函数奇偶性的教案

函数的奇偶性教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解函数奇偶性的概念；（2）学会判断函数的奇偶性；（3）能够运用函数的奇偶性解决实际问题。

2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、归纳，探索函数的奇偶性；（2）利用函数的奇偶性进行函数图像的变换。

3. 情感态度与价值观：（1）培养学生的逻辑思维能力；（2）激发学生对数学的兴趣，提高学习积极性。

二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）函数奇偶性的概念及其判断方法；（2）函数奇偶性在实际问题中的应用。

2. 教学难点：（1）函数奇偶性的判断方法；（2）函数奇偶性在实际问题中的应用。

三、教学过程1. 导入新课：（1）复习已学过的函数性质，如单调性、周期性等；（2）提问：同学们，你们知道函数还有其他的性质吗？2. 探究新知：（1）介绍函数奇偶性的概念；（2）通过示例，让学生观察、分析、归纳函数的奇偶性；（3）引导学生掌握判断函数奇偶性的方法。

3. 典例分析：（1）分析函数f(x)=x^3的奇偶性；（2）分析函数f(x)=|x|的奇偶性；（3）分析函数f(x)=sinx的奇偶性。

4. 练习巩固：（2）运用函数的奇偶性解决实际问题。

四、课堂小结本节课，我们学习了函数的奇偶性，掌握了判断函数奇偶性的方法，并能够在实际问题中运用。

希望大家能够继续努力学习，不断提高自己的数学能力。

五、课后作业2. 运用函数的奇偶性解决实际问题：已知函数f(x)=x^2+1的图像关于y轴对称，求函数f(x)在x=-1时的值；3. 探究函数的奇偶性与单调性的关系。

