平面向量的应用举例

三、向量数量积的性质
1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a. 2．a⊥b⇔ a·b＝0 .
|a|2
4．cos θ＝
.(θ为a与b的夹角)
5．|a·b| ≤ |a||b|.
四、数量积的运算律
1．交换律：a·b＝ b·a . 2．分配律：(a＋b)·c＝ a·c＋b·c . 3．对λ∈R，λ(a·b)＝ (λa)·b＝ a·(λb．) 五、数量积的坐标运算
∴a与c的夹角为90°. (2)∵a与b是不共线的单位向量，∴|a|＝|b|＝1. 又ka－b与a＋b垂直，∴(a＋b)·(ka－b)＝0， 即ka2＋ka·b－a·b－b2＝0. ∴k－1＋ka·b－a·b＝0. 即k－1＋kcos θ－cos θ＝0(θ为a与b的夹角)． ∴(k－1)(1＋cos θ)＝0.又a与b不共线， ∴cos θ≠－1.∴k＝1. [答案] (1)B (2)1
解析：(1) a＝(x－1,1)，a－b＝(x－1,1)－(－x＋1,3)＝ (2x－2，－2)，故a⊥(a－b)⇔2(x－1)2－2＝0⇔x＝0或2 ，故x＝2是a⊥(a－b)的一个充分不必要条件．
答案: (1)B (2)D
平面向量的模 [答案] B
[答案] D
[典例总结]
利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌 握此类问题的处理方法：
[巩固练习]
2．(1)设向量a＝(x－1,1)，b＝(－x＋1,3)，则a⊥(a－b)
的一个充分不必要条件是
()
A．x＝0或2
B．x＝2
C．x＝1
D．x＝±2
(2)已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝a＋λb(λ∈R)，
向量d如图所示，则
()
A．存在λ>0，使得向量c与向量d垂直 B．存在λ>0，使得向量c与向量d夹角为60° C．存在λ<0，使得向量c与向量d夹角为30° D．存在λ>0，使得向量c与向量d共线

2.7 向量应用举例典题精讲例1用向量法证明平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和。

思路分析：把平行四边形的边和对角线的长看成向量的长度，转化为证明向量长度之间的关系.基向量法和坐标法均可解决.答案：已知：四边形ABCD是平行四边形，求证：|AC｜2＋|BD|2=2|AB｜2＋2|AD|2。

证法一：如图2—7—1所示，设AB=a, AD=b，∴AC=AB＋AD=a＋b，BD=AD-AB=b-a。

图2-7—1∴｜AC｜2=(a+b）2=a2+2a·b+b2，｜BD｜2=（b—a)2=a2-2a·b＋b2。

∴｜AC|2＋|BD|2=2a2+2b2.又∵2|AB|2＋2|AD|2=2｜OB|2＋2|OD|2=2a2+2b2，∴｜AC｜2＋|BD|2=2|AB|2＋2｜AD｜2,即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和.证法二:如图2—7-2所示，以A为原点,以AB所在直线为x轴，建立直角坐标系.设A（0，0）、D（a,b）、B（c，0），∴AC=AB＋AD图2—7-2=OB＋OD=(c，0）+（a，b)=(a+c,b），BD=AD—AB=OD—OB=（a，b)-(c,0）=（a-c,b)。

∴|AC｜2=（c+a）2+b2，|BD｜2=（a-c）2+b2.∴｜AC|2＋|BD｜2=2a2+2c2+2b2。

又∵2｜AB｜2＋2|AD｜2=2|OB｜2＋2｜OD｜2=2a2+2c2+2b2,∴|AC|2＋|BD｜2=2|AB｜2＋2｜AD｜2,即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和。

绿色通道：1。

向量法解决几何问题的步骤:①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题;②通过向量运算（有基向量法和坐标法两种),研究几何元素之间的关系；③把运算结果“翻译”成几何关系。

这是用向量法解决平面几何问题的“三步曲”.又简称为：一建二算三译；也可说成为：捡便宜（建算译)。

(OA OB) AB (OB OC) BC (OC OA) CA
0
三、垂心
三角形三边上的高交于一点， 这一点叫三角形的垂心。
A
E
F o D
AB OC, BC 3
B
D
C
二、外心
三角形三边的中垂线交于一点， 这一点为三角形外接圆的圆心，称外心。
A
O
A
O
A C
B
C
B
例题2 若 O 为 ABC内一点，OA OB OC
则 O 是 ABC 的（ B ） A．内心 B．外心 解析：由向量模的定义知 O 到 C．垂心 D．重心
一、向量四种运算总结：
运算类型 代数式运算 几何运算
a
b
坐标运算
运算性质
ab ba (a b) c a (b c) AB BC AC
a b a (b) AB BA OB OA AB
加 法 减 法
ab
a b
ab ( x1 x2 , y1 y2 )
a b ( x1 x2 , y1 y 2 )
a
b
数 乘
a
ab 数量积 a b cos
0 0 0
a
a (x1, y1 )
a
b
a· b=|b|·（向量a在b方向上的投影）
a b x1 x2 y1 y2
a∥b a∥ b x1 y2 x2 y1 0
O是 ABC 的垂心

