20160907等差数列专题教师版

高二第1讲 等差数列第一部分 知识重点1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．2．等差数列的通项公式若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝(n －m )d＝p .3．等差中项如果三个数x ，A ，y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项，如果A 是x 和y 的等差中项，则A ＝x ＋y2.4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)． (2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． (5)S 2n －1＝(2n －1)a n .(6)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝nd2；若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)． 5．等差数列的前n 项和公式若已知首项a 1和末项a n ，则S n ＝n a 1＋a n2，或等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其前n 项和公式为S n ＝na 1＋n n －12d .6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，数列{a n }是等差数列的充要条件是S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．7．最值问题在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值，若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值。

第二部分 基础回顾1．已知等差数列{a n }中，a 3=9，a 9=3，则公差d 的值为（ ）D一个推导利用倒序相加法推导等差数列的前n 项和公式： S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，① S n ＝a n ＋a n －1＋…＋a 1，②①＋②得：S n ＝n a 1＋a n2.两个技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元． (1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，…. (2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元． 四种方法等差数列的判断方法(1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数；(2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)都成立； (3)通项公式法：验证a n ＝pn ＋q ；(4)前n 项和公式法：验证S n ＝An 2＋Bn .注： 后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列．回顾：考点1:等差数列的通项与前n 项和题型1：已知等差数列的某些项，求某项【解题思路】给项求项问题，先考虑利用等差数列的性质，再考虑基本量法 【例1】已知{}n a 为等差数列，20,86015==a a ，则=75a解：方法1： 154,156420598141160115==⇒⎩⎨⎧=+==+=d a d a a d a a∴2415474156474175=⨯+=+=d a a 方法2： 1544582015601560=-=--=a a d ， ∴241541520)6075(6075=⨯+=-+=d a a方法3：令b an a n +=，则38,45162060815==⇒⎩⎨⎧=+=+b a b a b a∴24384516757575=+⨯=+=b a a方法4： {}n a 为等差数列，∴7560453015,,,,a a a a a 也成等差数列，设其公差为1d ，则15a 为首项，60a 为第4项.∴438203111560=⇒+=⇒+=d d d a a ∴2442016075=+=+=d a a方法5： {}n a 为等差数列，∴),75(),,60(),,15(756015a a a 三点共线2415204582060751560757560751560=⇒-=-⇒--=--a a a a a a对应练习：1、已知{}n a 为等差数列，q a p a n m ==,（k n m ,,互不相等），求k a .2、已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为165，求这5个数.题型2：已知前n 项和n S 及其某项，求项数.【解题思路】⑴利用等差数列的通项公式d n a a n)1(1-+=求出1a 及d ，代入n S 可求项数n ；⑵利用等差数列的前4项和及后4项和求出n a a +1，代入n S 可求项数n .【例2】已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，63,6,994=-==n S a a ，求n解：设等差数列的首项为1a ，公差为d ，则3,186893111-==⇒⎩⎨⎧-=+=+d a d a d a∴7,663)1(231821==⇒=--=n n n n n S n 对应练习：3、若一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，求这个数列的项数n .4.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，100,7,141===n S a a ，则=n .题型3：求等差数列的前n 项和【解题思路】（1）利用n S 求出n a ，把绝对值符号去掉转化为等差数列的求和问题.（2）含绝对值符号的数列求和问题，要注意分类讨论.