高中数学函数的单调性与最值练习题
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高中数学函数的单调性与最值练习题
1.函数f(x) = (1-x)/(1-x^2)，其定义域为{x|x≠1}。根据函数y=-1/x的单调性及有关性质，可知f(x)在(-∞，1)和(1，+∞)上是增函数。因此，选项C正确。
2.已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f(x) < f(1)，所以|x| < 1.因此，选项C正确。
3.函数f(x) = 8x^2 - 2kx - 7在[1，5]上为单调函数，说明函数的对称轴为x = k/8.因为函数在[1,5]上单调，所以k/8≤1或k/8≥5，解得k≤8或k≥40.因此，实数k的取值范围是(-∞，8]∪[40，+∞)，选项C正确。
4.定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b＝a；当a 5.函数f(x)＝log2(x+1)，x∈(1，+∞)。因为log2(x+1)是单调递增函数，所以f(x)在(1，2)和(2，+∞)上是单调递增函数。因此，f(x1) 0，所以x2+x1<1.因此，选项1-x正确。 2 证明f(x)在(0，＋∞)上是增函数。 2) 当x＝2时，f(x)＝－ a 2 所以 a 2 0，1)，解得a∈(1，＋∞)或a∈(－∞，0)．又因为a>0，所以a∈(1，＋∞)． 答案：(1)增函数；(2)a∈(1，＋∞)． 7．函数f(x)＝|x－1|＋x2的值域为[4，＋∞)． 解析：因为f(x)＝|x－1|＋x2，所以f(x)在x≥1时，f(x)＝(x－1)+x2＝x2+x－1；在x<1时，f(x)＝1－(1－x)+x2＝x2+x，所以f(x)在[1，＋∞)上为增函数，又因为f(x)在[1，＋∞)上的最小值为4，所以f(x)的值域为[4，＋∞)． 改写：函数f(x)＝|x－1|＋x2在[1，＋∞)上为增函数，且在[1，＋∞)上的最小值为4，因此函数f(x)的值域为[4，＋∞)． 2.已知函数$f(x)=\frac{a}{x^2}-\frac{1}{x}$，其中$a$为常数，且$f(x)$在$(0,+\infty)$上是增函数。 解析。 1) 由$f(x)=\frac{a}{x^2}-\frac{1}{x}$，得$f'(x)=-\frac{2a}{x^3}+\frac{1}{x^2}=\frac{x^2-2a}{x^3}$，因为$f(x)$在$(0,+\infty)$上是增函数，所以$f'(x)>0$，即$x^2>2a$，所以$a<\frac{x^2}{2}$，因此$a$的取值范围为$(0,+\infty)$。 2) 由$f'(x)=\frac{x^2-2a}{x^3}$，得$f'(x)=0$时，$x=\sqrt{2a}$，因此$f(x)$在$(0,\sqrt{2a})$上单调递减，在$(\sqrt{2a},+\infty)$上单调递增。而$f(x)$在$(0,+\infty)$上是增函数，所以$f(x)$在$(\sqrt{2a},+\infty)$上单调递增。又因为$f(\sqrt{2a})=\frac{2a}{2a}-\frac{1}{\sqrt{2a}}=\sqrt{2a}-\frac{1}{\sqrt{2a}}$，所以$f(x)$的最小值为$\sqrt{2a}-\frac{1}{\sqrt{2a}}$，当$x=\sqrt{2a}$时取得最小值。因此，$f(x)$在$(0,+\infty)$上的最小值为$\sqrt{2a}-\frac{1}{\sqrt{2a}}$，当$x=\sqrt{2a}$时取得最小值；最大值为$f(+\infty)=0$，无最大值。 已知函数f(x)＝ax＋(1－x)，且f(x)在[0，1]上的最小值为g(a)，求g(a)的最大值。 解：将f(x)化简得f(x)＝(a－1)x＋1，由于f(x)在[0，1]上的最小值为g(a)，所以g(a)为f(x)在[0，1]上的最小值，即g(a)＝min{f(0)，f(1)}. 当x＝0时，f(0)＝1，当x＝1时，f(1)＝a，所以g(a)＝min{1，a}. 当0 当a≥1时，a－≥0，所以g(a)＝a. 综上所述，g(a)的最大值为a，其中a≥1. 1.根据定义，当a≥1时，g(a)=1；当0 1) 根据定义，有f(x)-f(y)=f(x)-f(x/y)=f(x(1/y)-1)=f(x/y)-f(1/y)。 2) 因为f(4)=-4，所以f(16)=-8，f(64)=-12.根据(1)，得f(x)-f(x-12)=f(x(x-12))。 由于f(x)是减函数，所以f(x(x-12))≤f(64)=-12，即x(x-12)≥64. 解得x≤-4或x≥16，又因为f(x)是减函数，所以f(x)-f(x-12)≥-12，即f(x(x-12))≥f(64)=-12. 综合解得12
