ʏ江苏省无锡市第一中学 钱 铭ʏ江南大学理学院 谢广喜创新是一个民族进步的灵魂,是一个国家兴旺发达的不竭动力㊂那么在数学学科的有关考试中,如何考查同学们的创新能力呢?我们认为,类比和联想能力是表现数学创新思维最重要的方面,它可以让创新思维不再是虚无缥缈,数学创新的思维火花不再是天外来客㊂正如日本物理学家汤川秀树所说, 类比是创造性思维的起点 ㊂同时,我们还发现,有时候一些新情况㊁新问题的解决还需要通过联想来实现,而利用联想解决问题的最基本形式通常是基于结构相似的类比㊂这里必须指出,在这个过程中,必要的数学知识(甚至还涉及其他学科知识)是实现这个工作的中心环节,没有必要的知识基础,想通过类比联想的办法来创造性地解决有关数学问题基本上是不可能的(尤其是一些难度很大的问题,一个典型的例子是用中小学的数学知识去研究世界难题 哥德巴赫猜想 ,结果失败是必然的)㊂而基于结构相似的类比与联想是一种在数学解题中创造性地处理有关问题的极其常用的方法,比如下面几种常见形式㊂(1)如果问题以y 2-y 1x 2-x 1形式呈现,可以类比联想到平面解析几何的 斜率 结构,将其理解为平面上两个点P 1(x 1,y 1)与P 2(x 2,y 2)连线的斜率㊂特别地,如果形式为y x,可理解为平面上一个点P (x ,y )与坐标原点(0,0)之间连线的斜率,再进一步求解可能就容易了㊂(2)如果问题以(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2或者(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2形式呈现,可以类比联想到平面解析几何的 距离 或者 距离的平方 ,但破题的关键还是距离,将其理解为平面上两个点P 1(x 1,y 1)与P 2(x 2,y 2)连线间的距离,再进一步求解㊂特别地,如果形式为x 2+y 2,则可理解为平面上一个点与坐标原点(0,0)之间的距离㊂(3)如果问题以(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2形式呈现,还可类比理解为复数z =(x 2-x 1)+(y 2-y 1)i 的模,根据需要,也可类比理解为z '=(y 2-y 1)+(x 2-x 1)i ㊂一种相关典型情况,a 2ʃa b +b 2(a ,b ɪR )恰好可类比理解为复数z =a ʃb2+32b i 的模㊂另外,如果(x 2-x 1)㊃(y 2-y 1)ʂ0,还可将类比理解为一个直角三角形的斜边长(分别以|x 2-x 1|及|y 2-y 1|为直角边)㊂(4)如果问题以绝对值和的函数形式呈现,比如f (x )=|x -a |+|x -b |,x ɪR ,其中a ,b 为实参数,与数轴上的点类比联系,可知f (x )=|x -a |+|x -b |ȡ|a -b |,当实变量x 介于a ,b 之间时不等式取等号㊂(5)如果问题以a 2+b 2-λa ,b (a ,b ,λɪR ,a b ʂ0,|λ|<2)形式呈现,那么我们可以类比联想到余弦定理,将其理解为一个三角形的第三边长平方(分别以|a |,|b |为两边,夹角的余弦值c o s C =ʃλ2,其中c o s C 前的正负号与a ,b 符号有关,同号取正,异号取负)㊂(6)如果问题以|P A |+|P B |=2a >0形式呈现(其中A ,B 为平面上两个定点,P 为动点,且0<|A B |=2c ɤ2a ),当c =a 时,则动点P 的轨迹为线段A B ;当c <a 时,则动点P 的轨迹为以A ,B 为焦点的椭圆㊂完全类似地,如果问题以||P A |-|P B ||=2a >0形式呈现(其中A ,B 为平面上两个定点,P 为动点,且|A B |=2c ȡ2a ),当c =a 时,则动点P 的轨迹是两条射线;当c >a 时,则动点P 的轨迹是以A ,B 为焦点的双曲线㊂特别地,若仅有|P A |-|P B |=2a >0(且c >a ),则点P 的轨迹是到A 点较远的那一支双曲线(单支双曲线)㊂(7)如果问题以|P A |=λ|P B |>0形式呈现(其中A ,B 为平面上两个定点,P 为动点,λ为大于0的参数),则当λ=1时,P 点轨迹为线段A B 的垂直平分线;当λʂ1时,P点轨迹为阿波罗尼斯圆㊂(8)如果问题以a +b 1-a b 或a -b1+a b形式呈现(其中a ,b ɪR ,分母不为0),则可类比联想两角正切和或差,令其中的a =t a n α,b =t a n β其中α,βɪ-π2,π2,于是a +b1-a bңt a n (α+β),a -b1+a bңt a n (α-β)㊂(9)如果问题以y +x x y 或y -x x y形式呈现(其中x y ʂ0),则可能类比联想分式的裂项求和,有关表达式恒等地变为1x +1y 或1x-1y㊂(10)如果问题以ðn i =11i形式呈现,若要对该和式进行估值放缩,则可以类比联想到2k +k +1<1k<2k +k -1(其中k ɪN *,k ȡ1,通常k =1不放缩),也即2(k +1-k )<1k<2(k -k -1),求和两边均能进一步实现前后抵消化简㊂例1 (2022年中国科学技术大学创新班数学复试之第3题)欧拉有著名公式:1+122+132+ =π26,求最小的正整数n ,使得ðni =11i2>π26-12022㊂解析:必须指出1+122+132+ =π26,无法用初等数学化简得到,而与此密切相关的表达式为11ˑ2+12ˑ3+13ˑ4+ +1n (n +1),可以利用裂项相消的方法化简㊂联想到这一点,我们可以利用已知条件,将问题中待处理的不等式等价转化为12022>π26-ðn i =11i 2=ð+ɕi =n +11i2㊂对于i ȡ2,有1i -1i +1=1i (i +1)<1i2<1i (i -1)=1i -1-1i ,从而1n +1=ð+ɕi =n +11i -1i +1<ð+ɕi =n +11i2<ð+ɕi =n +11i -1-1i =1n㊂首先我们将这个双边不等式的左边与12022>ðɕi =n +11i2联系起来,得到n >2021,也即n ȡ2022㊂我们把符合此要求的最小正整数n =2022代入尝试,再利用这个双边不等式的右边结果即有ð+ɕi =2022+11i2<12022,恰好符合要求㊂所以要求的最小的正整数n 为2022㊂评注:解答本题的核心在于联想到与本问题密切相关的形式ðni =11i (i +1),而ðn i =11i (i +1)可以进一步通过裂项相消化简,实现二者这个联系的关键就是放缩法㊂例2 (2022年北京大学强基计划 数学试题改编)已知1-x 2=4x 3-3x ,则该方程所有实根个数与所有实数根乘积的比值为㊂解析:本题的突破口在于联想到三倍角余弦公式c o s 3θ=4c o s 3θ-3c o s θ㊂于是,可令x =c o s θ,θɪ[0,π],代入1-x 2=4x 3-3x ,利用三倍角的余弦公式得到s i n θ=c o s 3θ,即c o s π2-θ=c o s 3θ㊂由于θɪ[0,π],故π2-θɪ-π2,π2,而3θɪ[0,3π],所以3θ=π2-θ或3θ=π2-θ+2π或3θ=θ-π2+2π,解得θ=π8或5π8或3π4,进而得x =c o s π8或c o s 5π8或c o s 3π4㊂于是问题所求的比值为3c o s π8c o s 5π8c o s3π4=-3c o s π8s i n π8c o s3π4=12㊂评注:从这道题我们再次看到,没有相关的数学知识(比如三倍角的余弦公式)作为基础,联想就失去了翅膀,创新的思路或解法也就很难 灵光一闪 地出现㊂例3 (2022年西湖大学创新班初试第1题改编)若19=a 0+a 1㊃32+a 232 2++a n -132n -1+a n32n,其中系数a i(i =0,1,2, ,n )的取值范围为{0,1,2},则a 0+a 1+a 2+ +a n -1+a n =㊂解析:联想到我们常见的二进制㊁十进制等的表达形式,我们这里称其为分数进制(具体这里即为二分之三进制),对于这个新情况㊁新问题,如果我们注意到2和3互质,是可以将其转化为整数背景问题去研究的㊂等式两边同乘以2n,得:(19-a 0)2n =a 1㊃3㊃2n -1+a 2㊃32㊃2n -2+ +a n -1㊃3n -1㊃2+a n ㊃3n㊂很显然,等式右边是3的倍数,而a 0ɪ{0,1,2},只有a 0=1才能满足要求㊂进而得6㊃2n =a 1㊃2n -1+a 2㊃3㊃2n -2+ +a n -1㊃3n -2㊃2+a n ㊃3n -1㊂也即(12-a 1)㊃2n -1=a 2㊃3㊃2n -2++a n -1㊃3n -2㊃2+a n ㊃3n -1㊂同样地,此时等式左边必须是3的倍数,由于a 1ɪ{0,1,2},故只能a 1=0㊂进而有12㊃2n -1=a 2㊃3㊃2n -2+ +a n -1㊃3n -2㊃2+a n ㊃3n -1㊂也即4㊃2n -1=a 2㊃2n -2+a 3㊃3㊃2n -3+ +a n -1㊃3n -3㊃2+a n ㊃3n -2,右边第一项移项得(8-a 2)2n -2=a 3㊃3㊃2n -3+ +a n -1㊃3n -3㊃2+a n ㊃3n -2㊂与前面完全类似地,应有a 2=2,即6㊃2n -2=a 3㊃3㊃2n -3+a n -1㊃3n -3㊃2+a n ㊃3n -2,也即2n -1=a 3㊃2n -3+ +a n -1㊃3n -4㊃2+a n ㊃3n -3㊂得(4-a 3)2n -3=a 4㊃3㊃2n -4+ +a n -1㊃3n -4㊃2+a n ㊃3n -3,只能a 3=1㊂于是2n -3=a 4㊃2n -4+a 5㊃3㊃2n -5+ +a n -1㊃3n -5㊃2+a n ㊃3n -4㊂得(2-a 4)2n -4=a 5㊃3㊃2n -5+ +a n -1㊃3n -5㊃2+a n ㊃3n -4㊂此时只能a 4=2且a 5=a 6= =a n =0,于是ðnj =0a j =a 0+a 1+a 2+a 3+a 4=6㊂评注:其实,这类分数进制的问题并非首次出现,2005年全国高中数学联赛第6题就可看成是七分之一进制问题,只不过我们现在这里碰到的情形更具有一般性而已㊂例4 (2019年北京大学博雅计划数学试题)函数f (x )=x1+x2+1-x21+x 2的取值范围为( )㊂A.(-2,1] B .-2,98C .-2,98D .以上答案都不对解析:由函数表达式f (x )=x1+x2+1-x 21+x 2的分母有1+x 2的结构,这样的结构使我们联想到正切函数(有人可能会说为什么呢?这就源于你的三角函数基本功啦!),我们令x =t a n α|α|<π2,于是得f (x )=g (α)=s i n α+c o s 2α=-2s i n 2α+s i n α+1㊂配方得f (x )=g (α)=-2s i n α-142+98,由于|α|<π2,易求得本题的正确答案为B ㊂评注:问题原始结构还是比较复杂的,但我们联想到三角函数公式后,问题就变得柳暗花明了,但最后求值域时一定要仔细,否则很容易误选D ㊂例5 (2013年江苏复赛二试第2题)设正实数a ,b ,c 满足a +b =a b +9,b +c =b c +16,c +a =c a +25,求a +b +c ㊂解析:已知条件可等价变化为a 2+b 2+a b =32,b 2+c 2+b c =42,c 2+a 2+c a =52,且a ,b ,c >0㊂联想到表达式a 2+a b +b 2(a ,b >0)结构的平面几何意义,在平面内任取一点O ,并取三点A ,B ,C ,使得O A ,O B ,O C 两两相互夹角成120ʎ,且图1|O A |=a ,|O B |=b ,|O C |=c ,如图1㊂易知әA B C 为直角三角形,且S әA B C =S әA O B +S әB O C +S әC O A ,即12ˑ3ˑ4=12a b s i n 120ʎ+12b c s i n 120ʎ+12c a s i n 120ʎ,于是即有a b +b c +c a =83㊂将条件中三式相加得2(a 2+b 2+c 2)+a b +b c +c a =50,进而求得a 2+b 2+c 2=25-43,于是a +b +c =a 2+b 2+c 2+2(a b +b c +c a )=25+123㊂评注:以上解法借助了三角形的特殊形状,那么一般三角形时是否还可行呢?答案是肯定的,我们可以利用秦九韶公式S =12a 2b 2-a 2+b 2-c 222来求三角形的面积(等效形式还有两个,以及海伦公式),所以此法还是很有一般性的㊂例6 (2017年新疆预赛试题)已知x ,y ,z 是正数,且满足x 2+y 2+x y =3,y 2+z 2+yz =4,z 2+z 2+z x =7,求x +y +z 的值㊂解析:完全类似地,联想到x 2+x y +y2(x ,y >0)结构的平面几何意义,在平面内任取一点O ,并取三点A ,B ,C ,使得O A ,O B ,O C 两两相互夹角成120ʎ,且|O A |=x ,|O B |=y ,|O C |=z ,图略,易知әA B C 为直角三角形(因(4)2+(3)2=(7)2)㊂且S әA B C =S әA O B +S әB O C +S әC O A ,即12㊃2㊃3=12x ys i n 120ʎ+12y z s i n 120ʎ+12z x s i n 120ʎ,于是可得x y +yz +z x =4㊂将条件中三式相加得2(x 2+y 2+z 2)+x y +yz +z x =14,进而求得x 2+y 2+z 2=5,于是x +y +z =x 2+y 2+z 2+2(x y +yz +z x )=13㊂例7 (2014年贵州省预赛试题)已知函数f (x )=x 2+a x +1x2+a x +b (x ɪR ,xʂ0),若实数a ㊁b 使得f (x )=0有实数根,试求a 2+b 2的最小值㊂解析:由题意知存在实数a ㊁b 使得f (x )=0有实数根,下面使用反客为主的辩证思想,将(a ,b )看成坐标变量,而将非零实数x 看成参变量,则方程f (x )=0可理解为平面直角坐标系a O b 中的直线方程l :a x +1x+b +x 2+1x2=0㊂该直线上任意一点M (a ,b )到原点距离的平方为|O M |2=a 2+b 2㊂坐标原点到该直线的距离函数为:d =x 2+1x2x +1x2+12㊂则|O M |2=a 2+b 2ȡd 2=x 2+1x 2+3+9x 2+1x2+3-6㊂记t =x 2+1x2+3,易知t ȡ5,|O M |2=a 2+b 2ȡd 2=g (t )=t +9t-6(t ȡ5)㊂利用对勾函数性质,可知g (t )在[5,+ɕ)上单调递增,所以g (t )m i n =5+95-6=45,也即a 2+b 2的最小值为45㊂评注:当O M 与直线l 垂直时刚好取等号㊂例8 若әA B C是锐角三角形,则t a n A +8t a n B +13t a n C 的最小值为㊂解析:问题呈现在三角形背景下的正切结构,这很容易让我们联想到正切恒等式㊂由题意,可令x =t a n A >0,y =t a n B >0,z =t a n C >0㊂记p =t a n A +8t a n B +13t a n C ,即p =x +8y +13z ㊂(*)由正切恒等式t a n A +t a n B +t a n C =t a n A ㊃t a n B ㊃t a n C ,得x +y +z =x yz ㊂整理得x =y +z yz -1>0㊂代入(*)式得p =y +z yz -1+8y +13z ㊂配凑分母的因子(先 冻结 变量z ),化简可得p =z +1z yz -1+8(yz -1)z +9z +13z (z >0,yz >1)㊂于是p ȡ2z +1z yz -1㊃8(y z -1)z +9z +13z=28(z 2+1)z +9z+13zȡ4(z +1)z +9z +13z=4+131z+zȡ4+13ˑ2=30㊂评注:上面的不等式两次取等号条件相同(z =t a n C =1,进而可确定y =t a n B =32,最后定出x =t a n A =5)㊂[经典永流传创新有源泉]1.(2013年华东师范大学自主招生试题)已知x ,y ɪR ,试求:16x 2+9y 2+64x -6y +65-16x 2+9y 2-16x -6y +5的最大值㊂简解:整理得(4x +8)2+(3y -1)2-(4x -2)2+(3y -1)2,为理解方便,记X =4x ,Y =3y ,则原式改写为(X +8)2+(Y -1)2-(X -2)2+(Y -1)2,即平面直角坐标系X O Y 上任意一动点P (X ,Y )与定点A (-8,1)及B (2,1)的距离之差的最大值㊂画图(略),易知最大值为10㊂2.(2021年江西省预赛试题)函数f (x )=x -x3(1+x 2)2的值域是㊂简解:如果我们注意到分式的分母(1+x 2)结构,可启发我们令x =t a n α,|α|<π2,则f (x )=x -x 3(1+x 2)2=g (α)=12s i n 2αc o s 2α=14s i n 4α㊂所以f (x )ɪ-14,14㊂评注:这道题完全是一道旧题,完全类似的试题之前已多次考过㊂3.求s i n 213ʎ+c o s 258ʎ+2s i n 13ʎc o s 58ʎ的值㊂简解:记M =s i n 213ʎ+c o s 258ʎ+2s i n 13ʎc o s 58ʎ,也即M =s i n 213ʎ+s i n 232ʎ+2s i n 13ʎs i n 32ʎ㊂联想以13ʎ,32ʎ,135ʎ为三个角的一个三角形,不妨设A =13ʎ,B =32ʎ,C =135ʎ,则由余弦定理得c 2=a 2+b 2-2a b c o s C ㊂等式两边同除以4R 2(其中R 为外接圆半径),得s i n 2C =s i n 2A +s i n 2B -2s i n A s i n B c o sC (此式不妨可称为 正弦形式的余弦定理)㊂将有关角的具体值代入可得:s i n 2135ʎ=s i n 213ʎ+s i n 232ʎ-2s i n 13ʎ㊃s i n 32ʎc o s 135ʎ,也即222=s i n 213ʎ+s i n 232ʎ+2s i n 13ʎs i n 32ʎ,所以M =12㊂评注:一般来说,这道题需要通过和差化积㊁积化和差的转换,才能最后化出结果㊂但由于问题的特殊性,使得我们能够通过联想 正弦形式的余弦定理 s i n 2C =s i n 2A +s i n 2B -2s i n A s i n B c o sC ,巧妙地求出相应的结果㊂(责任编辑 徐利杰)。
