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人教版七年级数学上册整式知识点讲解知识点1：单项式、多项式、整式的概念及它们的联系和区别单项式：由数与字母的乘积组成的式子叫做单项式，单独一个数或一个字母也是单项式。
如：，，，5，。
ab 212m y x 3-a 多项式：几个单项式的和叫多项式。
如：、。
222y xy x -+22b a -整式：单项式和多项式统称整式。
知识点2： 单项式的系数和次数单项式的系数是指单项式中的数字因数。
单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和。
如：的系数是，次数是3。
b a 23131注意：(1)圆周率π是常数，2πR 系数是2π)(2)当一个单项式的系数是1或-1,1通常省略不写，如：。
32,m a -(3)中系数是，次数是2。
232a 32知识点3 ：多项式的项、常数项、次数在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。
其中不含字母的项叫常数项。
多项式中次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。
如多项式，它的项有，，n ， 1 。
其中1不含字母12324++-n n n 43n 22n -是常数项，这一项次数为4，这个多项式就是四次四项式。
43n 注意：(1)多项式的每一项都包括它前面的符号。
如：包含的项是，，。
26x x 2-7-26x x 2-7-(2)多项式的次数不是所有项的次数之和。
知识点4： 同类项同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项，另外所有的常数项都是同类项。
例如：与是同类项；与是同类项。
n m 2-n m 2332y x 232x y 注意：同类项与系数大小无关，与字母的排列顺序无关。
知识点5：合并同类项法则合并同类项法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数保持不变。
如：。
23232323)23(23n m n m n m n m =-=-知识点6： 括号与添括号法则去括号法则：括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里的各项都不变符号；括号前面是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里的各项都改变符号。
专题06 整式（专题测试）满分：100分时间：90分钟一、选择题（每小题3分，共30分）1．（2021秋•麦积区期末）整式﹣2x5y3，0，，ab﹣，﹣46中是单项式的个数有（ ）A．2个B．3个C．4个D．5【答案】B【解答】解：整式﹣2x5y3，0，，ab﹣，﹣46中，是单项式的为：﹣2x5y3，0，﹣46，共有3个，故选：B．2．（2022•南宁模拟）某种苹果的售价是m元/kg（m＜20），现用100元买5kg这种苹果，应找回（ ）A．5m元B．（100﹣5m）元C．（5m﹣100）元D．（5m+100）元【答案】B【解答】解：由题意得：应找回：（100﹣5m）元，故选：B．3．（2022•陵水县一模）当x＝2时，代数式3x﹣1的值是（ ）A．5B．﹣5C．1D．4【答案】A【解答】解：当x＝2时，则3x﹣1＝2×3﹣1＝5．故选：A．4．（2021秋•昆明期末）单项式﹣x2yz2的系数和次数分别是（ ）A．﹣2，5B．，5C．，2D．，2【答案】B【解答】解：单项式﹣x2yz2的系数和次数分别是﹣，5，故选：B．5．（2022秋•东坡区校级月考）下列说法正确的是（ ）A．单项式﹣xy的系数是﹣3B．单项式2πa3的次数是4C．多项式x2y2﹣2x2+3是四次三项式D．多项式x2﹣2x+6的项分别是x2、2x、3【答案】C【解答】解：C A．单项式﹣xy的系数是，选项错误；B．单项式2πa3的次数是3，选项错误；C．多项式x2y2﹣2x2+3是四次三项式，选项正确；D．多项式x2﹣2x+6的项分别是x2、﹣2x、6，选项错误；故选：C．6．（2022春•南岗区校级期中）下列式子中：﹣a，，x﹣y，，8x3﹣7x2+2，整式有（ ）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C【解答】解：下列式子中：﹣a，，x﹣y，，8x3﹣7x2+2，整式有：﹣a，，x﹣y，8x3﹣7x2+2共4个．故选：C．7．（2021秋•天津期末）多项式x2﹣2x2y+3y2各项系数和是（ ）A．1B．2C．5D．6【答案】B【解答】解：多项式的各项系数是：1，﹣2，3，故系数和＝1+（﹣2）+3＝2．故选：B．8．（2021秋•海阳市期末）多项式3x3y2+26的次数和项数分别为（ ）A．5，2B．6，2C．3，2D．2，2【答案】A【解答】解：多项式3x3y2+26的次数和项数分别为5，2．故选：A．9．（2021秋•营山县期中）若多项式2x2y|m|+（m﹣1）y2﹣1是关于x，y的三次三项式，则m的值为（ ）A．1B．﹣1C．±1D．0【答案】B【解答】解：∵多项式2x2y|m|+（m﹣1）y2﹣1是关于x，y的三次三项式，∴2+|m|＝3，m﹣1≠0，解得：m＝﹣1．故选：B．10．（2022•昆明期末）按一定规律排列的单项式：3b2，5a2b2，7a4b2，9a6b2，11a8b2，…，第8个单项式是（ ）A．17a14b2B．17a8b14C．15a7b14D．152a14b2【答案】A【解答】解：由题意可知：单项式的系数是从3起的奇数，单项式中a的指数偶数，b的指数不变，所以第8个单项式是：17a14b2．故选：A二、填空题（每小题3分，共15分）11．（2021秋•潍坊期末）请你写出一个系数为3，次数为4，只含字母a、b的单项式： ．【答案】3a2b2（答案不唯一）【解答】解：一个系数为3，次数为4，只含字母a、b的单项式：3a2b2，故答案为：3a2b2（答案不唯一）．12．（2020秋•河西区期末）某轮船顺水航行3h，逆水航行1.5h，已知轮船在静水中的速度是akm/h，水流速度是ykm/h，轮船共航行 千米．【答案】（4.5a+1.5y）【解答】解：顺水的速度为（a+y）km/h，逆水的速度为（a﹣y）km/h，则总航行路程＝3（a+y）+1.5（a﹣y）＝4.5a+1.5y．故答案为：（4.5a+1.5y）．13．（2022春•朝阳区校级期中）已知，方程3x﹣4y＝1，用含x的代数式表示y，就是y ＝ ．【答案】【解答】解：移项，得﹣4y＝﹣3x+1，系数化为1，得y＝，故答案为：y＝．14．（2020秋•镇原县期末）多项式x2﹣2kxy﹣3y2+6xy﹣1化简后不含xy项，则k ＝ ．【答案】3【解答】解：∵多项式x2﹣2kxy﹣3y2+6xy﹣1＝x2﹣（2k﹣6）xy﹣3y2﹣1化简后不含xy 项，∴2k﹣6＝0，解得：k＝3．故答案为：3．15．（2020秋•罗庄区期末）有一道题目是一个多项式减去x2+14x﹣6，小强误当成了加法计算，结果得到2x2﹣x+3，则原来的多项式是 ．【答案】x2﹣15x+9【解答】解：2x2﹣x+3﹣（x2+14x﹣6）＝2x2﹣x+3﹣x2﹣14x+6＝x2﹣15x+9．原来的多项式是x2﹣15x+9．三．解答题（共55分）16．（7分）（2020秋•南开区校级月考）多项式A：4xy2﹣5x3y4+（m﹣5）x5y3﹣2与多项式B：﹣2x n y4+6xy﹣3x﹣7的次数相同，且最高次项的系数也相同，求m n的值．【解答】解：∵4xy2﹣5x3y4+（m﹣5）x5y3﹣2的次数为8，∴n+4＝8．∴n＝4．∵4xy2﹣5x3y4+（m﹣5）x5y3﹣2的最高次项的系数为m﹣5，﹣2x n y4+6xy﹣3x﹣7最高次项的系数为﹣2，∴m﹣5＝﹣2．∴m＝3．∴m n＝34＝81．17.（8分）（2021秋•德保县期中）已知多项式﹣3x2y m﹣1+x3y﹣3x4﹣1是五次四项式，且单项式2x2n y的次数与该多项式的次数相同．（1）求m、n的值；（2）把这个多项式按x的降幂排列．【解答】解：（1）∵多项式﹣3x2y m﹣1+x3y﹣3x4﹣1是五次四项式，∴2+m﹣1＝5，∴m＝4．∵单项式2x2n y的次数与该多项式的次数相同，∴2n+1＝5，∴n＝2．（2）按x的降幂排列为﹣3x4+x3y﹣3x2y3﹣1．18．（8分）（东方期末）商店出售甲、乙两种书包，甲种书包每个38元，乙种书包每个26元，现已售出甲种书包a个，乙种书包b个．