安徽省安庆市 高二数学下学期期中试题文

2022-2023学年安徽省安庆市高二下学期期中考试数学试题一、单选题1．2-与8-的等差中项是（）A ．5-B ．4-C ．4D ．5【答案】A【分析】代入等差中项公式即可解决.【详解】2-与8-的等差中项是2852--=-故选：A2．等差数列{}n a 中，21a =，57a =，则公差d 等于（）A ．2B ．12C ．43D ．34【答案】A【分析】直接利用等差数列的公差公式可求得结果.【详解】由已知可得5223a a d -==.故选：A.3．在等比数列{}n a 中，如果1216a a +=，3424a a +=，那么78a a +=（）A ．40B ．36C ．54D ．81【答案】C【分析】根据等比数列性质及等比数列通项公式进行求解.【详解】由等比数列性质知，12a a +，34a a +，56a a +，78a a +成等比数列，其首项为16，公比为243162=，所以378316542a a ⎛⎫+=⨯= ⎪⎝⎭.故选：C.4．已知函数()22f x x =+，则该函数在区间[]1,3上的平均变化率为（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A【分析】根据平均变化率的定义直接求解.【详解】因为函数()22f x x =+，所以该函数在区间[]1,3上的平均变化率为22(3)(1)32(12)4312f f -+-+==-，故选：A5．设函数()f x '是函数()f x 的导函数，若()cos f x x =，则π6f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭（）A ．32-B ．12-C ．12D ．32【答案】B【分析】根据余弦函数的导数公式求解.【详解】因为()cos f x x =，所以()sin f x x '=-，所以ππ1sin 662f ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭，故选：B.6．函数()e xf x =的图象在点()()0,0f 处切线的倾斜角为（）A ．30B ．45C ．150D ．135【答案】B【分析】利用导数几何意义可求得切线斜率，由斜率和倾斜角关系可得结果.【详解】()e x f x '= ，()00e 1f '∴==，即()f x 在()()0,0f 处切线的斜率为1，则其倾斜角为45 .故选：B.7．已知数列{}n a 、{}n b 都是等差数列，设{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 的前n 项和为n T .若2132n n S n T n +=+，则55a b =（）A ．1929B ．1125C ．1117D ．23【答案】A【分析】由题意利用等差数列的性质、等差数列的前n 项和公式，得出结论．【详解】∵2132n n S n T n +=+，∴195519919551999()22911929()2392292a a a a a a Sb b b b b b T ++⨯+======++⨯+，8．数列{}n a 满足()21*1233333n n na a a a n N -++++=∈ ，则12310a a a a 等于（）A ．5513⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10113⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．9113⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．6613⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】根据题意得到22123113333n n n a a a a ---++++=，（2n ≥），与条件两式作差，得到13n n a =，（2n ≥），再验证113a =满足13n n a =，得到13n n a =()*n N ∈，进而可求出结果.【详解】因为数列{}n a 满足()21*1233333n n na a a a n N -++++=∈ ，22123113333n n n a a a a ---++++=，（2n ≥）则1113333n n n n a --=-=，则13n n a =，（2n ≥），又113a =满足13n n a =，所以13n n a =()*n N ∈，因此5510(110)123 (110)231201323a a a a +------⎛⎫=== ⎪⎝⎭.故选：A二、多选题9．下列有关导数的说法，正确的是（）.A ．()0f x '就是曲线()f x 在点()()00,x f x 处的切线的斜率B ．()0f x '与()0f x '⎡⎤⎣⎦的意义是一样的C ．设()s s t =是位移函数，则()0s t '表示物体在t t =0时刻的瞬时速度D ．设()v v t =是速度函数，则()0v t '表示物体在t t =0时刻的瞬时加速度【答案】ACD【分析】根据导数的定义以及几何意义判断ACD ，根据常数函数的导数为0判断B.【详解】()0f x '表示曲线()f x 在点()()00,x f x 处的切线的斜率，故A 正确；()0f x '⎡⎤⎣⎦表示对函数值()0f x 求导，因为()0f x 是常函数，所以()00f x '=⎡⎤⎣⎦，与()0f x '的意义不一样，故B 错误；C ，D 易知正确.10．下列求导运算正确的是（）A ．2111x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭B ．()21log ln 2x x '=C ．()555log x x x '=D ．()22cos 2cos sin x x x x x x'=-【答案】BD【分析】利用导数的运算法则可判断AD 选项；利用基本初等函数的导数公式可判断BC 选项.【详解】对于A 选项，2111x x x '⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，A 错；对于B 选项，()21log ln 2x x '=，B 对；对于C 选项，()55ln 5x x '=，C 错；对于D 选项，()22cos 2cos sin x x x x x x '=-，D 对.故选：BD.11．已知数列{}n a 是等比数列，有下列四个命题，其中正确的命题有（）A ．数列{}n a 是等比数列B ．数列{}1n n a a +是等比数列C ．数列{}2lg n a 是等比数列D ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列【答案】ABD【分析】分别按定义计算每个数列的后项与前项的比值，即可判断.【详解】根据题意，数列{}n a 是等比数列，设其公比为q ，则1n na q a +=，对于A ，对于数列{}n a ，则有1||n na q a +=，{}n a 为等比数列，A 正确；对于B ，对于数列{}1n n a a +，有211n n n na a q a a +-=，{}1n n a a +为等比数列，B 正确；对于C ，对于数列{}2lg n a ，若1n a =，数列{}n a 是等比数列，但数列{}2lg n a 不是等比数列，C 错误；对于D ，对于数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，有11111n n n n a a a q a --==，1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，D 正确.故选：ABD .【点睛】本题考查用定义判断一个数列是否是等比数列，属于基础题.12．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且675S S S >>，下列说法正确的是（）A ．0d <B ．120S >C ．数列{}n S 的最大项为11S D ．67a a >【答案】ABD【分析】由675S S S >>判断出70a <，60a >，求出760d a a =-<，即可判断A ；利用等差数列的性质求出()126760S a a =+>，可以判断B ；由60a >，70a <，可判断出6S 最大，可以判断C ；由60a >，70a <，670a a +>，可以判断D.【详解】因为7670S S a -=<，6560S S a -=>，所以760d a a =-<，A 正确；75670S S a a -=+>，所以()()112126712602a a S a a +==+>，B 正确；因为60a >，70a <，所以数列{}n S 的最大项为6S ，C 不正确；因为60a >，70a <，670a a +>，所以670a a >->，即67a a >，D 正确．故选：ABD ．三、填空题13．已知曲线1ln y x x k=+在点()1,1处的切线与直线20x y +=垂直，则k =.【答案】1【分析】易知点()1,1在曲线1ln y x x k=+上，求出函数的导函数，由两直线垂直斜率之积为1-，得到()12f '=，即可得到方程，解得即可.【详解】易知点()1,1在曲线1ln y x x k=+上，令()1ln f x x x k =+，则()11f x kx'=+，所以()111f k'=+，又该切线与直线20x y +=垂直，所以112k+=，解得1k =.故答案为：114．已知数列{}n a 的前n 项和32nn S =+，则数列{}n a 的通项公式为.【答案】15,1{2,2n n n a n -==≥【详解】当1n =时，111325a S ==+=；当2n ≥时，()11132322n n n n n n a S S ---=-=+-+=；所以15,1{2,2n n n a n -==≥.15．已知函数2()ln (1)f x x x f =+'，则()2f =.【答案】24ln -/42ln -+【分析】将(1)f '视为常数，在1()2(1)f x xf x'=+'中令1x =求出(1)f '的值，从而求出()f x 的解析式，再求()2f 即可.【详解】因为2()ln (1)f x x x f =+'，所以1()2(1)f x xf x'=+'，将1x =代入得(1)12(1)f f ''=+，所以(1)1f '=-，所以2()ln f x x x =-，所以(2)ln 24f =-，故答案为：ln 24-16．已知数列{}n a 中，11a =，()112n n n a na ++=，则n a =．【答案】12n n -【分析】已知递推关系变形凑配出一个等比数列，利用等比数列的通项公式可求得n a ．【详解】由()112n n n a na ++=，得121n n a a n n +=+，所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公比为12的等比数列．所以1112n n a n -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，所以12n n n a -=．故答案为：12n n-．四、解答题17．求下列函数的导数.(1)52234y x x =--；(2)e sin xy x=.【答案】(1)4106y x x'=-(2)2e sin e cos sin x x x xy x-'=【分析】由常见函数的导数公式及导数的运算法则可得答案.【详解】（1）()()()5252423423106y x x x xx x ''''-==--=-（2）()()2e sin sin ee sin sin x x x x x y x x '''-⎛⎫'=== ⎪⎝⎭2e sin e cos sin x x x xx -18．已知在等比数列{}n a 中，11a =，且2a 是1a 和31a -的等差中项.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()*2n n b n a n N =+∈，求{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）12n n a -=；（2）221n n S n n =++-.【分析】（1）利用等差中项的性质列方程，由此求得q ，进而求得数列{}n a 的通项公式；（2）利用分组求和法求得n S .【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q ≠，则21a a q q ==，2231a a q q ==，由于2a 是1a 和31a -的等差中项，即21321a a a =+-，即22q q =，解得2q =.因此，数列{}n a 的通项公式为1111122n n n n a a q ---==⨯=；（2）1222n n n b n a n -=+=+，()()()()012112322426222n n n S b b b b n -∴=++++=++++++++ ()212(22)12(2462)122221212n n n n n n n n -+-=+++++++++=+=++-- .【点睛】本小题主要考查等差中项的性质，考查等比数列的通项公式，考查分组求和法，属于中档题.19．（1）求曲线21xy x =-，在点()1,1处的切线方程；（2）求过点()2,3的抛物线2y x =的切线方程．【答案】（1）20x y +-=；（2）210x y --=或690x y --=．【分析】（1）利用导数几何意义即可求得曲线21xy x =-在点()1,1处的切线方程；（2）先设出切点坐标为()200,x x ，再利用导数几何意义即可求得过点()2,3的抛物线2y x =的切线方程．【详解】（1）()2121y x '=--，可知所求切线的斜率1k =-故所求切线的方程为()11y x -=--，即20x y +-=．（2）设切点坐标为()200,x x ，2y x '=，可知所求切线的斜率022k x =∵切线过点()2,3和点()200,x x ，∴2000322x x x -=-，解得01x =或03x =，∴切线的斜率为2或6故所求切线的方程为()322y x -=-或()362y x -=-，即210x y --=或690x y --=．20．已知{}n a 是公差不为0的等差数列，满足33a =，且2a ，4a ，8a 成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)设21n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)n a n =(2)31142224n n n T --++=【分析】（1）根据题意设{}n a 是公差为()0d d ≠，故2428a a a =⋅，进而()()()23335a d a d a d +=-⋅+，再整理解方程即可得1d =，最后根据通项公式求解即可；（2）由（1）知()211111222n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅++⎝⎭，进而根据裂项求和求解即可.【详解】（1）解：设{}n a 是公差为()0d d ≠，因为2a ，4a ，8a 成等比数列，所以2428a a a =⋅，因为33a =，所以()()()23335a d a d a d +=-⋅+，所以2(3)(3)(35)d d d +=-⋅+，整理20d d -=，解得1d =或0d =（舍）所以3(3)n a a n d n =+-=，所以数列{}n a 的通项公式为n a n =（2）解：由（1）知()211111222n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅++⎝⎭，所以13242111n n n T a a a a a a +=+++⋅⋅⋅ 111111111111111111232242352221122n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111111111112324352112n n n n n n ⎛⎫=-+-+-++-+-+- ⎪--++⎝⎭ 11113111221242224n n n n ⎛⎫=+--=-- ⎪++++⎝⎭，所以31142224n n n T --++=21．设函数()bf x ax x=-，曲线y =f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程为7x -4y -12=0．（1）求y =f （x ）的解析式；（2）证明：曲线y =f （x ）上任一点处的切线与直线x =0和直线y =x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．【答案】(1)3()f x x x=-；(2)证明见解析.【详解】解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12．