高考数学专题复习指数对数幂函数

高考数学专题 指数函数、对数函数、幂函数【要点】考点1：指数函数 定义：函数)1,0(≠>=a a a y x且称指数函数。

考点2：对数函数 定义：函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且称对数函数。

1>a 10<<a1>a 10<<a图 象性 质定义域： R 值域：（0，+∞）①过点（0，1），图象都在第一、二象限； ②指数函数都以x 轴为渐近线； ③对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数xxay a y -==与的图象关于y 轴对称。

(,0)x ∈-∞时y ∈（0，1）； ),0(+∞∈x 时 y ∈（1，+∞）。

(,0)x ∈-∞时 y ∈（1，+∞）； ),0(+∞∈x 时y ∈（0，1）。

在R 上是增函数。

在R 上是减函数。

考点3：幂函数 1．幂函数的基本形式是y x α=，其中x 是自变量，α是常数． 要求掌握y x =，2y x =，3y x =，1/2y x =，1y x -=这五个常用幂函数的图象。

2．观察出幂函数的共性，总结如下：（1）当0α>时，图象过定点 ；在(0,)+∞上是 函数； （2）当0α<时，图象过定点 ；在(0,)+∞上是 函数； 在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近。

【课堂精练】 1．=3log 9log 28（ ）A ．32 B ． 1 C ．23D ．2 2．设⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈3,21,1,1α，则使幂函数αx y =的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为（ ） A ．1,3 B ．-1,1 C ．-1,3 D ．-1,1,3 3．函数2x y =-的图象（ ）A ．与2x y =的图象关于y 轴对称B ．与2x y =的图象关于坐标原点对称C ．与2x y -=的图象关于y 轴对称D ．与2x y -=的图象关于坐标原点对称 4．(2010年重庆卷)函数164x y =-的值域是( )（A ）[0,)+∞ （B ）[0,4] （C ）[0,4) （D ）(0,4) 5．已知函数xxx f +-=11lg)(，若b a f =)(，则)(a f -=（ ） A ．b B ．b - C ．b 1D ．1b-6．已知10<<a ，1-<b ，则函数b a y x+=的图像不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7．设02log 2log <<b a ，则（ ）（A ）10<<<b a （B ）10<<<a b （C ）a b <<1 （D ）b a <<1 8．函数lg y x =( )A ．是偶函数，在区间(,0)-∞ 上单调递增B ．是偶函数，在区间(,0)-∞上单调递减C ．是奇函数，在区间(0,)+∞ 上单调递增D ．是奇函数，在区间(0,)+∞上单调递减 8．（06天津卷）设2log 3P =，3log 2Q =，23log (log 2)R =，则（ ） A ．R Q P << B ．P R Q <<C ．Q R P <<D ．R P Q <<9．(2010年全国卷)设a=3log 2，b=In2，c=125-，则( )A ．a<b<cB ．b<c<aC ．c<a<bD ．c<b<a10．（2009宁夏海南卷）用min{a ，b ，c}表示a ，b ，c 三个数中的最小值，设{})0(10,2,2m in )(≥-+=x x x x f x ，则)(x f 的最大值为（ ）（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）711．（2008年山东卷文）已知函数()log (21)(01)xa f xb a a =+->≠，的图象如图所示，则a b ，满足的关系是（ ）A ．101a b -<<<B ．101b a -<<<C ．101ba -<<<- D ．1101ab --<<<12．(2010年全国卷)已知函数x x f lg )(=，若b a <<0且)()(b f a f =，则b a 2+的取值范围是( )(A))+∞(B))+∞ (C)(3,)+∞ (D)[3,)+∞13．幂函数()y f x =的图象经过点1(2,)8--，则满足()f x ＝27的x 的值是 。