六、教学活动设计1. 小组讨论：让学生分组讨论函数奇偶性的性质，以及如何判断一个函数的奇偶性。

2. 案例分析：通过具体的函数例子，让学生理解并掌握函数奇偶性的判断方法。

3. 互动提问：教师提出问题，引导学生思考并回答，以检查学生对函数奇偶性的理解和掌握程度。

七、教学评价1. 课堂问答：通过提问学生，检查他们对函数奇偶性的概念和判断方法的理解。

函数奇偶性教案教学目标：1. 理解奇函数和偶函数的概念。

2. 学会判断函数的奇偶性。

3. 能够运用函数的奇偶性解决实际问题。

教学内容：一、奇函数和偶函数的定义1. 引入奇函数和偶函数的概念。

2. 讲解奇函数和偶函数的定义。

3. 通过例题让学生理解奇函数和偶函数的概念。

二、判断函数的奇偶性1. 介绍判断函数奇偶性的方法。

2. 讲解如何判断一个函数是奇函数还是偶函数。

3. 通过练习题让学生掌握判断函数奇偶性的方法。

三、函数奇偶性的性质1. 介绍函数奇偶性的性质。

2. 讲解奇函数和偶函数的性质。

3. 通过例题让学生理解函数奇偶性的性质。

四、函数奇偶性的应用1. 介绍函数奇偶性在实际问题中的应用。

2. 讲解如何运用函数奇偶性解决实际问题。

3. 通过练习题让学生学会运用函数奇偶性解决实际问题。

2. 让学生评价自己的学习效果。

3. 布置作业，巩固所学知识。

教学方法：1. 采用讲授法，讲解奇函数和偶函数的定义及性质。

2. 采用案例分析法，让学生通过例题理解奇函数和偶函数的概念。

3. 采用练习法，让学生通过练习题掌握判断函数奇偶性的方法。

4. 采用实际应用法，让学生学会运用函数奇偶性解决实际问题。

教学评价：1. 课堂讲解的清晰度和连贯性。

2. 学生练习题的完成情况。

3. 学生运用函数奇偶性解决实际问题的能力。

六、奇偶性在图像上的表现1. 介绍奇偶性在函数图像上的表现。

2. 讲解奇函数和偶函数图像的特点。

3. 通过示例让学生观察并分析奇偶性在函数图像上的表现。

七、函数奇偶性与坐标系的关系1. 介绍函数奇偶性与坐标系的关系。

2. 讲解奇函数和偶函数在不同坐标系中的表现。

3. 通过练习题让学生掌握函数奇偶性与坐标系的关系。

八、函数奇偶性与变换1. 介绍函数奇偶性与变换的关系。

2. 讲解奇函数和偶函数在坐标变换中的性质。

3. 通过例题让学生理解函数奇偶性与变换的关系。

九、实际问题中的函数奇偶性1. 介绍函数奇偶性在实际问题中的应用。

函数的奇偶性思政教学设计引言：函数的奇偶性是数学中的一个重要概念，也是高中数学教学中的一个重点内容。

了解函数的奇偶性不仅可以帮助学生更好地理解和应用函数，还可以培养学生的思维能力和分析能力。

本文将介绍一种以函数的奇偶性为切入点的思政教学设计。

一、教学目标1. 知识目标：了解函数的奇偶性的概念和判定方法；2. 能力目标：掌握判断函数奇偶性的基本方法，提高分析问题和解决问题的能力；3. 情感目标：培养学生独立思考、主动学习的意识，增强学生对数学的兴趣。

二、教学内容1. 函数的奇偶性概念的引入；2. 奇函数与偶函数的定义；3. 函数奇偶性的判定方法；4. 函数奇偶性在实际问题中的应用。

三、教学方法1. 结合实例引入：通过给出一些具体的例子，引导学生了解函数的奇偶性的概念和特点，培养学生对函数奇偶性的直观感受。

2. 导引式探究：组织学生小组讨论，以问题为导向，让学生自己发现判断函数奇偶性的方法，并归纳总结。

3. 教师讲解与学生实践：在学生自主探究的基础上，学生掌握了判断函数奇偶性的方法后，教师进行讲解并提供更多的例题，让学生在课堂上进行练习和实践。

4. 小组合作学习：将学生分成小组，通过小组合作的形式，让学生通过讨论和合作解决函数奇偶性相关的问题，培养学生的团队合作意识和分析问题的能力。

四、教学过程1. 引入：通过提问和讨论，引导学生思考函数的奇偶性与社会中的一些现象的关联，并引出函数奇偶性的概念。

2. 导引式探究：将学生分为小组，给出若干函数的图像，让学生观察、分析，并尝试寻找规律，发现函数的奇偶性的特点和判定方法。

3. 学生实践与教师讲解：学生自主探究后，教师进行讲解，向学生介绍奇函数与偶函数的定义，并给出判定函数奇偶性的基本方法和步骤。

4. 练习与巩固：教师在课堂上出示一些函数，让学生判断函数的奇偶性，并用图像表示出来，通过练习巩固判断函数奇偶性的方法。

5. 小组合作学习：将学生分为小组，让每个小组选择一个具体的实际问题，设计一个与函数奇偶性相关的解决思路或方法，并进行小组展示和讨论。

函数奇偶性的教学设计这是函数的奇偶教学设计一等奖，是老师和家长可以借鉴的优秀教学设计一等奖文章。

函数奇偶性的教学设计 1教材分析：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想．教学目的：（1）通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）了解构成函数的要素；（3）会求一些简单函数的定义域和值域；（4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；教学重点：理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数；教学难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；教学过程：一、引入课题1.复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；2.阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题备用实例：我国xxxx年4月份非典疫情统计：日期新增确诊病例数3.引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系；4.根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系．二、新课教学（一）函数的有关概念1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数（function）．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域（range）．注意：○1“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；○2函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域3．区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．4．一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论（由学生完成，师生共同分析讲评）（二）典型例题1．求函数定义域课本P20例1解：（略）说明：○1函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果课前三个实例；○2如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；○3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．巩固练习：课本P22第1题2．判断两个函数是否为同一函数课本P21例2解：（略）说明：○1构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）○2两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。

函数的奇偶性教学设计一．教材分析1 . 教材的地位与作用内容选自人教版《高中课程标准实验教科书》A版必修1第一章第三节;函数奇偶性是研究函数的一个重要策略,因此成为函数的重要性质之一,它的研究也为今后幂函数、三角函数的性质等后续内容的深入起着铺垫的作用;奇偶性的教学无论是在知识还是在能力方面对学生的教育起着非常重要的作用,因此本节课充满着数学方法论的渗透教育,同时又是数学美的集中体现。

2 . 学情分析已经学习了函数的单调性，对于研究函数的性质的方法已经有了一定的了解。

尽管他们尚不知函数奇偶性,但学生在初中已经学习过图形的轴对称与中心对称，对图象的特殊对称性早已有一定的感性认识；在研究函数的单调性方面，学生懂得了由形象到具体,然后再由具体到一般的科学处理方法,具备一定数学研究方法的感性认识；高一学生具备一定的观察能力，但观察的深刻性及稳定性也都还有待于提高；高一学生的学习心理具备一定的稳定性,有明确的学习动机，能自觉配合教师完成教学内容。

