上海市奉贤中学高三上开学考试数学试题(无答案)-word文档

2019届上海奉贤区奉贤中学高三上学期开学考试数学试题一、单选题1．空间两条直线a 、b 与直线l 都成异面直线，则a 、b 的位置关系是（ ）． A.平行或相交 B.异面或平行 C.异面或相交 D.平行或异面或相交【答案】D【解析】直线a 、b 与直线l 都成异面直线，a 与b 之间并没有任何限制，所以a 与b 直线的位置关系所有情况都可能． 故选D ．2．奇函数()f x 在区间[]1,4上为减函数，且又最小值2，则它在区间[]4,1--上（ ） A.是减函数，有最大值-2 B.是增函数，有最大值-2 C.是减函数，有最小值-2 D.是增函数，有最小值-2【答案】A【解析】根据奇函数在对称区间上的单调性相同，同时对称区间上的最大值和最小值对应相反，由此判断函数()f x 的单调性和最小值. 【详解】因为区间[]1,4与区间[]4,1--关于原点对称且()f x 是奇函数，所以()f x 在[]4,1--上递减，又因为()f x 在区间[]1,4上的最小值为2，所以()f x 在区间[]4,1--上的最大值为2-，综上可知：()f x 在区间[]4,1--上是减函数，有最大值2-. 故选：A. 【点睛】奇函数在对称区间上的单调性相同，奇函数在对称区间上的最值互为相反数；偶函数在对称区间上的单调性相反，偶函数在对称区间上的最值相同.3．函数y m x =与y = ）A.mB.m >C.1m ≥D.>1m【解析】“函数y=m|x|与”等价于“方程m|x|=”，由此能求出它的充要条件． 解答：解：∵方程m|x|= ∴m≥0，m 2x 2=x 2+1，即（m 2-1）x 2-1=0， 当m=1时，方程为-1=0无意义当m≠1时，有△=4（m 2-1）≥0，∴m≥1或m≤-1（舍）．综上知m ＞1 故选D ．4．数列{}n a 满足11a =，且对于任意的*n N ∈，都有11n n a a a n +=++，则122018111a a a ++⋅⋅⋅+等于（ ） A.20172019B.40362019C.40342019D.20182019【答案】B【解析】根据等式：11n n a a a n +=++，采用累加法计算出{}n a 的通项公式，再采用裂项相消法对122018111a a a ++⋅⋅⋅+进行求和. 【详解】因为11n n a a a n +=++，所以11n n a a n +-=+，所以()12n n a a n n --=≥，所以121n n a a n ---=-，......，则有：()()()()()11221......12......2n n n n a a a a a a n n n ----+-++-=+-+-++， 所以()()()12122n n n a a n +--=≥，所以()()122n n n a n +=≥， 又因为1n =时，11a =符合2n ≥的情况，所以()12n n n a +=，11121na n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， 所以12201811111111403621......223201820192019a a a ⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+-++-= ⎪⎝⎭. 故选：B.采用累加法求解数列的通项公式时，涉及到1n a -时注意标注2n ≥，最后求解出n a 的通项公式后注意验证1n =是否满足条件，如果满足只需要写出整体的通项公式，如果不满足则需要将通项公式写成分段的形式.二、填空题5．设集合{}{}25,log (3),,A a B a b =+=，若{2}A B =，则A B = __________．【答案】{ 1，2，5}【解析】试题分析：解：∵A∩B={2}，∴log 2（a+3）=2．∴a=1．∴b=2．∴A={5，2}，B={1，2}．∴A ∪B={1，2，5}，故答案为{1，2，5}． 【考点】并集点评:本题考查了并集的运算，对数的运算性质，属于容易题．6．74lim 35n n n →∞+=-______.【答案】73【解析】对7435n n +-采用分离常数的方式进行适当变形，使其可以直接计算出极限值.【详解】因为()()7473574747733lim lim lim 353533353n n n n n n n n →∞→∞→∞-+⎡⎤+==+=⎢⎥---⎣⎦，所以747lim353n n n →∞+=-.故答案为：73. 【点睛】本题考查极限的简单计算，难度较易.形如lim n an bcn d→∞++形式的极限式可采用“分离常数”的方法去计算极限.7．抛物线的焦点为椭圆22154x y +=的右焦点，顶点在椭圆的中心，则抛物线方程为________ 【答案】24y x =【解析】由椭圆方程可求得右焦点坐标，从而得到12p=，求得p 后即可得到抛物线方程. 【详解】由椭圆方程知，椭圆右焦点为()1,0 设抛物线方程为：22y px =，则12p= 2p ∴= ∴抛物线方程为：24y x = 故答案为：24y x = 【点睛】本题考查抛物线方程的求解，关键是能够根据椭圆标准方程求得焦点坐标，属于基础题. 8．二项式的展开式中的常数项为 ．【答案】112【解析】试题分析：由二项式通项可得，（r=0,1,…,8）,显然当时，，故二项式展开式中的常数项为112.【考点】二项式通项。

一、单选题二、多选题1. 已知双曲线，过原点的直线与双曲线交于两点，以为直径的圆恰好过双曲线的右焦点C ，若的面积为，则双曲线的渐近线方程为A．B．C．D．2. 已知函数部分图象如图所示.则的值为（）A．B．C．D．3.已知是偶函数，则（ ）A．B ．1C．D ．24. 已知定义在R 上的函数满足：，且时，，则关于的不等式的解集为（ ）A．B．C．D．5. 魔法箱中装有6张卡片，上面分别写着如下六个定义域为的函数：，，，，，，现从魔法箱中任取2张卡片，将卡片上的函数相乘得到一个新函数，所得新函数为奇函数的概率是A．B．C．D．6.已知，，则（ ）A．B．C．D．7.设，则复数的模为（ ）A．B．C ．1D．8. 已知等差数列的公差和首项都不等于,且,,成等比数列，则等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49. 已知正方形的边长为1，以为折痕把折起，得到四面体，则（ ）A．B ．四面体体积的最大值为C．可以为等边三角形D ．可以为直角三角形10. 下列命题中是真命题的有（ ）A ．存在，，使B ．在中，若，则是等腰三角形C ．在中，“”是“”的充要条件D ．在中，若，则的值为或上海市奉贤区2022届高三一模数学试题上海市奉贤区2022届高三一模数学试题三、填空题四、解答题11. 已知数列，，有，，，则（ ）A ．若存在，，则B．若，则存在大于2的正整数n，使得C ．若，，且，则D ．若，，则关于的方程的所有实数根可构成一个等差数列12. 过平面内一点P作曲线两条互相垂直的切线，切点为P 1、P 2(P 1、P 2不重合），设直线分别与y 轴交于点A ，B ，则下列结论正确的是（ ）A ．P 1、P 2两点的横坐标之积为定值B ．直线P 1P 2的斜率为定值C ．线段AB 的长度为定值D ．三角形ABP 面积的取值范围为(0，1]13. 直线与圆相交于A ，B 两点，且（O 为坐标原点），则__________．14. 已知，函数，若实数、满足，则、的大小关系为____.15.若等比数列满足，，则__________．16. 阿克苏冰糖心苹果主要产地位于天山托木尔峰南麓，因为冬季寒冷，所以果品生长期病虫害发生少，加上昼夜温差大、光照充足，用无污染的冰川雪融水浇灌、沙性土壤栽培、高海拔的生长环境，使苹果的果核部分糖分堆积成透明状，形成了世界上独一无二的“冰糖心”，某果园秋季新采摘了一批苹果，从中随机加取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），将重量按照进行分组，得到频率分布直方图如图所示（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）．(1)估计这批苹果中每个苹果重量的平均数、中位数、众数；(2)该果园准备把这批苹果销售出去，据市场行情，有两种销售方案：方案一：所有苹果混在一起，价格为3元/千克；方案二：将不同重量的苹果分开，重量不小于160克的苹果的价格为4元/千克，重量小于160克的苹果的价格为2.4元/千克，但每1000个苹果果园需支付10元分拣费．试比较分别用两种方案销售10000个苹果的收入高低．17.如图所示，四棱锥的底面是边长为1的菱形，是的中点，底面，．(1)证明：平面平面；(2)求平面和平面所成二面角（锐角）的大小．18. 如图1，在直角梯形ABCD中，，，，E为AC的中点，将沿折起（如图2）．在图2所示的几何体D-ABC中：(1)若AD⊥BC，求证：DE⊥平面ABC；(2)若BD与平面ACD所成的角为60°，求二面角D-AC-B的余弦值．19. 已知，.（1）求的解析式；（2）设，当时，任意，，使成立，求实数的取值范围.20. 已知四边形是梯形（如图，，，，，为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置（如图，且．（1）求证：平面平面；（2）求与平面所成角的正弦值．21. 已知椭圆的离心率为，以椭圆的顶点为顶点的四边形面积为.(1)求椭圆的标准方程；(2)我们称圆心在椭圆上运动且半径为的圆是椭圆的“环绕圆”.过原点作椭圆的“环绕圆”的两条切线，分别交椭圆于两点，若直线的斜率存在，并记为，求的取值范围.。

一、单选题二、多选题1. 如图所示，△ADP 为正三角形，四边形ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ．点M 为平面ABCD 内的一个动点，且满足MP=MC ．则点M在正方形ABCD 内的轨迹为A．B．C．D．2. 函数在上的最小值为 A．B．C．D ．2e3. “”是“直线与圆相切”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4. 已知为双曲线的左右焦点，过的直线与圆相切于点，且，则直线的斜率是A．B．C．D．5. 对于函数y ＝f （x ），其定义域为D ，如果存在区间[m ，n ]⊆D ，同时满足下列条件：①f （x ）在[m ，n ]上是单调函数；②当f （x ）的定义域为[m ，n ]时，值域也是[m ，n ]，则称区间[m ，n ]是函数f （x ）的“K 区间”.若函数f （x）＝﹣a （a ＞0）存在“K 区间”，则a 的取值范围为（ ）A．B．C．D．（，1]6. 若，，，且，则下列不等式一定成立的是（ ）A．B．C．D．7.已知，，且，则的最小值为（ ）A ．16B．C ．12D．8. 一组数据3，4，4，4，5，6的众数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．69. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，，，点满足．设点的轨迹为，则（ ）．A．轨迹的方程为上海市奉贤区2022届高三一模数学试题(1)上海市奉贤区2022届高三一模数学试题(1)三、填空题四、解答题B ．在轴上存在异于，的两点，，使得C ．当，，三点不共线时，射线是的角平分线D．在上存在点，使得10. 设等差数列前项和为，公差，若，则下列结论中正确的有（ ）A．B ．当时，取得最小值C．D ．当时，的最小值为2911. 在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（ ）A ．当时，的周长为定值B．当时，三棱锥的体积为定值C．当时，有且仅有一个点，使得D ．当时，有且仅有一个点，使得平面12.已知函数，则（ ）A ．的单调递减区间是B ．有4个零点C．的图象关于点对称D ．曲线与轴不相切13. 函数的单调增区间是________；的值域是________．14.经过抛物线的焦点，倾斜角为的直线与交于，两点，若线段的中点的横坐标为7，那么__________．15.已知函数给出下列结论：①在上有最小值，无最大值；②设则为偶函数；③在上有两个零点.其中正确结论的序号为________.（写出所有正确结论的序号）16. 如图和均为等腰直角三角形，，，平面平面，平面，，（1）证明：；（2）求二面角的余弦值.17.数列满足，．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和．18. 已知函数，.(1)讨论零点的个数；(2)当时，若存在，使得，求证：.19. 某公司为了让职工业余时间加强体育锻炼，修建了一个运动俱乐部，公司随机抽查了200名职工在修建运动俱乐部前后每天运动的时间，得到以下频数分布表：表一（运动俱乐部修建前）时间（分钟）人数36588125表二（运动俱乐部修建后）时间（分钟）人数18638336(1)分别求出修建运动俱乐部前和修建运动俱乐部后职工每天运动的平均时间（同一时间段的数据取该组区间的中点值作代表）﹔(2)运动俱乐部内有一套与室温调节有关的设备，内有2个完全一样的用电器A，只有这2个用电器A都正常工作时，整套设备才正常工作，且2个用电器A是否正常工作互不影响.用电器A有M，N两种品牌，M品牌的销售单价为1000元，正常工作寿命为11个月或12个月（概率均为）；N品牌的销售单价为400元，正常工作寿命为5个月或6个月（概率均为）.现有两种购置方案：方案1：购置2个M品牌用电器﹔方案2：购置1个M品牌用电器和2个N品牌用电器（其中1个N品牌用电器不能正常工作时则使用另一个N品牌用电器）.试求两种方案各自设备性价比（设备正常运行时间与购置用电器A的成本比）的分布列，并从性价比的数学期望角度考虑，选择哪种方案更实惠20. 如图，四棱锥中，底面是边长为的正方形，是的中心，底面，是的中点.(1)求证：平面；(2)若，求三棱锥的体积.21. 椭圆C：（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，＝，椭圆的上顶点为B，｜AB｜＝，O为坐标原点，△AOB为等腰直角三角形．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若经过点A的直线l与椭圆C交于M，N两点，以线段MN为直径的圆恰经过点B，求直线l的方程．。

