曲线的方程可得11ln 111a a a a a =⨯+---， 整理得1ln 01a =-，解得2a =. 【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数问题，其中解答中根据函数在某点处的导数等于该点处的切线的斜率，求得切点的坐标，代入函数的解析式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.16．【解析】【分析】根据导函数的几何意义得到【详解】曲线求导得到函数在点处的切线的倾斜角为则得到故答案为：【点睛】这个题目考查了导数的几何意义三角函数化简求值本题主要考察诱导公式同角三角函数的基本关系式解析：87【解析】 【分析】根据导函数的几何意义得到()tan 13f α'==，222sin cos 2sin cos cos ααααα-+2tan 18=2tan 17αα-=+. 【详解】曲线()32ln 3x f x x x =+，求导得到()221ln 2x f x x x-=+'，函数在点()()1,1f 处的切线的倾斜角为α，则得到()tan 13f α'==，222sin cos 2sin cos cos ααααα-+2tan 18=2tan 17αα-=+故答案为：87. 【点睛】这个题目考查了导数的几何意义，三角函数化简求值，本题主要考察诱导公式、同角三角函数的基本关系式的知识，注意切弦互化这一转化思想的应用；同角三角函数的基本关系式及诱导公式要注意角的范围对三角函数符号的影响,尤其是利用平方关系求三角函数值,进行开方时要根据角的范围,判断符号后,正确取舍；注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.17．2【解析】设∵函数∴∵过点作曲线的两条切线∴∴直线的方程为直线的方程为∵∴∴即是方程的两根∴∴直线的斜率故答案为2点睛：本题主要考查利用导数求切线斜率属于中档题应用导数的几何意义求切点处切线的斜率主解析：2 【解析】设11(,)M x y ，22(,)N x y . ∵函数()1f x x x=+∴21()1f x x =-' ∵过点P 作曲线()y f x =的两条切线PM ，PN ∴2111PM k x =-，2211PNk x =- ∴直线PM 的方程为11211(1)()y y x x x -=--，直线PN 的方程为22221(1)()y y x x x -=--. ∵1111y x x =+，2221y x x =+ ∴11211110()(1)(1)x x x x -+=--，22222110()(1)(1)x x x x -+=-- ∴211210x x +-=，222210x x +-=，即1x ，2x 是方程2210x x +-=的两根.∴122x x +=-，121x x ⋅=- ∴直线MN 的斜率12121212121211112MN x x y y x x k x x x x x x +---===-=--⋅.故答案为2.点睛：本题主要考查利用导数求切线斜率，属于中档题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点()()00,A x f x 求斜率k ,即求该点处的导数()0k f x '=；(2) 己知斜率k 求切点()()11,,A x f x 即解方程()1f x k '=；(3) 巳知切线过某点()()11,M x f x (不是切点) 求切点, 设出切点()()00,,A x f x 利用()()()10010f x f x k f x x x -'==-求解.18．【分析】】根据导数的计算公式求出令可得然后把x=1代入即可【详解】由可得：∴解得：∴故答案为【点睛】本题考查函数的导数的应用属基础题解析：14【分析】】根据导数的计算公式求出()f x '，令2x =可得 ()124f '=-， 然后把x=1代入即可. 【详解】由()()3'2ln f x xf x =+，可得： ()()132f x f x''=+，∴()()12322f f ''=+，解得： ()124f '=- ∴()()113214f f +'='=. 故答案为 14【点睛】本题考查函数的导数的应用，属基础题.19．1【解析】由题意由此可知在逐次求导的过程中所得的函数呈周期性变化从开始计周期是4∵是一周中的第三个函数∴∴故答案为1点睛：本题考查函数的周期性探究过程中用的是归纳推理对其前几项进行研究得出规律求解本解析：1 【解析】由题意()0sin f x x =，()()10cos f x f x x '==，()()21sin f x f x x ='=-，()()32cos f x f x x ='=-，()()43sin f x f x x ='=，由此可知，在逐次求导的过程中，所得的函数呈周期性变化，从0开始计，周期是4，∵201745041=⨯+，()2010f x 是一周中的第三个函数，∴()2017cos f x x =，∴()20170cos01f ==，故答案为1.点睛：本题考查函数的周期性，探究过程中用的是归纳推理，对其前几项进行研究得出规律，求解本题的关键一是要归纳推理的意识，一是对正、余弦函数的导数求法公式熟练掌握．本题易因为判断不准()2010f x 一周期中的第几个数而导致错误，要谨慎.20．21【解析】则斜率为切线方程为令得是以16为首项以为公比的等比数列【点睛】求曲线在某点处的切线问题可利用导数的几何意义去处理利用导数求出斜率利用直线方程的点斜式写出切线方程求出直线与x 轴的交点的横坐解析：21 【解析】2y x '=，则斜率为2n k a =，切线方程为22()n n n y a a x a -=-，令0y =，得111,22n n n n a a a a ++==，{}n a 是以16为首项，以12为公比的等比数列，1351116161621416a a a ++=+⨯+⨯=.【点睛】求曲线在某点处的切线问题，可利用导数的几何意义去处理，利用导数求出斜率，利用直线方程的点斜式写出切线方程，求出直线与x 轴的交点的横坐标，得出1n a +与n a 的关系，借助数列的知识判断数列为等比数列，写出等比数列的首项与公比，求出所要求的和.三、解答题21．（1） 1.y =-；（2）3. 【解析】试题分析：（1）切线的斜率就是该点处的导数，即'(0)k f =；（2）当时，10x e ->，不等式()(1)10x k f x x '-+++>为(1)(1)10xx k e x -+-++>，即111x x k x e +<++-，这样k 小于111xx x e +++-的最小值，因此下面只要求1()11x x g x x e +=++-的最小值.2(2)'()(1)x x x e e x g x e --=-，接着要讨论()2x h x e x =--的零点，由于()h x 在(0,)+∞上单调递增，且(1)0,(2)0h h ，因此()h x 在(0,)+∞上有唯一零点，即在上存在唯一的零点，设其为α，则'()0,(1,2)g αα=∈，可证得()g α为最小值，()2(3,4)g αα=+∈，从而整数k 的最大值为3.试题（1）()2,x f x e x x R =--∈，/()1,x f x e x R =-∈， 2分/(0)0f = 曲线()f x 在点处的切线方程为 1.y =- 4分（2）当时，10x e ->，所以不等式可以变形如下：/1(1)()10(1)(1)1011x x x x k f x x x k e x k x e +-+++>⇔-+-++>⇔<++- ① 6分 令()111xx g x x e +=++-，则 函数在上单调递增，而所以()h x 在上存在唯一的零点，故在上存在唯一的零点.设此零点为α，则. 当时，；当时，； 所以，在上的最小值为()g α.由可得 10分所以，()()23,4.g αα=+∈由于①式等价于.故整数k 的最大值为3. 12分考点：导数与切线，不等式恒成立，导数与单调性，函数的零点. 22．（1）；（2）单调递增区间为，；单调递减区间为【解析】试题分析：（1）先求导数，由条件知f'（-1）=2，然后求解．（2）求函数的导数，利用导数不等式求函数的单调区间 试题（1）由题意得 ∴∴（2） ∵，∴∴，令，得令，得∴单调递增区间为，单调递减区间为极大值为，极小值为考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程 23．（1）172；（2）y 12=或18x ﹣2y ﹣35=0.【分析】 （1）函数()31132f x x =+的导数为()f x '=x 2，曲线y =f （x ）在点516P ⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线的斜率为k =1，写出切线的方程，分别令x =0，y =0，得到在x ，y 轴上的截距，再利用三角形面积公式求解. （2）易得A （2，12）不在图象上，设切点为（m ，n ），则切线的斜率为m 2，切线的方程为y ﹣n =m 2（x ﹣m ），再由231221132n m m n m ⎧-⎪=⎪-⎨⎪=+⎪⎩求解.【详解】（1）因为函数()31132f x x =+， 所以()f x '=x 2， 所以()1=1f '所以曲线y =f （x ）在点516P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，处的切线的斜率为k =1， 则切线的方程为y 56-=x ﹣1，即为6x ﹣6y ﹣1=0，令x =0，可得y 16=-；y =0，可得x 16=. 则切线与坐标轴围成的三角形的面积为S 111126672=⨯⨯=； （2）由A （2，12）和()31132f x x =+，可得f （2）811322=+≠， 即A 不在f （x ）的图象上，设切点为（m ，n ），则切线的斜率为m 2， 切线的方程为y ﹣n =m 2（x ﹣m ），则231221132n m m n m ⎧-⎪=⎪-⎨⎪=+⎪⎩， 解得012m n =⎧⎪⎨=⎪⎩或3192m n =⎧⎪⎨=⎪⎩，故切线的方程为y 12=或18x ﹣2y ﹣35=0. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义及其应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 24．（1）13a =-，0b =；（2）()2,3. 【分析】（1）根据题意可得()()0002f f ⎧=⎪⎨=-'⎪⎩，进而可解得a 、b 的值；（2）根据题意可知，函数()y f x =在区间()2,3上有极值点，设()()x f x ϕ'=，分函数()y x ϕ=在区间()2,3只有一根，或两根，利用二次函数零点分布可得出关于a 的不等式组，由此可解得a 的取值范围. 【详解】 （1）()000f b =⇒=，()()266f x x a x a ∴'=-++，()062f a '==-，解得13a =-；（2）由题意得()0f x '=在()2,3上有解，令()()266x x a x a ϕ=-++.①一根在()2,3上，()()632202330a a ϕϕ+⎧≥⎪⎪>⇒<<⎨⎪<⎪⎩或()()6222030a ϕϕ+⎧≤⎪⎪<⎨⎪>⎪⎩，该不等式组无解； ②两根在()2,3上，()()()2624062322030a a a ϕϕ⎧∆=+->⎪+⎪<<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩ ，该不等式组无解. 综上()2,3a ∈. 【点睛】本题难度一般.第一问考查了导函数的几何意义，第二问直接考查了导函数的极值问题，间接考查了二次方程根的分布问题，属于中等题. 25．（1）21142y x x x =-；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用导数求出切线的斜率，然后利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）设直线AB 的方程为1y kx =+，将该直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，将两切线方程联立，求出点P 的纵坐标，进而可证得结论. 【详解】 （1）22y x =，4y x '∴=，所以，函数22y x =在点A 处的切线斜率为14x ，因此，函数22y x =在点A 处的切线方程为()211124y x x x x -=-，即21142y x x x =-；（2）设直线AB 的方程为1y kx =+，联立212y kx y x=+⎧⎨=⎩，得2210x kx --=， 由韦达定理得122k x x +=，1212x x =-. 由于抛物线22y x =在点A 处的切线方程为21142y x x x =-，则该抛物线在点B 处的切线方程为22242y x x x =-，联立2112224242y x x x y x x x ⎧=-⎨=-⎩，解得121222x x x y x x +⎧=⎪⎨⎪=⎩， 因此，点P 的纵坐标为1221x x =-（定值）. 【点睛】本题考查抛物线切线方程的求解，同时也考查了抛物线中定值问题的证明，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题. 26．（1）10x y -+=；（2）见解析【分析】(1)首先由导函数求得切线的斜率，然后求解切线方程即可；(2)首先设出切点坐标，然后结合点的坐标求得切点横坐标，最后由切点坐标可得满足题意的切线方程. 【详解】（1）曲线2:2C y x x =-+，21y x '∴=-，斜率1|1x k y '===∴曲线22y x x =-+在()1,2处的切线方程为21y x -=-即10x y -+=（2）∵点()2,3不在曲线22y x x =-+上．设过点()2,3与曲线C 相切的直线其切点为()2000,2x x x -+则切点处的斜率为021x -．∴切线方程为()()()20000221()y x x x x x --+=--*，又因为此切线过点()2,3．()()()2000032212x x x x ∴--+=--，解得01x =或03x =代入()*式得过点()2,3与曲线2:2C y x x =-+相切的直线方程为10x y -+=或570x y --=.【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． 二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.。