二．目的分析教学目标知识与技能目标：……理解函数奇偶性的概念……能利用定义判断函数的奇偶性过程与方法目标：……培养学生的类比，观察,归纳能力……渗透数形结合的思想方法，感悟由形象到具体,再从具体到一般的研究方法情感态度与价值观目标：……对数学研究的科学方法有进一步的感受……体验数学研究严谨性，感受数学对称美重点与难点重点：函数奇偶性概念的形成和函数奇偶性的判断难点：函数奇偶性概念的探究与理解三．教法、学法教法借助多媒体和几何画板软件以引导发现法为主，直观演示法、设疑诱导法为辅的教学模式 遵循研究函数性质的三步曲学法根据自主性和差异性原则以促进学生发展为出发点着眼于知识的形成和发展着眼于学生的学习体验四．过程分析（一）情境导航、引入新课问题提出源于生活，那么我们现在正在学习的函数图象，是否也会具有对称的特性呢？是否也体现了图象对称的美感呢？ （二）构建概念、突破难点考察下列两个函数：(1) (2) 思考1:这两个函数的图象有何共同特征？思考2:对于上述两个函数，f(1)与f(-1)，f(2)与f(-2)，f(a)与f(-a)有什么关系？一般地，若函数y=f(x)的图象关于y 轴对称，当自变量x 任取定义域中的一对相反数时，对应的函数值相等。

高中数学教案《函数的奇偶性》一、教学目标：1. 知识与技能：理解函数奇偶性的概念，能够判断函数的奇偶性；学会运用函数的奇偶性解决一些简单问题。

2. 过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，探索函数奇偶性的性质及其判断方法。

3. 情感态度价值观：培养学生的逻辑思维能力，提高学生对数学的兴趣。

二、教学内容：1. 函数奇偶性的定义2. 函数奇偶性的判断方法3. 函数奇偶性的性质三、教学重点与难点：1. 教学重点：函数奇偶性的定义及其判断方法。

2. 教学难点：函数奇偶性的性质及其应用。

四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究函数奇偶性的性质；2. 通过实例分析，让学生掌握函数奇偶性的判断方法；3. 利用小组讨论，培养学生的合作能力。

五、教学过程：1. 导入：回顾上一节课的内容，引导学生思考函数的奇偶性与什么有关。

2. 新课讲解：（1）介绍函数奇偶性的定义；（2）讲解函数奇偶性的判断方法；（3）分析函数奇偶性的性质。

3. 例题解析：选取典型例题，分析解题思路，引导学生运用函数奇偶性解决问题。

4. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学内容。

5. 总结与拓展：总结本节课的主要内容，提出拓展问题，激发学生的学习兴趣。

6. 课后作业：布置适量作业，巩固所学知识。

注意：在教学过程中，要关注学生的学习反馈，及时调整教学方法和节奏，确保学生能够掌握函数奇偶性的相关知识。

六、教学评估：1. 课堂提问：通过提问了解学生对函数奇偶性的理解程度，及时发现并解决学生学习中存在的问题。

2. 练习题解答：检查学生完成练习题的情况，评估学生对函数奇偶性知识的掌握情况。

3. 课后作业：批改课后作业，了解学生对课堂所学知识的巩固程度。

七、教学反思：1. 反思教学内容：检查教学内容是否全面、深入，是否适合学生的认知水平。

2. 反思教学方法：根据学生的反馈，调整教学方法，提高教学效果。

3. 反思教学效果：总结本节课的教学成果，找出不足之处，为下一节课的教学做好准备。

中职数学函数的奇偶性教案一、教学目标1. 理解函数奇偶性的概念。

2. 学会判断函数的奇偶性。

3. 能运用函数的奇偶性解决实际问题。

二、教学内容1. 函数奇偶性的定义。

2. 函数奇偶性的判断方法。

3. 函数奇偶性的性质和应用。

三、教学重点与难点1. 重点：函数奇偶性的概念和判断方法。

2. 难点：函数奇偶性的性质和应用。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生探究函数奇偶性的概念和判断方法。