【母题原题1】【2019年高考天津卷文数】已知0.223log 7,log 8,0.3a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．c b a << B ．a b c << C ．b c a << D ．c a b <<【答案】A【解析】∵0.200.30.31c =<=，22log 7log 42a =>=，331log 8log 92b <=<=， ∴c b a <<．故选A ．【名师点睛】利用指数函数、对数函数的单调性时，要根据底数与1的大小进行判断． 【母题原题2】【2018年高考天津卷文数】已知13313711log ,,log 245a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c b a >> D ．c a b >>【答案】D【解析】由题意可知：3337log 3log log 92<<，即12a <<， ∵1131110444⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴01b <<，∵133317log log 5log 52=>，∴c a >， 综上可得：c a b >>．故选D ．【名师点睛】由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a ，b ，c 的大小关系．对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或高中数学专题05 指数函数、对数函数、幂函数指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确． 【母题原题3】【2017年高考天津卷文数】已知奇函数()f x 在R上是增函数．若221(log ),(log 4.1),5a fb f =-=0.8(2)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<【答案】C【解析】由题意可得221(log )(log 5)5a f f =-=， 且22log 5log 4.12>>，0.8122<<，所以0.822log 5log 4.12>>，结合函数的单调性可得0.822(log 5)(log 4.1)(2)f f f >>，即a b c >>，即c b a <<．故选C ．【名师点睛】比较大小是高考的常见题型，指数式、对数式的大小比较要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性、奇偶性等进行大小比较，要特别关注灵活利用函数的奇偶性和单调性，数形结合进行大小比较或解不等式．【命题意图】主要考查数形结合思想、分类讨论思想的运用和考生的逻辑推理能力、数学运算能力． 【命题规律】在高考中的考查热点有： （1）比较幂、指、对数式的大小；（2）幂、指、对数函数的图象与性质的应用；（3）以幂、指、对数函数为载体，与其他函数、方程、不等式等知识的综合应用．以选择题和填空题为主，难度中等． 【答题模板】1．比较指数幂大小的常用方法一是单调性法，不同底的指数函数化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽可能化同底；二是取中间值法，不同底、不同指数的指数函数比较大小时，先与中间值（特别是0，1）比较大小，进而得出大小关系；三是图解法，根据指数函数的特征，在同一平面直角坐标系中作出它们相应的函数图象，借助图象比较大小．2．比较对数值大小的类型及相应方法3．解决对数型复合函数的单调性问题的步骤（1）求出函数的定义域；（2）判断对数函数的底数与1的大小关系，当底数是含字母的代数式（包含单独一个字母）时，要考查其单调性，就必须对底数进行分类讨论；（3）判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性．研究对数型复合函数的单调性，一定要坚持“定义域优先”原则，否则所得范围易出错．【方法总结】1．指数函数图象的特点（1）任意两个指数函数的图象都是相交的，过定点（0，1），底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称．（2）当a>1时，指数函数的图象呈上升趋势；当0<a<1时，指数函数的图象呈下降趋势．（3）指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如图所示，其中0<c<d<1<a<b，在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．2．对数函数图象的特点（1）当a>1时，对数函数的图象呈上升趋势；当0<a<1时，对数函数的图象呈下降趋势．（2）对数函数y=log a x（a>0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a，1），（，-1），函数图象只在第一、四象限．（3）在直线x=1的右侧：当a>1时，底数越大，图象越靠近x轴；当0<a<1时，底数越小，图象越靠近x轴，即“底大图低”．3．简单的幂函数的图象与性质1．【天津市河西区2018–2019学年高三第二学期总复习质量调查（二）数学】设()0.50.433434,,log log 443a b c ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则A ．b a c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．a c b <<【答案】B【解析】因为0.50330144a ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，0.444133b ⎛⎫⎛⎫=>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()33344log log 4log 10c =<=，所以c a b <<，故选B ．【名师点睛】本题考查指数函数以及对数函数单调性，考查基本分析判断能力，属基础题． 2．【天津市河西区2019届高三一模数学】设 1.53131log e,e ,log 4a b c ===，则 A ．b a c << B ．c a b << C ．c b a << D ．a c b <<【答案】D【解析】因为 1.531331log e (0,1),e2,log log 4(1,2)4a b c =∈=>==∈，所以b c a >>，故选D ． 【名师点睛】比较大小：一般根据函数的单调性，确定各数取值范围，再根据范围判断大小．3．