2024届奉贤中学高三（下）数学开学一､填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1.函数2()1f x x =-的定义域是________.2.函数y =2x+6从x =2到x =2.5的平均变化率是_________.3.若一个圆锥的母线长是底面半径的3倍，则该圆锥的侧面积是底面积的_________倍；4.已知两个单位向量a ，b满足4a b +=，则向量a ，b 的夹角为______．5.已知虚数1+2i 是方程20()x ax b a b R ++=∈、的一个根，则a b +=____6.下列命题中错误的是__．①将一组数据中的每个数都加上或减去同一个常数后，均值与方差都不变；②在一组样本数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y （122,,,,nn x x x ≥L不全相等）的散点图中，若所有样本点(),(1,2,,)i i x y i n = 都在直线112y x =-+上，则这组样本数据的线性相关系数为12-；③在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，若由独立性检验知，在犯错误率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系．若某人吸烟，则他有99%的可能性患肺病．7.从1，2，3，…，15中，甲，乙两人各任取一数（不重复），已知甲取到的是5的倍数，则甲数大于乙数的概率是_______．8.在10202311x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为__________.（结果用数值表示）9.图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径6AB =，深度2MO =，信号处理中心F 位于焦点处，以顶点O 为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy ，若P 是该抛物线上一点，点15,28Q ⎛⎫⎪⎝⎭，则PF PQ+的最小值为__________．10.已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()114f x f x ++-=.若()00f =，且()f x 在[]0,1单调递增，则满足π()sin24xf x ⋅≥的x 的取值范围是__________.11.若函数()sin cos 1sin cos f x a x b x b x a x=+-+-(,R a b ∈)的最大值为11，则22a b +=___________.12.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，数列{}n a 满足12a =-，且32n n S a n =+，()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()2=f x f x -，则()2021f a =______．二､单选题（本大题共4题，满分20分）13.已知实数a 、b ，那么||||||a b a b +=-是0ab <的（）条件．A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要14.设两个正态分布2111()(0)N μσσ>，和2222()(0)N μσσ>，的密度函数图像如图所示．则有A .1212,μμσσ<<B.1212,μμσσ<>C.1212,μμσσ><D.1212,μμσσ>>15.在圆锥PO 中，已知高2PO =，底面圆的半径为4，M 为母线PB 的中点，根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命题，正确的个数为（）①圆的面积为4π；；③双曲线两渐近线的夹角正切值为34；④抛物线的焦点到准线的距离为455A.1个B.2个C.3个D.4个16.如图，正四棱锥P ABCD -的底面边长和高均为2，M 是侧棱PC 的中点，若过AM 作该正四棱锥的截面，分别交棱PB ､PD 于点E ､F (可与端点重合)，则四棱锥P AEMF -的体积的取值范围是（）A.1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.41,3⎡⎤⎢⎣⎦D.8,19⎡⎤⎢⎥⎣⎦三､解答题（本大题共有5题，满分76分）17.在三棱锥A BCD -中，2AB AD BD ===，BC DC ==，2AC =.（1）求证：BD AC ⊥；（2）若P 为AC 上一点，且34AP AC =，求直线BP 与平面ACD 所成角的正弦值.18.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，()2,m a c b =+ ，()cos ,cos n B C =，0m n ⋅=.（1）求角B 大小；（2）设()()2π2cos sin 2sin sin 2sin cos cos 3f x x x x B x x A C ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭，当2,63ππx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最小值及相应的x .19.一项试验旨在研究臭氧效应.实验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到实验组，另外20只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g ）.（1）设X 表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求X 的分布列和数学期望；（2）实验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2实验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5（i ）求40只小鼠体重的增加量的中位数m ，再分别统计两样本中小于m 与不小于的数据的个数，完成如下列联表：m<m≥对照组实验组（ii ）根据（i ）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异．附：()()()()22(),n ad bc K a b c d a c b d -=++++0k 0.1000.0500.010()20P K k ≥ 2.7063.8416.63520.已知点12F F 、为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线于点M ，且121230,MF F MF F ∠=︒△的面积为.圆O 的方程是222x y r +=.（1）求双曲线的方程；（2）过双曲线上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为12P P 、，求12PP PP ⋅的值；（3）过圆O 上任意一点Q 作圆O 的切线l 交双曲线C 于A B 、两点，AB 中点为N ，若||2||AB ON =恒成立，试确定圆O 半径r .21.已知()f x 是定义在[],a b 上的函数，如果存在常数0M >，对区间[],a b 的任意划分：011n n a x x x x b -=<<<<=L ，和式()()11ni i i f x f x M -=-≤∑恒成立，则称()f x 为[],a b 上的“绝对差有界函数”，注：121nin i aa a a ==+++∑ .（1）求证：函数()sin cos f x x x =+在,02p轾-犏犏臌上是“绝对差有界函数”；（2）记集合(){|A f x =存在常数0k >，对任意的[]12,,x x a b ∈，有()()1212f x f x k x x -≤-成立.求证：集合A 中的任意函数()f x 为“绝对差有界函数”；（3）求证：函数()cos,01{20,0x x f x xx π<≤==不是[]0,1上的“绝对差有界函数”.2024届奉贤中学高三（下）数学开学一､填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1.函数()1f x x =-的定义域是________.【答案】{|2x x - 且1}x ≠【解析】【分析】根据分明不为零以及偶次根式下被开方数非负列不等式求解.【详解】由题意，要使函数有意义，则1020x x -≠⎧⎨+≥⎩，解得，1x ≠且2x ≥-；故函数的定义域为：{|2x x - 且1}x ≠.故答案为：{|2x x - 且1}x ≠.【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.2.函数y =2x+6从x =2到x =2.5的平均变化率是_________.【答案】2【解析】【分析】计算自变量的增量 2.52x ∆=-与函数值的增量(2.5)(2)y f f ∆=-，可得平均变化率y x∆∆.【详解】函数y=2x+6从x=2到x=2.5的平均变化率是()2 2.56226ΔΔ 2.52y x ⨯+-⨯+=-=2.故答案为2.【点睛】本题考查平均变化率的概念、计算，属于简单题.3.若一个圆锥的母线长是底面半径的3倍，则该圆锥的侧面积是底面积的_________倍；【答案】3；【解析】【分析】分别计算侧面积和底面积后再比较．【详解】由题意3l r =，23S rl r ππ==侧，2S r π=底，∴3S S 侧底＝．故答案为3．【点睛】本题考查圆锥的侧面积，掌握侧面积计算公式是解题关键．属于基础题．4.已知两个单位向量a ，b 满足4a b += ，则向量a ，b 的夹角为______．【答案】23π##120 【解析】【分析】首先根据平面向量的运算律求出a b ⋅，再根据夹角公式计算可得；【详解】解：由单位向量a ，b满足4a b += 2413a b += ，所以2216813a a b b +⋅+= ，12a b ⋅=- ，所以1cos ,2a b a b a b ⋅==-⋅，又[],0,π∈ a b ,所以2,3a b π= .故答案为：23π5.已知虚数1+2i 是方程20()x ax b a b R ++=∈、的一个根，则a b +=____【答案】3【解析】【分析】根据实系数的一元二次方程20x ax b ++=的两个虚数根互为共轭复数，再利用根与系数的关系，即可求出a 、b 的值．【详解】虚数12i +是方程20x ax b ++=的一个根，∴共轭虚数12i -也是此方程的一个根，12()(1212)2a x x i i ∴=-+=-++-=-；12(12)(12)5b x x i i ==+-=；253a b ∴+=-+=．故答案为：3．【点睛】本题考查了实系数的一元二次方程两个虚数根互为共轭复数以及根与系数关系的应用问题，是基础题．6.下列命题中错误的是__．①将一组数据中的每个数都加上或减去同一个常数后，均值与方差都不变；②在一组样本数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y （122,,,,n n x x x ≥L 不全相等）的散点图中，若所有样本点(),(1,2,,)i i x y i n = 都在直线112y x =-+上，则这组样本数据的线性相关系数为12-；③在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，若由独立性检验知，在犯错误率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系．若某人吸烟，则他有99%的可能性患肺病．【答案】①②③【解析】【分析】根据均值和方差的性质，相关系数的特点，独立性检验的相关知识，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对于①，将一组数据中的每个数都加上或减去同一个常数后，均值改变，方差不变，所以①错误；对于②，在散点图中，若所有样本点都在直线112y x=-+上，则这组样本数据的线性相关系数为1-，所以②错误；对于③，由独立性检验得，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，是指有1%的可能性使推断出现错误，所以③错误．综上，错误的命题序号是①②③．故答案为：①②③.7.从1，2，3，…，15中，甲，乙两人各任取一数（不重复），已知甲取到的是5的倍数，则甲数大于乙数的概率是_______．【答案】9 14【解析】【分析】先求出基本事件总数，再求出甲数a大于乙数b包含的基本事件(),a b个数，再由古典概型的概率公式求解.【详解】从1，2，3，…，15中，甲、乙两人各取一数(不重复)，甲取到的数是5的倍数，则基本事件总数31442n=⨯=，则甲数a大于乙数b包含的基本事件(),a b有：()(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(10,1),(10,2),10,3，(10,4),(10,5),(10,6),(10,7),(10,8),(10,9),(15,1)，(15,2),(15,3),(15,4),(15,(15,5),(7),(15,6),15,8)，()(15,9),(15,10),(15,11),(15,12),(15,13),15,14，共27个，∴甲数大于乙数的概率2794214 P==．故答案为：9 148.在10202311xx⎛⎫++⎪⎝⎭的展开式中，2x项的系数为__________.