26.5.1直线与圆的位置关系

解析几何中的直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系是解析几何中的重要概念之一。

在空间几何中，直线和圆可以有多种相互位置的情况，包括相离、相切和相交。

本文将对直线与圆的不同位置关系进行解析和讨论。

一、直线和圆相离的情况当一条直线与一个圆没有任何交点时，我们称直线和圆相离。

此时，直线与圆之间的最短距离等于两者之间的半径差。

直线作为一个无限延伸的曲线，在与圆相离的情况下，可能与圆的外部或内部都不存在交点。

二、直线和圆相切的情况直线和圆相切意味着它们只有一个公共点，即相切点。

在这种情况下，直线与圆的切点即为它们的交点，且直线垂直于通过切点的半径。

直线与圆相切的情况分为两种，一种是直线与圆外切，另一种是直线与圆内切。

1. 直线与圆外切当一条直线与一个圆外切时，直线与圆相交于切点。

此时，直线与圆的半径垂直并且共线，且直线和圆之间的最短距离等于圆的半径。

直线从切点开始离开圆，没有任何交点。

外切情况下，直线与圆的位置关系可以通过切线与圆的关系来理解。

2. 直线与圆内切直线与圆内切意味着直线与圆只有一个公共点，并且直线在此切点处与圆的内部相切。

如外切情况一样，直线与圆内切时，直线与通过切点的半径垂直并且共线。

直线从切点开始进入圆内，没有任何其他交点。

三、直线和圆相交的情况直线和圆可能有两个交点或者无穷多个交点。

直线与圆相交的情况分为两种，一种是直线穿过圆内部，另一种是直线截取了圆的一部分。

1. 直线穿过圆内部当一条直线穿过一个圆的内部时，直线与圆的交点有两个。

此时直线与圆的位置关系是直线既与圆的内部相交，又与圆的外部相交。

直线穿过圆的内部时，直线与圆的交点处于圆的两侧。

2. 直线截取圆的一部分当一条直线截取了一个圆的一部分时，直线与圆的交点有两个。

此时直线与圆的位置关系是直线既与圆的内部相交，又与圆的外部相交。

直线截取圆的一部分时，直线的两个交点分别位于圆上，相交点将圆分成了两部分。

总结：直线和圆的位置关系在解析几何中是一个重要的概念。

直线与圆的位置关系（复习讲义）01 重点突破知识点一直线与圆的位置关系设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表：直线与相离直线与相切直线与相交性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．知识点三三角形内切圆概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．内心和外心的区别：外接圆圆心：三角形三边垂直平分线的交点。