【天津市部分区2019届高三联考一模数学】已知函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，若()()()0.322,2,log 5a f b f c f ===，则,,a b c 的大小关系为A ．c b a >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．b c a >>【答案】B 【解析】00.310.3222,122<<∴<<，22log 5log 42>=，0.3222log 5∴<<，()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上递减，()()()0.3222log 5f f f ∴>>，即a b c >>，故选B ．【名师点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题．解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（本题是看两个区间()()1,2,2,+∞；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用．4．【天津市红桥区2019届高三一模数学】已知3log 4a =，1314b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，131log 5c =，则a ，b ，c 的大小关系为A ．c a b >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．a b c >>【答案】A【解析】10311144b ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13331log log 5log 415c a ==>=>，∴c a b >>，故选A ． 【名师点睛】本题考查实数的大小比较，考查单调性的应用，涉及指数与对数函数的单调性，属于基础题．5．【天津市部分区2019届高三联考一模数学】已知函数()y f x =的定义域为()π,π-，且函数()2y f x =+的图象关于直线2x =-对称，当()0,πx ∈时，()ππln sin 2f x x f 'x ⎛⎫=-⎪⎝⎭（其中()'f x 是()f x 的导函数），若()πlog 3a f =，13log 9b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，13πc f ⎛⎫=⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是 A ．b a c >> B ．a b c >> C ．c b a >> D ．b c a >>【答案】D 【解析】()ππln sin 2f x x f 'x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()ππcos 2f 'x f 'x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，πππ2cos 2222f 'f '⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()π2cos f 'x x x =-，当ππ2x ≤<时，()2cos 0,0x f 'x ≤>； 当π02x <<时，()π2,2cos 2,0x f 'x x><∴>， 即()f x 在()0,π上递增，()2y f x =+的图象关于2x =-对称，()2y f x ∴=+向右平移2个单位得到()y f x =的图象关于y 轴对称，即()y f x =为偶函数，()()13log 922b f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，πππ0log 1log 3log π1=<<=，110321πππ2=<<<，即13π0log 3π2π<<<<，()()13π2πlog 3f f f ⎛⎫∴>> ⎪⎝⎭，即b c a >>．故选D ．【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性、对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题．在比较()1f x ，()2f x ，，()n f x 的大小时，首先应该根据函数()f x 的奇偶性与周期性将()1f x ，()2f x ，，()n f x 通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．6．【2019年塘沽一中、育华中学高三毕业班第三次模拟考试数学】设奇函数()f x 在R 上是增函数，若21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2(log 4.1)b f =，0.8(2)c f =，则,,a b c 大小关系为A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】D【解析】由()f x 为奇函数，且在R 上是增函数，可得()()f x f x -=-，可得2211log log 55a f f ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()22log 5log 5f f =--=⎡⎤⎣⎦， 且2(log 4.1)b f =，0.8(2)c f =，由0.822log 5log 4.122>>>，可得()()()0.822log 5log 4.12f f f >>，故a b c >>，故选D ．【名师点睛】本题主要考查函数的性质与概念，对数与对数函数及指数与指数函数，注意知识的灵活运用．7．【天津市红桥区2019届高三二模数学】已知1213a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1ln3b =，13ec =，则 A ．a b c >> B ．c a b >> C ．b a c >> D ．b c a >>【答案】B【解析】1201()13103a ⎛⎫<= ⎪<⎭=⎝，1lnln103b =<=，0131e ec >==，故选B ． 【名师点睛】本题综合考查了对数式、指数式的比较大小．解决本题的关键是掌握指数函数、对数函数的单调性以及一些特殊点的特征．本题采用了中间值的比较方法．8．