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九年级数学二次根式知识点（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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二次根式加减法的步骤一般地，形如√a的代数式叫做二次根式，二次根式加减法计算要先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。
1二次根式定义一般地，形如√a的代数式叫做二次根式，其中，a 叫做被开方数。
当a≥0时，√a表示a的算术平方根；当a小于0时，√a 的值为纯虚数（在一元二次方程求根公式中，若根号下为负数，则方程有两个共轭虚根）。
判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察。
2二次根式加减法的步骤1.同类二次根式一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。
化简：根号12等于4的根号32.合并同类二次根式把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。
3.二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。
3二次根式化简一般步骤1.把带分数或小数化成假分数。
2.把开方数分解成质因数或分解因式。
3.把根号内能开得尽方的因式或因数移到根号外。
4.化去根号内的分母，或化去分母中的根号。
5.约分。
4最简二次根式条件1.被开方数的因数是整数或字母，因式是整式。
2.被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式。
知识点1：同类二次根式(Ⅰ)几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式，如这样的二次根式都是同类二次根式。
(Ⅱ)判断同类二次根式的方法：(1)首先将不是最简形式的二次根式化为最简二次根式以后，再看被开方数是否相同。
(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关。
知识点2：合并同类二次根式的方法合并同类二次根式的理论依据是逆用乘法对加法的分配律，合并同类二次根式，只把它们的系数相加，根指数和被开方数都不变，不是同类二次根式的不能合并。
二次根式知识点二次根式在数学中是一个十分重要的概念，涉及到数学中的代数、方程、函数等多个知识领域。
本文将介绍二次根式的定义、性质、运算法则以及实际问题中的应用，并且通过实例帮助读者更好地理解和应用二次根式。
一、二次根式的定义在数学中，二次根式是指形如$\\sqrt{a}$的表达式，其中a是一个实数且$a\\geq0$。
该表达式表示的是一个非负实数，使得它的平方等于a，即$(\\sqrt{a})^2 = a$。
二、二次根式的性质1.二次根式的值一定是非负实数，即$\\sqrt{a} \\geq 0$。
2.如果$a \\geq 0$且$b \\geq 0$，则$\\sqrt{a} \\cdot \\sqrt{b} =\\sqrt{ab}$。
3.如果$a \\geq 0$且$b \\geq 0$，则$\\sqrt{a} + \\sqrt{b}$不一定等于$\\sqrt{a+b}$。
三、二次根式的运算法则1.加减法：二次根式只有在被加减数相同时才能相加或相减，即$\\sqrt{a} \\pm \\sqrt{a} = 2\\sqrt{a}$。
2.乘法：二次根式的乘法可按照分配律进行展开，即$(\\sqrt{a} \\pm\\sqrt{b})(\\sqrt{a} \\pm \\sqrt{b}) = a + 2\\sqrt{ab} + b$。
3.除法：二次根式的除法需要进行有理化处理，即将分母中的二次根式消去。
四、二次根式的应用二次根式常常在实际问题中得到应用，比如在几何中计算斜边长、梯形面积等问题中经常会出现。
下面通过一个实际问题来展示二次根式的应用：例题：一个正方形的对角线长为$\\sqrt{2}$米，求正方形的边长。
解答：设正方形的边长为x米，则根据勾股定理可得：x2+x2=2。
化简得到2x2=2，解方程得x=1。
因此，正方形的边长为1米。
结语通过本文的介绍，相信读者对二次根式有了更深入的了解。
二次根式作为数学中的一个基础知识点，在代数、几何、概率等各个领域都有着重要的应用价值。
二次根式的加减说课稿（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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八年级数学二次根式知识点在八年级数学中，二次根式是比较基础的一个知识点，也是初学者需要特别掌握的内容之一。
本文将详细介绍二次根式的定义、性质、运算方法和解题技巧，希望能够帮助大家更好地掌握这个知识点。