（结果用数值表示）【答案】45【解析】【分析】由二项式展开得2x 项只能在10(1)x +展开式中，进一步结合二项式系数即可求解.【详解】()101010191020232023202311111(1)C (1)x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，2x ∴项只能在10(1)x +展开式中，即为8210C x ，系数为810120109452C C 1⨯===⨯.故选：45.9.图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径6AB =，深度2MO =，信号处理中心F 位于焦点处，以顶点O 为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy ，若P 是该抛物线上一点，点15,28Q ⎛⎫⎪⎝⎭，则PF PQ +的最小值为__________．【答案】3【解析】【分析】由题意可知点()2,3在抛物线上，利用待定系数法求抛物线方程，结合抛物线定义求PF PQ +的最小值.【详解】设抛物线的方程为()220y px p =>，因为6AB =，2MO =，所以点()2,3A 在抛物线上，所以94p =，故94p =，所以抛物线的方程为292y x =，所以抛物线的焦点F 9,08⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为98x =-，在方程292y x =中取158x =可得2135416y =>，所以点Q 在抛物线内，过点P 作PP '与准线垂直，P '为垂足，点Q 作QQ '与准线垂直，Q '为垂足，则PF PP '=，所以159388PF PQ PP PQ QQ ''+=+≥=+=，当且仅当直线PQ 与准线垂直时等号成立，所以PF PQ +的最小值为3.故答案为：3.10.已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()114f x f x ++-=.若()00f =，且()f x 在[]0,1单调递增，则满足π()sin 4x f x ⋅≥的x 的取值范围是__________.【答案】[]18,38,Z k k k ++∈【解析】【分析】由题意可知，()f x 是周期为4的周期函数，πsin4y x =的最小正周期为8，结合()f x 与πsin 4y x =的单调性，易知在一个周期内，由π()sin 4xf x ⋅≥，可得[]1,3x ∈，再结合周期求出范围即可.【详解】因为()f x 是偶函数，所以()()f x f x -=，由()()114f x f x ++-=，可得()f x 关于()1,2对称，因为()()114f x f x ++-=，所以()()13134f x f x ⎡⎤⎡⎤+++-+=⎣⎦⎣⎦，则()()()()41313424f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=++=--++=--++⎣⎦⎣⎦⎣⎦，因为()f x 是偶函数，所以()()22f x f x ⎡⎤--+=-+⎣⎦，因为()()114f x f x ++-=，所以()()11114f x f x ⎡⎤⎡⎤+++-+=⎣⎦⎣⎦，则()()()()()()42411411f x f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤+=-++=-+++=-+=-=⎣⎦⎣⎦，所以函数()f x 是周期为4的周期函数.因为()f x 是偶函数，且在[]0,1单调递增，所以()f x 在[]1,0-单调递减，令()()114f x f x ++-=中0x =，则()()114f f +=，则()12f =，又因为()f x 关于()1,2对称，所以()f x 在[]1,2上单调递增，[]2,3上单调递减，结合函数()f x 是周期为4的周期函数，综上可得()f x 在[]0,2，[]4,6上单调递增，[]2,4，[]6,8上单调递减.因为πsin 4y x =的最小正周期为2π8π4T ==，结合πsin 4y x =图象可知，πsin4y x =在[]0,2，[]6,8上单调递增，在[]2,6上单调递减，令()()114f x f x ++-=中1x =，则()()204f f +=，则()24f =，当π1,sin42x y ===，又()12f =，所以()π1sin 4f ⋅=，当3π23,sin42x y ===，又()()()3112f f f =-==，所以()3π3sin 4f ⋅=，所以当[]0,8x ∈时，π()sin 4xf x ⋅≥[]1,3x ∈.又因为()f x 与πsin 4y x =均为周期函数，且8均为其周期，所以π()sin4xf x ⋅≥x 的取值范围是[]18,38,Z k k k ++∈.故答案为：[]18,38,Z k k k ++∈.【点睛】本题解题的关键是求出()y f x =与πsin4y x =的周期性，由()π1sin 4f ⋅=，()3π3sin4f ⋅=，结合函数的单调性和周期性求解即可.11.若函数()sin cos 1sin cos f x a x b x b x a x =+-+-(,R a b ∈)的最大值为11，则22a b +=___________.【答案】50【解析】【分析】根据绝对值的几何意义圆的三角代换即可求解.【详解】())1)f x x x ϕϕ=+-++的几何意义为：以原点为为半径的圆周上点到1y =与到y 轴距离之和的最大值为11，故111=.所以2250a b +=.故答案为：50.12.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，数列{}n a 满足12a =-，且32n n S a n =+，()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()2=f x f x -，则()2021f a =______．【答案】0【解析】【分析】利用数列通项公式与前n 项和公式的关系求通项的递推关系，再构造等比数列求出{}n a 通项公式.根据()()2=f x f x -和f (x )是R 上奇函数可得f (x )是周期为4的函数，且f (0)＝f (2)＝0.()20212021202131411a =-+=--+，将()202141-用二项式定理展开，其中能被4整除的部分在计算()2021f a 时即可“去掉”，由此即可求出答案.【详解】32n n S a n =+ ，()113122n n a n S n --∴=+-≥，两式相减得，133122n n n a a a -=-+，即()1311n n a a -=--，1131n n a a --∴=-，即数列{}1n a -是以3-为首项，3为公比的等比数列，11333n n n a -∴-=-⋅=-，31n n a ∴=-+.()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()2=f x f x -，∴令2x =，则()()200f f ==，又()()2=f x f x -＝－f (－x )，∴f (2＋x )＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝－f (x ＋2)＝－[－f (－x )]＝f (x )，即f (x ＋4)＝f (x )，即()f x 是以4为周期的周期函数.()20212021202131411a =-+=--+ ()()()()120202021020211202020201202102021202120212021C 41C 41C 41C 411⎡⎤=-⋅-+⋅-++⋅-+⋅-+⎣⎦()()()012020020211202020201202120212021C 41C 41C 412⎡⎤=-⋅-+⋅-+⋅-+⎣⎦…+其中()()()12020020211202020201202120212021C 41C 41C 41⋅-+⋅-+⋅-…+能被4整除，()()()202120213120f a f f ∴=-+==.故答案为：0．【点睛】本题综合考察了数列求通项公式的两个方法：利用通项公式和前n 项和公式的关系，以及构造等比数列，考察了函数周期的求法，还考查了利用二项式定理处理整除问题，属于难题.二､单选题（本大题共4题，满分20分）13.已知实数a 、b ，那么||||||a b a b +=-是0ab <的（）条件．A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要【答案】D 【解析】【分析】等式两边平方结合反例即可判断.【详解】因为2222||||||2|2|||0a b a b a ab b a ab b ab ab ab +=-⇒++=-+⇒=-⇒≤，所以必要性不成立；当1,2a b ==-时，满足0ab <，但||||||a b a b +≠-，所以充分性不成立；所以||||||a b a b +=-是0ab <的既不充分也不必要条件.故选:D ．14.设两个正态分布2111()(0)N μσσ>，和2222()(0)N μσσ>，的密度函数图像如图所示．则有A.1212,μμσσ<<B.1212,μμσσ<>C.1212,μμσσ><D.1212,μμσσ>>【答案】A 【解析】【详解】根据正态分布函数的性质：正态分布曲线是一条关于对称，在处取得最大值的连续钟形曲线；越大，曲线的最高点越底且弯曲较平缓；反过来，越小，曲线的最高点越高且弯曲较陡峭，选A ．15.在圆锥PO 中，已知高2PO =，底面圆的半径为4，M 为母线PB 的中点，根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命题，正确的个数为（）①圆的面积为4π；；③双曲线两渐近线的夹角正切值为34；④抛物线的焦点到准线的距离为455A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B 【解析】【分析】对于①，利用圆锥的几何性质确定圆的半径，即可求得圆的面积；对于②，结合圆锥的轴截面可求得椭圆的长轴长；对于③，建立平面直角坐标系，设双曲线方程，确定双曲线上的点的坐标，即可求得双曲线方程，进而求得双曲线两渐近线的夹角正切值；对于④，建立平面直角坐标系，设抛物线方程，确定抛物线上的点的坐标，即可求得参数，由此可判断出答案.【详解】对于①，M 为母线PB 的中点，因此截面圆的半径为底面圆的半径的12，即截面圆半径为2，则圆的面积为4π，故①正确；对于②，如图，在圆锥的轴截面PAB 中，作MC AB ⊥,垂足为C ，由题意可得M 为母线PB 的中点，则11,4262MC PO AC ===+=,故椭圆的长轴长为AM ===,②正确；对于③，如图，在与平面PAB 垂直且过点M 的平面内，建立平面直角坐标系，坐标原点与点P 到底面距离相等，则点M 坐标为(1,0)，双曲线与底面圆的一个交点为D ，其坐标为(2,，则设双曲线方程为22221,(0,0)x y a b a b-=>>，则1a =，将(2,代入双曲线方程，得224121,41b b-=∴=，设双曲线的渐近线b y x a =与x 轴的夹角为θ，则tan 2baθ==，故双曲线两渐近线的夹角正切值为224tan 2||143θ⨯==-，③错误；对于④，如图，建立平面直角坐标系，设抛物线与底面圆的一个交点为H ，则12OM PA ===4)H ,设抛物线方程为22,(0)y px p =>，则285425p p =∴=，即抛物线的焦点到准线的距离为5，④错误，故正确的命题有2个，故选：B16.如图，正四棱锥P ABCD -的底面边长和高均为2，M 是侧棱PC 的中点，若过AM 作该正四棱锥的截面，分别交棱PB ､PD 于点E ､F (可与端点重合)，则四棱锥P AEMF -的体积的取值范围是（）A.1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.41,3⎡⎤⎢⎣⎦D.8,19⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】【分析】设,PE PFx y PB PD==,则,PE xPB PF yPD ==，然后利用等体积法由P AEMF P AEF P EMF V V V ---=+()223P AFM P AEMV V xy x y --=+==+，得到331y x y =-，再消元得到223331P AEMF y V y -=⋅-，令31y t -=，利用对勾函数的性质求解.【详解】设,PE PFx y PB PD==,则,PE xPB PF yPD ==所以412,323P AEF P ABD P MEF P BCD V xy V xy V xyV xy ----=⋅===，1212,2323P AFM P ACD P AEM P ABC V y V y V x V x ----=⋅==⋅=，()223P AEMF P AEF P EMF P AFM P AEM V V V V V xy x y -----=+=+==+，所以3x y xy +=，则331yx y =-，令31y t -=，因为1,12y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()221311412,319992t y t y t t +⎛⎫⎡⎤==++∈ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦，所以2238,13319P AEMF y V y -⎡⎤=⋅∈⎢⎥-⎣⎦，故选：D【点睛】方法点睛：求解棱锥的体积时，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上．求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以便于求解．三､解答题（本大题共有5题，满分76分）17.