版高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量86空间向量及其运算试题理北师大版

第4讲平行关系一、选择题1.(2017·榆林模拟)有下列命题：①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，b∥α，则a∥α；④若直线a∥b，b∥α，则a平行于平面α内的无数条直线.其中真命题的个数是()A.1B.2C.3D.4解析命题①l可以在平面α内，不正确；命题②直线a与平面α可以是相交关系，不正确；命题③a可以在平面α内，不正确；命题④正确.答案 A2.设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，且m，nα，则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析若m，nα，α∥β，则m∥β且n∥β；反之若m，nα，m∥β且n∥β，则α与β相交或平行，即“α∥β”是“m∥β且n∥β”的充分不必要条件.答案 A3.(2017·长郡中学质检)如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是()A.异面B.平行C.相交D.以上均有可能解析在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1，∵AB平面ABC，A1B1⊄平面ABC，∴A1B1∥平面ABC，∵过A1B1的平面与平面ABC交于DE.∴DE∥A1B1，∴DE∥AB.答案 B4.下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是()A.①③B.①④C.②③D.②④解析①中，易知NP∥AA′，MN∥A′B，∴平面MNP∥平面AA′B，可得出AB∥平面MNP(如图).④中，NP∥AB，能得出AB∥平面MNP.在②③中不能判定AB∥平面MNP.答案 B5.已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是()A.若m∥α，n∥α，则m∥nB.若m⊥α，nα，则m⊥nC.若m⊥α，m⊥n，则n∥αD.若m∥α，m⊥n，则n⊥α解析若m∥α，n∥α，则m，n平行、相交或异面，A错；若m⊥α，nα，则m⊥n，因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任一直线，B正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或nα，C错；若m∥α，m⊥n，则n与α可能相交，可能平行，也可能nα，D错.答案 B二、填空题6.在四面体A－BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________.解析如图，取CD的中点E.连接AE，BE，由于M，N分别是△ACD，△BCD的重心，所以AE，BE分别过M，N，则EM∶MA＝1∶2，EN∶BN＝1∶2，所以MN ∥AB .因为AB 平面ABD ，MN ⊄平面ABD ，AB 平面ABC ，MN ⊄平面ABC ，所以MN ∥平面ABD ，MN ∥平面ABC . 答案 平面ABD 与平面ABC7.如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上.若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________.解析 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，∴AC ＝2 2.又E 为AD 中点，EF ∥平面AB 1C ，EF 平面ADC ，平面ADC ∩平面AB 1C ＝AC ，∴EF ∥AC ，∴F 为DC 中点，∴EF ＝12AC ＝ 2. 答案28.(2017·承德模拟)如图所示，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是棱CC 1，C 1D 1，D 1D ，DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 只需满足条件________时，就有MN ∥平面B 1BDD 1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况) 解析 连接HN ，FH ，FN ，则FH ∥DD 1，HN ∥BD ， ∴平面FHN ∥平面B 1BDD 1，只需M ∈FH ，则MN 平面FHN ，∴MN ∥平面B 1BDD 1.答案 点M 在线段FH 上(或点M 与点H 重合) 三、解答题9.一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.(1)请将字母F ，G ，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)； (2)判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系，并证明你的结论.解 (1)点F ，G ，H 的位置如图所示.(2)平面BEG ∥平面ACH ，证明如下：因为ABCD －EFGH 为正方体，所以BC ∥FG ，BC ＝FG ，又FG ∥EH ，FG ＝EH ，所以BC ∥EH ，BC ＝EH ，于是四边形BCHE 为平行四边形，所以BE ∥CH .又CH 平面ACH ，BE ⊄平面ACH ， 所以BE ∥平面ACH .同理BG ∥平面ACH . 又BE ∩BG ＝B ，所以平面BEG ∥平面ACH .10.(2014·全国Ⅱ卷)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点. (1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)设AP ＝1，AD ＝3，三棱锥P －ABD 的体积V ＝34，求A 到平面PBC 的距离.(1)证明 设BD 与AC 的交点为O ，连接EO . 因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点. 又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB .又因为EO 平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以PB ∥平面AEC .(2)解 V ＝16P A ·AB ·AD ＝36AB .由V ＝34，可得AB ＝32.作AH ⊥PB 交PB 于H . 由题设知AB ⊥BC ，P A ⊥BC ，且P A ∩AB ＝A ，所以BC ⊥平面P AB .又AH平面P AB ，所以BC ⊥AH ，又PB ∩BC ＝B ，故AH ⊥平面PBC . ∵PB 平面PBC ，∴AH ⊥PB ，在Rt △P AB 中，由勾股定理可得PB ＝132， 所以AH ＝P A ·AB PB ＝31313.所以A 到平面PBC 的距离为31313.11.给出下列关于互不相同的直线l ，m ，n 和平面α，β，γ的三个命题：①若l 与m 为异面直线，lα，m β，则α∥β；②若α∥β，l α，m β，则l ∥m ；③若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n . 其中真命题的个数为( ) A.3B.2C.1D.0解析 ①中当α与β不平行时，也可能存在符合题意的l ，m ；②中l 与m 也可能异面；③中⎭⎬⎫l ∥γl ⊂αα∩γ＝n ⇒l ∥n ，同理，l ∥m ，则m ∥n ，正确. 答案 C12.在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则在下列结论中，错误的是( ) A.AC ⊥BD B.AC ∥截面PQMN C.AC ＝BDD.异面直线PM 与BD 所成的角为45°解析 因为截面PQMN 是正方形，所以MN ∥QP ，又PQ 平面ABC ，MN ⊄平面ABC ，则MN ∥平面ABC ，由线面平行的性质知MN ∥AC ，又MN平面PQMN ，AC ⊄平面PQMN ，则AC ∥截面PQMN ，同理可得MQ ∥BD ，又MN ⊥QM ，则AC ⊥BD ，故A ，B 正确.又因为BD ∥MQ ，所以异面直线PM 与BD 所成的角等于PM 与QM 所成的角，即为45°，故D 正确. 答案 C13.如图所示，棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1是菱形，设D 是A 1C 1上的点且A 1B ∥平面B 1CD ，则A 1D ∶DC 1的值为________.解析 设BC 1∩B 1C ＝O ，连接OD .∵A 1B ∥平面B 1CD 且平面A 1BC 1∩平面B 1CD ＝OD ，∴A1B∥OD，∵四边形BCC1B1是菱形，∴O为BC1的中点，∴D为A1C1的中点，则A1D∶DC1＝1.答案 114.(2015·江苏卷)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.求证：(1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1.证明(1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC.又因为DE⊄平面AA1C1C，AC平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C.(2)因为棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因为AC平面ABC，所以AC⊥CC1.又因为AC⊥BC，CC1平面BCC1B1，BC平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.又因为BC1平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.因为AC，B1C平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1平面B1AC，所以BC1⊥AB1.。

