函数的单调性与最值知识点总结及练习题-高考数学

高三数学函数的单调性与最值试题答案及解析

1. 若函数，则下列结论正确的是（ ）

A．，在上是增函数

B．，在上是减函数

C．，是偶函数

D．，是奇函数

【答案】C

【解析】因为 ，且函数定义域为

令 ，则

显然，当 时，；当时，

所以当时， 在上是减函数，在上是增函数，所以选项A,B均不正确；

因为当时，是偶函数，所以选项C正确．

要使函数为奇函数，必有恒成立，即恒成立，这与函数的定义域相矛盾，所以选项D不正确．

【考点】1、导数在研究函数性质中的应用；2、函数的奇偶性．

2. 对任意实数，记，若，其中奇函数在时有极小值，是正比例函数，与图象如图，则下列关于的说法中正确的是（ ）

A．是奇函数

B．有极大值和极小值

C．的最小值为，最大值为2

D．在上是增函数

【答案】B

【解析】因为，是奇函数，其图象关于原点对称，所以与图象如图1所示；

图1

根据，可知，的图象如图2所示，显然，的图象不关于原点对称，不是奇函数；无最小值、无最大值；其在区间 “先增后减”，故选B.

图2

【考点】新定义函数，函数的奇偶性，函数的图象，函数的单调性与极（最）值.

3. [2014·日照模拟]已知函数f(x)在定义域(0，＋∞)上是单调函数，若对于任意x∈(0，＋∞)，都有＝2，则的值是( )

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】B

【解析】因为f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调函数，且＝2对任意x∈(0，＋∞)都成立，所以f(x)－＝c＞0(c为常数)，即f(x)＝c＋，且f(c)＝2，故2＝c＋，解得c＝1，故f(x)＝1＋，所以＝1＋5＝6.

4. 设是定义在R上的偶函数，且当时，。若对任意的x，不等式恒成立，则实数a的最大值是（ ）。

A． B． C． D．2

【答案】C

【解析】是定义在上的偶函数，

不等式恒成立等价为恒成立，

当时，．

不等式等价为恒成立， 即在上恒成立，平方得

高一数学函数的单调性与最值试题答案及解析

1. 函数的递增区间是___________________ . 【答案】[1,+∞) 【解析】试题分析:,由一元二次函数的单调性可知，开口向上，递增区间在对称轴右侧，递增区间为[1,+∞). 【考点】一元二次函数的单调性. 2. 设是奇函数，且在内是减函数，又，则的解集是 【答案】 【解析】∵是奇函数，且在内是减函数，∴在内是减函数，∵＝＝，∴＝，则当或时，，当或时，，则不等式等价为

①或

②．由①得，解得；由②得，解得，所以的解集为或或．

【考点】1、函数的单调性；2、函数的奇偶性；3．抽象函数；4．函数图象的应用．

3. 已知函数，若对于任意，当时，总有，则区间有可能是（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】函数有意义，则解得，又因为二次函数在单调递减，在单调递增，若对于任意，当时，总有，则，在上单调递增.而单调递增，故复合函数在单调递增，故选B.

【考点】本题考查复合函数的单调性.

4. 函数在上是增函数，则实数的范围是（ ）

A．≥ B．≥ C．≤ D．≤

【答案】B

【解析】二次函数的图象抛物线开口向下,对称轴为 ,所以函数在 上单调递增；要使函数在上是增函数，必须有 ，解得 .故选B

【考点】1、函数的单调性的概念；2、二次函数的图象和性质

5. 在区间上不是增函数的是（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由初等函数的图像可知C的图像在上是单调递减函数.

【考点】本题考查初等函数，通过初等函数的图像判断其单调性.

6. （本小题满分12分）已知幂函数的图象经过点．

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）判断函数在区间上的单调性，并用单调性的定义证明．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）在区间上是减函数.

