高一数学函数的单调性与最值试题

高一数学函数的单调性与最值试题

1. 下列四个函数中，在上是增函数的是（ ）

A． B． C． D．

【答案】C.

【解析】对于选项A，在上为单调递减，不符合题意；对于选项B，在上为单调递增，而在上不是增函数，不符合题意；对于选项C，在上为单调递增，所以在上是增函数，符合题意；对于选项D，在上为单调递减，不符合题意.故应选C.

【考点】函数的单调性.

2. 已知是定义域为R的偶函数，当x≥0时，那么，不等式的解集是 ． 【答案】 【解析】 由函数特点绘出函数的图象，可求得函数与的交点坐标为,要使，则有，故有解集. 【考点】函数性质，数形结合.

3.

已知函数f(x)满足f(x)＝f(π－x)，且当时，f(x)＝x＋sinx，则( )

A．f(1)

C．f(3)

【答案】D

【解析】由已知得函数关于对称，当时，是单调递增函数，当时函数是单调递减函数，比较1,2,3距离对称轴的远近得出,故选D.

【考点】1.函数的对称性；2.函数的单调性.

4. 下列函数中，在R上单调递增的是（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】A、的单调增区间是[0，+∞）；故A不正确；

B、的定义域是（0，+∞），故不正确； C、的定义域是R，并且是增函数，故正确；

D、在R上单调递减，故不正确,故选C．

【考点】函数单调性的判断与证明．

5. 设偶函数的定义域为R，当时是增函数，则的大小关系是..（ ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】要比较函数值的大小，一般要把自变量的值变换到函数的同一个单调区间上.本题中是偶函数，，，在上是增函数，故，选D.

【考点】函数的奇偶性，单调性.

6. 对于定义在上的函数，有如下四个命题：

① 若，则函数是奇函数；②若则函数不是偶函数；

③ 若则函数是上的增函数；④若则函数不是上的减函数．其中正确的命题有______________.（写出你认为正确的所有命题的序号）.

【答案】②④

【解析】①例如满足，但函数不是奇函数；故①错误

②若则函数不是偶函数；正确

③例如，，但函数在R上不是增函数；故③错误

④若，则函数不是R上的减函数，正确

所以填②④

【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．

7. 下列函数中既是奇函数，又是在上为增函数的是

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】对于A，函数，在区间上是减函数，在是增函数，故A不正确；

对于B，函数的定义域是，不是奇函数，故B不正确；

对于C，由函数在R上是增函数，知在R上是减函数，故C不正确；

对于D，可变形为，是关于x的一次函数，根据奇函数的定义和函数单调性的定义知是奇函数，在R上是增函数，故D正确.

【考点】函数的单调性；函数的奇偶性

8. 下列函数中，满足“对任意，（0，），当的是 ( )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】对任意，（0，），当 则是上的减函数.

A中是上的减函数,

B中是上的减函数,是上的增函数

C中是R上的增函数 D中是上的增函数

故选A

【考点】函数的单调性

9. 函数的单调递减区间是 （ ）

A． B．(-,-1),(3,+) C．(1,3) D．(1,+)

【答案】C

【解析】因为，又，对称轴为，单调递减区间(1,3).

【考点】二次函数单调性、无理函数定义域.

10. 函数f(x)＝|log3x|在区间[a，b]上的值域为[0,1]，则b－a的最小值为( )

A．2 B． C． D．1

【答案】B

【解析】根据题意，由于函数f(x)＝|log3x|在区间[a，b]上的值域为[0,1]，结合对数函数的图象的对称变换可知，x=3.x=时函数值为1，那么可知b－a的最小值为1-=，故可知答案为B.

【考点】函数的单调性

点评：主要是考查了函数最值的求解，属于基础题。

11. 已知函数．

（Ⅰ）作出函数的图像，并根据图像写出函数的单调区间；以及在各单调区间上的增减性.