第八章立体几何与空间向量第五节空间向量及其运算（课件+练习）北师大版适用于新教材2024版高考数学一轮总复习(共40张PPT)第五节空间向量及其运算第八章内容索引0102强基础固本增分研考点精准突破课标解读 1.掌握空间直角坐标系,会用空间直角坐标系刻画点的位置;会推导空间两点间的距离公式.2.理解空间向量的概念,理解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.3.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.4.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.5.理解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.强基础固本增分1.空间向量的有关概念抓住空间向量的两个主要元素:大小与方向名称概念表示零向量模(长度)为0的向量0单位向量模(长度)为1的向量—相等向量方向相同且模相等的向量a=b相反向量方向相反且模相等的向量向量a的相反向量为-a共线向量表示向量的两条有向线段所在的直线互相平行或重合的向量a∥b共面向量平行于同一平面的向量—微点拨空间向量是由平面向量拓展而来的,因此空间向量的概念和性质与平面向量的概念和性质相同或相似.在学习空间向量时,与平面向量的相关内容相类比进行学习,将达到事半功倍的效果.2.空间向量中的有关定理定理语言描述共线向量基本定理空间两个向量a,b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ,使得a=λb空间向量基本定理{a,b,c}叫作空间的一组基如果向量a,b,c是空间三个不共面的向量,p是空间任意一个向量,那么存在唯一的三元有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc微点拨 1.利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础.2.利用共线向量基本定理可以证明一些平行问题.3.空间向量的数量积(1)两向量的夹角②范围:0≤≤π.(2)两个空间向量a,b的数量积:a·b=|a||b|cos.微点拨向量的数量积满足交换律、分配律,但不满足结合律,即a·b=b·a,(a+b)·c=a·c+b·c成立,(a·b)c=a(b·c)不一定成立.(1)两个向量有相同的起点;(2)向量的方向4.空间向量的坐标表示设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).垂直问题一般通过向量的数量积运算来解决常用结论1.证明空间任意三点共线的方法对空间三点P,A,B,可通过证明下列结论成立来证明三点共线:2.证明空间四点共面的方法对空间四点P,M,A,B,除空间向量基本定理外,也可通过证明下列结论成立来证明共面:自主诊断题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.空间中模相等的两个向量方向相同或相反.()2.空间中任意两非零向量a,b共面.()3.对于空间非零向量a,b,若a·b0,所以不是钝角,故C错误;c在a方向上的投影向量为|c|cos·a=(1,0,1)=(4,0,4),故D正确.故选BD.7.已知空间向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=1,|b|=2,|c|=,则a与b的夹角为.答案:解析:因为a+b+c=0,所以c=-a-b,所以c2=(-a-b)2=a2+2a·b+b2.因为|a|=1,|b|=2,|c|=,所以7=1+2×1×2cos+4,所以cos=.因为∥[0,π],所以=.综合提升组8.(2023·四川绵阳诊断)如图,在空间四边形OABC 中,OA=OB=OC=2,∥AOC=∥BOC=,∥AOB=,点M,N分别在OA,BC上,且OM=2MA,BN=CN,则MN=()A. B.C. D.答案:A解析:∥OM=2MA,BN=CN,∥)-=-.又OA=OB=OC=2,∥AOC=∥BOC=,∥AOB=,∥=0,=0,=||·||cos=2.∥=-2=|2+|2+|2-×22+×22+×22-×2=,∥||=.9.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为2的菱形,AA1=1,∥A1AB=∥A1AD=∥BAD=60°,M为A1C1与B1D1的交点,设=a,=b,=c.(1)用a,b,c表示并求BM的长;(2)求点A到直线BM的距离.解:(1))-=-=-a+b+c.又|a|=|b|=2,|c|=1,===60°,∥||2=-a+b+c2=a2+b2+c2-a·b-a·c+b·c=×4+×4+1-×2×2×cos60°-2×1×cos60°+2×1×cos60°=2,故BM的长为.(2)由(1)知=-a+b+c,=a,∥=a·-a+b+c=-a2+a·b+a·c=-2+1+1=0,∥AB∥BM,则AB的长为点A到直线BM的距离.又AB=2,∥点A到直线BM的距离为2.创新应用组10.在四面体OABC中,棱OA,OB,OC两两垂直,且OA=1,OB=2,OC=3,G为∥ABC的重心,则·()=.答案:解析:如图所示,连接AG并延长与BC相交于点D.∥G是∥ABC的重心,∥)=-2).又-2)=),则·()=)·()=)2=(||2+||2+||2+2+2+2)=(1+4+9)=.。

一、单项选择题1．已知直线l 的一个方向向量为m ＝(x ,2，－5)，平面α的一个法向量为n ＝(3，－1,2)，若l ∥α，则x 等于()A ．－6B ．6C ．－4D ．42.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AD ＝1，则BD 1—→·AD →等于()A ．1B ．2C ．3 D.633．已知平面α内有一个点A (2，－1,2)，α的一个法向量为n ＝(3,1,2)，则下列点P 中，在平面α内的是()A ．(1，－1,1) B.1，3，321，－3，32 D.－1，3，－324.如图在一个120°的二面角的棱上有两点A ，B ，线段AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱AB 垂直，若AB ＝2，AC ＝1，BD ＝2，则CD 的长为()A ．2B ．3C ．23D ．45．(2022·全国乙卷)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则()A ．平面B 1EF ⊥平面BDD 1B ．平面B 1EF ⊥平面A 1BDC ．平面B 1EF ∥平面A 1ACD ．平面B 1EF ∥平面A 1C 1D6．已知梯形CEPD 如图(1)所示，其中PD ＝8，CE ＝6，A 为线段PD 的中点，四边形ABCD 为正方形，现沿AB 进行折叠，使得平面PABE ⊥平面ABCD ，得到如图(2)所示的几何体．已知当点F 满足AF →＝λAB →(0<λ<1)时，平面DEF ⊥平面PCE ，则λ的值为()A.12B.23C.35D.45二、多项选择题7．下列关于空间向量的命题中，正确的有()A ．若向量a ，b 与空间任意向量都不能构成一组基，则a ∥bB ．若非零向量a ，b ，c 满足a ⊥b ，b ⊥c ，则有a ∥cC ．若{OA →，OB →，OC →}是空间的一组基，且OD →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，则A ，B ，C ，D 四点共面D ．若{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }是空间的一组基，则{a ，b ，c }也是空间的一组基8.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，G 为正方形A 1B 1C 1D 1的中心，E ，F 分别为AB ，BB 1的中点，下列结论正确的是()A ．C 1D ∥平面EFGB.GF →＝D 1B 1—→＋A 1A—→C.GF →·FE →＝0D ．A 1C ⊥平面EFG三、填空题9．已知向量a ＝(1,1,0)，则与a 同向共线的单位向量e ＝________.10．(2023·徐州模拟)在空间直角坐标系中，已知A (1,1,0)，B (－1,0,2)，点C 满足AC →＝3AB →，则点C 的坐标为________．11．(2023·信阳模拟)在斜三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，BC 的中点为M ，A 1B 1—→＝a ，A 1C 1—→＝b ，A 1A—→＝c ，则B 1M —→可用a ，b ，c 表示为________________．12.如图，已知正三棱锥P －ABC 的侧棱长为l ，过其底面中心O 作动平面α，交线段PC 于点S ，交PA ，PB 的延长线于M ，N 两点．则1PS ＋1PM ＋1PN＝________.四、解答题13.如图，四棱锥P －ABCD 的底面为正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ＝2，E ，F ，H 分别是线段PA ，PD ，AB 的中点．