3.3函数的基本性质(奇偶性) 教案
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第三章：函数的基本性质
第四节：函数的基本性质
【知识讲解】
1.函数的奇偶性的定义：设()y f x =，x A ∈，如果对于任意x A ∈，都有()()f x f x -=-，则称函数
()y f x =为奇函数；如果对于任意x A ∈，都有()()f x f x -=，则称函数()y f x =为偶函数；
2.奇偶函数的性质：
()1函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称； ()
2()f x 是偶函数⇔()f x 的图象关于y 轴对称；
()f x 是奇函数⇔()f x 的图象关于原点对称；
()3奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性.
3.()f x 为偶函数()()(||)f x f x f x ⇔=-=．
4.若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =．
主要方法：
1.判断函数的奇偶性的方法：
()1定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称. 若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断
()()f x f x =-或()()f x f x =-是否定义域上的恒等式；
()2图象法；
()3性质法：①设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域1
2D D D =上：奇±奇
=奇，偶±偶=偶，奇⨯奇=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇；
②若某奇函数若存在反函数，则其反函数必是奇函数；
2. 判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，
()
1()
f x f x =±-．
典型例题
例1．()f x 为R 上的奇函数，当0x >时，2
()231f x x x =-++，当x<0时,求()f x 解：设0x <，由于()f x 是奇函数，故()()f x f x =--，
又0x ->，由已知有2
2
()2()3()1231f x x x x x -=--+-+=--+
从而解析式为222310()0
02310x x x f x x x x x ⎧-++>⎪
==⎨⎪+-<⎩
． 巩固练习：
1.设奇函数)(x f 的定义域为[-5，5]，若当]5,0[∈x 时，)(x f 的图象如右图，则不等式0)(<x f 的解集为
2.偶函数()f x 在[]0,π上单调递增，则(2),(3),()2
f f f π
--从小到大排列的顺序是 ；
3.已知()f x 是R 上的偶函数，当0x ≥时，2
()2f x x x =-，求()f x 的解析式。
4.已知函数)(x f y =在R 是奇函数，且当0≥x 时，x x x f 2)(2
-=，则0<x 时，)(x f 的解析式为
y
x
O
2
5 y=f(x)
例2.判断下列函数的奇偶性： （1）|1-x |-|1x |)(+=x f ；
（2）x
x
x x f -+⋅-=11)1()(
（3）2
|2|1)(2
-+-=x x x f ；
（4）)(x f =⎩⎨
⎧>+<-).
0()
1(),
0()
1(x x x x x x
巩固练习： 1.已知()f x ＝x （121-x ＋2
1
）.判断()f x 的奇偶性；
2.下面四个结论中，正确命题的个数是（ ）
①偶函数的图象一定与y 轴相交 ②奇函数的图象一定通过原点 ③偶函数的图象关于y 轴对称 ④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f （x ）=0（x ∈R ）
A.1
B.2
C.3
D.4
例3.已知函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 是偶函数，那么cx bx ax x g ++=23)(是
A.奇函数
B.偶函数
C.既奇且偶函数
D.非奇非偶函数
巩固练习：
1.函数c bx ax y ++=2
是偶函数的充要条件是___________ 2.已知8)(35-++=bx ax x x f ，10)2(=-f ，则=)2(f ____．
3.已知5)(3
5
7
++++=dx cx bx ax x f ，其中d c b a ,,,为常数，若7)7(-=-f ，则=)7(f _______
4.若()f x =1
22
2+-+⋅x
x a a 为奇函数，求实数a 的值.
5.已知函数()f x =c
bx ax ++1
2（Z c b a ∈,,）是奇函数，又2)1(=f ，3)2(<f ，求c b a 、、的值.
例4．已知函数()f x 对一切实数,x y 都有()()()f x y f x f y +=+，讨论()f x 的奇偶性并证明。
巩固练习：
1.函数)(x f 的定义域为}0|{≠=x x D ，且满足对于任意D x x ∈21,，有)()()(2121x f x f x x f +=⋅. （1）求)1(f 的值；
（2）判断)(x f 的奇偶性并证明；
2.已知)()()(y f x f y x f +=+对任意实数y x ,都成立，则函数)(x f 是 （ ） （A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ）可以是奇函数也可以是偶函数 （D ）不能判定奇偶性
3.已知函数()f x 满足：()()2()()f x y f x y f x f y ++-=⋅对任意的实数x 、y 总成立，且(1)(2)f f ≠.求证：()f x 为偶函数.
例5．
()1已知()f x 是偶函数，x R ∈，当0x >时，()f x 为增函数，若120,0x x <>，且12||||x x <，则
A .12()()f x f x ->-
B .12()()f x f x -<-
C .12()()f x f x ->-
D . 12()()f x f x -<-
()2设定义在[]2,2-上的偶函数()f x 在区间[]0,2上单调递减，若(1)()f m f m -<，求实数m 的取值范围
巩固练习：
1.已知定义域为R 的函数12()2x x b
f x a
+-+=+是奇函数。
（Ⅰ）求,a b 的值；
（Ⅱ）若对任意的t R ∈，不等式2
2
(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围
课后作业：
1.判断下列函数的奇偶性：
()
1()f x ()
2()2
12()2x x
f x +=
；
()
311()212x f x =
+-； （4）1()log 1a
x
f x x
+=-（其中0a >，1a ≠）
2、若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，则函数)()()(x f x f x F +=的图象关于
.A x 轴对称 .B y 轴对称 .C 原点对称 .D 以上均不对
3、函数)0)(()1
22
1()(≠-+
=x x f x F x 是偶函数，且)(x f 不恒等于零，则)(x f （ ） （A ）是奇函数 （B ）是偶函数 （C ）可能是奇函数也可能是偶函数 （D ）不是奇函数也不是偶函数 4、有下列几个命题：
① 函数122
++=x x y （0，＋∞）上不是增函数； ② 函数1
1
+=
x y 在（－∞，－1）∪（－1，＋∞）上是减函数； ③ 函数245x x y -+=的单调区间是［－2，+∞）；
④ 已知)(x f 在R 上是增函数，若a +b ＞0，则有f （a ）+f （b ）＞f （－a ）+f （－b ）。
其中正确命题的序号是___________________
5、已知函数2
()f x ax bx c =++,[]23,1x a ∈--是偶函数,则a b +=
6、已知1
()21
x
f x m =
++为奇函数，则(1)f -的值为 7、已知5)(3
5
7
++++=dx cx bx ax x f ，其中d c b a ,,,为常数，若7)7(-=-f ，则=)7(f
8、已知函数)(x f y =在R 是奇函数，且当0≥x 时，x x x f 2)(2
-=，则0<x 时，)(x f 的解析式为
9、已知函数()f x 是定义在(),-∞+∞上的偶函数.当(),0x ∈-∞时，4
()f x x x =-，则当()0,x ∈+∞时，
()f x =
10、若()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且1
()()1
f x
g x x +=-，则()f x = ，()g x =
11、定义在)1,1(-上的函数1
)(2
+++=nx x m
x x f 是奇函数，则常数=m ,=n。