【例3】已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，212n n S n -=.（1）321a a a ++；⑵求10321a a a a ++++ ； ⑶求na a a a ++++ 321.解：212n n S n -=，∴当1=n 时，1111211=-==S a ，当2≥n 时，n n n n n S S a n n n 213)1()1(12)12(221-=-+---=-=-，当1=n时，1111213a ==⨯-， ∴n a n 213-=.由0213≥-=n a n，得213≤n ，∴当61≤≤n 时，0>n a ；当7≥n 时，0<n a .（1）27331223321321=-⨯==++=++S a a a a a a ；⑵)(10987632110321a a a a a a a a a a a a +++-++++=++++52)101012()6612(2222106=-⨯--⨯=-=S S ；（3）61≤≤n 时，232132112n n a a a a a a a a n n -=++++=++++ ，当7≥n 时，)(876321321n n a a a a a a a a a a a +++-++++=++++.7212)12()6612(222226+-=---⨯=-=n n n n S S n对应练习：5、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，10,10010010==S S ，求110S .考点2 ：证明数列是等差数列【名师指引】判断或证明数列是等差数列的方法有：1、定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列；2、中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列； 3、通项公式法：b kn a n +=（b k ,是常数）⇔{}n a 是等差数列；4、项和公式法：Bn An S n+=2（B A ,是常数，0≠A ）⇔{}n a 是等差数列.【例4】已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，)(+∈=N n nS b n n .求证：数列{}n b 是等差数列.解：方法1：设等差数列{}n a 的公差为d ，d n n na S n )1(211-+=，∴d n a n S b n n )1(211-+==∴2)1(2121111dd n a nd a b b n n =---+=-+（常数）∴数列{}n b 是等差数列.方法2： d n a n S b n n)1(211-+==， ∴nd a b n 2111+=+，d n a b n )1(2112++=+∴1111222)1(21)1(21++=+=-++++=+n n n b nd a d n a d n a b b ， ∴数列{}n b 是等差数列.对应练习：6、设n S 为数列{}n a 的前n 项和，)(+∈=N n pna S n n ，.21a a =（1） 常数p 的值；（2） 证：数列{}n a 是等差数列.考点3 :等差数列的性质【解题思路】利用等差数列的有关性质求解.【例5】1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1006=a ，则=11S ； 2、知nS 为等差数列{}n a 的前n项和，)(,m n n S m S m n ≠==，则=+n m S .解：1、11001122112)(116611111==⨯=+=a a a a S ；2、方法1：令Bn An S n+=2，则n m m n B m n A nBm Am mBn An -=-+-⇒⎩⎨⎧=+=+)()(2222. m n ≠，∴1)(-=++B m n A ，∴)()()(2n m n m B n m A S n m +-=+++=+；方法2：不妨设n m >mn a a n m a a a a a S S m n m m n n n n m -=+-=+++++=-+-+++2))((11321 .∴211-=+=+++m n n m a a a a ， ∴)(2))((1n m a a n m S n m n m +-=++=++；方法3：{}n a 是等差数列，∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 为等差数列∴⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+n m S n m m S m n S n n m m n ,,,,,三点共线.∴)(n m S nm nn m S n m n m m n n m n m +-=⇒-+=--++.对应练习：7、含12+n 个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为（ ）.A n n 12+ .B n n 1+ .C n n 1- .D nn 21+8.设n S 、nT 分别是等差数列{}n a 、{}n a 的前n 项和，327++=n n T S nn，则=55b a . 考点4： 等差数列与其它知识的综合【解题思路】1、利用n a 与n S 的关系式及等差数列的通项公式可求；2、求出n T 后，判断n T 的单调性.【例6】已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，n n S n 211212+=；数列{}n b 满足：113=b ，n n n b b b -=++122，其前9项和为.153⑴ 数列{}n a 、{}n b 的通项公式；⑵设n T 为数列{}n c 的前n 项和，)12)(112(6--=n n n b a c ，求使不等式57k T n >对+∈∀N n 都成立的最大正整数k 的值.解：⑴ n n S n211212+=， ∴当1=n 时，611==S a ；当2≥n 时，5)1(211)1(2121121221+=----+=-=-n n n n n S S a n n n 当1=n时，1651a ==+，∴5+=n a n ；222112+++++=⇒-=n n n n n n b b b b b b ，∴{}n b 是等差数列，设其公差为d .