1. 二次根式的定义二次根式是指如下形式的算式：$\sqrt{a}$其中，a是一个非负实数，$\sqrt{a}$表示a的平方根。
例如，$\sqrt{4}$等于2，$\sqrt{9}$等于3。
2. 二次根式的性质（1）二次根式的值不超过其被开方数的值。
即，对于任意非负实数a和b，当a≥b时，有$\sqrt{a}≥\sqrt{b}$。
这是因为，平方根函数$\sqrt{x}$在x≥0的范围内是单调递增的。
（2）二次根式的值域为非负实数。
即，对于任意非负实数a，有$\sqrt{a}≥0$。
这是因为，平方根函数$\sqrt{x}$在x≥0的范围内是非负的。
（3）二次根式可以转化为分数形式。
即，对于任意非负实数a和正整数b，有$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$。
这是因为，分子、分母分别乘以$\sqrt{b}$，可以得到等式右边的形式。
3. 二次根式的运算方法（1）二次根式的加减法对于相同根式$\sqrt{a}$和$\sqrt{b}$，有：$\sqrt{a}±\sqrt{b}=\sqrt{a±b}$例如，$\sqrt{2}+\sqrt{8}=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}$。
（2）二次根式的乘法对于非负实数a和b，有：$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$例如，$\sqrt{2}·\sqrt{8}=\sqrt{16}=4$。
（3）二次根式的除法对于非负实数a和b（b≠0），有：$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$例如，$\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}=\sqrt{4}=2$。
二次根式加减法
多项式的根式加减法是一种非常有用的数学方法。
它可以用来求解具有给定根的多项式的根式，也可以用来对多项式的根式进行加减法操作。
下面将介绍二次根式加减法。
首先，我们要明白求解多项式的根式所涉及的知识，即根式方法。
根式方法可以帮助我们找到一个多项式的根。
比如，要求解一个二次根式f(x)=ax^2+bx+c，我们可以使用根式方法来解决。
二次根式加减法有以下两个步骤：
第一步，把多项式写成分数平方根的形式，并调整其系数使其成为完整的分数。
比如，二次式f（x）=ax^2+bx+c（a≠0）可以被写成f（x）=(ax+ω)^2+b^2/(4a)的形式，其中ω就是根式中的根。
第二步，对多项式内的两个分母分别进行加减操作，然后把对应的根式求出。
比如，我们可以把二次式f（x）=x^2-6x+9分解成形如(2x+ω1)^2+(2x+ω2)^2的形式，就可以用求和公式计算出多项式的根式ω1+ω2。
数学中的根式加减法大大简化了多项式的求解，可以有效的拆分多项式，将复杂的数学问题简单化。
二次根式加减法就是帮助求解二次根式的简单有效的多项式加减方法。
如果掌握了二次根式加减法，就可以很容易的求解多种不同形式的多项式的根式了。
二次根式的运算技巧二次根式是指具有根号的形式，其中被开方数是一个含有字母或非完全平方数的算式。
在解题时，我们常常需要进行一系列的运算来简化和化简这些二次根式，使得它们更易于计算和操作。
以下是一些常用的二次根式的运算技巧：1. 合并同类项：这个技巧可以应用在二次根式加减法中。
当二次根式中的被开方数相同，我们可以将它们合并在一起，然后在根号外面的系数上进行加减运算。
例如：√3 + √3 = 2√3√2 - √2 = 02. 分解因式：这个技巧可以应用于二次根式乘法中。
我们可以将二次根式的因式分解为两个二次根式的乘积，然后再进行运算。
例如：√2 * √3 = √(2 * 3) = √63. 有理化分母：这个技巧可以应用于二次根式的除法中。
有理化分母是指将二次根式分母中的根号消去，通过将分子和分母同时乘以分母的共轭来实现。
例如：√3 / √2 = (√3 / √2) * (√2 / √2) = √(3 * 2) / 2 = √6 / 2 = √6 / 2 * √2 / √2 = √12 / 2√2 = √12 / 2 * √2 / 2 = √6 / 2 * √2 / 2 = (√6 * √2) / 4 = √12 / 4 = √34. 提取公因式：这个技巧可以应用于二次根式的乘法和除法中，在二次根式中找出可以提取出来的公因式来简化和化简计算。
例如：√8 + √18 = 2√2 + 3√2 = 5√25. 合并同底数：这个技巧可以应用于二次根式的乘法和除法中，当多个二次根式具有相同的底数时，我们可以将它们合并在一起，然后在根号外面的系数上进行运算。
例如：√2 * √3 + √2 * √5 = √(2 * 3) + √(2 * 5) = √6 + √106. 平方差公式：这个技巧可以应用于二次根式的乘法和除法中，对于两个二次根式a和b，我们可以利用平方差公式来计算它们的乘积或除法。
例如：(√a + √b) * (√a - √b) = a - b7. 平方和公式：这个技巧可以应用于二次根式的乘法和除法中，对于两个二次根式a和b，在某些情况下，我们可以利用平方和公式来计算它们的乘积或除法。