作法：做三角形三边垂直平分线，取交点即为外接圆圆心。

性质：外接圆圆心到三角形三个顶点距离相等。

内切圆圆心：三角形三个内角平分线的交点。

作法：做三角形三角的角平分线，取交点即为内接圆圆心。

性质：内接圆圆心到三角形三边距离相离。

直角三角形三边和内切圆半径之间的关系：【考查题型】考查题型一判断直线与圆的位置关系【典例1】已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定变式1-1．在平面直角坐标系中，以点（3，2）为圆心、2为半径的圆，一定（）A．与x轴相切，与y轴相切B．与x轴相切，与y轴相离C．与x轴相离，与y轴相切D．与x轴相离，与y轴相离变式1-2．如图，△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，D、E分别是AC、AB的中点，则以DE为直径的圆与BC的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．无法确定变式1-3在△ABC中，AB=13cm，AC=12cm，BC=5cm，以点B为圆心，5cm为半径作⊙B，则边AC所在的直线和⊙B的位置关系（）A．相切B．相交C．相离D．都有可能考查题型二已知直线和圆的位置关系求半径的取值【典例2】直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为3，则r的取值范围是( )rA．r<3 B．r=3 C．r>3 D．3变式2-1．若点B(a ，0)在以A(1，0)为圆心，2为半径的圆内，则a 的取值范围为( )A ．a<－1B ．a ＞3C ．－1 <a < 3D ．a ≥－1且0a ≠考查题型三 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离【典例3】已知⊙O 的半径是5，直线l 是⊙O 的切线，那么点O 到直线l 的距离是( )A ．2.5B ．3C ．5D ．10变式3-1．圆O 的半径为5，若直线与该圆相离，则圆心O 到该直线的距离可能是（ ）A ．2.5BC ．5D ．6变式3-2．设⊙O 的直径为m,直线L 与⊙O 相离,点O 到直线L 的距离为d,则d 与m 的关系是( )A ．d=mB ．d>mC ．d>2mD ．d<2m 变式3-3．O 的圆心到直线a 的距离为3cm ，O 的半径为1cm ，将直线a 向垂直于a 的方向平移，使a 与O相切，则平移的距离是（ ） A ．1cmB ．2cmC ．4cmD ．2cm 或4cm 考查题型四 切线定理【典例4】如图，AB 是⊙O 的直径，BC 与⊙O 相切于点B ，AC 交⊙O 于点D ，若∠ACB=50°，则∠BOD 等于（ ）A ．40°B ．50°C ．60°D ．80°变式4-1．如图，已知AB 是O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PD 与O 相切于点D ，过点B 作PD 的垂线交PD 的延长线于点C ，若O 的半径为4，6BC =，则PA 的长为（ ）A ．4B ．C ．3D ．2.5变式4-2．如图，直线AB 与⊙O 相切于点A ，AC 、CD 是⊙O 的两条弦，且CD ∥AB ，若⊙O 的半径为5，CD=8，则弦AC 的长为（ ）A ．10B ．8C ．D ．变式4-3．如图，PA 、PB 是⊙O 切线，A 、B 为切点，点C 在⊙O 上,且∠ACB ＝55°，则∠APB 等于( )A ．55°B ．70°C ．110°D ．125°变式4-4．如图，BM 与O 相切于点B ，若140MBA ∠=，则ACB ∠的度数为（ ）A ．40B ．50C ．60D ．70考查题型五 证明某条直线是圆的切线【典例5】如图，⊙O 的直径为AB ，点C 在圆周上(异于点A ，B)，AD ⊥CD ．(1)若BC ＝3，AB ＝5，求AC 的长；(2)若AC 是∠DAB 的平分线，求证：直线CD 是⊙O 的切线．变式5-1．如图，AD 是⊙O 的弦，AB 经过圆心O 交⊙O 于点C ，∠A ＝∠B ＝30°，连接BD ．求证：BD 是⊙O 的切线．变式5-2．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB 是⊙O 的直径，∠CAD=∠ABC ．判断直线AD 与⊙O 的位置关系，并说明理由．考查题型六 应用切线长定理求解【典例6】如图，PA 、PB 为圆O 的切线，切点分别为A 、B ，PO 交AB 于点C ，PO 的延长线交圆O 于点D ，下列结论不一定成立的是( )A ．PA ＝PB B ．∠BPD ＝∠APDC ．AB ⊥PD D ．AB 平分PD变式6-1．如图，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，CD 切⊙O 于点E ，分别交PA 、PB 于点C 、D ，若PA ＝6，则△PCD 的周长为（ ）A ．8B ．6C ．12D ．10 变式6-2．如图，O 为ABC 的内切圆，10AC =，8AB =，9BC =，点D ，E 分别为BC ，AC 上的点，且DE 为O 的切线，则CDE 的周长为（ ）A ．9B ．7C ．11D ．8变式6-3．如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，若∠A=25°，，若使DC 切⊙O 于点C ，则∠D 等于( )A ．20°B ．30°C ．40°D ．50°考查题型七 应用切线长定理求证【典例7】如图，△ABC 中，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为D 、E 、F ．（1）已知∠C ＝90°．①若BD ＝6，AD ＝4，则⊙O 的半径r 为 ，△ABC 的面积为 ；②若BD ＝m ，AD ＝n ，请用含m 、n 的代数式表示△ABC 的面积；（2）若2AC BC BD AD ⋅=⋅，试判断△ABC 的形状，并说明理由。

