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初中数学教学论文之数学的美第一篇：初中数学教学论文之数学的美初中数学教学论文之数学的美大范围结构也是近代数学发展的过程。
文学的局部到大范围，往往通过比兴的手法来处理：即对事物有不同的感受，同一事或同一物可以产生不同的吟咏。
对事物有不同的感受后，往往通过比兴的方法另有所指，例如“美人”有多重意思，除了指美丽的女子外，也可以指君主。
屈原《九章》：“结微情以陈词兮，矫以遗夫美人。
”也可以指品德美好的人，《诗经?邶风》：“云谁之思，西方美人。
”苏轼《赤壁赋》：“望美人兮天一方。
”而几何学和数论都有这一段历史，代数几何学家在研究奇异点时通过爆炸的手段，有如将整个世界浓缩在一点。
微分几何和广义相对论所见到的奇异点比代数流形复杂，但是也希望从局部开始，逐渐了解整体结构。
数论专家研究局部结构时则通过素数的模方法，将算术流形变成有限域上的几何，然后和大范围的算术几何对比，得出丰富的结果。
此外，数学家对某些重要的定理，也会提出很多不同的证明。
例如勾股定理的不同证明有10个以上，等周不等式亦有五六个证明，高斯则给出数论对偶定律6个不同的看法。
不同的证明让我们以不同的角度去理解同一个事实，往往引导出数学上不同的发展。
这也可算是局部到大范围的一个例子。
著名数学家陈省身先生曾不止一次地提出：“数学是美的。
”数学的美体现在方方面面，也许美在她是探求世间现象规律的出发点，也许美在她用几个字母符号就能表示若干信息的简单明了，也许美在她大胆假设和严格论证的伟大结合，也许美在她对一个问题论证时殊途同归的奇妙感受，也许美在数学家耗尽终生论证定理的锲而不舍，也许美在她在几乎所有学科中的广泛应用。
而美的数学，在自古崇尚诗书传世的中国，竟也浸染着扑鼻的书香。
中国悠久历史所积淀出来的文学底蕴，为中国的数学染上了一层夺目的别样颜色，这就是数学的文采。
自然美刘勰《文心雕龙》以为文章之可贵，在尚自然。
文章是反映生活的一面镜子，脱离生活的文学是空洞的，没有任何用处。
数学之美小论文13-会计2班1322158 周宇宸这学期报了一门益智游戏与数学欣赏的选修课，这节课让我学到了很多的知识。
数学世界五光十色，没有接触这门课之前我一直以为数学只是停留在学过的课本上，大学前学的导数函数，到大学后的高数，印象里只有运算符号和数字还有就是繁琐的解题步骤，虽然并不讨厌但是对于很懒的我写太多数字费太多脑子也会让我觉得很麻烦，而且高中数学比起初中的，内容增多难度加大且抽象性理论性更强，思维密度和难度都大幅度加大，到了大学的高数就又上了一个台阶，就算成年人对高数大部分也是投降的态度。
然而接触了这门课之后，我抛弃了数学只是用来得试卷上的分数的固有思维，发现了数学的有趣之处。
数学的有趣之处我认为最主要的就是结合实际，现实中的很多麻烦的事情通过数学就可以迎刃而解，不然如此还可以发现很多神奇的东西。
比如说之前有一节课看到的视频，大概意思就是一个人向天空看，然后会影响到周围多少个人，然后一群人向天空看可以影响到多少个人，通过概率计算出的结果令我感到非常的神奇。
还有黄金分割比例，是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为0.618，这个比例被公认是最能引起美感的比例，所以被称为黄金分割比例，五角星之所以看起来那么的赏心悦目，是因为其中充满了黄金比例，它的边互相分割为黄金比例，不论横看竖看都是匀称的，我想这也是被称为数学之美的一部分吧。
接下来有接触到了一些数学相关的小游戏，最常见的就是小时候的脑筋急转弯一样的题目，还有就是最经典的华容道，魔方，七巧板，九连环这些了。