B
C
O A O B O B O C O C O A
例3. 点O是Δ ABC所在平面上一点， 若 OA OB OB OC OC OA， 则点O是Δ ABC的（ D ） （A）三个内角的角平分线的交点 （B）三条边的垂直平分线的交点 B （C）三条中线的交点 （D）三条高线的交点

① ② ③
B F
a
P
E
b
D
c
C
利用向量的线性运算证明共线、平行、长度等问题
探究： 已知直角三角形的两直角边长为4和 6，试用向量方法求两直角边中线所成钝 角的余弦值。 y
B
B (0,6)
C
C (0,3) O A x (4,0)
O
Hale Waihona Puke DAD (2,0)
探究： 用向量方法证明：等腰三角形底边 上的中线垂直于底边.
已知等腰直角三角形ABC,D为BC边上的 中点.
设M 、N 分别是四边形ABCD对边AB、CD的中点， 1 求证： MN ( AD BC ). 2
例1.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、 CD的中点，求 cos EAF的值.
例1.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、 CD的中点，求 cos EAF的值.
例2.已知直角梯形ABCD中，AB//CD，CDA=DAB=90 , 1 CD DA AB, 求证：AC BC. 2
o
向量在几何中的应用（三部曲）：
用基底表示
向量运算
翻译几何结果
建立坐标系
坐标运算
翻译几何结果
O 为中线 AM 上的一个动点，若 在 ABC 中， AM =2，求 OA (OB OC) 的最小值
已知:如图，AC为⊙O的一条直径，∠ABC是圆周角 求证： ∠ABC=90°
B O A
图 2.5-4
C
利用向量的数量积可解决长度、角度、垂直等问题
向量是一个有利的“工具”
用向量法证明三角形三条高交于一点.
如图：AD、BE、CF是 ABC的三条高. 求证：AD、BE、CF 相交于一点.

平面向量的应用向量的投影与反射平面向量的应用：向量的投影与反射在数学中，向量是用来描述方向和大小的量。

平面向量是二维空间中的向量，广泛应用于各个领域，包括物理、工程和计算机科学等。

本文将重点介绍平面向量的应用之一：向量的投影与反射。

一、向量的投影向量的投影是指将一个向量在另一个向量方向上的分量。

在平面向量中，投影可以用于求解某个向量在另一个向量上的分解，从而简化计算过程。

设有两个非零向量a和b，我们将向量a在向量b上的投影表示为proj_ba。

1. 向量的投影定义设向量a和b不平行，向量a在向量b上的投影proj_ba 的大小为a在b方向上的分量，方向与b相同。

可以用下列公式来计算向量的投影：proj_ba = (a·b / |b|²) * b其中，a·b表示向量a和b的点积，|b|表示向量b的长度。

投影的计算结果是一个向量，其大小为标量a·b与b长度的比例，方向与向量b 相同。

2. 向量的投影应用向量的投影在实际问题中有广泛的应用。

例如，在力学中，我们可以将一个力的大小和方向表示为一个力向量。

在求解斜面上物体的自由体图时，我们可以将物体的重力向量进行投影，分解为沿斜面方向和垂直斜面方向的分量，以便更好地分析问题。

二、向量的反射向量的反射是指一个向量在另一个向量上的镜像反射。

通过向量的反射，我们可以研究光线的传播和折射等现象。

1. 向量的反射定义设向量a和b不平行，向量a关于向量b的反射表示为reflect_ba。

向量a关于向量b的反射可以通过以下公式计算：reflect_ba = a - 2 * proj_ba其中，proj_ba表示向量a在向量b上的投影。

3
故AT=RT=TC
练习1、证明直径所对的圆周角是直角
如图所示，已知⊙O，AB为直径，C 为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90°A 分析：要证∠ACB=90°，只须证向 量AC CB，即 AC CB 0 。
C
a
b
O
B
解：设 AO a, OC b
则
AC a b, CB a， b
2
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问 题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量 问题；常设基底向量或建立向量坐标。 （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系， 如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何元素。
简述：形到向量
向量的运算
向量和数到形
例2 如图，平行四边形 ABCD中，点E、F分别是AD 、 DC边的中点，BE 、 BF分别与AC交于R 、 T两点， 你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？
猜想：
D
F T
C
AR=RT=TC
A
E
R
B
解：设 AB a , AD b 则 AC a b 由于 AR 与AC 共线，故设 AR r n(a b) , n R 又因为 ER与 EB 共线，
1 所以设ER mEB m(a b ) 2
D E R
F T B
C
因为 AR AE ER
1 1 所以 r 1 1 因此n(a b ) b m(a b ) 2 2
AB 2 BC 2 CD2 DA2 2( a b )
AC BD a b