在三棱锥A BCD -中，2AB AD BD ===，BC DC ==，2AC =.（1）求证：BD AC ⊥；（2）若P 为AC 上一点，且34AP AC =，求直线BP 与平面ACD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）437.【解析】【分析】（1）取BD 中点O ，连接AO ，OC ，证明BD ⊥平面AOC 即可；（2）首先证明AO ⊥平面BDC ，然后以射线OB ，OC ，OD 为x ，y ，z 正半轴建系，然后算出BP和平面ACD 的法向量即可得到答案.【详解】（1）取BD 中点O ，连接AO ，OC ，因为AB AD =，BC DC =，所以BD AO ⊥，BD OC ⊥，又因为AO OC O = ，所以BD ⊥平面AOC ，即BD AC ⊥.（2）由（1）得，BD ⊥平面AOC ，又因为BD ⊂平面BCD ，所以平面AOC ⊥平面BDC ，易得AO =，1OC =，所以222AO OC AC +=，即AO OC ⊥，又因为平面AOC I 平面BDC OC =，所以AO ⊥平面BDC ，如图所示，以射线OB ，OC ，OD 为x ，y ，z正半轴建系，(A ，()1,0,0B ，()0,1,0C ，()1,0,0D -，30,,44P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，31,44BP ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，DA =，(1,1,0)DC = ，设(,,)n x y z = 为平面ADC一个法向量，则有0000n DA x n DC x y ⎧⎧⋅=+=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=+=⎪⎪⎩⎩，取(n =-，设θ为直线BP 与平面ACD 所成角，则9334344sin 7n BP n BPθ++⋅===⋅.即直线BP 与平面ACD所成角的正弦值为7.18.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，()2,m a c b =+ ，()cos ,cos n B C =，0m n ⋅=.（1）求角B 大小；（2）设()()2π2cos sin 2sin sin 2sin cos cos 3f x x x x B x x A C ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭，当2,63ππx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最小值及相应的x .【答案】（1）2π3B =（2）当7π12x =时，()f x 有最小值2-.【解析】【分析】（1）利用向量垂直的充要条件和正弦定理即可求解；（2）先利用两角和的正弦公式及余弦的二倍角公式化简，再用辅助角公式化为()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，最后利用三角函数的性质求出最小值及其取得最小值时的x 值.【小问1详解】由已知条件得()2cos cos 0m n a c B b C ⋅=++=，由正弦定理得()2sin sin cos sin cos 0A C B B C ++=，即2sin cos sin cos sin cos 0A B C B B C ++=，()2sin cos sin =0A B B C ++,则2sin cos sin 0A B A +=，∵sin 0A ≠，∴1cos 2B =-，又∵()0,πB ∈,∴2π3B =;【小问2详解】()()2π2cos sin 2sin sin 2sin cos cos 3f x x x x B x x A C ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭212cos sin cos sin cos22x x x x x x ⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭222sin cos x x x x =+-sin 22x x =+π2sin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,∵2,63ππx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,∴π2π5π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎣⎦,π22sin 23x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，则()f x 的最小值2-，其中π3π232x +=，即当7π12x =时，()f x 有最小值2-.19.一项试验旨在研究臭氧效应.实验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到实验组，另外20只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g ）.（1）设X 表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求X 的分布列和数学期望；（2）实验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2实验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5（i ）求40只小鼠体重的增加量的中位数m ，再分别统计两样本中小于m 与不小于的数据的个数，完成如下列联表：m<m≥对照组实验组（ii ）根据（i ）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异．附：()()()()22(),n ad bc K a b c d a c b d -=++++0k 0.1000.0500.010()20P K k ≥ 2.7063.8416.635【答案】（1）分布列见解析，()1E X=（2）（i）23.4m=；列联表见解析，（ii）能【解析】【分析】（1）利用超几何分布的知识即可求得分布列及数学期望；（2）（i）根据中位数的定义即可求得23.4m=，从而求得列联表；（ii）利用独立性检验的卡方计算进行检验，即可得解.【小问1详解】依题意，X的可能取值为0,1,2，则022020240C C19(0)C78P X===，12022401C C20(1)C39P X===，202020240C C19(2)C78P X===，所以X的分布列为：X012P 197820391978故192019 ()0121783978E X=⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】（i）依题意，可知这40只小白鼠体重增量的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数，观察数据可得第20位为23.2，第21位数据为23.6，所以23.223.623.42m+==，故列联表为：m<m≥合计对照组61420实验组14620合计202040（ii ）由（i ）可得，2240(661414) 6.400 3.84120202020K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以能有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异.20.已知点12F F 、为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线于点M ，且121230,MF F MF F ∠=︒△的面积为.圆O 的方程是222x y r +=.（1）求双曲线的方程；（2）过双曲线上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为12P P 、，求12PP PP ⋅的值；（3）过圆O 上任意一点Q 作圆O 的切线l 交双曲线C 于A B 、两点，AB 中点为N ，若||2||AB ON =恒成立，试确定圆O 半径r .【答案】（1）22124x y -=；（2）49；（3）2r =.【解析】【分析】（1）由面积可求c =，再根据双曲线的定义可求a ，从而可求双曲线的方程；（2）求出双曲线的渐近线方程，设两渐近线的夹角为θ，根据到角公式可求tan θ与cos θ，根据点到直线的距离公式可求12,PP PP ，根据平面向量的数量积运算结合00(,)P x y 在双曲线22124x y -=上即可求解；（3）由题意可得OA OB ⊥，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，当l 的斜率存在时，设直线:l y kx b =+，与双曲线方程联立，根据韦达定理及0OA OB ⋅=可得2244b k =+，根据点到直线的距离公式可求2r =，当l 的斜率不存在时亦可求得.【小问1详解】因为121230,MF F MF F ∠=︒△的面积为2MF =所以122c ⋅=c =22a ==，所以2224a b c a ==-=，故双曲线的方程为22124x y -=.【小问2详解】由题意得两条渐近线分别为120;0l y l y -=+=，设双曲线C 上的点00(,)P x y ，设两渐近线的夹角为θ，则tan θ==，得1cos 3θ==．则点P到两条渐近线的距离分别为12PP PP ==，因为00(,)P x y 在双曲线22124x y -=上，所以220024x y -=，又1cos 3θ=，所以22001221cos 3394x y PP PP θ-⋅===.【小问3详解】AB 中点为N ，若||2||AB ON =，则OA OB ⊥．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，当l 的斜率存在时，设直线:l y kx b =+，由22124x y y kx b ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩得()2222240k x kbx b ----=，所以212122224,22kb b x x x x k k --+==--，所以()()12121212OA OB x x y y x x kx b kx b =⋅=++++()()22121201k x x kb x x b =++++=，所以()22222421022b kb k kb b k k--+⋅+⋅+=--，所以()()()22222214220kbk b k b +--++-=，所以2224420b k b ---+=，所以2244b k =+,2=.当l 的斜率不存在时，直线2x =±，得2y =±，也满足OA OB ⊥，综上，圆O 半径2r =．【点睛】解决直线与双曲线的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、双曲线的条件；(2)强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21.已知()f x 是定义在[],a b 上的函数，如果存在常数0M >，对区间[],a b 的任意划分：011n n a x x x x b -=<<<<=L ，和式()()11ni i i f x f x M -=-≤∑恒成立，则称()f x 为[],a b 上的“绝对差有界函数”，注：121nin i aa a a ==+++∑ .（1）求证：函数()sin cos f x x x =+在,02p轾-犏犏臌上是“绝对差有界函数”；（2）记集合(){|A f x =存在常数0k >，对任意的[]12,,x x a b ∈，有()()1212f x f x k x x -≤-成立.求证：集合A 中的任意函数()f x 为“绝对差有界函数”；（3）求证：函数()cos,01{20,0x x f x xx π<≤==不是[]0,1上的“绝对差有界函数”.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析【解析】【分析】（1）将()f x整理为4x π⎛⎫+⎪⎝⎭，可知()f x 在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；可知()()1i i f x f x +<，从而可将()()11ni i i f x f x -=-∑化简为()022f f π⎛⎫--= ⎪⎝⎭，从而可知()()112nii i f x f x -=-≤∑，得到结论；（2）取()f x A ∈，根据()()1212f x f x k x x -≤-，可得()()()1111nnii ii i i f x f x k x xk b a --==-≤-=-∑∑，从而可取()M k b a =-得到结论；（3）取一个划分：111012212n n <<<⋯<<-，可将()()11n i i i f x f x -=-∑整理为11ni i=∑；根据放缩可知只要n 足够大，可使得()()11nii i f x f x M -=->∑，从而得到结论.