华容道就是通过移动各个棋子，帮助曹操从初始位置移到棋盘最下方中部，从出口逃走就算胜利；魔方大家最为熟悉，就是通过旋转使每面都是同样的颜色；七巧板顾名思义是七块板组成的，而这七块版可以拼成许多图形；九连环是中国传统智力玩具，用金属丝制成九个圆环，将圆环套装在横版或者各种框架上，并贯以环柄，玩的时候按照一定程序反复操作，就可以使九个圆环分别解开，或者合二为一。
67770 数学论文探析数学中的美人们对于美好的事物总是不由自主的追求，如果你感到数学枯燥、无聊，那一定就是你没有尝试探索数学的美。
数学拥有着巨大的能量，它美丽诱人，神奇多变。
发现了数学的美，你就会深深的被数学的五彩缤纷所吸引。
历来有多少科学家为数学倾注了毕生精力，在数学的世界里不断的探索着未来。
“美”与数学同在，我们只有怀着一颗求美之心去了解数学，才能真正的感受到数学之“美”的博大精深与千变万化。
一、自然数与毕达哥拉斯数学中的自然数看似平常无奇，但只要我们深入研究，就会发现这些自然数中是蕴含着巨大的宝藏的。
自然数是人类对数学认识的开端，古希腊的毕达哥拉斯学派在自然数研究方面有着非常高的造诣，毕达哥拉斯认为“凡物皆数”：世界的秩序就是数，自然世界与数字是和谐统一于数的。
当他将数字的奇幻与美妙呈现在世人面前时，人们皆赞叹不已。
有人曾经问他：“交朋友跟数字有什么联系？”他回答：“朋友是灵魂的倩影，就像220和284一样亲密。
”人们不解的询问缘由，他说：“数字220的全部真因子1、2、4、5、10、11、20、22、44、55、110之和是284；而数字284的全部真因子1、2、4、71、142之和又恰好是220，这是亲密无间的亲和数。
真正的朋友正像这两个数字一样。
众人们无不被亲和数的“亲密无间”之美妙所感染、折服。
二、数学之简洁美爱因斯坦认为美的本质是简单性，他说：“只有借助数学，才能达到简单性的美学标准”。
他的这种美学观念和理论，在科学界有着较广泛的认同度。
当朴素、简单的外在形式与深厚底蕴相结合，就能形成为强烈的美。
我们看到，数学的理论、概念、公式都是非常简洁的，这些简洁的概括中又蕴含着整个世界的道理和完美性，这种简洁中就透着实在的美感。
在圆周长公式C=2πR 中，不论这世界上有多少个圆，他的周长C都和半径R都遵循这一规律，这一简单的公式就将圆的共性一笔概括。
数学中，又有多少这样实用而深刻的概括和公式呢？我想是数不尽数的。
发现数学之美作文提起数学，可能很多人会立刻联想到枯燥的公式、复杂的计算和让人头疼的应用题。
但在我看来，数学其实有着一种独特而迷人的美，只是我们常常因为它表面的严肃和严谨，而忽略了其背后隐藏的魅力。
记得有一次，我和家人一起去公园游玩。
那天阳光明媚，公园里的花开得正艳，人们在草地上欢快地玩耍着。
我正沉浸在这美好的氛围中，突然被一个小小的游戏摊位吸引了目光。
摊位上摆着一个九宫格的棋盘，摊主介绍说，只要能在规定时间内，通过移动棋子，使得每行、每列和对角线上的数字之和都相等，就能赢得一份小奖品。
我心想，这听起来好像有点意思，不就是数学里的幻方嘛。
我兴致勃勃地交了钱，开始挑战。
起初，我觉得这应该不难，不就是摆弄几个数字嘛。
可当我真正开始动手时，才发现事情远没有我想象的那么简单。
我先试着随意摆放棋子，可怎么弄都无法达到要求。
额头上开始冒出了汗珠，心里也有点着急了。
我深吸一口气，告诉自己要冷静，开始认真思考数学中的规律。
我回想起曾经在课堂上学过的知识，幻方中的数字排列是有一定规则的。
我先观察了一下已经给定的几个数字，试图找出它们之间的关系。
我发现，这些数字似乎有着某种对称的特点。
于是，我从中间的数字入手，慢慢地调整其他数字的位置。
每移动一次棋子，我都会重新计算一下每行、每列和对角线上的数字之和，看看是否接近相等。
这个过程就像是在解一道复杂的数学谜题，需要耐心和细心。
周围的人开始围了过来，他们有的在指指点点，有的在小声议论。
我顾不上理会他们，全身心地投入到这个小小的九宫格中。
时间一分一秒地过去，我的心跳也越来越快。
就在我几乎要放弃的时候，突然，脑子里灵光一闪。
