1.3重集的排列及组合

§3组合知识点一组合的定义[填一填]一般地，从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素为一组，叫作从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合，我们把有关求组合的个数的问题叫作组合问题．[答一答]1．如何区分一个问题是排列问题还是组合问题？提示：一个问题究竟是组合问题还是排列问题，不能想当然地判断，必须要结合具体的问题，依照题目的要求，寻找处理的过程中是否与顺序有关，如果与顺序有关，就是排列问题，否则就是组合问题．知识点二 组合[填一填]我们把从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有组合的个数，叫作从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号C m n 表示．[答一答]2．如何理解记忆组合数公式？提示：在记住排列数公式的基础上，分母再除以m ！就得组合数公式． 知识点三 组合数的性质[填一填]性质1：C m n ＝C n －m n. 性质2：C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n. [答一答]3．如何理解和记忆组合数的性质．提示：从n 个元素中取m 个元素，剩余(n －m )个元素，故C m n ＝C n －m n .从n ＋1个元素中取m 个元素记作C m n ＋1，可认为分作两类：第一类为含有某元素a 的取法为C m －1n，第二类不含有此元素a ，则为C m n ，根据分类加法计数原理得C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n.1．组合的定义(1)给出的n 个元素是互不相同的，且从n 个元素中抽取m 个元素是没有重复抽取情况的，因而这m 个元素也是互不相同的，这就决定了m ≤n .(2)组合的定义中包含两个基本内容：一是“取出元素”，二是“并成一组”，“并成一组”即表示与顺序无关．(3)由定义可知，两个组合相同，只需这两个组合的元素相同即可．2．组合数我们可以从集合的角度来理解，从n 个不同元素中取出m 个元素并成一组是一个组合，任取m 个元素组成的组合的全体构成一个集合，例如：从3个不同元素a ，b ，c 中任取2个的所有组合构成的集合为：A ＝{ab ，ac ，bc }．所谓组合数就是求这个集合的元素的个数．从集合中可以清楚地了解组合之间的互异性．3．组合数公式(1)组合数公式的推导应注意以下两点：①遵循从特殊到一般的原则，重点研究了从3个不同元素中取出2个元素的组合数．推导过程中采用了穷举法．②遵循以退为进的原则，先建立了组合与排列之间的对应关系，依据分步计数原理，把求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数的过程分为两步完成：求组合数；求全排列数．从而利用这种对应关系和已知的排列数公式得到组合数公式．我们应理解和掌握这种分步解决问题的思路，它在解决排列组合应用题时非常重要．(2)组合数公式的应用对于组合数公式我们强调：第一个公式体现了组合数与相应排列数的关系，当n 确定而m 变化时，组合数与m 的一种函数关系．第二个公式C m n ＝n ！m ！(n －m )！的主要作用有： ①当m ，n 较大时，可借助计算器，利用这个公式计算组合数比较方便．②对含有字母的组合数的式子进行变形和论证时，常用此式．4．组合数的两个性质(1)性质1：C m n ＝C n －m n①从n 个元素中取出m 个元素，相当于从这n 个元素中留下n －m 个元素，所以C m n ＝C n －m n.这体现了“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想．②性质表达式的特点：等号两边组合数的下标相同，上标之和等于下标．③性质的作用：(Ⅰ)当m >n 2时，计算C m n 可转化为计算C n －m n，简化运算；(Ⅱ)C x n ＝C y n ⇒x ＝y 或x ＋y ＝n .(2)性质2：C m n＋1＝C m n＋C m－1n，①从含有a的n＋1个不同的元素中取出m个元素的组合数是C m n＋1这些组合可以分为两类：第一类：取出的m个元素中含有元素a，相当于个．第二类：从不含a的n个不同的元素中取出m－1个元素，共有C m－1n取出的m个元素中不含元素a，相当于从不含a的n个不同的元素中取出.这体现了“含m个元素，共有C m n个．根据加法原理，得到C m n＋1＝C m n＋C m－1n与不含某元素”的分类思想．②性质表达式的特点：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与较大的相同的一个组合数．③性质的作用：恒等变形，简化运算．在今后学习“二项式定理”时，我们会看到它的具体应用．题型一组合的概念[例1](1)从甲、乙、丙、丁四位老师中选出两位去参加学习交流会，试判断该问题是组合问题还是排列问题，并写出所有的可能情况；(2)从甲、乙、丙、丁四位老师中选出两位分别到A，B两个班级当班主任，试判断该问题是组合问题还是排列问题，并写出所有的可能情况．[思路探究](1)两位老师参加学习交流会没有顺序要求，是组合问题；(2)由于班级不一样，若选出两位老师后，安排班级不同时，结果不一样，所以是排列问题．