（1）用代数式表示销售这两种书包的总金额；（2）当a＝2，b＝10时，求销售总金额．【答案】（1）38a+26b（2）336【解答】解：（1）销售这两种书包的总金额为（38a+26b）元；（2）当a＝2，b＝10时，38a+26b＝38×2+26×10＝336，所以销售总金额为336元．19．（10分）（2021秋•信都区月考）今年春季，三元土特产喜获丰收，某土特产公司组织10辆汽车装运甲，乙两种土特产去外地销售，按计划10辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一土特产，且必须装满，设装运甲种土特产的汽车有x辆，根据如表提供的信息，解答以下问题：土特产种类甲乙每辆汽车运载量（吨）43每吨土特产利润（元）10090（1）装运乙种土特产的车辆数为 辆（用含有x的式子表示）；（2）求这10辆汽车共装运土特产的数量（用含有x的式子表示）；（3）求销售完装运的这批土特产后所获得的总利润（用含有x的式子表示）．【解答】解：（1）由题意得，装运乙种土特产的车辆数为：10﹣x（辆），故答案为：（10﹣x）；（2）根据题意得，4x+3 （10﹣x）＝4x+30﹣3x＝30+x；∴这10辆汽车共装运土特产的数量为（30+x）吨；（3）根据题意得，100×4x+90×3（10﹣x）＝400x+2700﹣270x＝130x+2700；∴销售完装运的这批土特产后所获得的总利润为（130x+2700）元20．（10分）（2022春•南岗区校级期中）芳芳房间窗户的装饰物如图所示，它们由两个四分之一圆组成（半径相同）．（1）请用字母表示装饰物的面积（结果保留π）： ；（2）请用字母表示窗户能射进阳光的部分面积（结果保留π）： ab﹣ ；（3）若a＝2，，请求出窗户能射进阳光的面积（π取3）．【解答】解：（1）根据题意得，装饰物的面积为：．故答案为：；解：（2）射进阳光的部分面积为：．故答案为：；（3）当a＝2，时，原式＝．21．（12分）（2022春•裕安区校级期中）给出如下定义：我们把有序实数对（a，b，c）叫做关于x的二次多项式ax2+bx+c的特征系数对，把关于x的二次多项式ax2+bx+c叫做有序实数对（a，b，c）的特征多项式．（1）关于x的二次多项式3x2+2x﹣1的特征系数对为 ；（2）求有序实数对（1，4，4）的特征多项式与有序实数对（1，﹣4，4）的特征多项式的乘积；（3）有序实数对（2，1，1）的特征多项式与有序实数对（a，﹣2，4）的特征多项式的乘积不含x2项，求a的值．【解答】解：（1）关于x的二次多项式3x2+2x﹣1的特征系数对为（3，2，﹣1），故答案为：（3，2，﹣1）；（2）∵有序实数对（1，4，4）的特征多项式为：x2+4x+4，有序实数对（1，﹣4，4）的特征多项式为：x2﹣4x+4，∴（x2+4x+4）（x2﹣4x+4）＝x4﹣4x3+4x2+4x3﹣16x2+16x+4x2﹣16x+16＝x4﹣8x2+16；（3）∵有序实数对（2，1，1）的特征多项式为：2x2+x+1，有序实数对（a，﹣2，4）的特征多项式为：ax2﹣2x+4，∴（2x2+x+1）（ax2﹣2x+4）＝2ax4﹣4x3+8x2+ax3﹣2x2+4x+ax2﹣2x+4＝2ax4+（a﹣4）x3+（a+6）x2+2x+4，∵有序实数对（2，1，1）的特征多项式与有序实数对（a，﹣2，4）的特征多项式的乘积不含x2项，∴a+6＝0，∴a＝﹣6．。
专题06 整式的加减（11个题型）章末重难点题型一、经典基础题题型1. 代数式的书写规范问题题型2. 根据要求列代数式题型3.整式的相关概念题型4.利用整式的相关概念求字母的取值题型5.利用同类项的概念求值题型6 . 添括号与去括号题型7. 整式“缺项”及与字母取值无关的问题题型8.整式的加减混合运算题型9.整式的化简求值题型10. 求代数式的值与整体思想题型11.整式的实际应用二、优选提升题题型1. 代数式的书写规范问题【解题技巧】代数式书写规范：①数和字母相乘，可省略乘号，并把数字写在字母的前面；②字母和字母相乘，乘号可以省略不写或用“ · ” 表示. 一般情况下，按26个字母的顺序从左到右来写；③后面带单位的相加或相减的式子要用括号括起来；④除法运算写成分数形式，即除号改为分数线；⑤带分数与字母相乘时，带分数要写成假分数的形式；⑥当“1”与任何字母相乘时,“1”省略不写；当“-1”乘以字母时，只要在那个字母前加上“-”号.例1．（2022·河北保定·七年级期末）将下列各式按照列代数式的规范要求重新书写：（1）a×5，应写成_______ ；（2）S÷t应写成_________；（3）123a a b´´-´，应写成______；（4）413x, 应写成______.变式1．（2022·河南信阳·七年级期末）下列各式书写符合要求的是（ ）A ．1a b-¸-B ．132xy C ．ab ×5D ．22x y -变式2．（2022·河南驻马店·七年级期末）下列各式符合代数式书写规范的是（ ）A ．a8B ．s tC ．m ﹣1元D ．125x 【答案】B【分析】本题根据书写规则，数字应在字母前面，分数不能为假分数，不能出现除号，对各项的代数式进题型2. 根据要求列代数式【解题技巧】解决此类问题是要理解题意，将字母看作数字表示相应的量，列出代数式，注意代数式的书写规范.例1．（2022·山西临汾·七年级期末）某商品的售价为每件a元，为了参与市场竞争，商店按售价的九折再让利40元销售，此时该商品的售价为___________元．a-【答案】(0.940)【分析】根据题意列出代数式即可．【详解】商品的售价为每件a元，商店按售价的九折再让利40元销售，a-元．现在的售价：(0.940)a-．故答案为：(0.940)【点睛】本题考查了列代数式，读懂题意以及掌握代数式的书写规则是本题的关键．变式1．（2022·山东烟台·期末）阿宜跟同学到西餐厅吃饭，如图为此餐厅的菜单．若他们所点的餐点总共为12份意大利面，x杯饮料，y份沙拉，则他们点了几份A餐？（）A．12-x-y B．12-y C．12-x+y D．12-x【答案】D【分析】根据点的饮料能确定在B和C餐中点了x份意大利面，根据题意可得点A餐12−x．【详解】解：x 杯饮料则在B 和C 餐中点了x 份意大利面，∴点A 餐为12−x ，故选D ．【点睛】本题考查列代数式；能够根据题意，以意大利面为依据，准确列出代数式是解题的关键．变式2．（2022·山西·古县教育局教学研究室八年级期末）一辆快递货运车，运送快递到山上的菜鸟驿站，上山的速度是km/h m ，沿原路下山，下山的速度是km/h n ，则这辆快递货运车上山、下山的平均速度是_________km/h ．题型3.整式的相关概念（1）代数式的概念：用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式．（2）单项式及相关概念：数或字母的积叫单项式。
专题06 整式的乘除重难点题型分类-高分必刷题（解析版）专题简介：本份资料包含《整式的乘除与因式分解》这一章除因式分解之外的全部重要题型，所选题目源自各名校期中、期末试题中的典型考题，具体包含十类题型：幂的运算选择题、幂的逆运算、负指数幂的计算、幂的混合运算、平方差公式、完全平方公式与面积问题、整式的先化简后求值、完全平方公式的配方、完全平方公式的整体代入法、整式乘法的中档文字题与应用题、整式乘除的压轴题。
