一道高考题的三种解法

X 1 X 2 O -X X 3
图1
一道高考试题的多种解法
例题：（2010江苏卷5）空间有一沿x 轴对称分布的电场，其电场强度E 随X 变化的图像如图所示。

下列说法正确的是
（A ）O 点的电势最低
（B ）X 2点的电势最高
（C ）X 1和- X 1两点的电势相等
（D ）X 1和X 3两点的电势相等
该题考查电场强度与电势的关系，考查图象。

根据学生做题情况，选项特别迷惑不易得出，因而大致归类有三种方法可供学生分析理解。

解析：
法一：
把该图像与等量同种正（或负）电
荷的电场线对照，沿x 轴方向如图1所
示分布O 点的电势可能最高可能最低，
所以A 和B 错误。

X 1和- X 1两点关于O
点对称，因而X 1和- X 1两点的电势相等，
所以C 正确。

X 1的电势高于X 3的电势，
所以D 错误。

法二：
可画出电场线，如图2沿电场线电势降落（最快），所
以A 点电势最高，A 错误，B 错误；根据Ed U =，电场强度是变量，可用x E -图象面积表示，所以C 正确；X 1和X 3两点电场强度大小相等，电势不相等，D 错误，此项迷惑人。

法三： 把电场强度E 随X 变化的图像转化成电场力F 随X 变化，如图3由x F -面积可以看出，将同一电荷从O 点分别移动到X 1和- X 1两点电场力做功相同，则X 1和- X 1两点的电势相等，所以C 正确。

从O 点移动到X 1和X 3两点做功不同，X 1和X 3两点的电势不等，所以D 错误。

X X X O -X X 图2 图3。

高考数学中的解三元一次方程方法整理解三元一次方程是高考数学中的一道难题，对许多同学来说都是比较困难的。

不过，在备考高考的过程中，掌握了解三元一次方程的方法，可以大大提高数学成绩。

下面将整理一些解三元一次方程的方法给大家参考。

1. 利用矩阵求解首先，我们可以利用矩阵来求解三元一次方程，该方法优点是简便快速，不需要长时间的计算过程。

矩阵法的具体步骤如下：（1）将三元一次方程化为矩阵形式$$\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1 \\x_2 \\x_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}b_1 \\b_2 \\b_3\end{bmatrix}$$（2）对系数矩阵进行初等变换，将其化为上三角矩阵$$\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\0 & a_{22}^{(1)} & a_{23}^{(1)} \\ 0 & 0 & a_{33}^{(2)}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1 \\x_2 \\x_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}b_1^{(1)} \\b_2^{(2)} \\b_3^{(3)}\end{bmatrix}$$（3）通过回带求出未知数的值这个方法需要熟练掌握基本的矩阵初等变换及其性质，以及对行列式的理解和计算。

2. 消元法求解其次，我们可以利用消元法来求解三元一次方程，消元法在高考数学中是必不可少的一种方法，因为它是解决一次方程的标准方法。

消元法的具体步骤如下：（1）先将三元一次方程转化为方程组的形式：$$\begin{cases}a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 = b_1 \\a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 = b_2 \\a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33}x_3 = b_3\end{cases}$$（2）利用第一和第二个方程消去 $x_1$，得到一个二元一次方程：$$a_{22}^{(1)}x_2 + a_{23}^{(1)}x_3 = b_2^{(1)}$$（3）利用第二步中得到的二元一次方程，再次消去 $x_2$，得到一个一元一次方程：$$a_{33}^{(2)}x_3 = b_3^{(2)}$$（4）此时，我们可以代入值求解未知数的值，最后回带检验求得的答案是否正确。

