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高 等 数 学 电
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
高 等 数 学 电 子 教 案
一个一阶微分方程写成 P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 (1) 形式后,
如果它的左端恰好是某一个函数u=u(x,y)的全微分:
du(x, y) P(x,y)dx Q(x,y)dy, u u P( x, y), Q( x, y ) x y
隐函数.
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另一方面,如果方程u(x,y)=c确定一个可微的隐函数y=φ(x),
则
u[ x, ( x)] C
上式两端对x求导,我们得到
u u y u u 0 dx dy 0 p( x, y )dx Q( x, y)dy 0 x y x x y
y
x (2) 在区域G内恒成立,且当条件满足时,全微分方程
(1) 的通解为
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u( x, y) p( x, y)dx Q( x0 , y)dy C (3)
x0 y0
x
y
其中 x0,y0 是在适当选定的点M0(x0,y0)的坐标.
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高 下面我们给出一些积分因子的方法: 等 数 当方程(1)的左端含有xdx+ydy的项,而其他项中都含有因 学 式x2+y2,则方程可能有积分因子: 1 电 x2 y2 子 教 案 当方程(1)的左端含有ydx+xdy的项,而其他项中都含有因式
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P Q y x
(2)
当条件 (2)不能满足时,方程(1)就不是全微分方程. 这时如果有一个适当的函数μ=μ(x,y) (μ(x,y) ≠0), 使方程(1)乘上μ(x,y) 后得到的方程
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μ(x,y)p(x,y)dx+ μ(x,y)Q(x,y)dy=0 为全微分方程,则函数μ(x,y) 叫做方程(1)的积分因子.
d ( xe y ) d ( y 2 ) d ( xe y y 2 ) 0 xe y y 2 C
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我们把一些常见的全微分表达式写出来,使同学能清楚. x2 y 2 xdx ydy 1 2 2 (1) xdx ydy d ( ) (2) 2 d [ ln( x y )] 2 22 x y 2 2 x y xdx ydy 1 2 2 (3) xdx ydy d ( ) (4) 2 d [ ln( x y )] 2 2 x y 2 xdy ydx (5) xdy ydx d ( xy) (6) d (ln xy) xy
0
x
y
0
3 3 y y 2 dy x 5 x 2 y 2 xy 3 2 3
于是,方程的通解为
3 2 2 y3 3 x x y xy C 2 3
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除了公式法外,还有凑微分法,如果方程p(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 是全微分方程,我们把方程的左端凑成某一函数u(x,y)的全微 分: p(x,y)dx+Q(x,y)dy=du(x,y). 即可得方程通解: u(x,y)=C 例2 求方程的通解 eydx+(xey-2y)dy=0
例1 求解 (5x4+3xy2-y3)dx+(3x2y-3xy2+y2)dy=0 分析: 这里 这是全微分方程,可取x0=0 y0=0. 根据公式(3),有
p Q 6 xy 3 y 2 y x
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u ( x, y) (5 x 4 3xy 2 y 3 )dx
高 等 数 要使方程p(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 (1)为全微分方程,函数μ(x,y) 学 电 必须满足方程 子 ( p) ( Q) 教 y x 案
p
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p Q Q ( )0 y x y x
这是一阶的偏微分方程,在一般的情况下, 它比原方程更难求.
ydx xdy y (7) d( ) 2 x x ydx xdy x (8) d( ) 2 y y
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ydx xdy x xdy ydx y (9) 2 d (arctg ) (10) d (arctg ) 2 2 x y y x x ydx xdy 1 x y xdy ydx 1 x y (11) 2 d ( ln ), (12) 2 d ( ln 2 2 x y 2 x y x y 2 x y
这表示由方程u(x,y)=C所确定的隐函数是方程(1)的解.
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因此,如果方程(1)的左端是函数u(x,y)的全微分,那么 u(x,y)=C就是全微分方程(1)的隐式通解,C是任意常数.
高 等 数 学 由第十章第三节的讨论知,当P(x,y),Q(x,y)在单连通域G内具 电 子 有一阶连续偏导数时,要使方程(1)是全微分方程,充要条件是 教 案 P Q
P( x, y ) e y , Q( x, y ) xe y 2 y, P Q ey y x
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e y dx ( xe y 2 y)dy 0 (e y dx xe y dy) 2 ydy 0
(e y dx xey dy) d ( xey ), 2 ydy d ( y 2 ) (e y dx xey dy) 2 ydy 0
那么方程(1)就称为全微分方程. 而方程(1)就是 du(x,y)=0 (1’ )
如果y=φ(x)是方程(1)的解,那么这解满足方程(1‘),故有
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du[ x, ( x)] 0 u[ x, ( x)] C
这表示方程(1)的解y=φ(x)是由方程u[x,φ(x)]=C所确定的