【解析】（Ⅰ）属待定系数法求函数解析式，即设出函数方程，代入点计算待定系数

（Ⅱ）利用单调性的定义证明单调性，三步：取数并规定大小，作差比较两函数大小，判断点调性

数学函数的单调性与最值试题答案及解析

1. 已知实数，函数.

（1）当时，求的最小值;

（2）当时,判断的单调性,并说明理由；

（3）求实数的范围，使得对于区间上的任意三个实数，都存在以为边长的三角形.

【答案】（1）2（2）时， 递增（3）

【解析】易知的定义域为，且为偶函数.

（1）时, 2分

时最小值为2. 4分

（2）时,

时， 递增； 时，递减； 6分

为偶函数.所以只对时，说明递增.

设，所以，得

所以时， 递增； 10分

（3），，

从而原问题等价于求实数的范围，使得在区间上，

恒有. 11分

①当时，在上单调递增，

由得，

从而； 12分

②当时，在上单调递减，在上单调递增，

，

由得，从而； 13分

③当时，在上单调递减，在上单调递增，

，

由得，从而； 14分

④当时，在上单调递减， 由得，从而； 15分

综上，. 16分

【考点】本题考查函数的性质、函数的图象和函数的最值等知识 ，意在考查学生的运用函数解题的意识和数形结合、分类讨论的能力.

2. 下列函数中，在内单调递增，并且是偶函数的是（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由二次函数的图象和余弦函数的图象知，和在无单调性，故A，B错；在单调递增，但无奇偶性，故D错；由的图象知，C正确．

【命题意图】本题考查函数的单调性和奇偶性等基础知识，意在考查运用数形结合思想的能力．

3. 已知，函数的零点分别为，函数的零点分别为，则的最小值为（ ）

A． B．2 C． D．1

【答案】D

【解析】由题知，，，，.

， 又，

，从而，故选D.

【考点】本题考查函数的零点、指数运算、函数的最值等知识 ，意在考查综合运用所学知识解决问题的能力.

4. 已知定义在实数集上的偶函数满足，且当时，，则关于的方程在上实根的个数是（ ）

【高频考点解读】

1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．

2.会运用函数的图象理解和争辩函数的性质．

3.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．

4.会运用函数的图象理解和争辩函数的奇偶性．

【热点题型】

题型一 函数单调性的推断

例1、(1)下列函数f(x)中，满足“∀x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0”的是( )

A．f(x)＝2x B．f(x)＝|x－1|

C．f(x)＝1x－x

D．f(x)＝ln(x＋1)

(2)函数y＝x＋2x＋1在(－1，＋∞)上是________(填“增函数”或“减函数”)．

解析 (1)由(x1－x2)[ f(x1)－f(x2)]<0可知，f(x)在(0，＋∞)是减函数，f(x)＝1x－x求导，f ′(x)＝1x2－1<0，∴f(x)＝1x－x在(0，＋∞)是减函数．

(2)任取x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1

则y1－y2＝x1＋2x1＋1－x2＋2x2＋1＝x2－x1x1＋1x2＋1.

∵x1>－1，x2>－1，∴x1＋1>0，x2＋1>0，

又x10，

∴x2－x1x1＋1x2＋1>0，即y1－y2>0.

∴y1>y2，

所以函数y＝x＋2x＋1在(－1，＋∞)上是减函数．

答案 (1)C (2)减函数

【提分秘籍】

(1)图象法

作图象→看升降→归纳单调性区间 (2)转化法

(3)导数法

求导→推断f ′x正、负→单调性区间

(4)定义法

取值→作差→变形→定号→单调性区间

求函数的单调区间，肯定要留意定义域优先原则．

【举一反三】

下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )

A．y＝x＋1 B．y＝(x－1)2

C．y＝2－x D．y＝log0.5(x＋1)

题型二 求函数的单调区间

例2、求下列函数的单调区间：

(1)y＝－x2＋2|x|＋1；