又f′(x)＝a ＋2b x ，于是1222{744b a b a -=+=，解得13a b ==⎧⎨⎩故f(x)＝x －3x．(2)证明：设P(x 0，y 0)为曲线上任一点，由f′(x)＝1＋23x 知，曲线在点P(x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(1＋203x )·(x －x 0)，即y －(x 0－03x )＝(1＋203x )(x －x 0)．令x ＝0得，y ＝－06x ，从而得切线与直线x ＝0，交点坐标为(0，－06x )．令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P(x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12|－6x ||2x 0|＝6．曲线y ＝f(x)上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，此定值为6．22．已知数列{}n b 是首项为1的等差数列，数列{}n a 满足1310n n a a +--=，且321b a +=，11a =．(1)证明12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列(2)·n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】(1)证明见解析(2)()()12132138n n n n n T +--++=【分析】（1）由1310n n a a +--=得1113()22n n a a ++=+，即可证明数列为等比数列；（2）计算{}n a ，{}n b 的通项公式，用分组求和与错位相减法求和求n c 的前n 项和.【详解】（1）证明：因为1310n n a a +--=，所以131n n a a +=+，所以1113()22n n a a ++=+，又11113120,0,312222n n n a a a a +++=≠∴+≠=+，所以数列12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为32，公比为3的等比数列．（2）由()1知11333222nn n a -+=⨯=，所以312n n a -=，3213b a =-=，设等差数列{}n b 的公差为d ，1d =，所以11n b n n =+-=，所以313222n n n n n n nc a b n -⋅=⋅=⨯=-，211(13233)(123)22n n T n n =⨯+⨯++⨯-++++ 21(1)(13233)24n n n n +=⨯+⨯++⨯- ，令213233nn S n =⨯+⨯++⨯ ，()21313133n n n S n n +∴=⨯+⋯+-⨯+⨯，两式相减，得21113(13)13233333()31322n nn n n n S n n n +++⨯--=+++-⨯=-⨯=-⨯-- ，所以1(21)334n n n S +-⨯+=，111(21)33(1)(21)32(1)32448n n n n n n n n n T ++-⨯++-⨯-++=⨯-=.。

2023-2024学年安徽省安庆市高二下学期期中联考数学模拟试题一、单选题1．设集合{12}A x x =<≤∣，则A =R ð（）A ．{1xx <∣或2}x ≥B ．{1xx <∣或2}x >C ．{1xx ≤∣或2}x ≥D ．{1xx ≤∣或2}x >【正确答案】D【分析】利用补集的定义直接求解.【详解】因为集合{12}A x x =<≤∣，所以A =R ð{1x x ≤∣或2}x >.故选：D2．已知函数()2221,12,1x x x f x x -⎧+≤=⎨>⎩，则()()2f f =（）A ．5B ．3C ．2D ．1【正确答案】B【分析】先求(2)f ，再根据(2)f 的值带入相应解析式计算即可.【详解】因为21>，所以22(2)21f -==，所以()()22(1)2113f f f ==⨯+=.故选：B3．已知向量(),1,3a m =r ，()2,,1b n = ，若a b ，则mn=（）A ．2B ．18C ．12D ．118【正确答案】B【分析】根据空间向量平行的坐标表示求解即可．【详解】因为ab，则存在实数k 使得a kb =，即213m kkn k =⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得6133m n k =⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，所以16183m n =÷=，故选：B ．4．已知等比数列{}n a 的公比q 不为11,1a =，且243,,a a a 成等差数列，则q =（）A ．1B ．-1C ．12D ．12-【正确答案】D【分析】根据等比数列通项和等差中项性质列出关于q 的方程，解出即可.【详解】由11a =，且243,,a a a 成等差数列，得4232a a a =+，即322q q q =+，即(21)(1)0q q q +-=，解得0q =（舍去）或1q =（舍去）或12q =-.故选：D5．《“健康中国2030”规划纲要》提出，健康是促进人的全面发展的必然要求，是经济社会发展的基础条划件.实现国民健康长寿，是国家富强､民族振兴的重要标志，也是全国各族人民的共同愿望.为普及健康知识，某公益组织为社区居民组织了一场健康知识公益讲座，为了解讲座效果，随机抽取了10位居民在讲座后进行健康知识问卷（百分制），这十位居民的得分情况如下表所示：答题居民序号12345678910得分72836576889065909576则以下说法错误的是（）A ．该10位居民的答卷得分的极差为30B ．该10位居民的答卷得分的中位数为94C ．该10位居民的答卷得分的中位数小于平均数D ．该10位居民的答卷得分的方差为104.4【正确答案】B【分析】由极差、中位数和平均数的定义可判断A ，B ，C ；求出该社区居民问卷得分的方差即可判断D.【详解】按照从小到大排列为65,65,72,76,76,83,88,90,90,95，则极差为956530-=，故选项A 正确；中位数为768379.52+=，故选项B 不正确；中位数为79.5，平均数为1(72836576889065909570)8010+++++++++=，故选项C 正确；通过计算可得222221[(8072)(8083)(8065)(8076)(8088)10-+-+-+-+-22222(8090)(8065)(8090)(8095)(8076)]104.4+-+-+-+-+-=，所以方差为104.4，故选项D 正确.故选：B.6．已知函数()1sin22f x x x =，则将函数()f x 的图象向右平移π02ϕϕ⎛⎫<< ⎝⎭个单位后得到函数()g x 的图象，()g x 图象关于原点对称，则（）A ．π12ϕ=B ．π6ϕ=C ．π3ϕ=D ．5π12ϕ=【正确答案】B【分析】利用辅助角公式化简，再根据平移变换得()g x ，然后由对称性可解.【详解】由题意可知()1πsin2sin 223f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象向右平移π02ϕϕ⎛⎫<<⎪⎝⎭个单位后得到函数()g x 的图象，所以()()ππsin 2sin 2233g x x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=-+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()g x 图象关于原点轴对称，所以π2π,3k k ϕ-=∈Z ，即π,62k k πϕ=-∈Z当0k =时，π6ϕ=.故选：B7．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()()2222,11f x f x f f +=--+=-，则()3f =（）A ．0B ．2C ．4D ．5【正确答案】D【分析】函数的性质与抽象函数，用赋值法即可求解.【详解】令0x =，得()()()2222f f f =-+，即()22f =，所以()()224f x f x ++-=，所以函数()f x 的图象关于()2,2对称；因为()11f =-，所以()35f =.故选：D8．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点为12,F F ，过2F 的直线与C 交于,A B 两点.若223AF F B =，12AB AF =，且1ABF 的面积为，则椭圆C 的方程为（）A ．2212515x y +=B ．2212510x y +=C ．221106x y +=D ．221104x y +=【正确答案】A【分析】设2BF m =，则23AF m =，12AF m =，由椭圆的定义得25m a =，在1ABF 中，由余弦定理得11cos 4F AB ∠=，根据同角三角函数的平方关系得1sin 4F AB ∠=，在12AF F △中，由余弦定理得2252c a =，再结合1ABF的面积为，即可求出2a ，进而得出椭圆的方程．【详解】设2BF m =，则23AF m =，22142AB AF BF m AF =+==，则12AF m =，由椭圆的定义可知122352AF AF m m m a +=+==，所以25m a =，所以265AF a =，145AF a =，85AB a =，122822255BF a BF a m a a a =-=-=-=，在1ABF 中，22222211118481555cos 8424255a a a AB AF BF F AB a a AB AF ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭∠===⨯⨯⨯，则1π(0)2F AB ∠∈，，所以1sin 4F AB ∠=，在12AF F △中，222121212122cos F F AF AF AF AF F AF =+-∠，即222464614255554a a a a c ⎛⎫⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，整理可得2252c a =，因为三角形1ABF的面积为，故111sin 2AF AB F AB ∠=，即1482554a a ⨯⨯=，得225a =，所以210c =，222210155b a c =-==-，所以椭圆C 的方程为2212515x y +=，故选：A ．二、多选题9．如图是函数()[],3,5y f x x =∈-的导函数()f x '的图象，()30f -<，则下列判断正确的是（）A ．()f x 单调递增区间为][1,2,4,5⎡⎤-⎣⎦B ．()20f '=C ．()()2f x f ≤D ．()()24f f >【正确答案】ABD【分析】由导函数图象的符号判断函数()f x 在各区间的单调性，再结合函数的性质得出结果.【详解】对于A ，由题图知当()()1,2,4,5x x ∈-∈时，()0f x ¢>，所以在区间()()1,2,4,5-上，()f x 单调递增，故A 正确；对于B ，当()3,1x ∈--时，()()0,f x f x '<单调递减，在()1,2x ∈-上，()()0,f x f x '>单调递增；当()2,4x ∈时，()()0,f x f x '<单调递减，所以()20f '=，故B 正确；对于C ，()2f 不一定是函数的最大值，最大值可能由区间[]3,5-的端点产生，所以C 错误；对于D ，当()2,4x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以()()24f f >，故D 正确；故选：ABD.10．已知首项为正数的等比数列{}n a 的公比为q ，曲线:n C 2211++=n n x y a a ，则下列叙述正确的有（）A ．若n C 为圆，则1q =B ．若1q =-，则nC 离心率为2C ．01,n q C <<D ．0,n q C <是双曲线且其渐近线方程为y =【正确答案】AC【分析】对于A ，若n C 为圆，则11n n a a a +==，求出q 得出结果；对于B ，n C 为等轴双曲线，求其离心率即可；对于C ，当01q <<时，曲线n C 是焦点在x 轴上的椭圆，求其离心率即可；对于D ，故曲线n C 为双曲线，求其渐近线方程.【详解】对于A ，首项为正数的等比数列{}n a 的公比为q ，曲线221:1n n n x y C a a ++=，若n C 为圆，则11n n a a a +==，所以221:0n C x y a +=>，所以1q =，即曲线n C 为圆心为()0,0A 正确；对于B ，当1q =-时，11(1)n n a a -=-，所以n a 与1n a +互为相反数且不为0，故221:1n n n x y C a a ++=为等轴双曲线，故曲线n CB 错误；对于C ，01q <<，数列为递减数列，10n n a a +<<，所以曲线221:1n n n x y C a a ++=焦点在x 轴上的椭圆，，故C 正确；对于D ，当0q <时，n a 与1n a +异号，故曲线221:1n n n x y C a a ++=为双曲线，其渐近线为2210n n x y a a ++=，即=y ，故D 错误.故选：AC.11．已知()0,2F 为抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点，O 为坐标原点，点()00,P x y 在抛物线上，则（）A ．PF 的最小值为2B ．若4PF =，则02y =C ．点Q 在抛物线C 上，且POQ △为正三角形，则0x =D ．若04x =，则抛物线C 在点P 处的切线方程为20x y --=【正确答案】ABD【分析】选项A 、B ，由抛物线的定义及几何性质判断选项；选项C ，由POQ △为正三角形，得OP的斜率为P 的坐标；选项D ，利用导数求切线方程判断选项.【详解】由()0,2F 为抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点，2,42pp ==，故2:8C x y =；对于A ，设200,8x P x ⎛⎫⎪⎝⎭，20228x PF =+≥,所以PF 的最小值为2，故A 正确；对于B ，由抛物线C 的定义知004242PF y y =+=+=，得02y =，故B 正确；对于C ，POQ △为正三角形，则可得PQ 与x 轴平行，且60POQ ∠= ，得OP 的斜率为P的坐标为()()24,24-，所以0x =±C 错误；对于D ，因为04x =，代入28x y =，可得02y =，由28x y =得4x y '=，抛物线C 在点P 处的切线斜率为1，所以切线方程为24y x -=-,即20x y --=，故D 正确.故选：ABD.12．如图，边长为4的正方形ABCD 是圆柱的轴截面，点P 为圆弧AD 上一动点（点P 与点,A D 不重合）(01)AP AD λλ=<<，则（）A ．存在λ值，使得AD BP ⊥B ．三棱锥P ABD -体积的最大值为163C ．当12λ=时，异面直线PB 与ADD ．当直线PB 与平面ABCD 所成角最大时，平面PAB 截四棱锥P ABCD -外接球的截面面积为【正确答案】BCD【分析】利用线面垂直的性质即可判断选项A ；根据棱锥的体积计算公式判断选项B ；建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式判断选项C ；利用线面垂直的性质以及勾股定理和基本不等式即可判断选项D.【详解】对于A 选项，由题意知AD BA ⊥，若AD BP ⊥，AB BP B = ，,AB BP ⊂平面BAP ，则AD ⊥平面BAP ，所以AD AP ⊥，不成立，故A 不正确；对于B 选项，在三棱锥P ABD -中，AB ⊥半圆面APD ，则AB 是三棱锥P ABD -的高，当点P 是半圆弧AD 的中点时，三棱锥P ABD -的底面积PADS取得最大值，三棱锥P ABD -的体积取得最大值为11416443223⨯⨯⨯⨯=，故选项B 正确；对于选项C ：当12λ=时，则P 为AD 的中点，以AD 的中点E 为原点，以,EP EA 分别为,x y 轴，建立空间直角坐标系，则(2,0,0)P ,(0,2,4)B ，(0,0,0)E ，(0,2,0)A ，可得()()2,2,4,0,2,0PB EA =-= ，则cos ,6PB EA PB EA PB EA⋅=⋅=uu r uu ruu r uu r uu r uu r ，故异面直线PB 与AD C 正确；对于D 选项，取BD 的中点O ，过点P 作PH AD ⊥于点H ，连接BH ，由题意知，AB ⊥平面ADP ，PH ⊂平面ADP ，PH AB ⊥，又因为PH AD ⊥，AD AB A ⋂=，,AD AB ⊂平面ABCD ，可得PH ⊥平面ABCD ，所以BH 为PB 在平面ABCD 内的射影，则PBH ∠为直线PB 与平面ABCD 所成的角，设AH x =，则04,4x DH x <<=-，在Rt APD △中，()()224,44PH AH DH x x PD DH AD x =⋅=-=⋅=-，所以()222244164PB BD PD x x =-=--=+，故()2222414sin 16444x x PH x x PBH PB x x ∠-⎛⎫-===- ⎪++⎝⎭，令4t x =+，则4x t =-，且48t <<，所以()22(4)444321212124t t x x t x t t ----==+-≥=+，当且仅当32t t=，即=t 时取等号，所以2sin 3PBH ∠≤-sin 1PBH ∠≤，所以直线PB 与平面ABCD 1，此时()(24,48AH PH =-=-⨯-，所以)())2221,41,PH AP AP ⎛==+-= ⎝连接,OH OP ，因为PH ⊥平面ABCD ，HO ⊂平面ABCD ，所以PH HO ⊥，因为ABCD 为正方形，所以45OAH ∠=︒，在OHA 中，可得2222cos 72OH AH OA AH OH OAH =+-⋅∠=-在Rt OPH 中，可得22221)728OP PH OH =+=+-=，则OP =，因为12OA OB OP OD BD =====，所以点O 为四棱锥P ABCD -外接球的球心，因为DP AP ⊥，由1122ADP S AD PH AP DP =⨯=⨯V ，解得DP =，所以球心O 到面PAB 的距离12d DP ==设截面半径为r ，则有)222841r d =-=--=所以截面面积为，故D 正确.