题型一：幂的运算选择题1．下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．a3÷a＝a2C．（a2）3＝a5D．（3a2）2＝6a4【解答】解：A．a2•a3＝a5，故此选项不合题意；B．a3÷a＝a2，故此选项符合题意；C．（a2）3＝a6，故此选项不合题意；D．（3a2）2＝9a4，故此选项不合题意；故选：B．2．下列计算正确的是（）A．a3•a4＝a12B．（2a）2＝2a2C．（a3）2＝a9D．（﹣2×102）3＝﹣8×106【解答】解：（A）原式＝a7，故A错误；（B）原式＝4a2，故B错误；（C）原式＝a6，故C 错误；故选：D．3．下列计算正确的是（）A．（a3）2÷a5＝a10B．（a4）2÷a4＝a2C．（﹣5a2b3）•（﹣2a）＝10a3b3D．（﹣a3b）3÷b【解答】解：A、（a3）2÷a5＝a，故此选项错误；B、（a4）2÷a4＝a4，故此选项错误；C、（﹣5a2b3）•（﹣2a）＝10a3b3，正确；D、（﹣a3b）3÷a2b2＝﹣2a7b，故此选项错误；故选：C．题型二：幂的逆运算4．已知x m＝3，x n＝2，则x3m+2n的值是（）A．31B．C．23D．108【解答】解：原式＝（x m）3•（x n）2＝33•22＝27×4＝108．故选：D．5．（长郡）已知40248162a a a a ⋅⋅⋅=，则a 的值为 ．【解答】解：原式＝4010432222222==⋅⋅⋅a a a a a ，所以4=a ．6．（长郡梅溪湖）已知：23m =，86n=，2312m n ++= ．【解答】解：原式＝1082632)2(2232=⋅⋅=⋅⋅n m ）（． 题型三：负指数幂的计算7．（雅礼）计算：()21272321301-+--⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛--. 【解答】解：原式＝2612312+-=-+-⨯-．8.（青竹湖）计算：(20122π-⎛⎫+-- ⎪⎝⎭ 【解答】解：原式＝3432314-=-+-+．9.（长郡）2332132827-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---+ 【解答】解：原式＝3343223+=+---）（． 题型四：幂的混合运算10．（长郡郡维）计算：2322432222(4)()(2)()a b bc a b c a b c -⋅-⋅-⋅【解答】解：原式＝456456264c b a c b a +-=45662c b a -．11.（长郡梅溪湖）计算：()()()2323337335xx x x x ⋅-+⋅ 【解答】解：原式＝99925273x x x +-=9x ．12.（中雅）计算：()32248222a a a a a -+⋅-÷ 【解答】解：原式＝66628a a a -+-=67a -．题型五：平方差公式、完全平方公式与面积问题13．如图，边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形，剩下部分正好拼成一个等腰梯形，利用这两幅图形面积，能验证怎样的数学公式？（ ）A ．a 2﹣b 2＝（a +b ）（a ﹣b ）B ．（a +b ）2﹣（a ﹣b ）2＝4abC．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2【解答】解：左边阴影面积为a2﹣b2右边梯形面积为所以a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）故选：A．14．如图①，从边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪拼成一个长方形（如图②），则上述操作所能验证的公式是（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．a2+ab＝a（a+b）【解答】解：大正方形的面积﹣小正方形的面积＝a2﹣b2，矩形的面积＝（a+b）（a﹣b），故a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故选：A．15．如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b＝18，ab＝60，则图中阴影部分的面积为（）【解答】解：由题意得：AB＝AD＝a，CG＝FG＝b，BG＝BC+CG＝a+b，∴S阴影＝S正方形ABCD+S正方形ECGF﹣S直角△ABD﹣S直角△FBG＝AB•AD+CG•FG﹣AB•AD﹣BG•FG＝a2+b2﹣a2﹣（a+b）b＝（a2+b2﹣ab）＝[（a+b）2﹣3ab]，∵a+b＝18，ab＝60，∴S阴影＝×（182﹣3×60）＝72．故选：B．题型六：先化简后求值16.先化简，再求值（a+2b）（a﹣2b）﹣（a+2b）2+4ab，其中a＝1，b＝．【解答】解：原式＝a2﹣4b2﹣a2﹣4ab﹣4b2+4ab＝﹣8b2，当b＝时，原式＝﹣8×＝﹣．17.先化简，再求值：（2x+y）2+（x﹣y）（x+y）﹣5x（x﹣y），其中x＝+1，y＝﹣1．【解答】解：原式＝4x2+4xy+y2+x2﹣y2﹣5x2+5xy＝9xy，当x＝+1，y＝﹣1时，原式＝9×4＝36．18．先化简，再求值：[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（x+2y）﹣2x（2x﹣y）]÷2x．其中x＝﹣1，y ＝2021．【解答】解：[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（x+2y）﹣2x（2x﹣y）]÷2x＝（x2﹣4xy+4y2+x2﹣4y2﹣4x2+2xy）÷2x＝（﹣2x2﹣2xy）÷2x＝﹣x﹣y，当x＝﹣1，y＝2021时，原式＝﹣（﹣1）﹣2021＝﹣2020．题型七：完全平方公式的配方19．若多项式9x2﹣mx+1（m是常数）是一个关于x的完全平方式，则m的值为【解答】解：∵9x2﹣mx+1是一个完全平方式，∴﹣mx＝±2•3x•1，∴m＝±6，故答案为：±620.多项式x2﹣2（m﹣1）x+9是完全平方式，则m＝．【解答】解：∵x2﹣2（m﹣1）x+9＝x2﹣2（m﹣1）x+32，∴﹣2（m﹣1）x＝±2•x•3，解得m＝﹣2或4．故答案是：﹣2或4．21．已知代数式x2﹣4x+m是一个完全平方式，则m的值是．【解答】解：∵x2﹣4x+m是一个完全平方式，∴x2﹣4x+m＝（x﹣2）2＝x2﹣4x+4，∴m＝4．故答案为：4．22．若二次三项式x2﹣8x+m2是一个完全平方式，则m的值是（）A．±4B．4C．±8D．8【解答】解：∵﹣8x＝﹣2×4•x，∴m2＝42＝16，解得m＝±4．故选：A．题型八：完全平方公式的整体代入法23．已知m+n＝﹣6，mn＝4，则m2﹣mn+n2的值为．【解答】解：∵x2﹣4x+m是一个完全平方式，∴x2﹣4x+m＝（x﹣2）2＝x2﹣4x+4，∴m＝4．故答案为：4．24．已知（m+n）2＝11，mn＝2，则（m﹣n）2的值为．【解答】解：因为m+n＝﹣6，mn＝4，所以m2﹣mn+n2＝（m+n）2﹣3mn＝（﹣6）2﹣3×4＝36﹣12＝24．故答案为：24．25．已知：（a﹣b）2＝4，ab＝，则（a+b）2＝．【解答】解：∵（m+n）2＝11，mn＝2，∴（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2＝m2+2mn+n2﹣4mn＝（m+n）2﹣4mn＝11﹣8＝3，故答案为：326．若x2y+xy2＝30，xy＝6，求下列代数式的值：（1）x2+y2；（2）x﹣y．【解答】解：（1）∵x2y+xy2＝30，∴xy（x+y）＝30，∵xy＝6，∴x+y＝5，∴（x+y）2＝x2+y2+2xy＝x2+y2+12＝25，∴x2+y2＝13．（2）∵x2+y2＝13，∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝13﹣12＝1，∴x﹣y＝±1．27．已知（x+y）2＝12，（x﹣y）2＝8，求下列各式的值：（1）xy；（2）x3y+xy3．【解答】解：（1）∵（x+y）2＝x2+2xy+y2＝12①，（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝8②，∴由①﹣②得：4xy＝4，∴xy＝1；（2）由①+②得：2x2+2y2＝2（x2+y2）＝20，∴x2+y2＝10，∴x3y+xy3＝xy（x2+y2）＝1×10＝10．28．已知：x+y＝5，xy＝﹣3，求：（1）x2+y2的值（2）（1﹣x）（1﹣y）的值．【解答】解（1）∵x+y＝5，xy＝﹣3，∴原式＝（x+y）2﹣2xy＝25﹣2×（﹣3）＝31；（2）∵x+y＝5，xy＝﹣3，∴原式＝1﹣y﹣x+xy＝1﹣（x+y）+xy＝1﹣5+（﹣3）＝﹣7．题型九：整式乘法的中档文字题与应用题Ⅰ不含二次项、三次项类29．如果（x2+px+q）（x2﹣5x+7）的展开式中不含x2与x3项，那么p与q的值是（）A．p＝5，q＝18B．p＝﹣5，q＝18C．p＝﹣5，q＝﹣18D．p＝5，q＝﹣18【解答】解：∵（x2+px+q）（x2﹣5x+7）＝x4+（p﹣5）x3+（7﹣5p+q）x2+（7p﹣5q）x+7q，又∵展开式中不含x2与x3项，∴p﹣5＝0，7﹣5p+q＝0，解得p＝5，q＝18．故选：A．30．要使（2x2﹣x+3）（3x2+ax﹣2）的展开式中不含x2项，则a的值为（）A．5B．﹣5C．13D．