初中数学竞赛中多元极值问题的常用解法

多元函数极值问题解决在数学中，多元函数是指依赖多个自变量的函数。

研究多元函数的极值问题是数学中重要的一个方向，通过极值问题解决可以了解函数的最大值和最小值，对于优化问题等具有重要意义。

本文将介绍解决多元函数极值问题的基本方法和技巧。

1. 多元函数极值问题概述多元函数的极值包括两种情况：最大值和最小值。

要找到多元函数的极值，需要通过计算导数或二阶导数来确定。

对于多元函数f(x,y)，要找到其极值，可以通过求解以下方程组来解决：$$ \\frac{\\partial f}{\\partial x} = 0, \\quad \\frac{\\partial f}{\\partial y} = 0 $$其中 $\\frac{\\partial f}{\\partial x}$ 和 $\\frac{\\partial f}{\\partial y}$ 分别表示f(x,y)对x和y的偏导数。

2. 求解多元函数极值的步骤步骤1：计算一阶偏导数首先，对多元函数f(x,y)分别对x和y求一阶偏导数，得到 $\\frac{\\partial f}{\\partial x}$ 和 $\\frac{\\partial f}{\\partial y}$。

步骤2：解方程组然后，解方程组 $\\frac{\\partial f}{\\partial x} = 0, \\quad \\frac{\\partial f}{\\partial y} = 0$，求解出使得导数为零的x和y的值。

步骤3：判别极值类型最后，通过计算二阶导数或利用二次型判断方法，判断得到的极值是极小值、极大值还是鞍点。

3. 多元函数极值问题例题下面通过一个例题来说明如何解决多元函数极值问题：例题：求函数f(x,y)=x2+2y2−2xy−2y的极值。

解：1.求解一阶偏导数：$$ \\frac{\\partial f}{\\partial x} = 2x - 2y, \\quad \\frac{\\partial f}{\\partial y} = 4y - 2x - 2 $$2.解方程组：令 $\\frac{\\partial f}{\\partial x} = 0, \\quad \\frac{\\partial f}{\\partial y} =0$，得到：$$ \\begin{cases} 2x - 2y = 0 \\\\ 4y - 2x - 2 = 0 \\end{cases} $$求解得到x=1,y=1。

一些典型的多元函数极值问题多元函数极值问题是数学分析中非常重要的研究对象，它们存在于许多实际问题中。

本文将介绍一些典型的多元函数极值问题，包括拉格朗日乘数法、约束条件下的优化、非线性规划等。

一、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是一种常用的求解约束多元函数极值的方法。

在该方法中，将约束条件加入到目标函数中，并利用等式约束条件和拉格朗日乘数，将多元函数极值转化为无约束多元函数极值问题。

下面以一个简单的例子来说明拉格朗日乘数法。

假设有一个函数 $f(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2$，同时满足约束条件$x+2y+3z=6$，其中 $x,y,z$ 均为实数。

现在要求 $f(x,y,z)$ 在约束条件下的最小值。

根据拉格朗日乘数法，我们将函数 $f(x,y,z)$ 加上一个等式约束条件 $g(x,y,z)=x+2y+3z-6=0$，并构造拉格朗日函数$L(x,y,z,\lambda)=f(x,y,z)+\lambda g(x,y,z)$，其中 $\lambda$ 是拉格朗日乘数。

于是，我们可以写出拉格朗日函数：$$L(x,y,z,\lambda)=x^2+2y^2+3z^2+\lambda(x+2y+3z-6)$$接下来，我们要求 $L(x,y,z,\lambda)$ 对 $x,y,z,\lambda$ 的偏导数，令其都等于零，求得极值点。

即：$$\begin{cases} \dfrac{\partial L}{\partial x}=2x+\lambda=0\\\dfrac{\partial L}{\partial y}=4y+2\lambda=0 \\\dfrac{\partialL}{\partial z}=6z+3\lambda=0 \\ \dfrac{\partial L}{\partial\lambda}=x+2y+3z-6=0 \end{cases}$$解方程组得到：$x=-\dfrac{\lambda}{2},y=-\dfrac{\lambda}{2},z=-\dfrac{\lambda}{2},\lambda=2$。