故选：BCD.三、填空题13．复数i12i z =+，则z z +=__________.【正确答案】45/0.8【分析】利用复数代数形式的除法运算化简得到z ，再由共轭复数的概念得到z ，进而求出结果．【详解】()()()i 12i i i 221i 12i 12i 12i 555z -+====+++-，21i 55z =-，则45z z +=.故答案为.4514．已知方程22164x y m m +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是__________.【正确答案】(5,6)【分析】根据椭圆标准方程的结构特征，结合焦点在y 轴上可得.【详解】因为方程22164x y m m +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，所以460m m ->->，得56m <<.故(5,6)15．已知数列{}n a 满足*111,,1n n n a a a n a +==∈+N ，则202311n n n a a +==∑__________.【正确答案】20232024【分析】通过取倒数构造等差数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，根据条件解得1n a n =，再结合裂项相消法得出结果．【详解】因为11n n n a a a +=+，，所以1111n na a +-=，所以111n n n a =+-=，所以1n a n=，()111111n n a a n n n n +==-++所以20231111111111202311223342023202420242024n n n a a +==-+-+-++-=-=∑ .故答案为.2023202416．已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，且满足()1e f =，对于任意的实数x ∈R ，都有()()2e x f x f x =-，当0x >时，()()f x f x '<，若()2323e a f a ++<，则实数a 的取值范围是__________.【正确答案】21a -<<-【分析】由()()2e xf x f x =-构造函数()()xf xg x e =，得出()g x 为偶函数，通过导数得到()g x 的单调性，再解不等式求得结果.【详解】因为()()2e xf x f x =-，所以()()e ex xf x f x --=，令()()x f x g x e =，则()()g x g x -=，即()g x 为偶函数，当0x >时()()f x f x '<，即()()0e xf x f x '->，所以()()()0exf x f xg x '-'=>，即函数()g x 在()0,∞+上单调递增.根据偶函数对称区间上单调性相同的性质可知()g x 在(),0∞-上单调递减，又因为()1e f =，所以()()111ef g ==，所以()()111g g -==，()2323e a f a ++<，即()()()2323111e ea f a f g ++<==，故只需()()231g a g +<，即()()231g a g +<，所以231a +<，解得21a -<<-.故答案为.21a -<<-四、解答题17．已知在9nx ⎛ ⎝的展开式中的二项式系数之和为64，求：(1)n 的值；(2)展开式中常数项；【正确答案】(1)6(2)15【分析】（1）根据二项式系数之和分析运算；（2）根据二项展开式分析运算.【详解】（1）因为9nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中的二项式系数之和为64，所以012C C C C 264n nn n n n ++++==L ，得6n =.（2）二项展开式的通项为3661232166C (9)(1)(3)C,0,1,2,,6kk k kk k k k x k T x ---+⎛⎫=⋅=-⋅ ⎪⎝⋅⋅⋅=.可得当3602k -=，即4k =时，此时456C 15T ==，展开式中常数项为15.18．已知函数()()e 1,0axf x x a a =--∈≠R .(1)若1a =，求函数()f x 的单调区间；(2)若2a =，求证.()f x x≥【正确答案】(1)函数()f x 的单调减区间为(),0∞-，单调增区间为()0,∞+；(2)证明见解析【分析】（1）求导，解不等式()0f x '<，()0f x ¢>可得；（2）构造函数()2e 21xg x x =--，转化为求()g x 的最小值问题，利用导数可证.【详解】（1）当()1,e 1x a f x x ==--，则()e 1xf x '=-，令()0f x '<，解得0x <，令()0f x ¢>，解得0x >，所以函数在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增；所以函数()f x 的单调减区间为(),0∞-，单调增区间为()0,∞+；（2）因为2a =，所以()2e 1xf x x =--，所以即证2e 210x x --≥，.令()2e 21xg x x =--，则()()222e 22e 1x x g x =-=-'当0x >时，()()0,g x g x '>为增函数；当0x <时，()()0,g x g x '<为减函数；所以()g x 的最小值为()00g =，所以()0g x ≥，所以2e 210x x --≥，所以()f x x ≥.19．已知半径小于6的圆C 过点()8,1A ，且圆C 与两坐标轴均相切．(1)求圆C 的标准方程；(2)若圆C 与直线:0l x y m -+=交于,A B 两点，__________，求m 的值．从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：120ACB ∠= ；条件②：AB =．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．【正确答案】(1)()()225525x y -+-=(2)2m =±【分析】（1）设圆222:()()(06)C x a y b r r -+-=<<，由圆C 过点()8,1A 代入方程，再根据圆C 与两坐标轴均相切得出0a >，0b >，且a b r ==，解出r ，即可得出圆C 的方程；（2）选①：过点C 作CD AB ⊥于点D ，由120ACB ∠= 得出30CAB ∠=︒，则1522CD AC ==，得出圆心C 到直线l 的距离52d =，由点到直线距离公式列出方程求解即可；选②：在ABC 中，由余弦定理得出120ACB ∠=︒，则30CAB ∠=︒，过点C 作CD AB ⊥于点D ，得出1522CD AC ==，则圆心C 到直线l 的距离52d =，由点到直线距离公式列出方程求解即可．【详解】（1）设圆222:()()(06)C x a y b r r -+-=<<，因为圆C 过点()8,1A ，所以222(8)(1)a b r -+-=，又因为圆C 两坐标轴均相切，所以得0a >，0b >且a b r ==，则222(8)(1)r r r -+-=，解得13r =或=5r ，因为圆C 的半径小于6，所以=5r ，即5a b ==，所以22:(5)(5)25C x y -+-=．（2）如果选择条件①：由120ACB ∠=︒，5CA CB ==，得30CAB CBA ∠=∠=︒，过点C 作CD AB ⊥于点D ，则1522CD AC ==，所以圆心C 到直线l 的距离52d =，则52d =，解得2m =±；如果选择条件②：AB =，在ABC 中，5CA CB ==，由余弦定理得2221cos 22AC BC AB ACB AC BC +-∠==-，所以120ACB ∠=︒，过点C 作CD AB ⊥于点D ，则1522CD AC ==，所以圆心C 到直线l 的距离52d =，则52d =，解得2m =±．20．在直三棱柱111ABC A B C -中，112CC AB AC BC ====，点M 是对角线1AC 上的动点，点N 是棱BC 上的动点.(1)若,M N 分别为1,C A CB 的中点，求证：MN 平面11AA B B ；(2)设1(0C M CN x x ==<，当线段MN 的长最小时，求平面CMN 与平面11AA B B 夹角的余弦值.【正确答案】(1)证明见解析【分析】（1）通过面面平行证明线面平行；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求平面CMN 与平面11AA B B 的法向量，再得到两平面的夹角的余弦值.【详解】（1）证明：取AC 的中点为P ，连接MP ，NP ，因为,M N 分别为1,C A CB 的中点，所以1,PN AB MP CC ∥∥，又11CC AA ，所以1MP AA ∥，1AA ⊂平面11AA B B ，MP ⊄平面11AA B B ，MP平面11AA B B ，同理可证NP 平面11AA B B ，因为MP NP P = ，所以平面MNP平面11AA B B ，因为MN ⊂平面MNP ，所以MN平面11AA B B ；（2）在平面ABC 内过点C 作CD AC ⊥，使得点D 与点B 在AC 同侧，由1C C ⊥平面,ABC CD ⊂平面,ABC AC ⊂平面ABC ，故11,C C AC C C CD ⊥⊥，结合CD AC ⊥，故,,PC AC CD 两两垂直.以C 为原点，分别以1,,CA CD CC为,,x y z 轴正方向建立空间直角坐标系，如图，则()()()10,0,0,1,0,0,0,0,1C A C ，由22AB AC BC =得222AB AC BC +=，故,AB AC ABC ⊥为等腰直角三角形，同理，1AC C △为等腰直角三角形.得()1,1,0B ，故2222,0,1,,02222M x N x ⎫⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，22222222210212222MN x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当22x =时，MN 最小，此时,M N 分别是1,AC CB 中点，于是111111,0,,,,0,,0,222222M N CM ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，111111,,0,,0,,,,0222222CN AM AN ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，设平面CMN 的法向量为()111,,x y z α=，故0,0,CM CN αα⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即1111110,22110,22x z x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，整理得11110,0,x z x y +=⎧⎨+=⎩，取11x =-可得平面CMN 的一个法向量为()1,1,1α=-，平面11AA B B 的法向量为()1,0,0β=，设平面CMN 与平面11AA B B 夹角的大小为θ，则13cos 33αβθαβ⋅-===⋅ ，故平面CMN 与平面11AA B B 3321．下图（1）是一个边长为1的正三角形，将每边三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得到图（2），如此继续下去，得到图（3）….由图可知，围成第一个图形的线段条数为3，围成第（2）个图形的线段条数为12, ，设围成第()n 个图形的边长条数为n a.(1)求34,a a ，并直接写出n a （不用证明）；(2)数列{}n b 满足141log 321i nn i ia b +==-∑，求数列{}n b 的前n 项和.【正确答案】(1)3448,192a a ==，134n n a -=´(2)()11422n n -⎛⎫-+⨯ ⎪⎝⎭【分析】（1）可以看到，由第()n 到第()1n +个图形，每1条线段都变为4条线段，得出一个等比数列，求出结果.（2）先求n b ，再利用错位相减法求和.【详解】（1）由题意可知3448,484192a a ==⨯=，可以看到，由第()n 到第()1n +个图形，每1条线段都变为4条线段，故134n n a -=´；（2）因为14434log log 33nn a n +⨯==，由题意知141123log 123321i nn i i na nb b b b b +==++++=-∑，①当1n =时，得11b =，当2n ≥时，11231123121n n n b b b b ---++++=- ，②①-②得12n n n b -=，则12n n n b -=，检验11b =成立，故12n n n b -=，令121123011111232222n n n S b b b b n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=⨯+⨯+⨯++⨯⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭③()12311111111231222222n nn S n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭④③-④得0121111111222222n nn S n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ .0111221112212n n n S n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-⨯ ⎪⎝⎭-，化简得()11422n n S n -⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭.22．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为()()4,0,3,1F P -为双曲线C 上一点.(1)求C 的方程；(2)设直线():0l y kx m k =+≠，且不过点P ，若l 与C 交于,A B 两点，点B 关于原点的对称点为D ，若0PA PD ⋅=，试判断k 是否为定值，若是，求出k 值，若不是，请说明理由.【正确答案】(1)22188x y -=(2)存在，3k =【分析】（1）利用焦点坐标得到4c =，再由点在双曲线上，结合222c a b =+联立方程即可得解；（2）利用设而不求得到1212,x x x x +关于,k m 的值，再由0PA PD ⋅=得到12,x x 的关系式，从而整理得()()()2212132180k k x x k---+-=，分析式子即可得到3k =，由此得解.【详解】（1）由已知可得4c =，故2216a b +=，因为()3,1P -在双曲线C 上，所以22911a b -=，解得2288a b ⎧=⎨=⎩（负值舍去），所以C 的方程为22188x y -=；（2）联立直线l 与双曲线的方程22,188y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，可得()2221280kxmkx m ----=，则210k -≠且()()()22222Δ(2)4184880mk k m m k =-----=-+>，所以21k ≠且2288k m <+，设()()1122,,,A x y B x y ，则()22,D x y --，由韦达定理可得212122228,11mk m x x x x k k --+==--，又1122,kx m y kx m y =+=+，所以()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++，()1212y y k x x -=-，又()()11223,1,3,1PA x y PD x y =+-=-+--，因为0PA PD ⋅=，所以()()()()121233110x x y y +-++---=，整理可得()121212123100x x y y x x y y +--+--=，则()()()()2212121210k x xkm x x k x x m ++++--+-=，则()()()2221222821310011m mk k km k x x m k k--++⋅+--+-=--，整理可得()()()2212132180k k x x k ---+-=，因为21210,k x x -≠-不恒为0，所以应有2302180k k -=⎧⎨-=⎩，解得3k =，所以直线l 的斜率为定值3.方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.。

