专题19 动点问题与几何图形综合题型
题型一、动点问题与几何图形最值问题
主要有：线段最值；点到直线距离的最值；周长最值；面积最值等等.
题型二、动点问题与几何问题相结合
主要有：相似三角形的存在性；角平分线存在性；角度间的关系问题；面积关系问题等等.
【例1】（2018·河南第一次大联考）如图，将矩形MNPQ
放置在矩形ABCD
中，使点M
，N
分别在
AB
，AD
边上滑动，若MN
=6，PN
=4，在滑动过程中，点A
与点P
的距离AP
的最大值为().
A
．4B
．
2C
．7D
．813
【答案】D
.
【分析】如图所示，取MN
中点E
，当点A
、E
、P
三点共线时，AP
最大，利用勾股定理及直角三角形
中斜边上的中线等于斜边的一半分别求出PE
与AE
的长，由AE
+EP
求出AP
的最大值即可．
【解析】解：如图所示，取MN
中点E
，当点A
、E
、P
三点共线时，AP
最大，
在Rt
△PNE
中，PN
=4，NE
=MN
=3，1
2
根据勾股定理得：PE
=5，
在Rt
△AMN中，AE
为斜边MN
上的中线，
∴AE
=MN
=3，1
2
则AP
的最大值为：AE
+PE
=3+5=8，
故选D
．
【点评】此题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质，以及矩形的性质，熟练掌握勾股定理
是解本题的关键．【变式1-1】（2019·济源一模）如图，△ABC
是等边三角形，AB
=3，E
在 AC
上且 AE
=AC
，D
是直2
3
线 BC
上一动点，线段 ED
绕点 E
逆时针旋转 90°，得到线段 EF
，当点 D
运动时， 则线段 AF 的最小
值是 .
【答案】.32
2
【解析】解：先确定F
点的轨迹，
过E
作的直线BC
的平行线，分别过D
、F
作该平行线的垂线，垂足为G
，H
，
如图所示，AB
CDEFGH
由折叠性质，知△DEG
≌△EFH
，
∴EH
=DG
，
∵△ABC
是等边三角形，AE
=2，CE
=1，
∴DG
=CE
·sin
60°=，3
2
即EH
为定值，
∴点F
落在直线FH
上，且FH
⊥BC
，
根据垂线段最短，当AF
⊥FH
时，AF
的值最小，
专题05 动点折叠类问题中函数及其综合题型
一、基础知识点综述
动点型问题是指题设中的图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线、直线、抛物线、双曲线、弧线等上运动的一类非常具有开放性的题目. 而从其中延伸出的折叠问题，更能体现其解题核心——动中求静，灵活运用相关数学知识进行解答，有时需要借助或构造一些数学模型来解答.
实行新课标以来，各省（市）的中考数学试卷都会有此类题目，这些题目往往出现在选择、填空题的压轴部分，题型繁多，题意新颖，具有创新力. 其主要考查的是学生的分析问题及解决问题的能力.
要求学生具备：运动观点；方程思想；数形结合思想；分类讨论思想；转化思想等等.
（1）函数中的折叠问题
主要考查对函数性质的把握及综合运用知识的能力.
（2）综合题型
此类题目困难重重，以2019年安徽省中考第10题而言，充分体现了数学思想的表达，解题中用到的有最短路径、三角函数、所求变量的变化规律等等，充分体现了新课标对考查学生数学素养的要求.
通过研究历年中考真题并结合2019年各省（市）的中考真题，特总结出此专题. 期望能给各位老师及同学以学习教学一些启发，一些指引，培养出学生的解题素养.
二、精品例题解析
题型一：折叠综合题型
例1.（2019·安徽）如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC=12，点P在正方形的边上，则满足PE+PF=9的点P的个数是（ ）
A.0 B.4 C.6 D.8
题型二：折叠与相似
例2.（2019·济宁） 如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，E是CD边上一点，连接AE，将矩形ABCD沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于点G． （1）求线段CE的长；
（2）如图2，M，N分别是线段AG，DG上的动点（与端点不重合），且∠DMN＝∠DAM，设AM＝x，DN＝y．
翻转折叠问题
【专题点拨】
图形折叠是中考中常考题型，这种题型主要考察学生对图形的认知，特别是考察轴对称的性质、全等三角形、勾股定理、相似三角形等知识综合运用。
【解题策略】
有关图形折叠的相关计算，首先要熟知折叠是一种轴对称变换，即位于折痕两侧的图形关于折痕成轴对称；然后根据图形折叠的性质，即折叠前、后图形的对应边和对应角相等，对应点的连线被折痕垂直平分并结合勾股定理或相似三角形的性质进行相关计算.
