高一数学函数的单调性与最值试题

高一数学函数的单调性与最值试题

1. 已知函数在[5，20]上是单调函数，则的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】若在[5，20]上递增，则，若在[5，20]上递减，则，解得的取值范围是。

【考点】二次函数单调性的判断。

2. 若正实数，满足，则（ ）

A．有最大值4

B．有最小值

C．有最大值

D．有最小值

【答案】C

【解析】由基本不等式得，得，因此.

因此.

【考点】基本不等式的应用.

3. 函数的递增区间是___________________ . 【答案】[1,+∞) 【解析】试题分析:,由一元二次函数的单调性可知，开口向上，递增区间在对称轴右侧，递增区间为[1,+∞). 【考点】一元二次函数的单调性. 4. 已知y=f(x)是定义在（－2，2）上的增函数，若f(m-1)

【答案】

【解析】 由题意得，解得，所以实数m的取值范围为

【考点】抽象函数单调性

5. 对于函数（）．

（1）探索并证明函数的单调性；

（2）是否存在实数使函数为奇函数？若有，求出实数的值，并证明你的结论；若没有，说明理由．

【答案】（1）单调增；（2）．

【解析】（1）直接利用增函数的定义证明；（2）法一：直接用定义，可得，法二：先由求得，再证明恒成立．

试题解析：（1）任取,且，则

，，，得在R上是增函数； （6分）

（2）由，得，，又

所以当时，为奇函数． （12分）

【考点】（1）函数的单调性的定义；（2）函数的奇偶性．

6. 已知函数对任意实数恒有且当时，有且.

(1)判断的奇偶性；

(2)求在区间上的最大值；

(3)解关于的不等式.

【答案】(1)奇函数；(2)；

(3)当时，

当时，

当时，

当时,

【解析】(1)赋值法：先令，再令

(2)根据 以及当 时，有 ，利用函数单调性的定义判断得出为上的减函数；并由单调性求其最值;

(3)由（1）和（2）的结论，先将不等式化为；再由函数的单调性转化为 关于的不等式对的不同取值，分别讨论不等式的解.

试题解析：解（1）取则

取

对任意恒成立 ∴为奇函数.

（2）任取， 则

又为奇函数

∴在（－∞，+∞）上是减函数.

对任意，恒有

而

∴在[－3，3]上的最大值为6

（3）∵为奇函数，∴整理原式得

进一步可得

而在（－∞，+∞）上是减函数，

当时，

当时，

当时，

当时,

【考点】1、赋值法解决抽象函数的有关问题；2、函数单调性的定义；3、分类讨论的思想.

7. 若函数是定义在上的偶函数，在上是增函数，且，则使得的的取值范围是_______.

【答案】

【解析】因为在上是增函数，且，所以当时，，时，，又因为函数是定义在上的偶函数，所以的图像关于轴对称，所以当时，，时，，所以不等式即也就是或，解得或，故不等式的解集为.

【考点】1.函数的奇偶性；2.函数的单调性.

8. 已知的单调增区间为 . 【答案】 【解析】对数函数为外函数求单调区间一定注意先求定义域，即，让后再利用同增异减的原则，因为外函数增只需找内函数的增即可. 【考点】复合函数单调性.

9.

幂函数，其中，且在上是减函数，又，则=（

）

A．0

B．1

C．2

D．3

【答案】B

【解析】由题意知，解得，由知函数为偶函数，又因，所以，故选B．

【考点】1．幂函数的解析式样 2．幂函数的单调性与奇偶性．

10. 下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的为

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】A: ，所以不是奇函数，故A不正确。

B：是偶函数且在定义域上没有单调性，不B不正确。

C：是奇函数但在定义域上没有单调性，故C不正确。

D：函数定义域为，且，所以为奇函数。，由图像观察可知函数在定义域上是增函数。

【考点】函数的奇偶性及单调性。

11. 函数的图象可能是

【答案】B

【解析】函数定义域为，且，所以函数为偶函数，图像关于轴对称。由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增。故B正确。

【考点】函数的奇偶性、单调性。

12. 设，则a，b，c的大小关系是 ( ) A．a>c>b B．a>b>c C．c>a>b D．b>c>a

【答案】A

【解析】∵函数是减函数，∴；又函数在上是增函数，故.从而选A

【考点】函数的单调性.

13. 如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是_______．

【答案】.