一、选择题1．直线2y x b =+是曲线ln y x x =的一条切线，则实数b ＝（ ）A ．eB ．2eC ．e -D ．2e -2．函数()21cos 6f x x x =-的导函数()y f x '=的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．3．已知a ，b 为正实数，直线y x a =-与曲线()ln y x b =+相切，则11ab+的最小值是( ) A ．2B ．42C ．4D ．224．设点P 是曲线()233xf x e x =-+上的任意一点，点P 处的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )A ．2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．20,,23πππ⎡⎫⎛⎫⋃⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭C ．50,,26πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭D ．5,26ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭5．已知()ln 1xf x x=+，则()0f '等于（ ） A ．12B ．12-C ．14D ．14-6．函数()f x 的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ）A ．'(3)'(4)(4)(3)f f f f <<-B ．'(4)(4)(3)'(3)f f f f <-<C ．'(4)'(3)(4)(3)f f f f <<-D ．(4)(3)'(4)'(3)f f f f -<<7．已知函数()2f x x =的图象在1x =处的切线与函数()e xg x a=的图象相切，则实数a =( )A ．eB ．e e2C ．e 2D ．e e8．若()f x 为定义在区间G 上的任意两点12,x x 和任意实数()0,1λ∈，总有()()()()()12l 1211f x x f x f x λλλλ+-+-，则称这个函数为“上进”函数，下列函数是“上进”函数的个数是（ ） ①()x x f x e =，②()f x x =，③()()ln 1x f x x+=，④()21xf x x =+． A ．4B ．3C ．2D ．19．已知ln 0a b -=，1c d -=，则22()()a c b d -+-的最小值是（ ）. A ．1B ．2C ．2D ．2210．函数()cos sin f x x x x =-的图象上的点()00,x y 处的切线的斜率为k ，若()0k g x =，则函数()g x 的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．11．曲线2ln y x x=-在1x =处的切线的倾斜角为α，则cos sin αα+的值为（ ） A ．2105 B ．1010C ．105D 31012．已知函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，数列1()f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则2020S 的值为（ ） A ．20202021B ．20192020C ．20182019D ．20172018二、填空题13．设点P 是曲线3233y x x =+上的任意一点，P 点处的切线倾斜角为σ，则σ的取值范围为____________.14．已知223,1()ln ,1x x x f x x x ⎧--+≤=⎨>⎩，若函数1()2y f x kx =-+有4个零点，则实数k的取值范围是______．15．已知函数()()cos ,2,2223cos ,2,222x x k k k Z y x x k k k Z ππππππππ⎧⎡⎫∈-+∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎡⎫⎪-∈++∈⎪⎢⎪⎣⎭⎩的图象与直线()()20y m x m =+>恰有四个公共点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，其中1234x x x x <<<，则()442tan x x +=___________.16．已知函数()()2xf x x a e =-，且()'13f e =，则曲线()y f x =在0x =处的切线方程为______.17．已知函数()cos2f x x =的图象与直线()4400kx y k k π--=>恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大分别为123,,x x x ，则()()2113tan x x x x -=-________.18．函数()2xf x e x =+ (e 为自然对数的底数）的图像在点（0,1）处的切线方程是____________19．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()322f x x x =-，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为______________.20．三棱锥A BCD -中，3AB CD ==，2==AC BD ，5AD BC ==，则该几何体外接球的表面积为_______________.三、解答题21．已知函数()mf x mx x=-，()2ln g x x =. （1）当2m =时，求曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线方程； （2）当1m =时，判断方程()()f x g x =在区间(1)+∞，上有无实根；（3）若(1]x e ∈，时，不等式()()2f x g x -<恒成立，求实数m 的取值范围. 22．已知二次函数2()f x ax bx =+的图象过点()4,0n -，且()()*02,f n n N '=∈.（1）求()f x 的解析式；设数列{}n a 满足()2nn a f n =-⋅'，求数列{}n a 的前n 项和.23．已知函数，，曲线在处的切线方程为．（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）若对，恒有成立，求的取值范围．24．设函数()bf x ax x=-，曲线y =f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程为7x -4y -12=0．（1）求y =f （x ）的解析式；（2）证明：曲线y =f （x ）上任一点处的切线与直线x =0和直线y =x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值． 25．已知函数.（1）若函数在处有极值，求的值； （2）若对于任意的在上单调递增，求的最小值.26．（1）求曲线1y x=在点()11--，处的切线方程； （2）求经过点（4，0）且与曲线1y x=相切的直线方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C 解析：C 【分析】 求导得到()'ln 1f x x =+，计算切点为(),e e ，代入直线方程得到答案.【详解】()ln y f x x x ==，则()'ln 1f x x =+，取()'ln 12f x x =+=，解得x e =，当x e =时，ln y e e e ==，故切点为(),e e ，代入直线得到2e e b =+，故b e =-. 故选：C. 【点睛】本题考查了根据切线方程求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.2．A解析：A 【分析】 求导得到()1'sin 3f x x x =+，根据函数为奇函数排除B ，证明()0,x ∈+∞时，()'0f x >恒成立，排除CD ，得到答案.【详解】()21cos 6f x x x =-，则()1'sin 3f x x x =+，()()1'sin '3f x x x f x -=--=-， 导函数()'f x 为奇函数，排除B ； 当()0,x π∈时，()1'sin 03f x x x =+>； 当[),x π∈+∞时，()1'sin 1sin 03f x x x x =+>+≥， 故()0,x ∈+∞时，()1'sin 03f x x x =+>恒成立，排除CD. 故选：A. 【点睛】本题考查了函数图像的识别，意在考查学生的计算能力和应用能力，确定函数奇偶性和()0,x ∈+∞时，()'0f x >恒成立是解题的关键. 3．C解析：C 【分析】求函数的导数，由已知切线的方程，可得切线的斜率，求得切线的坐标，可得1a b +=，再由乘1法和基本不等式，即可得到所求最小值． 【详解】解：()y ln x b =+的导数为1y x b'=+， 由切线的方程y x a =-可得切线的斜率为1， 可得切点的横坐标为1b -，所以切点为(1,0)b -， 代入y x a =-，得1a b +=，a 、b 为正实数，则111()()22241b a b a a b a b a b a b a b+=++=+++=． 当且仅当12a b ==时，11a b+取得最小值4． 故选：C 【点睛】本题主要考查导数的应用，利用导数的几何意义以及基本不等式是解决本题的关键，属于中档题．4．B解析：B 【分析】先对函数进行求导，然后表示出切线的斜率，求出斜率范围，再由切线的斜率与倾斜角之间的关系求倾斜角范围即可. 【详解】由()23xf x e =+，所以()'=xf x e又P 是曲线()23xf x e =+上的任意一点，点P 处的切线的倾斜角为α，所以点P 处的切线的斜率为tan α==x k e 0x e >，所以tan α>所以角α的取值范围为20,,23πππ⎡⎫⎛⎫⋃⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭. 故选：B. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义及导数的求法，属于基础题 .5．C解析：C 【分析】首先利用换元法求出函数()f x 的解析式，再求出其导函数，最后代入求值即可； 【详解】 解：()ln 1x f x x=+， 令ln t x =，t R ∈，则t x e =()1tte f t e ∴=+，t R ∈ ()1xxe f x e ∴=+，x ∈R ()()()()()222111xxx xx x e e ee f x e e +-'∴==++()()201041e f e '∴==+故选：C 【点睛】本题考查换元法求函数解析式，导数的计算，属于中档题.6．B解析：B 【分析】根据导数的几何意义结合图象即可判断. 【详解】解：由函数图象可知，函数单调递增，但函数的增长速度越来越缓慢，由导数的几何意义可知，()3f '表示函数在3x =处的切线l 的斜率；()4f '表示函数在4x =处的切线m 的斜率；()()()()434343f f f f --=-表示函数图象上()()3,3f 与()()4,4f 两点连线n 的斜率，由图可知l n m k k k >>，故(4)(4)(3)(3)f f f f ''<-< 故选：B【点睛】本题考查了学生的作图能力及对导数的几何意义的理解，属于基础题．7．B解析：B 【分析】先求函数()2f x x =的图象在1x =处的切线，再根据该切线也是函数()e xg x a=图象的切线，设出切点即可求解. 【详解】由()2f x x =，得()2f x x '=，则()12f '=，又(1)1f =，所以函数()2f x x =的图象在1x =处的切线为12(1)y x -=-，即21y x =-. 设21y x =-与函数()ex g x a=的图象相切于点00(,)x y ,由e()xg x a '=，可得00000e ()2,e ()21,x x g x a g x x a ⎧==⎪⎪⎨⎪==-⎩'⎪解得32031,e 22x a ==. 故选：B. 【点睛】本题考查导数的几何意义与函数图象的切线问题.已知切点时，可以直接利用导数求解；切点未知时，一般设出切点，再利用导数和切点同时在切线和函数图象上列方程(组)求解.8．B解析：B 【解析】 【分析】将问题进行等价转化，然后结合导函数的解析式研究函数的性质即可确定“上进”函数的个数. 【详解】由区间G 上的任意两点12,x x 和任意实数()0,1λ∈， 总有()()()()()121211x f x x f x f λλλλ+-+-，等价为对任意x G ∈，有()0f x ''>成立（()''f x 是函数()f x 导函数的导函数）， ①()x x f x e =的导数()1'x x f x e -=，()2''xxf x e -+=，故在()2,3上大于0恒成立，故①为“上进”函数；②()f x =()'f x =，()1''04f x =-<恒成立，故②不为“上进”函数； ③()()ln 1x f x x+=的导数()()()()21ln 11x x x f x x x ++'-=+，()()()()2233221ln 11x x x x f x x x --+++=+''当21,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，2320x x --<，()()21ln 10x x ++<，()230,10x x <+>，则()''0f x >恒成立．故③为“上进”函数；④()21x f x x =+的导数()()2221'1x f x x -=+，()()33226''1x x f x x -=+，当()2,3x ∈时，()''0f x >恒成立．故④为“上进”函数． 故选B . 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.9．