求证：(1)PB ∥平面EFH ；(2)PD ⊥平面AHF .14.如图，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有棱长均为2，底面ABCD 为正方形，∠A 1AB＝∠A 1AD ＝π3，点E 为BB 1的中点，点F 为CC 1的中点，动点P 在平面ABCD 内．(1)若O 为AC 的中点，求证：A 1O ⊥AO ；(2)若FP ∥平面D 1AE ，求线段CP 长度的最小值．15．(多选)(2024·梅州模拟)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝3，点M ，N 分别在棱AB 和BB 1上运动(不含端点)．若D 1M ⊥MN ，则下列命题正确的是()A ．MN ⊥A 1MB ．MN ⊥平面D 1MCC ．线段BN 长度的最大值为34D ．三棱锥C 1－A 1D 1M 的体积不变16.如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 是侧面BB 1C 1C 内的一个动点．若点E 满足D 1E —→⊥CE →，则|BE →|的最大值为__________，最小值为__________．§7.6空间向量的概念与运算1．D2.A3.B4.B5.A 6．C [由题意，以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则D (0,4,0)，E (4，0,2)，C (4,4,0)，P (0,0,4)，A (0，0,0)，B (4,0,0)，设F (t ,0,0)，0<t <4，AF →＝λAB →(0<λ<1)，则(t ,0,0)＝(4λ，0,0)，∴t ＝4λ，∴F (4λ，0,0)，DE →＝(4，－4,2)，DF →＝(4λ，－4,0)，PC →＝(4,4，－4)，PE →＝(4,0，－2)，设平面DEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，·DE →＝4x －4y ＋2z ＝0，·DF →＝4λx －4y ＝0，取x ＝1，得n ＝(1，λ，2λ－2)，设平面PCE 的法向量为m ＝(a ，b ，c )，·PC →＝4a ＋4b －4c ＝0，·PE →＝4a －2c ＝0，取a ＝1，得m ＝(1,1,2)，∵平面DEF ⊥平面PCE ，∴m ·n ＝1＋λ＋2(2λ－2)＝0，解得λ＝35.]7．ACD [对于A ，若向量a ，b 与空间任意向量都不能构成一组基，则a ，b 为共线向量，即a ∥b ，故A 正确；对于B ，若非零向量a ，b ，c 满足a ⊥b ，b ⊥c ，则a 与c 不一定共线，故B 错误；对于C ，若{OA →，OB →，OC →}是空间的一组基，且OD →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，则OD →－OA →＝13(OB →－OA →)＋13(OC →－OA →)，即AD →＝13AB →＋13AC →，可得A ，B ，C ，D 四点共面，故C 正确；对于D ，若{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }是空间的一组基，则对空间中任意一个向量d ，存在唯一实数组(x ，y ，z ),使d ＝x (a ＋b )＋y (b ＋c )＋z (c ＋a )＝(x ＋z )a ＋(x ＋y )b ＋(y ＋z )c ，则{a ，b ，c }也是空间的一组基，故D 正确．]8．AC [建立如图所示的空间直角坐标系，因为E 是棱AB 的中点，F 是棱BB 1的中点，G 是正方形A 1B 1C 1D 1的中心，设正方体的棱长为1，可得A (0,0,0)，A 1(0,0,1)，D (0,1,0)，C (1,1,0)，C 1(1,1,1)，0，，0，12，D 1(0,1,1)，B 1(1,0,1)，设平面EFG 的法向量为n ＝(x ，y ，z)，EG →，12，EF→0＋z ＝0，＋12z ＝0，令x ＝1，∴n ＝(1,2，－1)，∵C 1D —→＝(－1,0，－1)，C 1D —→·n ＝(－1)×1＋0×2＋(－1)×(－1)＝0，C 1D ⊄平面EFG ，∴C 1D ∥平面EFG ，故A 选项正确；∵A 1C —→＝(1,1，－1)，A 1C —→与n 不平行，∴A 1C 不与平面EFG 垂直，故D 选项错误；∵GF →，－12，－FE →－12，0∴GF →·FE →＝12×0，故C 选项正确；∵D 1B 1—→＝(1，－1,0)，A 1A —→＝(0,0，－1)，D 1B 1—→＋A 1A —→＝(1，－1，－1)，∴GF →≠D 1B 1—→＋A 1A —→，故B 选项错误．]，22，10.(－5，－2,6)11．－12a ＋12b ＋c 12.3l解析如图，设BC 的中点为E ，连接AE ，PE ，PO ，则O 在AE 上且AO ＝2OE ，所以PO →＝PA →＋AO →＝PA →＋23AE →＝PA →＋23(PE →－PA →)＝13PA →＋23×12(PB →＋PC →)＝13(PA →＋PB →＋PC →)．故PO →＝PA 3PM PM →＋PB 3PN PN →＋PC 3PSPS →，由于S ，M ，N ，O 四点共面，于是PA 3PM ＋PB 3PN ＋PC 3PS ＝1，因此1PM ＋1PN ＋1PS ＝3l.13．证明(1)∵E ，H 分别是线段PA ，AB 的中点，∴PB ∥EH .∵PB ⊄平面EFH ，且EH ⊂平面EFH ，∴PB ∥平面EFH .(2)建立如图所示的空间直角坐标系．则A (0,0,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)，F (0，1,1)，H (1,0,0)．PD →＝(0,2，－2)，AH →＝(1,0,0)，AF →＝(0,1,1)，∴PD →·AF →＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0，PD →·AH →＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0.∴PD →⊥AF →，PD →⊥AH →，∴PD ⊥AF ，PD ⊥AH .∵AH ∩AF ＝A ，且AH ，AF ⊂平面AHF ，∴PD ⊥平面AHF .14．(1)证明由已知AB ＝A 1A ＝AD ＝2，∠A 1AD ＝π3，∠A 1AB ＝π3，∠BAD ＝π2，所以AD →·AA 1—→＝2×2×cos π3＝1，AB →·AA 1—→＝2×2×cos π3＝1，AD →·AB →＝0，因为O 为AC 的中点，所以AO →＝12AC →＝12AB →＋12AD →，又A 1O —→·AO →＝(AO →－AA 1—→)·AO→＋12AD →－AA —＋12AD ＝12＋0＋0＋12－12－12＝0，所以A 1O —→⊥AO →，所以A 1O ⊥AO .(2)解连接A 1D ，A 1B ，因为A 1A ＝AD ＝2，∠A 1AD ＝π3，所以A 1D ＝2，因为A 1A ＝AB ＝2，∠A 1AB ＝π3，所以A 1B ＝2，连接BD ，由正方形的性质可得B ，O ，D 三点共线，O 为BD 的中点，所以A 1O ⊥BD ，由(1)可知A 1O ⊥AO ，AO ，BD ⊂平面ABCD ，AO ∩BD ＝O ，所以A 1O ⊥平面ABCD ，以O 为坐标原点，OA ，OB ，OA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1,0,0)，D (0，－1,0)，A 1(0,0,1)，B (0,1,0)，C (－1,0,0)，AD →＝(－1，－1,0)，AA 1—→＝(－1,0,1)，AB →＝(－1,1,0)，AD 1—→＝AD →＋AA 1—→＝(－2，－1,1)，AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12AA 1—→－32，1设平面D 1AE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，·AD 1—→＝0，·AE →＝0，2x －y ＋z ＝0，－32x ＋y ＋12z ＝0，令x ＝3，则z ＝7，y ＝1.所以n ＝(3,1,7)为平面D 1AE 的一个法向量，因为点P 在平面ABCD 内，故设点P 的坐标为(m ，n ,0)，因为FP →＝OP →－OF →＝OP →－(OC →＋CF →)＝OP →－OC →－12AA 1—→＋32，n 又FP ∥平面D 1AE ，所以FP →·n ＝n －72＝0，即3m ＋n ＋1＝0，所以|CP →|＝(m ＋1)2＋n 2＝(m ＋1)2＋(－3m －1)2＝10m 2＋8m ＋2所以当m ＝－25时，|CP →|有最小值，最小值为105.15．ACD [在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以点D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图，则A 1(3,0,3)，D 1(0,0,3)，C (0,3,0)，B (3,3,0)，设M (3，y ,0)，N (3,3，z )，y ，z ∈(0,3)，D 1M —→＝(3，y ，－3)，MN →＝(0,3－y ，z )，而D 1M ⊥MN ，则D 1M —→·MN →＝y (3－y )－3z ＝0，即z ＝13y (3－y )．