[解](1)该问题为组合问题，所有情况为：甲、乙，甲、丙，甲、丁，乙、丙，乙、丁，丙、丁，共6种情况．(2)该问题为排列问题，班级A，B的班主任的所有情况为：(甲，乙)，(乙，甲)，(甲，丙)，(丙，甲)，(甲，丁)，(丁，甲)，(乙，丙)，(丙，乙)，(乙，丁)，(丁，乙)，(丙，丁)，(丁，丙)，共12种情况．规律方法用组合的知识解简单的应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于：排列问题与顺序有关，而组合问题与顺序无关．若顺序对结果无影响，则是组合问题，若顺序对结果有影响，则是排列问题．判断下列问题是组合问题还是排列问题．(1)设集合A ＝{a ，b ，c ，d ，e }，则集合A 的子集中含有3个元素的有多少个？(2)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？(3)3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？(4)把3本相同的书分给5个学生，每人最多分得1本，有几种分配方法？解：(1)因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题．(2)因为甲站到乙站的车票与乙站到甲站的车票是不同的，故是排列问题；但票价与顺序无关，甲站到乙站与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题．(3)因为分工方法是从5种不同的工作中选出3种，按一定顺序分给3个人去干，故是排列问题．(4)因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪三人，都不需考虑他们的顺序，故是组合问题．题型二 有关组合数的计算或证明[例2] (1)已知C 5n －1＋C 3n －3C 3n －3＝345，求n . (2)证明：①C n m ＝m m －n C n m －1， ②C k n ·C m －k n －k ＝C m n C k m .[思路探究] 充分利用组合数公式及性质解题，并注意有关限制条件．[解] (1)原方程可变形为C 5n －1C 3n －3＋1＝195，即C 5n －1＝145C 3n －3，即(n －1)(n －2)(n －3)(n －4)(n －5)5！＝145·(n －3)(n －4)(n －5)3！， 化简整理得n 2－3n －54＝0.解此二次方程得n ＝9或n ＝－6(不合题意，舍去)．∴n ＝9. (2)证明：①m m －n C n m －1＝m m －n ·(m －1)！n ！(m －1－n )！＝m ！n ！(m －n )！＝C n m . ②∵C k n ·C m －k n －k ＝n ！k ！(n －k )！·(n －k )！(m －k )！(n －m )！＝n ！k ！(m －k )！(n －m )！. C m n ·C k m ＝n ！m ！(n －m )！·m ！k ！(m －k )！＝n ！k ！(n －m )！(m －k )！， ∴C k n ·C m －k n －k ＝C m n ·C k m .规律方法 解和组合数有关的方程、不等式、求值、证明等问题时，要注意组合数公式及性质，同时注意其成立的条件．计算：(1)C 58＋C 98100·C 77； (2)C 05＋C 15＋C 25＋C 35＋C 45＋C 55；(3)C n n ＋1·C n －1n . 解：(1)原式＝C 38＋C 2100×1＝8×7×63×2×1＋100×992×1＝56＋4 950＝5 006. (2)原式＝2(C 05＋C 15＋C 25)＝2(C 16＋C 25)＝2(6＋5×42×1)＝32. (3)方法一：原式＝C n n ＋1·C 1n ＝(n ＋1)！n ！·n ＝(n ＋1)·n ！n ！·n ＝(n ＋1)n ＝n 2＋n . 方法二：原式＝(C n n ＋C n －1n )·C n －1n ＝(1＋C 1n )·C 1n ＝(1＋n )·n ＝n 2＋n . 题型三 无约束条件的组合问题[例3] 一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？[思路探究] 先判断是不是组合问题，再用组合数公式写出结果，最后求值．[解] (1)从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数是C 38＝8×7×63×2×1＝56.(2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C 11C 27＝7×62×1＝21. (3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C 37＝7×6×53×2×1＝35. 规律方法 解简单的组合应用题，要首先判断它是不是组合问题，即取出的元素是“合成一组”还是“排成一列”其次要看这件事是分类完成还是分步完成．现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？解：(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法有C 210＝45种．(2)从6名男教师中选2名有C 26种选法，从4名女教师中选2名有C 24种选法．