C解析：C 【分析】设点(),b a 是曲线:ln C y x =上的点，点()d c ，是直线:1l y x =+上的点；()()22a cb d -+-可看成曲线C 上的点到直线l 上的点的距离的平方．然后将问题转化为求曲线C 上一点到直线l 距离的最小值的平方，直接对函数ln y x =求导，令导数为零，可求出曲线C 上到直线l 距离最小的点，然后利用点到直线的距离公式可求出最小距离，从而得出答案． 【详解】设(),b a 是曲线:ln C y x =上的点，()d c ，是直线:1l y x =+上的点；()()22a cb d -+-可看成曲线C 上的点到直线l 上的点的距离的平方． 对函数ln y x =求导得1y x'=，令1y '=，得1x =， 所以，曲线C 上一点到直线l 上距离最小的点为()10，，该点到直线l的距离为因此，()()22a cb d-+-的最小值为22＝．故选C．【点睛】本题考查距离的最值问题，将问题进行转化是解本题的关键，属于中等题．10．B解析：B【分析】求出函数的导数，得到函数的解析式，利用奇偶性及特殊函数值进行排除即可．【详解】函数cos siny x x x=-，可得'siny x x=-，在点()00,x y处的切线的斜率为k，若()000sink g x x x==-，函数k是偶函数，排除A，D，当06xπ=时，12kπ=-<，显然C不正确，B正确；故选B．【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数性质的应用，考查计算能力．11．A解析：A【解析】【分析】求出曲线2lny xx=-在1x=处切线斜率，从而可得进而得到cos sinαα+.【详解】函数的定义域为()0,∞+，212,yx x=+'1x=时，3,y'=，即tan3,α=且α为锐角，则cosαα===cos sin105αα∴+==故选A.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查斜率与倾斜角之间的关系，考查同角三角函数基本关系式，确定tan3,α=是解题的关键．12．A解析：A【分析】由2()f x x bx =+，求导得到()2f x x b '=+，再根据函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，由(1)23f b '=+=求解，从而得到()2()1f x x x x x =+=+，则()1111()11f n n n n n ==-++，再利用裂项相消法求解. 【详解】因为2()f x x bx =+， 所以()2f x x b '=+，因为函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3， 所以(1)23f b '=+=， 解得1b =，所以()2()1f x x x x x =+=+，数列()1111()11f n n n n n ==-++， 所以202011111111 (12233420202021)S =-+-+-++-， 12020120212021=-=. 故选：A 【点睛】本题主要考查导数的几何意义以及数列的裂项法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.二、填空题13．【分析】设点根据导数的几何意义求得即可得到答案【详解】设点由函数可得可得即又由所以故答案为：【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及其应用其中解答中熟记导数的几何意义准确计算是解答的关键着重考查推理与解析：20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【分析】设点00(,)P x y ，根据导数的几何意义，求得tan σ≥. 【详解】设点00(,)P x y ，由函数323y x =+，可得23y x '=可得020|3x x y x ='=，即tan σ≥ 又由[)0,σπ∈，所以20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭.故答案为：20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及其应用，其中解答中熟记导数的几何意义，准确计算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.14．【分析】转化条件得有4个零点令画出两函数的图象后可得当函数过点和时函数与的图象相切时函数与的图象恰有3个交点；当在两者范围之间时满足条件利用导数的性质求出函数与的图象相切时的值即可得解【详解】由题意解析：1(2【分析】转化条件得1()2f x kx =-有4个零点,令()12g x kx =-，画出两函数的图象后可得当函数()g x 过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭和()1,0时、函数()g x 与()ln 1y x x =>的图象相切时，函数()g x 与()f x 的图象恰有3个交点；当k 在两者范围之间时，满足条件，利用导数的性质求出函数()g x 与()ln 1y x x =>的图象相切时k 的值即可得解.【详解】由题意1()2y f x kx =-+有4个零点即1()2f x kx =-有4个零点,设()12g x kx =-，则()g x 恒过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴函数()g x 与()f x 的图象有4个交点，在同一直角坐标系下作出函数()g x 与()f x 的图象，如图， 由图象可知，当12k <时，函数()g x 与()f x 的图象至多有2个交点； 当函数()g x 过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭和()1,0时，12k =，此时函数()g x 与()f x 的图象恰有3个交点；当函数()g x 与()ln 1y x x =>的图象相切时， 设切点为(),ln a a ，1y x'=， ∴1k a=，∴1ln 12a a a+=，解得a =∴k e=()g x 与()f x 的图象恰有3个交点；当ek e>时，两函数图象至多有两个交点； ∴若要使函数1()2y f x kx =-+有4个零点，则1(,)2k e e∈.故答案为：1(,)2ee.【点睛】本题考查了函数的零点问题和导数的几何意义，考查了数形结合思想，属于中档题.15．-1【分析】根据题意直线与曲线相切于点利用导数的几何意义可求【详解】由题意可知直线恒过且与曲线相切于点；如图由得所以即【点睛】本题主要考查导数的几何意义切线的斜率为切点处的导数值侧重考查逻辑推理的核解析：-1 【分析】根据题意直线()()20y m x m =+>与曲线相切于点D ，利用导数的几何意义可求. 【详解】由题意可知，直线恒过()2,0-，且与曲线相切于点D ；如图，由cos y x =-得sin y x '=，4sin m x =，44cos (2)x m x -=+，所以444cos sin (2)x x x -=+，即()442tan 1x x +=-. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，切线的斜率为切点处的导数值，侧重考查逻辑推理的核心素养.16．【分析】求导利用求出根据导数几何意义可求斜率利用点斜式写出切线方程即可【详解】∵∴解得即则∴曲线在点处的切线方程为即【点睛】本题主要考查了导数的几何意义切线方程属于中档题 解析：10x y --=【分析】求导，利用()'13f e =求出a ，根据导数几何意义可求斜率(0)k f '=，利用点斜式写出切线方程即可. 【详解】∵()()()'2222xxxf x e x a e x a e =+-=+-，∴()()'143f a e e =-=，解得1a =，即()()21x f x x e =-，()01f =-，则()()'21x f x x e =+，∴()'01f =，曲线()y f x =在点0x =处的切线方程为()110y x +=⨯-，即10x y --=.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于中档题.17．【分析】求解直线恒过定点（0）k ＞0恰有三个公共点其直线必过f （x ）的对称点（0）其它两点是直线与f （x ）的切点那么x1+x3=由导函数几何意义：f′（2x ）=-sin2=k 再由切线方程即可求出【详 解析：12-【分析】求解直线 440(0)kx y k k π--=>恒过定点（4π，0），k ＞0恰有三个公共点，其直线必过f （x ）的对称点（4π，0），其它两点是直线与f （x ）的切点，那么x 1+x 3=2π，31x =-x 2π由导函数几何意义：f′（2x 1）=-sin21x =k ，再由切线方程即可求出.【详解】由题意，直线440(0)kx y k k π--=>可得y=k(x-4π)恒过定点（4π，0），即x 2=4π∵k ＞0恰有三个公共点，其直线必与（x ）的相切，因为f （x ）关于（4π，0）对称，所以x 1+x 3=2π．∴31x =-x 2π，导函数几何意义：f′（2x 1）=-sin21x =k所以切线方程：y-111cos2x =-2sin2x x-x （） 过（4π，0）所以112-x tan2x =14（）π，()2113tan x x x x --=11x 4tan 22x ππ-⎛⎫- ⎪⎝⎭=111tan242x x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 故答案为12- 【点睛】本题考查了直线方程的定点和三角函数图象的交点问题．灵活判断定坐标值和对称点的和为定值是关键，再利用切线方程找到等式，求出结果即可，属于中档题.18．【分析】对函数求导得到导数f′(x)＝ex ＋2图像在点(01)处的切线斜率k ＝e0＋2＝3故得到切线方程为【详解】∵函数f(x)＝ex ＋2x ∴导数＝ex ＋2∴f(x)的图像在点(01)处的切线斜率k 解析：31yx【分析】对函数求导得到导数f ′(x )＝e x ＋2，图像在点(0，1)处的切线斜率k ＝e 0＋2＝3，故得到切线方程为31y x .【详解】∵函数f (x )＝e x ＋2x ，∴导数()'f x ＝e x ＋2，∴f (x )的图像在点(0，1)处的切线斜率k ＝e 0＋2＝3，∴图像在点(0，1)处的切线方程为y ＝3x ＋1.故答案为31y x .【点睛】这个题目考查了利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.19．【分析】先求出当时的解析式然后再求出切线方程【详解】函数是定义在上的奇函数当时当时则当时即切线方程为即故答案为【点睛】结合函数的奇偶性求出函数的表达式再运用导数的几何意义求出在点处的切线方程本题较为 解析：740x y --=【分析】先求出当0x >时的解析式，然后再求出切线方程 【详解】函数()f x 是定义在R 上的奇函数∴当0x <时，()322f x x x =-当0x >时，0x -<，()()()323222f x x x x x -=---=--则当0x >时，()322f x x x =+()1123f =+=()234f x x x '=+，()17f '=即切线方程为()371y x -=-， 即740x y --= 故答案为740x y --= 【点睛】结合函数的奇偶性求出函数的表达式，再运用导数的几何意义求出在点处的切线方程，本题较为基础，只要掌握解题方法即可20．【解析】三棱锥内接于长宽高为的长方体所以该几何体外接球的直径为表面积为 解析：6π【解析】三棱锥A BCD -内接于长宽高为的长方体，所以该几何体外接球的直径为=，表面积为246r ππ= 三、解答题21．(1) 44y x =-；(2) 内无实数根；（3）241e e ⎛⎫-∞ ⎪-⎝⎭，. 【解析】试题分析：（2）把m 的值代入后，求出f （1），求出x=1时函数的导数，由点斜式写出曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ）代入m 的值，把判断方程f （x ）=g （x ）在区间（1，+∞）上有无实根转化为判断函数h （x ）=f （x ）﹣g （x ）在（1，+∞）上有无零点问题，求导后利用函数的单调性即可得到答案；（Ⅲ）把f （x ）和g （x ）的解析式代入不等式，整理变形后把参数m 分离出来，x ∈（1，e]时，不等式f （x ）﹣g （x ）＜2恒成立，转化为实数m 小于一个函数在（1，e]上的最小值，然后利用导数分析函数在（1，e]上的最小值． 试题（1）2m =时，()22f x x x =-，()222f x x='+，()14f '=，切点坐标为()10，， ∴切线方程为44y x =-（2）1m =时，令()()()12ln h x f x g x x x x=-=--， ()()22211210x h x x x x-=+-=≥'，∴()h x 在()0+∞，上为增函数， 又()10h =，所以()()f x g x =在()1+∞，内无实数根.（3）2ln 2mmx x x--<恒成立，即()2122ln m x x x x -<+恒成立. 又210x ->，则当(]1x e ，∈时，222ln 1x x xm x +<-恒成立，令()222ln 1x x xG x x +=-，只需m 小于()G x 的最小值. ()()()2222ln ln 21x x x G x x-++-'=，∵1x e <≤，∴ln 0x >，∴(]1x e ，∈时，()0G x '<， ∴()G x 在(]1e ，上单调递减，∴()G x 在(]1e ，的最小值为()241eG e e =-， 则m 的取值范围是241e e ⎛⎫-∞ ⎪-⎝⎭，. 点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x >，若()0f x <恒成立，转化为max ()0f x <;（3）若()()f x g x >恒成立，可转化为min max ()()f x g x >. 22．