我迅速地移动了几个棋子，然后惊喜地发现，所有的数字之和竟然都相等了！那一刻，我的心情简直无法用言语来形容，就像是在黑暗中摸索了很久，终于找到了光明的出口。
摊主笑着递给我一份小奖品，周围的人也为我鼓掌。
我手里拿着奖品，心里却充满了对数学的敬佩和感慨。
以前，我总是觉得数学就是那些生硬的公式和定理，是为了应付考试而不得不去学习的东西。
数学之美发现数学的美妙之处数学之美：发现数学的美妙之处数学，作为一门学科，往往被普通人们视为难以理解和枯燥无味的。
然而，当我们深入探究数学，发现其内在美妙之处时，我们将被数学的智慧和优雅所折服。
本文将带您探索数学的美丽，探究数学在科学、艺术和日常生活中的应用，并展示数学对于人类文明的重要性。
第一章：数学与科学数学在科学领域中扮演着重要的角色。
无论是物理学、化学、生物学还是天文学，数学都为科学家们提供了模型建立、数据分析和问题解决的工具。
在物理学中，数学被广泛运用于描述运动、力学以及电磁学等领域。
经典力学方程式中的微积分和微分方程成为了研究物体运动的基础。
而在化学中，数学则为化学方程式的推导和反应速率的计算提供了支持。
此外，在生物学和生态学中，数学模型不仅可以解释生物种群的动态演变，还可以预测生物群落的增长和消亡。
数学的运用与发展推动了科学领域的进步，为人类对宇宙和生命的认知提供了坚实的基础。
第二章：数学与艺术数学与艺术之间的关联曾经令人惊讶。
然而，数学的几何学和对称性概念对于艺术创作有着深远的影响。
在绘画和建筑中，艺术家们使用黄金分割、对称结构以及透视法等数学原理，使作品更加美观和和谐。
从拱门到摄影的取景，数学在艺术中随处可见。
德国艺术家艾舍尔（M.C.Escher）通过他独特的图案设计，向我们展示了数学在艺术创作中的巧妙应用。
他的作品中常见的无限循环、立体投影等，将数学中的奇妙思想与艺术完美结合，令人叹为观止。
第三章：数学与日常生活数学作为一门实用的学科，贯穿于我们的日常生活中。
无论是购物打折算账、规划行程还是制定预算，数学都在背后默默地支撑着。
在金融领域，数学模型用于预测市场走势和风险评估。
而在交通运输中，数学为解决最短路径问题和交通流量优化提供了方法。
此外，数学还在医学影像处理、信息技术、通信网络等领域发挥重要作用。
数学在日常生活中的应用无所不在，我们时刻都在受益于数学的发展和应用，也进一步领悟到了数学的美丽与价值。
数学之美探索无尽的数学世界数学之美：探索无尽的数学世界数学，作为一门自然科学，无处不在并且广泛应用于各个领域。
它不仅仅是一种工具，更是一种思维的乐趣，是我们与世界相互联系的桥梁。
在这篇文章中，我们将探索数学的美丽，一起迈向无尽的数学世界。
一、数学的魅力数学在人类文明的发展中起到了重要的推动作用。
它是一种智力的体操，不仅培养了人们的逻辑思维能力，还帮助人们更好地理解世界的规律。
数学中的公式和方程式让我们能够以准确的方式描述真实世界，从而解决实际问题。
数学的美丽还体现在它的严密性和精确性上。
数学家们通过推理和证明来建立数学理论，让我们能够在世界中找到一种有序和结构。
无论是对称美、几何美还是数列美，都离不开数学的应用和抽象。
正是这种严谨和精确性，让数学成为一门独特而美妙的学科。
二、数学的发展历程数学的发展可以追溯到古代文明。
古希腊的毕达哥拉斯学派提出了以数字和几何为基础的理论，而阿拉伯数学家的发展推动了代数学的进步。
在中世纪欧洲，数学家们开始探索无穷级数和微积分的概念，为后来科学的发展奠定基础。
随着现代科学的进步和计算机的发展，数学在20世纪取得了巨大的突破。
数学在信息科学、统计学、最优化等领域中的应用越来越广泛，为科学家和研究人员提供了强大的工具。
同时，数学家们也在新的数学领域中进行了深入的研究，如拓扑学、图论和数论等。
三、数学的应用数学的应用几乎涵盖了所有领域。
在物理学中，数学被用来研究物质的运动和相互作用。
