2018中考数学专题04 图形折叠问题(选填题重难点题型)(解析版)

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千里之行 始于足下 1

中考指导：近年来，图形折叠问题特别是矩形折叠问题一直是各地中考试题中一道靓丽的风景线.将矩形按不同要求进行折叠可以产生丰富多彩的几何问题.其中，创设开放的折叠情境，使矩形的顶点在折叠后的图形中的落点位置不固定，形成两解类中考压轴填空题的命题形式正悄然兴起. 折叠矩形纸片是轴对称变换，属于全等图形的范畴.可以先从边、角、形三方面思考折叠前后有哪些相等的线段、角和全等三角形，然后联想已知条件，看看又能产生哪些新的结论.这当中，尤其要注意将矩形折叠中产生的角平分线与矩形的两组对边分别平行结合在一起思考，往往会发现等腰三角形.面对折叠后的“静止”图形，你会发现解决这类折叠问题的关键有二点:一是在折叠操作(或“凭空想象”)中，弄清楚各种情况，画出相应状态下的静态图形;二是利用轴对称知识将分散的几何条件(边长)集中到某一个直角三角形中，再设未知数，运用勾股定理构建方程求解.

典型例题解析:

【例1】（2017年内蒙古赤峰二中中考数学二模）如图，在矩形ABCD中，E、F分别是AD、CD的中点，沿着BE将△ABE折叠，点A刚好落在BF上，若AB=2，则AD=________．

【答案】22 实用文档 用心整理

千里之行 始于足下 2

∴Rt△EA′F≌Rt△EDF（HL），

∴A′F=DF=1，

∴BF=BA′+A′F=AB+DF=2+1=3，

在Rt△BCF中，

BC=22223122BFCF．

∴AD=BC=22 ．

点睛：本题考查了翻折变换的知识，解答本题的关键是连接EF，证明Rt△EA′F≌Rt△EDF，得出BF的长，再利用勾股定理解答即可．

【例2】（河南省周口市西华县2018届九年级第一次模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3，点D是BC上一动点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，点C落在点E处，连接DE交AB于点F，当△DEB是直角三角形时，DF的长为_____． 实用文档 用心整理

千里之行 始于足下 3

【答案】或．

∴DE=；

如图2所示：∠EDB=90时，

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千里之行 始于足下 4 由翻折的性质可知：AC=AC′，∠C=∠C′=90°，

∵∠C=∠C′=∠CDC′=90°，

∴四边形ACDC′为矩形，

【点睛】本题考查了翻折变换、勾股定理、相似三角形的判定与性质等，结合题意，正确地进行分类讨论并画出相应的图形是解题的关键.*网

【例3】（2018年河南省驻马店市实验中学第一次中考模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝83，AD＝10，点E是CD的中点，将这张纸片依次折叠两次：第一次折叠纸片使点A与点E重合，如图②，折痕为MN，连接ME，NE；第二次折叠纸片使点N与点E重合，如图③，点B落到B′处，折痕为HG，连接HE，则下列结论：①ME∥HG；②△MEH是等边三角形；③∠EHG＝∠AMN；④tan∠EHG＝536.其中正确的个数是( )

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千里之行 始于足下 5 A. 1个 B. 2个 C. 3个

D. 4个

【答案】C

点睛：本题属于四边形综合题，主要考查翻折变换、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识的综合应用，解题的关键是作辅助线构造相似三角形，依据相似三角形对应边成比例，求得EN的长度．解决折叠问题时，常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．

强化训练

1．（2018年浙江省宁波市鄞州区中考数学模拟）在矩形纸片ABCD中，AD=8，AB=6，E是边BC上的点，将纸片沿实用文档 用心整理

千里之行 始于足下 6 AE折叠，使点B落在点F处，连接FC，当△EFC为直角三角形时，BE的长为（ ）

A. 3 B. 5 C. 3或5

D. 3或6

【答案】D

点睛：本题考查了翻折变换、矩形的性质、角平分线的性质、正方形的判定与性质以及勾股定理，分∠EFC=90°和∠FEC=90°两种情况寻找BE的长度是解题的关键．

2．如图是一张矩形纸片ABCD，AD＝10cm，若将纸片沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的对应点为点F，若BE＝6cm，则CD＝( )

A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. 10cm 实用文档 用心整理

千里之行 始于足下 7 【答案】A

【解析】由题意可知∠DFE=∠CDF=∠C=90°，DC=DF，

∴四边形ECDF是正方形，

∴DC=EC=BC-BE，

∵四边形ABCD是矩形，

∴BC=AD=10，

∴DC=10-6=4（cm）.