（Ⅱ）求函数当时的最大值与最小值．

【答案】(Ⅰ)单调区间，，，，在区间，上单调递减，在区间，上单调递增。(Ⅱ)最小值最大值

【解析】(Ⅰ)当时，增区间为，减区间为，当时，增区间为，减区间为

（Ⅱ）结合图像可知最小值，最大值

【考点】函数单调性及最值

点评：带绝对值的函数首先分情况去掉绝对值符号转化为分段函数，第二问求二次函数最值要注意结合函数图像考虑

12. 若， 则的值为 （ ）

A．8 B． C．2 D．

【答案】B

【解析】由可知

【考点】分段函数求值

点评：在分段函数求值中要根据自变量的范围带入相应的函数解析式计算，求解此类题目的关键是由自变量x的取值看准应代入的是哪个解析式

13. 若定义在R上的偶函数对任意，有，则

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】函数为偶函数，所以，由对任意，有，则在上是减函数

【考点】函数性质偶函数单调性

点评：若为偶函数，则，若为奇函数，则，若为减函数，则，若为增函数，则，

14. （本题满分12分）

已知函数．

（1）判断该函数在区间（2，＋∞）上的单调性，并给出证明；

（2）求该函数在区间［3,6］上的最大值和最小值．

【答案】（1）在区间（2，＋∞）是减函数，证明：x1，x2是区间上的任意两个实数，且x10，所以函数在区间（2，＋∞）是减函数（2）最大值3，最小值

【解析】（1）函数在区间（2，＋∞）是减函数 …………2分

证明：设x1，x2是区间上的任意两个实数，且x1

f(x1)－f(x2)= －＝ …………4分

由2< x1 0，( x1－2) ( x2－2)>0

于是f (x1)－f (x2)>0，f (x1)>f (x2)

函数在区间（2，＋∞）是减函数． …………8分

（2）由可知在区间［3,6］的两个端点上分别取得最大值和最小值，即当x=3时取得最大值3，当x=6时取得最小值 ． …………12分

【考点】定义法判定函数的单调性，利用单调性求最值

点评：定义法判定单调性的步骤：1，所给区间取，2，计算，3，判定差值的正负号，4，得到函数单调性

15. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】根据题意，函数在区间上单调递减，则将对数函数在x轴下方的关于x轴对称上去，那么可知函数在（0，1）上递减，因此可知，因此可知参数a的范围是，故答案为。

【考点】本试题考查了对数函数的单调性。

点评：解决该试题的关键是对于对数函数的 对称变换的图像的理解，同时利用给定的区间是递减，说明是函数减区间的子区间，可知结论，属于中档题。

16. 函数在实数集上是增函数，则

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由一次函数的单调性取决于x的系数符号知，2k+1>0,∴

【考点】本题考查了函数的单调性

点评：掌握常见基本函数的单调性是解决此类问题的关键

17. （本小题满分12分）

一片森林原来面积为，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.

（Ⅰ）求每年砍伐面积的百分比；

（Ⅱ）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？

（Ⅲ）今后最多还能砍伐多少年？

【答案】(1)(2) 已砍伐了5年(3) 今后最多还能砍伐15年

【解析】解：（Ⅰ）设每年降低的百分比为，则有：

，即，…………………………………4分

（Ⅱ）设经过年剩余面积为原来的，则

， 即，，解得

故到今年为止，已砍伐了5年。 ………………………………8分

（Ⅲ）设从今年开始，以后砍了年，则年后剩余面积为

令≥，即≥，

≥，≤，解得≤

故今后最多还能砍伐15年。 ………………………12分

【考点】本试题考查了等比数列在实际生活中的运用。

点评：解决该试题的关键是能结合已知条件，分析题意，将实际问题转化为等比数列的问题。同时利用数列的知识来表示通项公式，和和式，进而求解得到不等式的解。考查了分析问题和解决问题能力，属于中档题。

18. 已知函数，正实数满足且，若在区间 上的最大值为2，则的值分别为

A．，2 B．， C．，2 D．，4 【答案】A

【解析】画出函数图像，因为正实数满足且，且在区间 上的最大值为2，所以=2，由解得，即的值分别为，2。故选A。

【考点】本题主要考查对数函数的图象和性质。

点评：基础题，数形结合，画出函数图像，分析建立m,n的方程。

19. 函数在上是减函数，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】时，，要是减函数，需而且.所以的取值范围为. 【考点】本小题主要考查由分段函数的单调性求参数的取值范围，考查学生分析问题解决问题的能力. 点评：要使此分段函数在上是减函数，需使函数在每一段上都是减函数，更要注意这是容易遗漏的地方. 20.

设函数，则的值为（

）

A．

B．

C．中较小的数

D．中较大的数

【答案】D 【解析】因为 因此可知所求解的值为a,b中较大的数选D

21. （本题满分12分）

已知函数

⑴求证：在上是增函数；

⑵求在上的最大值及最小值。

【答案】证明：⑴见解析；

⑵当时，，当时， 。

【解析】本试题主要是考查了函数单调性的证明以及函数的最值的求解。

（1）利用定义法，设出变量，作差，变形，定号，下结论。

（2）根据第一问的结论，那么可知在上递增，当时，

当时，

证明：⑴任取，则＝

即 在上是增函数

解⑵由⑴可知，在上递增，当时，

当时，