在经济学中，数学被用来建立模型和分析经济活动。
在生物学中，数学被用来研究生物系统的复杂性。
在工程学中，数学被用来设计和优化结构。
在艺术中，数学被用来探索对称美和数列之美。
除了应用领域，数学还在增进人类对世界的理解方面起到了重要的作用。
它帮助我们发现事物背后的规律性和相互关系，从而提供了一种更深入的思考方式。
四、数学的未来随着科技的快速发展，数学仍然面临着许多挑战和机遇。
数学家们正在研究更复杂的问题，如模糊数学和混沌理论。
数学之美征文数学之美数学是一门古老而神奇的学科，它以其精确性和逻辑性而被广泛认可。
数学的美不仅仅体现在其应用和解决问题的能力上，更体现在其深刻而优雅的理论构建和思维方式上。
本文将探讨数学之美的不同方面，从数学的应用、数学的美学和数学的哲学角度来展开讨论。
一、数学的应用之美数学在现实生活中的应用无处不在，它为我们提供了解决问题的工具和方法。
从日常生活中的计算到科学研究中的模型构建，数学都扮演着重要的角色。
例如，在物理学中，数学为我们提供了描述自然界的规律和现象的语言；在经济学中，数学为我们提供了分析市场和预测趋势的工具；在工程学中，数学为我们提供了设计和优化系统的方法。
无论是在自然科学领域还是社会科学领域，数学都发挥着不可或缺的作用。
数学的应用之美还体现在它能够帮助我们解决实际问题的能力上。
通过数学的建模和推导，我们可以将复杂的问题简化为数学问题，进而利用数学方法进行求解。
数学的抽象思维和逻辑推理能力使得我们能够更好地理解问题的本质并找到解决问题的途径。
数学的应用之美在于它能够将抽象的数学理论与实际问题相结合，为我们提供切实可行的解决方案。
二、数学的美学之美数学的美学之美体现在其内在的结构和形式上。
数学的公理、定理和推导构成了一个严密而完整的体系，这种逻辑的结构给人一种美的享受。
数学的美学之美还体现在其简洁而优雅的表达方式上。
数学家们通过简练的符号和精确的定义来描述数学概念和关系，这种简洁性使得数学具有一种美的审美价值。
数学的美学之美还体现在其对称性和对应关系上。
在数学中，对称性是一种重要的美学原则，它体现了一种平衡和和谐的美感。
例如，对称图形和对称函数都给人以美的享受。
数学中的对应关系也是一种美的表现，例如，几何中的相似三角形和代数中的函数对应关系都呈现出一种美的结构。
三、数学的哲学之美数学的哲学之美体现在它对真理和存在的探索上。
数学是一种纯粹的思维活动，它通过逻辑推理和严密证明来寻求真理。
数学家们通过数学的推导和证明来揭示事物之间的内在联系和规律，这种追求真理的精神给人以一种哲学上的启迪。
数学课堂之美论⽂ 数学拥有⾮凡的美,⽽数学之美不像⾃然⽣长的鲜花那么显⽽易见,在数学课堂教学中,需要⽼师的耐⼼引导,学⽣才能够发现。
下⾯店铺给你分享数学课堂之美论⽂，欢迎阅读。
数学课堂之美论⽂篇⼀ 长期以来，⼈们在数学教学中只致⼒于基础知识、基本技能与逻辑思维的教学与研究，⽽不善于发掘数学本⾝所特有的美，不注意⽤数学美来感染诱发学⽣的求知欲望，激发他们的学习兴趣，不重视引导学⽣发现数学美，鉴赏数学美，更谈不上引导学⽣创造数学美，以致使⼀些学⽣感到数学抽象枯燥，失去学好的信⼼。
那么什么是数学美?在⼩学数学教育中如何发挥数学的美育功能呢?这是⼀个值得我们每⼀位⼩学教师思考的问题，我从以下⼏个⽅⾯进⾏了⼩学数学教学中美育渗透途径的研究。
⼀、在教材中感悟美 ⼈们常说数学是万花筒，是⼀个五彩缤纷的世界。
在数学教材中，蕴藏着丰富的美育因素，现⾏的数学教材正确处理了数学学科特点与⼉童认知规律、德育与智育、教与学、减轻负担与提⾼素质等⽅⾯关系，把数学的抽象美、符号美、数的神奇美、数的和谐美和概括美、猜想美、浓浓的时代⽣活⽓息美、开放灵活美等融⼊在⾥⾯。
我认为，挖掘和提炼教材中的美育因素，让学⽣感知数学美的存在，是激发学⽣情感，陶冶学⽣⼼灵的有效途径。
