2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.3.1圆的标准方程学案新人教B版必修2(含答案)

.高中数学必修2 新授课导学案2.3.1圆的标准方程（一）学习目标：1.知识与技能目标:（1）理解并掌握圆的标准方程,会根据不同条件求得圆的标准方程，并从圆的标准方程中熟练地求出圆心和半径；（2）运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题。

2.过程与方法目标：（1）通过对圆的标准方程的推导，渗透数形结合、待定系数法等数学思想，进一步提高学生的观察、比较、分析、概括等思维能力；（2）学会借助实例分析探究数学问题 3.情感、态度与价值观目标：（1）通过学生的主动参与，师生、生生的合作交流，提高学生的学习兴趣，激发其求知欲，培养探索精神； （2）树立事物之间相互联系、相互转化的辩证唯物主义的观点。

（二）学习重点和难点：1．重点：圆的标准方程的推导以及根据已知条件求圆的标准方程。

2．难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题。

(三)学习过程： 一、课前准备复习回顾： 1.已知点),(),,(2211y x B y x A ，两点间的距离AB =___________ 。

2.已知点,直线,点A 到直线l 的距离为3.圆的定义：平面内到一_____的距离等于_____的点的轨迹是圆，_____是圆心，___是半径。

二、新课导学探究1：在平面直角坐标系中，求圆心为点C 、半径为r 的圆的方程。

( 思考:如何建立平面直角坐标系? )MC r新知1：圆的标准方程： _______ ，圆心为C（，），半径为。

写出下列方程表示的圆的圆心坐标和半径.说明：y探究2：点与圆的位置关系试一试：写出圆心为C（0,0）半径为2的圆的方程，在平面直角坐标系中,画出此圆, 2并判断点与圆的位置关系。

1-2 -10 1 2 x新知2：判断点A(与圆C：()()222rbyax=-+-（r>0）的位置关系的方法：（1）点A在圆内 |CA| rA A A（2）点A在圆上 |CA| rC.（3）点A在圆外 |CA| r 三、新知应用例1：根据下列条件，求圆的标准方程：（1）圆心在点C(-2,1)，并过点A(2,-2)。

圆的标准方程学案圆的标准方程学案一、教学目标1、理解圆的标准方程的意义，掌握圆的标准方程的推导过程；2、会根据圆的标准方程求出圆心坐标和半径，掌握圆的标准方程的应用；3、通过对圆的标准方程的学习，初步了解解析几何的基本思想和方法，提高数学思维能力和解决实际问题的能力。