【解析】由于函数最高次项系数含有参数，故必须先讨论其为零即的情形，然后再讨论它的正负性. 时，在上单调递增，符合题意；时，在上单调递增，首先满足，其次，即，综上所述，的取值范围是.本题容易忘记讨论的情形.

【考点】二次函数的单调性.

14. 判断下列函数的奇偶性

（1） （2）

【答案】（1）为奇函数 ；（2）为奇函数。

【解析】（1）函数的定义域为，

∴=，满足= =－

∴为奇函数 6分

（2）的定义域为R，且满足==－

∴为奇函数 12分

【考点】本题主要考查函数的奇偶性，对数函数的性质。

点评：中档题，判断函数的奇偶性，一要看定义域关于原点对称，二要看与的关系。

15. 已知函数，且对任意的实数都有成立.

（1）求实数的值；

（2）利用函数单调性的定义证明函数在区间上是增函数.

【答案】（1）（2）严格按照单调性定义证明即可

【解析】（1）由得，

，

整理得：， 4分

由于对任意的都成立，所以. 6分

（２） 根据（1）可知， 8分

下面证明函数在区间上是增函数.设

12分

因为

所以

故函数在区间上是增函数. 14分

【考点】本小题主要考查函数的对称性的应用和单调性的证明.

点评：由可以得到函数图象关于x=1对称，所以x=1是函数的对称轴，利用这条性质也可以解出a的值；另外，证明函数的单调性时要严格按照单调性的定义进行证明.

16. 下列函数为偶函数，且在上单调递增的函数是 ． ① ② ③ ④

【答案】③

【解析】对于函数①在上单调递减，对于函数②在上单调递减的奇函数，对于函数④在上无定义，故函数为偶函数，且在上单调递增的函数为③

【考点】本题考查了函数的性质

点评：掌握常见函数的图象和性质是解决此类问题的常见方法，属基础题

17. 函数在区间单调递增，则实数的取值范围为

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】函数的图象是开口向上的抛物线，以为对称轴，在上单调递增，因为在区间单调递增，所以

【考点】本小题主要考查二次函数的单调性.

点评：二次函数的单调性是经常考查的内容，二次函数的图象是抛物线，以为对称轴，要结合图象数形结合解决问题.

18. 已知是（－上的减函数，那么的取值范围是________

【答案】

【解析】要使函数是（－上的减函数，需要满足：，解得的取值范围是.

【考点】本小题主要考查分段函数的单调性.

点评：解决本小题时，不要漏掉，因为分段函数不论分成几段，仍然是一个函数.

19. （本题满分14分）

已知函数

（1）

（2）

【答案】（1），；（2）8

【解析】（1）由原题条件，可得到

.................3分

.........................6分

（2）

........................9分

函数在定义域上位增函数，即有3a-24<9,

.................................12分

解得a的取值范围为8

【考点】有关抽象函数的问题；函数的单调性。 点评：本题主要考查抽象函数的赋值及单调性的灵活应用，要解决抽象函数的有关问题需要牢牢把握所给已知条件及关系式，对式子中的字母准确灵活的赋值，变形构造。

20. 函数的最大值为（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【考点】本小题主要考查函数的值域的求解.

点评：其实本小题的实质还是考查二次函数的最值.

21. （本题满分15分）已知在定义域上是奇函数，且在上是减函数，图像如图所示.

（1）化简：；

（2）画出函数在上的图像；

（3）证明:在上是减函数.

【答案】（1）

；

（2）图像

（3）函数在区间上是减函数.

【解析】(I)由于f(x)为奇函数，所以f(-x)=-f(x),所以可知,因而所求式子的结果为0.

(II)根据奇函数的图像关于原点对称，直接可画出在对称区间[-b,-a]上的图像.

（III）利用函数的单调性的定义及函数的奇偶性进行证明.

第一步：取值，第二步：作差变形，第三步根据差值符号得到结论.

（1）

……

（2）图像……

（3）任取，且 ……

.

又函数在上是减函数，所以 . ……

因为是奇函数，所以，即，

故函数在区间上是减函数. …….

【考点】函数单调性定义，函数的奇偶性，函数的图像.

点评：函数的奇偶性一要看定义域是否关于原点对称，二要看f(-x)与f(x)是相等还是互为相反数.奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称.利用函数的单调性定义证明分三个步骤：