如在许多⼏何图形中就充满着⽆穷⽆尽的美，闪烁着美的风采。
在教学《长⽅形、正⽅形、圆》时，我⼀⾛进教室，教室⾥所有学⽣的⽬光都聚集于我的胸前。
“哇”有的学⽣忘乎所以地叫了来：“王⽼师，你今天真漂亮!”我就问：“为什么，今天⽼师看起来这么漂亮呢?”学⽣马上叫起来：“⽼师的⾐服上贴了各种各样的粘纸，有长⽅形、正⽅形和圆形的。
”学⽣被我这⼀举动⼀下⼦吸引住了，所以在接下去的学习中他们学得特别带劲。
离下课还有近五分钟时，我布置了⼀个节⽬：“请⼩朋友们把发下来的卡⽚制作成⼀张明信⽚，正⾯⽤长⽅形、正⽅形、圆形粘纸进⾏组合拼贴，设计⼀幅美丽的图画，然后送给你最好是朋友。
”学⽣特别兴奋，直到下课都不愿停⼿。
数学之美文章数学是一门探索抽象概念和逻辑推理的学科，它隐藏着一种无穷的美。
数学之美不仅体现在其应用于现实世界的能力上，更体现在它自身的纯粹性和美妙的结构中。
数学之美体现在它的纯粹性上。
数学是一种纯粹的学科，它不受时间和空间的限制，存在于人类思维的领域中。
数学的概念和定理并不依赖于具体的实例，而是建立在严密的逻辑推理之上。
在数学中，我们可以通过推理和证明来发现和理解数学定理的美。
例如，勾股定理是一个简单而优雅的数学定理，它揭示了直角三角形边长之间的关系，无论是在几何学还是物理学中，勾股定理都起着重要的作用。
数学之美还体现在它的结构和模式中。
数学是一个由各种概念、定理和公理组成的系统，这些元素之间存在着丰富的关系和相互作用。
数学家们通过研究这些关系和作用，揭示了数学的深层结构和模式。
例如，数列是数学中一种常见的结构，它由一系列按照一定规律排列的数字组成。
在数学中，数列可以用来研究数的性质和规律，如斐波那契数列和调和级数等。
这些数列中的规律和结构不仅具有美感，而且对于解决实际问题也具有重要意义。
数学之美还体现在它的应用中。
数学是一种非常实用的学科，它在自然科学、工程技术、经济学等领域中都起着重要的作用。
数学的应用不仅能够解决实际问题，还能够提供新的思维方式和解决问题的方法。
例如，微积分是数学中的一个重要分支，它的应用广泛涉及到物理学、经济学、计算机科学等各个领域。
微积分的概念和方法不仅能够描述物体的运动和变化，还能够解决最优化问题和计算机算法设计等实际问题。
数学之美体现在它的纯粹性、结构和应用中。
数学的纯粹性使其成为一门深奥而美丽的学科，数学的结构和模式揭示了它的内在美感，数学的应用则使其成为一种强大的工具。
通过学习和探索数学，我们不仅能够领略到数学的美，还能够培养逻辑思维和解决问题的能力。
数学之美如同一幅抽象的艺术品，让我们在思维的海洋中尽情畅游。
无论是从纯粹性、结构还是应用角度来看，数学都是一门充满魅力的学科，它的美妙之处正等待我们去发现和探索。
论数学之美班级：工商1110班学号：20113463 姓名：魏林杰随着数学的发展和人类文明的进步，数学美的概念会有所发展，分类也不相同，但它的基本内容是相对稳定的，这就是：对称美、简洁美、统一美和奇异美。
数学语言本身就是最简洁的文字，同时反映客观规律极其深刻，许多复杂的客观现象，总结为一定的规律时，往往呈现为十分简单的公式。
所谓统一美，是指部分与部分、部分与整体之间的和谐一致。
在数学中有好多数学统一性的例子。
例如，引入负数，有了相反数的概念之后，有理数的加法和减法得到统一，它们可以统一为代数和的形式。
有了倒数的概念，除以一个不等于零的数等于乘上它的倒数，于是乘法与除法得到了统一。
例如平面几何中的相交弦定理、割线定理、切割线定理和切线长定理均可统一到圆幂定理之中。
在体积计算中有所谓的“万能计算公式”，它能统一地应用于棱（圆）柱、棱（圆）锥及棱（圆）台的体积计算统一美反映的是审美对象在形式或内容上的某种共同性、关联性或一致性,它能给人一种整体和谐的美感。
数学对象的统一性通常表现为数学概念、规律、方法的统一,数学理论的统一,数学和其它科学的统一。
数学概念、规律、方法的统一。