二、教学内容1、圆的标准方程的推导2、圆的标准方程的形式及其意义3、圆的标准方程的应用三、教学过程1、引入：通过实例展示圆的结构和特点，引出圆的标准方程的概念。

2、圆的标准方程的推导：通过几何法和代数法两种方法，推导出圆的标准方程。

3、圆的标准方程的形式及其意义：介绍圆的标准方程的形式，解释各项参数的意义，明确圆心坐标和半径的求解方法。

4、圆的标准方程的应用：通过实例演示，说明圆的标准方程在解决实际问题中的应用，如求圆与直线的交点、求圆的外接正方形边长等。

四、教学步骤1、教师引导学生通过实例理解圆的结构和特点，引出圆的标准方程的概念。

2、教师介绍圆的标准方程的推导过程，通过几何法和代数法两种方法，推导出圆的标准方程。

3、教师解释圆的标准方程的形式，说明各项参数的意义，明确圆心坐标和半径的求解方法。

4、教师通过实例演示，说明圆的标准方程在解决实际问题中的应用，如求圆与直线的交点、求圆的外接正方形边长等。

五、教学重点与难点1、教学重点：掌握圆的标准方程的推导过程，理解圆的标准方程的意义，掌握圆的标准方程的应用。

2、教学难点：理解圆的标准方程的意义，掌握圆的标准方程的应用。

六、教学方法与手段1、教学方法：讲解、演示、练习、互动交流。

2、教学手段：PPT、板书、实物展示。

七、教学评估1、课堂练习：通过练习题检验学生对圆的标准方程的理解和掌握情况。

2、课后作业：布置相关题目，加强学生对圆的标准方程的掌握和应用能力。

3、课堂讨论：引导学生对圆的标准方程的应用进行讨论，提高学生对该知识的理解和应用能力。

八、教学反思1、总结课堂效果：对本次课程的教学效果进行总结，分析学生的掌握情况。

2．3.1 圆的标准方程学习目标 1.掌握圆的定义及标准方程.2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定系数法求圆的标准方程．知识点一圆的标准方程思考1 确定圆的标准方程需要知道哪些条件？思考2 在平面直角坐标系中，如图所示，以(1,2)为圆心，以2为半径的圆能否用方程(x－1)2＋(y－2)2＝4来表示？梳理圆的标准方程(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2称为以点C(a，b)为圆心，r为半径的圆的方程，叫做圆的标准方程．(2)以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.知识点二点与圆的位置关系思考点A(1,1)，B(4,0)，C(2，2)同圆x2＋y2＝4的关系如图所示，则|OA|，|OB|，|OC|同圆的半径r＝2是什么关系？梳理点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法类型一 求圆的标准方程命题角度1 直接法求圆的标准方程例1 (1)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的标准方程为_______________．(2)与y 轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为______________________． 反思与感悟 (1)确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，要首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程．(2)确定圆心和半径时，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等． 跟踪训练1 以两点A (－3，－1)和B (5,5)为直径端点的圆的方程是( ) A ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10 B ．(x －1)2＋(y －2)2＝100 C ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝25D ．(x －1)2＋(y －2)2＝25命题角度2 待定系数法求圆的标准方程例2 求经过点P (1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x ＋3y ＋1＝0上的圆的方程．反思与感悟 待定系数法求圆的标准方程的一般步骤跟踪训练2 已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (0,5)，B (1，－2)，C (－3，－4)，求该三角形的外接圆的方程．类型二 点与圆的位置关系例3 (1)点P (m 2,5)与圆x 2＋y 2＝24的位置关系是( ) A ．点P 在圆内 B ．点P 在圆外 C ．点P 在圆上D ．不确定(2)已知点M (5a ＋1，a )在圆(x －1)2＋y 2＝26的内部，则a 的取值范围是________________．反思与感悟 (1)判断点与圆的位置关系的方法①只需计算该点与圆心之间的距离，与半径作比较即可．