直线和圆的位置关系一直线和圆的位置关系是几何学中的经典问题之一。

直线和圆的相交情况可以分为三种情况：相离、相切和相交。

在本文中，我们将探讨这些情况，并讨论在给定条件下如何确定直线和圆之间的位置关系。

相离的情况是指直线和圆不相交，也不相切。

换句话说，直线没有交叉或触及圆。

当直线与圆没有公共点时，它们被认为是相离的。

这种情况是最简单的情况，因为直线上的任意一点到圆的距离都大于圆的半径。

因此，如果给定一个直线和一个圆，并且它们的半径和位置都已知，我们可以通过计算直线上的任意一点到圆的距离，来确定它们是否相离。

接下来是相切的情况。

当直线与圆相切时，直线刚好触及圆的一个点。

在几何学中，相切的定义是两个图形仅有一个公共点。

对于直线和圆的情况而言，这个点就是直线与圆的切点。

在相切的情况下，直线的斜率与直线上的切点与圆心的连线的斜率相等。

因此，我们可以通过计算直线上两个点的斜率，并比较其与圆心的斜率是否相等，来确定它们是否相切。

最后是相交的情况。

当直线与圆相交时，它们有两个公共点。

如果给定一个直线和一个圆，并且它们的半径和位置都已知，我们可以通过解方程组来确定直线与圆的交点。

一种常见的方法是使用二次方程，通过将直线的方程和圆的方程联立，然后求解二次方程来计算交点的坐标。

如果二次方程有实数解，那么直线与圆相交；如果二次方程没有实数解，那么直线和圆不相交。

当直线与圆相交时，它们的交点具有很多有趣的性质。

例如，交点的坐标可以用来计算直线与圆的切线方程、直线与圆之间的夹角等。

另外，当直线与圆相交时，我们还可以根据交点和圆心的相对位置来判断交点的位置关系。

如果交点在圆心的左侧，那么直线与圆在交点处是外切的；如果交点在圆心的右侧，那么直线与圆在交点处是内切的。

总结起来，直线和圆的位置关系可以通过计算直线上的任意一点到圆的距离来判断它们是否相离；可以通过比较直线上两个点的斜率与圆心的斜率是否相等来判断它们是否相切；可以通过解方程组来计算直线和圆的交点，并根据交点和圆心的相对位置来判断交点的位置关系。

《直线与圆的位置关系》讲义在我们学习数学的过程中，直线与圆的位置关系是一个重要的知识点。

它不仅在数学理论中有着关键的地位，还在实际生活和其他学科领域有着广泛的应用。

接下来，就让我们一起来深入探讨直线与圆的位置关系。

一、直线与圆位置关系的基本概念直线与圆的位置关系可以分为三种情况：相离、相切和相交。

当直线与圆没有公共点时，我们称直线与圆相离。

想象一下，一条直线远远地在圆的外面，它们碰都碰不到，这就是相离的状态。

当直线与圆有且只有一个公共点时，直线与圆相切。

此时，直线就像是轻轻地贴在圆上，只有那一个接触点。

而当直线与圆有两个公共点时，直线与圆相交。

就好像直线穿过了圆，与圆有两个交点。

为了更准确地判断直线与圆的位置关系，我们通常会用到数学中的一些方法和公式。

二、判断直线与圆位置关系的方法1、几何法我们可以通过比较圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的大小关系来判断。

如果 d ＞ r，那么直线与圆相离；如果 d ＝ r，直线与圆相切；如果d ＜ r，直线与圆相交。

那怎么求圆心到直线的距离呢？假设直线的方程为 Ax ＋ By ＋ C＝ 0，圆的圆心坐标为（a, b)，半径为 r 。

根据点到直线的距离公式，圆心（a, b) 到直线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 的距离 d 为：＼d ＝＼frac{｜Aa ＋ Bb ＋ C|｝｛＼sqrt{A^2 ＋ B^2}｝＼2、代数法把直线方程与圆的方程联立，得到一个方程组。

通过求解这个方程组，如果方程组没有实数解，说明直线与圆相离；如果有一组实数解，直线与圆相切；如果有两组实数解，直线与圆相交。

例如，直线方程为 y ＝ mx ＋ n ，圆的方程为（x a)＾2 ＋（y b)＾2 ＝ r^2 。

将直线方程代入圆的方程，得到一个关于 x 的一元二次方程。

然后通过判别式Δ 来判断解的情况。

若Δ ＜ 0，方程无实数解，直线与圆相离；若Δ ＝ 0，方程有一个实数解，直线与圆相切；若Δ ＞ 0，方程有两个不同的实数解，直线与圆相交。

直线和圆的位置关系1、直线与圆的位置关系（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：直线l与⊙O相交＜====＞ d<r；直线l与⊙O相切＜====＞ d=r；直线l与⊙O相离＜====＞ d>r；2、切线的判定和性质（1）、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

（2）、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。

如右图中，OD 垂直于切线。

4、切线长定理（1）、切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。

（2）、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

（3）、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件）圆内接四边形对角互补。

(4)、三角形的内切圆：与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。

如图圆O是△A＇B＇C＇的内切圆。

三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。

基础训练1．填表：2．若直线a与⊙O交于A，B两点，O到直线a•的距离为6，•AB=•16，•则⊙O•的半径为_____．3．在△ABC中，已知∠ACB=90°，BC=AC=10，以C为圆心，分别以5，5，8为半径作图，那么直线AB与圆的位置关系分别是______，_______，_______．4．⊙O的半径是6，点O到直线a的距离为5，则直线a与⊙O的位置关系为（）A．相离 B．相切 C．相交 D．内含5．下列判断正确的是（）①直线上一点到圆心的距离大于半径，则直线与圆相离；②直线上一点到圆心的距离等于半径，则直线与圆相切；③直线上一点到圆心的距离小于半径，•则直线与圆相交．A．①②③ B．①② C．②③ D．③6．OA平分∠BOC，P是OA上任一点（O除外），若以P为圆心的⊙P与OC 相离，•那么⊙P与OB的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切7．如图所示，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=6，CB=8，以C为圆心，r 为半径作⊙C，当r为多少时，⊙C与AB相切？8．如图，⊙O的半径为3cm，弦AC=4cm，AB=4cm，若以O为圆心，•再作一个圆与AC相切，则这个圆的半径为多少？这个圆与AB的位置关系如何？◆提高训练9．如图所示，在直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为（m，0），半径为2，•如果⊙M与y轴所在直线相切，那么m=______，如果⊙M与y轴所在直线相交，那么m•的取值范围是_______．10．如图，△ABC中，AB=AC=5cm，BC=8cm，以A为圆心，3cm•长为半径的圆与直线BC的位置关系是_______．11．如图，正方形ABCD的边长为2，AC和BD相交于点O，过O作EF∥AB，交BC于E，交AD于F，则以点B为圆心，长为半径的圆与直线AC，EF，CD的位置关系分别是什么？12．已知⊙O的半径为5cm，点O到直线L的距离OP为7cm，如图所示．（1）怎样平移直线L，才能使L与⊙O相切？（2）要使直线L与⊙O相交，应把直线L向上平移多少cm？。

