有限制条件的排列问题1

排列组合应用题中的多条件限制及“不定”因素问题的处理排列组合应用题中有一些“不定”因素如：不跑最后一棒、不站两端、不相邻、4号卡片不在4号盒等，因其位置“不定”故不好排；排列组合应用题中常常含有多个条件限制，使问题求解变得复杂。

两者叠加，难上加难。

这时对于“不定”因素条件常考虑它的对立面，使其位置确定从而好排；对于多条件限制问题常先考虑部分条件，再考虑该条件与“不定”因素条件的对立面，做到多个条件各个击破。

例题1、从6名短跑运动员中选出4人参加4×100m 接力赛，如果甲、乙两人都不跑第一棒，丙不跑最后一棒，那么不同的参赛方案有多少种？分析：先考虑甲、乙两人都不跑第一棒的情况有几种（因只有第一棒有条件限制故先排第一棒C 14，后三棒一起排A 35，分步乘法得A C 3514）；再考虑甲、乙两人都不跑第一棒，而丙跑最后一棒的情况有几种（先排最后一棒排丙，再排第一棒C 13，最后排中间两棒A 24，分步乘法得A C 2413），两者相减即可。

解：不同的参赛方案有A C 3514-A C 2413=240-36=204种例题2、3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有2名女生相邻，不同排法种数是？分析：先考虑3位女生中有且只有2名女生相邻的情况有几种（3位女生中选2名女生C 23相邻捆绑在一起，捆绑前排序A 22，再排男生，因此时男生没条件限制有A 33种排法，最后插空A 24，分步乘法得A A A C 24332223），再考虑3位女生中有且只有2名女生相邻而男生甲站两端的情况有几种（同上，只是在排男生时要求男生甲站两端，先排甲C 12，再排另外两男生A 22，插空时男生甲的一边不能插故有A 23种插法，分步乘法得A A C A C 2322122223），两者相减即可。

解：不同排法种数是A A A C 24332223-A A C A C 2322122223=288例题3、8人排成一排照相，A,B,C 三人互不相邻，D,E 也不相邻，共有多少种排法？分析：先考虑ABC 三人互不相邻的情况有几种，再考虑ABC 互不相邻,而DE 相邻的情况有几种，两者相减即可。

含有约束条件的排列组合问题(一)含有约束条件的排列组合问题1. 问题背景含有约束条件的排列组合问题是指在进行排列组合操作时，添加了特定的约束条件以限制排列组合的结果。

这种问题常见于实际应用中，例如调度问题、布局问题、排课问题等。

解决这类问题需要灵活运用排列组合的知识，并结合具体的约束条件进行分析和求解。

2. 相关问题及解释排列问题在含有约束条件的排列问题中，常见的排列问题包括以下几种：•固定位置排列：在一组元素中，某些元素的位置已经确定，需要对剩余元素进行排列。

例如，有4个人要坐在一张圆桌周围，其中A和B不能相邻，问有多少种不同的座位安排方式？•位置变换排列：在一组元素中，元素之间有一定的位置关系，需要对元素进行位置变换排列。

例如，有5个人要排成一排参加合影，其中A和B不能站在两侧，问有多少种不同的站位排序方式？组合问题在含有约束条件的排列问题中，常见的组合问题包括以下几种：•容器装填问题：在一组容器中，需要按照一定的条件将物品进行装填。

例如，有3个不同大小的箱子，其中每个箱子最多只能装3个物品，每个物品大小不同，问有多少种不同的物品装填方式？•任务分配问题：在一组任务中，需要按照一定的条件将任务分配给执行者。

例如，有5个任务需要分配给3个人执行，其中每个人至少要执行1个任务，问有多少种不同的任务分配方式？排列组合问题的求解方法针对含有约束条件的排列组合问题，可以采用不同的求解方法，如动态规划、回溯算法、数学推理等。