(1) ()()2*122f x x nx n N =+∈ (2) ()1122n n S n +=-+ 【解析】试题分析：（1）由()()40,'02f n f n -==列出关于,a b 的方程组,，即可解得,a b 的值，从而可求出()f x 的解析式；（2）由（1）知()f n n '-=，所以可得2nn a n =⋅，利用错位相减法结合等比数列求和公式，即可求数列{}n a 的前n 项和. 试题（1）由()2f x ax b ='+，∴22,1640.b n n a nb =⎧⎨-=⎩解之得1,22a b n ==，即()()2*122f x x nx n N =+∈. （2）()22nnn a f n n =-⋅=⋅'设123222322n n S n =+⋅+⋅++⋅所以()2312222122n n n S n n +=+⋅++-⋅+⋅两式相减123122222n n n S n +-=++++-⋅11222n n n ++=--⋅∴()1122n n S n +=-+【 方法点睛】本题主要考查导数的几何意义、等比数列的求和公式以及错位相减法求数列的的前n 项和，属于中档题.一般地，如果数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求数列{}n n a b 的前n 项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列{}n b 的公比，然后作差求解, 在写出“n S ”与“n qS ” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式. 23．（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）求出导数，利用导数的几何意义，求出，即可求的解析式； （Ⅱ）对，恒有成立，等价于，即可求的取值范围．试题 （Ⅰ）∵，∴，∴． 令，代入切线方程得切点坐标为，代入函数，得．∴． （Ⅱ）∵，令，得或（舍）．列表得：极大值∵，，∴，，∴对恒成立， ∴恒成立，，∴恒成立， 记，，∴． ∵，令，则，列表得：极小值∴，∴．点睛：本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义即函数在某点处的导数即在该点处切线的斜率，考查恒成立问题，属于中档题；常见的恒成立有：对于涉及到一个变量恒成立时，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解；对于含有两个变量时，成立，等价于.24．(1)3()f x x x=-；(2)证明见解析. 【解析】解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3， 当x ＝2时，y ＝12． 又f′(x)＝a ＋2b x ， 于是1222{744b a b a -=+=，解得13a b ==⎧⎨⎩故f(x)＝x －3x． (2)证明：设P(x 0，y 0)为曲线上任一点，由f′(x)＝1＋23x知，曲线在点P(x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(1＋203x )·(x －x 0)，即y －(x 0－03x )＝(1＋203x )(x －x 0)． 令x ＝0得，y ＝－06x ，从而得切线与直线x ＝0，交点坐标为(0，－06x )． 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)． 所以点P(x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12|－06x ||2x 0|＝6．曲线y ＝f(x)上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，此定值为6．25．（1）b ＝－11 （2）【解析】解：(1)f′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ， 于是，根据题设有，解得或.当时，f′(x)＝3x 2＋8x －11，Δ＝64＋132>0，所以函数有极值点； 当时，f′(x)＝3(x －1)2≥0，所以函数无极值点．所以b ＝－11.(2)由题意知f′(x)＝3x 2＋2ax ＋b≥0对任意的a ∈[－4，＋∞)，x ∈[0,2]都成立， 所以F(a)＝2xa ＋3x 2＋b≥0对任意的a ∈[－4，＋∞)，x ∈[0,2]都成立． 因为x≥0，所以F(a)在a ∈[－4，＋∞)上为单调递增函数或为常数函数， ①当F(a)为常数函数时，F(a)＝b≥0；②当F(a)为增函数时，F(a)min ＝F(－4)＝－8x ＋3x 2＋b≥0， 即b≥(－3x 2＋8x)max 对任意x ∈[0,2]都成立， 又－3x 2＋8x ＝－3(x －)2＋≤， 所以当x ＝时，(－3x 2＋8x)max ＝，所以b≥.所以b 的最小值为.26．（1）20x y ++=； （2）440x y +-= 【分析】（1）求出函数在1x =-处的导数值，即为切线斜率，再由切点写出切线方程； （2）因为点(4,0)并不在曲线上，故该点不是切点.设切点坐标为001(,)x x ，求得导数，即为切线的斜率，写出切线方程，将(4,0)代入方程，即可求出切点的坐标，进而写出切线方程. 【详解】 解：1y x =，21y x'∴=- （1）当1x =-时，得在点()11--，处的切线的斜率为1-， ∴切线方程为：1(1)y x +=-+，即20x y ++=；（2）设切点为001(,)x x ，则切线的斜率为201x - ∴切线方程为020011()y x x x x -=--， 切线过点(4,0)， 020011(4)x x x ∴-=--，解得02x =， ∴所求切线方程为11(2)24y x -=--， 即440x y +-=.【点睛】本题考查了导数的几何意义，注意“在”和“过”点的切线的区别，属于基础题.。

1．1.3导数的几何意义[学习目标]1．了解导函数的概念；了解导数与割线斜率之间的关系．2．理解曲线的切线的概念；理解导数的几何意义．3．会求曲线上某点处的切线方程，初步体会以直代曲的意义．[知识链接]如果一个函数是路程关于时间的函数，那么函数在某点处的导数就是瞬时速度，这是函数的实际意义，那么从函数的图象上来考查函数在某点处的导数，它具有怎样的几何意义呢？答设函数y＝f(x)的图象如图所示，AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是ΔyΔx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线在点A处的切线．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.[预习导引]1．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．函数的导函数当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数，则当x 变化时，f ′(x )是x 的一个函数，称f ′(x )是f (x )的导函数(简称导数)．f ′(x )也记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx.要点一 过曲线上一点的切线方程例1 若曲线y ＝x 3＋3ax 在某点处的切线方程为y ＝3x ＋1，求a 的值． 解 ∵y ＝x 3＋3ax .∴y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3＋3a (x ＋Δx )－x 3－3axΔx ＝lim Δx →0 3x 2Δx ＋3x (Δx )2＋(Δx )3＋3a Δx Δx ＝lim Δx →0 [3x 2＋3x Δx ＋(Δx )2＋3a ]＝3x 2＋3a . 设曲线与直线相切的切点为P (x 0，y 0)， 结合已知条件，得⎩⎨⎧ 3x 20＋3a ＝3，x 30＋3ax 0＝y 0＝3x 0＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1－322，x 0＝－342.∴a ＝1－322.规律方法 一般地，设曲线C 是函数y ＝f (x )的图象，P (x 0，y 0)是曲线C 上的定点，由导数的几何意义知k ＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，继而由点与斜率可得点斜式方程，化简得切线方程．跟踪演练1 求曲线y ＝1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12处的切线方程．解因为limΔx→0f(2＋Δx)－f(2)Δx＝limΔx→012＋Δx－12Δx＝lim Δx→0－12(2＋Δx)＝－14.所以这条曲线在点⎝⎛⎭⎪⎫2，12处的切线斜率为－14，由直线的点斜式方程可得切线方程为y－12＝－14(x－2)，即x＋4y－4＝0.要点二求过曲线外一点的切线方程例2已知曲线y＝2x2－7，求：(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?(2)曲线过点P(3,9)的切线方程．解y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0[2(x＋Δx)2－7]－(2x2－7)Δx＝limΔx→0(4x＋2Δx)＝4x.(1)设切点为(x0，y0)，则4x0＝4，x0＝1，y0＝－5，∴切点坐标为(1，－5)．(2)由于点P(3,9)不在曲线上．设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k＝4x0，故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0)．将P(3,9)及y0＝2x20－7代入上式，得9－(2x20－7)＝4x0(3－x0)．解得x0＝2或x0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25)．从而所求切线方程为8x－y－15＝0或16x－y－39＝0.规律方法若题中所给点(x0，y0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．跟踪演练2求过点A(2,0)且与曲线y＝1x相切的直线方程．解易知点(2,0)不在曲线上，故设切点为P(x0，y0)，由y′|x＝x0＝limΔx→0limΔx→01x0＋Δx－1x0Δx＝－1x20，得所求直线方程为y－y0＝－1x20(x－x0)．由点(2,0)在直线上，得x20y0＝2－x0，再由P(x0，y0)在曲线上，得x0y0＝1，联立可解得x 0＝1，y 0＝1，所求直线方程为x ＋y －2＝0. 要点三 求切点坐标例3 在曲线y ＝x 2上过哪一点的切线， (1)平行于直线y ＝4x －5； (2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0； (3)与x 轴成135°的倾斜角．解 f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x 2Δx ＝2x ，设P (x 0，y 0)是满足条件的点．(1)因为切线与直线y ＝4x －5平行， 所以2x 0＝4，x 0＝2，y 0＝4， 即P (2,4)是满足条件的点．(2)因为切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直， 所以2x 0·13＝－1，得x 0＝－32，y 0＝94， 即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，94是满足条件的点．(3)因为切线与x 轴成135°的倾斜角， 所以其斜率为－1.即2x 0＝－1， 得x 0＝－12，y 0＝14，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14是满足条件的点．规律方法 解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标．解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，平行，垂直等． 跟踪演练3 已知抛物线y ＝2x 2＋1，求(1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x －y －2＝0? (2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x ＋8y －3＝0? 解 设点的坐标为(x 0，y 0)，则Δy ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2.∴ΔyΔx ＝4x 0＋2Δx .当Δx 无限趋近于零时，ΔyΔx 无限趋近于4x 0. 即f ′(x 0)＝4x 0.(1)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0， ∴斜率为4，即f ′(x 0)＝4x 0＝4，得x 0＝1，该点为(1,3)． (2)∵抛物线的切线与直线x ＋8y －3＝0垂直， ∴斜率为8，即f ′(x 0)＝4x 0＝8，得x 0＝2，该点为(2,9)．1．已知曲线y ＝f (x )＝2x 2上一点A (2,8)，则点A 处的切线斜率为( ) A ．4 B ．16 C ．8 D ．2答案 C解析 f ′(2)＝lim Δx →0f (2＋Δx )－f (2)Δx＝lim Δx →0 2(2＋Δx )2－8Δx＝lim Δx →0 (8＋2Δx )＝8，即k ＝8. 2．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－1答案 A解析 由题意，知k ＝y ′|x ＝0＝lim Δx →0 (0＋Δx )2＋a (0＋Δx )＋b －b Δx ＝1，∴a ＝1. 又(0，b )在切线上，∴b ＝1，故选A.3．已知曲线y ＝12x 2－2上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，则过点P 的切线的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．