多元函数求极值摘要：本文总结了多元函数求极限的各类方法，以及证明多元函数极限不存在的取各种花式路劲的例题。

一、多元函数极限的定义存在的问题：有两种定义方式分别以聚点/去心领域去定义重极限，不同的定义方式可能导致结果不同例1.1：求极限: \lim_{{x\to0}\atop{y\to0}}\frac{\sqrt{xy+1}-1}{xy} .解：法I(聚点定义).\lim_{{x\to0}\atop{y\to0}}\frac{\sqrt{xy+1}-1}{xy}=\lim_{{x\to0}\atop{y\to0}}\frac{xy}{xy(\sqrt{xy+1}+1)}=\l im_{{x\to0}\atop{y\to0}}\frac{1}{\sqrt{xy+1}+1}=\frac{1}{2}或者利用等价无穷小.\lim_{{x\to0}\atop{y\to0}}\frac{\sqrt{xy+1}-1}{xy}=\lim_{{x\to0}\atop{y\to0}}\frac{\frac{1}{2}xy}{xy}=\frac{ 1}{2}法II(去心领域定义).由于函数 f(x,y)=\frac{\sqrt{xy+1}-1}{xy} 在原点的领域内的坐标轴上处处无定义, 因此\lim_{{x\to0}\atop{y\to0}}\frac{\sqrt{xy+1}-1}{xy}\text{不存在}用 \varepsilon-\delta 定义证明的例题选解例1.2：用 \varepsilon-\delta 定义证明: \lim_{x\to0\atopy\to0}\frac{xy^2}{x^2+y^2}=0解：因为当 (x,y)\neq(0,0) 时\left，\frac{xy^2}{x^2+y^2}\right，=，y，\cdot\frac{，xy，}{x^2+y^2}\leqslant，y，\leqslant\sqrt{x^2+y^2}\\从而，对 \forall \varepsilon>0 , 取 \delta=\varepsilon , 则当 0<\sqrt{x^2+y^2}<\delta 时,\left，\frac{xy^2}{x^2+y^2}-0\right，<\varepsilon \\所以 \lim_{x\to0\atop y\to0}\frac{xy^2}{x^2+y^2}=0 .例1.3：求证:\lim_{{x\to0}\atop{y\to0}}(x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2}=0证明： \forall \,\varepsilon>0 , 要使得\left，(x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2}-0\right，\leqslant\varepsilon\\即 \left，(x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2}-0\right， =\biggl，x^2+y^2\biggl，\cdot\biggl，\sin\frac{1}{x^2+y^2}-0\biggl，\leqslant x^2+y^2\leqslant\varepsilon\\ 只要\sqrt{x^2+y^2}<\sqrt{\varepsilon} , 取\delta=\sqrt{\varepsilon} , 则当0<\sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}=\sqrt{x^2+y^2}<\delta 时, 有\left，(x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2}-0\right，\leqslant x^2+y^2\leqslant\varepsilon\\原结论成立．二、多元函数求极限的方法直接代入：先代入看看是不是未定式！如果不是那就是答案略有理化：略有界函数x无穷小量=0略两个重要极限：略夹逼准则：多是夹为0。

多元函数的极值与条件极值的求解方法一、引言多元函数在数学和应用领域中扮演着重要的角色。

求解多元函数的极值是一个常见的数学问题，而条件极值则进一步考虑了多个约束条件下的最优解。

本文将介绍多元函数极值和条件极值的求解方法。

二、多元函数极值的求解方法要求解多元函数的极值，需要判断函数在特定点的局部极值，并进一步确定全局极值。

常用的方法包括二阶条件、梯度以及拉格朗日乘子法。

1. 二阶条件法对于一个二次可导函数，可以通过计算其二阶偏导数来确定函数的极值。

具体步骤如下：a. 计算函数的一阶偏导数，并令其等于零，得到临界点；b. 计算函数的二阶偏导数，并检查其正负性；c. 若二阶偏导数为正，则临界点是局部极小值；若二阶偏导数为负，则临界点是局部极大值。