知识点一 向量在物理中的应用
1．人骑自行车的速度为 v1，风速为 v2，则逆风行驶的速度 为( )
A．v1－v2 C．v1＋v2
B．v2－v1 D．|v1|－|v2|
答案：C
2．若向量O→F1＝(1,1)，O→F2＝(－3，－2)分别表示两个力→F1，
→F2，则|→F1＋→F2|为(
)
A．(5,0)
【方法总结】 用向量的方法解决相关的物理问题，要将 相关物理量用几何图形表示出来；再根据它的物理意义建立数 学模型，将物理问题转化为数学问题求解；最后将数学问题还 原为物理问题．
如图所示，用两根分别长 5 2 米和 10 米的绳子，将 100 N 的物体吊在水平屋顶 AB 上，平衡后，G 点 距屋顶距离恰好为 5 米，求 A 处所受力的大小(绳子的质量忽略 不计)．
解：设A→D＝a，A→B＝b，则B→D＝a－b，A→C＝a＋b. 而|B→D|2＝a2－2a·b＋b2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝5－ 2a·b＝4，所以 2a·b＝1. 又|A→C|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2a·b＋ |b|2＝5＋2a·b＝6， 所以|A→C|＝ 6， 即 AC＝ 6.
第二章 平面向量
§7 向量应用举例 7.1 点到直线的距离公式
7.2 向量的应用举例
课前基础梳理
自主学习 梳理知识
|学 习 目 标| 1．能运用向量的有关知识解决解析几何中直线方程的问 题，以及在平面几何中的线段平行、垂直、相等等问题． 2．能运用向量的有关知识解决物理中有关力、速度、功等 问题.
B．(－5,0)
C． 5
D．－ 5
答案：C
知识点二 向量在解析几何中的应用
3．已知直线 l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m,1)与 l 平行，则

