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- 230 -第8章 M 通道滤波器组8．1 M 通道滤波器组的基本关系图8.1.1是一个标准的M 通道滤波器组。
图8.1.1 M 通道滤波器组由第五章~第七章的讨论，我们不难得到图中各处信号之间的如下相互关系： ()()()k k X z X z H z = (8.1.1)1101111()()1 ()() (8.1.2)M lMk kM l M l lMMMk M l V z XW z M X Wz H W z M-=-===∑∑及 101()()()() M l lMk k Mk M l U z V z X zWH zW M-===∑ (8.1.3)滤波器组的最后输出111ˆ()()()1()()() (8.1.4)M k kk M M llM k M k l k X z G z U z X zW H zW G z M-=--====∑∑∑. . . ˆ()z (X- 231 -令 101()()() (8.1.5)M ll kM k k A z HzW G z M-==∑则 10ˆ()()() (8.1.6)M l l Ml X z A z X zW -==∑ 这样，最后的输出ˆ()X z 是()lMX zW 的加权和。
由于 (2/)()()j lj l M M z e X zW X e ωωπ-== (8.1.7)在0l ≠时是()j X e ω的移位，因此，ˆ()j Xe ω是()j X e ω及其移位的加权和。
由上一章的讨论可知，在0l ≠时，(2/)()j l M X e ωπ-是混迭分量，应想办法去除。
显然，若保证()0 1~1l A z l M ==- (8.1.8)则可以去除图8.1.1所示滤波器组中的混迭失真.再定义1001()()()()M kk k T z A z Hz G z M-==∑ (8.1.9)显然，()T z 是在去除混迭失真后整个系统的转移函数。
这时，ˆ()Xz 是否对()X z 产生幅度失真和相位失真就取决于()T z 的性能。
81 为了看清图3.3.4中交叉项的行为，我们将该图作了旋转，因此，水平方向为频率，垂直方向为时间。
图3.3.3 例3.3.3的WVD 图3.3.4 例3.3.4的WVD例3.3.5 令 ()2142t x t e ααπ-⎛⎫= ⎪⎝⎭（3.3.5）可求出其WVD 为 ()22,2exp[]x W t t ααΩ=--Ω（3.3.6）这是一个二维的高斯函数，，且是恒正的，如图3.3.5所示。
()Ω,t W x 由该图可以看出，该高斯信号的WVD 的中心在处，峰值为2。
参数控()()0,0,=Ωt α制了WVD 在时间和频率方向上的扩展。
越大，在时域扩展越小，而在频域扩展越大，反α之亦然。
其WVD 的等高线为一椭圆。
当WVD 由峰值降到时，该椭圆的面积。
1-e π=A 它反映了时－频平面上的分辨率。
如果令 ，，则的谱图()2142t h t e ααπ-⎛⎫=⎪⎝⎭()2142t x t eββπ-⎛⎫= ⎪⎝⎭()t x ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡Ω+-+-+=Ω2221exp 2,βαβααββααβt t STFT x82（3.3.7）图3.3.5 例3.3.5的WVD,（a ）高斯信号，（b ）高斯信号的WVD它也是时－频平面上的高斯函数。
当其峰值降到时，椭圆面积。
这一结果说明，1-e π2=A WVD 比STFT 有着更好的时－频分辨率。
如果令 ()()tj et t x t x 001Ω-=（3.3.8）式中是（3.3.5）式的高斯函数。
是的时移加调制，其WVD 是：()t x ()t x 1()t x （3.3.9）()12200,2exp[()()/]x W t t t ααΩ=---Ω-Ω它将（3.3.6）式的由移至处。
其WVD 图形请读者()Ω,t W x ()()0,0,=Ωt ()()00,,Ω=Ωt t 自己画出。
83例3.3.6令 ()2201422j tt j t z t ee e αβαπΩ-⎛⎫=⎪⎝⎭（3.3.10）它是由（3.3.5）式的与()t x ()202j t j t y t Aee βΩ=（3.3.11）相乘而得到的（在（3.3.9）式中，A=1）。
203⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=----)()()()(~01011010z H z z H z z H z H N N m Η (7.6.4b)利用（7.4.9b ）的关系，有I ΗΗ210012~=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=m m(7.6.5)这样，由(7.6.3)式，CQMFB 的分析滤波器组可以构成仿酉矩阵，其对应的系统也是仿酉系统。