②把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断． (2)灵活运用若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围． 跟踪训练3 已知点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的外部，则a 的取值范围是________________． 类型三 与圆有关的最值问题例4 已知实数x ，y 满足方程(x －2)2＋y 2＝3，求y x的最大值和最小值． 引申探究1．若本例条件不变，求y －x 的最大值和最小值． 2．若本例条件不变，求x 2＋y 2的最大值和最小值．反思与感悟 与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型 (1)形如u ＝y －bx －a形式的最值问题，可转化为过点(x ，y )和(a ，b )的动直线斜率的最值问题． (2)形如l ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线y ＝－a b x ＋lb截距的最值问题．(3)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点(x ，y )到定点(a ，b )的距离平方的最值问题．跟踪训练4 已知x 和y 满足(x ＋1)2＋y 2＝14，试求：(1)x 2＋y 2的最值； (2)x ＋y 的最值．1．若某圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋5)2＝3，则此圆的圆心和半径长分别为( ) A ．(－1,5)， 3 B ．(1，－5)， 3 C ．(－1,5)，3D ．(1，－5)，32．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的标准方程是( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1 D ．x 2＋(y －3)2＝13．已知点A (1，－1)，B (－1,1)，则以线段AB 为直径的圆的标准方程为 ( ) A ．x 2＋y 2＝2 B ．x 2＋y 2＝ 2 C ．x 2＋y 2＝1D ．x 2＋y 2＝44．若实数x ，y 满足(x ＋5)2＋(y －12)2＝142，则x 2＋y 2的最小值是________． 5．求下列圆的标准方程．(1)圆的内接正方形相对的两个顶点分别为A (5,6)，C (3，－4)； (2)过两点C (－1,1)和D (1,3)，圆心在x 轴上的圆．1．判断点与圆的位置关系(1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小． (2)代数法：主要是把点的坐标代入圆的标准方程来判断：点P(x0，y0)在圆C上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；点P(x0，y0)在圆C内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2<r2；点P(x0，y0)在圆C外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2>r2.2．求圆的标准方程时常用的几何性质求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标和半径，为此常用到圆的以下几何性质：(1)弦的垂直平分线必过圆心．(2)圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心．(3)圆心与切点的连线是半径．(4)圆心与切点的连线必与切线垂直．3．求圆的标准方程常用方法(1)待定系数法．(2)直接法．答案精析问题导学 知识点一思考1 圆心坐标与圆的半径． 思考2 能． 知识点二思考 |OA |<2，|OB |>2，|OC |＝2. 题型探究例1 (1)(x －2)2＋y 2＝9解析 设圆心C 的坐标为(a,0)(a ＞0)， 由题意知，|2a |5＝455，解得a ＝2，∴C (2,0)．则圆C 的半径为r ＝|CM |＝22＋52＝3.∴圆的标准方程为(x －2)2＋y 2＝9. (2)(x ＋5)2＋(y ＋3)2＝25解析 ∵圆心坐标为(－5，－3)，又与y 轴相切， ∴该圆的半径为5，∴该圆的标准方程为(x ＋5)2＋(y ＋3)2＝25. 跟踪训练1 D [∵AB 为直径， ∴圆心为AB 的中点(1,2)， 半径为 12|AB |＝12＋2＋＋2＝5，∴该圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝25.] 例2 解 方法一 (待定系数法) 设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝r 2，－a 2＋－b 2＝r 2，2a ＋3b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－3，r ＝5.