2015-2016学年安徽省安庆一中高二（下）期中数学试卷（文科）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的，把正确答案的代号填在括号内.）1．设z=i（i是虚数单位），则+z2=（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．1﹣2i D．1+2i2．在线性回归模型y=bx+a+e中，下列说法正确的是（）A．y=bx+a+e是一次函数B．因变量y是由自变量x唯一确定的C．因变量y除了受自变量x的影响外，可能还受到其它因素的影响，这些因素会导致随机误差e的产生D．随机误差e是由于计算不准确造成的，可以通过精确计算避免随机误差e的产生．3．如图是一个商场某一个时间制订销售计划时的局部结构图，则“计划”受影响的主要要素有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误 D．非以上错误5．极坐标方程（ρ﹣1）（θ﹣π）=0（ρ≥0）表示的图形是（）A．两个圆B．两条直线C．一个圆和一条射线 D．一条直线和一条射线6．两个量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是（）A．模型1的相关指数R2为0.99 B．模型2的相关指数R2为0.88C．模型3的相关指数R2为0.50 D．模型4的相关指数R2为0.207．执行程序框图，如果输入的t∈，则输出的s属于（）A． B． C． D．8．若复数3+i和2+3i对应的点分别为P和Q，则向量对应的复数为（）A．5+4i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．9．直线y=2x+1的参数方程是（）A．（t为参数）B．（t为参数）C．（t为参数）D．（θ为参数）10．若|z﹣3﹣4i|≤2，则|z|的最大值是（）A．．9 B．7 C．5 D．311．设f0（x）=cosx，f1（x）=f0′（x），f2（x）=f1′（x），…，f n（x）=f n′（x）（n∈N），则+1f2016（x）=（）A．sinx B．﹣sinx C．cosx D．﹣cosx12．若定义运算：；，例如2⊗3=3，则下列等式不能成立的是（）A．a⊗b=b⊗a B．（a⊗b）⊗c=a⊗（b⊗c）C．（a⊗b）2=a2⊗b2 D．c•（a⊗b）=（c•a）⊗（c•b）（c＞0）二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把最简单结果填在题后的横线上）13．用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个是钝角”时，第一步是：“假设______．14．如表是某厂1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：月份x 1 2 3 4用水量y 4.5 a 3 2.5由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是=﹣0.7x+5.25，则a等于______．15．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体P﹣ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则=______．16．以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间．例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B．现有如下命题：①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”；②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B．④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B．其中的真命题有______．（写出所有真命题的序号）三．解答题（本大题共6小题，70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知复数z=bi（b∈R），是实数，i是虚数单位．（1）求复数z；（2）若复数（m+z）2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围．18．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形．（Ⅰ）求出f（5）；（Ⅱ）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f（n+1）与f（n）的关系式，并根据你得到的关系式求f（n）的表达式．19．电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．如图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图；将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表．非体育迷体育迷合计男女合计（2）根据列联表的独立性检验，有多大的把握认为“体育迷”与性别有关？（3）将日均收看该体育项目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．参考公式：x2=（其中n=a+b+c+d）x2≤2.706 x2＞2.706 x2＞3.841 x2＞6.635是否有关联没有关联90% 95% 99%20．（1）已知：△ABC的三条边分别为a，b，c．求证：＞；（2）已知a、b、c∈R+，a+b+c=1，求证++≥9．21．过点P（﹣1，0）作倾斜角为a直线与曲线相交于M、N两点（1）写出直线MN的参数方程；（2）求PM•PN的最小值．22．已知曲线C1的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2sinθ．（1）写出C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；（2）已知点M1、M2的极坐标分别为和（2，0），直线M1M2与曲线C2相交于P，Q两点，射线OP与曲线C1相交于点A，射线OQ与曲线C1相交于点B，求的值．2015-2016学年安徽省安庆一中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的，把正确答案的代号填在括号内.）1．设z=i（i是虚数单位），则+z2=（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．1﹣2i D．1+2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把复数z=i直接代入，然后利用复数的平方和加法运算求解．【解答】解： +z2=+（i）2=﹣1﹣2i，故选：B．2．在线性回归模型y=bx+a+e中，下列说法正确的是（）A．y=bx+a+e是一次函数B．因变量y是由自变量x唯一确定的C．因变量y除了受自变量x的影响外，可能还受到其它因素的影响，这些因素会导致随机误差e的产生D．随机误差e是由于计算不准确造成的，可以通过精确计算避免随机误差e的产生．【考点】回归分析的初步应用．【分析】根据线性回归的定义可知选项A的真假；根据线性回归方程做出的y的值是一个预报值，不是由x唯一确定，故可知B的真假；y除了受自变量x的影响之外还受其他因素的影响，得到C正确；随机误差不是由于计算不准造成的，故D不正确．【解答】解：根据线性回归的定义，按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析，故A不正确；根据线性回归方程做出的y的值是一个预报值，不是由x唯一确定，故B不正确；y除了受自变量x的影响之外还受其他因素的影响，故C正确；随机误差不是由于计算不准造成的，故D不正确．故选C．3．如图是一个商场某一个时间制订销售计划时的局部结构图，则“计划”受影响的主要要素有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】结构图．【分析】组织结构图是从上往下画的，故“计划”隶属“政府行为”、“策划部”和“社会需求”的共同下级，受“政府行为”、“策划部”和“社会需求”的影响．【解答】解：组织结构图是从上往下画的，故“计划”隶属“政府行为”、“策划部”和“社会需求”的共同下级，受“政府行为”、“策划部”和“社会需求”的影响．则“计划”受影响的主要要素有3个故选C4．有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误 D．非以上错误【考点】进行简单的演绎推理．【分析】本题考查的知识点是演绎推理的基本方法及整数的，在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“有些…”，不难得到结论．【解答】解：∵大前提的形式：“有些有理数是真分数”，不是全称命题，∴不符合三段论推理形式，∴推理形式错误，故选C．5．极坐标方程（ρ﹣1）（θ﹣π）=0（ρ≥0）表示的图形是（）A．两个圆B．两条直线C．一个圆和一条射线 D．一条直线和一条射线【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】由题中条件：“（ρ﹣1）（θ﹣π）=0”得到两个因式分别等于零，结合极坐标的意义即可得到．【解答】解：方程（ρ﹣1）（θ﹣π）=0⇒ρ=1或θ=π，ρ=1是半径为1的圆，θ=π是一条射线．故选C．6．两个量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是（）A．模型1的相关指数R2为0.99 B．模型2的相关指数R2为0.88C．模型3的相关指数R2为0.50 D．模型4的相关指数R2为0.20【考点】相关系数．【分析】两个变量y与x的回归模型中，它们的相关指数R2，越接近于1，这个模型的拟合效果越好，在所给的四个选项中0.99是相关指数最大的值，得到结果．【解答】解：两个变量y与x的回归模型中，它们的相关指数R2，越接近于1，这个模型的拟合效果越好，在所给的四个选项中0.99是相关指数最大的值，∴拟合效果最好的模型是模型1．故选A．7．执行程序框图，如果输入的t∈，则输出的s属于（）A． B． C． D．【考点】程序框图；分段函数的解析式求法及其图象的作法．【分析】本题考查的知识点是程序框图，分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算一个分段函数的函数值，由条件为t＜1我们可得，分段函数的分类标准，由分支结构中是否两条分支上对应的语句行，我们易得函数的解析式．【解答】解：由判断框中的条件为t＜1，可得：函数分为两段，即t＜1与t≥1，又由满足条件时函数的解析式为：s=3t；不满足条件时，即t≥1时，函数的解析式为：s=4t﹣t2故分段函数的解析式为：s=，如果输入的t∈，画出此分段函数在t∈时的图象，则输出的s属于．故选A．8．若复数3+i和2+3i对应的点分别为P和Q，则向量对应的复数为（）A．5+4i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的几何意义及向量的运算即可得出．【解答】解：∵复数3+i和2+3i对应的点分别为P和Q，∴，，∴=（2，3）﹣（3，1）=（﹣1，2）．∴向量对应的复数为﹣1+2i．故选C．9．直线y=2x+1的参数方程是（）A．（t为参数）B．（t为参数）C．（t为参数）D．（θ为参数）【考点】直线的参数方程．【分析】由已知y=2x=1，可化为点斜式方程：y+1=2（x+1），令x+1=t，则y+1=2t，即可化为直线的参数方程．【解答】解：∵y=2x+1，∴y+1=2（x+1），令x+1=t，则y+1=2t，可得，即为直线y=2x+1的参数方程．故选：B．10．若|z﹣3﹣4i|≤2，则|z|的最大值是（）A．．9 B．7 C．5 D．3【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由于|z﹣3﹣4i|≥|z|﹣|﹣3﹣4i|，结合条件可得|z|﹣|﹣3﹣4i|≤2，|z|≤|﹣3﹣4i|+2，从而求得|z|的最大值．【解答】解：∵|z﹣3﹣4i|≤2，|z﹣3﹣4i|≥|z|﹣|﹣3﹣4i|，∴|z|﹣|﹣3﹣4i|≤2，|z|≤|﹣3﹣4i|+2=7，故|z|的最大值是7．故选：B．11．设f0（x）=cosx，f1（x）=f0′（x），f2（x）=f1′（x），…，f n（x）=f n′（x）（n∈N），则+1f2016（x）=（）A．sinx B．﹣sinx C．cosx D．﹣cosx【考点】导数的几何意义．【分析】求出f1（x）=f0′（x）=﹣sinx，f2（x）=f1′（x）=﹣cosx，f3（x）=f2′（x）=sinx，f4（x）=f3′（x）=cosx…从第五项开始，f n（x）的解析式重复出现，每4次一循环，由此能求出f2016（x）的值．【解答】解：∵设f0（x）=cosx，f1（x）=f0′（x），f2（x）=f1′（x），…，f n+1（x）=f n′（x）（n∈N），∴∵f0（x）=cosx，∴f1（x）=f0′（x）=﹣sinx，f2（x）=f1′（x）=﹣cosx，f3（x）=f2′（x）=sinx，f4（x）=f3′（x）=cosx…从第五项开始，f n（x）的解析式重复出现，每4次一循环．（x）=f0（x）=cosx，∴f2016（x）=f4×504故选：C．12．若定义运算：；，例如2⊗3=3，则下列等式不能成立的是（）A．a⊗b=b⊗a B．（a⊗b）⊗c=a⊗（b⊗c）C．（a⊗b）2=a2⊗b2 D．c•（a⊗b）=（c•a）⊗（c•b）（c＞0）【考点】函数的概念及其构成要素．【分析】利用题中的新定义知a⊗b表示a，b中的最大值，分别对各选项判断表示的值．【解答】解：由题中的定义知a⊗b表示a，b中的最大值a⊗b与b⊗a表示的都是a，b中的最大值（a⊗b）⊗c与a⊗（b⊗c）表示的都是a，b，c中的最大值c•（a⊗b）表示a，b的最大值与c的乘积；（c•a）⊗（c•b）表示c•a与c•b中最大值故c•（a ⊗b）=（c•a）⊗（c•b）故A、B、D都对故选C二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把最简单结果填在题后的横线上）13．用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个是钝角”时，第一步是：“假设三角形的内角中至少有两个钝角．【考点】反证法．【分析】写出命题“三角形的内角中至多有一个是钝角”的否定为，即为所求．【解答】解：根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设命题的否定成立，而命题“三角形的内角中至多有一个是钝角”的否定为：“三角形的内角中至少有两个钝角”，故答案为“三角形的内角中至少有两个钝角”．14．如表是某厂1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：月份x 1 2 3 4用水量y 4.5 a 3 2.5由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是=﹣0.7x+5.25，则a等于4．【考点】线性回归方程．【分析】首先求出x，y的平均数，根据所给的线性回归方程知道b的值，根据样本中心点满足线性回归方程，把样本中心点代入，得到关于a的一元一次方程，解方程即可．【解答】解：由题意，=（1+2+3+4）=2.5，=（4.5+a+3+2.5）=2.5+a，将（2.5，2.5+a）代入线性回归直线方程是=﹣0.7x+5.25，可得2.5+a=﹣1.75+5.25，所以a=4．