【详解】（1）()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭当,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π时，,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦()f x \在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为单调递增函数∴当1i i x x +<，0,1,2,,1i n =⋅⋅⋅-时，有()()1i i f x f x +<，0,1,2,,1i n =⋅⋅⋅-所以()()()()()1111022nni i i i i i f x f x f x f x f f π--==⎛⎫-=-=--=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭∑∑从而对区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的任意划分：01102n n x x x x π--=<<<<=L 存在2M =，使得()()112nii i f x f x -=-≤∑成立综上，函数()sin cos f x x x =+在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是“绝对差有界函数”（2）证明：任取()f x A∈从而对区间[],a b 的任意划分：011n n a x x x x b -=<<⋯<<=和式()()()1111n nii ii i i f x f x k x xk b a --==-≤-=-∑∑成立则可取()Mk b a =-所以集合A 中的任意函数()f x 为“绝对差有界函数”（3）取区间[]0,1的一个划分：111012212n n <<<⋯<<-，*n ∈N 则有：()()()211211211212cos 0cos cos cos cos 2221222222ni i i n n n f x f x n n n πππππ-=--=-+-+⋅⋅⋅+--∑1481111111111111244881616222ni i=↑↑=>+++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅∑所以对任意常数0M >，只要n 足够大，就有区间[]0,1的一个划分：111012212n n <<<⋯<<-满足()()11ni i i f x f x M-=->∑所以函数()cos ,0120,0x x f x xx π⎧<≤⎪=⎨⎪=⎩不是[]0,1的“绝对差有界函数”【点睛】本题考查与新定义有关的证明问题，关键是能够理解新定义的具体含义，进而可通过单调性、不等关系、放缩的方式把关系式进行化简，从而可求得临界值的具体取值，再根据取值确认函数是否符合新定义，属于难题.。

五校联考高三期中数学试卷（奉贤中学/复兴高中/金山中学/行知中学/松江二中）2024.11一.填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1.已知集合，，则______2.已知向量，，则在方向上的数量投影为______3.曲线在点处的切线方程为______4.某老年健康活动中心随机抽取了6位老年人的收缩压数据，分别为120，96，153，146，112，136，则这组数据的40%分位数为______5.二项式的展开式中，常数项为______6.关于x的方程的解集为______7.已知，，，则的最小值为______8.《九章算术》卷五《商功》中有“贾令刍童，上广一尺，袤二尺，下广三尺，袤四尺，高一尺”，意思是：“假设一个刍童，上底面宽1尺，长2尺；下底面宽3尺，长4尺，高1尺.”（注：刍童为上下底面是相互平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的几何体），则《商功》中提及的这个刍童的外接球表面积为______平方尺9.意大利著名画家、自然科学家、工程师达芬奇在绘制作品《抱银貂的女人》时，曾仔细思索女人脖子上黑色项链的形状，这就是著名的悬链线形状问题.后续的数学家对这一问题不断研究，得到了一类与三角函数性质相似的函数：双曲函数.其中双曲正弦函数为，并且双曲正弦函数为奇函数，若将双曲正弦函数的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到函数的图象，并且数列满足条件，则数列的前2024项和______10.已知椭圆，点和分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点，则内切圆{}2650A x x x =-+<{}0,1,2B =A B = ()1,2a =-()3,2b = b a e xy =()0,163x ⎛- ⎝100910152024x x x +++-=0x >0y >4x y xy +=x y +e e sh 2x xx --=12()y f x ={}n a 2025n n a f ⎛⎫=⎪⎝⎭{}n a 2024S =22:143x y Γ+=1F 2F 12PF F △半径的最大值为______11.在中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，若，则______12.若关于x 的方程在上有两个不等的实根，则实数a 的取值范围是______二.选择题（本大题共4题，满分20分）13.设，则是的（ ）条件A.充分非必要B.必要非充分C.充分必要D.既不充分也不必要14.在中，，M 为中点，，则（ ）A. B. C.9D.1615.已知定义在R 上的函数，其导数为，记，且，，则下列说法中正确的个数为（ ）①；②的图象关于对称；③；④.A.1个B.2个C.3个D.4个16.已知正项数列满足，下列说法正确的是（ ）A.当时，数列单调递减B.当时，数列单调递增C.当时，存在正整数，当时，D.当时，存在正整数，当时，三.解答题（本大题共有5题，满分76分）17.某市数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取100名学生，得到他们的成绩，将数据分成五组：，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图：ABC △2222024a b c +=()2tan tan tan tan tan A BC A B =+()2e ln 20x x a x x a -⋅-+-=(]0,1z ∈C 1z z+∈R 1z =ABC △10BC =BC 4AM =AB AC ⋅=9-16-()y f x =()f x '()()g x f x '=()()4f x f x x --=()()20g x g x +-=()01g =()f x y x =()0,2()()20f x f x +-=()21n k g k n n ==-∑{}n a 1112ln n n n a a a ++=-101a <<{}n a 11a >{}n a 101a <<0n 0n n ≥012n n a <11a >0n 0n n ≥02n n a <[)50,60[)60,70[)70,80[)80,90[]90,100（1）若只有前35%的学生能进决赛，则入围分数应设为多少分？（2）采用分层随机抽样的方法从成绩为的学生中抽取容量为6的样本，再从该样本中随机抽取2名学生进行问卷调查，设X 为其中达到90分及以上的学生的人数，求X 的概率分布及数学期望.18.已知函数是定义在上的奇函数，并且当时，.（1）求函数的表达式；（2）求关于x 的不等式的解集.19.如图，在三棱锥中，平面平面，，，E ，F 分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线l .（1）求证：直线平面；（2）若直线l 上存在一点Q （与B 都在的同侧），且直线与直线所成的角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.20.已知点G 是圆T :上一动点（T 为圆心），点H 的坐标为，线段的垂直平分线交线段于点R ，动点R 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）M ，N 是曲线C 上的两个动点，O 是坐标原点，直线、的斜率分别为和，且，则的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；（3）设P 为曲线C 上任意一点，延长至Q ，使，点Q 的轨迹为曲线E ，过点P 的直线l 交曲线E 于A 、B 两点，求面积的最大值.21.已知函数的表达式为.（1）当时，求的单调增区间；（2）若当时，恒成立，求a 的取值范围；[]80,100()y f x =()1,1-0x >()cossin 223x x f x π⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭22x()y f x =()()21log 102f x f x f ⎛⎫++-< ⎪⎝⎭P ABC -AC BC ⊥PAC ⊥ABC 2PA PC AC ===4BC =PC PB AEF ABC EF ⊥PAC AC PQ EF 4πPBQAEF ()22116x y ++=()1,0GH TG OM ON 1k 2k 1234k k =-MON △OP 3OQ OP =AQB △()y f x =()()()2ln f x x ax x a =-∈R 1a =()y f x =1x >()1f x >（3）证明：.5740472ln1012233420232024+++>⨯⨯⨯参考答案一.填空题1.3. 4.120 5. 6. 7.9 8. 9.404811.2023 12.二.选择题13.B 14.A 15.B 16.D三.解答题17.解：（1）成绩在区间的比例为：；成绩在区间的比例为：，因此65%分位数位于区间；因此入围分数为：，因此入围分数应设为75分；（2）在这六个人中，有两人的分数在90分及以上，因此，1，2，，则X 的概率分布为：；所以X 的数学期望为.18.解：（1）当时，时，；当时，，；因此；（2）当时，，因此有在上严格增；{}21y x =+18-{}041π311,e 3e ⎛⎤⎥⎝⎦[]80,100()0.0100.005100.150.35+⨯=<[]70,1000.150.04100.550.35+⨯=>[)70,800.40.27010750.4-+⨯=0X =()2426205C P X C ===()1124268115C C P X C ⋅===()22261215C P X C ===01228151515⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭[]8121215153E X =⨯+⨯=01x <<()1sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭0x =()0f x =10x -<<0x ->()()1sin 23f x f x x π⎛⎫-=-=+ ⎪⎝⎭()1sin 01230,01sin 1023x x f x x x x ππ⎧⎛⎫-+<<⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪==⎨⎪⎛⎫⎪+--<< ⎪⎪⎝⎭⎩()0,1x ∈13336x ππππ-<-<-<()y f x =()0,1而当时，因此有在上严格增；原不等式可化为：；而是定义在上的严格增函数，所以；因此不等式的解集为.19.解：（1）证明：，平面平面，平面平面平面；又E 、F 分别为、的中点，；平面；（2），以C 为坐标原点，所在直线为x 轴，所在直线为y 轴，过C 垂直于平面的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，而，不在平面上，平面，平面，，设Q 点坐标为，，，即，则Q 点坐标为；设平面的法向量，即，即，取，可得；设平面法向量为，则，取，可得；与平面20.解：（1），则，0x =1sin 023x π⎛⎫-+=> ⎪⎝⎭()y f x =()1,1-()21log 12f x f x ⎛⎫+<-⎪⎝⎭()y f x =()1,1-221log 1111121log 12x x x x ⎧⎪-<+<⎪⎪-<-<⎨⎪⎪+<-⎪⎩11,42⎛⎫⎪⎝⎭BC AC ⊥ PAC ⊥ABC PAC ABC AC =BC ∴⊥PAC PB PC //BC EF ∴EF ∴⊥PAC BC AC ⊥ ∴CA CB ABC ()2,0,0A ()0,4,0B (P 12E ⎛⎝1,2F ⎛ ⎝//EF BC BC AEF EF ⊂AEF //BC ∴AEF //l BC ∴()()2,,00y y ≥(1,PQ y = ()0,2,0EF = cos ,PQ EF ∴==2y =()2,2,0PBQ ()000,,n x y z =00n PQ n BQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩0000020220x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩01x =(n = AEF ()111,,m x y z = 0m AE m EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 11x =(m = cos ,m ∴ PBQ AEF RH RG =42RT RH RT RG GT TH +=+==>=则曲线C 是以和为焦点，4为长轴的椭圆；设椭圆方程为，则，，，曲线；（2）设，，则，即；为定值；（3）设点，则点，代入椭圆方程得到曲线；当直线l 的斜率不存在时：设，代入E 中有，则当直线l 斜率存在时：设，，，代入E 的方程：，则，；；而l与椭圆C 有公共点，代入得：，由有，记，则综上，面积的最大值为21.