由（7.6.4a ）及(7.4.1)式有)1(2det ---=N m z Η(7.6.6)将这一结果代入(7.2.12)式，并令式中的k ＝0，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----=--)()()()(0101)1(z H z H z H z H zN m G⎥⎦⎤⎢⎣⎡------=--------)()()()(2010)1(010)1()1(z H z H zz H z H z zN N N （7.6.7） 将(7.6.4a)及(7.6.7)代入(7.2.10)式，有X ΗG X T m m 21ˆ=X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⎥⎦⎤⎢⎣⎡------=--------------)()()()()()()()(10)1(10)1(00010)1(010)1()1(z H z z H z z H z H z H z H zz H z H z zN N N N N X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=--10012)1(2N z(7.6.8) 因此，实现了对X 的准确重建。
上面的结论说明，仿酉的调制矩阵m Η直接引出了对)(n x 的准确重建系统，也即CQMFB 。
由(7.6.7)式，可导出0G ，1G 和0H 的关系，即(7.4.2)式。
由上面的讨论可以看出，仿酉滤波器组总是包含了功率互补的关系。
需要指出的是，仿酉系统等效CQMFB ，可以实现准确重建。
但可实现准确重建的系统却并不一定是仿酉的。
现在利用上述讨论的结果来给出仿酉系统的多相表示形式。
记204)()()(20112000z E z z E z H -+= （7.6.9a ） )()()(21112101z E z z E z H -+=（7.6.9b ） )()()(20120010z R z R z z G +=- （7.6.9c ） )()()(21121011z R z R z z G +=-（7.6.9d ）式中)(ij ij R E 的下标i 代表0H ，1H 的序号，j 代表多相结构的序号。
现代信号处理技术摘要：信号处理是指将语言、图像，雷达、声纳等电信号或其他电测非电信号〔如震动)进行过滤、平滑，压缩、变挨、重构等加工过程的理论和技术，以及这些技术在电子和非电子领城中的应用。
VLSI阵列处理器的设计提供了先进的手段，促使砚代信号处理技术更迅速的发展和广泛的应用。
关键词：现代信号处理；VLSI矩阵处理Abstract: the signal processing is to point to will language, image, radar, sonar signal or other electrical measurement, theelectrical signals (such as vibration), smooth filter, compression,variable get, restructuring of the machining process theory andtechnology, as well as the technology in the electronic and theapplication of electronic brought city. DFM array processor designprovides advanced means, prompted inkstone generation signalprocessing technology more rapid development and wideapplication.Keywords:modern signal processing; DFM matrix processing信号处理是指将语言、图像，雷达、声纳等电信号或其他电测非电信号…如震动)进行过滤、平滑，压缩、变挨、重构等加工过程的理论和技术，以及这些技术在电子和非电子领城中的应用。
本世纪初的信号处理主要使用模拟元件，到了50年代也只有低频的地震信号才用数字滤波的概念进行处理。
224第8章 M 通道滤波器组8．1 M 通道滤波器组的基本关系图8.1.1是一个标准的M 通道滤波器组。
图8.1.1 M 通道滤波器组由第五章~第七章的讨论，我们不难得到图中各处信号之间的如下相互关系： ()()()k k X z X z H z = (8.1.1)1101111()()1 ()() (8.1.2)M lMk kM l M l lMMMk M l V z XW z M X Wz H W z M-=-===∑∑及 101()()()() M l lMk k Mk M l U z V z X zWH zW M-===∑ (8.1.3)滤波器组的最后输出111ˆ()()()1()()() (8.1.4)M k kk M M llM k M k l k X z G z U z X zW H zW G z M-=--====∑∑∑. . . ˆ()z (X225令 101()()() (8.1.5)M ll kM k k A z HzW G z M-==∑则 10ˆ()()() (8.1.6)M l l Ml X z A z X zW -==∑ 这样，最后的输出ˆ()X z 是()lMX zW 的加权和。