高考逻辑推理题的三种基本解法逻辑推理题最早是数学游戏,后出现在数学竞赛中;近年来,在国家公务员考试和事业单位行测考试中,逻辑推理题是必考的题型;与时俱进,自2014年起课标高考数学试题中开始出现逻辑推理题,并成为课标高考数学试题的亮点.[母题结构]:逻辑推理问题主要是由一些相互联系的条件组成,解决过程中推理性极强且不需要太多数学知识的问题. [解题方法]:解答逻辑推理问题,要从题设条件出发,利用它们的相互联系,根据相关逻辑知识分析推理,排除不可能的情况,从而得出正确的结论;常用方法有:直接推理法、枚举筛选法和表格辅助法.1.直接推理法子题类型Ⅰ:(2014年课标Ⅰ高考试题)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说:我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一个城市.由此可判断乙去过的城市为 . [解析]:由丙说:我们三人去过同一个城市,甲说:没去过B城市,乙说:我没去过C城市⇒三人只可能同去A市⇒乙去过A市;若乙去过B市,则乙去过2市=甲去过的城市数,与甲说:“我去过的城市比乙多”矛盾.故乙去过的城市只有A市. [点评]:对于一些简单的逻辑推理问题,往往只需以似真推理为主,直接通过分析就可以得出正确的结果.用这种方法解决此类试题,或“真假话”问题尤为有效.[同类试题]:1.(2016年全国高中数学联赛吉林预赛试题)某次英语竞赛后,小明、小乐和小强分列前三名.老师猜测:“小明第一名,小乐不是第一名,小强不是第三名”.结果老师只猜对了一个.由此推断:前三名依次是 .2.枚举筛选法子题类型Ⅱ:(2014年福建高考理科试题)若集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且下列四个关系:①a=1;②b≠1;③c=2;④d≠4有且只有一个是正确的,则符合条件的有序数组(a,b,c,d)的个数是 .[解析]:根据①a=1;②b≠1;③c=2;④d≠4有且只有一个是正确的,枚举筛选如下:❶若①a=1正确,则②b≠1错误⇒b=1,矛盾;❷若②b≠1正确,则①a=1;③c=2;④d≠4错误⇒a≠1,c≠2,d=4⇒c=1⇒(a,b,c,d)=(2,3,1,4),(3,2,1,4);❸若③c=2正确,则①a=1;②b≠1;④d≠4错误⇒a≠1,b=1,d=4⇒a=3⇒(a,b,c,d)=(3,1,2,4);❹若④d≠4正确,则①a=1;②b≠1;③c=2错误⇒a≠1,b=1,c≠2⇒(a,b,c,d)=(2,1,4,3),(3,1,4,2),(4,1,3,2).综上,(a,b,c,d)的个数是6.[点评]:穷举推理是将问题不重复、不遗漏的有限种情况全部列举出来,然后对各种情况一一枚举,逐个检验,淘汰非解 , 最终达到解决整个问题的目的.[同类试题]:2.(2007年武汉大学自主招生数学试题)某珠宝店失窃,甲、乙、丙、丁个四人涉嫌被拘审,四人的口供如下:甲:作案的是丙;乙:丁是作案者;丙:如果我作案,那么丁是主犯;丁:作案的不是我.如果四人口供中只有一个是假的,那么以下判断正确的是( )(A)说假话的是甲,作案的是乙 (B)说假话的是丁,作案的是丙和丁(C)说假话的是乙,作案的是丙 (D)说假话的是丙,作案的是丙3.表格辅助法子题类型Ⅲ:(2007年武汉大学自主招生数学试题)来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人同时参加一个国际会议.他们除了懂本国语言外,每人还会说其他三国语言中的一种.有一种语言是三个人都会说的,但没有一种语言人人都懂.现知道:①甲是日本人,丁不会说日语,但他俩能自由交谈;②四个人中,没有一个人既能用日语交谈,又能用法语交谈;③乙不会说英语,当甲与丙交谈时他都能做翻译;④乙、丙、丁交谈时,找不到共同语言沟通.由上述可知,丁会说的两种语言是 .[解析]:由①知:甲是日本人;由②知:甲只能会英、德两种语言中的一种;(Ⅰ)若甲会英语,则由①知,丁会英语⇒丁不是英国人,但丁会英语,或丁是英国人.⑴若丁不是英国人,但丁会英语,由③知,乙也不是英国人⇒丙是英国人,此时甲、丙均会英语,由③知,乙会日语,与④矛盾;⑵若丁是英国人,由③知:乙会日语,由②知:不法语⇒乙是法国人,且会日语⇒丙是德国人,由③知:乙会德语,与大前提矛盾;(Ⅱ)若甲会德语,则不会英、法语,由①知,丁会德语,由③知,乙会德语⇒丙不会德语⇒丙不是德国人⇒乙是德国人,丙是法国人,丁是英国人,由此得上表,丁会说的两种语言是英、德语.[点评]:逻辑推理问题中,有时会涉及很多对象,每个对象又有几种不同情况,同时还给出不同对象之间不同情况的判断,要求推出确定的结论.对于这类问题,通常可以利用表格把本来凌乱的信息集中整理出来,方便推理.[同类试题]:3.(2016年高考全国甲卷试题)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是 .4.子题系列:4.(2014年重庆福建文科试题)己知集合{a,b,c}={0,1,2},且下列三个关系:①a≠2;②b=2;③c≠0有且只有一个正确,则100a+10b+c等于 .5.(2017年北京高考文科试题)某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件:(i)男学生人数多于女学生人数;(ii)女学生人数多于教师人数;(iii)教师人数的两倍多于男学生人数.①若教师人数为4,则女学生人数的最大值为 ;②该小组人数的最小值为 .6.(2017年北京高考理科试题)三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作情况如图所示,其中A i的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数,点B i的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数,i=1,2,3.①记Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数,则Q1,Q2,Q3中最大的是 ;②记p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则p1，p2，p3中最大的是 .7.