135°D ．165°答案 B解析 ∵y ＝12x 2－2，∴y ′＝lim Δx →0 12(x ＋Δx )2－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2Δx ＝lim Δx →0 12(Δx )2＋x ·Δx Δx ＝lim Δx →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12Δx ＝x . ∴y ′|x ＝1＝1.∴点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32处切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45°. 4．已知曲线y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16.则P 点坐标为________． 答案 (3,30)解析 设点P (x 0,2x 20＋4x 0)， 则f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0 2(Δx )2＋4x 0·Δx ＋4ΔxΔx ＝4x 0＋4， 令4x 0＋4＝16得x 0＝3，∴P (3,30)．1．导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝f ′(x 0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．2．“函数f (x )在点x 0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f ′(x 0)是其导数y ＝f ′(x )在x ＝x 0处的一个函数值．3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x 0，f (x 0))，表示出切线方程，然后求出切点.一、基础达标1．下列说法正确的是( )A ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处就没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线，则f ′(x 0)有可能存在 答案 C解析 k ＝f ′(x 0)，所以f ′(x 0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程为x ＝x 0.2．已知y ＝f (x )的图象如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定 答案 B解析 由导数的几何意义，f ′(x A )，f ′(x B )分别是切线在点A 、B 处切线的斜率，由图象可知f ′(x A )<f ′(x B )．3．在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是( ) A ．(0,0) B ．(2,4) C ．(14，116) D ．(12，14)答案 D解析 ∵y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x 2Δx＝lim Δx →0 (2x ＋Δx )＝2x ， ∴令2x ＝tan π4＝1，得x ＝12.∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，所求点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14.4．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( )A ．1B ．12 C ．－12 D ．－1答案 A解析 ∵y ′|x ＝1＝lim Δx →0 a (1＋Δx )2－a ×12Δx ＝lim Δx →0 (2a ＋a Δx )＝2a .∴可令2a ＝2，∴a ＝1. 5．设y ＝f (x )为可导函数，且满足条件lim Δx →0 f (1)－f (1－x )2x＝－2，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率是________． 答案 －4解析 由lim Δx →0 f (1)－f (1－x )2x ＝－2，∴12f ′(1)＝－2，f ′(1)＝－4.6．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________. 答案 3解析 由在M 点的切线方程y ＝12x ＋2 得f (1)＝12×1＋2＝52，f ′(1)＝12. ∴f (1)＋f ′(1)＝52＋12＝3.7．求过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线． 解 曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线斜率 k ＝y ′|x ＝1＝lim Δx →0 3(1＋Δx )2－4(1＋Δx )＋2－3＋4－2Δx ＝lim Δx →0(3Δx ＋2)＝2. ∴过点P (－1,2)的直线的斜率为2， 由点斜式得y －2＝2(x ＋1)， 即2x －y ＋4＝0.所以所求直线方程为2x －y ＋4＝0. 二、能力提升8.如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5答案 A解析 易得切点P (5,3)，∴f (5)＝3，k ＝－1，即f ′(5)＝－1.∴f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2.9．若曲线y ＝2x 2－4x ＋P 与直线y ＝1相切，则P ＝________. 答案 3解析 设切点坐标为(x 0,1)，则f ′(x 0)＝4x 0－4＝0， ∴x 0＝1，即切点坐标为(1,1)．∴2－4＋P ＝1，即P ＝3.10．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12解析 ∵f ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋2(x ＋Δx )＋3－(x 2＋2x ＋3)Δx ＝lim Δx →0 (2x ＋2)·Δx ＋(Δx )2Δx＝lim Δx →0 (Δx ＋2x ＋2)＝2x ＋2. ∴可设P 点横坐标为x 0，则曲线C 在P 点处的切线斜率为2x 0＋2.由已知得0≤2x 0＋2≤1，∴－1≤x 0≤－12，∴点P 横坐标的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12.11．已知抛物线y ＝x 2＋4与直线y ＝x ＋10.求： (1)它们的交点；(2)抛物线在交点处的切线方程．解 (1) 由⎩⎨⎧ y ＝x 2＋4，y ＝x ＋10，得⎩⎨⎧ x ＝－2，y ＝8，或⎩⎨⎧x ＝3，y ＝13，∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13)． (2)∵y ＝x 2＋4，∴y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋4－(x 2＋4)Δx ＝lim Δx →0 (Δx )2＋2x ·Δx Δx ＝lim Δx →0(Δx ＋2x )＝2x . ∴y ′|x ＝－2＝－4，y ′|x ＝3＝6，即在点(－2,8)处的切线斜率为－4，在点(3,13)处的切线斜率为6. ∴在点(－2,8)处的切线方程为4x ＋y ＝0； 在点(3,13)处的切线方程为6x －y －5＝0.12．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a <0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求a 的值． 解 ∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3＋a (x 0＋Δx )2－9(x 0＋Δx )－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1) ＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a )(Δx )2＋(Δx )3，∴Δy Δx ＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx )2.当Δx 无限趋近于零时，ΔyΔx 无限趋近于3x 20＋2ax 0－9.即f ′(x 0)＝3x 20＋2ax 0－9∴f ′(x 0)＝3(x 0＋a 3)2－9－a 23.当x 0＝－a 3时，f ′(x 0)取最小值－9－a 23. ∵斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行， ∴该切线斜率为－12.∴－9－a 23＝－12. 解得a ＝±3.又a <0，∴a ＝－3. 三、探究与创新 13．已知曲线C ：y ＝x 3.(1)求曲线C 上横坐标为1的点处的切线方程；(2)第(1)小题中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？ 解 (1)将x ＝1代入曲线C 的方程得y ＝1，∴切点为P (1,1)．∵f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝m (x 0＋Δ x )3－x 30Δ x＝lim Δx →0 3x 20Δx ＋3x 0(Δx )2＋(Δx )3Δx＝lim Δx →0[3x 20＋3x 0Δx ＋(Δx )2]＝3x 20， ∴当x 0＝1时，k ＝f ′(1)＝3.∴过P 点的切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.(2)由⎩⎨⎧ y ＝3(x －1)＋1y ＝x3，可得(x －1)(x 2＋x －2)＝0， 解得x 1＝1，x 2＝－2.从而求得公共点为(1,1)或(－2，－8)．说明切线与曲线C 的公共点除了切点外，还有其他的公共点.。

一、选择题1．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝（ ） A ．1B ．3C ．4D ．52．若曲线()xf x mx e n =⋅+在点()()1,1f 处的切线方程为y ex =，则m n +的值为（ ） A ．12e + B ．12e - C ．12D ．2e 3．曲线()2(1)ln ,y f x x a x a R ==--∈，在点()()1,1Pf 处的切线与直线210x y ++=垂直，则a =（ ）A ．1-B ．2-C ．3-D ．4-4．函数3sin 2y x =的导数是（ ） A ．'3sin 2sin 4y x x = B ．2'3sin 2y x = C ．2'3sin 2cos2y x x =D ．'6sin 2cos 2y x x =5．已知曲线()3:x ,C f x ax a =-+若过点A (1.1)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为（ ） A ．38B ．1C ．98D ．1586．设点P 是曲线335y x =+上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α,则角α的取值范围是（ ）. A ．20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2[0,),23πππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．2,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 7．一质点的运动方程为s ＝20＋12gt 2(g ＝9.8 m/s 2)，则t ＝3 s 时的瞬时速度为( ) A ．20 m/s B ．29.4 m/s C ．49.4 m/sD ．64.1 m/s8．已知函数()f x 的导函数为()f x '且满足()()21ln f x x f x '=⋅+，则1f e ⎛⎫'= ⎪⎝⎭（ ） A ．12e- B ．2e - C ．1-D ．e9．直线2y kx =+与曲线32y x ax b =++相切于点(1,4)，则4a b +的值为（ ） A ．2B ．－1C ．1D ．－210．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()2()f x xf e ='lnx +，则()f e =（ ）A ．eB ．1e-C ．1-D ．e -11．若()f x 为定义在区间G 上的任意两点12,x x 和任意实数()0,1λ∈，总有()()()()()12l 1211f x x f x f x λλλλ+-+-，则称这个函数为“上进”函数，下列函数是“上进”函数的个数是（ ）①()x x f x e =，②()f x =，③()()ln 1x f x x+=，④()21xf x x =+． A ．4B ．3C ．2D ．112．已知函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，数列1()f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则2020S 的值为（ ） A ．20202021B ．20192020C ．20182019D ．20172018二、填空题13．函数()ln(32)f x x =-在点(1,(1))f 处的切线方程为_______14．已知函数()()2xf x x a e =-，且()'13f e =，则曲线()y f x =在0x =处的切线方程为______. 15．已知函数1()11f x x a x =++-+的图象是以点(1,1)--为中心的中心对称图形，2()x g x e ax bx =++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与曲线()y g x =在点(0,(0))g 处的切线互相垂直，则a b +=__________．