【典例解析】
类型一：三角形折叠问题
例题1：（2016·浙江省湖州市·3分）如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=7．如图2，在底边BC上取一点D，连结AD，使得∠DAC=∠ACD．如图3，将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连结BE，得到四边形ABED．则BE的长是（ ）
A．4 B． C．3D．2
【考点】翻折变换（折叠问题）；四点共圆；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质．
【分析】只要证明△ABD∽△MBE，得=，只要求出BM、BD即可解决问题．
【解答】解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠DAC=∠ACD，
∴∠DAC=∠ABC，
∵∠C=∠C，
∴△CAD∽△CBA，
∴=， ∴=，
∴CD=，BD=BC﹣CD=，
∵∠DAM=∠DAC=∠DBA，∠ADM=∠ADB，
∴△ADM∽△BDA，
∴=，即=，
∴DM=，MB=BD﹣DM=，
∵∠ABM=∠C=∠MED，
∴A、B、E、D四点共圆，
∴∠ADB=∠BEM，∠EBM=∠EAD=∠ABD，
∴△ABD∽△MBE，
∴=，
∴BE===．
故选B．
变式训练1：
（2016·吉林·3分）在三角形纸片ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点D（不与B，C重合）是BC上任意一点，将此三角形纸片按下列方式折叠，若EF的长度为a，则△DEF的周长为 （用含a的式子表示）．
类型二： 平行四边形折叠问题
2020年九年级数学中考专题：图形折叠的问题
专题 图形的折叠问题
⼀．选择题1. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，点E 为BC 的中点，连接AE ，将△ABE 沿AE 折叠，使得点B 落在点B ′处，则点B ′到线段BC 的距离为( )．
A.
2572 B.1336 C. 4 D.43
57 2. 如图，将矩形ABCD 沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，连接DE ，BE ，若△ABE 为等边三⾓形，且S △CDE ＝3，则CD 的长为（ ）．
A.√3
B. 2√3
C. 3
D. 2
3. 如图，将矩形纸⽚ABCD 沿AE 折叠，使点B 落在对⾓线AC 上的点F 处，再沿EG 折叠，使点C 落在矩形内的点H 处，且E、F 、H 在同⼀直线上，若AB ＝6，BC ＝8，则CG 的长是( )．
A. 3
B.2
C. 2.5
D.4.5
4. 如图，在菱形ABCD 中，BD ＝211，AC ＝10，点P 在对⾓线AC 上，过点P 作EF ⊥AC 交AD 于点E ，交AB 于点F ，将△AEF 折叠，使点A 落在点A ′处，A ′C ＝A ′D ，则AP 的长为( )．
A.
25 B.21 C. 3 D.4
3 ⼆．填空题5. 如图，四边形ABCD 是矩形，点E 是BC 上⼀点，连接AE ，将△DEC 沿DE 所在的直线对折，使得点C 落在AE 上的点F处，连接BF ，若EF ＝13AE ，AB ＝1，则AF ＝________．
6. 如图，边长为4的菱形纸⽚ABCD 中，∠A ＝60°，折叠菱形纸⽚ABCD ，使点C 落在DP (P 为AB 的中点)所在直线上的C ′处，得到经过点D 的折痕DE ，则CE ＝________．
7. 如图，将?ABCD 沿EF 对折，使点A 落在点C 处，若∠A ＝60°，AD ＝4，AB ＝8，则AE 的长为________．
8. 将矩形ABCD 按如图所⽰的⽅式折叠，BE ，EG ，FG 为折痕，且顶点A ，C ，D 都落在点O 处，且点B ，O ，G 在同⼀条直线上，同时点E ，F ，O 在另⼀条直线上，若AB ＝2，则AD 的长为 .