根据具体的问题特点选择合适的方法进行求解，通常需要用到递归、剪枝等技巧。

3. 结语含有约束条件的排列组合问题是一类常见且具有挑战性的问题，解决这类问题需要深入理解排列组合的概念与原理，并能巧妙地应用于实际问题中。

通过灵活组合不同的解题方法，可以找到问题的最优解或近似解，从而满足实际需求。

简单计数问题【要点梳理】要点一：排列计数问题有限制条件的排列问题常见命题形式：（1）“在”与“不在”的问题：“（不）在”指的是（不）存在特殊元素或特殊位置，如“甲在乙的左边”、“甲必须入选”等.（2）“邻”与“不邻”的问题：“邻”指若干元素必须相邻；“不邻”指若干元素不能相邻.要点诠释：⑴“相邻”问题在解题时常用“合并元素法”，可把两个以上的元素当做一个元素来看，这是处理相邻最常用的方法.⑵“不邻”问题在解题时最常用的是“插空法”，即将其他剩余元素排列，然后用互不相邻的元素插空.⑶“在”与“不在”问题，常常涉及特殊元素或特殊位置，通常是先排列特殊元素或特殊位置.⑷元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制，等排列完毕后，利用规定顺序的实情求出结果.排列问题的解题方法：（1）直接法：把符合条件的排列数直接列式计算；（2）优限法：特殊元素优先考虑；特殊位置，优先考虑。

对有附加条件的排列组合问题，一般采用该方法。

（3）捆绑法：对相邻问题可以把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列；（4）插空法：对不相邻问题先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中；（5）直排法：分排问题直排处理的方法；（6）“小集团”排列问题中先集体后局部的处理方法；（7）定序问题除法处理的方法，即可以先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列.流程图：要点二：组合计数问题有限制条件的组合问题常见命题形式：(1)“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”、“最多”的问题：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.要点诠释：1.对“组合问题”恰当地分类计算，是解组合题的常用方法；2.解题时既要灵活选用直接法或间接法，又要常常结合两种计数原理.要点三：排列组合混合题型解答排列、组合问题的思维模式：（1）是看问题是有序的还是无序的？有序用“排列”，无序用“组合”； （2）是看问题需要分类还是需要分步？分类用“加法”，分步用“乘法”. 要点诠释：（1）排列与组合问题的区别：区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键是看所选的元素与顺序是否有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，否则是组合问题.（2）两个计数原理的区别在于一个和分类有关，一个与分步有关.如果完成一件事有n 类办法，这n 类办法彼此之间是相互独立的，无论那一类办法中的那一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用加法原理；如果完成一件事需要分成n 个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个 步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种类就用乘法原理. 解答排列、组合问题的一般策略：解决简单计数问题，一般是先选元素（组合），后排列，按元素的性质“分类”和按事件发生连续性过程“分步”，在计数时注意不重复，不遗漏． 解排列组合的应用题的一般步骤(1)仔细审题，判断是排列问题还是组合问题，要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分类； (2)深入分析，注意分清是乘还是加，要防止重复和遗漏；(3)对限制条件较复杂的排列组合应用题，可分解成若干简单的基本问题后用两种计数原理来解决.(4)由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，因此在检查结果时，应着重检查所设计的解决方案是否完备，有无重复和遗漏，也可采用多种不同的方法求解，看看结果是否相同. 要点诠释：排列组合的综合题目，一般是先取出符合要求的元素组合(分组)，再对取出的元素排列，分组时要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准.【典型例题】类型一、排列计数问题例1. 六人按下列要求站一排，分别有多少种不同的站法？ (1)甲不站两端； (2)甲、乙必须相邻； (3)甲、乙不相邻；(4)甲、乙之间恰间隔两人； (5)甲、乙站在两端；(6)甲不站左端，乙不站右端． 【思路点拨】本题是排列问题.【解析】(1)法一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有14A 种站法，然后其余5人在另外5个位置上作全排列，有55A 种站法，根据分步计数原理，共有1545A A 480g ＝种站法． 法二：若对甲没有限制条件，共有66A 种站法，甲在两端共有255A 种站法，从总数中减去这两种情况的排列数即得所求的站法数，共有66A －255A ＝480种站法．(2)法一：先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，有55A 种站法，再把甲、乙进行全排列，有22A 种站法，根据分步计数原理，共有55A ·22A ＝240种站法． 法二：先把甲、乙以外的4个人作全排列，有44A 种站法，再在5个空档中选出一个供甲、乙站，有15A 种站法，最后让甲、乙全排列，有22A 种方法 ，共有44A ·15A ·22A ＝240种站法．(3)法一：因为甲、乙不相邻，所以可用“插空法”．第一步，先让甲、乙以外的4个人站队，有44A 种站法；第二步，再将甲、乙排在4人形成的5个空档(含两端)中，有25A 种站法，故共有44A ·25A ＝480种站法． 法二：“间接法”：6个人全排列有66A 种站法，由(2)知甲、乙相邻有55A ·22A ＝240种站法，所以不相邻的站法有 66A －55A ·22A ＝720－240＝480种．(4)法一：先将甲、乙以外的4个人作全排列，有44A 种站法，然后将甲、乙按条件插入站队，有322A 种站法，故共有44A ·322A ＝144种站法．法二：先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上，有24A 种；然后把甲、乙及中间2人看作一个“大”元素与余下2人作全排列，有33A 种站法；最后对甲、乙进行排列，有22A 种站法，故共有24A ·33A ·22A ＝144种站法．(5)首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有22A 种站法，再让其他4人在中间位置作全排列，有44A 种站法，根据分步计数原理，共有22A ·44A ＝48种站法． (6)法一：间接法。