【天津南开中学2019届第五次月考数学】若1311321log 2log 32a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，，，则a b c ，，的大小关系是A ．b a c <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．c b a <<【答案】D【解析】由题意，根据指数函数的性质，可得131()(0,1)2a =∈，根据对数函数的图象与性质，可得11113322log 2log 31log 3log 21b c =>=-=<=-，，所以c b a <<，故选D ．【名师点睛】本题主要考查了指数函数与对数的图象与性质及其应用，其中解答中熟记指数函数与对数函数的图象与性质，合理得到实数,,a b c 的取值范围是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．9．【天津市十二重点中学2019届高三下学期毕业班联考（二）数学】已知点(,9)m 在幂函数()(2)nf x m x=-的图象上，设131(),(ln )3a f m b f -==，c f =则,,a b c 的大小关系为 A ．a c b << B ．b c a << C ．c a b << D ．b a c <<【答案】A【解析】由()()2nf x m x =-为幂函数得21,3m m -==，因为点()3,9在幂函数()f x 上，所以392n n ==，，即()2f x x =，因为113313,ln (ln 3)3a f m f b f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又1331ln 32-<<<，所以a c b <<，选A ．【名师点睛】本题考查幂函数定义以及奇偶性与单调性，考查基本分析判断与求解能力，属基础题． 10．【天津市和平区2019届高三下学期第一次质量调查数学】已知22log log a b >，则下列不等式一定成立的是 A ．11a b> B ．ln()0a b -> C ．21a b -<D ．11()()32a b <【答案】D【解析】由22log log a b >可得0a b >>，故0a b ->，逐一考查所给的选项，得： A ．11a b<；B ．0a b ->，()ln a b -的符号不能确定； C ．21a b->；D ．111322a a b⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选D ．【名师点睛】本题主要考查对数函数的性质，不等式的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．11．【天津市部分区2019年高三质量调查试题（二）数学】若21log 5a =-，2log 4.5b =，0.62c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．c a b >>【答案】A【解析】因为22221log log 5log 4.5log 425a b =-=>=>=，0.622c =<， 所以a b c >>，选A ．【名师点睛】本题考查利用对数函数与指数函数单调性比较大小，考查基本分析求解能力，属基础题． 12．【天津九校联考2019届高三数学】设0.5log 0.8a =， 1.1log 0.8b =，0.81.1c =，则A ．b a c <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．a c b << 【答案】A【解析】因为0.50.50.5log 00log 1lo 01.g .58a =<=<=， 1.1 1.1log 0.8log 10b =<=，0.801.11.11c >==，所以b a c <<，故选A ．【名师点睛】本题考查了指数和对数函数性质的运用，在指数和对数比较大小过程中一般先比较与0，1的大小关系．13．【天津市十二重点中学2019届高三下学期毕业班联考（一）数学】已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且函数()f x 在(),0-∞上是减函数，若22cos ,3a f ⎛⎫=π ⎪⎝⎭()0.812log 4.1,2b f c f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为A ．a c b <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】A 【解析】()()f x f x -=，()f x ∴是偶函数，()()0.80.822f f ∴-=，22cos 13π=-，1122log 4.1log 42<=-，00.810.8222,122<<<<，0.8221-<-<-，0.8122log 4.122cos 03∴<-<π<，又因为()f x 在(),0-∞上递减，()0.8122log 4.122cos 3f f f ⎛⎫⎛⎫∴>->π ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()0.8122log 4.122cos 3ff f ⎛⎫⎛⎫∴>>π ⎪⎪⎝⎭⎝⎭b c a >>，即a c b <<，故选A ．【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，以及指数函数与对数函数的性质，属于综合题．在比较()1f x ，()2f x ，，()n f x 的大小时，首先应该根据函数()f x 的奇偶性与周期性将()1f x ，()2f x ，，()n f x 通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．14．【天津市七校（静海一中、宝坻一中、杨村一中等）2019届高三上学期期末考试数学】已知11a b >>，，若log 2log 163a b +=，则2log ()ab 的最小值为_______． 【答案】3【解析】令log 2,log 16a b x y ==，则412,2,3yxa b x y ==+=，所以22214log ()log log a ab b x y=+=+，所以14114141()1453333y x x y x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当1,2x y ==时取等号，故2log ()ab 的最小值为3．【名师点睛】本题考查对数值的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意均值不等式和对数性质的合理运用．。