平面向量的数量积和叉积的应用举例平面向量是向量的一种特殊形式，它的位移方向限制在二维平面上。

数量积和叉积是平面向量的两个重要运算，它们在数学和物理中有着广泛的应用。

本文将通过举例，介绍平面向量的数量积和叉积在实际问题中的应用。

一、数量积的应用1. 力的分解和合成假设有一物体施加力F，在平面上有两个方向的分量F1和F2，它们的夹角为θ。

我们可以通过数量积的运算来求解F1和F2的数值。

具体的计算公式为：F = F1 + F2 = |F1|cosθ + |F2|cosθ通过这个公式，我们可以将一个力分解为两个力的和，从而更好地理解力的作用机制。

2. 工作和功当一个物体受力并且发生位移时，力做功。

工作是力在位移方向上的数量积。

对于平面向量而言，工作的计算公式为：W = F·s = |F||s|cosθ其中，W表示工作的大小，F表示力的大小，s表示位移的大小，θ表示力和位移之间的夹角。

3. 判断垂直关系两个向量垂直的充要条件是它们的数量积为零。

因此在实际问题中，通过计算向量的数量积可以判断两个向量是否垂直。

例如，我们可以通过数量积来判断一个物体在斜坡上向上滚动时的加速度是否与斜坡垂直。

二、叉积的应用1. 面积计算对于平面上的两个向量a和b，它们的叉积a×b的大小等于这两个向量所围成的平行四边形的面积。

具体的计算公式为：|a×b| = |a||b|sinθ其中，|a×b|表示叉积的大小，|a|和|b|分别表示向量a和b的大小，θ表示这两个向量之间的夹角。

通过叉积的运算，我们可以直接计算出平行四边形的面积，这在几何学和物理学中有着重要的应用。

2. 判断向量的方向叉积不仅可以计算大小，还可以确定向量的方向。

叉积的结果是一个新的向量，它垂直于原来的两个向量，其方向遵循右手定则。

这一性质在物理学中经常被用来确定电流和磁场之间的方向关系，并被应用于电磁学的研究中。

3. 力矩计算力矩是与平面向量的叉积有关的重要概念，表示力对物体的转动效果。

平面向量的应用平面向量在数学和物理等领域中具有广泛的应用。

本文将探讨平面向量在几何、力学和电磁学等方面的实际应用。

一、平面向量在几何中的应用1. 平面向量的位移应用平面向量在几何中常用于描述物体的位移。

假设有一个起点为A，终点为B的平面向量AB，表示从A点移动到B点的位移。

通过平面向量的加法和减法，我们可以准确地计算出物体在平面上的位移及其方向。

2. 平面向量的无理数倍应用在几何中，平面向量的无理数倍也有重要的应用。

通过无理数倍，我们可以精确地描述两个向量之间的比例关系。

这在相似三角形的问题中常常用到，可以帮助我们得到精确的比例值。

二、平面向量在力学中的应用3. 平面向量的力的应用平面向量在力学中广泛应用于描述作用力和力的平衡问题。

通过将力的大小和方向表示成向量，我们可以方便地进行加减运算，并准确地计算出合力和分力。

4. 平面向量的力矩应用在力学中，平面向量的力矩也有重要的应用。

力矩是描述力偏转或转动作用的物理量。

通过平面向量的叉乘运算，我们可以计算出力矩的大小和方向，进而分析物体的旋转和平衡问题。

三、平面向量在电磁学中的应用5. 平面向量的电场强度应用在电磁学中，平面向量广泛应用于描述电场和电荷之间的关系。

通过平面向量表示电场强度和电荷的分布情况，我们可以方便地计算电场的强度和方向，并分析电荷之间的相互作用。

6. 平面向量的磁场强度应用在电磁学中，平面向量也用于描述磁场的强度和方向。

通过平面向量表示磁场强度和电流的分布情况，我们可以准确地计算磁场的强度和方向，并分析电流之间的相互作用。

综上所述，平面向量在几何、力学和电磁学等领域中都具有重要的应用。

通过运用平面向量的概念和运算法则，我们可以更加准确地描述和分析相关问题，为实际应用提供有力的支持。

平面向量应用平面向量解决实际问题平面向量是研究空间中两点间的位移关系的数学工具，也是矢量分析的重要内容之一。

在实际问题中，平面向量可以广泛应用于解决各种几何、物理和工程等领域的实际问题。

本文将通过一系列实例，详细介绍平面向量在解决实际问题中的应用。

1. 位移和速度在物理学中，平面向量常被应用于研究物体的位移和速度。

考虑一个运动的物体，在不同时间点上其位置会发生变化。

如果我们用平面向量表示物体的位移，那么同一物体在不同时间点上的位移可以用向量相加来表示。

例如，一个物体在初始时刻位于坐标点A，经过一段时间后到达坐标点B，则物体的位移向量表示为向量AB。

根据物体的位移，我们可以进一步求出其速度。

速度是以单位时间内的位移来表示的，因此可以通过求位移向量的导数来计算速度向量。

具体来说，速度向量等于位移向量的导数。

对于一个运动物体，在一个无限小时间间隔dt内的位移可以表示为向量dR，那么物体的速度向量可以写为dR/dt。

通过使用平面向量来描述物体的位移和速度，我们能够更加直观地理解并计算物体的运动属性，这在物理学中具有重要的应用价值。

2. 力的合成平面向量的一个重要应用是解决力的合成问题。

在力学中，力的合成是指将多个力合并为一个等效的力。

平面向量可以用来表示力的大小和方向，从而方便进行力的合成计算。

假设我们有两个力F1和F2，它们的大小和方向分别用向量F1和F2表示。

那么这两个力的合力可以通过将这两个向量相加来求得。

具体而言，合力向量等于F1与F2的矢量和，即F = F1 + F2。

通过平面向量的合成，我们能够有效地求解多个力合成为等效力的问题，从而更好地研究和分析物体在受力作用下的运动状态。

3. 四边形的面积在几何学中，平面向量可以用于计算任意四边形的面积。

常见的情况是，当我们已知四边形的两个对角线向量时，可以通过向量叉乘来求解四边形的面积。

设四边形的对角线向量为向量A和向量B，根据向量叉乘的性质，四边形的面积可以表示为向量A与向量B的叉乘的模长的一半，即S= 1/2 |A × B|。

?
a b | a || b | cos | a || b | cos 90 | a || b | 0 0
a | a |2
2
复习
| i | 1
2
| j | 1
y
1
i | i |2 1 2 j | j |2 1
i j 0 ji 0
j
i
1
x
复习：坐标表示模
坐标表示向量的夹角
a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 )
ab | a || b |
x1 x2 y1 y2 x1 y1
2 2
cos

x 2 y2
2
2
P120 例6
用向量证明三角形中位线定理
1 求证：EF // BC 且EF BC 2
A F
证明：设EA a, AF b,
| AB | | a | a
2
等于相邻两边的平方和的两倍。 D
2
C
2 2
| AD | | b | b
2
2
A
2 2
2
B
| AC |2 | a b |2 (a b)2 a2 2a b b2 | DB |2 | a b |2 (a b)2 a 2a b b
证明 : EF EB BF
1 1 AB BC 2 2 1 1 ( AB BC ) AC 2 2
G
D
C
F
H E B
A 1 同理 : HG AC 2 EF HG EF // HG且EF HG
P123 例1
求证：平行四边形两条对角线的平方和

C.－38
D.－14
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
建立如图所示的平面直角坐标系，设P(x，y)， 则A(0,0)，B(1,0)，C(1,2)， 所以P→B＝(1－x，－y)， P→A＋P→C＝(－x，－y)＋(1－x,2－y)＝(1－2x,2－2y)， 故(P→A＋P→C)·P→B＝(1－2x)(1－x)＋(2－2y)(－y)＝2x－342＋2y－122－58， 所以当 x＝34，y＝12时，平面向量与复数
§5.4 平面向量的综合 应用[培优课]
题型一 平面向量在几何中的应用
例 1 (1)如图，在△ABC 中，cos∠BAC＝14，点 D 在线段 BC 上，且 BD ＝3DC，AD＝ 215，则△ABC 的面积的最大值为____1_5__.
设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 因为 BD＝3DC，A→D＝14A→B＋34A→C， 又 AD＝ 215，cos∠BAC＝14， 所以A→D2＝14A→B＋34A→C2＝116c2＋196b2＋38bccos∠BAC ＝116c2＋196b2＋332bc，
试用
a，b
表示D→E为__32_b_－__12_a_，若A→B⊥D→E，则∠ACB
π 的最大值为___6___．
D→E＝C→E－C→D＝32b－12a， A→B＝C→B－C→A＝b－a， 由A→B⊥D→E得(3b－a)·(b－a)＝0，
即3b2＋a2＝4a·b， 所以 cos∠ACB＝|aa|·|bb|＝34b|2a＋||ba| 2≥24|3a||a|b|||b|＝ 23，
又145＝116c2＋196b2＋332bc＝41c2＋43b2＋332bc≥2×14c×43b＋332bc＝1352bc， 当且仅当c＝3b时，等号成立. 所以 bc≤8，又 sin∠BAC＝ 415， 所以 S△ABC＝12bcsin∠BAC≤12×8× 415＝ 15.