∴圆的标准方程是(x －4)2＋(y ＋3)2＝25. 方法二 (直接法)由题意知，OP 是圆的弦，其垂直平分线为x ＋y －1＝0. ∵弦的垂直平分线过圆心，∴由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－3，即圆心坐标为(4，－3)， 半径为r ＝42＋－2＝5.∴圆的标准方程是(x －4)2＋(y ＋3)2＝25.跟踪训练2 解 方法一 设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 因为A (0,5)，B (1，－2)，C (－3，－4)都在圆上， 所以它们的坐标都满足圆的标准方程， 于是有⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋－b 2＝r 2，－a 2＋－2－b 2＝r 2，－3－a 2＋－4－b 2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝1，r ＝5.故所求圆的标准方程是(x ＋3)2＋(y －1)2＝25.方法二 因为A (0,5)，B (1，－2)，所以线段AB 中点的坐标为(12，32)，直线AB 的斜率为k AB＝－2－51－0＝－7，因此线段AB 的垂直平分线的方程是y －32＝17(x －12)，即x －7y ＋10＝0.同理可得线段BC 的垂直平分线的方程是2x ＋y ＋5＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x －7y ＋10＝0，2x ＋y ＋5＝0，得圆心坐标为(－3,1)． 又圆的半径r ＝－3－2＋－2＝5，故所求圆的标准方程是(x ＋3)2＋(y －1)2＝25.例3 (1)B [由(m 2)2＋52＝m 4＋25>24，得点P 在圆外．] (2)[0,1) 解析 由题意知，⎩⎨⎧a ≥0，a ＋1－2＋a2<26，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，26a <26，解得0≤a <1.跟踪训练3 (－∞，－1)∪(1，＋∞)解析 由题意知，(1－a )2＋(1＋a )2>4， 2a 2－2>0， 即a <－1或a >1.例4 解 原方程表示以点(2,0)为圆心，3为半径的圆， 设y x＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值和最小值， 此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝± 3.故y x的最大值为3，最小值为－ 3. 引申探究1．解 设y －x ＝b ，即y ＝x ＋b .当y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值和最小值， 此时|2－0＋b |2＝3，即b ＝－2± 6.故y －x 的最大值为－2＋6， 最小值为－2－ 6.2．解 x 2＋y 2表示圆上的点与原点距离的平方．由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值， 又圆心到原点的距离为2， 故(x 2＋y 2)max ＝(2＋3)2＝7＋43， (x 2＋y 2)min ＝(2－3)2＝7－4 3.跟踪训练4 解 (1)由题意知，x 2＋y 2表示圆上的点到坐标原点的距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应地取得最大值和最小值． 原点(0,0)到圆心(－1,0)的距离为d ＝1， 故圆上的点到坐标原点的最大距离为 1＋12＝32， 最小距离为1－12＝12，因此x 2＋y 2的最大值和最小值分别为94和14.(2)令x ＋y ＝z ，并将其变形为y ＝－x ＋z ，问题转化为斜率为－1的直线在经过圆上的点时，在y 轴上的截距的最值． 当直线和圆相切时，在y 轴上的截距取得最大值和最小值， 则|－1－z |2＝12， 解得z ＝±22－1， 因此x ＋y 的最大值为22－1，最小值为－22－1. 当堂训练 1．B 2.A 3.A 4．1解析 x 2＋y 2表示圆上的点(x ，y )与(0,0)的距离的平方，而(0,0)在圆的内部，由几何意义可知，最小值为14－52＋122＝1.5．解 (1)由题意知，AC 为直径，则AC 的中点为圆心， ∴圆心坐标为(4,1)，半径为 r ＝|AC |2＝－2＋＋22＝1042＝26， ∴圆的标准方程为(x －4)2＋(y －1)2＝26. (2)由几何知识知，CD 的垂直平分线经过圆心，k CD ＝3－11－－＝1，CD 的中点坐标为(0,2)，∴CD 的垂直平分线为y ＝－x ＋2. 则圆心坐标为(2,0)，r ＝－1－2＋－2＝10，∴圆的标准方程为(x －2)2＋y 2＝10.。