故答案为：4．15．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体P﹣ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则=．【考点】类比推理．【分析】平面图形类比空间图形，二维类比三维得到类比平面几何的结论，则正四面体的外接球和内切球的半径之比是3：1，从而得出正四面体P﹣ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2之比．【解答】解：从平面图形类比空间图形，从二维类比三维，可得如下结论：正四面体的外接球和内切球的半径之比是3：1故正四面体P﹣ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2之比等于==．故答案为：．16．以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间．例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B．现有如下命题：①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”；②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B．④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B．其中的真命题有①③④．（写出所有真命题的序号）【考点】命题的真假判断与应用；充要条件；全称命题；特称命题；函数的值域．【分析】根据题中的新定义，结合函数值域的概念，可判断出命题①②③是否正确，再利用导数研究命题④中函数的值域，可得到其真假情况，从而得到本题的结论．【解答】解：（1）对于命题①，若对任意的b∈R，都∃a∈D使得f（a）=b，则f（x）的值域必为R．反之，f（x）的值域为R，则对任意的b∈R，都∃a∈D使得f（a）=b，故①是真命题；（2）对于命题②，若函数f（x）∈B，即存在一个正数M，使得函数f（x）的值域包含于区间．∴﹣M≤f（x）≤M．例如：函数f（x）满足﹣2＜f（x）＜5，则有﹣5≤f（x）≤5，此时，f（x）无最大值，无最小值，故②是假命题；（3）对于命题③，若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）值域为R，f（x）∈（﹣∞，+∞），并且存在一个正数M，使得﹣M≤g（x）≤M．故f（x）+g（x）∈（﹣∞，+∞）．则f（x）+g（x）∉B，故③是真命题；（4）对于命题④，∵﹣≤≤，当a＞0或a＜0时，aln（x+2）∈（﹣∞，+∞），f（x）均无最大值，若要使f（x）有最大值，则a=0，此时f（x）=，f（x）∈B，故④是真命题．故答案为①③④．三．解答题（本大题共6小题，70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知复数z=bi（b∈R），是实数，i是虚数单位．（1）求复数z；（2）若复数（m+z）2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围．【考点】复数代数形式的混合运算；复数的基本概念．【分析】（1）由z=bi（b∈R），化简为．根据是实数，可得，求得b的值，可得z的值．（2）化简（m+z）2为（m2﹣4）﹣4mi，根据复数f（4）所表示的点在第一象限，可得，解不等式组求得实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵z=bi（b∈R），∴===．又∵是实数，∴，∴b=﹣2，即z=﹣2i．（2）∵z=﹣2i，m∈R，∴（m+z）2=（m﹣2i）2=m2﹣4mi+4i2=（m2﹣4）﹣4mi，又∵复数f（4）所表示的点在第一象限，∴，…解得m＜﹣2，即m∈（﹣∞，﹣2）时，复数f（4）所表示的点在第一象限．18．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形．（Ⅰ）求出f（5）；（Ⅱ）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f（n+1）与f（n）的关系式，并根据你得到的关系式求f（n）的表达式．【考点】归纳推理；进行简单的合情推理．【分析】（I）先分别观察给出正方体的个数为：1，1+4，1+4+8，…从而得出f（5）；（II）将（I）总结一般性的规律：f（n+1）与f（n）的关系式，再从总结出来的一般性的规律转化为特殊的数列再求解即得．【解答】解：（Ⅰ）∵f（1）=1，f（2）=5，f（3）=13，f（4）=25，∴f（2）﹣f（1）=4=4×1．f（3）﹣f（2）=8=4×2，f（4）﹣f（3）=12=4×3，f（5）﹣f（4）=16=4×4∴f（5）=25+4×4=41．…（Ⅱ）由上式规律得出f（n+1）﹣f（n）=4n．…∴f（2）﹣f（1）=4×1，f（3）﹣f（2）=4×2，f（4）﹣f（3）=4×3，…f（n﹣1）﹣f（n﹣2）=4•（n﹣2），f（n）﹣f（n﹣1）=4•（n﹣1）…∴f（n）﹣f（1）=4=2（n﹣1）•n，∴f（n）=2n2﹣2n+1．…19．电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．如图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图；将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表．非体育迷体育迷合计男女合计（2）根据列联表的独立性检验，有多大的把握认为“体育迷”与性别有关？（3）将日均收看该体育项目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．参考公式：x2=（其中n=a+b+c+d）x2≤2.706 x2＞2.706 x2＞3.841 x2＞6.635是否有关联没有关联90% 95% 99%【考点】独立性检验的应用．【分析】（1）根据所给的频率分布直方图得出数据列出列联表；（2）代入公式计算得出x2，与3.841比较即可得出结论；（3）由题意，列出所有的基本事件，计算出事件“任选3人，至少有1人是女性”包含的基本事件数，即可计算出概率．【解答】解：（1）由已知得：非体育迷体育迷总计男28 17 45女45 10 55总计73 27 100（2）将2×2列联表中的数据代入公式计算，得x2=≈4.82因为4.82＞3.841，所以有理由认为“体育迷”与性别有关…6分（3）由频率分布直方图知，“超级体育迷”为5人，从而一切可能结果所的基本事件空间为Ω={（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）}其中a i表示男性，i=1，2，3，b i表示女性，i=1，2…9分Ω由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A表示事件“任选3人，至少有1人是女性”．则A={（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）}事件A有7个基本事件组成，因而P（A）=…12分．20．（1）已知：△ABC的三条边分别为a，b，c．求证：＞；（2）已知a、b、c∈R+，a+b+c=1，求证++≥9．【考点】不等式的证明．【分析】（1）运用分析法证明，运用不等式的性质和三角形的三边的关系，即可得证．（2）利用“1”的代换，结合基本不等式即可证明．【解答】证明：（1）要证成立，只需证只需证，只需证只需证1+c＜1+a+b，只需证c＜a+b∵a，b，c是△ABC的三条边∴c＜a+b成立，原不等式成立．…（2）∵a+b+c=1∴===∵，同理：，．∴．…21．过点P（﹣1，0）作倾斜角为a直线与曲线相交于M、N两点（1）写出直线MN的参数方程；（2）求PM•PN的最小值．【考点】直线的参数方程；参数方程的优越性．【分析】（1）由已知中直线MN过点P（﹣1，0）且倾斜角为a，根据直线参数方程的定义，将P点坐标和倾斜角代入即可得到直线MN的参数方程；（2）将（1）中所得直线参数方程代入曲线方程，并将其化为一个关于t的一元二次方程，根据|PM|•|PN|=|t1•t2|，结合韦达定理和余弦函数的性质，即可求出PM•PN 的最小值．【解答】解：（1）∵直线MN过点P（﹣1，0）且倾斜角为a∴直线MN的参数方程为：（t为参数）…2分（2）将直线MN的参数方程代入曲线得2（﹣1+t•cosα）2+3（t•sinα）2=6，整理得（3﹣cos2α）•t2﹣4cosα•t﹣4=0，…5分设M，N对应的对数分别为t1，t2，则|PM|•|PN|=|t1•t2|=…8分当cosα=0时，|PM|•|PN|取得最小值为…10分22．已知曲线C1的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2sinθ．（1）写出C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；（2）已知点M1、M2的极坐标分别为和（2，0），直线M1M2与曲线C2相交于P，Q两点，射线OP与曲线C1相交于点A，射线OQ与曲线C1相交于点B，求的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用cos2θ+sin2θ=1，即可曲线C1的参数方程化为普通方程，进而利用即可化为极坐标方程，同理可得曲线C2的直角坐标方程；（2）由点M1、M2的极坐标可得直角坐标：M1（0，1），M2（2，0），可得直线M1M2的方程为，此直线经过圆心，可得线段PQ是圆x2+（y﹣1）2=1的一条直径，可得得OA ⊥OB，A，B是椭圆上的两点，在极坐标下，设，代入椭圆的方程即可证明．【解答】解：（1）曲线C1的普通方程为，化成极坐标方程为，曲线C2的极坐标方程是ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，可得：曲线C2的直角坐标方程为x2+y2=2y，配方为x2+（y﹣1）2=1．（2）由点M1、M2的极坐标分别为和（2，0），可得直角坐标：M1（0，1），M2（2，0），∴直线M1M2的方程为，化为x+2y﹣2=0，∵此直线经过圆心（0，1），∴线段PQ是圆x2+（y﹣1）2=1的一条直径，∴∠POQ=90°，由OP⊥OQ得OA⊥OB，A，B是椭圆上的两点，在极坐标下，设，分别代入中，有和，∴，，则，即．2016年10月2日。

安徽省安庆市2023-2024学年高二下学期第一次阶段性检测（期中）数学试题（答案在最后）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.从0，1，2，5中取三个不同的数字，组成能被5整除的三位数，则不同三位数有（）A.12个B.10个C.8个D.7个【答案】B 【解析】【分析】根据能被5整除的数的特征，分类讨论，结合排列组合即可求解.【详解】能被5整除的三位数末位数字得是0或5，当末位数字为0时，此时有23A 6=个符合条件的三位数，当末位数字为5时，此时有224⨯=个符合条件的三位数，因此一共有4610+=个，故选：B2.质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测，对此建筑构件实施两次打击，若没有受损，则认为该构件通过质检.若第一次打击后该构件没有受损的概率为0.85，当第一次没有受损时第二次实施打击也没有受损的概率为0.80，则该构件通过质检的概率为（）A.0.4 B.0.16C.0.68D.0.17【答案】C 【解析】【分析】运用概率乘法公式求解即可.【详解】设i A 表示第i 次打击后该构件没有受损，1,2i =，则由已知可得1()0.85P A =，21(|)0.8P A A =，所以由乘法公式可得12121()()(|)0.850.80.68P A A P A P A A ==⨯=，即该构件通过质检的概率是0.68.故选：C.3.已知322()nx x +的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为（）A .60B.80C.100D.120【答案】B【解析】【分析】根据各项系数和求出n ，再由二项展开式通项公式求解即可.【详解】当1x =时，3243n =，解得5n =，则322(n x x +的展开式第1r +项351532155152552C ()()C 2C 2r r r r r r r r r rr T x x x x x----+===，令1550r -=，解得3r =，所以335C 210880=⨯=，故选：B4.函数()e e 4ln 1x xf x x --=+的大致图象是（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据函数解析式，求函数定义域，奇偶性，特殊值利用排除法逐一判断各个选项.【详解】由题意得4ln 10x +≠，即1ln 4x ≠-，得14e x -≠±，且0x ≠，所以()f x 的定义域为14e ,0x x x -⎧⎫⎪⎪≠±≠⎨⎬⎪⎪⎩⎭且；又()()e e e e 4ln 14ln 1x x x x f x f x x x -----==-=--++，所以()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，排除B ，C ；又11111ee ee411e e e e 0e ,01e e 34ln 1ef -----⎛⎫<<==< ⎪-⎝⎭+，所以排除D ．故选：A ．5.若随机变量X 的分布列为X －2－10123P0.10.20.20.30.10.1则当P (X ＜a )＝0.8时，实数a 的取值范围是（）A.(－∞，2] B.[1，2]C.(1，2] D.(1，2)【答案】C 【解析】【分析】根据分布列可得P (X ＜0)＝0.3，P (X ＜1)＝0.5，P (X ＜2)＝0.8，即可确定m 的取值范围.【详解】由随机变量X 的分布列知：P (X ＜－1)＝0.1，P (X ＜0)＝0.3，P (X ＜1)＝0.5，P (X ＜2)＝0.8，则当P (X ＜a )＝0.8时，实数a 的取值范围是(1，2]．故选：C6.1231C +2C +4C 2C n n n n n n -++= （）A.3nB.2·3nC.32n－1D.312n -【答案】D 【解析】【分析】根据条件结合()12n+的展开式即得.【详解】1231C +2C +4C 2C n n n n n n -++=()11223312C +2C +2C 2C 2n n n n n n ++ ()00112233112C +2C +2C +2C 2C 22n n n n n n n =++- ()113112222n n-=+-=.故选：D.7.已知函数()()2*cos Nf n n n n π=∈，且()()1naf n f n =++，则123100a a a a ++++=L （）A.100-B.0C.100D.10200【答案】A 【解析】【分析】对n 分成偶数和计算两种情况进行分类讨论，结合分组求和法求得正确答案.【详解】若n 为偶数，则cos 1n π=，()cos 11n π+=-，所以()()()221121n a f n f n n n n =++=-+=--，所以数列{}n a 的偶数项是首项为25a =-，公差为4-的等差数列；若n 为奇数，则cos 1n π=-，()cos 11n π+=，所以()()()221121n a f n f n n n n =++=-++=+，所以数列{}n a 的奇数项是首项为13a =，公差为4的等差数列.所以()()123100139924100a a a a a a a a a a ++++=+++++++ ()()504950495034505410022⨯⨯=⨯+⨯+⨯-+⨯-=-.故选：A8.已知离散型随机变量X 服从二项分布(),B n p ，其中N ,01n p *∈<<，记X 为奇数的概率为a ，X 为偶数的概率为b ，则下列说法中不正确的是（）A.1a b += B.12p =时，a b =C.102p <<时，a 随着n 的增大而增大 D.112p <<时，a 随着n 的增大而减小【答案】D 【解析】【分析】结合概率基本性质可判断A 项，由二项分布概率通项公式可求得a 、b 即可判断B 项，结合二项式定理展开式可得()1122np a --=，分别研究102p <<与112p <<时()1122np a --=的单调性可判断C 项、D 项.