平面向量的应用题解析平面向量是解析几何中重要的概念之一，广泛应用于不同领域的问题求解。

本文将通过几个具体的应用题，来解析平面向量在实际问题中的运用。

一、题目一：平面向量求面积假设有一个三角形ABC，已知向量AB为a向量，向量AC为b向量。

求证：三角形ABC的面积等于向量a和向量b的叉积的绝对值的一半。

解析：首先，我们可以通过向量减法得到向量AB和向量AC之间的关系：向量AB = 向量AC - 向量BC。

由于向量BC等于向量AC - 向量AB，所以向量BC也可以用向量a和向量b表示，即向量BC = 向量AC - 向量AB = b - a。

根据向量的叉积公式，向量a和向量b的叉积等于向量a和向量BC （即向量b - 向量a）的模长乘以它们之间的夹角的正弦值。

设向量AB和向量AC的夹角为θ，则有向量a和向量b的叉积等于|a × (b - a)| = |a × (b - a)| = |a||b - a|sinθ。

而三角形ABC的面积等于底边AB的长度|AB|乘以高度h，其中h= |AC|sinθ。

由于|AB| = |a|，所以有三角形ABC的面积等于|a × (b - a)|的一半。

二、题目二：平面向量求几何中点坐标给定三个点A(x1, y1)、B(x2, y2)和C(x3, y3)，求证：点D(xd, yd)为线段AB的中点，当且仅当向量CD为向量AB的一半。

