江苏中考专题12押轴题

江苏中考专题12押轴题2011年江苏13市中考数学试题分类解析汇编专题12：押轴题1.（苏州10分）已知二次函数()()2680=-+>的图象与xy a x x a轴分别交于点A、B，与y轴交于点C．点D是抛物线的顶点．(1)如图①，连接AC，将△OAC沿直线AC翻折，若点O的对应点O'恰好落在该抛物线的对称轴上，求实数a的值；(2)如图②，在正方形EFGH中，点E、F的坐标分别是（4，4）、（4，3），边HG位于边EF的右侧．小林同学经过探索后发现了一个正确的命题：“若点P是边EH或边HG上的任意一点，则四条线段PA、PB、PC、PD不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段不能构成平行四边形）．”若点P是边EF或边FG上的任意一点，刚才的结论是否也成立？请你积极探索，并写出探索过程；(3)如图②，当点P在抛物线对称轴上时，设点P的纵坐标t是大于3的常数，试问：是否存在一个正数a，使得四条线段PA、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段能构成平行四边形）？请说明理由．【答案】解：（1）由()268=-+，y a x x令0y=，解得，12==。

x x2,4令0x=，解得，8y a=。

∴点A、B、C的坐标分别为（2，0），（4，0），（0，8a）。

∴该抛物线的对称轴为3x=。

如图①，设该抛物线的对称轴与x轴的交点为点M，则由OA=2得AM=1。

由题意，得O'A=OA=2，∴O'A=2AM，∴∠O'AM=600。

∴∠OAC=∠CAO'=600。

∴OC=OA323⋅=，即823a=。

∴3a=。

（2）若点P是边EF或边FG上的任意一点，结论仍然成立。

①如图②，若点P是边EF上的任意一点（不与点E重合），连接PM，∵点E（4，4）、F（4，3）与点B（4，0）在一直线上，点C在y轴上，∴PB＜4，PC≥4，∴PC＞PB。

又∵PD＞PM＞PB，PA＞PM＞PB，∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD。

∴此时线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形。

②设点P是边FG上的任意一点（不与点G重合），∵点F的坐标是（4，3），点G的坐标是（5，3），∴FG=3，GB=10。

∴3≤PB ＜10。

∵PC≥4，∴PC＞PB。

又PD＞PM＞PB，PA＞PM＞PB，∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD。

∴此时线段PA 、PB 、PC 、PD 也不能构成平行四边形。

（3）存在一个正数a ，使得线段PA 、PB 、PC 、PD 能构成一个平行四边形，如图③，∵点A 、B 是抛物线与x 轴交点，点P 在抛物线对称轴上，∴PA=PB 。

∴当PC=PD 时，线段PA 、PB 、PC 、PD 能构成一个平行四边形。

∵点C 的坐标是（0，8a ），点D 的坐标是（3，－a ），点P 的坐标是（3，t ），∴22222PC 38PD t a t a ==＋（－），（＋）由PC=PD 得PC 2=PD 2，∴22238t a t a =＋（－）（＋）， 整理得，27210ata -+=，解得27t t a ±-=。

显然27t t a --=满足题意。

∴当t 是一个大于3的常数时，存在一个正数27t t a --=，使得线段PA 、PB 、PC 、PD 能构成一个平行四边形。

【考点】二次函数综合题，,图形的翻转，含300角的直角三角形的性质，平行四边形的判定，解一元二次方程。

【分析】(1)先利用点在抛物线上，点的坐标满足方程和含300角的直角三角形中300角所对的直角边是斜边一半的性质，求出点A、B、C的坐标，再求出a。

(2)分点P在边EF或边FG上两种情况比较四线段的长短来得出结论。

(3)因为点A、B是抛物线与X轴的交点，点P 在抛物线对称轴上，所以PA=PB。

要PA，PB，PC，PD 构成一个平行四边形的四条边，只要PC=PD,，从而推出a。

2. (无锡10分) 十一届全国人大常委会第二十次会议审议的个人所得税法修正案草案(简称“个税法草案”)，拟将现行个人所得税的起征点由每月2000元提高到3000元，并将9级超额累进税率修改为7级，两种征税方法的1～5级税率情况见下表：注：“月应纳税额”为个人每月收入中超出起征点应该纳税部分的金额．“速算扣除数”是为快捷简便计算个人所得税而设定的一个数．例如：按现行个人所得税法的规定，某人今年3月的应纳税额为2600元，他应缴税款可以用下面两种方法之一来计算：方法一：按1～3级超额累进税率计算，即500×5％+1500×10％十600×15％=265(元)．方法二：用“月应纳税额x适用税率一速算扣除数”计算，即2600×15％一l25=265(元)。

(1)请把表中空缺的“速算扣除数”填写完整；(2)甲今年3月缴了个人所得税1060元，若按“个税法草案”计算，则他应缴税款多少元?(3)乙今年3月缴了个人所得税3千多元，若按“个税法草案”计算，他应缴的税款恰好不变，那么乙今年3月所缴税款的具体数额为多少元?【答案】解: (1)75, 525。

(2) 列出现行征税方法和草案征税方法月税额缴个人所得税y:因为1060元在第3税级, 所以有20%x－525＝1060，x＝7925(元) 。

答: 他应缴税款7925元.(3)缴个人所得税3千多元的应缴税款适用第4级, 假设个人收入为k，则有20%(k－2000)－375＝25%(k－3000)－975 ，k=19000。