根据分步乘法计数原理，共有选法C 26C 24＝90种．题型四 有约束条件的组合问题[例4] 要从12人中选出5人去参加一项活动，按下列要求，有多少种不同选法？(1)A ，B ，C 三人必须入选；(2)A ，B ，C 三人都不能入选；(3)A ，B ，C 三人只有一人入选；(4)A ，B ，C 三人至少一人入选；(5)A ，B ，C 三人至多两人入选．[思路探究] 判断是否与顺序有关，确定是否为组合问题．[解](1)只需再从A，B，C之外的9人中选择2人，所以有方法C29＝36(种)．(2)由于A，B，C三人都不能入选，所以只能从余下的人中选择5人，即有选法C59＝126(种)．(3)可分两步：先从A，B，C三人中选出一人，有C13种选法；再从其余的9人中选择4人，有C49种选法．所以共有选法C13C49＝378(种)．(4)(直接法)可分三类：①A，B，C三人只选一人，则还需从其余9人中选择4人，有选法C13C49＝378(种)；②A，B，C三人中选择两人，则还需从其余9人中选择3人，有选法C23C39＝252(种)；③A，B，C三人都入选，则只需从余下的9人中选择2人，有选法C33C29＝36(种)．由分类加法计数原理，共有选法378＋252＋36＝666(种)．(间接法)先从12人中任选5人，再减去A，B，C三人都不入选的情况，共有选法C512－C59＝666(种)．(5)(直接法)可分三类：①A，B，C三人均不入选，有C59种选法；②A，B，C三人中选一人，有C13C49种选法；③A，B，C三人中选两人，有C23C39种选法．由分类加法计数原理，共有选法C59＋C13C49＋C23C39＝756种．(间接法)先从12人中任选5人，再减去A，B，C三人均入选的情况，即共有选法C512－C29＝756种．规律方法解答有限制条件的组合问题的基本方法是“直接法”和“间接法(排除法)”．其中用直接法求解时，则应坚持“特殊元素优先选取”的原则，优先安排特殊元素的选取，再安排其他元素的选取．而选择间接法的原则是“正难则反”，也就是若正面问题分类较多、较复杂或计算量较大，不妨从反面问题入手，试一试看是否简捷些，特别是涉及“至多”、“至少”等组合问题时更是如此．此时正确理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等词语的确切含义是解决这些组合问题的关键．(1)四面体的一个顶点为A ，从其他顶点和各棱中点中取3个点，使它们和点A 在同一平面上，有多少种不同的取法？解：(直接法)如题图，含顶点A 的四面体的3个面上，除点A 外都有5个点，从中取出3点必与点A 共面，共有3C 35种取法；含顶点A 的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种取法．根据分类加法计数原理，与顶点A 共面三点的取法有3C 35＋3＝33(种)．(2)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为( C )A ．232B ．252C ．472D ．484解析：本题考查了利用组合知识来解决实际问题． 方法一：C 316－4C 34－C 24C 112＝16×15×146－16－72＝560－88＝472. 方法二：C 04C 312－3C 34＋C 14C 212＝12×11×106－12＋4×12×112＝220＋264－12＝472.解题时要注意直接求解与反面求解相结合，做到不漏不重．题型五 分配问题[例5] 有6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？(1)平均分给甲、乙、丙三人；(2)甲得1本，乙得2本，丙得3本；(3)一人得1本，一人得2本，一人得3本；(4)平均分成三堆(组)；(5)一堆1本，一堆2本，一堆3本．[思路探究](1)、(2)两题可设想甲、乙、丙三人依次如数取书；(3)则在(2)的基础上甲、乙、丙三人全排列分配；由等概率思想，(4)为(1)的A33分之一；(5)为(3)的A33分之一．[解](1)每人得2本，可考虑甲先在6本书中任取2本，取法有C26种，再由乙在余下的书中取2本，取法有C24种，最后由丙取余下的2本书，有C22种取法，由分步计数原理．所以共有分法数：N＝C26C24C22＝90.所以一共有90种取法．(2)选取方法同(1)，所以共有分法数N＝C16C25C33＝60.所以一共有60种取法．(3)在(2)中甲得1本，乙得2本，丙得3本的基础上，考虑到甲、乙、丙三人的机会相等，让甲、乙、丙三人全排列调换位置，所以共有分法数：N＝C16C23C33·A33＝360.所以一共有360种选法．(4)由于三堆的位置并无差别，可在(1)的情况下，得共有分法数为：N＝C26·C24C22A33＝15.所以一共有15种分法．(5)类似(4)与(1)，考虑本题与(3)的差别，所以共有分法数：N＝C16C25C33＝60(种)．所以一共有60种分法．规律方法本题利用计数原理和组合知识，解决了分配问题．解决此类问题关键是实现合理的转化，最基本最简单的情形是分到具体的人，并且各人分的数目确定，其他的都要向这种情形转化．现有5名学生要进入某工厂的四个车间去实习，每个车间至多去2人，有多少种不同的方法？解：本例要求5个人去四个车间，每个车间至多去2人，但是并没有强调每个车间必须去几人，因此，本例可分为如下两类：有一个车间去2人，其余三个车间各去1人，或者，有两个车间各去2人，一个车间去1人，一个车间不去人．