2. 梯度法梯度法可以用于求解多元函数的极值，其思想是在梯度的指引下，逐步迭代寻找函数的最优解。

具体步骤如下：a. 计算函数的梯度向量，并初始化变量值；b. 根据梯度向量的反方向更新变量的取值；c. 重复步骤b，直到满足收敛条件。

3. 拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法用于求解多元函数在一组约束条件下的极值。

通过构建拉格朗日函数，并利用约束条件和拉格朗日乘子进行求解，得到函数的条件极值。

三、条件极值的求解方法在现实问题中，多元函数的极值求解往往伴随着条件限制。

求解条件极值需要考虑约束条件，并结合优化理论中的拉格朗日乘子法。

1. 求解过程a. 构建拉格朗日函数，将约束条件引入目标函数中，得到增广拉格朗日函数；b. 求解增广拉格朗日函数的临界点，即通过求解方程组来确定目标函数的条件极值点。

c. 验证求得的临界点是否满足约束条件，并通过比较确定全局的条件极值。

2. 案例分析假设有一个三角形，其面积为目标函数，而周长为约束条件。

通过使用拉格朗日乘子法，可以求解出在给定周长下，使得三角形面积最大的顶点。

四、总结本文介绍了多元函数极值和条件极值的求解方法。

对于多元函数极值的求解，可以使用二阶条件法、梯度法和拉格朗日乘子法来确定函数的极值点。

第十一讲二元函数的极值要求：理解多元函数极值的观点，会用充足条件判断二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值。