2．3.2 圆的一般方程学习目标 1.掌握圆的一般方程及其特点.2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小.3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程．知识点圆的一般方程思考1 方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，x2＋y2－2x＋4y＋6＝0分别表示什么图形？思考2 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0是否表示圆？梳理类型一圆的一般方程的概念例1 若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求实数m的取值范围，并写出圆心坐标和半径．反思与感悟形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法(1)由圆的一般方程的定义，D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆．(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解．应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解．跟踪训练1 (1)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标为________，半径为________．(2)点M、N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M、N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为________．类型二求圆的一般方程例2 已知点A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)．(1)求△ABC的外接圆的一般方程；(2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上，求a的值．引申探究若本例中将点“C(3，－1)”改为“圆C过A，B两点且圆C关于直线y＝－x对称”，其他条件不变，如何求圆C的方程？反思与感悟应用待定系数法求圆的方程时应注意(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.跟踪训练2 已知一圆过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为43，求圆的方程．类型三求轨迹方程例3 已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2，－2)，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上．(1)求圆C的方程；(2)线段PQ的端点P的坐标是(5,0)，端点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点M的轨迹方程．反思与感悟求轨迹方程的三种常用方法(1)直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简、证明．(2)定义法：当动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程．(3)代入法：若动点P(x，y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1，y1)而运动，把x1，y1用x，y表示，再将Q点的坐标代入到已知圆的方程中，得点P的轨迹方程．特别提醒：在解决此类问题时易出现不符合条件的点仍在所求的轨迹上，即应排除不合适的点．跟踪训练3 已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程．1．圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的面积为( )A．8πB．4πC．2πD．π2．若点M(3,0)是圆x2＋y2－8x－4y＋10＝0内一点，则过点M(3,0)的最长的弦所在的直线方程是( )A．x＋y－3＝0 B．x－y－3＝0C．2x－y－6＝0 D．2x＋y－6＝03．方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则m的取值范围是( )A ．m ≤2B ．m ＜12C ．m ＜2D ．m ≤124．方程x 2＋y 2＋2ax －by ＋c ＝0表示圆心为C (2,2)，半径为2的圆，则a ，b ，c 的值依次为( ) A ．－2,4,4 B ．－2，－4,4 C ．2，－4,4D ．2，－4，－45.如图，已知线段AB 的中点C 的坐标是(4,3)，端点A 在圆(x ＋1)2＋y 2＝4上运动，求线段AB 的端点B 的轨迹方程．1．判断二元二次方程表示圆要“两看”：一看方程是否具备圆的一般方程的特征；二看它能否表示圆．此时判断D 2＋E 2－4F 是否大于0或直接配方变形，判断等号右边是否为大于零的常数． 2．待定系数法求圆的方程如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法分别求出常数D 、E 、F .3．求轨迹方程的一般步骤：(1)建立适当坐标系，设动点M 的坐标(x ，y )． (2)列出点M 满足条件的集合．(3)用坐标表示上述条件，列出方程f (x ，y )＝0. (4)将上述方程化简．(5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点．答案精析问题导学 知识点思考1 对方程x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0配方，得(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，表示以(1，－2)为圆心，2为半径的圆；对方程x 2＋y 2－2x ＋4y ＋6＝0配方，得(x －1)2＋(y ＋2)2＝－1，不表示任何图形． 思考2 对方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0配方并移项，得 (x ＋D2)2＋(y ＋E2)2＝D 2＋E 2－4F4.①当D 2＋E 2－4F ＞0时，方程表示以(－D 2，－E 2)为圆心，12D 2＋E 2－4F 为半径的圆；②当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程只有实数解x ＝－D 2，y ＝－E 2，它表示一个点(－D 2，－E2)；③当D 2＋E 2－4F ＜0时，方程无实数解，它不表示任何图形． 题型探究例1 解 由表示圆的条件， 得(2m )2＋(－2)2－4(m 2＋5m )>0， 解得m <15，即实数m 的取值范围为(－∞，15)．