解析：设向量AB为a向量，向量CD为b向量。

由于点D为线段AB的中点，所以点D的横坐标xd和纵坐标yd分别是线段AB两个端点横坐标的平均值和纵坐标的平均值。

即xd = (x1 + x2)/2，yd = (y1 + y2)/2。

另一方面，向量AB在坐标系中的坐标表示为(bx - ax, by - ay)，其中ax、ay为点A的横纵坐标，bx、by为点B的横纵坐标。

同样地，向量CD在坐标系中的坐标表示为(dx - cx, dy - cy)，其中cx、cy为点C的横纵坐标，dx、dy为点D的横纵坐标。

第二章 平面向量2.5 平面向量应用举例2.5.1 平面几何中的向量方法 2.5.2 向量在物理中的应用举例一、向量在平面几何中的应用 1．利用向量研究平面几何问题的思想向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性，因此，用向量解决平面几何问题，就是将几何的证明问题转化为__________的运算问题，将“证”转化为“算”，思路清晰，便于操作． 2．向量在平面几何中常见的应用已知1122(,),(,)x y x y ==a b ．（1）证明线段平行、点共线问题及相似问题，常用向量共线的条件：λ⇔=⇔∥a b a b __________0(0)=≠b ．（2）证明线段垂直问题，如证明四边形是正方形、矩形，判断两直线（或线段）是否垂直等，常用向量垂直的条件：0⊥⇔⋅=⇔a b a b __________0=（其中,a b 为非零向量）．（3）求夹角问题，若向量a 与b 的夹角为θ，利用夹角公式：cos θ=__________=__________（其中,a b 为非零向量）．（4）求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：||=a __________，或||||AB AB ==__________（其中,A B 两点的坐标分别为3344(,),(,)x y x y ．（5）对于有些平面几何问题，如载体是长方形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐标法，建立平面直角坐标系，把向量用坐标表示出来，通过代数运算解决综合问题．3．利用向量解决平面几何问题的步骤（1）建立平面几何与向量之间的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何关系．这其实也是用向量法解决其他问题的思路，即从条件出发，选取基底，把条件翻译成向量关系式（用基底表示其他向量），然后通过一系列的向量运算，得到新的向量关系式，则这个新的向量关系式的几何解释就是问题的结论．二、向量在物理中的应用向量是在物理的背景下建立起来的，物理中的一些量，如位移、力、速度（加速度）、功等都与向量有着密切的联系，因此可以利用向量来解决物理中的问题．具体操作时，要注意将物理问题转化为向量关系式，通过向量的运算来解决，最后用来解释物理现象．1．向量与力向量是既有__________又有__________的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但是力的三要素是大小、方向和作用点，所以用向量知识解决力的问题，通常要把向量__________到同一作用点上． 2．向量与速度、加速度及位移速度、加速度与位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法运算．解决速度、加速度和位移等问题时，常用的知识主要是向量的__________、__________以及__________运算，有时也借助于坐标运算来处理． 3．向量与功、动量力做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，实质是力和位移两个向量的__________，W =||||cos (θθ⋅=⋅⋅F s F s 为F 和s 的夹角）．动量m v 实际上是__________向量．参考答案： 一、1．向量2．（1）1221x y x y -（2）1212x x y y +（3）||||⋅a ba b 121212122222x x y y x y x y ++⋅+（4）1122x y + 22223434()()x x y y -+-二、1．大小 方向 平移 2．加法 减法 数乘 3．数量积 数乘重点 平面几何中的垂直、长度以及夹角问题． 难点 利用向量方法解决其他实际问题．易错向量应用中对向量关系式表达的向量之间的相互关系判断错误．1．平面几何中的垂直问题对于线段垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件（向量的数量积为0），而对于这一条件的应用，可以考虑向量关系式的形式，也可以考虑坐标的形式．【例1】如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，求证：AF ⊥DE ．【答案】证明详见解析．如题图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2， 则A （0，0），D （0，2），E （1，0），F （2，1）， 所以(2,1),(1,2)AF DE ==-．因为(2,1)(1,2)220AF DE ⋅=⋅-=-=， 所以AF DE ⊥，即AF ⊥DE ．【提示】用向量法解决平面几何问题，一般来说有两个方向：（1）几何法：选取适当的基底（尽量用已知模或夹角的向量作为基底），将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算；（2）坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算． 一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法． 2．平面几何中的长度问题平面几何中求线段的长度问题，在向量中就是求向量的模的问题，可适当构造向量，利用向量知识求解． 【例2】如图，平行四边形ABCD 中，已知AD =1，AB =2，对角线BD =2，则对角线AC 的长为 ．6【解析】设,AD AB ==a b ，则,BD AC =-=+a b a b ． ∴22||||||2||14252BD =-=-⋅++-⋅=-⋅a b a a b b a b a b ∴2||524BD =-⋅=a b ，∴21⋅=a b ．∴22||||||2||526AC =+=+⋅++⋅a b a a b b a b ，即6AC =【提示】用向量法求平面几何中的长度问题，即向量长度的求解，一是利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，利用公式22||=a a 求解；二是建立平面直角坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式求解，即若(,)x y =a ，则22||x y +a3．平面几何中的夹角问题【例3】等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值为A ．45-B ．35-C ．45D ．35【答案】A【解析】如图，分别以等腰直角三角形的两直角边所在的直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，设(2,0),(0,2)A a B a ，则(,0),(0,)F a E a ，∴(2,),(,2)AE a a BF a a =-=-．设向量,AE BF 的夹角为θ， 则22(2,)(,2)44cos 55||||55AE BF a a a a a a AE BF a aθ⋅-⋅--====-⋅⋅．