依题意，至少有一个车间去2人，至多有两个车间各去2人，因此，实习方案可分为两类：第一类：有一个车间去2人，其余三个车间各去1人，所以，先在5个人中任选2人去一个车间，有C25种方法；将此2人看做1个元素，连同其余3个人，共4个元素分别到四个车间，有A44种方法，∴共有C25·A44＝240(种)．第二类：有两个车间各去2个人，一个车间去1个人，一个车间不去人，因此，先在5个人中确定1个人去一个车间，并在四个车间中选一个车间插入此人，有C15·C14种方法；然后在其余4个人中选2人到一个车间，另2人则自然到另一车间，并在剩下的三个车间中选两个车间来安排他们，有C24·C22·C23(种)方法，∴共有C15·C14·C24·C22·C23＝360(种)方法．由分类加法计数原理可知，所求方法共有240＋360＝600(种)．题型六排列、组合的综合应用[例6]有4个不同的球，四个不同的盒子，把球全部放入盒内．(1)共有多少种放法？(2)恰有一个盒不放球，有多少种放法？(3)恰有一个盒内放2个球，有多少种放法？(4)恰有两个盒内不放球，有多少种放法？[思路探究](1)可直接用分步计数原理．(2)问题转化为：“4个球，三个盒子，每个盒子都要放球，共有几种放法？”(3)该问题事实上与问题(2)是同一个问题．(4)问题转化为：“4个球，两个盒，每个盒必须放入球，有几种放法？”[解](1)一个球一个球地放到盒子里去，每个球都可有4种独立的放法，由分步乘法计数原理知，放法共有44＝256(种)．(2)为保证“恰有一个盒子不放球”，先从四个盒子中任意拿出去1个，即将4个球分成2,1,1的三组，有C24种分法；然后再从三个盒子中选一个放两个球，其余两个球，两个盒子，全排列即可．由分步计数原理知，共有放法：C14·C24·C13·A22＝144(种)．(3)“恰有一个盒内放2个球”，即另外的三个盒子放2个球，而每个盒子至多放1个球，即另外三个盒子中恰有一个空盒．因此，“恰有一个盒子放2个球”与“恰有1个盒子不放球”是一回事，故也有144种放法．(4)先从四个盒子中任意拿走两个有C24种拿法，问题转化为：“4个球，两个盒子，每盒必放球，有几种放法？”从放球数目看，可分为(3,1)，(2,2)两类．第一类：可从4个球中先选3个，然后放入指定的一个盒子中即可，有C34·C12种放法；第二类：有C24种放法．因此共有C34·C12＋C24＝14(种)．由分步乘法计数原理得“恰有两个盒子不放球”的放法有：C24·14＝84(种)．规律方法该例的分析过程比较重要，当问题从某个方面入手较困难时，可从另外一个角度去思考．该例是用直接法求解．有几个小题也可用间接法．请同学们试试．(1)我省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展．某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”“舞者轮滑俱乐部”“篮球之家”“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为(C)A．72 B．108C．180 D．216解析：甲需从另外3个选一个，有C13种方法，其余可分两类，第一类：除同学甲外的另四名同学分别参加四个社团，共有A44种，第二类：其余四名同学只参加三个社团，共有C24A33种，所以一共有C13(A44＋C24A33)＝180(种)．(2)从1到9的九个数中取三个偶数和四个奇数，试问： ①能组成多少个没有重复数字的七位数？ ②上述七位数中三个偶数排在一起有几个？③在①中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？ ④在①中任意两个偶数都不相邻的七位数有几个？解：①分步完成：第一步在4个偶数中取3个，可有C 34种情况；第二步在5个奇数中取4个，可有C 45种情况；第三步3个偶数，4个奇数进行排列，可有A 77种情况，所以符合题意的七位数有C 34·C 45·A 77＝100 800(个)． ②上述七位数中，三个偶数排在一起的有C 34·C 45·A 55·A 33＝14 400(个)．③上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有C 34·C 45·A 33·A 44·A 22＝5 760(个)．④上述七位数中，偶数都不相邻，可先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入5个空当，共有C 34·C 45·A 44·A 35＝28 800(个)．——误区警示系列——1．组合数公式用错致误[例6] 已知1C m 5－1C m 6＝710C m 7，求m .[错解] 由已知得m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )！6！＝7(7－m )！m ！10×7！，即60－10(6－m )＝(7－m )(6－m )，整理，得m 2－23m ＋42＝0，解得m ＝21或m ＝2. [正解] 依题意知m 的取值范围是{m |0≤m ≤5，m ∈N }． 由已知得m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )！6！＝7(7－m )！m ！10×7！，整理，得m 2－23m ＋42＝0，解得m ＝21或m ＝2. ∵m ∈[0,5]，∴m ＝2.