排列组合典型例题例1 用0到9这10 个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？分析：这一问题的限制条件是：①没有重复数字；②数字“0”不能排在千位数上；③个位数字只能是0、2、4、6、8、，从限制条件入手，可划分如下：如果从个位数入手，四位偶数可分为：个位数是“0”的四位偶做，个位数是 2、4、6、8的四位偶数（这是因为零不能放在千位数上）．由此解法一与二．如果从千位数入手．四位偶数可分为：千位数是1、3、5、7、9和千位数是2、4、6、8两类，由此得解法三．如果四位数划分为四位奇数和四位偶数两类，先求出四位个数的个数，用排除法，得解法四．解法1：当个位数上排“0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列，故有39A 个；当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有281814A A A ⋅⋅（个）． ∴ 没有重复数字的四位偶数有2296179250428181439=+=⋅⋅+A A A A 个．解法2：当个位数上排“0”时，同解一有39A 个；当个位数上排2、4、6、8中之一时，千位，百位，十位上可从余下9个数字中任选3个的排列数中减去千位数是“0”排列数得：)(283914A A A -⋅个 ∴ 没有重复数字的四位偶数有22961792504)(28391439=+=-⋅+A A A A 个．解法3：千位数上从1、3、5、7、9中任选一个，个位数上从0、2、4、6、8中任选一个，百位，十位上从余下的八个数字中任选两个作排列有281515A A A ⋅⋅个干位上从2、4、6、8中任选一个，个位数上从余下的四个偶数中任意选一个（包括0在内），百位，十位从余下的八个数字中任意选两个作排列，有281414A A A ⋅⋅个∴ 没有重复数字的四位偶数有2296281414281515=⋅⋅+⋅⋅A A A A A A 个．解法4：将没有重复数字的四位数字划分为两类：四位奇数和四位偶数．没有重复数字的四位数有39410A A -个．其中四位奇数有)(283915A A A -个∴ 没有重复数字的四位偶数有28393939283915394105510)(A A A A A A A A A +--⨯=---283954A A +=2828536A A +=2841A =2296=个说明：这是典型的简单具有限制条件的排列问题，上述四种解法是基本、常见的解法、要认真体会每种解法的实质，掌握其解答方法，以期灵活运用．典型例题二例2 三个女生和五个男生排成一排（1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？（4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？解：（1）（捆绑法）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合一起共有六个元素，然成一排有66A 种不同排法．对于其中的每一种排法，三个女生之间又都有33A 对种不同的排法，因此共有43203366=⋅A A 种不同的排法． （2）（插空法）要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档．这样共有4个空档，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻．由于五个男生排成一排有55A 种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让三个女生插入都有36A 种方法，因此共有144003655=⋅A A 种不同的排法． （3）解法1：（位置分析法）因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有25A 种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有66A 种排法，所以共有144006625=⋅A A 种不同的排法． 解法2：（间接法）3个女生和5个男生排成一排共有88A 种不同的排法，从中扣除女生排在首位的7713A A ⋅种排法和女生排在末位的7713A A ⋅种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在未位的情况时又被扣去一次，所以还需加一次回来，由于两端都是女生有6623A A ⋅种不同的排法，所以共有1440026623771388=+-A A A A A 种不同的排法．解法3：（元素分析法）从中间6个位置中挑选出3个来让3个女生排入，有36A 种不同的排法，对于其中的任意一种排活，其余5个位置又都有55A 种不同的排法，所以共有144005536=⋅A A 种不同的排法， （4）解法1：因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，则未位就不再受条件限制了，这样可有7715A A ⋅种不同的排法；如果首位排女生，有13A 种排法，这时末位就只能排男生，有15A 种排法，首末两端任意排定一种情况后，其余6位都有66A 种不同的排法，这样可有661513A A A ⋅⋅种不同排法．因此共有360006615137715=⋅⋅+⋅A A A A A 种不同的排法．解法2：3个女生和5个男生排成一排有88A 种排法，从中扣去两端都是女生排法6623A A ⋅种，就能得到两端不都是女生的排法种数．因此共有36000662388=⋅-A A A 种不同的排法．说明：解决排列、组合（下面将学到，由于规律相同，顺便提及，以下遇到也同样处理）应用问题最常用也是最基本的方法是位置分析法和元素分析法．若以位置为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其它位置，有两个以上约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时要兼顾其它条件．若以元素为主，需先满足特殊元素要求再处理其它的元素．间接法有的也称做排除法或排异法，有时用这种方法解决问题来得简单、明快． 捆绑法、插入法对于有的问题确是适用的好方法，要认真搞清在什么条件下使用．典型例题三例3 排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。