16．如果曲线f (x )＝x 3＋x －16，的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，则切线方程_________.17．已知实数a ，b 满足225ln 0a a b --=，R c ∈__________．18．已知函数()()20,0f x ax bx a b =+>>的图象在点()()1,1f 处的切线的斜率为2，则8a bab+的最小值为___________ 19．曲线()ln f x x ax =+ 存在与直线20x y -=平行的切线，则实数a 的取值范围_______．20．关于x 的方程2xx a e +=有3个不同的实数解，则实数a 的取值范围为______________.三、解答题21．已知a R ∈，函数()()(x x f x e ax xe =-.（1）若曲线()y f x =在点(0,(0))f 1，求a 的值；（2）设()x g x xe =()1g x >对x ∈R 恒成立； （3）若1(0,)a e∈，证明：()2f x a >对x ∈R 恒成立. 22．（1）函数()(1sin )f x x x =+的导数为()'f x ，求2f π⎛⎫' ⎪⎝⎭； （2）设l 是函数1y x=图象的一条切线，证明：l 与坐标轴所围成的三角形的面积与切点无关．23．求证：曲线3y x x =-在x =1处的切线方程与直线112y x =-+垂直. 24．已知()(),1nf x y ax by =++（常数,a b Z ∈，*n N ∈且2n ≥）. （1）若2a =-，0b =，2019n =，记()201901,i ii x y a x a f ==+∑，求：①20191ii a =∑；②20191ii ia =∑.（2）若(),f x y 展开式中不含x 的项的系数的绝对值之和为729，不含y 的项的系数的绝对值之和为64，求n 的所有可能值. 25．已知函数221()(1)2xf x x a e ax a x =---+，其中e a <. （1）若2a =，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）若()f x 在(1,2)内只有一个零点，求a 的取值范围.26．已知函数321()4f x x x x =-+. （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程；（Ⅱ）当[2,4]x ∈-时，求证：6()x f x x -≤≤；（Ⅲ）设()|()()|()F x f x x a a =-+∈R ，记()F x 在区间[2,4]-上的最大值为M （a ），当M （a ）最小时，求a 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据切线的定义得到()13f =，()'11f =，相加得到答案.【详解】根据题意知：()1123f =+=，()'11f =，故()()'114f f +=.故选：C. 【点睛】本题考查了切线方程，属于简单题.2．A解析：A 【分析】求导得到()()'1xf x m x e =+⋅，由已知得()1f e =，()1f e '=，解得答案.【详解】()x f x mx e n =⋅+，则()()'1x f x m x e =+⋅，故()1f e =，()1f e '=，()11me n e m e e +=⎧∴⎨+=⎩，解得122m e n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以12e m n ++=. 故选：A . 【点睛】本题考查了根据切线方程求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.3．B解析：B 【分析】由导数的几何意义得出切线的斜率为k a =-，结合垂直关系，即可得出a 的值. 【详解】()2(1)af x x x'=--，则在点()()1,1P f 处的切线的斜率为k a =-由切线与直线210x y ++=垂直，可得2a -=，则2a =-故选：B 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，属于中档题.4．A解析：A 【分析】由求导公式及复合函数的导数求导法则可得. 【详解】 由求导公式可得：223sin 2(sin 2)3sin 2cos2(2)y x x x x x '''==26sin 2cos 2x x = 3sin 2sin 4x x =故选：A 【点睛】本题主要考查了求导公式及复合函数的求导法则，属于中档题.5．D解析：D 【分析】设切点()3000,x x ax a -+，利用导数的几何意义求切线方程，并且求切点，由题意可知切线在切点处的导数和为0，求a . 【详解】()23f x x a '=-，设切点为()3000,x x ax a -+，()2003f x x a '∴=-∴过切点的切线方程为：()()()3200003y x ax a x a x x --+=--，切线过点()1,1A ，()()()320000131x ax a x a x ∴--+=-- ，整理为：32002310x x -+= ， 化简为：()()2001210x x -+= ，01x ∴=或012x =-，()13f a '=-，1324f a ⎛⎫'-=- ⎪⎝⎭，由两条切线的倾斜角互补，得 3304a a -+-=，解得158a =.故选：D 【点睛】本题考查导数的几何意义，求切线方程，并且求参数，意在考查转化与化归和计算能力.6．B解析：B 【解析】 【分析】先求函数的导数的范围，即曲线斜率的取值范围，从而求出切线的倾斜角的范围． 【详解】 解：2333y x '=-，tan 3α∴-，2[0,),23ππαπ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭，故选B ． 【点睛】本题考查导数的几何意义，直线的倾斜角与斜率，属于基础题．7．B解析：B 【解析】v ＝s ′(t )＝gt ，∴当t ＝3时，v ＝3g ＝29.4. 选B8．B解析：B 【分析】对函数求导得到导函数，代入1x =可求得()11f '=-，从而得到()f x '，代入1=x e求得结果. 【详解】由题意得：()()121f x f x''=+令1x =得：()()1211f f ''=+，解得：()11f '=-()12f x x '∴=-+12f e e ⎛⎫'∴=- ⎪⎝⎭本题正确选项：B 【点睛】本题考查导数值的求解，关键是能够通过赋值的方式求得()1f '，易错点是忽略()1f '为常数，导致求导错误.9．A解析：A 【解析】 【分析】求得函数的导数，可得切线的斜率，由切点满足切线的方程和曲线的方程，解方程即可求解，得到答案． 【详解】由题意，直线2y kx =+与曲线32y x ax b =++相切于点(1,4)， 则点(1,4)满足直线2y kx =+，代入可得412k =⨯+，解得2k =， 又由曲线()32f x x ax b =++，则()232f x x a '=+，所以()213122f a '=⨯+=，解得12a =-，即()3f x x x b =-+，把点(1,4)代入()3f x x x b =-+，可得3411b =-+，解答4b =，所以144()422a b +=⨯-+=，故选A ． 【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数问题，其中解答中熟记导数的几何意义，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．10．C解析：C 【分析】求得()12()f x f e x '='+，令x e =，解得1()f e e '=-，得到()2f x x lnx e=-+，即可求解()f e 的值，得到答案. 【详解】由题意，函数()2()f x xf e ='lnx +，则()12()f x f e x'='+， 令x e =，则()12()f e f e e '='+，解得1()f e e '=-，即()2f x x lnx e=-+， 令x e =，则()2ln 1f e e e e=-⨯+=-，故选C. 【点睛】本题主要考查了导数运算，以及函数值的求解，其中正确求解函数的导数，求得()f e '的值，得出函数的解析式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.11．B解析：B 【解析】 【分析】将问题进行等价转化，然后结合导函数的解析式研究函数的性质即可确定“上进”函数的个数. 【详解】由区间G 上的任意两点12,x x 和任意实数()0,1λ∈， 总有()()()()()121211x f x x f x f λλλλ+-+-，等价为对任意x G ∈，有()0f x ''>成立（()''f x 是函数()f x 导函数的导函数）， ①()x x f x e =的导数()1'x x f x e -=，()2''xxf x e-+=，故在()2,3上大于0恒成立，故①为“上进”函数；②()f x =()'f x =，()1''04f x =-<恒成立，故②不为“上进”函数； ③()()ln 1x f x x+=的导数()()()()21ln 11x x x f x x x ++'-=+，()()()()2233221ln 11x x x x f x x x --+++=+''当21,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，2320x x --<，()()21ln 10x x ++<，()230,10x x <+>，则()''0f x >恒成立．故③为“上进”函数；④()21x f x x =+的导数()()2221'1x f x x -=+，()()33226''1x x f x x-=+，当()2,3x ∈时，()''0f x >恒成立．故④为“上进”函数． 故选B . 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.12．A解析：A 【分析】由2()f x x bx =+，求导得到()2f x x b '=+，再根据函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，由(1)23f b '=+=求解，从而得到()2()1f x x x x x =+=+，则()1111()11f n n n n n ==-++，再利用裂项相消法求解. 【详解】因为2()f x x bx =+， 所以()2f x x b '=+，因为函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3， 所以(1)23f b '=+=， 解得1b =，所以()2()1f x x x x x =+=+，数列()1111()11f n n n n n ==-++，所以202011111111 (12233420202021)S =-+-+-++-， 12020120212021=-=. 故选：A 【点睛】本题主要考查导数的几何意义以及数列的裂项法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.二、填空题13．【分析】求出该点坐标和导函数该点的导数值即为此处切线斜率利用点斜式写出直线方程化简可得【详解】由题：所以函数在处的切线斜率所以切线方程：即故答案为：【点睛】此题考查导数的几何意义求函数在某点处的切线 解析：330x y --=【分析】求出该点坐标和导函数，该点的导数值即为此处切线斜率，利用点斜式写出直线方程化简可得. 【详解】由题：(1)ln(32)0f =-=，3()32f x x '=-， 所以函数()f x 在(1,0)处的切线斜率(1)3k f '==，所以切线方程：03(1)y x -=-，即330x y --=. 故答案为：330x y --=. 【点睛】此题考查导数的几何意义，求函数在某点处的切线方程，易错点在于容易混淆函数值与导数值，考查基本运算，是基础题.14．【分析】求导利用求出根据导数几何意义可求斜率利用点斜式写出切线方程即可【详解】∵∴解得即则∴曲线在点处的切线方程为即【点睛】本题主要考查了导数的几何意义切线方程属于中档题 解析：10x y --=【分析】求导，利用()'13f e =求出a ，根据导数几何意义可求斜率(0)k f '=，利用点斜式写出切线方程即可. 【详解】∵()()()'2222xxxf x e x a e x a e =+-=+-，∴()()'143f a e e =-=，解得1a =，即()()21x f x x e =-，()01f =-，则()()'21x f x x e =+，∴()'01f =，曲线()y f x =在点0x =处的切线方程为()110y x +=⨯-，即10x y --=.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于中档题.15．【分析】由中心对称得可解得再由两切线垂直求导数得斜率令其乘积为-1即可得解【详解】由得解得所以又所以因为由得即故答案为【点睛】本题主要考查了函数的中心对称性考查了导数的几何意义即切线斜率属于中档题 解析：43-【分析】由中心对称得()()022f f +-=-，可解得a ，再由两切线垂直，求导数得斜率，令其乘积为-1，即可得解. 【详解】由()()022f f +-=-，得11121242a a a +---+-=-=-， 解得1a =，所以()11f x x x =++. 又()()21'11f x x =-++，所以()3'14f =.因为()2xg x e x bx =++，()'2xg x e x b =++，()'01g b =+，由()3114b +=-，得413b +=-，即43a b +=-. 故答案为43- 【点睛】本题主要考查了函数的中心对称性，考查了导数的几何意义即切线斜率，属于中档题.16．y ＝4x －18或y ＝4x －14【解析】【分析】先求然后求出的解即得切点的横坐标从而求得切线方程【详解】设切点为因切线与直线垂直故故或当时切线方程为；当时切线方程为综上填或【点睛】对于曲线的切线问题注解析：y ＝4x －18或y ＝4x －14.