﹣13【解答】解：（2x2﹣x+3）（3x2+ax﹣2）＝6x4+2ax3﹣4x2﹣3x3﹣ax2+2x+9x2+3ax﹣6＝6x4+（2a﹣3）x3+（9﹣4﹣a）x2+（2+3a）x﹣6．∵（2x2﹣x+3）（3x2+ax﹣2）的展开式中不含x2项，∴9﹣4﹣a＝0．∴a＝5．故选：A．31．已知（x2+mx+1）（x2﹣2x+n）的展开式中不含x3项和x项，求m n．【解答】解：（x2+mx+1）（x2﹣2x+n）＝x4﹣2x3+nx2+mx3﹣2mx2+mnx+x2﹣2x+n＝x4+（﹣2+m）x3+（n﹣2m+1）x2+（mn﹣2）x+n，∵（x2+mx+1）（x2﹣2x+n）的展开式中不含x3项和x项，∴，得，∴m n＝21＝2．Ⅱ利用整式乘法解决几何面积32．如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，（1）求绿化的面积是多少平方米；（2）并求出当a＝5，b＝3时的绿化面积．【解答】解：（1）根据题意得：（3a+b）（2a+b）﹣（a+b）2＝6a2+3ab+2ab+b2﹣a2﹣2ab ﹣b2＝5a2+3ab（米2），则绿化的面积是（5a2+3ab）米2；（2）当a＝5，b＝3时，原式＝125+45＝170（米2），则此时绿化面积为170米2．33．如图，某市近郊有一块长为60米，宽为50米的矩形荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形（其中三个矩形的一边长均为a米）区域将铺设塑胶地面作为运动场地．（1）设通道的宽度为x米，则a＝（用含x的代数式表示）；（2）若塑胶运动场地总占地面积为2430平方米．请问通道的宽度为多少米？【解答】解：（1）设通道的宽度为x米，则a＝；故答案为：（2）根据题意得，（50﹣2x）（60﹣3x）﹣x•＝2430，解得x1＝2，x2＝38（不合题意，舍去）．答：中间通道的宽度为2米．Ⅲ小马虎类问题34．小马、小虎两人共同计算一道题：（x+a）（2x+b）．由于小马抄错了a的符号，得到的结果是2x2﹣7x+3，小虎漏抄了第二个多项式中x的系数得到的结果是x2+2x﹣3．（1）求a，b的值；（2）细心的你请计算这道题的正确结果；（3）当x＝﹣1时，计算（2）中的代数式的值．【解答】解：（1）根据题意得：小马抄错得：（x﹣a）（2x+b）＝2x2+bx﹣2ax﹣ab＝2x2+（b﹣2a）x﹣ab＝2x2﹣7x+3，小虎漏抄了第二个多项式中x的系数得到（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab＝x2+2x﹣3，所以，，联立得：；（2）由（1）得：正确的算式是（x+3）（2x﹣1）＝2x2﹣x+6x﹣3＝2x2+5x﹣3；（3）当x＝﹣1时，2x2+5x﹣3＝2×1+5×（﹣1）﹣3＝﹣6．35．两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成3（x﹣1）（x﹣9），另一位同学因看错了常数项而分解成3（x﹣2）（x﹣4）．（1）求原来的二次三项式；（2）将（1）中的二次三项式分解因式．【解答】解：（1）3（x﹣1）（x﹣9）＝3x2﹣30x+27，3（x﹣2）（x﹣4）＝3x2﹣18x+24，根据题意得：原来的多项式为3x2﹣18x+27；（2）原式＝3（x2﹣6x+9）＝3（x﹣3）2．题型十：整式乘除的压轴题36．阅读下列材料，并解决后面的问题．材料：一般地，n个相同的因数a相乘：记为a n．如23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28＝3）．一般地，若a n＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为log a b（即log a b＝n），如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381＝4）．问题：（1）计算以下各对数的值：log24＝；log216＝；log264＝．（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，然后利用4、16、64之间的数量关系猜想log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式？答：log24、log216、log264关系式为．（3）由（2）的结果，请你能归纳出：log a M+log a N＝（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）．【解答】解：（1）∵22＝4，24＝16，26＝64，∴log24＝2；log216＝4；log264＝6，故答案为：2，4，6；（2）由（1）知，∵2+4＝6，∴log24+log216＝log264＝log2（4×16），故答案为：log24+log216＝log264；（3）设log a M＝x，log a N＝y，则a x＝M，a y＝N，∴MN＝a x•a y＝a x+y，∴x+y＝log a MN，即log a M+log a N＝log a MN故答案为：log a M+log a N＝log a MN．37．阅读材料：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，那么形如a+bi（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它有如下特点：①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：（2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（1﹣4）i＝5﹣3i；（3+i）i＝3i+i2＝3i﹣1．②若他们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭，如1+2i的共轭复数为1﹣2i．根据材料回答：（1）填空：i3＝，i4＝；（2）求（2+i）2的共轭复数；（3）已知（a+i）（b+i）＝1+3i，求a2+b2（i2+i3+i4…+i2020）的值．【解答】解：（1）∵i2＝﹣1，∴i3＝i2•i＝﹣1•i＝﹣i，i4＝i2•i2＝﹣1×（﹣1）＝1；故答案为：﹣i，1．（2）（2+i）2＝i2+4i+4＝﹣1+4i+4＝3+4i，故（2+i）2的共轭复数是3﹣4i；（3）∵（a+i）（b+i）＝ab﹣1+（a+b）i＝1+3i，∴ab﹣1＝1，a+b＝3，解得a＝1，b＝2或a＝2，b＝1，当a＝1，b＝2时，a2+b2（i2+i3+i4…+i2020）＝1+4（﹣1﹣i+1+i…+1+i﹣1﹣i+1）＝1﹣4i；当a＝2，b＝1时，a2+b2（i2+i3+i4…+i2020）＝4+1（﹣1﹣i+1+i…+1+i﹣1﹣i+1）＝4﹣i．故a2+b2（i2+i3+i4…+i2020）的值为4﹣i或者1﹣4i．38．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数”．（1）28是“神秘数”吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数吗？为什么？（3）根据上面的提示，判断2020是否为“神秘数”？如果是，请写出两个连续偶数平方差的形式；如果不是，说明理由．（4）两个连续奇数的平方差（取正数）是“神秘数”吗？为什么？【解答】解：（1）∵28＝82﹣62，∴28是“神秘数”；（2）两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数．理由如下：（2k+2）2﹣（2k）2＝（2k+2+2k）（2k+2﹣2k）＝2（4k+2）＝4（2k+1），∴两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数，∵2k+1是奇数，∴它是4的倍数，不是8的倍数；（3）∵2020＝505×4，∴2020是“神秘数”，2020＝5062﹣5042，（4）设两个连续的奇数为：2k+1，2k﹣1，则（2k+1）2﹣（2k﹣1）2＝8k，此数是8的倍数，但不是4的奇数倍，所以两个连续的奇数的平方差不是神秘数．39．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20这三个数都是神秘数．（1）28是神秘数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？