解：（1）时，，则令，则，则在上严格减，上严格增，则，即在上严格增，因此函数的增区间为；()1,0-()1,022221x y a b +=2a =1c =2223b a c =-=22:143x y C +=()2cos M ϕϕ()2cos N θθ1234k k ==-()cos 0θϕ-=()12cos 2cos sin 2MON S ϕθθϕθϕ∴=-=-=△(),Q x y ,33x y P ⎛⎫⎪⎝⎭22:13627x y E +=[]():2,2l x n n =∈-223274y n =-2AQB AOB S S ==≤△△:l y kx m =+()11,A x y ()22,B x y ()22243841080k x mkx m +++-=122843kmx x k -+=+2122410843m x x k -=+122AQB AOB S S m x x ==-==△△()2224384120k x kmx m +++-=0∆≥2243k m +≥2243m t k =+AQB S =≤△AQB △1a =()()22ln 2ln f x x x x x x x =-=-()()2ln 1f x x x '=--()ln 1g x x x =--()11g x x'=-()g x ()0,1()1,+∞()()10g x g ≥=()f x ()0,+∞()y f x =()0,+∞（2），记，则，若，则，即时，在上严格增，，满足要求；若，则，时，则在上严格减，故当时，，不满足要求；若，则，在上严格减，则，不满足要求；综上，a 的取值范围是.（3）由（2）可知时，则，取，则，即；，即.()()()221ln 2ln 1f x ax x ax x '=-+=--()ln 1h x ax x =--()1h x a x'=-1a ≥11a≤1x >()0h x >()f x ∴()1,+∞()() 11f x f a >=>()0,1a ∈11a >11,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0h x <()f x 11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭11,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()11f x f a <=<(],0a ∈-∞()0h x <()f x ()1,+∞()()11f x f a <=<[)1,+∞1a =()22ln 1f x x x x =->()12ln 1x x x x <->21n x n +=+()()221232ln11212n n n n n n n n n ++++<-=+++++()()2322ln 121n n n n n ++>+++20222022112323420242ln 2ln 2ln 2012(1)(2)1232023n n n n n n n ==++⎛⎫∴>=⨯⨯⨯= ⎪+++⎝⎭∑∑ 5740472ln1012233420232024+++>⨯⨯⨯。

2021届上海奉贤区奉贤中学高三上学期开学考试数学试题一、单选题1．空间两条直线a 、b 与直线l 都成异面直线，则a 、b 的位置关系是（ ）．A.平行或相交B.异面或平行C.异面或相交D.平行或异面或相交【答案】D【解析】直线a 、b 与直线l 都成异面直线，a 与b 之间并没有任何限制， 所以a 与b 直线的位置关系所有情况都可能．故选D ．2．奇函数()f x 在区间[]1,4上为减函数，且又最小值2，则它在区间[]4,1--上（ ）A.是减函数，有最大值-2B.是增函数，有最大值-2C.是减函数，有最小值-2D.是增函数，有最小值-2【答案】A【解析】根据奇函数在对称区间上的单调性相同，同时对称区间上的最大值和最小值对应相反，由此判断函数()f x 的单调性和最小值.【详解】因为区间[]1,4与区间[]4,1--关于原点对称且()f x 是奇函数，所以()f x 在[]4,1--上递减， 又因为()f x 在区间[]1,4上的最小值为2，所以()f x 在区间[]4,1--上的最大值为2-， 综上可知：()f x 在区间[]4,1--上是减函数，有最大值2-.故选：A.【点睛】奇函数在对称区间上的单调性相同，奇函数在对称区间上的最值互为相反数；偶函数在对称区间上的单调性相反，偶函数在对称区间上的最值相同.3．函数y m x =与y = ）A.mB.m >C.1m ≥D.>1m【答案】D 【解析】“函数y=m|x|与y=等价于“方程有实数解”，由此能求出它的充要条件．解答：解：∵方程∴m ≥0，m 2x 2=x 2+1，即（m 2-1）x 2-1=0，当m=1时，方程为-1=0无意义当m ≠1时，有△=4（m 2-1）≥0，∴m ≥1或m ≤-1（舍）．综上知m ＞1故选D ．4．数列{}n a 满足11a =，且对于任意的*n N ∈，都有11n n a a a n +=++，则122018111a a a ++⋅⋅⋅+等于（ ） A.20172019B.40362019C.40342019D.20182019【答案】B 【解析】根据等式：11n n a a a n +=++，采用累加法计算出{}n a 的通项公式，再采用裂项相消法对122018111a a a ++⋅⋅⋅+进行求和. 【详解】因为11n n a a a n +=++，所以11n n a a n +-=+，所以()12n n a a n n --=≥，所以121n n a a n ---=-，......，则有：()()()()()11221......12......2n n n n a a a a a a n n n ----+-++-=+-+-++，所以()()()12122n n n a a n +--=≥，所以()()122n n n a n +=≥， 又因为1n =时，11a =符合2n ≥的情况，所以()12n n n a +=，11121n a n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，所以12201811111111403621 (223)201820192019a a a ⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+-++-= ⎪⎝⎭. 故选：B.【点睛】采用累加法求解数列的通项公式时，涉及到1n a -时注意标注2n ≥，最后求解出n a 的通项公式后注意验证1n =是否满足条件，如果满足只需要写出整体的通项公式，如果不满足则需要将通项公式写成分段的形式.二、填空题5．设集合{}{}25,log (3),,A a B a b =+=，若{2}A B =，则A B = __________．【答案】{ 1，2，5}【解析】试题分析：解：∵A ∩B={2}，∴log 2（a+3）=2．∴a=1．∴b=2．∴A={5，2}，B={1，2}．∴A ∪B={1，2，5}，故答案为{1，2，5}．【考点】并集点评:本题考查了并集的运算，对数的运算性质，属于容易题．6．74lim 35n n n →∞+=-______. 【答案】73 【解析】对7435n n +-采用分离常数的方式进行适当变形，使其可以直接计算出极限值. 【详解】 因为()()7473574747733lim lim lim 353533353n n n n n n n n →∞→∞→∞-+⎡⎤+==+=⎢⎥---⎣⎦，所以747lim 353n n n →∞+=-. 故答案为：73. 【点睛】 本题考查极限的简单计算，难度较易.形如lim n an b cn d →∞++形式的极限式可采用“分离常数”的方法去计算极限.7．抛物线的焦点为椭圆22154x y +=的右焦点，顶点在椭圆的中心，则抛物线方程为________【答案】24y x =【解析】由椭圆方程可求得右焦点坐标，从而得到12p =，求得p 后即可得到抛物线方程. 【详解】由椭圆方程知，椭圆右焦点为()1,0设抛物线方程为：22y px =，则12p = 2p ∴= ∴抛物线方程为：24y x = 故答案为：24y x =【点睛】本题考查抛物线方程的求解，关键是能够根据椭圆标准方程求得焦点坐标，属于基础题. 8．二项式的展开式中的常数项为 ．【答案】112 【解析】试题分析：由二项式通项可得，（r=0,1,…,8）,显然当时，，故二项式展开式中的常数项为112. 【考点】二项式通项。

考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 1$的对称中心为（）A. $(1, -1)$B. $(2, -1)$C. $(3, -1)$D. $(4, -1)$2. 已知复数$z = 2 + 3i$，则$|z|$的值为（）A. 5B. 6C. 7D. 83. 下列各式中，错误的是（）A. $\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$B. $\cos 60° = \frac{1}{2}$C. $\tan 45° = 1$D. $\sin 90° = 1$，$\cos 90° = 0$4. 下列各函数中，是奇函数的是（）A. $f(x) = x^2$B. $f(x) = x^3$C. $f(x) = |x|$D. $f(x) = \sqrt{x}$5. 已知等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$，首项为$a_1$，则第10项$a_{10}$的值为（）A. $a_1 + 9d$B. $a_1 + 8d$C. $a_1 + 7d$D. $a_1 + 6d$6. 下列各不等式中，正确的是（）A. $3x + 2 > 2x + 3$B. $3x - 2 < 2x + 3$C. $3x + 2 < 2x + 3$D. $3x - 2 > 2x + 3$7. 已知圆的方程$x^2 + y^2 = 16$，则圆心坐标为（）A. $(2, 0)$B. $(-2, 0)$C. $(0, 2)$D. $(0, -2)$8. 下列各函数中，是偶函数的是（）A. $f(x) = x^2$B. $f(x) = x^3$C. $f(x) = |x|$D. $f(x) = \sqrt{x}$9. 已知等比数列$\{a_n\}$的公比为$q$，首项为$a_1$，则第5项$a_5$的值为（）A. $a_1 \cdot q^4$B. $a_1 \cdot q^3$C. $a_1 \cdot q^2$D. $a_1 \cdot q$10. 下列各不等式中，正确的是（）A. $3x + 2 > 2x + 3$B. $3x - 2 < 2x + 3$C. $3x + 2 < 2x + 3$D. $3x - 2 > 2x + 3$二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）11. 函数$f(x) = x^2 - 4x + 4$的顶点坐标为______。

2023届奉贤区高三一模考试数学试卷一､填空题（1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1.设{}{12},Z A x x B x x =-<<=∈∣∣，则A B = __________.2.已知()1i i 3ia a ∈+=+R ，，（i 为虚数单位），则=a __________.3.方程20x x c ++=的两个实数根为12,x x ，若2212213x x x x +=，则实数c =__________.4.已知等差数列{}n a 中，79415,1a a a +==，则12a 的值等于__________.5.己知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，它的渐近线方程为2y x =±，则它的离心率等于__________.6.若两个正数a b ､的几何平均值是1，则a 与b 的算术平均值的最小值是__________.7.在二项式11(1)x +的展开式中，系数最大的项的系数为__________（结果用数值表示）.8.下表是1317-岁未成年人的身高的主要百分位数（单位：cm ）.小明今年16岁，他的身高为176cm ，他所在城市男性同龄人约有6.4万人.可以估计出小明的身高至少高于他所在城市__________万男性同龄人.1317-岁未成年人的身高的主要百分位数P1P5P10P25P50P75P90P95P991315-岁男141147151157164169174177182女1431471501531571611651671711617-岁男155160163167171175179181186女147150152155159163166169172数据来源：《中国未成年人人体尺寸）（标准号：GB /T261582010-）.9.从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率是__________.（结果用最简分数表示）.10.长方体1111ABCD A B C D -的底面是边长为1的正方形，若在侧棱1AA 上至少存在一点E ，使得190∠= E C B ，则侧棱1AA 的长的最小值为__________.11.设0,0p q >>且满足()162025log log log p q p q ==+，则pq =__________.12.已知某商品的成本C 和产量q 满足关系50000200C q =+，该商品的销售单价p 和产量q 满足关系式21242005p q =-，则当产量q 等于__________时，利润最大.二､选择题（13-14每题4分，1516-每题5分，共18分）13.下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（）A.y x =与11y x -⎛⎫= ⎪⎝⎭B.y x =与2y =C.y x =与ln e xy = D.y x =与y =14.紫砂壸是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壸的壸型众多，经典的有西施壸､掇球壸､石飘壸､潘壸等．其中，石瓢壸的壸体可以近似看成一个圆台．如图给出了一个石瓢壸的相关数据（单位：cm ），那么该壸的容积约接近于（）A.3100cm B.3200cm C.3300cm D.3400cm 15.下列结论不正确的是（）A.若事件A 与B 互斥，则()()()P A B P A P B ⋃=B.若事件A 与B 相互独立，则()()()P A B P A P B ⋂=C.