【解析】 【分析】先求()'f x ，然后求出()'4f x =的解即得切点的横坐标，从而求得切线方程. 【详解】设切点为()00,x y ，因切线与直线134y x =-+垂直，故()200'314f x x =+=，故01x =-或01x =，当01x =-时，()018f x =-，切线方程为()4118414y x x =+-=-；当01x =时，()014f x =-，切线方程为()4114418y x x =--=-， 综上，填418y x =-或414y x =-. 【点睛】对于曲线的切线问题，注意“在某点处的切线”和“过某点的切线”的差别，切线问题的核心是切点的横坐标.如果切点为()()00,x f x ，那么切线方程为：()()()000'y f x x x f x =-+.17．【解析】分析：分别设则表曲线上的点到直线的距离则最小值表示与直线平行的切线之间的距离求出曲线的切线方程根据平行线之间的距离公式即可求解详解：分别设则表曲线上的点到直线的距离所以最小值表示与直线平行的 解析：322【解析】分析：分别设()223ln (0),y f x x x x y x ==->=-，则22()()a c b c -++表曲线()y f x =上的点到直线y x =-的距离，则22()()a c b c -++最小值表示与直线y x=-平行的切线之间的距离，求出曲线的切线方程，根据平行线之间的距离公式，即可求解． 详解：分别设()223ln (0),y f x x x x y x ==->=-，则22()()a c b c -++表曲线()y f x =上的点到直线yx =-的距离，所以22()()a c b c -++最小值表示与直线y x =-平行的切线之间的距离， 因为()225ln f x x x =-，所以()54f x x x='-， 令()541f a a a=-=-'，解得1a =，所以()12f b ==， 所以曲线过点(1,2)的切线方程为2(1)y x -=--，即30x y +-=， 所以直线30x y +-=与直线yx =-间的距离为33222d ==，即22()()a c b c -++最小值322．点睛：本题主要考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程，以及两条平行线之间的距y x=-平行的切线之间的距离上解答的关键，着重考查了转化与化归思想，以及推理与计算能力，试题属于中档试题．18．9【解析】分析：求出原函数的导函数由=2a+b=2得a+=1把变形为+后整体乘以1展开后利用基本不等式求最小值详解：由f（x）=ax2+bx得=2ax+b又f （x）=ax2+bx（a＞0b＞0）在点解析：9【解析】分析：求出原函数的导函数，由(1)f'=2a+b=2，得a+2b=1，把8a bab+变形为8b+1a后整体乘以1，展开后利用基本不等式求最小值．详解：由f（x）=ax2+bx，得()f x'=2ax+b，又f（x）=ax2+bx（a＞0，b＞0）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，所以(1)f'=2a+b=2，即a+2b=1．则8a bab+=8b+1a=（8b+1a）（a+2b）=5+8ab+2ba≥9．当且仅当8ab=2ba，即a=13，b=43时“=”成立．所以8a bab+的最小值是9．故答案为：9点睛：（1）本题主要考查导数的几何意义，考查基本不等式，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和转化能力. (2)解答本题的关键是8a bab+=8b+1a=（8b+1a）（a+2b），这里利用了常量代换的技巧，即把常量“1”用“a+2b”代替，这样后面就可以利用基本不等式求最值了.常量代换这个技巧要注意理解掌握并灵活运用.19．（﹣∞2﹣）∪（2﹣2）【解析】分析：函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x ﹣y=0平行的切线⇔方程f′（x）=+a在区间x∈（0+∞）上有解并且去掉直线2x ﹣y=0与曲线f（x）相切的情况解出即解析：（﹣∞，2﹣1e）∪（2﹣1e，2）【解析】分析：函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线⇔方程f′（x）=1x+a在区间x∈（0，+∞）上有解，并且去掉直线2x﹣y=0与曲线f（x）相切的情况，解出即可．详解：函数f （x ）=lnx+ax 的导数为f′（x ）=1x+a （x ＞0）． ∵函数f （x ）=lnx+ax 存在与直线2x ﹣y=0平行的切线， ∴方程1x+a=2在区间x ∈（0，+∞）上有解． 即a=2﹣1x在区间x ∈（0，+∞）上有解． ∴a ＜2．若直线2x ﹣y=0与曲线f （x ）=lnx+ax 相切，设切点为（x 0，2x 0）．则0000122a x x lnx ax⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，解得x 0=e ． 此时a=2﹣1e．综上可知：实数a 的取值范围是（﹣∞，2﹣1e ）∪（2﹣1e，2）． 故答案为：（﹣∞，2﹣1e ）∪（2﹣1e，2）． 点睛：与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略①已知切点求切线方程．解决此类问题的步骤为：①求出函数()y f x =在点0x x =处的导数，即曲线()y f x =在点00(,())x f x 处切线的斜率；②由点斜式求得切线方程为000()()y y f x x x '-=-．②已知斜率求切点．已知斜率k ，求切点11(,())x f x ，即解方程()f x k '=.③求切线倾斜角的取值范围．先求导数的范围，即确定切线斜率的范围，然后利用正切函数的单调性解决．20．【解析】由题意则临界情况为与相切的情况则所以切点坐标为则此时所以只要图象向左移动都会产生3个交点所以即点睛：解的个数问题我们采用图象法辅助解题画出图象我们可以知道在处有一个交点则在处必须有两个交点所 解析：(1ln 2,)-+∞【解析】由题意，则临界情况为()2y x a =+与x y e =相切的情况，'2x y e ==，则ln 2x =，所以切点坐标为()ln 2,2，则此时1ln 2a =-，所以只要2y x a =+图象向左移动，都会产生3个交点， 所以1ln 2a >-，即()1ln2,-+∞。

一、选择题1．①若直线l 与曲线:()C y f x =有且只有一个公共点，则直线l 一定是曲线()y f x =的切线；②若直线l 与曲线:()C y f x =相切于点00(,)P x y ，且直线l 与曲线:()C y f x =除点P 外再没有其他的公共点，则在点P 附近，直线l 不可能穿过曲线()y f x =；③若'0()f x 不存在，则曲线()y f x =在点00(,())x f x 处就没有切线；④若曲线()y f x =在点00(,())x f x 处有切线，则'0()f x 必存在.则以上论断正确的个数是（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．若曲线224y x x p =-+与直线1y =相切，则p 的值为（ ） A ．1-B ．1C ．3D ．43．已知221111x xf x x--⎛⎫= ⎪++⎝⎭，则曲线()y f x =在点)f 处的切线的斜率为（ ）A ．19-B ．29-C ．19D ．294．已知函数()ln ln xxf x e x e a x =-+的图象在点()()1,1T f 处的切线经过坐标原点，则a=（ ） A ．e -B ．eC ．1e e ---D ．1e -5．已知函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，数列1()f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则2019S 的值为（ ） A ．20162017B ．20172018C ．20182019D ．201920206．已知函数()f x 的导函数为()'f x ，且满足()2()cos 2f x x f x π+'=⋅，则0()()22lim x f f x xππ∆→-+∆=∆（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．27．曲线11x y x +=-在点(0,1)-处的切线方程为（ ） A ．21y x =-- B ．21y x =- C ．21y x =-+D ．21y x =+8．已知函数32(),3x f x x x m m R =+-+∈，2()45g x x x =-+，若直线2y x a =+与两函数的图象均相切，则m =（ ）A ．233-或13- B ．3-或7- C ．73-或7- D ．73-或13- 9．已知点P 在曲线y=41x e +上，a 为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则a 的取值 范围是（ ） A ．[0,4π) B ．[,)42ππC ．3(,]24ππD ．3[,)4ππ10．若函数()3=-ln 3f x x x x -+-，则曲线()y f x =在点()()-1,-1f 处的切线的倾斜角是（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 11．已知,a b ∈R ，直线2y ax b π=++与函数()tan f x x =的图象在4πx =-处相切，设()2x g x e bx a =++，若在区间[1，2]上，不等式()22m g x m ≤≤-恒成立．则实数m（ ）A ．有最大值1e +B ．有最大值eC ．有最小值eD ．有最小值e -12．已知直线y x m =-+ 是曲线23ln y x x =-的一条切线，则m 的值为（ ） A ．0B ．2C ．1D ．3二、填空题13．已知221111x xf x x --⎛⎫= ⎪++⎝⎭，则曲线()y f x =在点)f处的切线的斜率为___________．14．直线l 是曲线32y x x =+-在点()0,2-处的切线，求直线l 的倾斜角__________． 15．已知函数1()11f x x a x =++-+的图象是以点(1,1)--为中心的中心对称图形，2()x g x e ax bx =++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与曲线()y g x =在点(0,(0))g 处的切线互相垂直，则a b +=__________．16．若直线1y x =+与函数()ln f x ax x =-的图像相切，则a 的值为__________． 17．函数()2xf x e x =+ (e 为自然对数的底数）的图像在点（0,1）处的切线方程是____________18．已知函数y=f （x ）的图象在点M （2，f （2））处的切线方程是y=x+4，则f （2）+f′（2）=__．19．若以曲线()y f x =上任意一点(,)M x y 为切点作切线l ，曲线上总存在异于M 的点11(,)N x y ，以点N 为切点作线1l ，且1//l l ，则称曲线()y f x =具有“可平行性”，下列曲线具有可平行性的编号为__________．（写出所有的满足条件的函数的编号）①1y x=②3y x x =- ③cos y x = ④2(2)ln y x x =-+ 20．过点()1,1-与曲线()32f x x x =-相切的直线方程是__________．三、解答题21．已知直线240x y +-=与抛物线212y x =相交于,A B 两点（A 在B 上方）,O 是坐标原点。

其次章测评(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知函数y=x 2+1的图像上一点(1,2)及邻近一点(1+Δx ,2+Δy ),则Δy Δx 等于( )A.2B.2xC.2+ΔxD.2+(Δx )2=(1+Δx )2+1-(12+1)Δx =Δx+2.2.曲线y=ax 3-2x+4在点(1,3)处的切线的倾斜角为( ) B.60° C.120° D.135°点(1,3)在曲线上,∴3=a-2+4,可得a=1,则y=x 3-2x+4,y'=3x 2-2,当x=1时,y'=1.故所求切线的倾斜角为45°.3.已知函数f (x )=lnx x ,则方程f'(x )=0的解为( ) A.x=1B.x=eC.x=1eD.x=0(x )=1x ·x -lnx x 2=1-lnx x 2. ∵f'(x )=0,∴1-ln x=0,解得x=e .4.函数y=1(3x -1)2的导数是( )A.6(3x -1)3B.6(3x -1)2C.-6(3x -1)3D.-6(3x -1)2[1(3x -1)2]'=-2(3x -1)3·(3x-1)'=-6(3x -1)3,故选C .5.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ,则a=( )A.0B.1C.2D.3f (x )=ax-ln(x+1),∴f'(x )=a-1x+1. ∴f (0)=0且f'(0)=a-1=2,解得a=3.6.已知函数f (x )的导函数为f'(x ),且满意f (x )=2x ·f'(1)+ln x ,则f'(1)等于( )A.-eB.-1C.1D.ef(x)=2xf'(1)+ln x,∴f'(x)=2f'(1)+1x.∴f'(1)=2f'(1)+1.∴f'(1)=-1.7.已知函数f(x)=ln x+mx(m∈R)的图像在点(1,f(1))处的切线l的斜率为2,则直线l在y轴上的截距为()A.3B.-3C.1D.-1f'(x)=1x −mx2,则f'(1)=11−m1=2,得m=-1.所以f(1)=ln1+-11=-1,故切线方程为y+1=2(x-1),由y=-3.故选B.8.已知函数f(x)=a sin 3x+bx3+4(a∈R,b∈R),f'(x)为f(x)的导函数,则f(2 020)+f(-2 020)+f'(2 021)-f'(-2 021)=()B.8C.2 020D.2 021f'(x)=3a cos3x+3bx2,所以f'(x)=f'(-x),而f(x)+f(-x)=4+4=8,所以有+f(-2025)+f'(2024)-f'(-2025)=8.9.