对于A ，连接A 1M ，A 1M —→＝(0，y ，－3)，则A 1M —→·MN →＝y (3－y )－3z ＝0，则A 1M —→⊥MN →，MN ⊥A 1M ，故A 正确；对于B ，CM →＝(3，y －3,0)，CM →·MN →＝(y －3)·(3－y )＝－(3－y )2<0，即CM 与MN 不垂直，从而MN 与平面D 1MC 不垂直，故B 错误；对于C ，BN →＝(0,0，z )，则线段BN 的长度|BN →|＝z ＝13－＋94≤34，当且仅当y ＝32时等号成立，故C 正确；对于D ，连接A 1C 1，MC 1，不论点M 如何移动，点M 到平面A 1D 1C 1的距离均为3，而111C A D M V －三棱锥＝111M A D C V －三棱锥＝13×3·111A D C S △＝92，所以三棱锥C 1－A 1D 1M 的体积为定值，故D 正确．]16．225－1解析如图，建立空间直角坐标系，则C (0,2,0)，D 1(0,0,2)，B (2,2,0)，设E (x ,2，z )，x ∈[0,2]，z ∈[0,2]，所以D 1E —→＝(x ,2，z －2)，CE →＝(x ,0，z )，因为D 1E —→⊥CE →，所以D 1E —→·CE →＝x 2＋z (z －2)＝0，即x 2＋(z －1)2＝1，x ∈[0,2]，z ∈[0,2]，则动点E 的轨迹为以(0,2,1)为圆心，1为半径的半圆，将其放到平面直角坐标系中如图所示，则B (2,0)，M (0,1)，N (0,2)，所以|BM →|＝12＋22＝5，所以|BE →|min ＝5－1；显然当点E 在点N 处(即立体图形中的C 1点)时，|BE →|取得最大值，|BE →|max ＝22＋22＝22，因此，|BE →|的最大值为22，最小值为5－1.。

1．直线与平面垂直a ⊥b ，bα(b 为α内的任意一条直线)a ⊥m ，a ⊥n ，m 、nα，m ∩n ＝Oa ⊥α，bα2.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (2)判定定理与性质定理⎭⎬⎫l βl ⊥α⇒α⊥β⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝a l βl ⊥a ⇒l ⊥α【知识拓展】重要结论：(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线l 与平面α内的无数条直线都垂直，则l ⊥α.( × ) (2)垂直于同一个平面的两平面平行．( × ) (3)直线a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b .( √ ) (4)若α⊥β，a ⊥β⇒a ∥α.( × )(5)若直线a ⊥平面α，直线b ∥α，则直线a 与b 垂直．( √ )1．(教材改编)下列命题中不正确的是( )A ．如果平面α⊥平面β，且直线l ∥平面α，则直线l ⊥平面βB ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ答案 A解析根据面面垂直的性质，知A不正确，直线l可能平行平面β，也可能在平面β内．2．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析若α⊥β，因为α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α，又aα，所以a⊥b；反过来，当a∥m时，因为b⊥m，且a，m共面，一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，所以不能推出α⊥β.3．(2016·宝鸡质检)对于四面体ABCD，给出下列四个命题：①若AB＝AC，BD＝CD，则BC⊥AD；②若AB＝CD，AC＝BD，则BC⊥AD；③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；④若AB⊥CD，AC⊥BD，则BC⊥AD.其中为真命题的是()A．①②B．②③C．②④D．①④答案 D解析①如图，取BC的中点M，连接AM，DM，由AB＝AC⇒AM⊥BC，同理DM⊥BC⇒BC⊥平面AMD，而AD平面AMD，故BC⊥AD.④设A在平面BCD内的投影为O，连接BO，CO，DO，由AB⊥CD⇒BO⊥CD，由AC⊥BD⇒CO⊥BD⇒O为△BCD的垂心⇒DO⊥BC⇒AD⊥BC.4．(2016·济南模拟)如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，G为MC的中点．则下列结论中不正确的是()A．MC⊥ANB．GB∥平面AMNC．平面CMN⊥平面AMND．平面DCM∥平面ABN答案 C解析显然该几何图形为正方体截去两个三棱锥所剩的几何体，把该几何体放置到正方体中(如图)，取AN的中点H，连接HB，MH，GB，则MC∥HB，又HB⊥AN，所以MC⊥AN，所以A正确；由题意易得GB∥MH，又GB平面AMN，MH平面AMN，所以GB∥平面AMN，所以B正确；因为AB∥CD，DM∥BN，且AB∩BN ＝B，CD∩DM＝D，所以平面DCM∥平面ABN，所以D正确．5．(教材改编)在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的投影为点O.(1)若P A＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心．(2)若P A⊥PB，PB⊥PC，PC⊥P A，则点O是△ABC的________心．答案(1)外(2)垂解析(1)如图1，连接OA，OB，OC，OP，在Rt △POA 、Rt △POB 和Rt △POC 中，P A ＝PC ＝PB ， 所以OA ＝OB ＝OC ，即O 为△ABC 的外心．(2)如图2，延长AO ，BO ，CO 分别交BC ，AC ，AB 于H ，D ，G . ∵PC ⊥P A ，PB ⊥PC ，P A ∩PB ＝P ， ∴PC ⊥平面P AB ，AB平面P AB ，∴PC ⊥AB ，又AB ⊥PO ，PO ∩PC ＝P ， ∴AB ⊥平面PGC ， 又CG平面PGC ，∴AB ⊥CG ，即CG 为△ABC 边AB 的高． 同理可证BD ，AH 为△ABC 底边上的高， 即O 为△ABC 的垂心.题型一 直线与平面垂直的判定与性质例1 (2016·全国甲卷改编)如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB ＝5，AC ＝6，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ＝54，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D ′EF的位置．OD ′＝10.证明：D ′H ⊥平面ABCD .证明 由已知得AC ⊥BD ，AD ＝CD . 又由AE ＝CF 得AE AD ＝CFCD ，故AC ∥EF .因此EF ⊥HD ，从而EF ⊥D ′H . 由AB ＝5，AC ＝6得DO ＝BO ＝AB 2－AO 2＝4.由EF ∥AC 得OH DO ＝AE AD ＝14.所以OH ＝1，D ′H ＝DH ＝3.于是D ′H 2＋OH 2＝32＋12＝10＝D ′O 2，故D ′H ⊥OH . 又D ′H ⊥EF ，而OH ∩EF ＝H ，且OH ，EF 平面ABCD ， 所以D ′H ⊥平面ABCD .思维升华 证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α)；③面面平行的性质(a ⊥α，α∥β⇒a ⊥β)；④面面垂直的性质．(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．(2015·江苏)如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，已知AC ⊥BC ，BC ＝CC 1.设AB 1的中点为D ，B 1C ∩BC 1＝E .求证：(1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1.证明(1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC.又因为DE平面AA1C1C，AC平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C.(2)因为棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因为AC平面ABC，所以AC⊥CC1.又因为AC⊥BC，CC1平面BCC1B1，BC平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.又因为BC1平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.因为AC，B1C平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC 1⊥平面B 1AC . 又因为AB 1平面B 1AC ，所以BC 1⊥AB 1.题型二 平面与平面垂直的判定与性质例2 如图，四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥AC ，AB ⊥P A ，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，F ，G ，M ，N 分别为PB ，AB ，BC ，PD ，PC 的中点．(1)求证：CE ∥平面P AD ； (2)求证：平面EFG ⊥平面EMN .证明 (1)方法一 取P A 的中点H ，连接EH ，DH .又E 为PB 的中点， 所以EH 綊12AB .又CD 綊12AB ，所以EH 綊CD .所以四边形DCEH 是平行四边形，所以CE ∥DH . 又DH平面P AD ，CE 平面P AD .所以CE ∥平面P AD . 方法二 连接CF .