故选A.

3．如图,矩形ABCD沿着AE折叠,使D点落在BC边上的F点处,如果60BAFo,则DAE

等于 ( )

A. 15° B. 30° C. 45°

D. 60°

【答案】A

4．（陕西省宝鸡市凤翔县2017-2018学年九年级期末）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为（ ） 实用文档 用心整理

千里之行 始于足下 8

A. 12 B. 10 C. 8 D. 6

【答案】B

【解析】四边形ABCD是矩形,

,,,,

,

点睛：本题考查了图形的翻折问题、矩形的性质、三角形的面积及勾股定理;利用勾股定理求得AF的大小,从而求得叠部分△AFC的面积是正确解答本题的关键. *网 实用文档

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千里之行 始于足下 9 5．（辽宁省大石桥市水源镇九年一贯制学校2018届九年级下学期月考）如图，矩形纸片ABCD中，G、F分别为AD、BC的中点，将纸片折叠，使D点落在GF上，得到△HAE，再过H点折叠纸片，使B点落在直线AB上，折痕为PQ．连接AF、EF，已知HE=HF，下列结论：①△MEH为等边三角形；②AE⊥EF；③△PHE∽△HAE；④ 235ADAB，其中正确的结论是（ ）

A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④

【答案】D

【解析】试题解析：∵矩形纸片ABCD中，G、F分别为AD、BC的中点，

∴GF⊥AD，

由折叠可得，AH=AD=2AG，∠AHE=∠D=90°，

∴∠AHG=30°，∠EHM=90°-30°=60°，

∴∠HAG=60°=∠AED=∠MEH，

∴△EHM中，∠EMH=60°=∠EHM=∠MEH，

∴△MEH为等边三角形，故①正确；

∵∠EHM=60°，HE=HF，

∴∠HEF=30°，

∴∠FEM=60°+30°=90°，即AE⊥EF，故②正确；

∵∠PEH=∠MHE=60°=∠HEA，∠EPH=∠EHA=90°， 实用文档 用心整理

千里之行 始于足下 10 ∴△PHE∽△HAE，故③正确；

6．（安徽合肥市2018届初三名校大联考一）如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=2,把矩形ABCD沿过点A的直线AE折叠，点D落在矩形ABCD内部的点D处,则CD的最小值是

A. 2 B. 5 C. 252 D. 252

【答案】C

【解析】根据题意，点D′在以点A为圆心，AD为半径且在矩形ABCD内部的圆弧上，连接AC交圆弧于点D′，由勾股定理得AC=2242=25，所以CD′的最小值为25-2，故选C.

7．（广东省广州三中2017年中考数学一模）如图，把一矩形纸片OABC放入平面直角坐标系xoy中，使OA，OC分别落在x轴、y轴上，现将纸片OABC沿OB折叠，折叠后点A落在点A'的位置，若OA=1，OB=2，则点A'的坐标为（ ） 实用文档

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千里之行 始于足下 11

A. 1322， B. 1322， C. 3455， D. （ 31，

【答案】B

【解析】

点睛：（1）折叠问题充分利用对应的边相等，角相等. 实用文档

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千里之行 始于足下 12 （2）通过三角函数值能推出角的度数；

（3）已知线段的长度，表示坐标的时候注意符号问题.

8．（2018年广东省深圳市中考数学突破模拟二）如图，将矩形ABCD沿AE折叠，点D的对应点落在BC上点F处，过点F作FG∥CD，连接EF，DG，下列结论中正确的有（ ）

①∠ADG=∠AFG；②四边形DEFG是菱形；③DG2=12AE•EG；④若AB=4，AD=5，则CE=1．

A. ①②③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②

【答案】B

（3）如图所示，连接DF交AE于O，

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千里之行 始于足下 13 ∵四边形DEFG为菱形，

∴GE⊥DF，OG=OE=12GE，

∵∠DOE=∠ADE=90°，∠OED=∠DEA，

∴△DOE∽△ADE，

∴OEDEDEAE，即DE2=EO•AE，

∵EO=12GE，DE=DG，

∴DG2=12AE•EG，故③正确；

9．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F．若AB=4，BC=

6，则FD的长为（ ） 实用文档

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千里之行 始于足下 14

A. 85 B. 4 C. 94 D. 23

【答案】C

【解析】试题解析：∵E是AD的中点，

∴AE=DE，

∵△ABE沿BE折叠后得到△GBE,

∴AE=EG，AB=BG，

∴ED=EG，

∵在矩形ABCD中，

∴90ADo，

∴90EGFo，