（3）①若长方形相邻两边长为两个连续偶数，试说明其周长一定为神秘数．②在①的条件下，面积是否为神秘数？为什么？【解答】解：（1）∵28＝82﹣62，∴28是神秘数；2014不是神秘数，神秘数必须是4的倍数；（2）两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数，∵（2k+2）2﹣（2k）2＝8k+4＝4（2k+1），∴神秘数是4的倍数；（3）①设长方形相邻两边长分别为2n+2和2n，（n为正整数），则其周长为：2[（2n+2）+2n]＝8n+4，∵（2n+2）2﹣（2n）2＝8n+4，∴此长方形的周长＝（2n+2）2﹣（2n）2，即此长方形的周长等于两个连续偶数的平方差，∴该长方形的周长一定为神秘数；②该长方形的面积不为“神秘数”，理由如下：长方形的面积为：（2n+2）•2n＝4n（n+1），设两个连续的偶数为2k+2和2k，（k为非负整数），假设此长方形的面积为“神秘数”，则4n（n+1）＝（2k+2）2﹣（2k）2，即4n（n+1）＝8k+4，∴n（n+1）＝2k+1，∵n为正整数，∴n（n+1）必为偶数，而2k+1为奇数，∴n（n+1）＝2k+1不成立，∴假设此长方形的面积为“神秘数”不正确，故该长方形的面积不为“神秘数”．40．一个正整数m能写成m＝（a﹣b）（a+b）（a、b均为正整数，且a≠b），则称m为“美满数”，a、b为m的一个完美变形，在m的所有完美变形中，若a2+b2最大，则称a、b 为m的最佳完美变形，此时F（m）＝a2+b2．例如：12＝（4+2）（4﹣2），12为“完美数”，4和2为12的一个完美变形，32＝（9+7）（9﹣7）＝（6+2）（6﹣2），因为92+72＞62+22，所以9和7是32的最佳完美变形，所以F（32）＝130．（1）8（填“是”或“不是”）完美数；10（填“是”或“不是”）完美数；13（填“是”或“不是”）完美数；（2）求F（48）；（3）若一个两位数n的十位数字和个位数字分别为x，y（1≤x≤y≤9），n为“完美数”且x+y能被8整除，求F（n）的最小值．【解答】解：（1）∵8＝（3﹣1）×（3+1），∴8是完美数；∵10不能写成两个正整数和与差乘积的形式，∴10不是完美数；∵13＝（7﹣6）×（7+6），∴13是（填“是”或“不是”）完美数．故答案为：是，不是，是；（2）a+b，a﹣b同为奇数或同为偶数，所以48＝24×2 或48＝12×4 或48＝8×6，，解得：，∵132+112＞82+42＞72+12∴F（n）＝132+112＝290（3）由题可知：n＝10x+y＝（a+b）（a﹣b）．∵x+y能够被8整除且1≤x≤y≤9，∴x+y＝8或x+y＝16①当x+y＝8时，1≤x≤y≤9，∴x＝1或2或3或4，即n＝17或26或35或44，而26不是“完美数”或，解得：或．F（17）＝92+82＝145，F（35）＝182+172＝613，F（44）＝122+102＝244②当x+y＝16时，1≤x≤y≤9，∴x＝7或8，∴n＝79或88∴或或，解得或或，∴F（79）＝402+392＝3121，F（88）＝232+212＝970，∴F（n）的最小值为145．41．配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：因为3a2≥0，所以3a2+1≥1，即：3a2+1有最小值1，此时a＝0；同样，因为﹣3（a+1）2≤0，所以﹣3（a+1）2+6≤6，即﹣3（a+1）2+6有最大值6，此时a＝﹣1．（1）当x＝时，代数式2（x﹣1）2+3有最（填写大或小）值为．（2）当x＝时，代数式﹣x2+4x+3有最（填写大或小）值为．（3）矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是16m，当花园与墙相邻的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？【解答】解：（1）∵（x﹣1）2≥0，∴当x＝1时，（x﹣1）2的最小值为0，则当x＝1时，代数式﹣2（x﹣1）2+3的最大值为3；（2）代数式﹣x2+4x+3＝﹣（x2﹣4x+4）+7＝﹣（x﹣2）2+7，则当x＝2时，代数式﹣x2+4x+3的最大值为7；（3）设垂直于墙的一边为xm，则平行于墙的一边为（16﹣2x）m，∴花园的面积为x（16﹣2x）＝﹣2x2+16x＝﹣2（x2﹣8x+16）+32＝﹣2（x﹣4）2+32，则当边长为4米时，花园面积最大为32m2．故答案为：1；大；3；2；大；7．。
七年级上册数学整式知识点数学整式是初中数学中比较基础但又至关重要的知识点，它是一类由数字、字母及求和、求差、乘积等运算符号连接而成的代数式，也是中学数学为数不多的数学工具之一。
接下来我们将分别从整式概念、整式的基本运算以及整式的分解与合并三个方面来探讨七年级上册数学整式的知识点。
一、整式概念整式是由数字、字母及求和、求差、乘积等运算符号连接而成的代数式，整式中的字母代表的是数（未知数），整式中未知数的个数或次数都是有限的。
例如：3x^2+5xy+2y-3 是一个由四个项构成的整式，其中x和y 是未知数。
二、整式的基本运算1.加法和减法运算整式的加法和减法运算就和我们平时的数的加、减法运算一样，只需要将同类项加减即可。
同类项是指具有相同未知数及相同次数的两个或两个以上的项。
例如：2x^2+3xy+4y-5 和 4x^2-3xy+2y+6的和为(2+4)x^2+(3-3)xy+(4+2)y+(-5+6)=6x^2+6y+1。
2.乘法运算整式的乘法运算就是利用分配律将每一项分别乘起来，然后再将各项相加。
需要注意的是乘法中乘号可以省略，如4x可以直接写成4x。
同时也要注意括号的运用，比如(a+b)×(c+d)=ac+ad+bc+bd。
例如：(x-2)(x+3)=x^2+3x-2x-6=x^2+x-6。
3.倍半式与平方差公式的应用倍半式和平方差公式都是整式的特殊乘法公式，它们能够快速地计算出某些整式的积。
(1)倍半式公式：(a±b)²= a²±2ab+b²(a±b)×(a∓b)= a²－b²(2)平方差公式：(a+b)² = a²+2ab+b²(a-b)² = a²-2ab+b²应用倍半式与平方差公式能够极大地节约整式乘法计算的时间，尤其是在系数特殊或已知的情况下更容易应用。
七年级上整式知识点整式是数学中一个非常重要的概念，也是数学学习中最基础的内容之一。
在七年级上学期，我们要学习整式的相关知识。
那么，什么是整式呢？整式又包括哪些重要的知识点呢？今天我们就来详细学习一下。
一、什么是整式整式，顾名思义，就是一个多项式函数，由常数项、一次项、二次项、三次项等各类单项式相加减而成的式子。
一般用x来表示。
例如：3x+4、2x²-5x+1等都是整式。
二、整式的基本运算1、加减运算整式的加减运算非常简单，只需要将同类项合并即可。
所谓同类项，是指它们的次数相同，且所含变量的指数也相同。
例如：3x²+4x+2和2x²-3x+5就不是同类项，因为它们的次数不同。
而3x²+2x和4x²+3x就是同类项。
我们可以看一个简单的例子：(3x²+2x-1)+(2x²-3x+5)首先合并同类项，得到：(3+2)x² + (2-3)x - (1+5)化简后，得到：5x²-x-62、乘法运算整式的乘法运算需要将所有单项式两两相乘，再将所有乘积相加。
例如：(3x+1)(2x-1)可以化简为6x²+x-1。
需要注意的是，整式的乘法运算不遵循交换律。
即a×b与b×a 的结果可能不同。
例如：(3x+2)(2x-5)与(2x-5)(3x+2)的结果不同。
3、除法运算除法运算是整式运算中最复杂的一种。
在七年级上学期中，我们主要学习了两种类型的除法：一是单项式除以单项式，二是多项式除以单项式。
对于单项式除以单项式，我们只需要将除数的系数、除数中字母的次数分别除以被除数中对应字母的次数，即可得到商和余数。
例如：8x³÷4x=2x²多项式除以单项式的除法运算则更加复杂，需要依次做减法，直到计算结果可以整除为止。
例如：4x³+2x²-5x-1÷(2x-1)解法如下：现在，我们要带着余数4来继续计算。
七年级上册整式知识点总结归纳在七年级上册的数学学习中，整式是一个非常重要的概念。
整式是由常数和变量的积、商及其加减运算得到的代数表达式。
有关整式的知识点在整个学期中贯穿始终，包括整式的定义、加减乘除运算规则、项与系数的概念等。
以下是对相关知识点的总结与归纳。
一、整式的定义整式由常数项、变量项及它们的和组成。
其中，常数项是没有包含变量的项，变量项是包含变量的项，通常用字母表示。
