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复变函数展成幂级数的一种新方法

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03复变函数的幂级数展开

03复变函数的幂级数展开

数学物理方法

双边幂级数
a n ( z z0 ) n a 2 ( z z0 ) 2 a1 ( z z0 ) 1 a0 a1 ( z z0 ) a2 ( z z0 ) 2 an ( z z0 ) n
其中
f
k 1

k
( z )一般收敛于
假设对应于点z∈ D，级数收敛于f(z)，即
f ( z) f k ( z)
k 1

那么f(z)称为级数的和函数。
数学物理方法

幂级数的定义
k 0
k a ( z z ) 形如 k 的级数称为以z0为中心的幂级数， 0
常数a0,a1,a2,…an，称为该幂级数的系数。
k 1 m 2m ka z ( 1) z k k 0 m0

1 m 2m (arctanz ) ( 1 ) z 2 1 z m 0
k 0

(1) m 1）当k为奇数时 a2 m1 2m 1
(m 0,1,2...)
2）当k为偶数时 a2m 0 (m 0,1,2...)
如果
如果
| ,称级数 w 是绝对收敛的 | w 是收敛的


| w
n 1 n 1
n 1
n
n
|是发散的，而
w 是ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ敛的
n 1 n

n 1
n
称级数
w 是条件收敛的，
n
数学物理方法

复变函数项级数的定义
是区域D中的复变函数,如
设 f k ( z) (k 1,2,3,...) 下表达式

复变函数泰勒级数展开

复变函数泰勒级数展开
泰勒级数展开在概率论与数理统计中也有应用，例如在中 心极限定理的证明中就使用了泰勒级数展开的方法。05结论泰勒级数展开的重要性和影响
理论意义
泰勒级数展开是复分析中的重要工具，它为研究函数的性 质提供了理论基础，有助于深入理解函数的性质和行为。
应用价值
泰勒级数展开在数学、物理、工程等多个领域都有广泛的应用 ，例如在信号处理、控制系统、量子力学等领域，泰勒级数展 开都发挥了关键作用。
指数函数e^z的泰勒级数展开
总结词
指数函数e^z在复平面上的泰勒级数展开 式为无限和的形式，可以表示为幂级数 的和。
VS
详细描述
e^z = 1 + z + z^2/2! + z^3/3! + ... + z^n/n! + ...，其中z为复数，n!表示n的阶 乘。这个级数是无限和的形式，可以用于 近似计算e^z的值。
对数学发展的推动
泰勒级数展开的发现和证明对数学的发展产生了深远的影响， 它不仅推动了复分析的兴起和发展，还为数学的其他分支提供 了新的思路和方法。
对未来研究的展望
深入研究泰勒级数展开的性质和特性
尽管泰勒级数展开已经得到了广泛的研究和应用，但关于其性质和特性的研究仍有许多值得深入探讨的问题，例如高 阶泰勒级数展开、非标准泰勒级数展开等。
值，并帮助理解函数的性质和行为。
04
泰勒级数展开的应用
在微积分中的应用
函数逼近
泰勒级数展开可以用来逼近复杂的函数，通过将复杂的函 数表示为简单的多项式之和，可以更好地理解和分析函数 的性质。
无穷级数求和
泰勒级数展开可以用来求无穷级数的和，这对于解决一些 数学问题非常有用，例如求定积分等。
数值分析

复变函数的幂级数展开

复变函数的幂级数展开

复变函数的幂级数展开复变函数的幂级数展开是复数域中独有的一种展开形式。

与实函数不同，复变函数的幂级数展开能够将一个复变函数表示为一系列复数幂的和。

在复变函数理论中，幂级数展开具有广泛的应用，例如在复解析、函数论、物理学等各个领域。

首先，我们来了解一下复变函数的幂级数展开的定义和性质。

给定一个复变函数 f(z)，它可以在某个区域上进行幂级数展开。

设 z0 是该区域上的一个点，如果存在复数序列 c_n 和一个收敛半径 R，使得对于该区域内的每个点 z，有以下关系成立：f(z) = ∑(n=0 to ∞) c_n (z-z0)^n (1)其中，c_n 是函数 f(z) 的系数，R 是幂级数的收敛半径。

