基本方程

1 2 y gt C2t C4 2
t 0: x0 y0 0, v0 x v0 cos a , v0 y v0 sin a
确定出积分常数为：
C1 v0 cos a , C2 v0 sin a , C3 C4 0
于是物体的运动方程为：
x v0t cosa
与两轴间距离平方的乘积.
15.3.2 刚体对轴的转动惯量
证明：
J zC mi ( x12 y12 )
2 2 m [ x ( y d ) ] J z m i r m i (x y ) i 1 1
2
2
2
mi ( x12 y1 ) 2d m 0i y1 d 2 mi
2 l 其中 m1 πR12l m2 π R2 1 4 J z π l ( R14 R2 ) 2 1 2 2 π l ( R12 R2 )( R12 R2 ) 2
2 2 由 π l ( R1 R2 ) m，得 1 2 J z m( R12 R2 ) 2
F Fx i Fy j maw 2 cos wti mbw 2 sin wtj mw (a cos wti b sin wtj ) mw ( xi yj ) mw r
2 2 2
力 F 与矢径 r 共线反向，其大小正比于矢径 r 的模，方向恒指向椭圆中心。这种力称为有心力。
15.2 质点的运动微分方程 1. 矢量形式的质点运动微分方程
n d2 r ma m 2 Fi dt i 1
2. 质点运动微分方程在直角坐标轴上投影
d x d y d z n m 2 Fxi , m 2 Fyi m 2 Fzi dt dt dt i 1 i 1 i 1

基本方程知识点归纳总结一、基本方程的概念基本方程是指描述一个热力学系统的状态的方程，通常是由系统的热力学性质和物质的宏观性质组成。

基本方程通常描述了系统的内能、熵和外部参数（如压强、温度和化学势）之间的关系。

二、基本方程的类型基本方程可以分为两类：一类是描述热力学系统内能和熵之间的关系的方程，称为热力学基本方程；另一类是描述宏观性质和外部参数之间的关系的方程，称为状态方程。

状态方程通常包括气体状态方程、液体状态方程和固体状态方程。

三、热力学基本方程热力学基本方程是描述一个热力学系统内能和熵之间关系的方程。

在不同的热力学系统中，基本方程有不同的形式。

例如，对于理想气体，其内能和熵之间的关系可以用如下的基本方程来描述：\[dU = C_vdT\] \[dS = C_v\frac{dT}{T} + \frac{R}{V}dV \] 其中，\(U\)表示内能，\(S\)表示熵，\(C_v\)为定容热容，\(T\)表示温度，\(R\)为气体常数，\(V\)表示体积。

这个基本方程描述了理想气体的内能和熵之间的关系，以及这两个物理量与温度和体积之间的关系。

四、状态方程状态方程描述了一个热力学系统的宏观性质与外部参数之间的关系。

在不同的系统中，状态方程有不同的形式。

例如，对于理想气体，其状态方程可以用如下的形式来描述：\[PV = nRT \] 其中，\(P\)表示压强，\(V\)表示体积，\(n\)表示摩尔数，\(R\)为气体常数，\(T\)为温度。

这个状态方程描述了理想气体的压强、体积、摩尔数和温度之间的关系。

五、基本方程的应用基本方程在热力学和工程实践中具有重要的应用价值。

通过基本方程，我们可以了解一个系统的内能、熵和宏观性质与外部参数之间的关系，从而可以预测系统的行为，并且指导工程实践中的设计和操作。

例如，在热力学循环的研究中，基本方程可以用来描述工质在循环过程中的状态变化，以及系统的能量转换和效率。

在化工工程中，基本方程可以用来描述化学过程中物质的热力学性质，指导反应条件的选择和优化设计。

利用全微分条件 ，将其作用于(5.1)、(5.2)、(5.4)和(5.6)式，得到(5.8)~(5.11)式所 给八个热力学偏导数的关系：
如果有全微分 df adx ( T ， p ) bdy / 则 S (a / y ) x (b / x ) y 必有
( T / V ) S ( p / S )V (V / S ) p ( p / T )V ( S / V ) T (V / T ) p ( S / p )T
p S T V V T
S V p T T p
G H TS
dG SdT V dp
V (G / p )T
当系统处于平衡态时，不仅描述该系统整体性质的宏观量不再随时 间改变，而且这些宏观量之间还存在着函数关系。只有少数几个是 独立态参量，其余宏观量则是态参量的函数。对于给定的系统，其 态参量的数目是确定的，但选哪几个宏观量作为态参量则是任意的。
我们可以将(5.1)式看成以S和V为独立变量表示的全微分dU ,U=U(S,V), 于是写为
dU ( U / S ) V dS ( U / V ) S dV
可以与(5.1)式比较，得到两个偏导数：
T ( U / S )V
p (U / V ) S
(5.8)
H U p V U (U / V ) S V F U T S U ( U / S )V S G U pV TS
U ( U / V ) S V ( U / S )V S
这说明，只要已知以S，V为独立态参量时内能U的表达式U=U（S,V）， 就可以求得T，状态方程，p，H，F，G乃至系统的全部热力学量。所 以内能U是以S、V为独立态参量的特性函数。同样可以证明焓H，自由 能F和自由焓G分别是以(S,p)，(T,V)和(T,p) 为独立态参量的特性函数。

；或根据已知的蒸 气压方程对比1/T项的系数
§3.10 吉布斯-亥姆霍兹方程和麦 克斯韦关系式
• 10.1 吉布斯-亥姆霍兹方程
从热力学基本方程可以导出下面关系式：
( A / T )

T
V


U T2
§3.9 克拉佩龙方程
• 9.2 固-液平衡、固-固平衡积分式
★凝聚相之间的两相平衡的定性讨论
Vm很小
熔化平衡：fusHm很大，dT/dp很小，外压对熔点的影响很小 晶型转变平衡：trsHm较小，因而dT/dp比熔化平衡大
★定量计算的相关近似处理
以熔化平衡为例
dT dp

T Vm Hm
ⅰ凝聚相与蒸气相之间的两相平衡 ⅱ凝聚相的体积忽略不计 ⅲ蒸气看成理想气体 ⅳ积分时将摩尔相变焓看成常数
★微分形式
d ln p vap Hm
dT
RT 2
★定积分形式
计算题型：
ln
p2 p1

vap Hm R
1

T1
1 T2

五个物理量 已知任意四 个求第五个
★不定积分形式
ln p vap Hm 1 C RT
fusVm , fusHm不变 ln T2 T1

V fus m fus H m
( p2

p1 )
ln(1T /T1)T /T1 T
T1
V fus m fus Hm
p
问：滑冰运动员冰鞋下冰的熔点怎样变化？
§3.9 克拉佩龙方程
• 9.3 克劳修斯-克拉佩龙方程

x

z y
x