问题提出：在实质问题中，常常会碰到多元函数的最大值，最小值问题，与一元函数相近似，多元函数的最大值，最小值与极大值，极小值有亲密的关系，所以以二元函数为例，来议论多元函数的极值问题．一．二元函数的极值定义设函数z f ( x, y) 在点( x0 , y0 ) 的某个邻域内有定义，关于该邻域内的所有( x, y) (x 0 , y0 ) ，假如总有 f (x, y) f ( x0 , y0 ) ，则称函数z f (x, y) 在点( x0 , y0 ) 处有极大值；假如总有 f ( x, y) f ( x0 , y0 ) ，则称函数z f ( x, y) 在点( x0 , y0 ) 有极小值．函数的极大值，极小值统称为极值，使函数获得极值的点称为极值点．例 1．函数z xy 在点(0,0) 处不获得极值，由于在点(0,0) 处的函数值为零，而在点(0,0) 的任一邻域内总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点．例 2．函数z 3x2 4 y 2在点 (0,0) 处有极小值．由于对任何 ( x, y) 有 f (x, y) f (0,0) 0 ．从几何上看，点( 0,0,0) 是张口向上的椭圆抛物面z 3x 2 4 y2的极点，曲面在点(0,0,0) 处有切平面z0 ，进而获得函数获得极值的必需条件．定理1（必需条件）设函数z f ( x, y) 在点(x0 , y0 ) 拥有偏导数，且在点( x0 , y0 ) 处有极值，则它在该点的偏导数必定为零，即 f x ( x0 , y0 ) 0 ， f y ( x0 , y0 ) 0 ．几何解说若函数z f ( x, y) 在点(x0 , y0 ) 获得极值z0，那么函数所表示的曲面在点(x0 , y0 , z0 ) 处的切平面方程为z z0 f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 )是平行于 xoy 坐标面的平面z z0．近似地有三元及三元以上函数的极值观点，对三元函数也有获得极值的必需条件为f x ( x0 , y0 , z0 ) 0 ， f y ( x0 , y0 , z0 ) 0 ， f z ( x0 , y0 , z0 ) 0说明上边的定理固然没有完整解决求极值的问题，但它明确指出找极值点的门路，即f x ( x0 , y0 ) 0( x n , y n ) ，那么极值点必包只需解方程组，求得解 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 )f y (x0 , y0 ) 0含在此中，这些点称为函数z f ( x, y) 的驻点．注意 1．驻点不必定是极值点，如z xy 在(0,0)点．如何鉴别驻点是不是极值点呢？下边定理回答了这个问题．定理 2（充足条件）设函数 z f ( x, y) 在点 (x0 , y0 ) 的某邻域内连续，且有一阶及二阶连续偏导数，又f x ( x0 , y0 ) 0 ， f y ( x0 , y0 ) 0 ，令 f xx (x0 , y0 ) A ， f xy ( x0 , y0 ) B ， f yy (x0 , y0 ) C ，则（ 1）当AC B 2 0 时，函数 z f ( x, y) 在点 (x0 , y0 ) 获得极值，且当 A 0 时，有极大值 f ( x0 , y0 ) ，当 A 0 时，有极小值 f ( x0 , y0 ) ；（ 2）当AC B 2 0 时，函数 z f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 没有极值；（ 3）当AC B 2 0 时，函数 z f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 可能有极值，也可能没有极值，还要另作议论．求函数 z f ( x, y) 极值的步骤：（1）解方程组 f x ( x0 , y0 ) 0 ， f y ( x0 , y0 ) 0 ，求得一确实数解，即可求得全部驻点( x1 , y1 ), ( x2 , y2 )( x n , y n ) ；（2）关于每一个驻点( x , y )(i 1,2,L n) ，求出二阶偏导数的值A,B, C；i i（3）确立AC B2 的符号，按定理 2 的结论判断 f ( x i , y i ) 是不是极值，是极大值仍是极小值；（4）观察函数 f ( x, y) 能否有导数不存在的点，如有加以鉴别能否为极值点．例 3．观察解由于z x 2 y2能否有极值．z x，z y在x0, y0 处导数不存在，可是对所x x2y 2y x 2y2有的 (x, y) (0,0) ，均有 f ( x, y) f (0,0) 0 ，所以函数在( 0,0) 点获得极大值．注意 2．