幂级数的收敛半径 R 可以通过柯西—阿达玛公式进行计算，该公式是根据幂级数的收敛性和发散性进行的。

下面我们来看一个具体的例子。

考虑以下函数：f(z) = 1/(1-z) (2)为了将 f(z) 展开为幂级数，我们需要找到该函数在某个点 z0 处的展开式，并计算出收敛半径 R。

对于函数 (2)，我们可以选择 z0=0。

然后，我们对函数 (2) 进行展开，在给定的收敛半径内，得到以下级数：f(z) = ∑(n=0 to ∞) z^n (3)这个级数是一个幂级数展开，它显示出函数 1/(1-z) 可以表示为一系列复数幂的和。

在这个例子中，收敛半径 R=1，因为幂级数 (3) 只在 |z| < 1 的区域内收敛。

复变函数的幂级数展开可以用来近似计算复解析函数在某个点附近的值。

一般来说，通过增加幂级数的项数，可以获得更精确的近似结果。

但需要注意的是，幂级数展开的收敛性和收敛半径是限制近似精度的关键因素。

当所选择的展开点与函数的奇异点接近时，幂级数展开的收敛性可能会受到影响。

幂级数展开还经常用于计算多项式函数和三角函数的复函数版本。

例如，通过对复指数函数进行幂级数展开，我们可以得到欧拉公式：e^(iz) = ∑(n=0 to ∞) (iz)^n/n!，其中 i 是虚数单位。

第4章：复变函数的幂级数展开

第4章：复变函数的幂级数展开

| f n +1 ( z ) + f n + 2 ( z ).... + f n + p ( z ) |< ε
一致收敛级数的连续性 设
f ( z) = ∑
k =0 ∞
在E上一致收敛，如果{fk(z)} f k ( z ) 在E上连续，那么和函数f(z)
也是E上的连续函数。
7
一致收敛级数的积分 设
f ( z) = ∑
f ( z ) = ∑ f k ( z ) = f1 ( z ) + f 2 ( z ) + ... + f k ( z ) + ...
k =0
5
∞
ε—N语言描述 任给ε>0, 以及给定的z∈E, 存在正整数N=N(ε,z), 当n>N时
| f ( z ) − sn ( z ) |< ε
其中部分和为
16
1 f ( z) = 2 1+ z
+i
的二个奇点为 z = ±i ,故
1 2 4 6 = 1 − z + z − z + ... 2 1+ z
-i
的收敛半径为 | z |<1.
17
4.2 解析函数的Taylor 展开
幂级数在收敛圆内：解析函数 逆定理：解析函数可展开成幂级数
定理：设 f(z) 在以 a 为圆心的圆 C 内 解析，则对于圆 内的任何 z 点, f(z) 可以用幂级数展开为
(−1) ln(1 + z ) = ∑ k k =0
∞
k +1
z
k +1
; (| z |< 1)
2、若取其他分枝：ln1=2kπi, c= 2kπi

大学物理2.3 复变函数在环形区域中的幂级数展开

大学物理2.3 复变函数在环形区域中的幂级数展开

2. 将有理式分解为部分分式，再按 3. 利用两个绝对收敛级数的乘积。 4. 利用逐项求导或逐项积分。
展开。
例子：将
以 z = 0 中心展开成幂级数。
分析：展开中心 z = 0 不是 f (z) 的奇点，奇点为 –1、2。
解：
的三个解析区域 |z| < 1, 1< |z| <2, 2 < |z| <∞
2.3 复变函数在环形区域中的幂级数展开
泰勒级数：在一个圆域内展开 收敛半径 R：若 R = 0，函数只在该点解析；若 R 为有限值， 函数在某一圆内解析； 若 R = ，函数在全平面解析。 例如：f (z) = 1/(1– z) 只能在 |z| < 1 展开成泰勒级数，因为
z = 1 是函数的奇点，不能在全平面把它展开成泰勒 级数，但是在 |z| > 1 区域，它又是解析的，那么能 否在 |z| > 1 的区域把 f (z) 展开成级数呢？
Jm (t)
l0
(1)l m
l !(l
1
( t )m2l m)! 2
(1)m Jm (t) (m 0,1, 2, )
Jn (t) 称为 n 阶贝塞尔函数 (参看§9-1)。
例：以 z = 0 为中心在 1 < |z| < 展开 解：
展开中心为 z = 0，故只需展开
[分子已为 z =(z–0)1 ]
有
第二个积分中： | b| < |z b|
令 –(n+1) = k，则 n = 0 时：k = –1；n = 时： k = – 上式变为：
其中：
说明：
(1) 洛朗级数中 ak 积分表达式与泰勒系数形式相同，但洛朗 系数无微分形式。因为：高阶导数公式要求 f (z) 解析才 成立。但在此 f (z) 仅在 R2 < | z – b | < R1 区域内解析；