【名师点睛】根据已知建立平面直角坐标系，将等腰直角三角形的两直角边所在直线作为x 轴和y 轴，分别设出三角形顶点和两直角边中点的坐标，再代入坐标求解两中线所对应的向量的数量积和模，进而求得夹角的余弦值． 4．平面向量在物理中的应用【例4】一质点受到平面上的三个力F 1、F 2、F 3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知F 1、F 2成60°角，且F 1、F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为________． 【答案】7【解析】由题意知F 3=−（F 1＋F 2），∴|F 3|=|F 1＋F 2|， ∴|F 3|2=|F 1|2＋|F 2|2＋2|F 1||F 2|cos60°=28， ∴|F 3|=27【名师点睛】用向量法解决物理问题的步骤如下： （1）抽象出物理问题中的向量，转化为数学问题； （2）建立以向量为主体的数学模型；（3）利用向量的线性运算或数量积运算，求解数学模型； （4）用数学模型中的数据解释或分析物理问题． 5．利用向量解决其他问题【例5】已知直线Ax ＋By ＋C =0（其中A 2＋B 2=C 2，C ≠0）与圆x 2＋y 2=6交于不同的两点M 、N ，O 是坐标原点，则OM MN ⋅=________．【答案】10-【解析】取MN 的中点P ，则12MP MN =，MN OP ⊥．又22||1OP A B=+，||6OM = ∴2()2||OM MN OP PM MN PM MN PM ⋅=+⋅=⋅=-，而222||=||||5PM OM OP -=， ∴2510OM MN ⋅=-⨯=-．【名师点睛】向量在解决其他问题时的“两个”作用：（1）载体作用：向量在其他问题中出现时，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．（2）工具作用：利用a ⊥b ⇔a ·b =0（a ，b 为非零向量），a ∥b ⇔a =λb （b ≠0），可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较优越的方法． 6．对向量关系式表达的向量之间的相互关系判断错误 【例6】在四边形ABCD 中，(1,1)AB DC ==，3||||||BA BC BDBA BC BD +=，则四边形ABCD 的面积是 ． 【误区警示】对常见的向量表示形式要熟记于心，如：（1）重心．若点G 是ABC △的重心，则GA GB GC ++=0或1()3PG PA PB PC ++= （其中P 为平面内任意一点）．反之，若GA GB GC ++=0，则点G 是ABC △的重心．（2）垂心．若H 是ABC △的垂心，则HA HB HB HC HC HA ⋅=⋅=⋅．反之，若HA HB HB HC ⋅=⋅ HC HA =⋅，则点H 是ABC △的垂心．（3）内心．若点I 是ABC △的内心，则有||||||BC IA CA IB AB IC ⋅+⋅+⋅=0．反之，若||||BC IA CA ⋅+⋅ ||IB AB IC +⋅=0，则点I 是ABC △的内心．（4）外心．若点O 是ABC △的外心，则()()()0OA OB BA OB OC CB OC OA AC +⋅=+⋅=+⋅=或||||||OA OB OC ==．反之，若||||||OA OB OC ==，则点O 是ABC △的外心．【基础训练】1．如图，在圆C 中，弦AB 的长为4，则AB AC ⋅=A ．8B ．–8 ．4D ．–42．已知力F 的大小|F |=10，在F 的作用下产生的位移S 的大小|S |=14，F 与S 的夹角为60°，则F 做的功为A ．7B ．10C ．14D ．703．在平面直角坐标中，O 为坐标原点，设向量OA =a ，OB =b ，其中a =（3，1），b =（1，3），若OC =λa +μb ，且0≤λ≤μ≤1，C 点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是A ．B ．C ．D ．4．已知正方形ABCD 的边长为1，设AB =a ，BC =b ，AC =c ，则|-+a b c |等于A ．0B ．2C ．2D ．22【能力提升】5．如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB =BC =AD =2，CD =3，AC 与BD 交于点O ，记I 1=OA •OB ，I 2=OB •OC ，I 3=OC •OD ，则 A ．I 1<I 2<I 3 B ．I 1<I 3<I 2 C ．I 3<I 1<I 2D ．I 2<I 1<I 3 6．已知点G 是△ABC 的重心，AG AB AC λμ=+（λ，μ∈R ），若∠A =120°，2AB AC ⋅=-，则AG 的最小值是A ．33 B ．22 C ．23D ．347．一个重20 N 的物体从倾斜角为30°，长为1 m 的光滑斜面顶端下滑到底端，则重力做的功是__________． 8．一汽车向北行驶3 km ，然后向北偏东60°方向行驶3 km ，求汽车的位移．【真题演练】9．（新课标Ⅱ）已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA •（PB +PC ）的最小值是A ．–2B ．–32C ．–43D ．–110．（浙江）如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB =BC =AD =2，CD =3，AC 与BD 交于点O ，记I 1=OA •OB ，I 2=OB •OC ，I 3=OC •OD ，则 A ．I 1<I 2<I 3 B ．I 1<I 3<I 2 C ．I 3<I 1<I 2D ．I 2<I 1<I 311．（天津）已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE =2EF ，则AF •BC 的值为 A ．–58B ．14C ．18D ．11812．（北京）已知点P在圆x2+y2=1上，点A的坐标为（–2，0），O为原点，则AO•AP的最大值为__________．13．（江苏）如图，在同一个平面内，向量OA，OB，OC的模分别为1，1，2，OA与OC的夹角为α，且tanα=7，OB与OC的夹角为45°．若OC=m OA+n OB（m，n∈R），则m+n=__________．14．（天津）已知在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若BD=2DC，AE=λ–AC AB（λ∈R），且AD AE⋅=–4，则λ的值为__________．【参考答案】1 2 3 4 5 6 9 10 11A D A C C CBC C7．【答案】10 J8．【解析】故汽车的位移为：北偏东30°方向，大小为33km．9．【答案】B 10．【答案】C 11．【答案】C12．【答案】6【解析】设P（cosα，sinα）.AO=（2，0），AP=（cosα+2，sinα）．则AO•AP=2（cosα+2）≤6，当且仅当cosα=1时取等号．故答案为：6．13．【答案】3【解析】如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由OA与OC的夹角为α，且tanα=7．∴cosα=152，sinα=752．∴C1755⎛⎫⎪⎝⎭，．cos（α+45°）=22（cosα–sinα）=35-．sin（α+45°）=22（sinα+cosα）=45．∴B3455⎛⎫-⎪⎝⎭，．∵OC=m OA+n OB（m，n∈R），∴15=m–35n，75=0+45n，解得n=74，m=54．则m+n=3．故答案为：3．14．【答案】3 11。