因为F 为AB 的中点， 所以AF ＝12AB .又CD ＝12AB ，所以AF ＝CD .又AF ∥CD ，所以四边形AFCD 为平行四边形． 因此CF ∥AD ，又CF 平面P AD ，AD 平面P AD ，所以CF ∥平面P AD .因为E ，F 分别为PB ，AB 的中点，所以EF ∥P A . 又EF 平面P AD ，P A 平面P AD ，所以EF ∥平面P AD .因为CF ∩EF ＝F ，故平面CEF ∥平面P AD . 又CE平面CEF ，所以CE ∥平面P AD .(2)因为E 、F 分别为PB 、AB 的中点，所以EF ∥P A . 又因为AB ⊥P A ，所以EF ⊥AB ，同理可证AB ⊥FG . 又因为EF ∩FG ＝F ，EF 平面EFG ，FG平面EFG .所以AB ⊥平面EFG .又因为M ，N 分别为PD ，PC 的中点， 所以MN ∥CD ，又AB ∥CD ，所以MN ∥AB ，所以MN⊥平面EFG.又因为MN平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN. 引申探究1．在本例条件下，证明：平面EMN⊥平面P AC.证明因为AB⊥P A，AB⊥AC，且P A∩AC＝A，所以AB⊥平面P AC.又MN∥CD，CD∥AB，所以MN∥AB，所以MN⊥平面P AC.又MN平面EMN，所以平面EMN⊥平面P AC.2．在本例条件下，证明：平面EFG∥平面P AC.证明因为E，F，G分别为PB，AB，BC的中点，所以EF∥P A，FG∥AC，又EF平面P AC，P A平面P AC，所以EF∥平面P AC.同理，FG∥平面P AC.又EF∩FG＝F，所以平面EFG∥平面P AC.思维升华(1)判定面面垂直的方法①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a⊥β，aα⇒α⊥β)．(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．(2016·江苏)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.证明(1)由已知，DE为△ABC的中位线，∴DE∥AC，又由三棱柱的性质可得AC∥A1C1，∴DE∥A1C1，又∵DE平面A1C1F，A1C1平面A1C1F，∴DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∴AA1⊥A1C1，又∵A1B1⊥A1C1，且A1B1∩AA1＝A1，∴A1C1⊥平面ABB1A1，∵B1D平面ABB1A1，∴A1C1⊥B1D，又∵A1F⊥B1D，且A1F∩A1C1＝A1，∴B1D⊥平面A1C1F，又∵B1D平面B1DE，∴平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .题型三 垂直关系中的探索性问题例3 如图，在三棱台ABC －DEF 中，CF ⊥平面DEF ，AB ⊥BC .(1)设平面ACE ∩平面DEF ＝a ，求证：DF ∥a ；(2)若EF ＝CF ＝2BC ，试问在线段BE 上是否存在点G ，使得平面DFG ⊥平面CDE ？若存在，请确定G 点的位置；若不存在，请说明理由． (1)证明 在三棱台ABC －DEF 中，AC ∥DF ，AC 平面ACE ，DF 平面ACE ，∴DF ∥平面ACE . 又∵DF 平面DEF ，平面ACE ∩平面DEF ＝a ，∴DF ∥a .(2)解 线段BE 上存在点G ，且BG ＝13BE ，使得平面DFG ⊥平面CDE .证明如下：取CE 的中点O ，连接FO 并延长交BE 于点G ， 连接GD ，GF ，∵CF ＝EF ， ∴GF ⊥CE .在三棱台ABC －DEF 中，AB ⊥BC ⇒DE ⊥EF . 由CF ⊥平面DEF ⇒CF ⊥DE .又CF ∩EF ＝F ，∴DE ⊥平面CBEF ，∴DE ⊥GF .⎭⎬⎫GF ⊥CEGF ⊥DECE ∩DE ＝E ⇒GF ⊥平面CDE .又GF平面DFG ，∴平面DFG ⊥平面CDE .此时，如平面图所示，延长CB ，FG 交于点H ， ∵O 为CE 的中点，EF ＝CF ＝2BC ， 由平面几何知识易证△HOC ≌△FOE ， ∴HB ＝BC ＝12EF .由△HGB ∽△FGE 可知BG GE ＝12，即BG ＝13BE .思维升华 同“平行关系中的探索性问题”的规律方法一样，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明．(2016·北京东城区模拟)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，M 为棱AC 的中点．AB ＝BC ，AC ＝2，AA 1＝ 2.(1)求证：B1C∥平面A1BM；(2)求证：AC1⊥平面A1BM；(3)在棱BB1上是否存在点N，使得平面AC1N⊥平面AA1C1C？如果存在，求此时BNBB1的值；如果不存在，请说明理由．(1)证明连接AB1与A1B，两线交于点O，连接OM，在△B1AC中，∵M，O分别为AC，AB1中点，∴OM∥B1C，又∵OM平面A1BM，B1C平面A1BM，∴B1C∥平面A1BM.(2)证明∵侧棱AA1⊥底面ABC，BM平面ABC，∴AA1⊥BM，又∵M为棱AC中点，AB＝BC，∴BM⊥AC.∵AA1∩AC＝A，∴BM⊥平面ACC1A1，∴BM⊥AC1.∵AC＝2，∴AM＝1.又∵AA1＝2，∴在Rt△ACC1和Rt△A1AM中，tan∠AC1C＝tan∠A1MA＝ 2.∴∠AC 1C ＝∠A 1MA ，即∠AC 1C ＋∠C 1AC ＝∠A 1MA ＋∠C 1AC ＝90°， ∴A 1M ⊥AC 1.∵BM ∩A 1M ＝M ，∴AC 1⊥平面A 1BM . (3)解 当点N 为BB 1中点，即BN BB 1＝12时，平面AC 1N ⊥平面AA 1C 1C . 证明如下：设AC 1中点为D ，连接DM ，DN .∵D ，M 分别为AC 1，AC 中点， ∴DM ∥CC 1，且DM ＝12CC 1.又∵N 为BB 1中点，∴DM ∥BN ，且DM ＝BN ， ∴四边形BNDM 为平行四边形， ∴BM ∥DN ，∵BM ⊥平面ACC 1A 1，∴DN ⊥平面ACC 1A 1. 又∵DN 平面AC 1N ，∴平面AC 1N ⊥平面AA 1C 1C .17．立体几何证明问题中的转化思想典例 (12分)如图所示，M ，N ，K 分别是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱AB ，CD ，C 1D 1的中点．求证：(1)AN∥平面A1MK；(2)平面A1B1C⊥平面A1MK.思想方法指导(1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理；(2)线线关系是线面关系、面面关系的基础．证明过程中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等；(3)证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范．规范解答证明(1)如图所示，连接NK.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，∵四边形AA1D1D，DD1C1C都为正方形，∴AA1∥DD1，AA1＝DD1，C1D1∥CD，C1D1＝CD.[2分]∵N，K分别为CD，C1D1的中点，∴DN∥D1K，DN＝D1K，∴四边形DD1KN为平行四边形，[3分]∴KN∥DD1，KN＝DD1，∴AA1∥KN，AA1＝KN，∴四边形AA1KN为平行四边形，∴AN∥A1K.[4分]∵A1K平面A1MK，AN平面A1MK，∴AN∥平面A1MK.[6分](2)如图所示，连接BC1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB＝C1D1.∵M，K分别为AB，C1D1的中点，∴BM∥C1K，BM＝C1K，∴四边形BC1KM为平行四边形，∴MK∥BC1.[8分]在正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BB1C1C，BC1平面BB1C1C，∴A1B1⊥BC1.∵MK∥BC1，∴A1B1⊥MK.∵四边形BB1C1C为正方形，∴BC1⊥B1C.[10分]∴MK⊥B1C.∵A1B1平面A1B1C，B1C平面A1B1C，A1B1∩B1C＝B1，∴MK⊥平面A1B1C.又∵MK平面A1MK，∴平面A1B1C⊥平面A1MK.[12分]1．若平面α⊥平面β，平面α∩平面β＝直线l，则()A．垂直于平面β的平面一定平行于平面αB．垂直于直线l的直线一定垂直于平面αC．垂直于平面β的平面一定平行于直线lD．垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直答案 D解析对于A，垂直于平面β的平面与平面α平行或相交，故A错误；对于B，垂直于直线l的直线与平面α垂直、斜交、平行或在平面α内，故B错误；对于C，垂直于平面β的平面与直线l平行或相交，故C错误；易知D正确．2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A．若α⊥β，mα，nβ，则m⊥nB．若α∥β，mα，nβ，，则m∥nC．若m⊥n，mα，nβ，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β答案 D解析A中，m与n可垂直、可异面、可平行；B中，m与n可平行、可异面；C中，若α∥β，仍然满足m⊥n，mα，nβ，故C错误；故选D.3．(2016·包头模拟)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1垂直底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是()A．