圆心坐标为(－m,1)，半径为1－5m . 跟踪训练1 (1)(－2，－4) 5 (2)9π解析 (1)由圆的一般方程知，a ＋2＝a 2，得a ＝2或－1. 当a ＝2时，该方程可化为x 2＋y 2＋x ＋2y ＋52＝0，∵D 2＋E 2－4F ＝12＋22－4×52＜0，∴a ＝2不符合题意； 当a ＝－1时，方程可化为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0， 即(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，∴圆心坐标为(－2，－4)，半径为5.(2)圆x 2＋y 2＋kx ＋2y －4＝0的圆心坐标为(－k2，－1)，由圆的性质知，直线x －y ＋1＝0经过圆心， ∴－k2＋1＋1＝0，得k ＝4，∴圆x 2＋y 2＋4x ＋2y －4＝0的半径为 1242＋22＋16＝3， ∴该圆的面积为9π.例2 解 (1)设△ABC 外接圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧22＋22＋2D ＋2E ＋F ＝0，52＋32＋5D ＋3E ＋F ＝0，32＋－2＋3D －E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－8，E ＝－2，F ＝12.即△ABC 的外接圆的一般方程为x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0. (2)由(1)知，△ABC 的外接圆的方程为x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0， ∵点M (a,2)在△ABC 的外接圆上， ∴a 2＋22－8a －2×2＋12＝0， 即a 2－8a ＋12＝0，解得a ＝2或a ＝6. 引申探究解 ∵k AB ＝3－25－2＝13，AB 的中点坐标为(72，52)，∴AB 的垂直平分线方程为y －52＝－3(x －72)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ，y －52＝－x －72，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝132，y ＝－132，即圆心C 的坐标为(132，－132)，r ＝132－2＋－132－2＝3702， ∴圆C 的方程为(x －132)2＋(y ＋132)2＝1852.跟踪训练2 解 方法一 (待定系数法) 设圆的一般方程方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 将P ，Q 点的坐标分别代入上式，得⎩⎪⎨⎪⎧4D －2E ＋F ＋20＝0， ①D －3E －F －10＝0. ②令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0，③由已知，得|y 1－y 2|＝43，其中y 1，y 2是方程③的根， ∴|y 1－y 2|2＝(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝E 2－4F ＝48. 联立①②④，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－10，E ＝－8，F ＝4.故圆的一般方程为x 2＋y 2－2x －12＝0或x 2＋y 2－10x －8y ＋4＝0. 方法二 (几何法)由题意，得线段PQ 的垂直平分线方程为x －y －1＝0， ∴所求圆的圆心C 在直线x －y －1＝0上， 设其坐标为(a ，a －1)． 又圆C 的半径r ＝|CP |＝a －2＋a ＋2.①由已知得圆C 截y 轴所得的线段长为43，而圆心C 到y 轴的距离为|a |， ∴r 2＝a 2＋(432)2，代入①整理得a 2－6a ＋5＝0，解得a ＝1或a ＝5，∴r ＝13或r ＝37.故圆的方程为(x －1)2＋y 2＝13或(x －5)2＋(y －4)2＝37.例3 解 (1)设点D 为线段AB 的中点，直线m 为线段AB 的垂直平分线，则D (32，－12)．又k AB ＝－3，所以k m ＝13，所以直线m 的方程为x －3y －3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －3＝0，x －y ＋1＝0，得圆心C (－3，－2)，则半径r ＝|CA |＝－3－2＋－2－2＝5，所以圆C 的方程为(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25. (2)设点M (x ，y )，Q (x 0，y 0)． 因为点P 的坐标为(5,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋52，y ＝y 0＋02，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －5，y 0＝2y .又点Q (x 0，y 0)在圆C ：(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25上运动， 所以(x 0＋3)2＋(y 0＋2)2＝25， 即(2x －5＋3)2＋(2y ＋2)2＝25. 整理得(x －1)2＋(y ＋1)2＝254.即所求线段PQ 的中点M 的轨迹方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝254.跟踪训练3 解 以直线AB 为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系(如图)，则点A (－2,0)，B (2,0)，设C (x ，y )，BC 中点D (x 0，y 0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧2＋x 2＝x 0，0＋y 2＝y 0.①∵|AD |＝3， ∴(x 0＋2)2＋y 20＝9.②将①代入②，整理得(x ＋6)2＋y 2＝36. ∵点C 不能在x 轴上， ∴y ≠0.综上，点C 的轨迹是以(－6,0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12,0)和(0,0)两点． 轨迹方程为(x ＋6)2＋y 2＝36(y ≠0)． 当堂训练1．C 2.C 3.B 4.A5．解 设点B 坐标是(x ，y )，点A 的坐标是(x 0，y 0)，由于点C 的坐标是(4,3)且点C 是线段AB 的中点， 所以4＝x 0＋x2，3＝y 0＋y2，于是有x 0＝8－x ，y 0＝6－y .① 因为点A 在圆(x ＋1)2＋y 2＝4上运动， 所以点A 的坐标满足方程(x ＋1)2＋y 2＝4， 即(x 0＋1)2＋y 20＝4，②把①代入②，得(8－x ＋1)2＋(6－y )2＝4， 整理，得(x －9)2＋(y －6)2＝4.所以点B 的轨迹方程为(x －9)2＋(y －6)2＝4.。