由于 (2/)()()j lj l M M z e X zW X e ωωπ-== (8.1.7)在0l ≠时是()j X e ω的移位，因此，ˆ()j Xe ω是()j X e ω及其移位的加权和。
由上一章的讨论可知，在0l ≠时，(2/)()j l M X e ωπ-是混迭分量，应想办法去除。
显然，若保证()0 1~1l A z l M ==- (8.1.8)则可以去除图8.1.1所示滤波器组中的混迭失真.再定义1001()()()()M kk k T z A z Hz G z M-==∑ (8.1.9)显然，()T z 是在去除混迭失真后整个系统的转移函数。
这时，ˆ()Xz 是否对()X z 产生幅度失真和相位失真就取决于()T z 的性能。
若()T z 是全通的，也即()j T e ωωπ=≤常数，，那么滤波器组可避免幅度失真，若()T z 再具有()kT z cz-=的形式，那么滤波器组又将消除相位失真。
因此，（8.1.9）式的()T z 和（7.2.4）式的()T z 一样，都称为“失真函数”。
由（8.1.5）式，11()~()M A z A z -能否为零取决于()()0~1k k H z G z k M =-，，的性质。
将该式写成矩阵形式，有011000111111101111()()()()()()()()()()()()()()()M M M M M M M M H z H z H z A z G z H zW H zW H zW A z G z M H zW H zW H zW A z G z --------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦(8.1.10) 令001()[(),0,,0], ()[(),,()] TTM z MA z z G z G z -== t g (8.1.11)并令（8.1.10）式右边的矩阵为()z H ，则在去除混迭失真的情况下，有()()()z z z =t H g (8.1.12)226式中()z H 的第一行是01(),,()M H z H z - ，第二至第M -1行分别是由这M 个滤波器的依次移位所构成。
因此，()z H 又称“混迭分量（Alias Component ，AC ）矩阵”。
它等效于两通道情况下由（7.2.8a ）式给出的矩阵m H 。
由（8.1.12）式，我们有1()()()z z z -=g H t (8.1.13)为保证去除混迭失真，可选0()[(),0,,0][',0,,0]T k z MA z c z -== t 。
这样，若()z H 已知，即可求出综合滤波器组()z g 。
且整个的M 通道滤波器组还具有PR 性质。
但（8.1.13）式在实际应用中有一系列的问题，这是因为：adj ()()()det ()z z z z =H g t H (8.1.14)式中adj ()z H 是()z H 的伴随矩阵。
（1） 若()z H 是FIR 的，显然det ()z H 也是FIR 的，这时()z g 将变成IIR 的； （2） 若选择0d e t ()()nz c z z -=H t，这时()z g 可保证是FIR 的，但由于()a d j (z z =g H ，因此()z g 的阶次将远大于()z H ；（3） 若()z H 有零点在单位圆上，()z g 的幅度将会产生较大的失真。
此外，由（8.1.13）式或（8.1.14）式并不容易找出()z H 、()z g 的关系以及()z H 自身应具有的特点，因此，我们需要采用多相结构的方法来研究如何去除混迭失真及探讨实现PR 的途径。
8．2 M 通道滤波器的多相结构仿照（7.6.9）和（7.6.10）式，在多通道情况下的分析滤波器组可表为：1,0()()M l M k k l l H z z E z --==∑ (8.2.1)写成矩阵形式，有00,00,10,1111,01,11,1(1)11,01,11,1()1()()()()()()()()()()()MM M M M M MM M M M M M M M M M H z E z E z E z H z z E z E z E z H z z E z E z E z ----------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦(8.2.2) 记 1(1)011()[(),(),,()], ()[1,,,] (8.2.3)T M TM z H z H z H z z z z----== h e227并记（8.2.2）式右边的矩阵为()M z E ，则()()()M z z z =h E e (8.2.4)()M E z 称为多相矩阵，而()z h 是由上一节的AC 矩阵()z H 的第一列构成的。