二、项与系数的概念1. 项：整式中的单个部分被称为项。
一个整式可以由多个项组成。
2. 系数：项中的常数因子被称为系数。
系数用来表示该项的大小。
三、整式的加法与减法1. 同类项：具有相同变量部分的项被称为同类项，可以通过它们的系数进行合并。
2. 合并同类项：将同类项的系数相加（或相减），保持变量部分不变，得到合并后的整式。
3. 加法公式：(a + b) + c = a + (b + c) 结合律a +b = b + a 交换律a + 0 = a 零元素四、整式的乘法1. 乘法法则：常数与整式相乘：常数乘以整式的每一项，得到新的整式。
一次整式与一次整式相乘：将各个项两两相乘，然后合并同类项。
一次整式与多次整式相乘：将多次整式的每一项与一次整式相乘，得到多个乘积，然后将这些乘积相加。
注意：乘法中，同类项的系数相乘，变量部分相乘。
五、整式的除法整式的除法与整式的乘法相对应。
对于整式的除法，有以下几个要点：1. 除法法则：整式除以整式，可以将除数乘以除数的倒数，然后合并同类项。
2. 余数定理：将整式A除以整式B时，A除以B的余数为0，即A是B的倍数时，A被B整除。
3. 除式不为0：除数不能为0，否则运算无意义。
六、整式的因式分解1. 整式的因式分解是将一个整式拆分为几个乘积的形式，其中乘积的每一项相乘得到原整式。
2. 因式分解的基本要点：根据运算法则，将整式拆分为多个乘积的形式，使每一项相乘得到原整式。
七、整式的运算顺序在进行整式的运算时，需要遵守运算顺序：1. 先进行括号内的运算。
七年级上册数学整式知识点主要包括以下几个方面：
整式的概念：整式是由数字、字母通过有限次的加、减、乘运算得到的代数式。
例如，单项式2x和多项式x^2+3x+2都是整式。
整式的分类：整式可以分为单项式和多项式。
单项式是指只包含一个项的整式，例如5x；多项式是指由多个单项式通过加减运算得到的整式，例如x^2+3x+2。
整式的运算：整式的运算是整式学习的重要部分，包括加、减、乘、除等运算。
在运算过程中，需要注意运算的优先级，例如乘除法优先于加减法进行。
幂的运算：幂的运算是整式的一个重要部分，包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方等运算规则。
例如，同底数幂的乘法法则为a^ma^n=a^(m+n)，幂的乘方运算法则为(a^m)^n=a^(mn)，积的乘方运算法则为(ab)^n=a^nb^n。
整式的简化：整式的简化是整式学习的另一个重要部分，主要是通过合并同类项、提取公因式等方法将整式化简到最简形式。
以上是七年级上册数学整式知识点的主要内容，通过学习和掌握这些知识点，可以更好地理解整式的概念和运算规则，提高数学运算能力和代数思维。
七年级上册整式知识点归纳
一、整式定义及性质
整式是由有理数与未知数的乘积相加减所得的代数和，不含有乘方，如3x+2或4x^2-5x+1。
二、整式的加减运算
1.同类项相加减，即同一未知数的幂相同的项可以合并，如
3x^2+2x+5x^2-4x=(5+3)x^2+(2-4)x=8x^2-2x。
2.整式加减可以转化为排序和合并同类项，如(4x^2-
3x+2)+(2x^2+5x-1)=(4x^2+2x^2)+(-3x+5x)+(2-1)=6x^2+2x+1。
三、整式的乘法运算
配方法：(a+b)^2=a^2+2ab+b^2, (a-b)^2=a^2-2ab+b^2。
分配律：a(b+c)=ab+ac。
乘法公式：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd。
展开式：(3x+2)(2x-5)=6x^2-15x+4x-10=6x^2-11x-10。
四、整式的除法运算
当除式是一元一次式时，可以用常数项系数法求解。
当除式是多项式时，可以用长除法或公式法求解。
五、综合运用
综合运用整式知识点，可以解决很多实际问题。
如：已知矩形的长和宽分别是x+1和2x-3，求它的面积。
解：面积=长×宽=(x+1)(2x-3)=2x^2-3x+2x-3=2x^2-x-3。
六、小结
整式是代数学中的重要知识点，是解决实际问题的基础。
在学习整式时，我们需要掌握整式的定义及性质、加减运算、乘法运算、除法运算等知识点，熟练掌握整式的计算方法，尤其注意细节问题，做到灵活应用，能够适应各种不同情况的计算要求。
2022-2023学年七年级数学上册考点必刷练精编讲义（人教版）基础第2章《整式的加减》2.1-2.2 整式及整式的加减知识点1：列代数式【典例分析01】（2022•宝山区二模）某商品原价为a元，如果按原价的七五折销售，那么售价是 0.75a 元．（用含字母a的代数式表示）解：根据题意知售价为0.75a元．故答案为：0.75a．【变式训练1-1】（2022•思明区二模）厦门中学生助手所售的某商品价格经历了两次上调，其中第二次增长率是第一次增长率的一半．若第一次上调前价格为a元，第一次增长率为x，则经历两次上调后的价格为（ ）A．B．C．D．解：∵第一次上调前价格为a元，第一次增长率为x，且第二次增长率是第一次增长率的一半，∴经历一次上调后的价格为a（1+x），经历两次上调后的价格为a（1+x）（1+x）．故选：C．【变式训练1-2】．（2022•山西模拟）某商店经销一种“84消毒液”，每箱进价为a元，该商店将进价提高40%后作为零售价销售，则这时这种“84消毒液”的零售价为 1.4a 元．（用含a的式子表示）解：由题意可得，这种“84消毒液”的零售价为：a×（1+40%）＝1.4a（元）．故答案为：1.4a．【变式训练1-3】（2021秋•宝应县期末）甲超市在中秋节这天进行苹果优惠促销活动，苹果的标价为10元/kg，如果一次购买4kg以上的苹果，超过4kg的部分按标价6折售卖，x（单位：kg）表示购买苹果的质量．（1）中秋节这天，小明购买3kg苹果需付款 30 元；购买5kg苹果需付款 46 元；（2）中秋节这天，小明需购买苹果xkg，则小明需付款 10x或（6x+16） 元；（3）当天，隔壁的乙超市也在进行苹果优惠促销活动，同样的苹果的标价也为10元/kg，且全部按标价的8折售卖，小明如果要购买多少kg苹果时，随便在哪家购买都一样？解：（1）10×3＝30（元），10×4+10×0.6×（5﹣4）＝40+6×1＝40+6＝46（元），故答案为：30，46；（2）当x≤4时，小明需付款10x元，当x＞4时，小明需付款10×4+10×0.6×（x﹣4）＝40+6×（x﹣4）＝40+6x﹣24＝（6x+16）（元），故答案为：10x或（6x+16）；（3）由题意列方程得，10×4+10×0.6×（x﹣4）＝10×0.8x，解得x＝8，答：小明如果要购买8kg苹果时，随便在哪家购买都一样．知识点2：代数式求值【典例分析02】（2022•松阳县二模）数学活动课上，小云和小王在讨论涂老师出示的一道代数式求值问题：题目：已知p+q+2r＝1，p2+q2﹣8r2+6r﹣5＝0，求代数式pq﹣qr﹣rp的值．通过你的运算，代数式pq﹣qr﹣rp的值为 ﹣2 ．解：pq﹣qr﹣rp＝pq﹣r（p+q），∵p+q+2r＝1，∴p+q＝1﹣2r，（p+q）2＝（1﹣2r）2p2+2pq+q2＝1﹣4r+4r2①∵p2+q2﹣8r2+6r﹣5＝0，∴p2+q2＝8r2﹣6r+5②把②代入①得，8r2﹣6r+5+2pq＝1﹣4r+4r2，∴2pq＝1﹣4r+4r2﹣8r2+6r﹣5＝﹣4r2+2r﹣4，∴pq＝﹣2r2+r﹣2，∴pq﹣qr﹣rp＝pq﹣r（p+q）＝﹣2r2+r﹣2﹣r（1﹣2r）＝﹣2r2+r﹣2﹣r+2r2＝﹣2．故答案为：﹣2．【变式训练2-1】（2021秋•连州市期末）若2m﹣n﹣4＝0，则﹣2m+n﹣9值是（ ）A．﹣13B．﹣5C．5D．13解：∵2m﹣n﹣4＝0，∴2m﹣n＝4，∴﹣2m+n＝﹣4，∴﹣2m+n﹣9＝﹣4﹣9＝﹣13，故选：A．【变式训练2-2】（2021秋•封丘县期末）如图所示的是一个计算程序，程序规定从左至右逐步计算，若输入a的值为1，则输出的结果b的值应为（ ）A．﹣5B．5C．7D．﹣3解：将a＝1代入该计算程序得，[12﹣（﹣2）]×（﹣3）+4＝（1+2）×（﹣3）+4＝3×（﹣3）+4＝﹣9+4＝﹣5，∴b＝﹣5，故选：A．【变式训练2-3】（2021秋•吉州区期末）当x＝2时，整式px3+qx+1的值等于2021，那么当x＝﹣2时，整式px3+qx﹣2＝ ﹣2022 ．解：当x＝2时，px3+qx+1＝23×p+2×q+1＝8p+2q+1＝2021，可得8p+2q＝2020，∴当x＝﹣2时，px3+qx﹣2＝（﹣2）3×p+（﹣2）×q﹣2＝＝﹣8p﹣2q﹣2＝﹣（8p+2q）﹣2＝﹣2020﹣2＝﹣2022，故答案为：﹣2022．