2. 利用实例分析，让学生掌握函数奇偶性的性质和应用。

3. 采用小组讨论法，培养学生合作解决问题的能力。

五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引导学生思考函数的奇偶性。

2. 新课导入：介绍函数奇偶性的定义和判断方法。

3. 实例分析：分析具体函数的奇偶性，让学生理解函数奇偶性的性质。

4. 练习与讨论：让学生通过练习，巩固函数奇偶性的判断方法。

5. 应用拓展：利用函数奇偶性解决实际问题，提高学生的应用能力。

6. 总结与反馈：对本节课的内容进行总结，收集学生反馈，为后续教学做好准备。

六、教学评估1. 课堂问答：通过提问学生，了解他们对函数奇偶性概念的理解程度。

2. 练习题：布置一些有关函数奇偶性的练习题，检查学生掌握判断方法的情况。

3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的表现，评估他们合作解决问题的能力。

七、教学延伸1. 探索函数的周期性：引导学生进一步研究函数的周期性，并与奇偶性进行对比。

2. 函数的奇偶性在实际应用中的例子：找一些实际问题，让学生运用函数的奇偶性进行解决。

八、课后作业1. 完成教材上的相关练习题，加深对函数奇偶性的理解。

2. 找一些生活中的实例，尝试用函数的奇偶性进行解释。

九、教学反思1. 学生是否掌握了函数奇偶性的概念和判断方法？2. 教学过程中是否存在不足之处，如何改进？3. 如何进一步激发学生的学习兴趣，提高他们的学习效果？十、教学计划调整根据学生的学习情况和反馈，对后续的教学计划进行调整。

函数奇偶性的教案第一章：函数奇偶性的概念引入教学目标：1. 理解函数奇偶性的基本概念；2. 学会判断函数的奇偶性；3. 理解奇偶性在数学中的应用。

教学内容：1. 引入函数的概念；2. 介绍奇偶性的定义；3. 举例说明奇偶性的判断方法。

教学活动：1. 引导学生回顾函数的定义，强调函数的输入输出关系；2. 引入奇偶性的概念，解释奇偶性的含义；3. 通过具体例子，让学生学会判断函数的奇偶性；4. 练习判断一些简单函数的奇偶性；5. 引导学生思考奇偶性在数学中的应用，如物理中的对称性等。

教学评价：1. 检查学生对函数奇偶性概念的理解；2. 评估学生判断函数奇偶性的能力；3. 考察学生对奇偶性应用的理解。

第二章：偶函数的性质教学目标：1. 理解偶函数的定义及其性质；2. 学会运用偶函数的性质解决问题；3. 掌握偶函数图像的特点。

教学内容：1. 偶函数的定义及其性质；2. 偶函数图像的特点；3. 偶函数在实际问题中的应用。

教学活动：1. 引导学生回顾上一章所学的内容，强调奇偶性的概念；2. 引入偶函数的定义，解释偶函数的含义；3. 通过具体例子，让学生学会运用偶函数的性质解决问题；4. 练习运用偶函数性质解决一些实际问题；5. 引导学生思考偶函数图像的特点，分析偶函数在实际问题中的应用。

教学评价：1. 检查学生对偶函数定义及其性质的理解；2. 评估学生运用偶函数性质解决问题的能力；3. 考察学生对偶函数图像特点的认识。

第三章：奇函数的性质教学目标：1. 理解奇函数的定义及其性质；2. 学会运用奇函数的性质解决问题；3. 掌握奇函数图像的特点。

教学内容：1. 奇函数的定义及其性质；2. 奇函数图像的特点；3. 奇函数在实际问题中的应用。

教学活动：1. 引导学生回顾前两章所学的内容，强调奇偶性的概念；2. 引入奇函数的定义，解释奇函数的含义；3. 通过具体例子，让学生学会运用奇函数的性质解决问题；4. 练习运用奇函数性质解决一些实际问题；5. 引导学生思考奇函数图像的特点，分析奇函数在实际问题中的应用。