大学物理2.2 复变函数在解析区域中的幂级数展开

大学物理2.2 复变函数在解析区域中的幂级数展开

z
z
z2/1!
z3 /2!
z4/3!
z2
z2
z3 /1!
z4/2!
z5/3!
z3
z3
z4/1!
z5/2!
z6/3!
ez 1 (1 1 )z (1 1 1 )z2 (1 1 1 1 )z3
1 z
1!
1! 2!
1! 2! 3!
k
1 zk
k0 n0 n!
( z 1)
三、鞍点
我们来讨论复变函数的一阶导数为零的点的性质。
级数 于是
在 C 上一致收敛
逐项积分
其中 4. 展开式是唯一的
若 f (z) 能展开成另一种形式：
(1) 令 z = b： (2) 对 z 求导：
……
——展开式唯一
由展开式的唯一性，可以用任何方便的办法来求解一个 解析函数的泰勒展开式，不必一定要用积分表达式
来求 ak 。 说明： (1) 解析函数与泰勒级数之间存在密切关系：
证明： 1. 从柯西公式出发
其中 z 为圆 | z – b | = R 内某一点，C 为包含 z 的圆，| – b| = (0 < < R)， 为 C 上的点。
2. 将被积函数用级数表示
利用
将
1
z
展开成以
b
为中心的级数
被积函数写成：
3. 将上式沿 C 积分
级数
在 C 上一致收敛 + f ( ) 在 C 上有界
我们知道，实变函数 f (x) 的一阶导数为零的点是它的极
值点 (只要二阶导数不为零)。然而，这一结论对于复变函数
f (z) 不成立 (因为 f (z) 无大小之分) 。此时应讨论它的实部和

将函数展开成幂级数


10.4.2 将函数展开成幂级数
定理10.4.1设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内具有
各阶导数, 则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数 的充要
当n时的极限 条件是f(x)的泰勒公式中的余项 Rn（x） 为0，即: lim Rn ( x ) 0 ( x U ( x 0 ))
n
15
x ( ,)
1 1 x x2 x3 xn (| x | 1) 1 x 1 1 x x 2 x 3 (1)n x n (| x | 1) 1 x
将上式从0到x逐项积分：
例4 将f ( x ) ln( 1 x )展开成x的幂级数 1 解 f ( x ) [ln( 1 x )] 1 x
f (0) 2 f ( n ) ( 0) n f (0) f (0) x x x 2! n!
并求出其收敛半径R。
10
（iv）在（ R,R）内考察： lim Rn ( x )是否为零。 若为零，则在（ R,R）内有
n
f (0) 2 f ( n ) ( 0) n f ( x ) f (0) f (0) x x x 2! n! 例1 将f ( x ) e x 展开成x的幂级数
f ( n ) ( x0 ) ( x x0 )n f ( x ) n!
Rn ( x) f ( x) sn1 ( x) 0
6
在（3）式中若取x0=0,得：
f (0) 2 f ( n ) ( 0) n f (0) f (0) x x x 2! n! 级数（5）称为函数f(x)的麦克劳林级数。 ( 5)
（2）直接法的缺点：计算量大，余项的研究往往很 困难。

复变函数的幂级数展开


数学物理方法

双边幂级数
a n ( z z0 ) n a 2 ( z z0 ) 2 a1 ( z z0 ) 1 a0 a1 ( z z0 ) a2 ( z z0 ) 2 an ( z z0 ) n
其中
f 1 ( z) f 2 ( z) f 3 ( z) ... f k ( z) ...
称为复变函数项级数,记为 为级数的前n项部分和.
f
k 1

k
( z ) ,称 S n ( z )
f
k 1
n
n
( z)
数学物理方法
级数收敛和发散的定义
S n ( z0 ) 存在,则称级数 若对于z0∈ D,极限nlim 在z0处收敛; S n ( z0 )不存在,则称级数 若极限 nlim 处发散.
1 2 1 3 1 4 (1) z z z z ... 2 3 4 k
k 1
z ...
数学物理方法
k
例3.7 将 f(z)=arctan z在z=0处展开成Taylor级数
解：设 arctanz ak z
k 0 k
(arctanz ) kak z k 1
函数 f(z)=cos z 在z=0点的Taylor级数展开
z z (1) z (1) z cos z 1 ... ... 2! 4! (2n)! (2n)! n 0
2 4 n 2n n
2n
数学物理方法
§3.3洛朗级数展开