二次根式的加减法
一、知识概述
1、同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．同类二次根式与整式中的同类项类似．
2、二次根式的加减法法则
二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
注意：(1)二次根式的加减常分为两大步骤进行，第一步化简；第二步合并；
(2)在合并前应注意要先判断清楚它们中哪些二次根式的被开方数是相同的；在合并时类似于以前学过的合并同类项，只需将根号外的因式进行加减，被开方数和根指数不变．
3、二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与有理数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)．
注意：(1)在运算过程中，每一个根式可以看作是一个“单项式”，多个被开方数不同的二次根式的和可以看作“多项式”；
(2)有理数(或整式)中的运算律、运算法则及所有的乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；
(3)二次根式的运算结果必须是最简二次根式．
二、重难点知识
1、二次根式的加减法运算实质上是合并同类二次根式，在进行二次根式的加减法时，注意先把各个二次根式化为最简二次根式，再把同类项合并，合并同类二次根式的方法与合并同类项类似．
2、二次根式的混合运算中可以与有理数的混合运算及整式的混合运算及分式的运算作比较，使二次根式的混合运算易于理解和掌握，并能合理应用运算律及技巧进行计算．二次根式的除法运算转化为分母有理化的问题，同时可避免错误地使用运算律．
三、典型例题讲解
例1、计算：
．
分析：本组题中各个加数都不是最简二次根式，因此需先进行化简，然后再把被开方数相同的根式进行合并．
解：
．
例2、计算：
分析：先根据去括号的法则，去掉括号，再进行二次根式的加减运算．
总结：解此类问题分为三个步骤：一是去括号，二是化简，三是合并，但在去括号时应注意符号的处置．
例3、计算下列各题：
．
思路：(1)题可仿照单项式乘以多项式的方法进行计算；(2)、(3)题可仿用多项式乘法法则进行计算；(4)题可套用完全平方公式计算．
例4、计算下列各题
．
解：
例5、化简：
总结：在计算过程中要注意各个式子的特点，能否约分或消项(第2小题)达到化简的目的，又要善于在规则允许的情况下可交换相邻项的位置，如，结果为－1，继续运算易出现符号上的差错，而把变为，这样
则为1，继续运算可避免错误．
例6、已知x、y都为正整数，且．求x＋y的值．
分析：因为只有化简后被开方数相同的二次根式才能合并，而，易知化简后的被开方数必为222，故可设．由此求出正整数a、b即可求出x、y．
解：，于是
即a＋b=3
∴a=2，b=1或a=1，b=2，
故x=222，y=888或x=888，y=222．
∴x＋y=1110，
总结：几个二次根式化简后被开方数相同，则它们可以合并，本题则是逆用该结论，即几个二次根式能合并成一个二次根式，则它们化简后的被开方数必相同．
课外拓展：例、已知a、b是实数，且，问a、b之间有怎样的关系？请推导．
思路分析：
由特殊探求一般，在证明一般性的过程中，由因导果，从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化．
解：原等式两边分别乘以，得
两式相加得，
所以．
A 卷
一、选择题
1、下列计算结果正确的是( )
A．B．
C．D．
2、下列计算正确的是( )
A．
B．
C．
D．
3、下列各式化简结果不正确的是（）
A．B．C．D．4、下列计算正确的是（）
A．B．
C．D．
5、计算等于（）
A．·1 B．3
C．D．
6、在数轴上点A表示实数，点B表示，那么离原点较远的点是（）
A．A B．B
C．A、B的中点D．不能确定
B 卷
二、填空题
7、△ABC的三边长为a、b、c，且a、b满足则△ABC的周长的取值范围是______．
8、若成立，则xy的值为______．
9、若，则______．
10、已知正数a、b，有下列结论：
(1)若a=1，b=1，则；
(2)若，则；
(3)若a=2，b=3，则；
(4)若a=1，b=5，则．
根据以上几个命题提供的信息，请猜想：
若a=6，b=7，则______．
三、解答题
11、计算或化简下列各题：
12、计算：
13、已知，求代数式的值．
14、计算．
[
15、先观察下列等式，再回答问题：
（1）根据上面三个等式提供的信息，请猜想的结果，并进行验证；
（2）请按照上面各等式反映的规律，试写出n（n为正整数）表示的等式，并加以验证．
一．选择题DDCBDB
二．填空题
7、△ABC的周长大于6且小于10．
8、由题意有x=2，y=3，∴x y=8．
9、．
10、=13．
三．解答题
11.
12.
13.
.
14. 解：（1）配方法：本题中的根式不符合型，我们可根据分式的基本性质，分子、分母都乘以2，将原式变形为
（2）换元法：设，
两边同时平方得
，
所以x2=10，又因为x＞0，
所以，
即．15.。