排列问题常见的限制条件及对策排列问题常见的限制条件有：（1）有特殊元素或特殊位置；（2）元素必须相邻的排列；（3）元素相邻的排列；（4）元素有顺序限制的排列；（5）元素允许限制的排列，其基本的解题思想方法为：一、直接法对于有特殊元素或特殊位置，一般采用直接法，即先排特殊元素或特殊位置。

例1（1）安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有种（用数学作答）解：（元素分析法）甲、乙二人从3、4、5、6、7日五天中选2天有种排法，剩余5人在5天内全排列有种排法∴共有·=20×120=2400（种）排法（2）由0，1，2，5可排成多少个能被5整除的四位数：（数字不允许重复）解：（位置分析法）当0在末位时，有种排法，当5在末位时，首位不能排0，可排1、2中的任一个，共有·种排法∴共有·=10个能被5整除的四位数。

二、捆绑法相邻排列问题，通常采用“捆绑”法，即可以把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列。

例 2 三个女生和五个男生排成一排，如果女生必须全排在一起可有多少种不同的排法解：因为三个女生必须在一起，所以可以把她们看成一个整体，连同五个男生合在一起共有六个元素，排成一排共有种不同排法，因此共有·=4320种不同的排法。

三、插空法对于元素不相邻的排法，通常采用插“空档”的方法，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中。

例3 4位老师和4名学生坐成一排照相，老师和学生必须相间的坐法有多少种解：先排4位老师××××有种，再插入学生有两种情况，○×○×○×○×或×○×○×○×○，每种情况有种方法，故师生间的坐法共有（）=1152种。

四、分类讨论法对于元素有顺序限制的排列，可依实情分类讨论求结果例4 由1，2，3，4，5五个数字可以排成多少个比13245大的数（数字不可重复）解：先排首位，共有5种，再排第2个位置，有4种，或3种，或2种（引起分类）显然，第2个位置的排法由首位所排元素确定，故需对首位分类讨论如下：①非1××××有4种②1××××对于②中的第3个位置，又受到第2个位置的限制，故又需对第2个位置分类讨论如下：②1□×××□大于3有2种②13□××□大于2有2②132□×□只能是5，×只能4，有1种综上，可以排成4221=113个比13245大的数。