一切客观事物都是相互联系的，因而,作为反映客观事物的数学概念、数学定理、数学公式、数学法则也是互相联系的，在一定条件下可处于一个统一体之中。
例如，运算、变换、函数分别是代数、几何、分析这三个数学分支中的重要概念,在集合论中,便可统一于映射的概念。
又如代数中的算术平均——几何平均定理、加权平均定理、幂平均定理、加权幂平均定理等著名不等式,都可以统一于一元凹、凸函数的琴森不等式。
在数学方法上，同样渗透着统一性的美。
例如,从结构上分析，解析法、三角法、复数法、向量法和图解等具体方法,都可以统一于数形结合法。
数学中的公理化方法,使零散的数学知识用逻辑的链条串联起来,形成完整的知识体系,在本质上体现了部分和整体之间的和谐统一。
数学理论的统一。
数学中的美黄金分割与和谐卓勇霖(05级数学科学学院 0510133)摘要：我喜欢在严冬的深夜拨弄心弦线段上的黄金分割不止一点一个中庸一个潇洒，没有高下关键词：黄金分割；阴阳；《易》；《老子》前面的话：我喜欢在严冬的深夜拨弄凌乱的心弦召唤来自天国被神吻过的雪，那种闪着神的智慧，泛着神的容光菊花般的雪。
1 大哉，言数！“过去诸佛。
如恒河沙。
未来现在。
亦复如是。
”这是佛在《楞伽经》中对弟子大慧大士所说的话。
他的意思是天下的致理（佛）就像恒河中的沙子一样不可计数。
是然，人类创造的智慧，多如恒沙。
在我看来数学同佛儒道一样都是人类的智慧之沙。
且这粒沙子也非同一般！To see a world in a grain of sandAnd a Heaven in a wild flowerHold Infinity in the palm of your handAnd Eternity in an hour“Auguries of Innocence”By Willian Blake这诗虽不是数学的赞歌，但我觉得用它来形容数学再切义不过。
我试着做了翻译，潦以表达我对数学的感受。
一沙一大千，一花一净土。
运掌合无边，刹那含永劫。
确然。
数学正是那被神所亲吻过的雪。
她幻化无穷，微妙玄通，能让你陶醉在极大的愉悦之中——心灵的愉悦！热爱数学。
她将是你思接千载，视通万里的工具；热爱数学，她将是你神交三代圣王的青鸟。
老子说：天得一以清，地得一以宁。
我说：君子得“数”而悠游天地；天地得“数”而和谐永续，无垢无净！2 无所不在的“黄金分割”为了说明我的想法，我将以“黄金分割”为平台来展开讨论。
“黄金分割”正如其名，恐怕是数学中最闪亮的明星。
人类对她“天不老，情难绝，心似双丝网，中有千千结”。
从两千多年前的毕达哥拉斯学派一直到现在，人们对黄金分割真可谓“天不老，情难绝”。
同时，人们在两千年间又总能不断发现她与万物及万物变化规律之间“心似双丝网，中有千千结”的微妙联系。
几何上，它是如此定义的，即把单位线段1分成X与(1-X)两段，使之满足：X:1=(1-X):X,即x2+x-1=0解之X=215− ,这种分割，史称“中外比分割”。
通过计算约等于0.618。
由于达芬奇将其誉为“黄金分割数”，故亦称“黄金分割”。
它是如此具有奇妙的普适性，以至你会惊呼：天呐！无所不在的精灵！首先。
黄金分割是人类艺术的宠儿，特别是绘画，建筑和摄影。
雅典巴台农神庙。
巴黎圣母院等著名建筑的外观，都利用黄金分割比给人以美的享受。
金字塔的斜面三角高与底面半边长之比也是黄金分割比。
这还不够，有时连兔子和上帝都争着往黄金分割扎堆。
真真奇哉怪也！可不，著名的“兔子数列”即斐波那契数列，就是兔子蹦出来的杰作。
它是这样定义的：F n+2 = F n+1 + F n，（F0=F1=1）通过运算，我们知道当n趋于无穷时数列第n-1项与第n项之比的极限为：215−此外，上帝似乎也是玩转黄金分割的大师。
这在他所造万物的身上得到应验。
例如：玫瑰按“斐波那契数列”由内而外排列。
常见的向日葵有两组相反的螺旋：一组排列数目是34，另一组为55。