如果X Y ､分别是两个独立的随机变量，那么[][][]D X Y D X D Y +=+D.若随机变量Y 的方差[]3D Y =，则[]2112D Y +=16.已知a ，b ，α，β∈R ，满足sin cos a αβ+=，cos sin b αβ+=，2204a b <+≤，有以下2个结论：①存在常数a ，对任意的实数b ∈R ，使得()sin αβ+的值是一个常数；②存在常数b ，对任意的实数a ∈R ，使得()cos αβ-的值是一个常数.下列说法正确的是（）A.结论①、②都成立B.结论①不成立、②成立C.结论①成立、②不成立D.结论①、②都不成立三､解答题（17-19每题14分，20-21每题18分，共78分）17.已知()y f x =为奇函数，其中()()()cos 2,0,πf x x θθ=+∈.（1）求函数()y f x =的最小正周期和()f x 的表达式；（2）若4π,,π252f αα⎛⎫⎛⎫=-∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求πsin 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.18.如图，在四面体ABCD 中，已知BA BD CA CD ===.点E 是AD 中点.（1）求证：AD ⊥平面BEC ；（2）已知95,arccos,625AB BDC AD ∠===，作出二面角D BC E --的平面角，并求它的正弦值.19.某地区1997年底沙漠面积为52910hm ⨯（注：2hm 是面积单位，表示公顷）.地质工作者为了解这个地区沙漠面积的变化情况，从1998年开始进行了连续5年的观测，并在每年底将观测结果记录如下表：观测年份该地区沙漠面积比原有（1997年底）面积增加数19982000199940002000600120017999200210001请根据上表所给的信息进行估计.（1）如果不采取任何措施，到2020年底，这个地区的沙漠面积大约变成多少2hm ？（2）如果从2003年初开始，采取植树造林等措施，每年改造面积28000hm 沙漠，但沙漠面积仍按原有速度增加，那么到哪一年年底，这个地区的沙漠面积将首次小于52810hm ?⨯20.已知椭圆C 的中心在原点O ，且它的一个焦点F 为).点12,A A 分别是椭圆的左､右顶点，点B 为椭圆的上顶点，OFB △的面积为32.点M 是椭圆C 上在第一象限内的一个动点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若把直线12,MA MA 的斜率分别记作12,k k ，若1234k k +=-，求点M 的坐标；（3）设直线1MA 与y 轴交于点P ，直线2MA 与y 轴交于点Q .令PB BQ λ=，求实数λ的取值范围.21.已知函数()(),y f x y g x ==,其中()()21,ln f x g x x x==.（1）求函数()y g x =在点()()1,1g 的切线方程;（2）函数()()2,R,0y mf x g x m m =+∈≠是否存在极值点,若存在求出极值点,若不存在,请说明理由;（3）若关于x 的不等式()()af x g x a +≥在区间(]0,1上恒成立,求实数a 的取值范围.2023届奉贤区高三一模考试数学试卷一､填空题（1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1.设{}{12},Z A x x B x x =-<<=∈∣∣，则A B = __________.【答案】{}0,1##{}1,0【分析】根据交集的知识求得正确答案.【详解】依题意，集合B 的元素是整数，所以{}0,1A B = .故答案为：{}0,12.已知()1i i 3i a a ∈+=+R ，，（i 为虚数单位），则=a __________.【答案】3-【分析】两个复数相等，则实部和虚部分别相等.【详解】因为()1i i i 3i a a +=-=+，又a ∈R ,所以3a -=，即3a =-.故答案为：3-.3.方程20x x c ++=的两个实数根为12,x x ，若2212213x x x x +=，则实数c =__________.【答案】3-【分析】根据韦达定理求解即可.【详解】20x x c ++=，121x x +=-，12x x c =.()11211222223x x x x x x c x x ==-+=+，解得3c =-.故答案为：3-4.已知等差数列{}n a 中，79415,1a a a +==，则12a 的值等于__________.【答案】14【分析】利用等差数列的通项公式求出1a ，d ，便可求得12a .【详解】解：由题意得：{}n a 等差数列，所以设等差数列的首项为：1a ，公差为：d又7915a a += ，41a =1113121415831138a a d a d d ⎧=-⎪+=⎧⎪∴⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩112311*********a a d ∴=+=-+⨯=故答案为：145.己知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，它的渐近线方程为2y x =±，则它的离心率等于__________.【答案】【分析】利用双曲线的性质和,,a b c 之间的关系即可求得离心率.【详解】由已知双曲线的渐近线方程为2by x x a=±=±所以2b a =，故22224b a c a ==-所以225c a =，故2225c e a==所以离心率e =6.若两个正数a b ､的几何平均值是1，则a 与b 的算术平均值的最小值是__________.【答案】1【分析】根据基本不等式和几何平均数、算数平均数的概念判断即可.【详解】根据基本不等式可得12a b+≥=，所以a 与b 的算数平均数的最小值为1.故答案为：1.7.在二项式11(1)x +的展开式中，系数最大的项的系数为__________（结果用数值表示）.【答案】462【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后利用二项式系数的性质可求得结果.【详解】二项式11(1)x +的展开式的通项公式为11111C rrr T x-+=，所以当=5r 或6r =时，其系数最大，则最大系数为561111C C 462==，故答案为：462.8.下表是1317-岁未成年人的身高的主要百分位数（单位：cm ）.小明今年16岁，他的身高为176cm ，他所在城市男性同龄人约有6.4万人.可以估计出小明的身高至少高于他所在城市__________万男性同龄人.1317-岁未成年人的身高的主要百分位数P1P5P10P25P50P75P90P95P991315-岁男141147151157164169174177182女1431471501531571611651671711617-岁男155160163167171175179181186女147150152155159163166169172数据来源：《中国未成年人人体尺寸）（标准号：GB /T261582010-）.【答案】4.8【分析】由百分位数估算出身高低于小明的男性同龄人所占比例，再乘男性同龄人总人数即可.【详解】小明今年16岁，从表中可以得出，1617-岁男性身高的主要百分位数中，P75175cm =，P90179cm =，小明的身高为176cm ，介于P75和P90之间，说明至少有75%的男性同龄人身高低于小明，∵小明所在城市男性同龄人约有6.4万人，∴小明的身高至少高于6.475% 4.8⨯=（万人）.故答案为：4.8.9.从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率是__________.（结果用最简分数表示）.【答案】635【分析】根据古典概型的概率公式即可求出．【详解】从正方体的8个顶点中任取4个，有48C 70n ==个结果，这4个点在同一个平面的有6612m =+=个，故所求概率1267035m P n ===．故答案为：635．10.长方体1111ABCD A B C D -的底面是边长为1的正方形，若在侧棱1AA 上至少存在一点E ，使得190∠=E C B ，则侧棱1AA 的长的最小值为__________.【答案】2【分析】根据190∠=E C B ，利用勾股定理建立方程，则方程有解即可求解.【详解】设[]11,,,0,,AA h AE x A E h x x h ===-∈222222222111,(),1.BE x C E h x BC h =+=+-=+又因为190∠=E C B ，所以22211,BE C E BC +=即2222221()1,x h x h +++-=+化简得210x hx -+=，即关于x 的方程[]210,0,x hx x h -+=∈有解，当0x =时，不符合题意，当0x >时，所以12h x x =+≥，当且仅当1x x=，即1x =时取得等号，所以侧棱1AA 的长的最小值为2，故答案为:2.11.设0,0p q >>且满足()162025log log log p q p q ==+，则pq=__________.【分析】令()162025log log log p q p q k ==+=，则45kk p q =，根据()()224455k k k k p q +=+⋅=即可求解．【详解】令()162025log log log p q p q k ==+=，则16,20,25k k kp q p q ==+=所以()()224455k k k k p q +=+⋅=，整理得()2224454415555k k k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫⋅+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得45152k k =，所以16412052k k k k p q -===12.已知某商品的成本C 和产量q 满足关系50000200C q =+，该商品的销售单价p 和产量q 满足关系式21242005p q =-，则当产量q 等于__________时，利润最大.【答案】200【分析】首先求出关于利润的表达式，再利用导数求出函数的单调性，即可求解.【详解】由题意可知，设利润为()f q ，则()()2311()24200500002002400050000055f q q q q q q q ⎛⎫=--+=-+-≥ ⎪⎝⎭，而23()240005f q q '=-+，当()0f q '>时，0200q <<，()0f q '<时，200q >，即()f q 在()0200，单调递增，()200+∞，单调递减，所以200q =时，利润最大.故答案为：200二､选择题（13-14每题4分，1516-每题5分，共18分）13.下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（）A.y x =与11y x -⎛⎫= ⎪⎝⎭B.y x =与2y =C.y x =与ln e x y = D.y x =与y =【答案】D【分析】根据相同函数的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，函数y x =的定义域为R ；函数11y x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域为{}|0x x ≠，不是相同函数.B 选项，函数y x =的定义域为R；函数2y =的定义域为{}|0x x ≥，不是相同函数.C 选项，函数y x =的定义域为R ；函数ln e x y =的定义域为{}|0x x >，不是相同函数.D 选项，由于y x ==，所以y x =与y =的定义域、值域都为R ，对应关系也相同，所以y x =与y =是相同函数.故选：D14.紫砂壸是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壸的壸型众多，经典的有西施壸､掇球壸､石飘壸､潘壸等．其中，石瓢壸的壸体可以近似看成一个圆台．如图给出了一个石瓢壸的相关数据（单位：cm ），那么该壸的容积约接近于（）A.3100cmB.3200cm C.3300cm D.3400cm 【答案】B【分析】根据圆台的体积公式计算即可．【详解】解：设R 为圆台下底面圆半径，r 为上底面圆半径，高为h ，则5R =，3r =，4h =，()221π3V h R Rr r ∴=++圆台()()31196ππ425159200cm 33=⨯⋅++=≈，故选：B ．15.下列结论不正确的是（）A.若事件A 与B 互斥，则()()()P A B P A P B ⋃=B.若事件A 与B 相互独立，则()()()P A B P A P B ⋂=C.如果X Y ､分别是两个独立的随机变量，那么[][][]D X Y D X D Y +=+D.若随机变量Y 的方差[]3D Y =，则[]2112D Y +=【答案】A【分析】由已知，选项A ，根据事件A 与B 互斥，可知()()()P A B P A P B =+ ；选项B ，根据事件A 与B 相互独立，可知()()()P A B P A P B ⋂=；选项C ，根据X Y ､分别是两个独立的随机变量，可得[][][]D X Y D X D Y +=+；选项D ，由[]3D Y =，可得[][]221212D Y D Y +=⨯=，即可作出判断.【详解】由已知，选项A ，若事件A 与B 互斥，则()()()P A B P A P B =+ ，故该选项错误；选项B ，若事件A 与B 相互独立，则()()()P A B P A P B ⋂=，故该选项正确；选项C ，若X Y ､分别是两个独立的随机变量，那么[][][]D X Y D X D Y +=+，故该选项正确；选项D ，若随机变量Y 的方差[]3D Y =，则[][]22124312D Y D Y +=⨯=⨯=，故该选项正确；故选：A.16.