若曲线y=e-x上点P处的切线垂直于直线x-2y+1=0,则点P的坐标是()A.(-2,ln 2)B.(2,-ln 2)D.(ln 2,-2)P的坐标是(x0,y0),由题意得y'=-e-x,曲线y=e-x上点P处的切线垂直于直线x-2y+1=0,∴-e-x0=-2,解得x0=-ln2.∴y0=e-x0=2.故点P的坐标是(-ln2,2).10.已知点P在曲线y=2sin x2cos x2上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是()A.[3π4,π) B.[-π4,3π4]C.[π4,3π4] D.[0,π4]∪[3π4,π)y=2sin x2cos x2=sin x,∴y'=cos x.设P(x0,y0),由题意知,切线的斜率存在,则曲线在点P处的切线的斜率k=tanα=cos x0, ∴-1≤tanα≤1.∵0≤α<π,∴α∈[0,π4]∪[3π4,π).故选D.11.已知曲线f(x)=sin2x+2ax(x∈R),若对随意实数m,直线l:x+y+m=0都不是曲线y=f(x)的切线,则a的取值范围是()A.(-∞,-1)∪(-1,0)B.(-∞,-1)∪(0,+∞)C.(-1,0)∪(0,+∞)D.a∈R且a≠0,a≠-1(x)=2sin x cos x+2a=sin2x+2a,直线l的斜率为-1,由题意知关于x的方程sin2x+2a=-1无解,所以|2a+1|>1,解得a<-1或a>0.故选B.12.已知曲线y1=2-1x与y2=x3-x2+2x在x=x0处切线的斜率的乘积为3,则x0的值为()A.-2B.2C.12D.1y'1=1x2,y'2=3x2-2x+2,所以两曲线在x=x0处切线的斜率分别为1x02,3x02-2x0+2,所以3x02-2x0+2x02=3.所以x0=1.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)f(x)=x3-mx+3,若f'(1)=0,则m=.f'(x)=3x2-m,∴f'(1)=3-m=0.∴m=3.14.已知函数f(x)在x=x0处可导,若limΔx→0f(x0+2Δx)-f(x0)Δx=1,则f'(x0)=.lim Δx→0f(x0+2Δx)-f(x0)Δx=1,∴limΔx→0f(x0+2Δx)-f(x0)2Δx=12,即f'(x0)=limΔx→0f(x0+2Δx)-f(x0)2Δx=12.f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5),则f'(0)=.f'(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)+x[(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)]',∴-1)×(-2)×(-3)×(-4)×(-5)=-120.12016.已知点P在曲线y=4e x+1上,α为该曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是.f'(x)=-4e xe2x+2e x+1,∵k=-4e x+1e x +2≥-42+2=-1(当且仅当x=0时,取等号),且k<0,∴曲线y=f(x)上点P处的切线的斜率-1≤k<0.又∵k=tanα,α∈[0,π),∴α∈[3π4,π).[3π4,π)三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)某质点做直线运动,已知路程s是时间t的函数,s=3t2+2t+1. (1)求从t=2到t=2+Δt的平均速度,并求当Δt=1,Δt=0.1与Δt=0.01时的平均速度;t=2时的瞬时速度.因为Δs=3(2+Δt )2+2(2+Δt )+1-(3×22+2×2+1)=14Δt+3Δt 2,所以从t=2到t=2+Δt 的平均速度为14+3Δt.当Δt=1时,平均速度为17;当Δt=0.1时,平均速度为14.3;当Δt=0.01时,平均速度为14.03.(2)当t=2时的瞬时速度为v=lim Δt →0(14+3Δt )=14. 18.(本小题满分12分)求下列函数的导数.(1)y=lg x-sin x ; (2)y=(√x +1)(√x 1); (3)y=e x x+1; (4)y=ln(3x-1).y'=(lg x-sin x )'=(lg x )'-(sin x )'=1x ·ln10-cos x. (2)∵y=(√x +1)(√x 1)=-x 12+x -12, ∴y'=-12x -12−12x -32=-2√x ·(1+1x ). (3)y'=(e xx+1)'=e x (x+1)-e x (x+1)2=xe x (x+1)2. (4)y'=[ln(3x-1)]'=13x -1·(3x-1)'=33x -1.19.(本小题满分12分)设f (x )是定义在R 上的奇函数,且当x ≥0时,f (x )=2x 2.(1)求x<0时,f (x )的表达式.(2)令g (x )=ln x ,问是否存在x 0,使得f (x ),g (x )在x=x 0处的切线相互平行?若存在,恳求出x 0的值;若不存在,请说明理由.当x<0时,-x>0,f (x )=-f (-x )=-2(-x )2=-2x 2.(2)若f (x ),g (x )在x 0处的切线相互平行,则f'(x 0)=g'(x 0),且x 0>0,故f'(x 0)=4x 0=g'(x 0)=1x 0,解得x 0=±12.∵x 0>0,∴x 0=12. ∴存在,x 0的值为12.20.(本小题满分12分)已知曲线y=x 3+x-2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x-y-1=0,且点P 0在第三象限.(1)求P 0的坐标; l ⊥l 1,且l 也过切点P 0,求直线l 的方程.由y=x 3+x-2,得y'=3x 2+1,由已知令3x 2+1=4,解得x=±1.∵点P 0在第三象限,∴x=-1,y=-4.∴切点P 0的坐标为(-1,-4).(2)∵直线l ⊥l 1,l 1的斜率为4,∴直线l 的斜率为-14.∵l 过切点P 0,点P 0的坐标为(-1,-4),∴直线l 的方程为y+4=-14(x+1),即x+4y+17=0.21.(本小题满分12分)已知函数f (x )=x 3+x-16.(1)求曲线y=f (x )在点(2,-6)处的切线的方程;l 为曲线y=f (x )的切线,且经过原点,求直线l 的方程及切点坐标.由题意可判定点(2,-6)在曲线y=f (x )上.∵f'(x )=(x 3+x-16)'=3x 2+1,∴曲线y=f (x )在点(2,-6)处的切线的斜率为k=f'(2)=13. ∴切线的方程为y+6=13(x-2),即y=13x-32.(2)设切点坐标为(x 0,y 0),则直线l 的斜率为f'(x 0)=3x 02+1,y 0=x 03+x 0-16,∴直线l 的方程为y=(3x 02+1)(x-x 0)+x 03+x 0-16.又∵直线l 过坐标点(0,0),∴0=(3x 02+1)(-x 0)+x 03+x 0-16,整理得x 03=-8.∴x 0=-2.∴y 0=(-2)3+(-2)-16=-26,则切点坐标为(-2,-26),k=3×(-2)2+1=13.∴直线l 的方程为y=13x ,切点坐标为(-2,-26).22.(本小题满分12分)设抛物线C :y=-x 2+92x-4,过原点O 作C 的切线y=kx ,使切点P 在第一象限.(1)求k 的值;(2)过点P 作切线的垂线,求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标. 解(1)设点P 的坐标为(x 1,y 1)(x 1>0,y 1>0),则y 1=-x 12+92x 1-4.∵y=-x 2+92x-4,∴y'=-2x+92.由题意可知k=-2x 1+92.∴切线方程为y=(-2x 1+92)(x-x 1)+(-x 12+92x 1-4).∵切线过原点O ,∴0=(-2x 1+92)(-x 1)+-x 12+92x 1-4,解得x 1=2,则y 1=1.∴k=-2×2+92=12. ∴k 的值为12.(2)过点P 作切线的垂线,其方程为y=-2x+5.①将①代入抛物线方程得x 2-132x+9=0. 设点Q 的坐标为(x 2,y 2),则x 2=92,y 2=-4. ∴点Q 的坐标为(92,-4).。

一、选择题1．已知()f x 的导函数为()f x '，且满足()()21ln f x xf x '=-，则1f e ⎛⎫'= ⎪⎝⎭（ ） A ．12e-B ．2e -C ．2e --D ．12e--2．已知直线2y x b =+与函数2,0()ln ,0x x f x x a x ⎧-≤=⎨+>⎩的图象相切，且有两个不同的切点，则实数a 的值为（ ）． A ．ln 2 B ．2 C ．2ln 2- D ．2ln 2+3．若曲线()xf x mx e n =⋅+在点()()1,1f 处的切线方程为y ex =，则m n +的值为（ ） A ．12e + B ．12e - C ．12D ．2e 4．曲线()2(1)ln ,y f x x a x a R ==--∈，在点()()1,1Pf 处的切线与直线210x y ++=垂直，则a =（ ）A ．1-B ．2-C ．3-D ．4-5．已知函数()2018sin xf x x e x -=++，令()()1f x f x '=，()()21f x f x '=，()()32f x f x '=，，()()1n n f x f x +'=，则()2019f x =（ ） A ．sin x x e --+B ．sin x x e --C ．cos x x e ---D ．cos x x e --+6．若点P 在曲线32y x x =-+上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α，则α的取值范围为（ ）A ．02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．3024πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭，，C ．34，ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．30224πππ⎡⎫⎛⎤⋃⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎦，， 7．已知函数()2f x x =的图象在1x =处的切线与函数()e xg x a=的图象相切，则实数a =( )A B ．2C ．2D ．8．已知函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，数列1()f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则2019S 的值为（ ）A ．20162017B ．20172018C ．20182019D ．201920209．已知直线:l y m =，若l 与直线23y x =+和曲线ln(2)y x =分别交于A ，B 两点，则||AB 的最小值为A ．1B ．2C ．455D ．25510．函数为R 上的可导函数，其导函数为()f x '，且()3sin cos 6f x f x x π⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭'，在ABC ∆中，()()1f A f B ='=，则ABC ∆的形状为A ．等腰锐角三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰钝角三角形11．函数f （x ）=﹣12x 2+12在x=1处的切线的斜率为（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．112．下列导数运算正确的是A ．()sin 'cos x x =-B ．()3'3x x=C ．()21log 'ln2x x =⋅ D ．211'x x⎛⎫= ⎪⎝⎭ 二、填空题13．直线y b =分别与直线21y x =+和曲线2ln y x x =+相交于点A 、B ，则AB 的最小值为________.14．已知函数()()cos ,2,2223cos ,2,222x x k k k Z y x x k k k Z ππππππππ⎧⎡⎫∈-+∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎡⎫⎪-∈++∈⎪⎢⎪⎣⎭⎩的图象与直线()()20y m x m =+>恰有四个公共点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，其中1234x x x x <<<，则()442tan x x +=___________. 15．曲线332y x x =+上的任意一点P 处切线的倾斜角的取值范围是______16．函数f （x ）=ax 3+x+1在x=1处的切线与直线4x ﹣y+2=0平行，则a=_____． 17．已知曲线方程为11y x=-，则曲线在()2,1P -处的切线方程为______． 18．如果曲线f (x )＝x 3＋x －16，的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，则切线方程_________.19．以下四个命题错误的序号为_______(1) 样本频率分布直方图中小矩形的高就是对应组的频率.(2) 过点P(2,-2)且与曲线33y x x =-相切的直线方程是9160x y +-=. (3) 若样本1210,,x x x 的平均数是5，方差是3，则数据121021,21,,21x x x +++的平均数是11，方差是12.(4) 抛掷一颗质地均匀的骰子，事件“向上点数不大于4”和事件“向上点数不小于3”是对立事件.20．已知直线2y kx =-与曲线ln y x x =相切，则实数k 的值为_________．三、解答题21．已知直线240x y +-=与抛物线212y x =相交于,A B 两点（A 在B 上方）,O 是坐标原点。