【变式训练2-4】（2021秋•石城县期末）为改善居民居住条件，让人民群众生活更方便更美好，国家出台了改造提升城镇老旧小区政策．在我县“老城换新颜”小区改造中，某小区规划修建一个广场（平面图形如图所示）：（1）用含m，n的代数式表示广场（阴影部分）的面积S；（2）若m＝60米，n＝50米，求出该广场的面积．解：（1）由题意得，S＝2m•2n﹣（2n﹣n﹣0.5n）m＝4mn﹣0.5mn＝3.5mn；（2）∵m＝60米，n＝50米，∴S＝3.5mn＝3.5×60×50＝10500．答：该广场的面积为10500平方米．知识点3：同类项【典例分析03】（2021秋•巫溪县期末）如果﹣5a m﹣1b3与6a4b2﹣3n是同类项，那么m和n的值分别为（ ）A．3和4B．5和C．5和D．4和解：∵﹣5a m﹣1b3与6a4b2﹣3n是同类项，∴m﹣1＝4，2﹣3n＝3，解得：m＝5，n＝．故选：B．【变式训练3-1】．（2021秋•韩城市期中）已知单项式﹣2x2m y7与单项式﹣5x6y n+8是同类项，求﹣m2﹣n2021的值．解：因为单项式﹣2x2m y7与单项式﹣5x6y n+8是同类项，所以2m＝6，n+8＝7，所以m＝3，n＝﹣1，所以﹣m2﹣n2021＝﹣32﹣（﹣1）2021＝﹣8．【变式训练3-2】（2022•玉山县二模）如果单项式3x m y与﹣5x3y n是同类项，求m+n的值．解：因为单项式3x m y与﹣5x3y n是同类项，所以m+n＝3+1＝4，即m+n的值是4．知识点4：合并同类项【典例分析04】（2021秋•华容县期末）下列各式中运算正确的是（ ）A．3a﹣a＝2B．5x2y﹣3xy2＝2xyC．2a+5b＝7ab D．3ab﹣3ba＝0解：A、原式＝2a，计算错误，不符合题意；B、5x2y与3xy2不是同类项，不能合并，计算错误，不符合题意；C、2a与5b不是同类项，不能合并，计算错误，不符合题意；D、原式＝（3﹣3）ab＝0，计算正确，符合题意．故选：D．【变式训练4-1】（2021秋•昌吉市校级期末）下列计算中，正确的是（ ）A．2xy﹣2yx＝0B．5a﹣3a＝2C．﹣ab﹣ab＝0D．3mn﹣3m＝n解：A．2xy﹣2yx＝0，计算正确，故本选项符合题意；B．5a﹣3a＝2a，故本选项不符合题意；C．﹣ab﹣ab＝﹣2ab，故本选项不符合题意；D．3mn与﹣3m不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意．故选：A．【变式训练4-2】（2022•公安县模拟）单项式x m+1y2﹣n与2y2x3的和仍是单项式，则m n＝ 1 ．解：依题意得：m+1＝3，2﹣n＝2，m＝2，n＝0，∴m n＝20＝1．故答案为：1．【变式训练4-3】（2021秋•阳东区期末）若关于x，y的单项式x m﹣1y2n与单项式x2y n+1是同类项，则这两个单项式的和为 x2y2 ．解：由题意得：m﹣1＝2，2n＝n+1，∴x2y2+x2y2＝x2y2，故答案为：x2y2．【变式训练4-4】（2021秋•龙泉驿区校级期末）（1）如图，数轴上的点A，B，C分别表示有理数a，b，c．化简：|a|﹣|b+2|﹣|a+c|﹣|b+1|+|1﹣c|；（2）已知关于x、y的多项式（3y﹣ax2﹣3x﹣1）﹣（﹣y+bx﹣2x2）中不含x项和x2项，且﹣x+b＝0，求代数式：﹣x﹣b的值．解：（1）∵a＜﹣2＜b＜﹣1，0＜c＜1，∴b+2＞0，a+c＜0，b+1＜0，1﹣c＞0，∴|a|﹣|b+2|﹣|a+c|﹣|b+1|+|1﹣c|＝﹣a﹣（b+2）﹣（﹣a﹣c）﹣（﹣b﹣1）+1﹣c＝﹣a﹣b﹣2+a+c+b+1+1﹣c＝0．（2）原式＝3y﹣ax2﹣3x﹣1+y﹣bx+2x2＝（2﹣a）x2﹣（b+3）x+4y﹣1，由题意得2﹣a＝0，b+3＝0，解得a＝2，b＝﹣3，∵x2﹣x﹣3＝0，∴x1＝2，x2＝﹣1，当x＝2时，原式＝×23﹣3×22﹣2﹣（﹣3）＝8﹣12﹣2+3＝﹣3，当x＝﹣1时，原式＝×（﹣1）3﹣3×（﹣1）2﹣2﹣（﹣3）＝﹣1﹣3﹣2+3＝﹣3．∴﹣x﹣b的值为﹣3．知识点5：去括号与添括号【典例分析05】（2020秋•澄海区期末）在括号内填上恰当的项：4﹣x2+3xy﹣2y2＝4﹣（ x2﹣3xy+2y2 ）．解：4﹣x2+3xy﹣2y2＝4﹣（x2﹣3xy+2y2）．故答案是：x2﹣3xy+2y2．【变式训练5-1】（2021秋•云梦县校级期末）下列去括号正确的是（ ）A．﹣（﹣x2）＝﹣x2B．﹣x﹣（2x2﹣1）＝﹣x﹣2x2+1C．﹣（2m﹣3n）＝﹣2m﹣3n D．3（2﹣3x）＝6﹣3x解：A、﹣（﹣x2）＝x2，计算错误，不符合题意；B、﹣x﹣（2x2﹣1）＝﹣x﹣2x2+1，计算正确，符合题意；C、﹣（2m﹣3n）＝﹣2m+3n，计算错误，不符合题意；D、3（2﹣3x）＝6﹣9x，计算错误，不符合题意．故选：B．【变式训练5-2】（2021秋•望城区期末）下列各题中去括号正确的是（ ）A．5﹣3（x+1）＝5﹣3x﹣1B．2﹣4（x+）＝2﹣4x+1C．2﹣4（x+1）＝2﹣x﹣4D．2（x﹣2）﹣3（y﹣1）＝2x﹣4﹣3y﹣3解：A．5﹣3（x+1）＝5﹣3x﹣3，故A不符合题意．B．2﹣4（x+）＝2﹣4x﹣1，故B不符合题意．C．2﹣4（x+1）＝2﹣x﹣4，故C符合题意．D．2（x﹣2）﹣3（y﹣1）＝2x﹣4﹣3y+3，故D不符合题意．故选：C．【变式训练5-3】（2021秋•渌口区期末）化简﹣3（m﹣n）的结果为 ﹣3m+3n ．解：﹣3（m﹣n）＝﹣3m+3n，故答案为：﹣3m+3n．【变式训练5-4】（2016秋•徐闻县期中）观察下列各式：①﹣a+b＝﹣（a﹣b）；②2﹣3x＝﹣（3x﹣2）；③5x+30＝5（x+6）；④﹣x﹣6＝﹣（x+6）．探索以上四个式子中括号的变化情况，思考它和去括号法则有什么不同？利用你探索出来的规律，解答下面的题目：已知a2+b2＝5，1﹣b＝﹣1，求﹣1+a2+b+b2的值．解：∵a2+b2＝5，1﹣b＝﹣1，∴﹣1+a2+b+b2＝﹣（1﹣b）+（a2+b2）＝﹣（﹣1）+5＝6．知识点6：整式【典例分析06】（2021秋•靖西市期中）下列式子：x2+2，+4，，，﹣5x，0，整式的个数是 4 个．解：在x2+2，+4，，，﹣5x，0中，整式有x2+2，，﹣5x，0，共4个．故答案为：4．【变式训练6-1】（2021秋•长沙县期末）下列式子：x2+2，+4，，，﹣5x，0中，整式的个数有（ ）A．6B．5C．4D．3解：x2+2，，，，﹣5x，0中，整式有：x2+2，，﹣5x，0共4个．故选：C．【变式训练6-2】（2021秋•襄都区校级期末）下列代数式：（1）mn，（2）m，（3），（4），（5）2m+1，（6），（7），（8）x2+2x+，（9）y3﹣5y+中，整式有（ ）A．3个B．4个C．6个D．7个解：根据整式的概念可知，整式有：（1）mn；（2）m；（3）；（5）2m+1；（6）；（8）x2+2x+．共6个．故选：C．【变式训练6-3】（2021秋•鹿邑县月考）下列式子0，，﹣3+中，其中整式有 3 个．解：0，，﹣x是整式，共有3个，故答案为：3．【变式训练6-4】（2019秋•三台县期末）把几个数或整式用大括号括起来，中间用逗号分开，如{﹣3，6，12}，{x，xy2，﹣2x+1}，我们称之为集合，其中大括号内的数或整式称为集合的元素．定义如果一个集合满足：只要其中有一个元素x使得﹣2x+1也是这个集合的元素，这样的集合称为关联集合，元素﹣2x+1称为条件元素．例如：集合{﹣1，1，0}中元素1使得﹣2×1+1＝﹣1，﹣1也恰好是这个集合的元素，所以集合{﹣1，1，0}是关联集合，元素﹣1称为条件元素．又如集合满足﹣2×是关联集合，元素称为条件元素．（1）试说明：集合是关联集合．（2）若集合{xy﹣y2，A}是关联集合，其中A是条件元素，试求A．解：（1）∵且是这个集合的元素∴集合是关联集合；（2）∵集合{xy﹣y2，A}是关联集合，A是条件元素∴A＝﹣2（xy﹣y2）+1，或A＝﹣2A+1∴A＝﹣2xy+2y2+1或．知识点7：单项式【典例分析07】（2021秋•泾阳县期中）已知单项式﹣xy a与﹣2x2y2的次数相同，求a的值．解：根据题意得：1+a＝2+2，∴a＝3．答：a的值为3．【变式训练7-1】（2021秋•碑林区校级期末）单项式﹣的系数为m，次数为n，则8mn的值为 ﹣9 ．解：单项式﹣的系数为m＝﹣，次数为n＝3，则8mn＝8×（﹣）×3＝﹣9．