(2016年北京高考试题)袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半,甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则( )(A)乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 (B)乙盒中红球与丙盒中黑球一样多(C)乙盒中红球不多于丙盒中红球 (D)乙盒中黑球与丙盒中红球一样多8.(2009年上海交通大学保送生考试试题)某珠宝店丢失了一件珍贵珠宝,以下四人只有一人说真话,只有一人偷了珠宝.甲:我没有偷;乙:丙是小偷;丙:丁是小偷;丁:我没有偷.则说真话的是 ,偷珠宝的是 .9.(2007年武汉大学自主招生数学试题)运动会上,甲、乙、丙三名同学各获得一枚奖牌,其中1人得金牌、1人得银牌、1人得铜牌.王老师曾猜测“甲得金牌、乙不得金牌、丙不得铜牌”,结果王老师只猜对了一人,那么,甲、乙、丙分别获得牌.10.(2005年第十六届希望杯数学邀请赛试题)甲、乙、丙、丁四位同学参加数学竞赛,其中有一人获奖,有人走访了四位同学,甲说:“我获奖”;乙说:“甲、丙未获奖”;丙说:“甲或乙获奖”;丁说:“乙获奖”.四位同学的话恰有两句是对的,则获奖的同学是 .11.(2006年第十七届希望杯数学邀请赛试题)某学校组织学生参观a,b,c,d四处,规定:去a就不去b;去b就去d;去c就不去d;不去c就去b.则下列判断中,错误的是( )(A)不可能去b又去c (B)去b的人与去c的人相同 (C)去a的人就去c (D)去d的人就去a12.(2006年第十七届希望杯数学邀请赛试题)四个学生参加一次数学竞赛每人预测获奖情况如下:甲:‘如果乙获奖,那么我就没获奖’;乙:‘甲没有获奖,丁也没有获奖’;丙:‘甲获奖或者乙获奖’;丁:‘如果丙没有获奖,那么乙获奖’.竞赛结果实际有1人获奖,且4个的预测中恰有3人正确,则获奖者是 .13.(2017年全国Ⅱ高考试题)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞猜的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则( )(A)乙可以知道四人的成绩 (B)丁可以知道四人的成绩 (C)乙、丁可以知道对方的成绩 (D)乙、丁可以知道自己的成绩4.子题详解:1.解:答小乐、小强、小明;2.解:①若说假话的是甲,则由乙:丁是作案者与丁:作案的不是我,矛盾;②若说假话的是乙,则由甲:作案的是丙;又由丙:如果我作案,那么丁是主犯;与丁:作案的不是我,矛盾;③若说假话的是丙,则由乙:丁是作案者与丁:作案的不是我,矛盾;④若说假话的是丁,则丁是作案者,由甲:作案的是丙 作案的是丙和丁,由丁是主犯.故选(B).3.解:根据题意,可得下表.答案为1和3.4.解:若a≠2,则b≠2,c=0,矛盾;若b=2,则a=2,c=0,矛盾;若c≠0,则a=2,b≠2⇒c=1,b=0⇒100a+10b+c=201.5.解:①由教师人数为4⇒男学生人数小于8,最大值为7⇒女学生人数的最大值为6;②设男学生人数为x,要该小组人数的最小,则女学生人数为x-1,教师人数为x-2;由2(x-2)>x⇒x>4⇒x=5⇒该小组人数的最小值为5+4+3=12.6.解:①若Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数,Q1=A1的综坐标+B1的综坐标;Q2=A2的综坐标+B2的综坐标,Q3=A3的综坐标+B3的综坐标,由已知中图象可得:Q1,Q2,Q3中最大的是Q1;②若p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则p i为A i B i中点与原点连线的斜率,故p1,p2,p3中最大的是p2.7.解:取两个球共有4种情况:①红+红,则乙盒中红球数加1个;②黑+黑,则丙盒中黑球数加1个;③红+黑(红球放入甲盒中),则乙盒中黑球数加1个;④黑+红(黑球放入甲盒中),则丙盒中红球数加1个;设一共有球2a个,则a个红球,a个黑球,甲中球的总个数为a,其中红球x个,黑球y个,x+y=a;则乙中有x个球,其中k个红球,j个黑球,k+j=x;丙中有y个球,其中l个红球,i个黑球,i+l=y;黑球总数a=y+i+j,又x+y=a,故x=i+j,由于x=k+j,所以可得i=k,即乙中的红球等于丙中的黑球.故选(B).8.解:①若甲说真话,则由丁:“我没有偷”说假话⇒丁是小偷⇒丙:“丁是小偷”说真话,矛盾;②若乙说真话,则丙是小偷⇒丁:“我没有偷”说真话,矛盾;③若丙说真话,则丁是小偷⇒甲:“我没有偷”说真话,矛盾;④若丁说真话,则甲:“我没有偷”⇒说假话⇒甲是小偷.9.解:①若“甲得金牌”对⇒“乙不得金牌”也对,与大前提“王老师只猜对了一人”,矛盾;②若“乙不得金牌”对,则由大前提知:“甲得金牌”与“丙不得铜牌”均错⇒甲不得金牌,丙得铜牌,则无人金牌,矛盾;③若“丙不得铜牌”对,则由大前提知:“甲得金牌”与“乙不得金牌”均错⇒甲不得金牌,乙得金牌⇒甲得铜牌,乙得金牌,丙得银牌.10.解:①若甲说:“我获奖”对⇒乙、丁错,丙对,符合题意;②若乙说:“甲、丙未获奖”对⇒甲错,此时丙与丁等价,无论同真假均与大前提矛盾;③若丙说:“甲或乙获奖”对,若乙获奖⇒乙、丁对,与大前提矛盾;④若丁说:“乙获奖”对⇒乙、丙对,与大前提矛盾.11.解:由“不去c就去b”知:b,c至少去其一.①去b,不去c⇒去d,不去a;(D)错;②去c,不去b⇒不去d,去a;(C)对;③去b,c⇒去d,不去a;(A)对.故选(D).12.解:如果获奖者是甲,则甲、丙正确,乙、丁错,不合实际;如果获奖者是乙,,则甲、乙、丙、丁都正确,不合实际;如果获奖者是丙,则甲、乙、丁正确,丙错,合实际;如果获奖者是丁,则甲正确,乙、丙、丁错,不合实际.故获奖者是丙.13.解:由甲说:“我还是不知道我的成绩”⇒乙、丙的成绩为:“一个优秀,一个良好”;当丙为“优秀”时,乙为“良好”;丙为“良好”时,乙为“优秀”⇒乙知道自己的成绩;甲为“优秀”时,丁为“良好”;甲为“良好”时,丁为“优秀”⇒丁知道自己的成绩.故选(D).。