CC1与B1E是异面直线B．AC⊥平面ABB1A1C．AE与B1C1是异面直线，且AE⊥B1C1D．A1C1∥平面AB1E答案 C解析A不正确，因为CC1与B1E在同一个侧面中，故不是异面直线；B不正确，由题意知，上底面ABC是一个正三角形，故不可能存在AC⊥平面ABB1A1；C正确，因为AE，B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线；D不正确，因为A1C1所在的平面与平面AB1E相交，且A1C1与交线有公共点，故A1C1∥平面AB1E不正确，故选C.4．如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD⊥AC；②△BAC是等边三角形；③三棱锥D－ABC是正三棱锥；④平面ADC⊥平面ABC.其中正确的是()A．①②④B．①②③C．②③④D．①③④答案 B解析由题意知，BD⊥平面ADC，故BD⊥AC，①正确；AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等边三角形，②正确；易知DA ＝DB＝DC，又由②知③正确；由①知④错．故选B.5.如图所示，直线P A垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面P AC的距离等于线段BC的长．其中正确的是()A．①②B．①②③C．①D．②③答案 B解析对于①，∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC，∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面P AC，又PC平面P AC，∴BC⊥PC；对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM∥P A，∵P A 平面P AC ，OM 平面P AC ，∴OM ∥平面P AC ；对于③，由①知BC ⊥平面P AC ，∴线段BC 的长即是点B 到平面P AC 的距离， 故①②③都正确．6.如图，∠BAC ＝90°，PC ⊥平面ABC ，则在△ABC 和△P AC 的边所在的直线中，与PC 垂直的直线有________；与AP 垂直的直线有________．答案 AB 、BC 、AC AB解析 ∵PC ⊥平面ABC ，∴PC 垂直于直线AB ，BC ，AC ；∵AB ⊥AC ，AB ⊥PC ，AC ∩PC ＝C ，∴AB ⊥平面P AC ，∴与AP 垂直的直线是AB .7.如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱长为2，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，D 是A 1B 1的中点，F 是BB 1上的动点，AB 1，DF 交于点E .要使AB 1⊥平面C 1DF ，则线段B 1F 的长为________．答案 12解析 设B 1F ＝x ， 因为AB 1⊥平面C 1DF ，DF 平面C 1DF ，所以AB 1⊥DF . 由已知可得A 1B 1＝2，设Rt △AA 1B 1斜边AB 1上的高为h ， 则DE ＝12h .又2×2＝h22＋(2)2，所以h ＝233，DE ＝33.在Rt △DB 1E 中， B 1E ＝(22)2－(33)2＝66. 由面积相等得66× x 2＋(22)2＝22x ， 得x ＝12.8.如图，P A ⊥圆O 所在的平面，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上的一点，E ，F 分别是点A 在PB ，PC 上的射影，给出下列结论：①AF ⊥PB ；②EF ⊥PB ；③AF ⊥BC ； ④AE ⊥平面PBC .其中正确结论的序号是________． 答案 ①②③解析 由题意知P A ⊥平面ABC ，∴P A ⊥BC . 又AC ⊥BC ，且P A ∩AC ＝A ， ∴BC ⊥平面P AC ，∴BC ⊥AF . ∵AF ⊥PC ，且BC ∩PC ＝C ， ∴AF ⊥平面PBC ，∴AF ⊥PB ，又AE ⊥PB ，AE ∩AF ＝A ， ∴PB ⊥平面AEF ，∴PB ⊥EF .故①②③正确．9．(2016·保定模拟)如图，在直二面角α－MN－β中，等腰直角三角形ABC的斜边BCα，一直角边ACβ，BC与β所成角的正弦值为64，则AB与β所成的角是________．答案π3解析如图所示，作BH⊥MN于点H，连接AH，则BH⊥β，∠BCH为BC与β所成的角．∵sin∠BCH＝64＝BHBC，设BC＝1，则BH＝64.∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC＝AB＝22，∴AB与β所成的角为∠BAH.∴sin∠BAH＝BHAB＝6422＝32，∴∠BAH＝π3.10．(2016·全国乙卷)如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，平面ABEF为正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°.(1)证明：平面ABEF⊥EFDC；(2)求二面角E-BC-A 的余弦值．(1)证明 由已知可得AF ⊥DF ，AF ⊥FE ， DF ∩FE ＝F ，所以AF ⊥平面EFDC ， 又AF平面ABEF ，故平面ABEF ⊥平面EFDC .(2)解 过D 作DG ⊥EF ，垂足为G ，由(1)知DG ⊥平面ABEF .以G 为坐标原点，GF →的方向为x 轴正方向，|GF →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系．由(1)知∠DFE 为二面角DAFE 的平面角，故∠DFE ＝60°，则|DF |＝2，|DG |＝3，可得A (1,4,0)，B (－3,4,0)，E (－3,0,0)，D (0,0，3)．由已知，AB ∥EF ，AB 平面EFDC ，EF平面EFDC ，所以AB ∥平面EFDC ，又平面ABCD ∩平面EFDC ＝CD ， 故AB ∥CD ，CD ∥EF ，由BE ∥AF ，可得BE ⊥平面EFDC ， 所以∠CEF 为二面角C-BE-F 的平面角， ∠CEF ＝60°，从而可得C (－2,0，3)．所以EC →＝(1,0，3)，EB →＝(0,4,0)，AC →＝(－3，－4，3)，AB →＝(－4,0,0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面BCE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·EC →＝0，n ·EB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3z ＝0，4y ＝0.所以可取n ＝(3,0，－3)． 设m 是平面ABCD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AC →＝0，m ·AB →＝0.同理可取m ＝(0，3，4)，则cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝－21919.故二面角E-BC-A 的余弦值为－21919. 11．如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，平面AED ⊥平面ABCD ，EF ∥AB ，AB ＝2，BC ＝EF ＝1，AE ＝6，DE ＝3，∠BAD ＝60°，G 为BC 的中点．(1)求证：FG ∥平面BED ； (2)求证：平面BED ⊥平面AED ；(3)求直线EF 与平面BED 所成角的正弦值． (1)证明 如图，取BD 的中点O ，连接OE ，OG .在△BCD 中，因为G 是BC 的中点， 所以OG ∥DC 且OG ＝12DC ＝1.又因为EF ∥AB ，AB ∥DC ，所以EF∥OG且EF＝OG，所以四边形OGFE是平行四边形，所以FG∥OE.又FG 平面BED，OE平面BED，所以FG∥平面BED.(2)证明在△ABD中，AD＝1，AB＝2，∠BAD＝60°，由余弦定理可得BD＝3，进而∠ADB＝90°，即BD⊥AD.又因为平面AED⊥平面ABCD，BD平面ABCD，平面AED∩平面ABCD＝AD，所以BD⊥平面AED.又因为BD平面BED，所以平面BED⊥平面AED.(3)解因为EF∥AB，所以直线EF与平面BED所成的角即为直线AB与平面BED所成的角．过点A作AH⊥DE于点H，连接BH.又平面BED∩平面AED＝ED，由(2)知AH⊥平面BED，所以直线AB与平面BED所成的角即为∠ABH.在△ADE中，AD＝1，DE＝3，AE＝6，由余弦定理得cos ∠ADE ＝23，所以sin ∠ADE ＝53，因此，AH ＝AD ·sin ∠ADE ＝53. 在Rt △AHB 中，sin ∠ABH ＝AH AB ＝56. 所以直线EF 与平面BED 所成角的正弦值为56. 12．在直角梯形SBCD 中，∠D ＝∠C ＝π2，BC ＝CD ＝2，SD ＝4，A 为SD 的中点，如图(1)所示，将△SAB 沿AB 折起，使SA ⊥AD ，点E 在SD 上，且SE ＝13SD ，如图(2)所示．(1)求证：SA ⊥平面ABCD ； (2)求二面角E －AC －D 的正切值． (1)证明 由题意，知SA ⊥AB ， 又SA ⊥AD ，AB ∩AD ＝A ， 所以SA ⊥平面ABCD .(2)解 在AD 上取一点O ，使AO ＝13AD ，连接EO ，如图所示．又SE ＝13SD ，所以EO ∥SA .所以EO ⊥平面ABCD .过O 作OH ⊥AC 交AC 于H ，连接EH ， 则AC ⊥平面EOH ，所以AC ⊥EH ，所以∠EHO 为二面角E －AC －D 的平面角． 已知EO ＝23SA ＝43.在Rt △AHO 中，∠HAO ＝45°， OH ＝AO ·sin 45°＝23×22＝23.tan ∠EHO ＝EOOH＝22，即二面角E －AC －D 的正切值为2 2.。