已知a ，b ，α，β∈R ，满足sin cos a αβ+=，cos sin b αβ+=，2204a b <+≤，有以下2个结论：①存在常数a ，对任意的实数b ∈R ，使得()sin αβ+的值是一个常数；②存在常数b ，对任意的实数a ∈R ，使得()cos αβ-的值是一个常数.下列说法正确的是（）A.结论①、②都成立B.结论①不成立、②成立C.结论①成立、②不成立D.结论①、②都不成立【答案】B【分析】根据三角恒等变换的知识，分别将()sin αβ+和()cos αβ-用a ，b 表示即可.【详解】对于结论①，∵sin cos a αβ+=，cos sin b αβ+=，∴222sin 2sin cos cos a ααββ=++，222cos 2cos sin sin b ααββ=++，∴()2222sin cos 2cos sin 22sin a b αβαβαβ+=++=++，∴()222sin 2a b αβ+-+=，∴当a 为常数，b ∈R 时，()222sin 2a b αβ+-+=不是一个常数，故结论①不成立；对于结论②，方法一：∵()()sin cos cos sin ab αβαβ=++sin cos sin sin cos cos sin cos αααβαβββ=+++()cos sin cos sin cos αβααββ=-++又∵()()sin cos αβαβ+-()()sin cos cos sin cos cos sin sin αβαβαβαβ=++2222sin cos cos sin sin cos cos sin cos sin cos sin ααβαββαββααβ=+++()()2222sin cos sin cos sin cos sin cos ββααααββ=+++sin cos sin cos ααββ=+∴()cos sin cos sin cos ab αβααββ=-++()()()cos sin cos αβαβαβ=-++-()()22cos cos 22a b αβαβ+-=-+-化简得()222cos ab a b αβ-=+，∴存在常数0b =，对任意的实数a ∈R ，使得()cos 0αβ-=，故结论②成立.方法二：（特值法）当π2αβ=+时，cos sin cos sin sin π2sin 0b βαββββ +⎛⎫=+=+=-+=⎪⎝⎭，∴π2αβ-=，∴()cos cos 0π2αβ-==.∴存在常数0b =，对任意的实数a ∈R ，使得()cos 0αβ-=，故结论②成立.故选：B.【点睛】本题中结论②的判断，使用常规三角恒等变换的方法运算量较大，对于存在性结论，使用特值法可以有效验证其正确性，减少运算量.三､解答题（17-19每题14分，20-21每题18分，共78分）17.已知()y f x =为奇函数，其中()()()cos 2,0,πf x x θθ=+∈.（1）求函数()y f x =的最小正周期和()f x 的表达式；（2）若4π,,π252f αα⎛⎫⎛⎫=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求πsin 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）π，()sin2f x x=-（2）410-【分析】（1）根据2cos2cos 0x θ=列关于θ的等式，即可求出解析式，得到周期；（2）根据4,,252f απαπ⎛⎫⎛⎫=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求出4sin 5α=，与cos α然后再求解.【小问1详解】因为()y f x =为奇函数，所以()()0f x f x +-=，化简得到求出2cos2cos 0x θ=()0,πθ∈，所以π2θ=()sin2f x x =-，最小正周期是π；【小问2详解】若44,sin 255f αα⎛⎫=-∴= ⎪⎝⎭π3,π,cos 25αα⎛⎫∈∴=- ⎪⎝⎭所以πππ433sin sin cos cos sin 33310ααα-⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭18.如图，在四面体ABCD 中，已知BA BD CA CD ===.点E 是AD 中点.（1）求证：AD ⊥平面BEC ；（2）已知95,arccos,625AB BDC AD ∠===，作出二面角D BC E --的平面角，并求它的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）作图见解析，31717【分析】（1）根据三线合一，线面垂直判定定理解决即可；（2）取BC 的中点F ，由BDE CDE ≅△△，得EFBC ⊥，得DEF ∠是二面角D BC E --的平面角，再由勾股定理，余弦定理，直角三角形特点解决即可.【小问1详解】,AB BD E = 是AD 中点，BE AD∴⊥又,AC CD E = 是AD 中点，CE AD∴⊥,BE CE E BE CE =⊂，Q I 面BEC所以AD ⊥面BEC【小问2详解】由题知，5BA BD CA CD ====，9arccos,625BDC AD ∠==，取BC 的中点F ，连接,EF DF ，,DB DC DF BC =∴⊥ ,根据三角形全等证明方法,可以证明,BDE CDE EB EC ≅∴= ,EF BC ∴⊥,所以DFE ∠是二面角D BC E --的平面角，利用勾股定理计算出4,BE =,由余弦定理得225259cos 25525BC BDC +-∠==⨯⨯，解得BC =所以DF ==EF ==所以222EF DE DF +=，所以Rt DEF △中，sin17DE DFE DF ∠===.19.某地区1997年底沙漠面积为52910hm ⨯（注：2hm 是面积单位，表示公顷）.地质工作者为了解这个地区沙漠面积的变化情况，从1998年开始进行了连续5年的观测，并在每年底将观测结果记录如下表：观测年份该地区沙漠面积比原有（1997年底）面积增加数19982000199940002000600120017999200210001请根据上表所给的信息进行估计.（1）如果不采取任何措施，到2020年底，这个地区的沙漠面积大约变成多少2hm ？（2）如果从2003年初开始，采取植树造林等措施，每年改造面积28000hm 沙漠，但沙漠面积仍按原有速度增加，那么到哪一年年底，这个地区的沙漠面积将首次小于52810hm ?⨯【答案】（1）529.4610hm ⨯（2）到2021年底这个地区沙漠治理的总面积首次小于52810hm ⨯【分析】(1)从增加数看,数字稳定在2000附近,所以可认为沙漠面积的增加值构成一个等差数列.求2010年底的沙漠面积可利用数列的通项公式,首项可以选2002年的增加数.列出经过n 年后的沙漠面积,再根据已知列出不等式.（2）设在2002年的基础上,再经过n 年,该地区的沙漠面积将小于52810hm ⨯,列出不等式能求出结果.【小问1详解】从表中数据看，每年沙漠面积增长量可以假设是一个等差数列，公差约22000hm ，假设n a 表示n 年底新增沙漠面积，那么到2020年底新增沙漠面积约()42202020021810000182000 4.610hm a a d =+≈+⨯=⨯，到2020年底，这个地区的沙漠面积将大约变成5452910 4.6109.4610hm ⨯+⨯=⨯.【小问2详解】以2003年年底为第一年，设x 年年底后这个地区的沙漠面积小于52810hm ⨯,54591011020008000810x x ⨯+⨯+-<⨯,化简得18.3x >,所以到2021年底这个地区沙漠治理的总面积首次小于52810hm ⨯.20.已知椭圆C 的中心在原点O ，且它的一个焦点F为).点12,A A 分别是椭圆的左､右顶点，点B 为椭圆的上顶点，OFB △的面积为32.点M 是椭圆C 上在第一象限内的一个动点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若把直线12,MA MA 的斜率分别记作12,k k ，若1234k k +=-，求点M 的坐标；（3）设直线1MA 与y 轴交于点P ，直线2MA 与y 轴交于点Q .令PB BQ λ= ，求实数λ的取值范围.【答案】（1）22141x y +=（2）64,55M ⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）()0,1λ∈【分析】（1）根据焦点坐标、三角形面积、223a b -=就是可得答案；（2）设()()000,,02<<M x y x ，利用点M 在椭圆上和1234k k +=-可求出点M 坐标；（3）求出直线1MA 、直线2MA 的方程可得P Q 、点坐标及, PB BQ ，利用PB BQ λ= 得到121221λ-=--k k ，再由1214k k =-可得12λ=k，即1=k ，利用0x 的范围可得答案.【小问1详解】223213122a b a bc b c ⎧-=⎪=⎧⎪=∴⎨⎨=⎩⎪⎪=⎩，所以椭圆标准方程为2214x y +=；【小问2详解】设()00,M x y ，()()122,0,2,0A A -，2200000000143,2240,0x y y y x x x y ⎧+=⎪⎪⎪+=-⎨+-⎪⎪>>⎪⎩得到006545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以64,55M ⎛⎫ ⎪⎝⎭；【小问3详解】因为点M 是椭圆C 上在第一象限内的点，所以002x <<，直线1MA 的方程为()()1120,2y k x P k =+∴，直线2MA 的方程为()()2220,2y k x Q k =-∴-，所以()()120,12,0,21PB k BQ k =-=-- ，λ= PB BQ ，121221k k λ-∴=--，200012200012244y y y k k x x x =⋅==-+-- ，1111221214k k k λ-∴==-⨯--，()010000,22y k x x ===∈+ ，()041,22x ∴∈+，则110,2k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0,1λ∴∈.21.已知函数()(),y f x y g x ==,其中()()21,ln f x g x x x ==.（1）求函数()y g x =在点()()1,1g 的切线方程;（2）函数()()2,R,0y mf x g x m m =+∈≠是否存在极值点,若存在求出极值点,若不存在,请说明理由;（3）若关于x 的不等式()()af x g x a +≥在区间(]0,1上恒成立,求实数a 的取值范围.【答案】（1）10x y --=（2）0m <,不存在极值点;0m >,存在一个极小值点x =无极大值点（3）12a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭【分析】(1)对()y g x =求导,求出切点斜率,再根据切点求出切线方程即可;(2)令()()()2H x mf x g x =+,对()H x 进行求导,再讨论0m <及0m >时导函数的正负及极值点即可;(3)将()(),f x g x 代入,先讨论1x =时a 的取值范围,再全分离,构造新函数,求导求单调性求最值,即可得出a 的取值范围.【小问1详解】解:由题知()ln ,g x x = ()1g x x'∴=,()10,g =()1111k g ∴===',所以在点()()1,1g 的切线方程为()01y x -=-,即10x y --=;【小问2详解】设()()()222ln m H x mf x g x x x =+=+,定义域()0,∞+,()2332222m x m H x x x x -∴=-+=',当0m <时,()0H x '>恒成立,所以()()()2H x mf x g x =+在()0,∞+单调递增,所以不存在极值点,当0m >时,令()0,H x x ='∴=，当x >时,()0H x '>，当0x <<时,()0H x '<，所以()()()2H x mf x g x =+在(单调递减,在)+∞单调递增,所以函数存在一个极小值点x =无极大值点,综上:0m <时,不存在极值点,0m >时,存在一个极小值点x =无极大值点;【小问3详解】由题知原不等式()()af x g x a +≥,可化为211ln 0a x x ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭,当1x =时,R a ∈恒成立,当()0,1x ∈时2ln 11xa x -≥-,即2ln 11x a x≥-,由(2)知()()221ln N x x x =+在1x =有最小值()11N =,所以()2211ln x x -≤,()0,1x ∈ ,2110x ∴-<,()2211<ln 0x x ∴-<,()22ln 111x x ∴<-,即2ln 1121x x<-,2ln 11x a x≥- ,12a ∴≥,综上:12a a ⎧⎫≥⎨⎩⎭.【点睛】方法点睛:该题考查导数的综合应用，属于难题，关于恒成立问题的方法如下:(1)若x D ∀∈，()f x a ≥恒成立，则只需()min f x a ≥;(2)若x D ∃∈，()f x a ≥恒成立，则只需()max f x a ≥;(3)若x D ∀∈，()f x a ≤恒成立，则只需()max f x a ≤;(4)若x D ∃∈，()f x a ≤恒成立，则只需()min f x a ≤;(5)若12,x A x B ∀∈∀∈，()()12f x g x ≤恒成立，则只需()()max min f x g x ≤;(6)若12,x A x B ∀∈∃∈，()()12f x g x ≤恒成立，则只需()()max max f x g x ≤;(7)若12,x A x B ∃∈∀∈，()()12f x g x ≤恒成立，则只需()()min min f x g x ≤;(8)若12,x A x B ∃∈∃∈，()()12f x g x ≤恒成立，则只需()()min max f x g x ≤.。