较大的向日葵螺旋数为89及144，更大的甚至还有144及233，这些全部都是“斐波那契数列”中相邻两项的数值。
当然，类似的例子不胜枚举，这里由于篇幅所限不可能加入更多的实例，也不可能对所举实例做细致的解释，有兴趣的读者可以查阅相关的资料。
但管中窥豹，通过上面的介绍读者应当可以感觉到，“黄金分割”的确是“金身无处不在”了。
3 我看黄金分割以上的介绍，也许在许多的资料上都能见到，但下面的讨论就未必能找得到了。
这也是本文的中心。
上文说过几何上黄金分割点在线段的215−处。
但我现在要告诉你线段上的黄金分割点不止一个！这不奇怪，也不矛盾！我们试着做如下分析，设线段AB=1.AC=215−,则根据上文的定义C即为黄金分割点。
但倘若我们把AB倒着看。
取BD=215−。
这样就得到异于C且也在AB上的另一个黄金分割点D。
好了！到此我们可以引出黄金分割更接近本质的定义了。
我的定义是线段的黄金分割应当是分别到两端点距离为（1—215−）的两点。
对应于图，即C与D。
AD=BC=（1-215−）。
为什么说这种定义更接近“本质”呢？因为依据这样的定义我们能引出黄金分割一些鲜为人知的“形而上”的东西。
它是深刻的，我敢说！如果我们将A与B分别看作任何一组对立的极端的话，那么很自然地我们认为D与C是两个分别偏向于极端A与B的两个位置。
上文我们讨论过黄金分割点往往是“最优”点。
可凭什么是它俩，而不是极端A,B；或者是“不好不坏”的中点呢？这很有意思，引起了我的思考，也许我下面的工作能从侧面勉强回答这个问题。
我认为“黄金分割”代表着一种至高的“和谐”。
如同佛家所说的“华严”，儒家所说的“中庸”，道家所说的“自然”。
在此由于笔者对佛家尚不能“言”，且先对其他两家作初步的讨论，以后有机会，再补充对佛家的说明及完善对儒道的理解。
“这种有所偏依倚”但又表达着无限和谐的思想在儒家经典《易经》中，显得尤为显著。
六十四卦八宫卦最后一卦是雷泽归妹。
而《周易》六十四卦的最后一卦是水火未济。
（注：所谓八宫卦是指伏羲六十四卦，《周易》六十四卦是周文王研究《易》的成果，这两者是不同的），“雷泽归妹”和“水火未济”虽不同，但体现的“易理”有一个共同点，就是“不损不盈”，也就是说不走极端的好，而是寻求一种“满”与“损”的“和谐”，什么才是儒家所追求的和谐呢，当然不是中点，而是他们所倡导的中庸，倘若我们把前面的A 点看作绝对的低势（阴），把B看作绝对的高势（阳）。
（注：本质上说“阴”和“阳”只是两个代表相反极端的符号而已，没有高低之分，只是一般默认阴是低势，阳是高势罢了）儒家的“中庸”大多表现在偏阳性的那个黄金分割点上。
北宋有易学名家邵康节说了一个偈子“冬至子之半，天心无改移。
一阳初动出，万物未生时”。
什么意思？我们用孔子在《易.系辞》中的话来解释，子曰：“乾坤其易之门耶?乾阳物也，坤，阴物也，阴阳合德而刚柔有体，以体天地之撰，以通神明之德”。
在这里，孔子讲的很清楚，万物都有两个极端，乾与坤即阳与阴，也就是图中的两个端点，A与B。
儒家所追求的和谐就是“一阳初动出”的那种感觉，刚偏阳又不完全是阳，这不就是C点吗？在《易-系辞》中，孔子还说：“一阴一阳之谓道。
夫乾静也专，其动也直，是以大生焉。
夫坤其静也翕，其动也辟。
是以广生焉。
”这正是说了阳中偏阴，阴中带阳，阴阳和合的和谐思想，亦即点C与D对“亢龙有悔”卦，孔子是如此解释的：“贵而无位，高而无名，贤人在下位而无辅，是以动而有悔也。
”他是在告诫人们不要爬得那么的高啊！不要走这么远啊！过后你一定会后悔为何当初拼命往上爬，夫子教化后人是启发式的，我想他要表达的言外之意应该是劝诫人们要懂得阴阳和合的道理，在世事纷扰中寻求“和谐”，这是一种冬日阳光般的和谐。
再看道家。
“万物负阴而抱阳，冲气以为和”（《老子.四十二章》）略作思考我们很快会意识到老子说的不就是D点吗？“负阴”就是总体上偏向于阴，“抱阳”，即是有些许偏阳。
