人教版九年级下册数学课件：27.2.2相似三角形的性质(共15张PPT)

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27.2.2 相似三角形的性质

1．理解相似三角形的性质；(重点)

2．会利用相似三角形的性质解决简单的问题．(难点)

一、情境导入

两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等之外，还可以得到许多有用的结论．例如，在图中，△ABC和△A′B′C′是两个相似三角形，相似比为k，其中AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的高，那么AD、A′D′之间有什么关系？

二、合作探究

探究点一： 相似三角形的性质

【类型一】

利用相似比求三角形的周长和面积

如图所示，平行四边形ABCD中，E是BC边上一点，且BE＝EC，BD、AE相交于F点．

(1)求△BEF与△AFD的周长之比；

(2)若S△BEF＝6cm2，求S△AFD.

解析：利用相似三角形的对应边的比可以得到周长和面积之比，然后再进一步求解．

解：(1)∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，∴△BEF∽△AFD.又∵BE＝12BC，∴BEAD＝BFDF＝EFAF＝12，∴△BEF与△AFD的周长之比为BE＋BF＋EFAD＋DF＋AF＝12；

(2)由(1)可知△BEF∽△DAF，且相似比为12，∴S△BEFS△AFD＝(12)2，∴S△AFD＝4S△BEF＝4×6＝24cm2.

方法总结：理解相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解决问题的关键．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第4、6题

【类型二】 利用相似三角形的周长或面积比求相似比

若△ABC∽△A′B′C′，其面积比为1∶2，则△ABC与△A′B′C′的相似比为( )

A．1∶2 B.2∶2 XX学校--用心用情 服务教育！

用心用情 服务教育 2 C．1∶4 D.2∶1

解析：∵△ABC∽△A′B′C′，其面积比为1∶2，∴△ABC与△A′B′C′的相似比为1∶2＝2∶2.故选B.

27.2.2 相似三角形的性质

1． 若△ABC∽△A`B`C`，则相似比k等于（ ）

A．A`B`:AB B．∠A: ∠A` C．S△ABC：S△A`B`C` D．△ABC周长：△A`B`C`周长

2． 把一个三角形改成和它相似的三角形，如果面积扩大到原来的100倍，那么边长扩大到原来的（ ）

A．10000倍 B．10倍 C．100倍 D．1000倍

3． 两个相似三角形，其周长之比为3：2，则其面积比为（ ）

A．2:3 B．3：2 C．9：4 D．不能确定

4． 把一个五边形改成和它相似的五边形，如果面积扩大到原来的49倍，那么对应的对角线扩大到原来的（ ）

A．49倍 B．7倍 C．50倍 D．8倍

5． 两个相似多边形的一组对应边分别为3cm和4.5cm，如果它们的面积和为78cm2，那么较大多边形的面积为（ ）

A．46.8 cm2 B．42 cm2 C．52 cm2 D．54 cm2

6． 两个多边形的面积之比为5，周长之比为m，则m5为（ ）

A．1 B．55 C．5 D．5

7． 在一张1：10000的地图上，一块多边形地区的面积为6cm2，则这块多边形地区的实际面积为（ ）

A．6m2 B．60000m2 C．600m2 D．6000m2

8． 已知△ABC∽△A`B`C`，且BC：B`C`＝3：2，△ABC的周长为24，则△A`B`C`的周长为_______.

9． 两个相似三角形面积之比为2：7，较大三角形一边上的高为2，则较小三角形的对应边上的高为_______.

10． 两个相似多边形最长的的边分为10cm和25cm，它们的周长之差为60cm，则这两个多边形的周长分别为_______.

11． 四边形ABCD∽四边形A`B`C`D`，他们的面积之比为36：25，他们的相似比_____,若四边形A`B`C`D`的周长为15cm，则四边形ABCD的周长为________.

知识

1．相似三角形的判定

（1）三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形叫做__________，相似用符号“∽”表示，△ABC与

△DEF相似记作△ABC∽△DEF．

（2）平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段__________．

（3）相似三角形的判定定理：

①判定定理1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．

②判定定理2：__________成比例的两个三角形相似．

③判定定理3：__________成比例且夹角相等的两个三角形相似．

④判定定理4：__________分别相等的两个三角形相似．

（4）直角三角形相似的判定方法：如果两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，那么这两个直角三角形相似．

2．相似三角形的性质

（1）相似三角形具备相似多边形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例．

（2）相似三角形对应线段（对应高、对应中线、对应角平分线）的比等于__________．

（3）相似三角形周长的比等于__________．

（4）相似三角形的面积的比等于__________．

3．相似三角形应用举例

相似三角形的实际应用主要包括：

（）利用相似三角形的性质测量不能直接到达的河的宽度；

（2）利用相似三角形的性质计算不能直接测量的物体的高度．

知识参考答案：

1．（1）相似三角形；（2）成比例；（3）②三边；③两边；④两角

2．（2）相似比；（3）相似比；（4）相似比的平方．

重点 重点 探索两个三角形相似的条件，会选择恰当的方法识别两个三角形相似

难点 探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；综合运用相似三角形的判定和性质解决生活中的实际问题

易错 相似三角形的对应元素出错；用相似三角形相似比求面积关系时出错

一、相似三角形的判定

判定三角形相似的几条思路：

（1）条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定（1）；

相似三角形的判定

《27.2.1相似三角形的判定》的课标要求是数学课程标准第三学段的二、图形与几何，（一）图形的变化4.图形的相似，（3）掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。（4）了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似。 *了解相似三角形判定定理的证明。本课与“（4）了解相似三角形的判定定理、*了解相似三角形判定定理的证明”有关，有两项内容。

第一项的维度目标是结果目标，行为动词了解，学习水平是了解，学习内容是相似三角形的判定定理；

第二项的维度目标是结果目标，行为动词是了解，学习水平是了解，学习内容是相似三角形判定定理的证明，这条目标是*号内容，因此定理的证明过程不需要书写。

教材分析：

本课教材是初中数学九年级下册，第27章第2节第二课时的内容，是初中数学的重要内容之一。一方面，这是在学习了相似三角形的定义和预备定理的基础上，对相似三角形判定方法的进一步深入和拓展；另一方面，又为学习相似三角形的性质和位似等知识奠定了基础，是进一步研究线段的比的工具。因此，本节课起着承前启后的作用。

学情分析：

优势：学生已经掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例和推论。在知识储备和分析能力上具备了较强的基础，具有较强合作探究能力。

劣势：学生抽象思维能力还有不足，归纳结论时语言表达能力还需提高。

教学重、难点：

课标要求“了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似。”。教材分析中指出：“在学习了相似三角形的定义和预备定理的基础上，对相似三角形判定方法的进一步深入和拓展。”所以，通过对课标和教材的分析，确定本课的教学重点是：了解相似三角形的判定定理。

课标要求“*了解相似三角形判定定理的证明。”但从学情分析中可以看出学生抽象思维能力还有不足，语言表达能力还需提高。所以，通过对课标和学情的分析确定本节课的教学难点为：判定定理的猜想和了解证明方法。