【详解】对于A 选项，由概率的基本性质可知，1a b +=，故A 项正确；对于B 选项，由12p =时，离散型随机变量X 服从二项分布1,2B n ⎛⎫⎪⎝⎭，则()()11C 10,1,2,3,,22kn kk nP X k k n -⎛⎫⎛⎫===-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()1351111C C C 2222nnn n n n a -⎛⎫⎛⎫=+++=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()0241111C C C 2222nnn n n n b -⎛⎫⎛⎫=+++=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以a b =，故B 项正确；对于C 选项、D 选项，()()()1111222n nnp p p p p a ⎡⎤⎡⎤-+-----⎣⎦⎣⎦==，当102p <<时，()1122np a --=为正项且单调递增的数列，故a 随着n 的增大而增大，故C 项正确，当112p <<时，()12np -为正负交替的摆动数列，故D 项不正确.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选得0分．9.设离散型随机变量X 的分布列为X01234Pq0.40.10.20.2若离散型随机变量Y 满足21Y X =+，则下列结果正确的有A.0.1q = B.2EX =， 1.4DX =C.2EX =， 1.8DX = D.5EY =，7.2DY =【答案】ACD 【解析】【分析】先计算q 的值，然后考虑EX 、DX 的值，最后再计算EY 、DY 的值.【详解】因为0.40.10.20.21q ++++=，所以0.1q =，故A 正确；又00.110.420.130.240.22EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，22222(02)0.1(12)0.4(22)0.1(32)0.2(42)0.2 1.8DX =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=，故C 正确；因为21Y X =+，所以215EY EX =+=，47.2DY DX ==，故D 正确.故选ACD.【点睛】随机变量的均值与方差的线性变化：若随机变量Y 与随机变量X 满足Y aX b =+，则EY aEX b =+，2DY a DX =.10.现有4个小球和4个小盒子，下面的结论正确的是（）A.若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，则共有24种放法B.若4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒的放法共有18种C.若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有144种D.若编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同的放法共有9种【答案】BCD 【解析】【分析】由分步乘法计数原理即可判断A ，由分类加法、分步乘法结合排列、组合的知识可判断B ，由分步乘法、排列、组合的知识可判断C ，由枚举法可判断D ，即可得解.【详解】对于A ，若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，共有44256=种放法，故A 错误；对于B ，若4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒，则一个盒子放3个小球，另一个盒子放1个小球或两个盒子均放2个小球，共有()2242118C A ⋅+=种放法，故B 正确；对于C ，若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒，则两个盒子中各放1个小球，另一个盒子中放2个小球，共有112314323422144C C C A C A ⋅⋅⋅⋅=种放法，故C 正确；对于D ，若编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同，若()2,1,4,3代表编号为1，2，3，4的盒子放入的小球编号分别为2，1，4，3，列出所有符合要求的情况：()2,1,4,3，()4,1,2,3，()3,1,4,2，()2,4,1,3，()3,4,1,2，()4,3,1,2，()2,3,4,1，()3,4,2,1，()4,3,2,1，共9种放法，故D 正确.故选：BCD.【点睛】本题考查了计数原理的综合应用，考查了运算求解能力与分类讨论思想，合理分类、分步，完整枚举是解题关键，属于中档题.11.设数列{}n a 满足1102a <<，()1ln 2n n n a a a +=+-对任意的*n ∈N 恒成立，则下列说法正确的是（）A.2112a << B.{}n a 是递增数列C.2020312a << D.2020314a <<【答案】ABD【解析】【分析】构造函数()()ln 2f x x x =+-，再利用导数判断出函数的单调性，利用单调性即可求解.【详解】由()1ln 2n n n a a a +=+-，1102a <<设()()ln 2f x x x =+-，则()11122xf x x x-'=-=--，所以当01x <<时，()0f x ¢>，即()f x 在()0,1上为单调递增函数，所以函数在10,2⎛⎫⎪⎝⎭为单调递增函数，即()()102f f x f ⎛⎫<<⎪⎝⎭，即()131ln ln 2ln ln 1222f x <<<+<+=，所以()112f x <<，即11(2)2n a n <<≥，所以2112a <<，2020112a <<，故A 正确；C 不正确；由()f x 在()0,1上为单调递增函数，112n a <<，所以{}n a 是递增数列，故B 正确；2112a << ,所以23132131113ln(2)ln ln 222234a a a e =+->+>+=+>因此20202020333144a a a ∴<><>，故D 正确故选：ABD【点睛】本题考查了数列性质的综合应用，属于难题.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.一个盒子里装有3种颜色，大小形状质地都一样的12个球，其中黄球5个，蓝球4个，绿球3个，现从盒子中随机取出两个球，记事件A =“取出的两个球颜色不同”，事件B =“取出一个黄球，一个蓝球”，则()P B A =______.【答案】2047【解析】【分析】求出()P A 、()P AB 的值，利用条件概率公式可求得()P B A 的值.【详解】由题意可得()21254534347C 66P A ⨯+⨯+⨯==，事件AB =“取出一个黄球，一个蓝球”，则()2125410C 33P AB ⨯==，由条件概率公式可得()()()106620334747P AB P B A P A ==⨯=.故答案为：2047.13.中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学．某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则关于“六艺”课程讲座不同排课顺序的种数为________．（用数字作答）【答案】120【解析】【分析】确定排齐方法，第一步根据“射”和“御”两门课程排在前3节和后3节分类讨论．第二步排“数”，第三步排其它3门．【详解】按相邻两门课排在前3节、中间两节及后3节分类，方法数12321321132232232233120C A A A C A A C C A ++=，故答案为：120．【点睛】关键点点睛：本题考查排列组合的综合应用，考查计数原理，解题关键是确定事件完成的方法，是分类还是分步.本题是先按特殊元素分类，然后分步．综合应用分步计数原理和分类计数原理．14.“完全数”是一类特殊的自然数，它的所有正因数的和等于它自身的两倍．寻找“完全数”用到函数()n σ：*n ∀∈N ，()n σ为n 的所有正因数之和，如(6)123612σ=+++=，则(20)σ=_______；(6)n σ=_______．【答案】①.42②.111(21)(31)2n n ++--【解析】【分析】根据()n σ为n 的所有正因数之和，直接计算(20)σ，分析6n 的正因数的特点，利用等比数列求和求解.【详解】根据新定义可得，(20)1245102042σ=+++++=，因为623n n n =⋅正因数0001020101112101223,23,23,,23,23,23,23,,23,,23,23,23,,23n n n n n n n ，所以1122(21)(31)(6)(1222)(1333).2n n nnnσ++--=++++++++= 故答案为：42；111(21)(31)2n n ++--四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.现将两个班的艺术类考生报名表分别装进2个档案袋，第一个档案袋内有6名男生和4名女生的报名表，第二个档案袋内有5名男生和5名女生的报名表．随机选择一个档案袋，然后从中随机抽取2份报名表．（1）若选择的是第一个档案袋，求从中抽到两名男生报名表的概率；（2）求抽取的报名表是一名男生一名女生的概率．【答案】（1）13；（2）4990.【解析】【分析】（1）选择的是第一个档案袋，从中随机抽取2份报名表，基本事件总数21045n C ==，从中抽到两名男生报名表包含的基本事件个数为2615m C ==，由此能求出从中抽到两名男生报名表的概率；（2）设事件i A 表示抽取到第i 个档案袋，(1,2)i =，设事件B 表示抽取的报名表是一名男生一名女生，利用全概率公式能求出抽取的报名表是一名男生一名女生的概率．【小问1详解】（1）第一个档案袋内有6名男生和4名女生的报名表，选择的是第一个档案袋，从中随机抽取2份报名表，基本事件总数21045n C ==，从中抽到两名男生报名表包含的基本事件个数为2615m C ==，∴从中抽到两名男生报名表的概率151453m P n ===．【小问2详解】设事件i A 表示抽取到第i 个档案袋，(1,2)i =，设事件B 表示抽取的报名表是一名男生一名女生，则11()2P A =，21()2P A =，116412108(|)15C C P B A C ==，115522105(|)9C C P B A C ==，∴抽取的报名表是一名男生一名女生的概率为：()P B ()()1122815149(|)(|)1529290P B A P A P B A P A =+=⨯+⨯=．16.数学家也有一些美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想：221nn F =+(N)n ∈是质数.1732年，瑞士数学家欧拉算出56416700417F =⨯，该数不是质数.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且()2log 11n n S F =--()N n +∈（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若21(1)log n n b n a +=+，设为数列2n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求出n T .【答案】（1）12n n a -=（2）221n T n =-+【解析】【分析】（1）由数列{}n a 的通项公式与其前n 项和的关系求其通项公式即可.（2）运用裂项相消法求和即可.【小问1详解】因为()2log 11n n S F =--，221nn F =+，所以()22log 211121nnn S =+--=-；当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，111222nn n n n n a S S ---=-=-=，11a =适合上式，故12n n a -=；【小问2详解】因为12n n a -=，所以12nn a +=，所以212(1)log (1)log 2(1)nn n b n a n n n +=+=+=+，故22112(1)1n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以1111121222231n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ +⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111111221212223111n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，即221n T n =-+.17.某中学为了解本校高二年级学生阅读水平现状，从该年级学生中随机抽取100人进行一般现代文阅读速度的测试，以每位学生平均每分钟阅读的字数作为该学生的阅读速度，将测试结果整理得到如下频率分布直方图：（1）若该校高二年级有1500人，试估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数；（2）用频率估计概率，从该校高二学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为X ，求X 的分布列与数学期望()E X ；（3）若某班有10名学生参加测试，他们的阅读速度如下：506，516，553，592，617，632，667，693，723，776，从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为Y ，试判断数学期望()E Y 与（2）中的()E X 的大小.【答案】（1）600人（2）分布列见解析；() 2.4E X =（3）()()E X E Y =【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图分析数据得频率即可估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数；（2）确定从中任取一人，其阅读速度达到540字/分钟及以上的概率，结合二项分布的概率求解X 的分布列与数学期望()E X 即可；（3）根据超几何分布的概率求解Y 的分布列与数学期望即可得结论.【小问1详解】()015000.003750.0010.000206508⨯++⨯=，故可估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数为600人；【小问2详解】从中任取一人，其阅读速度达到540字/分钟及以上的概率为：()0.0050.003750.0010.00025800.8+++⨯=，X 的可能取值为0、1、2、3，()0330C 0.20.008P X ==⨯=，()1231C 0.80.20.096P X ==⨯⨯=，()2232C 0.80.20.384P X ==⨯⨯=，()0333C 0.80.512P X ==⨯=，则其分布列为：X0123P 0.0080.0960.3840.512其期望为：()30.8 2.4E X =⨯=；【小问3详解】()()E X E Y =，理由如下：这10名学生中，阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为8人，Y 的可能取值为1、2、3，()1282310C C 811C 12015P Y ====，()2182310C C 5672C 12015P Y ====，()3082310C C 5673C 12015P Y ====，则()177123 2.4151515E Y =⨯+⨯+⨯=，故()()E X E Y =.18.已知函数()()()22ln ln 1f x a x x x x a x =--+++，()g x 为函数()f x 的导函数（1）讨论()g x 的单调性；（2）当1a =时，()()22ln h x x x x f x =+--，若0m >，0n >，且1mn >，证明：()()0h m h n +>.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）首先求出()g x 的解析式，再利用导数求出()g x 的单调区间；（2）首先求出()h x 的解析式，再利用导数说明函数的单调性，即可得到①1m n ≤<或②01m n <≤<两种情况，再分别证明即可.【小问1详解】解：因为()()()22ln ln 1f x a x x x x a x =--+++定义域为()0,∞+，则()()2ln 2a f x a x x x '=-++，即()()2ln 2a g x a x x x=-++，所以()()()()2222221222x a x a x x a a a g x x x x x+--+--'=+-==，当0a ≤时()0g x '>恒成立，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，当0a >时，令()0g x '>解得2a x >，令()0g x '<解得02a x <<，所以()g x 在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，综上可得，当0a ≤时()g x 在()0,∞+上单调递增，当0a >时()g x 在,2a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.