函数的奇偶性教案一、教学目标1. 理解函数奇偶性的概念。

2. 学会判断函数的奇偶性。

3. 掌握奇偶性在实际问题中的应用。

二、教学内容1. 函数奇偶性的定义。

2. 函数奇偶性的判断方法。

3. 奇偶性在实际问题中的应用实例。

三、教学重点与难点1. 重点：函数奇偶性的定义及其判断方法。

2. 难点：奇偶性在实际问题中的应用。

四、教学方法1. 采用讲解、例题、讨论、练习相结合的方法。

2. 通过图形演示，直观地展示函数的奇偶性。

3. 引导学生运用奇偶性解决实际问题。

五、教学准备1. 教学课件。

2. 练习题。

一、教学目标1. 理解函数奇偶性的概念。

2. 学会判断函数的奇偶性。

3. 掌握奇偶性在实际问题中的应用。

二、教学内容1. 函数奇偶性的定义。

奇函数：对于任意实数x，有f(-x) = -f(x)的函数。

偶函数：对于任意实数x，有f(-x) = f(x)的函数。

2. 函数奇偶性的判断方法。

若f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)为奇函数（或偶函数）。

若f(x)满足f(-x) = f(x)，则f(x)为偶函数。

若f(x)满足f(-x) = -f(x)，则f(x)为奇函数。

3. 奇偶性在实际问题中的应用实例。

电流的流向判断。

电磁场的对称性分析。

三、教学重点与难点1. 重点：函数奇偶性的定义及其判断方法。

2. 难点：奇偶性在实际问题中的应用。

四、教学方法1. 采用讲解、例题、讨论、练习相结合的方法。

2. 通过图形演示，直观地展示函数的奇偶性。

3. 引导学生运用奇偶性解决实际问题。

五、教学准备1. 教学课件。

2. 练习题。

六、教学过程1. 引入：通过实例介绍奇偶性的概念。

2. 讲解：详细讲解奇偶性的定义及其判断方法。

3. 演示：利用图形演示函数的奇偶性。

4. 练习：让学生完成一些判断函数奇偶性的练习题。

5. 应用：讨论奇偶性在实际问题中的应用实例。

七、课堂小结1. 总结函数奇偶性的定义及其判断方法。

2. 强调奇偶性在实际问题中的应用。

1.3 第三课时 函数的奇偶性一、教学目标（一）核心素养函数的奇偶性从图形观察开始,发现图象典型特征,猜想出相关结论,通过数据验证,给出证明全过程,最后生成概念.这一过程包含了发现、猜想、证明的数学思维方式,也培育了学生数学抽象、直观想象、逻辑推理、数据分析等数学核心素养.（二）学习目标1.了解奇函数、偶函数的定义2. 运用奇偶性的定义判断一些简单函数的奇偶性3. 结合函数单调性,解决函数的综合问题（三）学习重点1.理解奇函数、偶函数的概念2. 判断函数的奇偶性（四）学习难点函数奇偶性的应用二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）偶函数:一般地,如果对于函数()f x 的定义域内____一个x ,都有_______,那么函数()f x 就叫做偶函数.（2）奇函数:一般地,如果对于函数()f x 的定义域内____一个x ,都有_______,那么函数()f x 就叫做奇函数.详解:（1）任意,()()f x f x =-;（2）任意,()()f x f x =--2．预习自测（1）作函数,y x y x ==的图象,初步判断函数为奇函数还是偶函数.详解:由图象初步判断y x =为偶函数,y x =为奇函数(二)课堂设计1.知识回顾（1）函数的定义（2）函数的单调性2.问题探究探究一偶函数、奇函数的概念生成=图象,探求对称关系本质●活动①观察函数2y x=,y x师:同学初中数学学习过图形的对称关系,请说出上图的对称关系=函数图象关于y轴对称.生:2y x=,y x=图象的对称关系？师:如何验证2=,y xy x生:可以把图象画在一张白纸上,沿着y轴对折,y轴两边的图象重合.师:作图会有误差的情况出现,有更严谨的验证方法吗？（提示点的坐标）生:可以在图象上取若干个点来验证.师:图象是由点构成的,研究图象对称关系,其实质是研究点的坐标对应关系.因此,我们在图象上取点验证,就涉及到以下几个问题:第一,如何取点？不妨先取部分特殊点（整数点方便计算）:我们由函数解析式,取x为整数时,计算相应y的值,对应整数点(,)x y在图象中的位置进行观察.2y x=:(-1,1),(-2,4),(-3,9),(0,0),(1,1),(2,4),(3,9)=:(-1,1),(-2,2),(-3,3),(0,0),(1,1),(2,2),(3,3)如下表:y x可以发现:(,)x y为坐标的整数点位于函数图象上,且这些整数点在图象上的位置是关于y轴对称.