极值点也不必定是驻点，若对可导函数而言，如何？例 4．求函数f ( x, y) x3 y3 3x 2 3y2 9x 的极值．解先解方程组f x 3x 2 6x 9 03,0), ( 3,2) ，f y 3y2 6 y 0，求得驻点为 (1,0), (1,2), (再求出二阶偏导函数fxx 6x 6 ， f xy， f yy 6 y 6 ．在点 (1,0) 处， AC B 2 12 6 72 0 ，又 A 0 ，所以函数在点(1,0) 处有极小值为f (1,0) 5 ；在点 (1,2) 处， AC B2 72 0 ，所以 f (1,2) 不是极值；在点 ( 3,0) 处， AC B2 72 0 ，所以 f ( 3,0) 不是极值；在点 ( 3,2) 处， AC B2 72 0，又A 0，所以函数在点( 3,2) 处有极大值为f ( 3,2) 31．二．函数的最大值与最小值求最值方法：⑴将函数 f ( x, y) 在地区D内的所有极值点求出；⑵求出 f ( x, y) 在D界限上的最值；即分别求一元函数 f ( x, 1 (x)) ， f ( x, 2 ( x))的最值；⑶ 将这些点的函数值求出，而且相互比较，定出函数的最值．实质问题求最值依据问题的性质，知道函数 f ( x, y) 的最值必定在地区 D 的内部获得，而函数在 D 内只有一个驻点，那么能够必定该驻点处的函数值就是函数 f ( x, y) 在D上的最值．例 4．求把一个正数 a 分红三个正数之和，并使它们的乘积为最大．解设 x, y 分别为前两个正数，第三个正数为 a x y ，问题为求函数u xy(a x y) 在地区D ：x， y 0 ，x y a内的最大值．0由于u y(a x y) xy y(a 2x y) ，ux(a 2 y x) ，x y解方程组a 2x y 0 a， ya．a 2y x，得 x30 3由实质问题可知，函数必在 D 内获得最大值，而在地区 D 内部只有独一的驻点，则函数必在该点处获得最大值，即把a 分红三等份，乘积 ( a) 3 最大．z a x y ，则 3 此外还可得出，若令u xyz( a)3 ( x y z ) 33 3 即3xyz x y z．3三个数的几何均匀值不大于算术均匀值．三．条件极值，拉格朗日乘数法引例求函数 zx 2y 2 的极值．该问题就是求函数在它定义域内的极值，前方求过在(0,0) 获得极小值；若求函数 zx 2 y 2 在条件 xy 1下极值，这时自变量遇到拘束，不可以在整个函数定义域上求极值，而只好在定义域的一部分x y1 的直线上求极值，前者只需求变量在定义域内变化， 而没有其余附带条件称为 无条件极值 ，后者自变量遇到条件的拘束， 称为 条件极值 ．如何求条件极值？有时可把条件极值化为无条件极值， 如上例从条件中解出 y 1 x ，代 入 z x 2 y 2 中 ， 得 zx 2 (1 x)2 2x 2 2x 1 成 为 一 元 函 数 极 值 问 题 ， 令z x 4 x 21 1 1 10 ，得 x，求出极值为 z(, )2 ．22 2可是在好多情况下， 将条件极值化为无条件极值其实不这样简单， 我们还有一种直接追求条件极值的方法， 可不用先把问题化为无条件极值的问题， 这就是下边介绍的拉格朗日乘数法．利用一元函数获得极值的必需条件．求函数 zf ( x, y) 在条件( x, y) 0下获得极值的必需条件．若函数 zf ( x, y) 在 (x 0 , y 0 ) 获得所求的极值，那么第一有(x 0, y 0 )0 ．假设在 ( x 0 , y 0 ) 的某一邻域内函数 z f ( x, y) 与均有连续的一阶偏导数， 且 y ( x 0 , y 0 )0 ．有隐函数存在定理可知，方程(x, y) 0 确立一个单值可导且拥有连续导数的函数y (x) ，将其代入函数 zf ( x, y) 中，获得一个变量的函数z f (x,( x))于是函数 zf ( x, y) 在 ( x 0 , y 0 ) 获得所求的极值， 也就是相当于一元函数 z f (x, ( x)) 在x x 0 获得极值．由一元函数获得极值的必需条件知道dz f x (x 0 , y 0 ) f y (x 0 , y 0 ) dy0 ，dx x x 0dx x x 0而方程(x, y) 0 所确立的隐函数的导数为dyx( x 0, y 0 )．dx x x 0y ( x 0 , y 0 )将上式代入 f( x , y ) f (x , y )dy0 中，得x 0 0 y0 0dx x xf x ( x 0 , y 0 )f y ( x 0 , y 0 ) x(x 0, y 0)0 ，y (x 0 , y 0 )所以函数 z f ( x, y) 在条件 ( x, y) 0 下获得极值的必需条件为 f x ( x 0 , y 0 )f y ( x 0 , y 0 ) x(x 0, y 0)y (x 0 , y 0 )．