直线和圆的位置关系知识点归纳整理直线和圆的位置知识点直线和圆有三种位置关系1.交点:当一条直线和一个圆有两个公共点时，称为直线和圆的交点。

此时直线称为圆的割线，公共点称为交点。

2.相切:当直线与圆有唯一的公共点时，称为直线与圆相切，然后直线称为圆相切。

3.分离:当一条直线和一个圆没有共同点时，称为直线和圆分离。

直线与圆的三种位置关系的判定与性质（1）数量法：通过比较圆心O到直线距离d与圆半径的大小关系来判定。

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有：直线l与⊙O相交d<r；直线l与⊙O相切d=r；直线l与⊙O相离d>r；(2)共点法:通过确定一条直线和一个圆的共点数来确定。

直线l与⊙O相交d<r2个公共点；直线l与⊙O相切d=r有唯一公共点；直线l与⊙O相离d>r无公共点。

切线知识点切线的定义:在平面中，与圆只有一个公共交点的直线称为圆的切线。

切线的判定定理:通过半径外端并垂直于该半径的直线为圆的切线。

切线的性质定理:圆的切线垂直于通过切点的半径。

切线长度:圆的切线上的点与切点之间的线段通过圆外一点的长度，称为该点到圆的切线长度。

切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.如图，PA，PB是⊙O的两条切线，B切点分别为A，B，则PA=PB，∠OPA=∠OPB.判断直线与圆位置关系的方法1、代数法:联立线性方程和圆方程，解方程，方程无解，直线与圆分离，方程有一组解，直线与圆相切，方程有两组解，直线与圆相交。

2、几何法:求出圆心到直线的距离d，半径为r。

d>r，则直线与圆相离，d=r，则直线与圆相切，d<r，则直线与圆相交。

如何判断直线和圆的位置关系平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1、由Ax+By+C=0，可得y=(-C-Ax)/B，(其中B不等于0)，代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的方程如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。

《直线与圆的位置关系》讲义在我们的数学世界中，直线和圆是两个非常重要的几何图形。

它们之间的位置关系不仅是数学中的基础知识，也在实际生活和各种科学领域中有着广泛的应用。

接下来，让我们一起深入探讨直线与圆的位置关系。

一、直线与圆的位置关系的定义直线与圆的位置关系有三种情况：相离、相切和相交。

当直线与圆没有公共点时，我们称直线与圆相离。

想象一下，一个圆在地上安静地躺着，而一条直线远远地从旁边经过，两者之间没有任何接触，这就是相离的状态。

当直线与圆有且只有一个公共点时，直线与圆相切。

此时，直线被称为圆的切线，这个公共点叫做切点。

就好像直线轻轻触碰了一下圆，然后就离开了，只留下这一个“亲密接触”的瞬间。

当直线与圆有两个公共点时，直线与圆相交。

可以想象成直线像一把刀一样切入圆中，产生了两个交点。

二、判断直线与圆位置关系的方法1、几何法通过比较圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的大小关系来判断。

若 d ＞ r ，则直线与圆相离；若 d ＝ r ，则直线与圆相切；若 d ＜r ，则直线与圆相交。

那么如何求圆心到直线的距离呢？对于直线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 ，圆的方程为（x a)²＋（y b)²＝ r²，圆心为（a, b) ，则圆心到直线的距离 d ＝｜Aa ＋ Bb ＋ C| ／√（A²＋ B²) 。

2、代数法将直线方程与圆的方程联立，消去 y （或 x ），得到一个关于 x （或 y ）的一元二次方程。

通过判断这个一元二次方程的根的判别式Δ 的值来确定位置关系。

若Δ ＜ 0 ，则直线与圆相离；若Δ ＝ 0 ，则直线与圆相切；若Δ ＞ 0 ，则直线与圆相交。

三、直线与圆相切的性质1、切线的性质切线垂直于经过切点的半径。

这是一个非常重要且常用的性质。

如果我们知道某条直线是圆的切线，并且知道切点，那么连接圆心和切点的半径就与切线垂直。

2、切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。