第二,如何验证？这些整数点关于y 轴对称,从“形”上观察:对折后“重合”,即点与点对折后合为一个点.因此在坐标系中这些点不是孤立的,是成对出现的,而且它们的相对位置“远近高低”相同一致.“远近”相同,是指点与y 轴的距离,即横坐标的绝对值x 相等.“高低”一致,高度相等,是指点与x 轴的距离,即纵坐标的绝对值y 相等.从“数”上分析:由表中数据,“远近”相同时,相应整数点横坐标是互为相反数;“高低”一致时,相应整数点纵坐标是相等的.第三,严谨性.刚才我们对部分整数点进行了验证,由特殊到一般的思想,我们可以验证:在图象上任取一点(,)A A A x y 时,图象上有一个点(,)B B B x y 与之对应,当AB 两点的坐标满足0A B x x +=且A B y y =时,它们对折之后才能重合.由A 的任意性,确定了相对应点B 的任意性,只有这样我们才能说整个函数图象关于y 轴对称.当AB 两点投影到x 轴时,,A B x x 的取值范围就是函数的定义域,其相互制约关系0A B x x +=,也说明了定义域也有对称关系,即定义域关于原点对称.师:由以上探究发现,函数图象对称关系的本质,是由点的坐标数量关系决定的.若我们在图象上任意取两个点AB ,若它们的坐标满足0A B x x +=且A B y y =（两点任意、横相反、纵相等）,就可以说该图象关于y 轴对称,我们称这类函数为偶函数.【设计意图】图象的对称实质的研究,让学生更深层次体会函数图象与数量关系的本质联系,进一步加深了函数对应关系这一核心思想的理解.●活动② 偶函数概念的生成师:按照函数图象对称关系的本质,是由点的坐标数量关系决定的思想,及“两点任意、横相反、纵相等”的原则,能否定义偶函数.生:图象关于y 轴对称的函数为偶函数.师:函数以定义域优先的原则,从数量关系上定义更严谨,参考函数单调性的定义. 生:一般地,函数()y f x =,定义域内任取12,x x ,满足120x x +=且12()()f x f x =时,称()y f x =为偶函数.师:这位同学抓住了“两点任意、横相反、纵相等”的原则,我们在此基础上进行提炼,“任取12,x x 满足120x x +=”可以变形为12x x =-.可把这个关系简化为“x 与x -”,因此我们如下定义偶函数:一般地,函数()y f x =定义域I ,x I ∀∈（x I -∈）都有()()f x f x =-时,那么称()y f x =为偶函数.师:若()y f x =为偶函数,图象满足哪些性质呢？对应到函数的定义域呢？ 生:图象关于y 轴对称.函数的定义域关于(0,0)O 对称.师:这样说可以吗？（1）偶函数图象关于y 轴对称.（2）图象关于y 轴对称的函数是偶函数.（3）偶函数的定义域关于(0,0)O 对称.（4）定义域关于(0,0)O 对称的函数是偶函数.生:（1）由定义是正确的;（2）是定义推导的起源是正确的;（3）由图象在x 轴投影的对应关系,或由定义“两点任意、横相反”知,是正确的;（4）函数()f x x =,定义域R 关于原点对称,图象不关于y 轴对称,不正确.【设计意图】图象的对称关系的实质探究,让学生从“形”定性的认识,到 “数”的定量分析;研究图象,就研究其构成元素所有点的坐标关系,由特殊点再到任意点,由函数对应关系的本质,深入到定义域,值域层面研究.整个探究过程由外到内、由形到数、由整体到局部、由特殊到一般的思想,体现了数学概念生成过程趣味横生. ●活动③奇函数的概念生成师:由（4）知,并不是所有的函数都是偶函数,偶函数只是众多函数中较典型的一类.请同学们观察函数y x =,1y x=图象,完成下面两个函数值对应表.师:请观察y x =,1y x =图象,及函数值对应表特征,上图有何对称关系？如何验证？生:y x =,1y x=图象关于原点成中心对称关系,函数图象整体围绕着(0,0)O 旋转0180与原图象重合.师:由上面的推导,函数图象对称关系的本质,是由点的坐标数量关系决定的.同学们能总结关于图象关于原点对称的本质关系吗？生:在图象上任取一点(,)A A A x y 时,图象上有一个点(,)B B B x y 与之对应,当AB 两点的坐标满足0A B x x +=且0A B y y +=时,它们对折之后才能重合.由点A 的任意性,确定了相对应点B 的任意性,只有这样我们才能说整个函数图象关于原点对称.