2.3.2 圆的一般方程[学习目标] 1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径.2.会在不同条件下求圆的一般式方程.[知识链接]1.圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，它的圆心坐标为(a ，b )，半径为r .2.点与圆的位置关系有点在圆外、点在圆上、点在圆内，可以利用代数法与几何法进行判断. [预习导引]1.方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0配方得：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋D 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4. (1)当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程表示一个点，该点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2；(2)当D 2＋E 2－4F <0时，方程不表示任何图形；(3)当D 2＋E 2－4F >0时，方程表示的曲线为圆，它的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径等于12.2.比较二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0和圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，可以得出以下结论：当二元二次方程具有条件： (1)x 2和y 2的系数相同，且不等于0，即A ＝C ≠0； (2)没有xy 项，即B ＝0；(3)D 2＋E 2－4AF >0时，它才表示圆.要点一 圆的一般方程的概念例1 下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径. (1)2x 2＋y 2－7y ＋5＝0； (2)x 2－xy ＋y 2＋6x ＋7y ＝0； (3)x 2＋y 2－2x －4y ＋10＝0； (4)2x 2＋2y 2－5x ＝0.解 (1)∵方程2x 2＋y 2－7y ＋5＝0中x 2与y 2的系数不相同，∴它不能表示圆.(2)∵方程x 2－xy ＋y 2＋6x ＋7y ＝0中含有xy 这样的项. ∴它不能表示圆.(3)方程x 2＋y 2－2x －4y ＋10＝0化为(x －1)2＋(y －2)2＝－5， ∴它不能表示圆.(4)方程2x 2＋2y 2－5x ＝0化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －542＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫542，∴它表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0为圆心，54为半径长的圆. 规律方法 二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆，应满足的条件是：①A ＝C ≠0，②B ＝0，③D 2＋E 2－4AF >0.跟踪演练1 如果x 2＋y 2－2x ＋y ＋k ＝0是圆的方程，则实数k 的范围是________. 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，54解析 由题意可知(－2)2＋12－4k >0， 即k <54.要点二 求圆的一般方程例2 已知△ABC 的三个顶点为A (1,4)，B (－2,3)，C (4，－5)，求△ABC 的外接圆方程、圆心坐标和外接圆半径.解 方法一 设△ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，∵A ，B ，C 在圆上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋16＋D ＋4E ＋F ＝0，4＋9－2D ＋3E ＋F ＝0，16＋25＋4D －5E ＋F ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝2，F ＝－23，∴△ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －23＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝25.∴圆心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5. 方法二 设△ABC 的外接圆方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，∵A 、B 、C 在圆上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋－b 2＝r 2，－2－a 2＋－b 2＝r 2，－a 2＋－5－b 2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，r ＝5，即外接圆的圆心为(1，－1)，半径为5，∴圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝25，展开易得其一般方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －23＝0. 方法三 ∵k AB ＝4－31＋2＝13，k AC ＝4＋51－4＝－3，∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC .∴△ABC 是以角A 为直角的直角三角形. ∴圆心是线段BC 的中点， 坐标为(1，－1)，r ＝12|BC |＝5.∴外接圆方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝25. 展开得一般方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －23＝0. 规律方法 应用待定系数法求圆的方程时：(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a ，b ，r .(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D 、E 、F .跟踪演练2 已知A (2,2)，B (5,3)，C (3，－1)，求三角形ABC 的外接圆的方程. 解 设三角形ABC 外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2D ＋2E ＋F ＋8＝0，5D ＋3E ＋F ＋34＝0，3D －E ＋F ＋10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－8，E ＝－2，F ＝12，即三角形ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0. 要点三 求动点的轨迹方程例3 等腰三角形的顶点是A (4,2)，底边一个端点是B (3,5)，求另一个端点C 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么？解 设另一端点C 的坐标为(x ，y ).依题意，得|AC |＝|AB |.由两点间距离公式，得x －2＋y －2＝－2＋－2，整理得(x －4)2＋(y －2)2＝10.这是以点A (4,2)为圆心，以10为半径的圆，如图所示，又因为A 、B 、C 为三角形的三个顶点，所以A 、B 、C 三点不共线.即点B 、C 不能重合且B 、C 不能为圆A 的一直径的两个端点.因为点B 、C 不能重合，所以点C 不能为(3,5). 又因为点B 、C 不能为一直径的两个端点， 所以x ＋32≠4，且y ＋52≠2，即点C 不能为(5，－1).故端点C 的轨迹方程是(x －4)2＋(y －2)2＝10(除去点(3,5)和(5，－1))，它的轨迹是以点A (4,2)为圆心，10为半径的圆，但除去(3,5)和(5，－1)两点. 规律方法 求与圆有关的轨迹问题常用的方法.①直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式.②定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程.③相关点法：若动点P (x ，y )随着圆上的另一动点Q (x 1，y 1)运动而运动，且x 1，y 1可用x ，y 表示，则可将Q 点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P 的轨迹方程.跟踪演练3 已知直角△ABC 的两个顶点A (－1,0)和B (3,0)，求直角顶点C 的轨迹方程. 解 方法一 设顶点C (x ，y )， 因为AC ⊥BC ，且A ，B ，C 三点不共线， 所以x ≠3且x ≠－1. 又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝yx －3.且k AC ·k BC ＝－1， 所以y x ＋1·yx －3＝－1， 化简得x 2＋y 2－2x －3＝0. 因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1).方法二 △ABC 是以C 为直角顶点的直角三角形，设顶点C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线，所以x ≠3且x ≠－1.由勾股定理得|AC |2＋|BC |2＝|AB |2， 即(x ＋1)2＋y 2＋(x －3)2＋y 2＝16， 化简得x 2＋y 2－2x －3＝0. 因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1).1.圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( ) A.(2,3) B.(－2,3) C.(－2,－3) D.(2,－3)答案 D解析 －D 2＝2，－E2＝－3，∴圆心坐标是(2，－3).2.方程x 2＋y 2－x ＋y ＋k ＝0表示一个圆，则实数k 的取值范围为( ) A.k ≤12B.k ＝12C.k ≥12D.k <12答案 D解析 方程表示圆⇔1＋1－4k >0⇔k <12.3.方程x 2＋y 2＋2ax ＋2by ＋a 2＋b 2＝0表示的图形为( ) A.以(a ，b )为圆心的圆 B.以(－a ，－b )为圆心的圆 C.点(a ，b ) D.点(－a ，－b )答案 D解析 原方程可化为：(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝0.所以它表示点(－a ，－b ). 4.圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋m ＝0的直径为3，则m 的值为________. 答案114解析 ∵(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－m ， ∴r ＝5－m ＝32，∴m ＝114.5.圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0的圆心到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离d ＝________. 答案 3解析 圆心(1,2)到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离为|3×1＋4×2＋4|5＝3.1.圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，来源于圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的条件.2.圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要根据实际情况，设出适当方程，以便简化解题过程.3.曲线的轨迹问题，要作简单地了解，能够求出简单的曲线的轨迹方程，并掌握求轨迹方程的一般步骤.。