【小问2详解】证明：当1a =时()2ln ln 1f x x x x x x =-+++，所以()()22n l 2n 1l h f x x x x x x x x =-=+--+-，()0,x ∈+∞，所以()ln 21h x x x '-=+-，令()ln 21x x x u -=+-，则()1212x x u xx --+='=，所以当12x >时()0u x '>，当102x <<时()0u x '<，即()u x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()1ln 202u x u ⎛⎫≥=> ⎪⎝⎭，即()0h x '>，所以()h x 在()0,∞+上单调递增，不妨设m n <，因为1mn >，所以有①1m n ≤<或②01m n <≤<两种情况，当①1m n ≤<时，因为()h x 在()0,∞+上单调递增，所以()()()10h n h m h >≥=，所以()()0h m h n +>，当②01m n <≤<时，由1mn >，得1m n >，所以()1h m h n ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则()()()11ln 1h n n n m h n h n n n h n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝>+⎭+，由01m n <≤<，所以10n n -+<，令()1ln x x x xϕ=-+，()1,x ∈+∞，则()()2222222131241111x x x x x x x x x x x ϕ⎡⎤⎛⎫--+⎢ ⎪--+⎝⎭-+-⎢⎥⎣⎦'=--===，所以()0x ϕ'<，即()x ϕ在()1,+∞上单调递减，且当x 趋向于1时()x ϕ趋向于0，则()0x ϕ<，所以1ln 0n n n -+<，则11ln 0n n n n n ⎛⎫⎛⎫-+-+> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即()()0h m h n +>，综上可得当0m >，0n >，且1mn >时，()()0h m h n +>.【点睛】关键点点睛：第一问中，根据()g x '的结构，对a 分类讨论；第二问中，对于②，在证明()()0h m h n +>时，利用()1h m h n ⎛⎫> ⎪⎝⎭将双变量变为单变量，再利用导数证明不等式.19.在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列.现连续发射信号n 次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号1的次数为X .（1）当6n =时，求()2P X ≤（2）已知切比雪夫不等式：对于任一随机变量Y ，若其数学期望()E Y 和方差()D Y 均存在，则对任意正实数a ，有()()()21D Y P Y E Y a a -<≥-.根据该不等式可以对事件“()Y E Y a -<”的概率作出下限估计.为了至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在0.4与0.6之间，试估计信号发射次数n 的最小值.【答案】（1）1132（2）1250【解析】【分析】（1）根据二项分布公式计算；（2）运用二项分布公式算出()E X 和()D X ，再根据题意求出()X E X a -<中a 的表达式，最后利用切比雪夫不等式求解.【小问1详解】由已知16,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()()()()2012P X P X P X P X ≤==+=+=652401266611111161511C C C 2222264646432⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+⋅=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；【小问2详解】由已知1,2X B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()()0.5,0.25E X n D X n ==，若0.40.6X n≤≤，则0.40.6n X n ≤≤，即0.10.50.1n X n n -≤-≤，即0.50.1X n n -≤.由切比雪夫不等式()20.250.50.11(0.1)n P X n n n -≤≥-，要使得至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在0.4与0.6之间，则20.2510.98(0.1)n n -≥，解得1250n ≥，所以估计信号发射次数n 的最小值为1250；综上，()11232P X ≤=，估计信号发射次数n 的最小值为1250.。

安徽省安庆高二下学期期中考试数学（理）试卷一．选择题 (3*10=30分)1．在“近似代替”中，函数)(x f 在区间],[1+i i x x 上的近似值（ ）A.只能是左端点的函数值)(i x fB.只能是右端点的函数值)(1+i x fC.可以是该区间内的任一函数值()∈i i f ξξ(],[1+i i x x ）D.以上答案均正确 2．下面几种推理过程是演绎推理的是 （ ）A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果A ∠和B ∠是两条平行直线的同旁内角， 则180A B ∠+∠=︒．B ．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质．C ．某校高二共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人， 由此推测各班都超过50人．D ．在数列{}n a 中()111111,22n n n a a a n a --⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭，由此归纳出{}n a 的通项公式． 3．在数学归纳法证明“1211(1)1n na a a a a n a+*-++++=≠∈-N ，”时，验证当1n =时，等式的左边为（ ）Ａ．1 Ｂ．1a - Ｃ．1a + Ｄ．21a -4．用反证法证明命题“a b ∈N ，，如果ab 可被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除．则假设的内容是（ ）Ａ．a ，b 都能被5整除 Ｂ．a ，b 都不能被5整除Ｃ．a 不能被5整除 Ｄ．a ，b 有1个不能被5整除 5. 设0＜x ＜1，则的最小值为（ ）326.()4, C.4,2 D.8,6f x x px qx x y p q ==-极小值已知++的图像与轴切于非原点的一点，， 则分别为（ ）A.6,9B.9,67．设()f x 在[]a b，上连续，则()f x在[]a b，上的平均值是（ ） Ａ．()()2f a f b + Ｂ．()b a f x dx ⎰Ｃ．1()2b a f x dx ⎰ Ｄ．1()baf x dx b a -⎰4218.,122A.1B.0C.3+i ωωω=-+++=若则（ ）9．)(),(x g x f 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0<x 时，0)()()()(<'+'x g x f x g x f 且(1)0f -=则不等式0)()(<x g x f 的解集为（ ）A ．（－1，0）∪（1，+∞）B ．（－1，0）∪（0，1）C ．（－∞，－1）∪（1，+∞）D ．（－∞，－1）∪（0，1）121222()()(,(),,,1x f x g x x e f x g x x x R e x x k k k +-==∀∈≤++10.设）对有恒成立， 则正数的取值范围 （ ）.(0,1)A .(0,)B +∞ [).1,C +∞ 21.,21D e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭二．填空题 (3*5=15分)11．一同学在电脑中打出如下图形（○表示空心圆，●表示实心圆）○●○○●○○○●○○○○●若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前2010个圆中有实心圆的个数为 ； 12．利用数学归纳法证明“*),12(312)()2)(1(N n n n n n n n∈-⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯=+⋅⋅⋅++ ”时，从“k n =”变到 “1+=k n ”时，左边应增乘的因式是_____________________ ；13.2⎰= ；14．不等式21ln(1)4x x M +-≤恒成立，则M 的最小值为 ； 15. 已知函数x b ae x f xln )(+=（b a ,为常实数）的定义域为D ，关于函数)(x f 给出下列命题：①对于任意的正数a ，存在正数b ，使得对于任意的D x ∈，都有0)(>x f ． ②当0,0<>b a时，函数)(x f 存在最小值；③若0<ab 时，则)(x f 一定存在极值点；④若0≠ab 时，方程)()('x f x f =在区间（1，2）内有唯一解 其中正确命题的序号是安庆第二学期期中考试高二数学试卷（理科）二．填空题 (4*5=20分)11. ；12. ；13. ；14. ；15. 。

2016—2017学年安徽省安庆高二（下)期中数学试卷（文科）一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分，每小题给出的4个选项中，只有一选项是符合题目要求的)1．已知i是虚数单位，且+i的共轭复数为,则z等于（）A．2 B．1 C．0 D．﹣l2．如图是成品加工流程图，从图中可以看出，即使是一件不合格产品，也必须经过多少道工序（）A．6 B．5或7 C．5 D．5或6或73．以模型y=ce kx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny，其变换后得到线性回归方程z=0.3x+4,则c=（）A．0.3 B．e0。

3C．4 D．e44．若复数z满足|z|=2,则｜1+i+z|的取值范围是（)A．［1,3] B．[1，4］C．[0,3］D．［0,4］5．将等差数列1，4，7…,按一定的规则排成了如图所示的三角形数阵．根据这个排列规则,数阵中第20行从左至右的第2个数是（)A．571 B．574 C．577 D．5806．在三角形中有如下性质：①任意两边之和大于第三边；②中位线长等于底边长的一半；③若内切圆半径为r，周长为l，则面积S=lr；④三角形都有外接圆．将其类比到空间则有：四面体中，①任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；②过同一顶点的三条棱中点的截面面积是第四个面面积的；③若内切球半径为R，表面积为s，则体积V=sR．④四面体都有外接球．其中正确的类比结果是（）A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④7．不等式｜x+1｜﹣｜x﹣2｜≥a2﹣4a的解集为R，则实数a的取值范围是（)A．(﹣∞，1］∪[3，+∞)B．（﹣∞，1)∪（3，+∞）C．［1，3］D．（1，3)8．直线(t为参数）上与点A（﹣2,3)的距离等于的点的坐标是( )A．(﹣4，5）B．（﹣3,4）C．（﹣3，4）或（﹣1，2）D．（﹣4，5）或(0，1）9．直线(t为参数）被曲线所截的弦长为（）A．B．C． D．10．已知实数p＞0，曲线为参数，）上的点A（2，m）,圆为参数）的圆心为点B，若A、B两点间的距离等于圆C2的半径，则p=（）A．4 B．6 C．8 D．1011．已知复数z=x+yi(x,y∈R)，且｜z﹣2｜=，则的最大值为（）A．B．C．2+D．2﹣12．已知x∈（0，），则y=x的最大值为（）A． B． C．D．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分，把最简单结果填在题后的横线上) 13．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案:则第n个图案中有白色地面砖块14．若数列｛a n｝是等差数列,且，则数列｛b n}是等差数列．类比上述性质，相应地，若数列{c n}是等比数列,且c n＞0，d n= ,则有数列{d n}也是等比数列．15．已知复数z=x+yi(x,y∈R）满足条件|z﹣4i|=｜z+2|,则2x+4y的最小值是．16．为了判断高中学生的文理科选修是否与性别有关,随机调查了50名学生,得到如标2×2列联表：理科文科总计男20 525女101525总计302050那么，认为“高中学生的文理科选修与性别有关系”犯错误的概率不超过．三．解答题（本大题共6小题，50分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

C 3H 8C 2H 6CH 4HH H HH HHHH HH HH HC C C C C HH HHC 安庆一中2013—2014学年度第二学期期中考试高二数学试题(文科)参考公式： 用最小二乘法求线性回归方程系数公式1221ˆˆˆni ii nii x y nx ybay bx xnx==-==--∑∑， 21R =-残差平方和总偏差平方和 22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ n a b c d =+++项是符合题目要求的) 1．复数2)2321(i +-对应的点位于复平面的（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．按照下列三种化合物的结构式及分子式的规律，写出下一种化合物的分子式．．．是（ ）.A ．C 4H 9 B ．C 4H 10 C ．C 4H 11 D ．C 6H 12 3．下面的图示中，是流程图的是（ ）A ．①②B ．③④C ．①②③D ．①②③④4．《论语》云：“名不正,则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以名不正，则民无所措手足。

”上述理由用的是( ) A ．合情推理 B ．归纳推理 C ．类比推理 D ．演绎推理 5．若z C ∈且221z i +-=，则12z i --的最小值是：( )A 2B 3C 4D 56．设a ，b ，c 均为正实数，P ＝a ＋b －c ，Q ＝b ＋c －a ，R ＝c ＋a －b ，则“PQR >0”是“P ，Q ，R 都大于0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖”。

四位歌手的话只有两名是对的，则获奖的歌手是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁8．在小时候，我们就用手指练习过数数．一个小朋友按如图所示的规则练习数数，数到2014时对应的指头是（ ）A ．大拇指B ．食指C ．中指D ．无名指9．如果函数y =f （x ）的图象如下图，那么导函数y =()f x '的图象可能是10..在一次对性别与是否说谎的调查中，得到如下数据，根据表中数据得到如下结论中正确的是（ ）。