[辨析] 这是一个关于m 的含组合数的方程．错解中，转化为关于m 的一元二次方程后，忽略了m 的允许值的范围导致出错．解这类题时，要将C m n 中m ，n 的范围与方程的解综合考虑，切忌盲目求解．2．概念混淆致误[例7] 有甲、乙、丙3项任务，任务甲需要2人承担，任务乙、丙各需要1人承担，从10人中选派4人承担这3项任务，不同的选法共有________种(用数字作答)．[错解一] 分3步完成：第一步：从10人中选出4人，有C 410种方法． 第二步：从这4人中选出2人承担任务甲，有A 24种方法． 第三步：剩下的2人分别承担任务乙、丙，有A 22种方法． 根据乘法原理，不同的选法共有C 410A 24A 22＝5 040种． [错解二] 分3步完成，不同的选法共有C 410C 24C 22＝1 260种．[正解一] 先从10人中选出2人承担任务甲 ；再从余下8人中选出1人承担任务乙；最后从剩下的7人中选出1人去承担任务丙．根据乘法原理，不同的选法共有C 210C 18C 17＝2 520(种)．[正解二] 先从10人中选出2人承担任务甲；再从余下8人中选出2人分别承担任务乙、丙．根据乘法原理，不同的选法共有C 210A 28＝2 520(种)．[辨析] 错解一的错因是：“排列”“组合”概念混淆不清．承担任务甲的两人与顺序无关，此处应是组合问题，即A 24应为C 24.错解二的错因是：剩下的2人去承担任务乙、丙，这与顺序有关，此处应是排列问题，即C 22应为A 22.1．解不等式C m －18>3C m 8.解：由8！(m －1)！(9－m )！>3×8！m ！(8－m )！，整理得19－m >3m ，所以m >27－3m .所以m >274＝7－14.又因为0≤m －1≤8，且0≤m ≤8，m ∈N ，所以7≤m≤8，所以m＝7或8.2．上海某区政府召集5家企业的负责人开年终总结经验交流会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上推选3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为16.解析：若3人中有一人来自甲企业，则共有C12C24种情况；若3人中没有甲企业的，则共有C34种情况．由分类加法原理可得，这3人来自3家不同企业的可能情况共有C12C24＋C34＝16(种)．1．以下四个命题，属于组合问题的是(C)A．从3个不同的小球中，取出2个排成一列B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星D．从13位司机中任选出两位开两辆车从甲地到乙地解析：A，B，D与顺序有关，是排列问题，只有C与顺序无关，是组合问题．2．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有(A) A．30种B．35种C．42种D．48种解析：方法一：可分为以下2种情况：(1)A类选修课选1门，B类选修课选2门，有C13C24种不同的选法；(2)A类选修课选2门，B类选修课选1门，有C23C14种不同的选法．故不同的选法共有C13C24＋C23C14＝18＋12＝30(种)．方法二：∵事件“两类课程中各至少选一门”的对立事件是“全部选修A或全部选修B”∴两类课程中各至少选一门的选法有：C37－C33－C34＝30(种)．3．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间距离均不相等且无通票，则车票票价的种数是(C)A．1 B．2C．3 D．6解析：从甲、乙、丙三地中任取两个地点则对应着一个票价，故票价应为C 23＝3(种)．4．计算：C 11＋C 12＋C 13＋C 14＋…＋C 110＝55.解析：原式＝1＋2＋3＋4＋…＋10＝10×(1＋10)2＝55. 5．若C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝363，则正整数n ＝13. 解析：由C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝363， 得1＋C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝364， 即C 33＋C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝364.又由C m n ＋C m －1n ＝C m n ＋1，则C 33＋C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝C 34＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝C 35＋C 25＋C 26＋…＋C 2n ＝C 3n ＋1，所以C 3n ＋1＝364，即(n ＋1)n (n －1)3×2×1＝364，又由n 是正整数，解得n ＝13.6．求证：A 8100＝100A 77·C 799. 证明：∵100·A 77·C 799＝100×7！×99！7！(99－7)！＝100×99！92！＝100！(100－8)！＝A 8100，∴原等式成立．感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。