留心者会发现这种思想在《老子》中几乎随处可见，试举若干：“知其雄，守其雌，为天下谿；知其白，守其辱，为天下谷。
”“甚爱大费，多藏必厚亡。
故知足不辱，知止不殆，可以长久。
”“大成若缺，其用不蔽，大盈若冲，其用不穷。
”“处莫大于欲得，祸莫大于不知足。
”“故知足之足，常足矣。
”“物壮则老，谓之不道，不道早已。
”这些话，只要粗通文理，其含义都是十分了然的，淡定而非禁欲，这是一种秋风送爽般的和谐。
慨而括之。
生命的道理就像黄金分割点，不拼命但拼劲，不追求极端而寻求卓越，在这点上，儒，道两家可谓殊途同归，他们追求的是线段两端不同的黄金分割点，但都达到了一种和谐，一个中庸，一个潇洒，这并无高下。
此外，通过本文的分析，我们应该消除一种常有的误解，就是儒家是“明知不可为而为之”的极端入世者，而道家是“曳尾涂中”的极端出世者，两家都在追求理性的和谐，一个在左，一个在右，我想我们应该把它们理解为交相辉映才对。
当然，这两者的光辉在本文中通过另一种至理而融为了一体。
它就是数学！参考文献：[1] 《数学中的美》，吴振奎等，上海教育出版社。
[2] 《科学》第58卷第五期，作者不详，上海科学技术出版社。
[3] 《易经杂说》，南怀瑾，复旦大学出版社。
[4] 《诸子集成.老子》，上海古籍出版社。
※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○悖论中的美张群（数学科学学院数学专业 0510127）摘要：悖论是美的，它不仅表现在形式上的生动有趣，还为数学的发展做出了杰出的贡献，表现出了其深邃的美。
通过阅读本文，读者可以了解悖论的基本知识、体会到其生动有趣的一面，还可以品味到其深刻的美。
关键字：悖论；美；推动；发展数学中充满了美，悖论作为数学中的一部分也不例外，在日常生活中，当我们不经意地说出一句悖论（类似于理发师悖论）而使自己左右为难，哭笑不得时，我们发现了它的趣味性，体会到了它生动的美；在学习数学文化，通读数学发展史时，我们发现了它深刻的内涵，领略到了它深刻的美……对于悖论的概念，也许大家并不熟悉。
下面先简明扼要地介绍一下悖论的基础知识。
1 悖论的基础知识“悖论”（paradox）是一个逻辑学的名词，其字面意思为“荒谬的理论或自相矛盾的话”。
这样说或许过为笼统，下面给悖论下一个完整的定义：由一个被承认是真的命题为前提，设为A，进行正确的逻辑推理后，得出一个与前提互为矛盾命题的结论非A；反之，以非A为前提，亦可推得A。
那么命题A就是一个悖论。
当然非A也是一个悖论。
更形式化的悖论定义是：“由A可以推导出┐A（A的否定的形式写法），并且由┐A可以推导出A。
”从逻辑上看，悖论性的语句具有这样的特征：如果假定这个语句为真，那么会推出这个语句为假；反之，如果假定这个语句为假，又会推出这个语句为真。
说它对也不是，不对也不是，真是左右为难。
作为悖论，一般说，它具有以下的特征：①悖论是一个命题；②悖论是被承认作为前提的一个真命题；③以上述真命题为前提，进行正确的逻辑推理；④结论是一个与前提互相矛盾的命题。
（理所当然也应该承认是一个真命题）有两个和悖论容易混淆的概念，分别为：“自毁命题”和“自成命题”。
下面对这两个概念作简要的介绍。
如果由A可以推导出┐A，但由┐A并不能推导出A，那么这个命题就是自毁命题。
自毁命题具有自毁性质，其本身是不能成立的，但它的否定却没有约束。
比如克里特哲学家说：“克里特人总是说谎。
”，这就是一个自毁命题。
这个命题与说谎者悖论（后面会具体介绍）很相似，但两者并不一样。
假设这句话是真话，那么由它所指及这个哲学家是个克里特人的事实，可以推出这个哲学家也总是说谎，这个哲学家现在当然也是在说谎，即这句话是谎言；再看另外一个方向，假设这句话是谎话，也就是“克里特人并不总是说谎”，由此并不能推出矛盾。