同理，对综合滤波器组()k G z 按第二类多相结构展开，有1(1),0()()M M l M k l k l G z z R z ----==∑ (8.2.5)写成矩阵形式：[](1)(2)0110,00,10,11,01,11,11,01,11,1(),(),,(),,,1 ()()()()()() ()()()M M M M M M M M M MM M M M M M M M G z G z G z z z R z R z R z R z R z R z R z R z R z -----------⎡⎤=⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(8.2.6)记该式右边的多相矩阵为()Mz R ，则（8.2.6）式可写为如下更简洁的形式：(1)()()()T M M z z z z --=g eR (8.2.7) 式中()z g 已在（8.1.11）式中定义，1()[()]T z z -=ee 。
利用（8.2.2）和（8.2.6）式，图8.1.1的M 通道滤波器组可改为图8.2.1(a)的形式。
再利用恒等变换，又可改成图（b ）和（c ）的形式。
在图（c ）中，()()()z z z =P R E该图的得到过程与图7.6.1和图7.6.2的导出过程相类似。
因此，对整个滤波器组的分析可集中到矩阵()z E 和()z R 的分析，或简单的()z P 的分析。
若()z P 为单位阵，我们可以想象，那么该滤波器组一定可以实现准确重建。
至此，我们已讨论了M 通道滤波器组的两种表示形式，一是用（8.1.10）式的AC 矩阵表示的形式，二是用（8.2.2）式表示的多相形式。
在深入讨论()z E 、()z R 的性能对整个系统PR 性能的影响之前，我们先讨论一下，AC 矩阵()z H 和多相矩阵()z E 的关系。
由（8.2.3）式对()z h 的定义及（8.1.10）式对()z E 的定义，我们有 1()[(),(),,()]TM z z zW zW -=H h h h (8.2.8)由（8.2.2）式，()T z H 又可表为11()[()(),()(),,()()] ()[(),(),,()]T M M M M MM z z z z zW z zW z z zW zW--==H E e E e E e E e e e228图8.2.1 M 通道滤波器组的多相结构； (a)直接表示； (b)利用恒等变换后的表示； (c)进一步的简化表示记 11(1)(1)11111M M M M W WWW ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦W (8.2.9) 1(1)()[1,,,]M z diag z z---= D (8.2.10)(a)()X zˆ()z(b)()X zˆ()z (c)()X zˆ()z 0()u n0()v n229则 *()()()T M z z z =H E D W (8.2.11a) 或 ()()()H T M z z z =H W D E (8.2.11b) （8.2.11）式即是混迭分量矩阵()z H 和多相矩阵()M z E 的关系。
8．3 混迭抵消和PR 条件的多相表示我们在8.1节已指出，若11(),,()M A z A z - 全为零，则可实现混迭抵消。
进一步，若()T z 为全通函数，或()k T z cz -=，则M 通道滤波器组可以实现准确重建。
现在我们讨论这些条件的多相表示。
定理8.1 一个M 通道最大抽取滤波器组混迭抵消的充要条件是多相矩阵()()()z z z =P R E为伪循环矩阵。
所谓的伪循环矩阵，它是由一个循环矩阵0121101221031230()()()()()()()()()()()()()()()()M M M M M M P z P z P z P z P z P z P z P z P z P z P z P z Pz P z P z P z ------⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦将其主对角线以下的元素都乘以1z -所得到的矩阵，即0121110121121031111230()()()()()()()()()()()()()()()()M M M M M M P z P z P z P z z P z P z P z P z z P z z P z P z P z z Pz z P z z P z P z ------------⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦该伪循环矩阵所对应的时域关系是：0121101221031230()()()()(1)()()()(1)(1)()()(1)(1)(1)()M M M M M M p n p n p n p n p n p n p n p n p n p n p n p n p n p n p n p n ------⎡⎤⎢⎥-⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦现证明定理8.1。