补充：问题的提出
已知结果：当 f(z)在圆|z-z0|<R内解析，Taylor定 理告诉我们，f(z)必可展开成幂级数。 问题是：当 f(z)在圆|z-z0|<R内有奇点时，能否展 开成幂级数或展开成类似于幂级数的形式。

【精品完整版】解析函数展开成幂级数的方法分析

解析函数展开成幂级数的方法分析姓名：媛媛学号：************专业：物理教育指导教师：莉莉解析函数展开成幂级数的方法分析姓名某某大学物理与电气信息工程学院摘要：将解析函数展开成幂级数的方法不一，且比较复杂。

本论文着重介绍了将解析函数展开成幂级数的几种方法以及分析。

关键词：解析函数，幂级数，展开，奇点等。

一前言解析函数的应用及现状：解析函数边值问题和广义解析函数边值问题在奇异积分方程方面有广泛的应用，它们在弹性力学、流体力学方面也有重要的应用。

这些方面的理论及其应用，主要是由苏联学者建立和发展起来的。

自20世纪60年代以来，中国的数学工作者在这些方面也做了不少工作。

关于解析函数的不同定义在20世纪初被证明是等价的。

基于魏尔斯特拉斯的定义，区域上的解析函数可以看作是其内任一小圆邻域上幂级数的解析开拓，关于解析开拓的一般定义是，f（z）与g（z）分别是D与D*上的解析函数，若D&Eacute;D*，且在D*上f（z）=g（z）。

则称f（z）是g（z）由D*到D的解析开拓。

解析开拓的概念可以推广到这样的情形：f（z）与g（z)分别是两个圆盘D1与D2上的幂级数，在D1∩D2上f（z)=g（z)则也称f与g互为解析开拓，把可以互为解析开拓的（f（z），Δ）的解析圆盘Δ全连起来，作成一个链。

它们的并记作Ω，得到了Ω上的一个解析函数，称它为魏尔斯特拉斯的完全解析函数，这里可能出现这样的情形，在连成一个链的圆盘中，有一些圆盘重叠在一起，但在这些重叠圆盘的每一个上的解析函数都是不一样的，它们的每一个都称为完全解析函数的分支。

这样的完全解析函数实际是一个多值函数。

黎曼提出将多值解析函数中的那些重叠的圆盘看作是不同的“叶”，不使他们在求并的过程中只留下一个代表，于是形成了一种称为黎曼面的几何模型。

将多值函数看作是定义于其黎曼曲面上的解析函数，这样多值解析函数变成了单值解析函数。

解析函数的基本性质：解析函数的导函数仍然是解析函数；单连通域内解析函数的环路积分为0；复连通域内，解析函数的广义环路积分（即包括内外边界，内边界取顺时针为正）为0。

展开成幂级数的方法

展开成幂级数的方法
展开成幂级数的方法有多种，以下是其中两种常见的方法：
1. 泰勒级数展开：该方法适用于将一个函数展开为无穷级数的形式。

泰勒级数的一般形式为：
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...
其中，f(a)是函数在点a处的值，f'(a)是函数在点a处的导数，以此类推。

使用泰勒级数展开的前提是函数在展开点附近是可导的。

2. 幂级数展开：对于某些特定函数，可以直接将其展开成幂级数的形式。

一些常见的例子包括指数函数、三角函数和对数函数。

例如，e^x的幂级数展开形式为：
e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...
sin(x) 的幂级数展开形式为：
sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...
ln(1+x) 的幂级数展开形式为：
ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + ...
根据具体的函数形式，选择合适的幂级数展开方程可以更快
地得到展开结果。

请注意，展开成幂级数的方法不一定对于所有函数都适用，有些函数可能没有幂级数展开形式，或者幂级数展开的收敛区间有限。

因此，在实际应用中，需要对函数的性质和展开方法进行合理的选择。

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