组合与排列的计算方法组合与排列是数学中常见的计算方法，用于解决不同的问题。

在实际生活中，我们经常需要计算某些元素的组合方式或排列方式。

本文将详细介绍组合与排列的计算方法，包括定义、公式及应用范围等。

一、组合的计算方法1.1 定义组合是从给定的元素集合中，选取若干个元素按照一定的规则组成子集的方式。

在组合中，元素的顺序不重要，即组合只关注元素的选择，而不关注元素的排列顺序。

1.2 组合的计算公式对于含有n个元素的集合，从中选取m个元素进行组合，计算方法如下：C(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)其中，C(n, m)表示从n个元素中选取m个元素的组合数量，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1。

1.3 组合的应用范围组合的计算方法在概率统计、排列组合等领域有广泛的应用。

例如，在抽奖活动中，求解中奖组合、在竞赛中求解选手比赛成绩排名等都需要用到组合的计算方法。

二、排列的计算方法2.1 定义排列是从给定的元素集合中，选取若干个元素按照一定的规则排列的方式。

与组合不同，排列中元素的顺序是重要的，即排列依赖元素的排列顺序。

2.2 排列的计算公式对于含有n个元素的集合，从中选取m个元素进行排列，计算方法如下：P(n, m) = n! / (n-m)!其中，P(n, m)表示从n个元素中选取m个元素的排列数量。