安徽省安庆市第一中学2015-2016学年高二下学期期中考试数学（文）一、选择题：共12题1．设z＝i (i是虚数单位),则2＋z2＝ZA.-1+2iB.-1-2iC.1-2iD.1＋2i【答案】B【解析】本题主要考查复数代数形式的乘除运算.＋z2＝−2i−1=−1−2i.因为z＝i,所以2z故选B.2．在线性回归模型y＝bx＋a＋e中，下列说法正确的是A.y＝bx＋a＋e是一次函数B.因变量y是由自变量x唯一确定的C.因变量y除了受自变量x的影响外，可能还受到其他因素的影响，这些因素会导致随机误差e的产生D.随机误差e是由于计算不准确造成的，可以通过精确计算避免随机误差e的产生【答案】C【解析】线性回归模型y＝bx＋a＋e，反映了变量x，y间的一种线性关系，预报变量y 除受解释变量x影响外，还受其他因素的影响，用e来表示，故C正确.3．如图是某一商场某一个时间制定销售计划时的局部结构图，则“计划”受直接影响的主要要素有A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解析】直接影响该计划的要素有政府行为、策划部和社会需求，共3个.4．有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数,整数是有理数,则整数是真分数”结论显然是错误的,是因为A.推理形式错误B.大前提错误C.小前提错误D.非以上错误【答案】A【解析】本题主要考查演绎推理的主要形式,就是由大前提、小前提推出结论的三段论推理.三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是:若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的子集,那么S中所有元素都具有性质P.三段论的公式中包含三个判断:第一个判断称为大前提,它提供了一个一般原理;第二个判断叫小前提,它指出了一个特殊情况;这两个判断联合起来,揭示了一般原理和特殊情况的内在联系,从而产生了第三个判断结论.演绎推理是一种必然性推理,演绎推理的前提与结论之间有蕴含关系.因而,只要前提是真实的,推理的形式是正确的,那么结论必定是真实的,但错误的前提可能导致错误的结论.因为大前提的形式:“有些有理数是真分数”,不是全称命题,所以不符合三段论推理形式,故推理形式错误,故选A.5．极坐标方程(ρ−1)(θ−π)=0(ρ≥0)表示的图形是A.两个圆B.两条直线C.一个圆和一条射线D.一条直线和一条射线【答案】C【解析】本题主要考查极坐标方程. 因为(ρ−1)(θ−π)=0(ρ≥0)，所以ρ=1或θ=π，其中ρ=1表示原点在极点，半径为1的圆；θ=π表示过原点且倾斜角为π的射线，故选C.6．两个变量y与x的回归模型中,分别选择了4个不同模型,它们的相关指数R2如下,其中拟合效果最好的模型是A.模型1的相关指数R2为0.99B.模型2的相关指数R2为0.88C.模型3的相关指数R2为0.50D.模型4的相关指数R2为0.20【答案】A【解析】本题主要考查相关指数,这里不用求相关指数,而是根据所给的相关指数判断模型的拟合效果,这种题目解题的关键是理解相关指数越大拟合效果越好.两个变量y与x的回归模型中,它们的相关指数R2,越接近于1,这个模型的拟合效果越好,在所给的四个选项中0.99是相关指数最大的值,所以拟合效果最好的模型是模型1.故选A.7．执行如图所示的程序框图,如果输入的t ∈,则输出的s 属于A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查程序框图中的条件结构,该程序的作用是计算一个分段函数的函数值,由条件为t <1可得,分段函数的分类标准,由分支结构中是否两条分支上对应的语句行,我们可得函数的解析式,从而确定s 的区间.执行程序框图,有输入的t ∈,∴S ={S =3t t <0S =4t −t 2 t ≥0输出S 的值,由−1≤t <0时,S =3t ∈[−3,0);当0≤t ≤3时,S =4t −t 2∈[0,4],此分段函数在t ∈时,输出的S 属于[−3,4].故选B.8．若复数3+i 与2+3i 对应的点分别为P 与Q ,则向量PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为 A.5+4i B.1-2i C.-1+2i D.−sinx【答案】C【解析】本题主要考查复数的几何意义以及向量的运算.因为复数3+i 与2+3i 对应的点分别为P 与Q,∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1),OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3),∴PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2),∴向量PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为−1+2i.故选C.9．下列可以作为直线y =2x +1的参数方程是A.{x =t 2y =2t 2+1(t 为参数) B.{x =2t −1y =4t +1(t 为参数) C.{x =t −1y =2t −1(t 为参数) D.{x =sinθ y =2sinθ+1(t 为参数) 【答案】C【解析】本题主要考查坐标系与参数方程,直线的普通方程化为参数方程.分别将选项中的参数方程进行消参可得A:y =2x +1(x ≥0)表示射线,B:表示直线y =2x +3;C :表示直线y =2x +1;D:表示线段y =2x +1,(xϵ[−1,1]).故选C.10．若|z −3−4i|≤2,则|z|的最大值是A.9B.7C.5D.3【答案】B【解析】本题主要考查了复数的模以及复数模的几何意义.因为|z −3−4i |≤2,所以点z 在以(3,4)为圆心,以2 为半径的圆及其内部,所以|z |的最大值为圆心到原点的距离加半径,即为√32+42+2=7.故选B.11．设f 0(x )=cosx,f 1(x)=f 0′(x),f 2(x)=f 1′(x),…,f n+1(x)=f n′(x)(n ∈N),则f 2 016(x)= A.−sinx B.sinx C.−cosx D.cosx【答案】D【解析】本题主要考查三角函数求导、函数周期性的应用,考查观察、归纳方法的应用.因为f 1(x )=f 0′(x )=−sinx,f 2(x )=f 1′(x )=−cosx,f 3(x )=f 2′(x )=sinx,f 4(x )=f 3′(x )=cosx,⋯,由此可以看出,以4为周期进行循环,所以f 2 016(x )=f 4(x )=cosx .故选D.12．若定义运算:a ⊗b ={a (a ≥b)b (a <b) ,例如2⊗3=3,则下列等式不能成立的是A.a ⊗b =b ⊗aB.(a ⊗b)2=a 2⊗b 2C.(a ⊗b)⊗c =a ⊗(b ⊗c)D.c ⋅(a ⊗b)=(c ⋅a)⊗(c ⋅b)(c >0) 【答案】B【解析】本题主要考查学生对新定义的理解,新定义在近几年的高考中是常考点. 由题中的定义可知a ⊗b 表示a,b 中的最大值,a ⊗b 与b ⊗a 表示的都是a,b 中的最大值,(a ⊗b)⊗c 与a ⊗(b ⊗c)表示的都是a,b,c 中的最大值;c ⋅(a ⊗b )表示a,b 的最大值与c 的乘积;(c ⋅a )⊗(c ⋅b )表示c ⋅a 与c ⋅b 中最大值,故c ⋅(a ⊗b)=(c ⋅a)⊗(c ⋅b),故A,C,D 正确.故选B.二、填空题：共4题13．用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时应该假设【答案】三角形中至少有两个钝角.【解析】本题主要考查了反证法的第一步,根据题意得出命题结论的反例是解决问题的关键.根据反证法就是从结论的反面出发进行假设,故证明“三角形的内角中至多有一个钝角”,应假设:三角形中至少有两个钝角.故答案为: 三角形中至少有两个钝角.14．下表是某厂1~4月份用水量(单位:百吨)的一组数据:由散点图可知,用水量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系,其线性回归直线方程 是y ̂＝-0.7x ＋5.25,则a 等于 【答案】4【解析】本题主要考查回归分析,考查样本中心满足回归直线的方程,考查求一组数据的平均数,是一个运算量比较小的题目.因为x̅=2.5,将其代入回归直线方程即可得出y ̅=3.5,所以a =4.故答案为:4.15．在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC 的内切圆面积为S 1,外接圆面积为S 2,则S 1S 2=14.推广到空间几何体中可以得到类似结论：若正四面体ABCD 的内切球体积为V ,外接球体积为V 2,则V1V 2=___________.【答案】127【解析】本题主要考查了类比推理,在平面几何中,正三角形的内切圆和外接圆的半径的比值为12,根据圆的面积公式可知正三角形内切圆和外接圆的面积比为14,类比到空间,因为正四面体的内切球和外接球的半径的比值为13,根据球的体积公式,所以正四面体的内切球和外接球的体积比为1：27,故填127.16．以A 表示值域为R 的函数组成的集合,B 表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合:对于函数φ(x),存在一个正数M,使得函数φ(x)的值域包含于区间.例如,当φ1(x)=x 3,φ2(x)=sin x 时,φ1(x)∈A,φ2(x)∈B.现有如下命题:①设函数f(x)的定义域为D,则“f(x)∈A ”的充要条件是“∀b ∈R,∃a ∈D,f(a)=b ”; ②函数f(x)∈B 的充要条件是f(x)有最大值和最小值;③若函数f(x),g(x)的定义域相同,且f(x)∈A,g(x)∈B,则f(x)+g(x)∉B;(x>-2,a∈R)有最大值,则f(x)∈B.④若函数f(x)=aln(x+2)+xx2+1其中的真命题有.(写出所有真命题的序号)【答案】①③④【解析】本题主要考查充分必要条件、函数最值等基础知识,考查考生分析问题和解决问题的能力、计算能力.对于①,根据题中定义,f(x)∈A⇔函数y=f(x),x∈D的值域为R,由函数值域的概念知,函数y=f(x),x∈D的值域为R⇔∀b∈R,∃a∈D,f(a)=b,所以①正确;对)|x|的值域(0,1-1,1-M1,M1-M2,M21+2+…+(n﹣2)+(n﹣1)hslx3y3h=2(n于②,例如函数f(x)=(12﹣1)·n,∴f(n)=2n2﹣2n+1.【解析】本题主要考查归纳推理,其基本思路是先分析具体,观察,总结其内在联系,得到一般性的结论,若求解的项数较少,可一直推理出结果,若项数较多,则要得到一般求解方法,再求具体问题.(1)先分别观察给出正方形的个数为:1,1+4,1+4+8,⋯从而得出f(5);(2)讲(1)总结一般性的规律:f(n+1)与f(n)之间的关系式,再从总结出来的一般性的规律转化为特殊的数列再求解即可得出结果.19．电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查,其中女性有55名.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图:将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”,已知“体育迷”中有10名女性.(Ⅰ)根据已知条件完成下面的2×2列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关?(Ⅱ)将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”,已知“超级体育迷”中有2名女性,若从“超级体育迷”中任意选取2名,求至少有1名女性观众的概率.【答案】(Ⅰ)由频率分布直方图可知,在抽取的100名观众中,“体育迷”共25名,从而完成2×2列联表如下:将2×2列联表中的数据代入公式计算,得因为3.030<3.841,所以我们没有理由认为“体育迷”与性别有关.(Ⅱ)由频率分布直方图可知,“超级体育迷”有5名,从而一切可能结果所组成的基本事件空间Ω={(a1,a2),(a1,a3),(a2,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2)}.其中a i表示男性,i=1,2,3.b j表示女性,j=1,2.Ω由10个基本事件组成,而且这些基本事件的出现是等可能的.用A表示“任选2名,至少有1名是女性”这一事件,则A={(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2)},事件A由7个基本事件组成,因而P(A)=710.【解析】本题主要考查利用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式和独立性检验等基础知识,考查考生的数据处理能力及运用概率知识解决简单的实际问题的能力.(Ⅰ)先完成2×2列联表,再把联表中的数据代入到卡方公式中,求出卡方值之后,查表便可以估测;(Ⅱ)分类列出试验和事件的基本事件数,代入古典概型的概率公式即可.【备注】【易错点拨】本题在完成2×2列联表时,很容易将列联表中的数据填错,这就会造成卡方值求错,这就提醒我们在解统计问题时,要细心、谨慎处理数据.20．(1)已知:△ABC的三条边分别为a,b,c,求证:a+b1+a+b >c1+c;(2)已知a,b,c∈R+,a+b+c=1,求证1a +1b+1c≥9.【答案】证明:(1)要证a+b1+a+b >c1+c成立,只需证1−11+a+b >1−11+c只需证−11+a+b>−11+c,只需证11+a+b <11+c只需证1+c<1+a+b, 只需证c<a+b,∵a,b,c 是△ABC 的三条边∴c <a +b 成立,原不等式成立. (2)∵a +b +c =1, ∴1a +1b +1c =a+b+c a+a+b+c b+a+b+c c=(1+b a +c a )+(a b +1+c b )+(a c +bc+1) =3+(b a +a b )+(c a +a c )+(c b +b c)∵b a +a b ≥2√b a⋅ab=2,同理:ca +ac ≥2,cb +bc ≥2. ∴1a +1b +1c ≥3+2+2+2=9.【解析】本题主要考查利用分析法证明问题的方法和基本不等式的应用. (1)利用分析法从证明的结论出发,经过推理得出结论成立的条件即可; (2)根据条件可化为1a +1b +1c =a+b+c a+a+b+c b+a+b+c c,应用基本不等式即可证得结论.21．过点P(−1,0)作倾斜角为α的直线与曲线x 23+y 22=1相交于M ,N 两点.(1)写出直线MN 的参数方程; (2)求|PM |·|PN|的最小值.【答案】(1)∵直线MN 过点P (﹣1,0)且倾斜角为a, ∴直线MN 的参数方程为:{x =−1+t ·cos θy =t ·sin θ(t 为参数). (2)将直线MN 的参数方程代入曲线x 23+y 22=1得2(﹣1+t ·cos α)2+3(t ·sin α)2=6, 整理得(3﹣cos 2α)·t 2﹣4cos α·t ﹣4=0, 设M ,N 对应的对数分别为t 1,t 2,则|PM |·|PN |=|t 1·t 2|=43−cos 2ð, 当cos α=0时,|PM |·|PN |取得最小值为43. 【解析】本题主要考查直线的参数方程与参数方程的优越性,其中求出直线的方程,并正确理解参数方程中参数t 的几何意义是解答本题的关键.(1)由已知中直线MN 过点P(−1,0)且倾斜角为a ,根据直线参数方程的定义,将点P 坐标和倾斜角代入即可得到直线MN 的参数方程; (2)将(1)中所得参数方程代入曲线x 23+y 22=1方程,并将其化为一个关于t 的一元二次方程,根据|PM|·|PN|=|t 1·t 2|,结合根与系数的关系和余弦函数的性质,即可得出结果.22．已知曲线C 1的参数方程是{x =2cosθy =sinθ(θ为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程是ρ=2sinθ. (1)写出C 1的极坐标方程和C 2的直角坐标方程;(2)已知点M 1、M 2的极坐标分别为(1,π2)和(2,0),直线M 1M 2与曲线C 2相交于P,Q 两点,射线OP 与曲线C 1相交于点A ,射线OQ 与曲线C 1相交于点B ,求1|OA|2+1|OB|2的值. 【答案】(1)曲线C 1的普通方程为x 24+y 2=1,化成极坐标方程为ρ2cos 2θ4+ρ2sin 2θ=1,曲线C 2的极坐标方程是ρ=2sin θ,可得:曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2=2y ,配方为x 2+(y ﹣1)2=1. (2)由点M 1、M 2的极坐标分别为(1,π2)和(2,0),可得直角坐标:M 1(0,1),M 2(2,0),∴直线M 1M 2的方程为x2+y =1,化为x +2y ﹣2=0, ∵此直线经过圆心(0,1),∴线段PQ 是圆x 2+(y ﹣1)2=1的一条直径,∴∠POQ =90°, 由OP ⊥OQ 得OA ⊥OB , A ,B 是椭圆x 24+y 2=1上的两点,极坐标下,设A (ρ1,θ),B(ρ2,θ+π2), 分别代入ρ2cos 2θ4+ρ2sin 2θ=1中,有ρ12cos 2θ4+ρ12sin 2θ=1和ρ22cos 2(θ+π2)4+ρ22sin 2(θ+π2)=1,∴1ρ12=cos 2θ4+sin 2θ,1ρ22=sin 2θ4+cos 2θ,则1ρ12+1ρ22=54,即1|OA|2+1|OB|2=54.【解析】本题主要考查极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、圆的性质,同时也考查了数形结合思想和化归与转化思想.(1)利用cos 2θ+sin 2θ=1,即可将曲线C 1的参数方程化为普通方程,进而利用{x =ρcosθy =ρsinθ即可化为极坐标方程,同理可得曲线C 2的直角坐标方程;(2)由点M 1、M 2的极坐标可得直角坐标:M 1(0,1),M 2(2,0), 可得直线M 1M 2的方程x2+y =1,此直线经过圆心(0,1),可得线段PQ 是圆x 2+(y ﹣1)2=1的一条直径,可得OA ⊥OB ,A ,B 是椭圆x24+y2=1上的两点,在极坐标下,设A(ρ1,θ),B(ρ2,θ+π2),代入椭圆的方程即可证明.。