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第八章 非线性控制系统分析习题与解答
8-1 三个非线性系统的非线性环节一样，线性部分分别为 (1) G s s s ()(.)=+1011 (2) G s s s ()()
=
+21
(3) G s s s s s ()(.)
()(.)
=
+++21511011
试问用描述函数法分析时，哪个系统分析的准确度高？
解 线性部分低通滤波特性越好，描述函数法分析结果的准确程度越高。分别作出三个系统线性部分的对数幅频特性曲线如图所示。
由对数幅频特性曲线可见，L 2的高频段衰减较快，低通滤波特性较好，所以系统（2）的描述函数法分析结果的准确程度较高。
8-2 将图示非线性系统简化成环节串联的典型结构图形式，并写出线性部分的传递函数。
解 (a) 将系统结构图等效变换为图(a)的形式。 G s G s H s ()()[()]=+111 (b) 将系统结构图等效变换为图(b)的形式。 G s H s G s G s ()()
()()
=+1111
8-3 判断图中各系统是否稳定；)(1A N -与)(ωj G 两曲线交点是否为自振点。
解 （a ） 不是 (b) 是 (c) 是 (d) c a 、点是，b 点不是 (e) 是
(f) a 点不是，b 点是 (g) a 点不是，b 点是 (h) 系统不稳定 (i) 系统不稳定 (j) 系统稳定
8-4 已知非线性系统的结构如图所示
图中非线性环节的描述函数为N A A A A ()()=++>62
试用描述函数法确定：
（1）使该非线性系统稳定、不稳定以及产生周期运动时，线性部分的Ｋ值范围； （2）判断周期运动的稳定性，并计算稳定周期运动的振幅和频率。 解 （1）
-=
-++126
N A A A ()
(),
-=--∞=-1
013
11N N ()
,
()
dN A dA
A ()
()
=
-+<4
202
N(A)单调降，)(1A N -也为单调降函数。画出负倒描述函数曲线)(1A N -和
G j ()ω曲线如图所示，可看出，当K 从小到大变化时，
系统会由稳定变为自振，最终不稳定。 求使 Im[G j ()]ω=0 的ω值： 令 ∠=-︒-=-︒G j arctg ()ωω902180 得 arctg ωω=︒=451,
令 G j K
()
ωω
ωωω===
+1
22
11 ⎪⎩⎪
⎨⎧=→
=→==2
132
3123
1K K K
可得出K 值与系统特性之间的关系：
（2）由图可见，当)(1A N -和G j ()ω相交时，系统一定会自振。由自振条件
N A G j A A K A K
A ()()
()()
ωω==
++⋅-=-++=-1
6226221 ()A K A +=+624 解出 )23
2(
1246<<⎪⎩
⎪⎨⎧
=--=
K K
K A ω
8-5 非线性系统如图所示，试用描述函数法分析周期运动的稳定性，并确定系统输出信号
振荡的振幅和频率。
解 将系统结构图等效变换为下图。
G j j j j
()()
()
ωωωωωω=
+=
-+-+10110
1
10
12
2
2
2
2
.042.014
)(A
j
A A
A N ππ⨯-⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=
⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎣⎡
-⎪⎭
⎫
⎝⎛-=
A j
A A 2
.02.014
2
π
1()
N A -=
0.2j A
π=
令G j ()ω与)(1A N -的实部、虚部分别相等得
2
2
2.014
1
10
⎪⎭
⎫
⎝⎛-=
+A A
πω 10102401572
ωωπ()..+==
两式联立求解得 ω==3910806.,.A 。
由题图，0)(=t r 时，有)(5
1)()(t x t e t c =
-=，所以)(t c 的振幅为
161.05
806.0=。
8-6 试用描述函数法说明图示系统必然存在自振，并确定输出信号c 的自振振幅和频率，分别画出信号y x c 、、的稳态波形。
解
N A A
N A A (),
()
=
-=-4
14
ππ
绘出)(1A N -和G j ()ω曲线如图(a )所示，可见D 点是自振点， 系统一定会自振。由自振条件可得：
N A G j ()()
=-1ω
即 -
=
-+4
210
2
πωωA
j j ()
10
)
4(10
42
2
ωωω--
-=
j
令虚部为零解出ω=2，代入实部得A=0.796。 输出信号的自振幅值为：398.02==A A c 。 画出y x c 、、点的信号波形如图(b )所示。