(x 0 , y 0 ) 0为了计算方便起见，我们令f y ( x 0 , y 0 )，y (x 0 , y 0 )则上述必需条件变成f x ( x 0 , y 0 )x ( x 0 , y 0 ) 0 f y ( x 0 , y 0 )y ( x 0 , y 0 )0 ，( x 0 , y 0 ) 0简单看出，上式中的前两式的左正直是函数F ( x, y) f ( x, y)(x, y)的两个一阶偏导数在(x 0 , y 0 ) 的值，此中是一个待定常数．拉格朗日乘数法求函数 zf ( x, y) 在条件 (x, y) 0 下的可能的极值点．⑴ 组成协助函数F (x, y) f (x, y)(x, y) ，（为常数）⑵求函数 F 对x，对 y 的偏导数，并使之为零，解方程组f x ( x, y)x ( x, y)0f y ( x, y)y ( x, y)0(x, y)0得 x, y,，此中x, y就是函数在条件(x, y)0 下的可能极值点的坐标；⑶ 如何确立所求点能否为极值点？在实质问题中常常可依据实质问题自己的性质来判断．拉格朗日乘数法推行求函数 u f ( x, y, z,t ) 在条件(x, y, z, t) 0 ，(x, y, z, t) 0 下的可能的极值点．组成协助函数F (x, y, z, t ) f ( x, y, z, t) 1 ( x, y, z,t ) 2 ( x, y, z,t )此中1 , 2为常数，求函数 F 对 x, y, z 的偏导数，并使之为零，解方程组f x 1 x 2 x f y 1 y 2 y f z 1 z 2 z f t 1 t 2 t0 0 0 0(x, y, z,t )0( x, y, z, t)0得 x, y, z 就是函数u f (x, y, z, t) 在条件( x, y, z,t) 0 ，( x, y, z,t )0 下的极值点．注意：一般解方程组是经过前几个偏导数的方程找出x, y, z 之间的关系，而后再将其代入到条件中，即能够求出可能的极值点．例 6. 求表面积为 a 2而体积为最大的长方体的体积．解设长方体的三棱长分别为x, y, z ，则问题是在条件(x, y, z) 2xy 2yz 2xz a 20下，求函数 v xyz (x0, y 0, z0) 的最大值．组成协助函数 F (x, y, z) xyz(2xy 2 yz 2xz a 2 ) ，求函数 F 对 x, y, z 偏导数，使其为0 ，获得方程组yz 2 ( y z) 0 (1)xz 2 (x z) 0 (2)xy 2 ( x y) 0 (3)2xy 2yz 2xz a2 0 (4)由 (2) ，得x x z ，由(3) ，得y x y ，(1) y y z ( 2) z x z即有，x( y z) y( x z), x y ， y(x z) z( x y), y z ，可得 x y z ，将其代入方程2xy 2 yz 2xz a2 0 中，得x y z6a ．6这是独一可能的极值点，由于由问题自己可知最大值必定存在，所以最大值就是在这可能的极值点处获得，即在表面积为a2的长方体中，以棱长为6a 的正方体的体积为最大，6最大概积为 v 6 a3．36例 7．试在球面x2 y2 z2 4 上求出与点 (3,1, 1) 距离近来和最远的点．解设 M (x, y, z) 为球面上随意一点，则到点(3,1, 1) 距离为d (x 3)2 ( y 1)2 (z 1)2可是，假如考虑d2，则应与d有同样的最大值点和最小值点，为了简化运算，故取f (x, y, z) d 2 ( x 3)2 ( y 1)2 ( z 1)2，又由于点 M ( x, y, z) 在球面上，附带条件为( x, y, z) x2 y2 z2 4 0 ．组成协助函数 F (x, y, z) ( x 3)2 ( y 1)2 ( z 1)2 (x2 y2 z2 4) ．求函数 F 对 x, y, z 偏导数，使其为0 ，获得方程组2(x 3) 2 x 0 (1)2( y 1) 2 y 0 (2)2(z 1) 2 z 0 (3)x2 y2 z2 4 (4)以前三个方程中能够看出x, y, z 均不等于零（不然方程两头不等），以作为过渡，把这三个方程联系起来，有x 3y 1 z 1 3 1 1xyz 或xy，z故 x 3z, yz ，将其代入 x 2 y 2 z 24 中，得( 3z)2( z)2 z 2 4 ，2，再代入到 x 3z, yz 中，即可得求出 z11x m6， y m2，1111进而得两点 (62 26 22,,) ， (,,) ，11 1111 1111 11比较表达式看出第一个点对应的值较大，第二个点对应的值较小，所以近来点为( 6 , 2 ,2) ，最远点为 (6 , 2,2)．11 11 11111111。