指对幂函数及函数与方程知识点1指数幂与对数1、根式与分数指数幂（1）根式的定义：一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中1n >，且*n ∈N 。

n 叫做根指数，a 叫做被开方数．（2）根式的性质（1n >，且n *∈N ）：n a =；,,,.na n a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数（3）分数指数幂的表示正分数指数幂：规定：mn a=()0,,,1a m n n *>∈>N 负分数指数幂：规定：1m nm naa-==()0,,,1a m n n *>∈>N 性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义2、指数幂的运算性质（1）无理数指数幂：一般地，无理数指数幂a α（0a >，α为无理数）是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．（2）指数幂的运算性质①(0,,)+=>∈r s r s a a a a r s R ．②()=sra rs a (0,,)a r s >∈R ．③()=r ab r r a b (0,0,)a b r >>∈R ．3、对数与对数运算（1）对数的概念：如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底数N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，log a N 叫做对数式。

（2）对数的性质对数式与指数式的互化：a x ＝N ⇔x ＝log a N (a >0，且a ≠1)；①log a 1＝0，②log a a ＝1，③a log a N ＝N ，④log a a N ＝N (a >0，且a ≠1).指数式与对数式的关系（3）对数的的运算法则与换底公式：如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0运算法则：①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ②log a MN＝log a M －log a N③log a M n ＝n log a M (n ∈R )换底公式：①log a b ＝log c blog c a(a >0，且a ≠1，c >0，且c ≠1，b >0)，选用换底公式时，一般选用e 或10作为底数。

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考点7 指数函数、对数函数、幂函数一、选择题1. （2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ6）与（2013·大纲版全国卷高考理科·Ｔ5）相同函数)0)(11(log )(2>+=x xx f 的反函数()1=f x -（ ）A.()1021x x >- B.()1021xx ≠- C.()21x x R -∈ D.()210xx -> 【解题指南】首先令)11(log 2xy +=求出x ，然后将y x ,互换，利用反函数的定义域为原函数的值域求解.【解析】选A.由)11(log 2xy +=，0>x ，得函数的值域为0>y ，又x y 112+=，解得121-=y x ，所以()1=f x -121-x )0(>x 2.(2013·北京高考理科·T5)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y=e x 关于y 轴对称,则f(x)= ( )A.e x+1B.e x-1C.e -x+1D.e -x-1 【解题指南】把上述变换过程逆过来,求出y=e x 关于y 轴对称的函数,再向左平移1个单位长度得到f(x).【解析】选D.与y=e x 关于y 轴对称的函数应该是y=e -x ,于是f(x)可由y=e -x 向左平移1个单位长度得到,所以f(x)=e -(x+1)=e -x-1. 3.（2013·广东高考文科·Ｔ2）函数lg(1)()1x f x x +=-的定义域是（ ）A ．(1,)-+∞B ．[1,)-+∞C ．(1,1)(1,)-+∞D ．[1,1)(1,)-+∞ 【解题指南】函数的定义域有两方面的要求：分母不为零，真数大于零，据此列不等式即可获解.【解析】选C. 解不等式10,10x x +>-≠可得1,1x x >-≠是定义域满足的条件.4.（2013·山东高考文科·Ｔ5）函数()f x =（ ）A.(-3，0]B.(-3，1]C.(,3)(3,0]-∞--D.(,3)(3,1]-∞--【解题指南】定义域的求法:偶次根式为非负数，分母不为0.【解析】选A. ⎩⎨⎧>+≥-03021x x ，解得03≤<-x .5.（2013·陕西高考文科·Ｔ3）设a, b, c 均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是 ( ) A ．·log log log a c c b a b =B. b a b c c a log log log =⋅C. c b bc a a a log log )(log ⋅=D.()log g og o l l a a a b b c c +=+【解题指南】a, b,c ≠1，掌握对数两个公式:abb y x xyc c a a a a log log log ,log log log =+= 并灵活转换即可得解.【解析】选B.对选项A: bab a b bc c a c c a log log log log log log =⇒=⋅,显然与第二个公式不符，所以为假。