所以乙今年3月所缴税款的具体数额为(19000－2000)×20%－375＝3025(元)。

【考点】统计图表的分析。

【分析】(1) 当1500<x≤4500时, 应缴个人所得税为()⨯+-⨯-元；x x15005%150010%=10%75当4500<x≤9000时, 应缴个人所得税为()⨯+⨯+-⨯-元。

x x15005%300010%450020%=20%525(2) 缴了个人所得税1060元，要求应缴税款，只要求出其适应哪一档玩税级，直接计算即可。

(3) 同(2)，但应清楚“月应纳税额”为个人每月收入中超出起征点应该纳税部分的金额,，而“个税法草案”拟将现行个人所得税的起征点由每月2000元提高到3000元，依据此可列式求解。

3.（常州、镇江10分）在平面直角坐标系XOY中，直线1l 过点()0,1A 且与y 轴平行，直线2l 过点()2,0B 且与x 轴平行，直线1l 与直线2l 相交于点P 。

点E 为直线2l 上一点，反比例函数x k y =（k ＞0）的图像过点E 与直线1l 相交于点F 。

⑴若点E 与点P 重合，求k 的值；⑵连接OE 、OF 、EF 。

若k ＞2，且△OEF 的面积为△PEF 的面积的2倍，求E 点的坐标；⑶是否存在点E 及y 轴上的点M ，使得以点M 、E 、F 为顶点的三角形与△PEF 全等？若存在，求E 点坐标；若不存在，请说明理由。

【答案】解：（1）∵直线1l 过点A （1，0）且与y 轴平行，直线2l 过点B （0。

2）且与x 轴平行，直线1l 与直线2l 相交于点P ，∴点P （1，2）。

若点E 与点P 重合，则k ＝1×2＝2。

（2）当k ＞2时，如图1，点E 、F 分别在P 点的右侧和上方，过E 作x 轴的垂线EC ，垂足为C ，过F 作y 轴的垂线FD ，垂足为D ，EC 和FD 相交于点G ，则四边形OCGD 为矩形∵PE ⊥PF ，∴()E ,2F 1,G ,22k k k k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，∴S △PEF ＝()2111PF PE 1212224k k k k ⎛⎫⋅=--=-+ ⎪⎝⎭∴四边形PFGE 是矩形， ∴S △PEF ＝S △GFE ，∴S △OEF ＝S 矩形OCGD －S △DOF －S △GFE －S △OCE ＝211111222422k kk k k k ⎛⎫⋅-⋅⋅--+-⋅⋅ ⎪⎝⎭ 21=14k -∵S △OEF ＝2S △PEF ， ∴22111=2144k k k ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，解得k ＝6或k ＝2，∵k ＝2时，E 、F 重合，舍去。

∴k ＝6， ∴E点坐标为：（3，2）。

（3）存在点E 及y 轴上的点M ，使得△MEF ≌△PEF①当k ＜2时，如图2，只可能是△MEF ≌△PEF ，作FH ⊥y 轴于H ∵△FHM ∽△MBE ， ∴BM EM,FH FM= ∵FH ＝1，EM ＝PE ＝1－2k ，FM ＝PF ＝2－k ，∴1BM 12, BM 122kk -=∴=-。

在Rt △MBE 中，由勾股定理得，EM 2＝EB 2＋MB 2，∴（1－2k ）2＝（2k ）2＋（12）2 解得k ＝34 ，此时E 点坐标为（38，2）。

②当k ＞2时，如图3，只可能是△MFE ≌△PEF ，作FQ ⊥y 轴于Q ，△FQM ∽△MBE 得，BM EMFQ FM=。

∵FQ ＝1，EM ＝PF ＝k －2，FM ＝PE ＝2k －1， ∴BM 2BM 112k k -=- =2， ＝ ，BM ＝2 在Rt △MBE 中，由勾股定理得，EM 2＝EB 2＋MB 2∴（k －2）2＝（2k ）2＋22，解得k ＝163或0，但k ＝0不符合题意， ∴k ＝ 163． 此时E 点坐标为（ 83，2） ∴符合条件的E 点坐标为（ 38，2）（83，2）． 【考点】反比例函数的应用，矩形的性质，解一元二次方程，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理。

【分析】（1）易由直线1l ，1l 求交点P 坐标。

若点E 与点P重合，则点P在k=图象上，坐标满足函数关系式，求yx出k。

（2）要求E点的坐标，只要先利用相似三角形对应边的比，用k表示相关各点的坐标并表示相关线段的长，再利用相似三角形OEF 面积是PEF面积2倍的关系求出k。

（3）要求E点的坐标，只要先由全等得到相似三角形，利用相似三角形对应边的比，用出k表示相关各点的坐标并表示相关线段的长，再利用勾股定理求出出k。

要注意应根据点P、E、F三点位置分出k＜2和出k＞2两种情况讨论。

4.（南京11分）问题情境:已知矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？数学模型:设该矩形的长为x，周长为y，则与x的函数关系式为2()(0)ay x x=+＞．x探索研究:⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数1(0)=+＞的图象性质．y x xx Array①……y …………②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；③在求二次函数()20y ax bx c a=++≠的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．请你通过配方求函数1y xx=+(x＞0)的最小值．解决问题:⑵用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案．【答案】解：⑴①x (1)413121 2 3 4 ……y ……174103522 52103174……函数1(0)y x xx=+＞的图象如图：②本题答案不唯一，下列解法供参考．当01x<<时，y随x增大而减小；当1x>时，y随x增大而增大；当1x=时，函数y的最小值为2。