《圆的一般方程》教学设计1．教材所处的地位和作用《圆的一般方程》是高中数学人教B 版必修2第二章第三节第二课时的内容。

圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用。

圆的一般方程属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是思想方法上都有着深远的意义，所以本课内容在整个解析几何中起着承前启后的作用。

2．学情分析圆的一般方程是学生在掌握了求曲线方程一般方法的基础上，在学习过圆的标准方程之后进行研究的，但由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，且对坐标法的运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难。

另外学生在探究问题的能力，合作交流的意识等方面有待加强。

根据上述教材所处的地位和作用分析，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，我制定如下教学目标：3．教学目标知识与技能：(1) 掌握圆的一般方程及一般方程的特点(2) 能将圆的一般方程化成圆的标准方程，进而求圆心和半径(3) 能用待定系数法由已知条件求出圆的方程过程与方法：(1) 进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力；(2) 加深对数形结合思想的理解和加强待定系数法的运用情感，态度与价值观：(1)培养学生主动探究知识、合作交流的意识；(2)培养学生勇于思考，探究问题的精神。

(3)在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣。

根据以上对教材、学情及教学目标的分析，我确定如下的教学重点和难点：4．教学重点与难点重点：(1) 圆的一般方程。

(2) 待定系数法求圆的方程。

难点：(1) 圆的一般方程的应用(2) 待定系数法求圆的方程及对坐标法思想的理解。

5.教学过程【复习引入】师：自初中初步接触圆的概念和研究圆的几何性质以来，上节课我们又在平面直角坐标系中对圆的标准方程进行了定义和学习。

请大家回忆圆的标准方程的形式是怎样的？生：222()()x a y b r -+-=师：答得很好。

《圆的一般方程》教学设计一、教材分析圆的方程这节内容是学习圆锥曲线的基础，由于圆的方程应用及其广泛，所以对圆的一般方程的要求层次是“掌握”，又由于圆的一般方程中含有三个参变数D、E、F,对它的理解带来一定的困难。

因而本节的难点是对圆的一般方程的认识，掌握和应用。

突破难点的关键是抓住一般方程的特点。

二、学情分析圆的一般方程是学生在学习了圆的标准方程后，又掌握了利用待定系数法求圆的标准方程的基础上进行研究的。

但由于学生基础差、学习程度较浅，且对圆的标准方程运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难。

另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识等方面有待加强。

三、教法分析为了充分调动学生学习的积极性，本节课采用“合作探究与启发式教学法”，用环环相扣的问题将探究活动层层深入，教师组织学生分析讨论、合作探究。

四、学法分析通过展开圆的标准方程，归纳总结得出圆的一般方程，通过求圆的方程，加深对数形结合思想和待定系数法的理解，通过应用圆的一般方程，熟悉用待定系数法求解的过程。

五、设计思想本节课的设计思想是：以多媒体网络教学平台为依托，为学生营造一个探究学习的环境，让他们参与到多媒体教学中来，探究新知，发现规律，解决问题。

六、教学策略结合本节内容的特点，可以向学生渗透多种数学思想方法：:配方法、待定系数法、数形结合的思想、转化的思想、分类讨论的思想、方程的思想，同时对学生的观察类比，创新等多种能力的培养有利，通过求圆的一般方程使学生又进一步熟悉待定系数法的应用。

七、教学目标（一）知识与技能使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程。

（二）过程与方法通过对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件的探讨，让学生经历知识形成的过程，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力，并使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程的方法。