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第八章立体几何与空间向量 8.2 简单几何体的面积与体积试题理北师大版1．多面体的表面积、侧面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和,表面积是侧面积与底面面积之和．2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2）l3。

柱、锥、台和球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱）S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh锥体(棱锥和圆锥）S表面积＝S侧＋S底V＝错误!Sh台体（棱台和圆S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝错误!(S上＋S下＋【知识拓展】1．与体积有关的几个结论（1）一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等．2．几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，①若球为正方体的外接球，则2R＝错误!a；②若球为正方体的内切球，则2R＝a；③若球与正方体的各棱相切，则2R＝错误!a.（2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝错误!.（3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1。

第6讲 空间向量及其运算[基础题组练]1.已知三棱锥O ­ABC ，点M ，N 分别为AB ，OC 的中点，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，用a ，b ，c 表示MN →，则MN →等于( )A.12(b ＋c －a ) B.12(a ＋b ＋c ) C.12(a －b ＋c ) D.12(c －a －b ) 解析：选D.MN →＝MA →＋AO →＋ON →＝12(c －a －b )．2．已知a ＝(2，1，－3)，b ＝(－1，2，3)，c ＝(7，6，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则λ＝( )A ．9B ．－9C ．－3D ．3解析：选B.由题意知c ＝x a ＋y b ，即(7，6，λ)＝x (2，1，－3)＋y (－1，2，3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝7，x ＋2y ＝6，－3x ＋3y ＝λ，解得λ＝－9. 3．在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．不确定解析：选B.如图，令AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →＝a ·(c －b )＋b·(a －c )＋c·(b －a )＝a·c －a·b ＋b·a －b·c ＋c·b －c·a ＝0.4.如图，在大小为45°的二面角A ­EF ­D 中，四边形ABFE ，四边形CDEF 都是边长为1的正方形，则B ，D 两点间的距离是( )A. 3 B ． 2 C ．1D ．3－ 2解析：选D.因为BD →＝BF →＋FE →＋ED →，所以|BD →|2＝|BF →|2＋|FE →|2＋|ED →|2＋2BF →·FE →＋2FE →·ED →＋2BF →·ED →＝1＋1＋1－2＝3－2，所以|BD →|＝3－ 2.5．已知A (1，0，0)，B (0，－1，1)，O 为坐标原点，OA →＋λOB →与OB →的夹角为120°，则λ的值为( )A ．±66 B ．66C ．－66D ．± 6解析：选C.OA →＋λOB →＝(1，－λ，λ)，cos 120°＝λ＋λ1＋2λ2·2＝－12，得λ＝±66.经检验λ＝66不合题意，舍去，所以λ＝－66. 6.如图所示，在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．用AB →，AD →，AA 1→表示OC 1→，则OC 1→＝________．解析：因为OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)， 所以OC 1→＝OC →＋CC 1→＝12(AB →＋AD →)＋AA 1→＝12AB →＋12AD →＋AA 1→.答案：12AB →＋12AD →＋AA 1→7.已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是CD ，PC 的中点，并且PA ＝AD ＝1.在如图所示的空间直角坐标系中，则MN ＝________．解析：连接PD ，因为M ，N 分别为CD ，PC 的中点，所以MN ＝12PD ，又P (0，0，1)，D (0，1，0)，所以PD ＝02＋（－1）2＋12＝2，所以MN ＝22. 答案：228.如图所示，已知空间四边形OABC ，OB ＝OC ，且∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉的值为________．解析：设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，由已知条件得〈a ，b 〉＝〈a ，c 〉＝π3，且|b |＝|c |，OA →·BC →＝a ·(c －b )＝a ·c －a ·b＝12|a ||c |－12|a ||b |＝0， 所以OA →⊥BC →，所以cos 〈OA →，BC →〉＝0.答案：09.如图，在多面体ABC ­A 1B 1C 1中，四边形A 1ABB 1是正方形，AB ＝AC ，BC ＝2AB ，B 1C 1綊12BC ，二面角A 1­AB ­C 是直二面角．求证：(1)A 1B 1⊥平面AA 1C ； (2)AB 1∥平面A 1C 1C .证明：因为二面角A 1­AB ­C 是直二面角，四边形A 1ABB 1为正方形， 所以AA 1⊥平面BAC . 又因为AB ＝AC ，BC ＝2AB ， 所以∠CAB ＝90°， 即CA ⊥AB ，所以AB ，AC ，AA 1两两互相垂直． 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，设AB ＝2，则A (0，0，0)，B 1(0，2，2)，A 1(0，0，2)，C (2，0，0)，C 1(1，1，2)． (1)A 1B 1→＝(0，2，0)，A 1A →＝(0，0，－2)，AC →＝(2，0，0)， 设平面AA 1C 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1A →＝0，n ·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2z ＝0，2x ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，z ＝0，取y ＝1，则n ＝(0，1，0)． 所以A 1B 1→＝2n ，即A 1B 1→∥n .所以A 1B 1⊥平面AA 1C .(2)易知AB 1→＝(0，2，2)，A 1C 1→＝(1，1，0)，A 1C →＝(2，0，－2)， 设平面A 1C 1C 的一个法向量m ＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·A 1C 1→＝0，m ·A 1C →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋y 1＝0，2x 1－2z 1＝0，令x 1＝1，则y 1＝－1，z 1＝1， 即m ＝(1，－1，1)．所以AB 1→·m ＝0×1＋2×(－1)＋2×1＝0， 所以AB 1→⊥m ， 又AB 1⊆/平面A 1C 1C ， 所以AB 1∥平面A 1C 1C .10.如图，在底面是矩形的四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，E ，F 分别是PC ，PD 的中点，PA ＝AB ＝1，BC ＝2.求证：(1)EF ∥平面PAB ； (2)平面PAD ⊥平面PDC .证明：以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (1，0，0)，C (1，2，0)，D (0，2，0)，P (0，0，1)， 所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，12，F ⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12，EF →＝⎝⎛⎭⎪⎫－12，0，0，PB →＝(1，0，－1)，PD →＝(0，2，－1)，AP →＝(0，0，1)，AD →＝(0，2，0)，DC →＝(1，0，0)，AB →＝(1，0，0)．(1)因为EF →＝－12AB →，所以EF →∥AB →，即EF ∥AB .又AB 平面PAB ，EF ⊆/平面PAB ，所以EF ∥平面PAB .