故答案为：﹣9．【变式训练7-2】（2021秋•潍坊期末）请你写出一个系数为3，次数为4，只含字母a、b的单项式： 3a2b2（答案不唯一） ．解：一个系数为3，次数为4，只含字母a、b的单项式：3a2b2，故答案为：3a2b2（答案不唯一）．【变式训练7-3】（2012秋•吉州区期末）已知（a﹣3）x2y|a|+（b+2）是关于x，y的五次单项式，求a2﹣3ab+b2的值．解：∵（a﹣3）x2y|a|+（b+2）是关于x，y的五次单项式，∴，解得：，则a2﹣3ab+b2＝9﹣18+4＝﹣5．知识点8：多项式【典例分析08】（2021秋•江都区期末）若x|m|﹣1+（3+m）x﹣5是关于x的二次二项式，那么m的值为 ﹣3 ．解：由题意得：|m|﹣1＝2且3+m＝0，解得：m＝﹣3，故答案为：﹣3．【变式训练8-1】（2021秋•金沙县期末）下列说法不正确的是（ ）A．a+2b是多项式B．﹣6是单项式C．单项式﹣3x2y3的次数是5D．﹣πx2的次数是3解：A、a+2b是多项式，正确，与要求不符；B、﹣6是单项式，正确，与要求不符；C、单项式﹣3x2y3的次数是5，正确，与要求不符；D、﹣πx2的次数是2，故D错误，与要求相符．故选：D．【变式训练8-2】（2021秋•雁峰区校级期末）有下列四个说法：①多项式x2﹣3x﹣6的项是x2，﹣3x和6；②304.35（精确到个位）取近似值是304；③若|2m|＝﹣2m，则m≤0；④若b是大于﹣1的负数，则b3＞b．其中正确说法的个数是（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个解：①多项式x2﹣3x﹣6的项是x2，﹣3x和﹣6，故本选项错误，不符合题意；②304.35（精确到个位）取近似值是304，故本选项正确，符合题意；③若|2m|＝﹣2m，则m≤0，故本选项正确，符合题意；④若b是大于﹣1的负数，则b3＞b，故本选项正确，不符合题意；故选：C．【变式训练8-3】（2021秋•渭城区期末）已知下面5个式子：①x2﹣x+1，②m2n+mn﹣1，③2，④5﹣x2，⑤﹣x2．（1）上面5个式子中有 3 个多项式，次数最高的多项式为 ② （填序号）；（2）化简：①+④．解：（1）上面5个式子中有3个多项式，分别是：①②④，次数最高的多项式为②；故答案为：3，②；（2）①+④得：x2﹣x+1+5﹣x2＝﹣x+6．【变式训练8-4】（2020秋•咸丰县期末）已知点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，O 为原点．关于x，y的多项式﹣3xy b+2x2y+x3y2+2a是6次多项式，且常数项为﹣6．（1）点A到B的距离为 8 （直接写出结果）；（2）如图1，点P是数轴上一点，点P到A的距离是P到B的距离的3倍（即PA＝3PB），求点P在数轴上对应的数；（3）如图2，点M，N分别从点O，B同时出发，分别以v1，v2的速度沿数轴负方向运动（M在O，A之间，N在O，B之间），运动时间为t，点Q为O，N之间一点，且点Q是线段AN的中点．若M，N运动过程中Q 到M的距离（即QM）总为一个固定的值，求的值．解：（1）∵关于x，y的多项式﹣3xy b+2x2y+x3y2+2a是6次多项式，且常数项为﹣6，∴1+b＝6，2a＝﹣6，∴a＝﹣3，b＝5，∵点A 在数轴上对应的数为a ，点B 在数轴上对应的数为b ，∴点A 到B 的距离|﹣3﹣5|＝8，故答案为：8．（2）设P 点在数轴上对应的数为x ．①当P 点在A 、B 两点之间时：x ﹣（﹣3）＝3（5﹣x ），②当点P 在B 点的右侧时：x ﹣（﹣3）＝3（x ﹣5），∴x ＝9，∴P 点在数轴上对应的数为3或9．（3）根据题意得：AN ＝8﹣v 2t ，AQ ＝，AM ＝3﹣v 1t ，∴QM ＝AQ ﹣AM ，QM ＝，QM ＝，QM ＝，∵在M ，N 运动过程中Q 到M 的距离为一个固定值，∴QM 的值与t 的值无关，∴，∴．知识点9：整式的加减【典例分析09】（2021秋•南关区校级期末）化简：（1）﹣x 2﹣2x 3﹣3x 2+4x 3；（2）（3x 2﹣3）﹣2（x 2﹣3x ﹣1）．解：（1）﹣x 2﹣2x 3﹣3x 2+4x 3＝（﹣x 2﹣3x 2）+（﹣2x 3+4x 3）＝﹣4x 2+2x 3；（2）（3x2﹣3）﹣2（x2﹣3x﹣1）＝3x2﹣3﹣x2+6x+2＝2x2+6x﹣1．【变式训练9-1】（2021秋•金水区校级期末）下列说法中，正确的是（ ）A．π不是单项式B．﹣的系数是﹣2C．﹣x2y是3次单项式D．2x2+3xy﹣1是四次三项式解：A、π是单项式，故此选项不符合题意；B、﹣的系数是﹣，故此选项不符合题意；C、﹣x2y是3次单项式，故此选项符合题意；D、2x2+3xy﹣1是二次三项式，故此选项不符合题意；故选：C．【变式训练9-2】（2021秋•云梦县校级期末）减去﹣3m等于m2+3m+2的多项式是 m2+2 ．解：由题意得：m2+3m+2+（﹣3m）＝m2+2．故答案为：m2+2．【变式训练9-3】（2021秋•潍坊期末）有三堆棋子，数目相等，每堆至少5枚．从第一堆中取出5枚放入第二堆，从第三堆中取出2枚放入第二堆，再从第二堆中取出与第一堆剩余棋子数目相同的棋子数放入第一堆，这时第二堆的棋子数目是 12 枚．解：设原来每堆棋子有x枚，由题意可得：x+5+2﹣（x﹣5）＝x+5+2﹣x+5＝12（枚），即最后第二堆的棋子数目是12枚，故答案为：12．【变式训练9-4】（2021秋•霸州市期末）计算下列各式：（1）5﹣（+4.7）﹣（﹣2）+（﹣5.3）；（2）6÷（﹣3）﹣（﹣）×（﹣4）﹣22；（3）（3a2b﹣ab2）﹣（ab2+3a2b）．解：（1）原式＝5﹣4.7+2﹣5.3＝（5+2）+（﹣4.7﹣5.3）＝7﹣10＝﹣3；（2）原式＝﹣2﹣2﹣4＝﹣8；（3）原式＝3a2b﹣ab2﹣ab2﹣3a2b＝﹣2ab2．知识点10：整式的加减—化简求值【典例分析10】（2021秋•井研县期末）先化简再求值：3（a2﹣2ab）﹣[3a2﹣2b+2（ab+b）]，其中a、b 满足（a+）2+|b﹣3|＝0．解：∵（a+）2+|b﹣3|＝0，∴a+＝0，b﹣3＝0，∴a＝﹣，b＝3，3（a2﹣2ab）﹣[3a2﹣2b+2（ab+b）]＝3a2﹣6ab）﹣3a2+2b﹣2（ab+b）＝3a2﹣6ab﹣3a2+2b﹣2ab﹣2b＝﹣8ab，当a＝﹣，b＝3时，原式＝﹣8×（﹣）×3＝12．【变式训练10-1】（2021秋•单县期末）设A＝3x2﹣3x﹣1，B＝x2﹣3x﹣2，若x取任意有理数，则A﹣B的值（ ）A．大于0B．等于0C．小于0D．无法确定解：∵A＝3x2﹣3x﹣1，B＝x2﹣3x﹣2，∴A﹣B＝3x2﹣3x﹣1﹣（x2﹣3x﹣2）＝3x2﹣3x﹣1﹣x2+3x+2＝2x2+1，∵x2≥0，∴2x2+1＞0，若x取任意有理数，则A﹣B的值是大于0．故选：A．【变式训练10-2】（2021秋•惠民县期末）若|y﹣|+（x+1）2＝0，则代数式﹣2（3x﹣y）﹣[5x﹣（3x﹣4y）]＝ 63 ．解：∵|y﹣|+（x+1）2＝0，∴y﹣＝0，x+1＝0，∴y＝，x＝﹣8，∴﹣2（3x﹣y）﹣[5x﹣（3x﹣4y）]＝﹣6x+2y﹣5x+（3x﹣4y）＝﹣6x+2y﹣5x+3x﹣4y＝﹣8x﹣2y＝﹣8×（﹣8）﹣2×＝64﹣1＝63，故答案为：63．【变式训练10-3】（2021秋•宝应县期末）若2y﹣x＝16，则化简3（x﹣2y）﹣23（x﹣2y）﹣4（x﹣2y）﹣13（x﹣2y）并代入后的结果是 592 ．解：∵2y﹣x＝16，∴x﹣2y＝﹣16，∴3（x﹣2y）﹣23（x﹣2y）﹣4（x﹣2y）﹣13（x﹣2y）＝（3﹣23﹣4﹣13）（x﹣2y）＝﹣37（x﹣2y）＝﹣37×（﹣16）＝592，故答案为：592．【变式训练10-4】（2021秋•井研县期末）已知A＝2x2+xy+3y﹣1，B＝x2﹣xy．（1）当x＝﹣1，y＝3时，求A﹣2B的值；（2）若3A﹣6B的值与y的值无关，求x的值．解：（1）∵A＝2x2+xy+3y﹣1，B＝x2﹣xy，∴A﹣2B＝（2x2+xy+3y﹣1）﹣2（x2﹣xy）＝2x2+xy+3y﹣1﹣2x2+2xy＝3xy+3y﹣1，当x＝﹣1，y＝3时，原式＝3×（﹣1）×3+3×3﹣1＝﹣9+9﹣1＝﹣1；（2）∵A＝2x2+xy+3y﹣1，B＝x2﹣xy，∴3A﹣6B＝3（2x2+xy+3y﹣1）﹣6（x2﹣xy）＝6x2+3xy+9y﹣3﹣6x2+6xy＝9xy+9y﹣3＝（9x+9）y﹣3，∵3A﹣6B的值与y的值无关，∴9x+9＝0，∴x＝﹣1。