平面向量的应用的综合应用题在数学学科中，平面向量是一个重要的概念，具有广泛的应用。

本文将通过综合应用题来展示平面向量的应用，并解决与之相关的问题。

【引言】平面向量是以箭头表示的有向线段，由起点和终点确定。

在实际问题中，平面向量可以用来描述和解决各种几何和物理问题，包括位移、速度、力等。

下面将通过一些实际问题，展示平面向量的应用。

【问题一：帆船比赛】在一场帆船比赛中，有三艘帆船A、B、C，它们的起点均为O点，终点分别为A点、B点、C点。

帆船A向东航行30千米，帆船B向北航行40千米，帆船C向东北航行50千米。

设D点为A点与B点连线的中点，请问C点与D点的距离是多少？【解答】首先，我们可以通过平面向量的法则来解决这个问题。

设向东为x轴正方向，向北为y轴正方向。

将帆船A的位移表示为向量$\vec{A}$，帆船B的位移表示为向量$\vec{B}$，帆船C的位移表示为向量$\vec{C}$。

根据题意，$\vec{A}=30\vec{i}$，$\vec{B}=40\vec{j}$，$\vec{C}=50\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\vec{i}+\frac{1}{\sqrt{2}}\vec{j}\right )$。

设向量$\vec{AD}$表示从A点到D点的位移，向量$\vec{BC}$表示从B点到C点的位移，向量$\vec{CD}$表示从C点到D点的位移。

由于D点是A点和B点连线的中点，所以向量$\vec{AD}=\frac{\vec{AB}}{2}$。

根据平面向量的加法性质，$\vec{AB}=\vec{B}-\vec{A}=40\vec{j}-30\vec{i}$。

将向量$\vec{AD}=\frac{\vec{AB}}{2}=20\vec{j}-15\vec{i}$。

向量$\vec{CD}=\vec{C}-\vec{D}=\vec{C}-\vec{A}+\vec{AD}=\vec{C}-\vec{A}+20\vec{j}-15\vec{i}$。

（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何关系.
4.几何法和坐标法
（1）几何法：
①选取适当的基（夹角、模易知），将题中涉及的向量用基表示；
②利用向量的运算法则、运算律或性质计算；
2
3
2
3
6
2
由
又O为和 的公共点，∴ 点E，O，F在同一直线上.


1
＝ ＝ .


2
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必修第二册
湖南教育版
3.平面几何中的长度问题
例 3 如图所示，四边形ABCD是正方形，BE∥AC，AC＝CE，EC的延长线交BA的延长线于点F.
求证：AF＝AE.
证明
如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为1，则A（-1，1），B（0，1）.
（2）计算得出1 2 + 1 2＝0，从而得到⊥ ；
（3）给出几何结论AB⊥CD.
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跟踪训练
1-1
（1）若M为△ABC所在平面内一点，且满足（- ）·（+ - 2）＝0，则△ABC为（ B ）
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
证明：（方法1）∵ 在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∴ 2|AC|＝ 2|BC|＝|AB|.
1
2
2
3
2
3
2
3
1
3
∵＝- ＝ - ，＝+ ＝+ ＝+ （- ）＝ + ，

平面向量在能源工程中的应用平面向量是研究空间几何和力学中的重要工具，它们在各个领域都有广泛的应用。

在能源工程中，平面向量的运用是不可忽视的。

本文将探讨平面向量在能源工程中的应用，并介绍其中的一些常见场景。

1. 电力系统中的平面向量应用在电力系统中，平面向量在变压器和电缆网络的研究中扮演着重要的角色。

例如，变压器的绕组可以看作是一个有向线段，通过施加平面向量的运算，可以计算出绕组的电流、电压和功率等重要参数。

此外，对于复杂的电缆网络，平面向量也可以用来分析电流和电压的分布情况，从而优化电力系统的配置和运行。

2. 太阳能系统中的平面向量应用太阳能系统是利用太阳辐射能进行能源转换的系统，其中平面向量的应用非常广泛。

首先，在太阳能电池板的设计中，平面向量可以用于计算太阳光的照射角度和强度，从而确定最佳的安装角度和朝向，以提高太阳能电池板的效率。

此外，平面向量还可以用来计算太阳能集热器的焦点位置和聚光效果，从而优化能源利用。

3. 风力发电中的平面向量应用风力发电是通过风力驱动涡轮机，将动能转化为电能的过程。

在风力发电机组设计和优化中，平面向量发挥着重要的作用。

例如，在风轮设计中，平面向量可以用来计算风的方向和速度，从而确定风轮的叶片朝向和转速，以提高发电机组的效率。

此外，平面向量还可以用来优化风力发电场的布局和布线，以最大程度地利用风能。

4. 水力发电中的平面向量应用水力发电是利用水能转化为电能的过程，其中平面向量的应用也非常重要。

在水力发电站的设计和运行中，平面向量可以用来计算水流的方向和速度，从而确定水轮机的位置和叶片朝向，以提高发电效率。

此外，平面向量还可以用来计算水轮机的受力情况和转动力矩，从而优化发电机组的运行和维护。

综上所述，平面向量在能源工程中有着广泛的应用。

它们可以用来计算电力系统中的电流、电压和功率等参数，优化太阳能和风力发电系统的设计和运行，并优化水力发电站的布局和设备配置。

随着能源需求的增加和可再生能源的发展，平面向量在能源工程中的应用还将进一步扩大。