(2)因为AP →·DC →＝(0，0，1)·(1，0，0)＝0， 所以AP →⊥DC →，AD →⊥DC →， 即AP ⊥DC ，AD ⊥DC .又AP ∩AD ＝A ，所以DC ⊥平面PAD . 所以平面PAD ⊥平面PDC .[综合题组练]1．已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ，y ，z ∈R )，则“x ＝2，y ＝－3，z ＝2”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.当x ＝2，y ＝－3，z ＝2时，即OP →＝2OA →－3OB →＋2OC →.则AP →－AO →＝2OA →－3(AB →－AO →)＋2(AC →－AO →)，即AP →＝－3AB →＋2AC →，根据共面向量定理知，P ，A ，B ，C 四点共面；反之，当P ，A ，B ，C 四点共面时，根据共面向量定理，设AP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )，即OP →－OA →＝m (OB →－OA →)＋n (OC →－OA →)，即OP →＝(1－m －n )OA →＋mOB →＋nOC →，即x ＝1－m －n ，y ＝m ，z ＝n ，这组数显然不止2，－3，2.故“x ＝2，y ＝－3，z ＝2”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的充分不必要条件．2.如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 在EF 上，且AM ∥平面BDE ，则M 点的坐标为( )A ．(1，1，1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1 D.⎝⎛⎭⎪⎫24，24，1 解析：选C.设M 点的坐标为(x ，y ，1)，因为AC ∩BD ＝O ，所以O ⎝⎛⎭⎪⎫22，22，0，又E (0，0，1)，A (2，2，0)，所以OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1，AM →＝(x －2，y －2，1)，因为AM ∥平面BDE ，所以OE →∥AM →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝－22，y －2＝－22，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22，y ＝22，所以M 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，22，1. 3.如图，在正四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，AB ＝BC ＝1，动点P ，Q 分别在线段C 1D ，AC 上，则线段PQ 长度的最小值是( )A.23B ．33 C.23D ．53解析：选C.设DP →＝λDC 1→，AQ →＝μAC →，(λ，μ∈[0，1])． 所以DP →＝λ(0，1，2)＝(0，λ，2λ)， DQ →＝DA →＋μ(DC →－DA →)＝(1，0，0)＋μ(－1，1，0)＝(1－μ，μ，0)．所以|PQ →|＝|DQ →－DP →|＝|(1－μ，μ－λ，－2λ)| ＝（1－μ）2＋（μ－λ）2＋4λ2＝5⎝⎛⎭⎪⎫λ－μ52＋95⎝ ⎛⎭⎪⎫μ－592＋49≥49＝23， 当且仅当λ＝μ5，μ＝59，即λ＝19，μ＝59时取等号．所以线段PQ 长度的最小值为23.故选C.4．在正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，侧棱长为2，底面边长为1，M 为BC 的中点，C 1N →＝λNC →，且AB 1⊥MN ，则λ的值为________．解析：如图所示，取B 1C 1的中点P ，连接MP ，以MC →，MA →，MP →的方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系，因为底面边长为1，侧棱长为2，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，0，B 1(－12，0，2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，2， M (0，0，0)，设N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，t ，因为C 1N →＝λNC →，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，21＋λ，所以AB 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32，2，MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，21＋λ.又因为AB 1⊥MN ，所以AB 1→·MN →＝0. 所以－14＋41＋λ＝0，所以λ＝15.答案：155．在四棱锥P ­ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E ，F 分别是AB ，PB 的中点．(1)求证：EF ⊥CD ；(2)在平面PAD 内是否存在一点G ，使GF ⊥平面PCB ？若存在，求出点G 坐标；若不存在，试说明理由．解：(1)证明：由题意知，DA ，DC ，DP 两两垂直．如图，以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设AD ＝a ， 则D (0，0，0)，A (a ，0，0)，B (a ，a ，0)，C (0，a ，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a2，0，P (0，0，a )，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2. EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a2，0，a 2，DC →＝(0，a ，0)．因为EF →·DC →＝0，所以EF →⊥DC →，从而得EF ⊥CD .(2)存在．理由如下：假设存在满足条件的点G ，设G (x ，0，z )，则FG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a2，－a 2，z －a 2，若使GF ⊥平面PCB ，则由 FG →·CB →＝⎝⎛⎭⎪⎫x －a2，－a 2，z －a 2·(a ，0，0)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2＝0，得x ＝a2；由FG →·CP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2，－a 2，z －a 2·(0，－a ，a )＝a 22＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫z －a 2＝0，得z ＝0. 所以G 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，0，0， 故存在满足条件的点G ，且点G 为AD 的中点．6．如图，棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1的所有棱长都等于2，∠ABC 和∠A 1AC 均为60°，平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD .(1)求证：BD ⊥AA 1；(2)在直线CC 1上是否存在点P ，使BP ∥平面DA 1C 1，若存在，求出点P 的位置，若不存在，请说明理由．解：(1)证明：设BD 与AC 交于点O ，则BD ⊥AC ，连接A 1O ，在△AA 1O 中，AA 1＝2，AO ＝1，∠A 1AO ＝60°， 所以A 1O 2＝AA 21＋AO 2－2AA 1·AO cos 60°＝3，所以AO 2＋A 1O 2＝AA 21， 所以A 1O ⊥AO .由于平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ，且平面AA 1C 1C ∩平面ABCD ＝AC ，A 1O平面AA 1C 1C ，所以A 1O ⊥平面ABCD .以OB ，OC ，OA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，－1，0)，B (3，0，0)，C (0，1，0)，D (－3，0，0)，A 1(0，0，3)，C 1(0，2，3)．由于BD →＝(－23，0，0)，AA 1→＝(0，1，3)，AA 1→·BD →＝0×(－23)＋1×0＋3×0＝0，所以BD →⊥AA 1→，即BD ⊥AA 1. (2)存在．理由如下：假设在直线CC 1上存在点P ，使BP ∥平面DA 1C 1，设CP →＝λCC 1→，P (x ，y ，z )，则(x ，y －1，z )＝λ(0，1，3)． 从而有P (0，1＋λ，3λ)，BP →＝(－3，1＋λ，3λ)． 设平面DA 1C 1的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥A 1C 1→，n ⊥DA 1→，又A 1C 1→＝(0，2，0)，DA 1→＝(3，0，3)，则⎩⎨⎧2y 2＝0，3x 2＋3z 2＝0，取n ＝(1，0，－1)， 因为BP ∥平面DA 1C 1，则n ⊥BP →，即n ·BP →＝－3－3λ＝0，得λ＝－1， 即点P 在C 1C 的延长线上，且C 1C ＝CP .。