多元函数求极限方法多元函数求极限是高等数学中的重要内容之一，它与微积分、数学分析等领域密切相关。

在学习多元函数求极限的过程中，我们需要掌握一些基本方法和技巧。

下面，我将介绍几种常用的多元函数求极限方法。

一、直接代入法直接代入法是求解多元函数极限最简单的方法之一。

当我们需要求解一个多元函数在某个点处的极限时，可以先将这个点的坐标代入到这个函数中，从而得到一个实数值。

如果这个实数值存在且唯一，那么这个实数就是该多元函数在该点处的极限值。

例如，对于二元函数f(x,y) = (x^2+y^2)/(x+y)，当(x,y) = (1,1)时，我们可以直接将(1,1)代入到f(x,y)中得到：f(1,1) = (1^2+1^2)/(1+1) = 1因此，在点(1,1)处，该二元函数的极限值为1。

二、夹逼定理夹逼定理是判断多元函数是否收敛以及计算其极限值的重要工具。

夹逼定理通常用于那些难以直接计算或者无法使用其他方法计算出来的多元函数极限。

夹逼定理的核心思想是，如果一个多元函数可以被两个已知的函数“夹逼”在中间，而这两个函数的极限值相等，那么这个多元函数的极限值也应该等于它们的极限值。

例如，对于二元函数f(x,y) = sin(x^2+y^2)/(x^2+y^2)，我们可以使用夹逼定理来求解它在点(0,0)处的极限。

首先，我们定义两个二元函数g(x,y)和h(x,y)，使得：g(x,y) = (x^2+y^2)/sin(x^2+y^2)h(x,y) = 1显然，在点(0,0)处，g(x,y)和h(x,y)都等于1。

因此，我们可以将f(x,y)表示为：h(x,y) ≤ f(x,y) ≤ g(x,y)当x和y趋近于0时，g(x,y)趋近于1，而h(x,y)趋近于1。

因此，根据夹逼定理，f(x,y)在点(0,0)处的极限值也应该等于1。

三、柯西-施瓦茨不等式柯西-施瓦茨不等式是一种常用于计算多元函数积分、求解多元函数最大值和最小值以及判断多元函数是否可积等方面的工具。

多元函数条件极值的几种求解方法摘要本文主要讨论了多元函数条件极值的求解问题，其中包括无条件极值、条件极值的概念介绍，对多元函数条件极限值的几种求解方法的概括，其中包括了直接代入法，拉格朗日乘数法，柯西不等式等方法，其中拉格朗日乘数法还着重介绍了全微分和二阶偏导数即Hesse矩阵法等。

介绍关于求解多元函数条件极值的几种方法目的是在解决相应的问题中时能得以借鉴，找到合适的解决问题的途径。

关键词极值；拉格朗日乘数法；柯西不等式1前言函数极值问题已广泛地出现于数学、物理、化学等学科中，且它涉及的知识面非常广，所以就要求学生有较高的分析能力和逻辑推理能力，同时也要求学生掌握多种求函数极值的方法，因此对函数极值的研究是非常必要的。

函数极值的求解与发展极大的推动了微积分学科的发展，为其做出了重大贡献。

微积分的创立，首先是为了处理十七世纪的一系列主要的科学问题。

有四种主要类型的科学问题：第一类是，已知物体的移动的距离表为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度使瞬时变化率问题的研究成为当务之急；第二类是，望远镜的光程设计使得求曲线的切线问题变得不可回避；第三类是，确定炮弹的最大射程以及求行星离开太阳的最远和最近距离等涉及的函数极大值、极小值问题也急待解决；第四类问题是求行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过的面积以及物体重心与引力等，又使面积、体积、曲线长、重心和引力等微积分基本问题的计算被重新研究。

同样在很多工程实际中，我们经常需要做一些优化。

举个简单的例子，就拿天气预报来说吧，通过实验测得很多气象数据，那么我们怎么处理这些数据，或者说用什么方法处理这些数据，才能达到预测结果最为准确呢，这其实也是一个广义上的极值问题。

还有就是经济学的投资问题，我们知道现在国家搞什么高铁、高速公路的，都是浩大的工程，动不动就几百亿的，如何合理布局才能让这些公共基础建设的利远大于弊。

一般实际问题都是一个或者一组多元函数，那么研究清楚这些问题，对我们的工程实际将有莫大的裨益。