2.3 排列的应用范围排列的计算方法在密码学、统计分析、问题求解等领域有广泛的应用。

例如，在密码学中，求解密码的破译方式、在统计学中分析数据的排列情况等都需要用到排列的计算方法。

三、组合与排列的比较3.1 区别组合与排列的最主要区别在于元素选择的顺序是否重要。

组合只关注元素的选择，顺序不重要；而排列则依赖于元素的排列顺序。

3.2 应用场景组合适用于计算元素的选择方式，常用于抽奖、竞赛成绩排名等场景；排列适用于计算元素的排列方式，常用于密码破译、统计分析等场景。

1.3组合第1课时组合组合数公式1．理解组合的意义．(重点)2．掌握组合数的计算公式及其推导过程，并会用组合数公式求值．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1组合与组合数的概念阅读教材P19，完成下列问题．1．组合一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．2．组合数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cm n表示．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．( )(2)从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组合的个数为C23.( )(3)从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法是组合问题．( )(4)从甲、乙、丙3名同学中选出2名，有3种不同的选法．( )(5)现有4枚2015年抗战胜利70周年纪念币送给10人中的4人留念，有多少种送法是排列问题．( )【解析】(1)√因为只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合．(2)√由组合数的定义可知正确．(3)×因为选出2名同学还要分到不同的两个乡镇，这是排列问题．(4)√因为从甲、乙、丙3人中选两名有：甲乙，甲丙，乙丙，共3个组合，即有3种不同选法．(5)× 因为将4枚纪念币送与4人并无顺序，故该问题是组合问题． 【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)× 教材整理2 组合数公式及性质 阅读教材P 20～P 22，完成下列问题． 1．组合数公式：Cm n ＝Am nAmm ＝错误!＝错误!.2．组合数的性质：(1)Cm n ＝Cn －m n ；(2)Cm n ＋1＝Cm n ＋Cm －1n .1．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价的种数是________种．【解析】 甲、乙、丙三地之间的距离不等，故票价不同，同距离两地票价相同，故该问题为组合问题，不同票价的种数为C23＝3×22＝3.【答案】 32．C26＝________，C1718＝________. 【解析】 C26＝6×52＝15， C1718＝C118＝18. 【答案】 15 183．方程Cx 14＝C2x －414的解为________. 【导学号：29440009】【解析】由题意知⎩⎨⎧x ＝2x －4，2x －4≤14，x≤14或错误!解得x ＝4或6. 【答案】 4或64．从3,5,7,11这四个数中任取两个相乘，可以得到不相等的积的个数为________个． 【解析】 从四个数中任取两个数的取法为C24＝6. 【答案】 6[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型](1)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？(2)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？(3)从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？(4)从10个人里选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？【精彩点拨】要确定是组合还是排列问题，只需确定取出的元素是否与顺序有关．【自主解答】(1)是组合问题，因为每两个队比赛一次并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别．(2)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序的区别．(3)是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别．(4)是排列问题，因为3个人中，担任哪一科的课代表是有顺序的区别．1．根据排列与组合的定义进行判断，区分排列与组合问题，先确定完成的是什么事件，然后看问题是否与顺序有关，与顺序有关的是排列，与顺序无关的是组合．2．区分有无顺序的方法把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．[再练一题]1．从5个不同的元素a，b，c，d，e中取出2个，写出所有不同的组合．【解】要想写出所有组合，就要先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个标出来，如图所示：由此可得所有的组合为ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de .(1)计算：(2)计算：C38－n 3n ＋C3n 21＋n.