复变函数-幂级数

第四章解析函数的幂级数表示法§1.复级数的基本性质1.（定理）复级数收敛的充要条件：实部虚部分别收敛。

2.（定理）复级数收敛的充要条件（用定义）：对任给的>0，存在正整数N()，当n>N且p为任何正整数时，注1：收敛级数通项必趋近于零；注2：收敛级数各项必有界；注3：级数省略有限个项不改变敛散性。

3.（定理）收敛4.（定理）（1）绝对收敛的复级数可任意重排，不改变收敛性，不改变和；（2）两个绝对收敛的复级数可按对角线方法得出乘积（柯西积）级数，也绝对收敛于。

5.一致收敛的定义：对任给的>0以及给定的，存在正整数N=N(,z)，当n>N 时，有式中6.不一致收敛的定义7.（定理柯西一致收敛准则）：级数收敛的充要条件是：任给>0，存在正整数N=N()，使当n>N时，对一切，均有8.（定理’不一致收敛准则）：9.（优级数准则）：如果有正数列，使对一切，有|)|≤，且正项级数收敛复级数在集E上绝对收敛且一致收敛。

10.优级数定义：称为的优级数。

11.（定理）级数各项在点集E上连续，且一致收敛于f(z)，则和函数也在E上连续。

12.（定理积分求和符号可交换）级数的各项在曲线C上连续，且一致收敛于f(z)，则沿C可逐项积分13.内闭一致收敛：有界闭集上一致收敛14.（定理）在圆K：|z-a|<R内闭一致收敛的充要条件：对任意正整数，只要<R，级数在闭圆上一致收敛。

15.（定理魏尔斯特拉斯定理）：设（1）函数在区域D内解析；（2）在D内内闭一致收敛于函数f(z):则：（1）f(z)在D内解析；（2）（3）在D内内闭一致收敛于§2.幂级数1.（定理阿贝尔定理）：幂级数在某点(≠a)收敛它必在圆K：|z-a|<|-a|（以a为圆心，圆周通过的圆）内绝对收敛且内闭一致收敛。

2.（推论）：幂级数在某点(≠a)发散在以a为圆心，圆周通过的圆周外发散。

(M
z z0
n
)
n1
z1 z0
收敛，同时根据正项级数的比较判别法可知，
Cn(z z0 )n
n1
收敛， 从而级数 Cn(z z0 )n 绝对收敛. n0
8
定理1的几何意义
如 果 幂 级 数 在 点1z收 敛 ， 那 么 幂 级 数 在 以z0 为 圆 心 ， 以z1 z0 为 半 径 的 圆 周 内 部 的 任意 点z处收敛.
n0
n0
n0
f (z) g(z) ( anzn ) ( bnzn ),
n0
n0
(anb0 an1b1 a0bn )zn ,
n0
z R R min( r1, r2 )
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2. 幂级数的代换(复合)运算
如果当 z r 时, f (z) anzn, 又设在
n0
z R 内 g(z)解析且满足 g(z) r, 那末当 z R
10
对于形如 Cn (z z0 )n的幂级数当, z z0时，可能 n1
出现如下的三种情况
(1)对 任 意 的z z0 , 级 数 Cn (z z0 )n均 发 散 n1
(2)对 任 意 的 z, 级 数 Cn (z z0 )n均 收 敛 。 n1
(3)存 在 一 点z1 z0 , 使 得 级 数 Cn (z1 z0 )n收 敛 . n1
a
n0 n 1
简言之: 在收敛圆内, 幂级数的和函数解析;
幂级数可逐项求导, 逐项积分.
(常用于求和函数)
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例3 求幂级数 zn 1 z z2 zn
n0
的收敛范围与和函数.
解 级数的部分和为
sn
1
z
z2

一 复变函数项级数 1 定义：设 f k (z )是区域D中的复变函数 则
f
k 1
k
( z ) f1 ( z ) f 2 ( z ) ... f k ( z ) ...
称为复变函数项级数，称 Sn ( z) f k ( z) k 1 为级数的前n项和。
n
2 级数收敛和发散的定义：
f ( z)dz f
l l k 1

k
( z ) dz f k ( z )dz
k 1 l

3、幂级数在收敛圆内可逐项求导
f
(n)
( z) f
k 1

(n) k
( z)
3.2 解析函数的泰勒展开
一 定理表述及其证明
定理：设 f(z)在以z0为圆心的圆CR内解析， 则对圆内的任意z点，f(z)可展为幂级数，
则（3.2.2）收敛，而（3.2.1）绝对收敛。
ck 引入记号 R lim c k k 1
，称为收敛圆半径。
R，则（3.2.1)
意义： ck 若 | z z0 | lim c k k 1 绝对收敛。
另一方面，若 | z z0 | R 则
| ck 1 || z z0 |k 1 ck 1 lim lim R 1 k | c || z z |k k c k 0 k
五、例题
例1 求 1 z z 2 z k 的收敛圆。 z 为复数
(k!) 2 k z 的收敛半径。 例2 （习题4.1.b）求 k 1 (2k!!)

1 k2 k 例3（习题4.1.c）求 (1 ) z 的收敛半径。 k k 1

zk 例4（简明教程35页）求 的收敛半径。 k 0 k!

复变函数与积分变换幂级数
contents
目录
• 复数与复变函数 • 积分变换 • 幂级数 • 复变函数与积分变换的关系 • 复变函数与积分变换在物理中的应用
01 复数与复变函数
复数的定义与性质
总结词
复数是实数域的扩展，由实部和虚部组成。它具有加法、减法、乘法和除法的运算性质，以及共轭、 模等特殊性质。
详细描述
复数是由实部和虚部组成的数，表示为 $z = a + bi$，其中 $a$ 和 $b$ 是实数，$i$ 是虚数单位，满足 $i^2 = -1$。复数具有加法、减法、乘法和除法的运算性质，以及共轭、模等特殊性质。
复变函数的定义与性质
总结词
复变函数是定义在复数域上的函数，它 具有连续性、可微性、可积性等性质。
拉普拉斯变换与复变函数的关系
拉普拉斯变换是复变函数中的另一种特殊形式，它可以将时域中的函数转换为复数域中的函数，从而 将时域中的问题转化为复数域中的问题。
拉普拉斯变换在控制系统、电路分析、信号处理等领域有着广泛的应用，是现代科学和工程中非常重 要的工具之一。
幂级数与积分变换的关系
幂级数是复变函数的一种表示方法， 它可以表示复数域中的任意函数。
04 复变函数与积分变换的关 系
傅里叶变换与复变函数的关系
傅里叶变换是复变函数中的一种特殊 形式，它将实数域中的函数转换为复 数域中的函数，从而将实数域中的问 题转化为复数域中的问题，以便更好 地解决。
傅里叶变换在信号处理、图像处理、 控制系统等领域有着广泛的应用，是 现代科学和工程中非常重要的工具之 一。
线性性质、位移性质、微分性质、积分性质等。
积分变换的应用
在信号处理中的应用
通过傅里叶变换将信号分解为不同频率的成分， 便于分析和处理。