【数学题】一道高考题的多种解法题目（全国卷I ）如图，四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥底面ABCD，AB//DC，AD ⊥DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E 为棱SB 上的一点，平面EDC ⊥平面SBC 。

（Ⅰ）证明：SE=2EB；（Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小。

解（I）法1：传统法连结BD ，取DC 的中点G ，连结BG ，由此知1===BG GC DG ，即DBC ∆为直角三角形，故BD BC ⊥。

又⊥SD 平面ABCD ，故SD BC ⊥，又D SD BD = ，所以，⊥BC 平面BDS ，DE BC ⊥。

作EC BK ⊥，K 为垂足，因平面⊥EDC 平面SBC ，故⊥BK 平面EDC ，DE BK ⊥。

DE 与平面SBC 内的两条相交直线BK 、BC 都垂直。

⊥DE 平面SBC ，EC DE ⊥，SB DE ⊥。

622=+=DB SD SB ，32·==SB DB SD DE ，3622=-=DE DB EB ，362=-=EB SB SE ，所以，EBSE 2=法2：建系法以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系xyz D -。

设)0,0,1(A ，则)0,1,1(B ，)0,2,0(C ，)2,0,0(S 。

)2,2,0(-=SC ，)0,1,1(-=BC 。

设平面SBC 的法向量为),,(c b a n =，由SC n ⊥，BC n ⊥得0·=SC n ，0·=BC n 。

故022=-c b ，0=+-b a 。

令1=a ，则1=b ，1=c ，)1,1,1(=n 。

又设EBSE λ=)0(>λ，则)1211(λλλλλ+++，，E 。

)1211(λλλλλ+++=，，DE ，)020(，，DC =。

设平面CDE 的法向量),,(z y x m =，由DE m ⊥，DC m ⊥，得0·=DE m ，0·=DC m 。

殊途同归，一道高考题的三种解题思想作者：***
来源：《家长·中》2020年第05期
摘要：最值问题在数学知识体系中占有重要地位，它涉及的内容广泛，解法灵活，思想方法丰富，无论是函数、三角函数还是不等式、数列等知识点，最值问题都是历年高考的热点。

求解此类问题往往需要具备扎实的基本功和良好的数学思维能力，分析问题，寻求思想，探究解法，在这个过程中，往往可以殊途同归，用不同的解题思想去求解同一个问题。

关键词：最值;不等式;三角函数;方程
2011年浙江省高考理科数学试卷中填空题16题出现了这样一道关于最值的代数题，通过观察已知条件和待求问题，抓住它们之间的内在联系，展开想象，运用扎实的基本功和思维能力来解决问题。

接下来，我们用三种不同的思想方法来解析此题。

四、结语
在解题过程中，根据已知条件，确定思维的起点，大胆地尝试用不同的思想方法去求解问题，不但有利于鍛炼思维的灵活性，培养思维的创造性，同时还有利于积累解题的经验。