【精彩点拨】 (1)直接运用组合数公式进行计算； (2)先求出n ，再按组合数公式进行运算．【自主解答】 (1)3C38－2C25＝3×8×7×63×2×1－2×5×42×1＝148. (2)由组合数的意义可得 ⎩⎨⎧0≤38－n≤3n ，0≤3n≤21＋n ， 即⎩⎪⎨⎪⎧192≤n≤38，0≤n≤212，∴192≤n ≤212. ∵n ∈N *，∴n ＝10，∴C38－n 3n ＋C3n 21＋n ＝C2830＋C3031＝C230＋C131 ＝30×292×1＋31＝466.关于组合数计算公式的选取1．涉及具体数字的可以直接用公式Cm n ＝Am nAmm ＝错误!计算． 2．涉及字母的可以用阶乘式Cm n ＝错误!计算．3．计算时应注意利用组合数的性质Cm n ＝Cn －m n 简化运算．[再练一题]2．求等式C5n －1＋C3n －3C3n －3＝195中的n 值. 【导学号：29440010】【解】 原方程可变形为C5n －1C3n －3＋1＝195，C5n －1＝145C3n －3，即错误!＝145·错误!，化简整理，得n 2－3n －54＝0.解此二次方程，得n ＝9或n ＝－6(不合题意，舍去)，所以n ＝9为所求．[探究共研型]探究1 5人中选出3人参加数学竞赛，2人参加英语竞赛，共有多少种选法？你有什么发现？你能得到一般结论吗？【提示】 法一：从5人中选出3人参加数学竞赛，剩余2人参加英语竞赛，共C35＝5×4×33×2×1＝10(种)选法．法二：从5人中选出2人参加英语竞赛，剩余3人参加数学竞赛，共C25＝5×42＝10(种)不同选法．经求解发现C35＝C25.推广到一般结论有Cm n ＝Cn －m n .探究2 从含有队长的10名排球队员中选出6人参加比赛，共有多少种选法？ 【提示】 共有C610＝10×9×8×7×6×56×5×4×3×2×1＝210(种)选法． 探究3在探究2中，若队长必须参加，有多少种选法？若队长不能参加有多少种选法？由探究2,3，你发现什么结论？你能推广到一般结论吗？【提示】 若队长必须参加，共C59＝126(种)选法．若队长不能参加，共C69＝84(种)选法． 由探究2,3发现从10名队员中选出6人可分为队长参赛与队长不参赛两类，由分类计数原理可得：C610＝C59＋C69.一般地：Cm n ＋1＝Cm n ＋Cm －1n .(1)化简C34＋C35＋C36＋…＋C32 016的值为________． (2)解方程3Cx 7x －3＝5A2x －4； (3)解不等式C4n ＞C6n .【精彩点拨】 恰当选择组合数的性质进行求值、解方程与解不等式． 【自主解答】 (1)C34＋C35＋C36＋…＋C32 016 ＝C44＋C34＋C35＋…＋C32 016－C44 ＝C45＋C35＋…＋C32 016－1＝… ＝C42 016＋C32 016－1＝C42 017－1.【答案】 C42 017－1(2)由排列数和组合数公式，原方程可化为 3·错误!＝5·错误!，则错误!＝错误!，即为(x －3)(x －6)＝40. ∴x 2－9x －22＝0， 解得x ＝11或x ＝－2.经检验知x ＝11是原方程的根，x ＝－2是原方程的增根． ∴方程的根为x ＝11. (3)由C4n ＞C6n ，得错误!⇒错误!⇒⎩⎨⎧－1＜n ＜10，n≥6.又n ∈N *， ∴该不等式的解集为{6,7,8,9}．1．性质“Cm n ＝Cn －m n ”的意义及作用2．与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求解时，要注意由Cm n 中的m ∈N *，n ∈N *，且n ≥m 确定m ，n 的范围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意．[再练一题]3．(1)化简：C9m －C9m ＋1＋C8m ＝________； (2)已知C7n ＋1－C7n ＝C8n ，求n 的值．【解析】 (1)原式＝(C9m ＋C8m )－C9m ＋1＝C9m ＋1－C9m ＋1＝0. 【答案】 0(2)根据题意，C7n ＋1－C7n ＝C8n ，变形可得C7n＋1＝C8n＋C7n，由组合数的性质，可得C7n＋1＝C8n＋1，故8＋7＝n＋1，解得n＝14.[构建·体系]1．给出下面几个问题，其中是组合问题的是________(填序号)．(1)从1,2,3,4中选出2个构成的集合；(2)由1,2,3组成两位数的不同方法；(3)由1,2,3组成无重复数字的两位数．【解析】由题意知：(1)与顺序没有关系；(2)(3)与顺序有关，故是排列问题．【答案】(1)2．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有________人．【解析】设男生有n人，则女生有(8－n)人，由题意可得C2n C18－n＝30，解得n＝5或n ＝6，代入验证，可知女生有2人或3人．【答案】2或33．C58＋C68的值为________．【解析】C58＋C68＝C69＝9！6！×3！＝9×8×73×2×1＝84.【答案】844．6个朋友聚会，每两人握手1次，一共握手________次．【解析】每两人握手1次，无顺序之分，是组合问题，故一共握手C26＝15次．【答案】155．已知C4n，C5n，C6n成等差数列，求C12n的值．【解】由已知得2C5n＝C4n＋C6n，所以2·错误!＝错误!＋错误!，整理得n2－21n＋98＝0，解得n＝7或n＝14，要求C12n的值，故n≥12，所以n＝14，于是C1214＝C214＝14×132×1＝91.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)。