当AB 两点投影到x 轴时,,A B x x 的取值范围就是函数的定义域,其相互制约关系0A B x x +=,也说明了定义域也有对称关系,即定义域关于原点对称,0A B y y +=也说明了值域也有对称关系,即值域关于原点对称.师:我们在图象上任意取两个点AB ,若它们的坐标满足0A B x x +=且0A B y y +=（两点任意、横相反、纵相反）,就可以说该图象关于原点对称,我们称这类函数为奇函数.师:由偶函数定义,及“两点任意、横相反、纵相反”的原则,能否定义奇函数.生:一般地,函数()y f x =定义域I ,x I ∀∈（x I -∈）都有()()(()()0)f x f x f x f x -=-+-=时,那么称()y f x =为奇函数.师:若()y f x =为奇函数,图象满足哪些性质呢？对应到函数的定义域呢？ 生:图象关于原点对称.函数的定义域关于原点对称.师:这样说可以吗？（1）奇函数图象关于原点对称（2）图象关于原点对称的函数是奇函数（3）奇函数的定义域关于原点对称（4）定义域关于原点对称的函数是奇函数生:（1）由定义是正确的;（2）是定义推导的起源是正确的;（3）由图象在x 轴投影的对应关系,或由定义“两点任意、横相反”知,是正确的;（4）也可能是偶函数,不正确.师:我们对偶函数、奇函数的定义作了介绍,我们称函数的这类性质为奇偶性.奇偶性是一部分函数的性质,因此我们在判断函数是否奇偶性？第一,图象法.可以从图象特征观察:若图像关于y 轴对称,我们称之为偶函数,否则该函数不是偶函数;若图像关于原点对称,我们称之为奇函数,否则该函数不是偶函数;因此,从奇偶性的角度可以将函数分类:奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函数又不是偶函数（简称非奇非偶函数）.第二,定义法.也可以从数量特征观察:首先判定函数定义域是否关于原点对称, 若不对称,则该函数为非奇非偶函数;若对称,再判断()f x 与()f x -关系:如果()()f x f x =-,则该函数为偶函数.如果()()0f x f x +-=,则该函数为奇函数.【设计意图】偶函数的概念生成,为奇函数的概念引入奠定了基础,有共同的思维方式,也有不同的内在体现,让学生对函数奇偶性的概念生成过程,及本质内涵有更深的理解.探究二:函数奇偶性的判断.●活动①定义法判断函数奇偶性.例1 判断下列函数的奇偶性,并说明理由.（1）()f x =（2）1()1f x x =- 【知识点】函数奇偶性【数学思想】【解题过程】解：（1）()f x ={}1不关于原点对称. ()f x ∴为非奇非偶函数（2）1()1f x x =-函数的定义域(,1)(1,1)(1,)-∞-⋃-⋃+∞关于原点对称. 11()()11f x f x x x -===--- ()f x ∴为偶函数 【思路点拨】由定义法判断【答案】（1）非奇非偶函数；（2）偶函数同类训练:判断下列函数的奇偶性,并说明理由.（1）1()1f x x =-（2）()f x = 【知识点】函数奇偶性【数学思想】【解题过程】解：（1）1()1f x x =-函数的定义域(,1)(1,)-∞⋃+∞不关于原点对称 ()f x ∴为非奇非偶函数（2）()f x =函数的定义域{1}{1}-⋃关于原点对称()()f x f x -=== ()f x ∴为偶函数【思路点拨】定义法灵活运用【答案】（1）非奇非偶函数；（2）偶函数【设计意图】让学生明确定义法判断函数奇偶性的步骤.●活动②定义法、图象法判断函数奇偶性.例2:判断函数(1),0()(1),0x x x f x x x x -<⎧=⎨+>⎩的奇偶性 【知识点】分段函数奇偶性【数学思想】化归思想、数形结合思想【解题过程】解：(1),0()(1),0x x x f x x x x -<⎧=⎨+>⎩的定义域(,0)(0,)-∞⋃+∞关于原点对称.当0x >时,0x -<()()[1()](1)()(0)f x x x x x f x x ∴=---=-+=->当0x <时,0x ->()()[1()](1)()(0)f x x x x x f x x ∴=-+-=--=-<综上所述,()()f x f x -=-,()f x 奇函数.【思路点拨】定义法、用图象法【答案】奇函数同类训练 判断函数2223,0()23,0x x x f x x x x ⎧-+<=⎨--->⎩的奇偶性 【知识点】函数奇偶性【数学思想】化归思想、数形结合思想【解题过程】解：当0x >时,0x -<22()()2()323()(0)f x x x x x f x x ∴=---+=++=->当0x <时,0x ->22()()2()323()(0)f x x x x x f x x ∴=-----=-+-=-<综上所述,()()f x f x -=-,()f x 奇函数【思路点拨】对于较熟悉的函数,可以作函数图象法判断单调性.【答案】奇函数【设计意图】定义法、图象法灵活运用, 判断函数奇偶性.●活动③利用性质法判断函数奇偶性.例3 判断函数24()f x x x =+奇偶性.【知识点】性质法:对于两个函数在定义域关于原点对称的情形下,函数的奇偶性质,偶函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为偶函数;奇函数的和、差仍为奇函数;奇（偶）数个奇函数的积、商（分母不为零）仍为奇（偶）函数;一个奇函数与偶函数的积为奇函数,这样的方法称为性质法.【数学思想】化归思想【解题过程】解：24()f x x x =+函数的定义域R 关于原点对称.记:21()f x x =,函数的定义域R 关于原点对称.211()()()f x x f x -=-=,21()f x x ∴=为偶函数;42()f x x =,函数的定义域R 关于原点对称.422()()()f x x f x -=-=,42()f x x ∴=为偶函数.性质法:24()f x x x =+为偶函数.【思路点拨】函数12()()f x f x 、的定义域必须满足定义域关于原点对称,且12()()f x f x 、定义域的交集为()f x 的定义域也必须关于原点对称,判断各分函数的奇偶性,再判断复合后的奇偶性.【答案】偶函数同类训练 判断35()f x x x x =++奇偶性.【知识点】奇偶性判断【数学思想】化归思想【解题过程】35()f x x x x =++函数的定义域R 关于原点对称35()()()()()f x x x x f x -=-+-+-=- ()f x ∴为奇函数.【思路点拨】可由性质法证明【答案】奇函数【设计意图】在部分题目特别是选择题、填空题判断奇偶性时,性质法方便快捷,但此部分涉及到复合函数定义域的问题,对学生能力要求较高.探究三: 函数综合问题●活动①奇偶函数图象问题例4如图所示为偶函数()f的大小．f与(3)y f x=的局部图象,试比较(1)【知识点】函数奇偶性【数学思想】数形结合思想【解题过程】解：作()x∈--的图象关于y轴对称的图象．=在[3,1]y f x由图象知(3)(1)>f f【思路点拨】利用奇偶性，找出另一区间的图象【答案】(3)(1)>f f同类训练如图所示为奇函数()f的大小．f与(3)y f x=的局部图象,试比较(1)【知识点】函数奇偶性【数学思想】数形结合思想【解题过程】解：法一:由图象知(3)(1)->-,又()f x是奇函数.f f∴<f ff f f f(3)(3),(1)(1)∴-=--=-,(3)(1)法二:因为()y f x =是奇函数,故由对称性可作出[1,3]x ∈时的图象,由图象知(3)(1)f f <．【思路点拨】利用奇偶性，找出另一区间的图象【答案】(3)(1)f f <【设计意图】由于奇函数、偶函数图象的对称性,因而如果知道一个函数是奇函数或偶函数,只要把它的定义域分成关于原点对称的两部分,得出函数在一部分上的性质和图象,就可推出这个函数在另一部分上的性质和图象．●活动②函数奇偶性的应用例5若()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x <时,()(2)f x x x =-,求函数()f x 的解析式．【知识点】利用奇偶性求解析式【数学思想】转化与化归思想【解题过程】解：法一:()f x 是定义在R 上的奇函数,()()f x f x ∴-=-,(0)0f =.当0x >时,0x -<,()()(2)f x f x x x ∴=--=+．∴函数()f x 的解析式为(2),0()0,0(2),0x x x f x x x x x +>⎧⎪==⎨⎪-<⎩.法二:()f x 是定义在R 上的奇函数,()()f x f x ∴-=-,(0)0f =.令t x =-,若0x <,则0t >,且x t =-.()(2)(0)f x x x x =-<,()(2)f t t t ∴-=-+,即()(2)f t t t -=-+．()(2)f t t t ∴=+,0x ∴>时,()(2)f x x x =+．∴函数()f x 的解析式为(2),0()0,0(2),0x x x f x x x x x +>⎧⎪==⎨⎪-<⎩.【思路点拨】在未知范围内取值，利用转化到已知范围内的函数解析式求解；也可以用图象对称关系，待定系数法求解析式。