则3,5153369112111==⇒⎩⎨⎧=+=+d b d b d b ，∴23)1(35+=-+=n n b n .⑵ [][]1)23(211)5(26)12)(112(6-+-+=--=n n b a c n n n121121)12)(12(2+--=+-=n n n n ∴1211)121121()7151()5131()311(+-=+--++-+-+-=n n n T n +∈N n ，∴n T 是单调递增数列. ∴当1=n 时，()323111min =-==T T n ∴57k T n >对+∈∀N n 都成立()38573257min <⇔>⇔>⇔k kk T n ∴所求最大正整数k 的值为37.对应练习：9.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，31=a ，)2(21≥=-n a S S n n n .⑴ 数列{}n a 的通项公式；⑵数列{}n a 中是否存在正整数k ，使得不等式1+>k k a a 对任意不小于k 的正整数都成立？若存在，求最小的正整数k ，若不存在，说明理由.课后练习：1.(2010广雅中学)设数列{}n a 是等差数列，且28a =-，155a =，n S 是数列{}n a 的前n项和，则A ．1011S S = B ．1011S S > C ．910S S = D ．910S S <2.在等差数列{}n a 中，1205=a ，则=+++8642a a a a .3.数列{}n a 中，492-=n a n ，当数列{}n a 的前n 项和n S 取得最小值时，=n .4.已知等差数列{}n a 共有10项，其奇数项之和为10，偶数项之和为30，则其公差是 .5.设数列{}n a 中，112,1n n a a a n +==++，则通项n a = .6.从正整数数列 ,5,4,3,2,1中删去所有的平方数，得到一个新数列，则这个新数列的第1964项是 .答案与解析： 对应练习：1、【解析】n m k m q n k p a n k q a n m q p n k a a n m a a k k n k n m --+-=⇒--=--⇒--=--)()(2、【解析】设这5个数分别为.2,,,,2d a d a a d a d a ++--则⎩⎨⎧=+=⇒⎩⎨⎧=+++++-+-=+++++-+-1651051165)2()()()2(5)2()()()2(2222222d a a d a d a a d a d a d a d a a d a d a 解得4,1±==d a当4,1==d a 时，这5个数分别为：9,5,1,3,7--； 当4,1-==d a 时，这5个数分别为：.7,3,1,5,9--3、【解析】 124,363214321=+++=+++---n n n n a a a a a a a a3423121---+=+=+=+n n n n a a a a a a a a∴40160)(411=+⇒=+n n a a a a∴39780207802)(1=⇒=⇒=+=n n a a n S n n 4、【解析】设等差数列的公差为d ，则23171414=-=--=a a d 101002)1(21=⇒=⨯-+=n n n n S n .5、【解析】方法1：设等差数列的公差为d ，则⎪⎩⎪⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=+=+100109950111049501001004510111d a d a d a ∴110109110211101110-=⨯⨯+=d a S ；方法2： 2902)(90100111001110100-=+⇒-=+=-a a a a S S 1102)(1102)(110100*********-=+=+=a a a a S6、【解析】⑴ n npna S =，21a a =，∴111=⇒=p pa a⑵由⑴知：n n na S =，当2≥n 时，0))(1()1(111=--⇒--=-=---n n n n n n n a a n a n na S S a ，∴)2(01≥=--n a a n n ，∴数列{}n a 是等差数列.7、【解析】（本两小题有多种解法）2))(1(12112531++++=++++=n n a a n a a a a S 奇2)(222642n n a a n a a a a S +=++++= 偶，n n a a a a 22121+=++∴nn S S 1+=偶奇.∴选B. 8、【解析】12652525514225143)12(2)12(7551212=+⨯-⨯=⇒+-=+-+-==--b a n n n n T S b a n n n n ∴填1265. 9、【解析】⑴当2≥n时，)(22111----=⇒=n n n n n n n S S S S a S S∴21111-=--n n S S ，且3111=S ，∴{}n a 是以21-为公差的等差数列，其首项为31. ∴nS n n S S n n 356635)1(21111-=⇒-=--= ∴当2≥n 时，)53)(83(18211--==-n n S S a n n n 当1=n 时，11018)53)(83(18a ≠=--，∴⎪⎩⎪⎨⎧≥--=)2()53)(83(18)1(3n n n n ；⑵ 0)23)(53)(83(181>---=-+k k k a a k k，得3532<<k 或38>k ，∴当3≥k时，1+>k k a a 恒成立，所求最小的正整数.3=k课后练习：1、【解析】C ．1091521015216292)(,22S S a d a S d a a a a S =⇒++=++=+=另法：由28a =-，155a =，得713815)8(5=---=d ，76921=-=d a a ，计算知910S S =2、【解析】480 .480458642==+++a a a a a3、【解析】24 由492-=n a n 知{}n a 是等差数列，.250>⇒>n a n超级名师工作室∴.24=n4、【解析】4 已知两式相减，得.4205=⇒=d d5、【解析】1)1(21++n n 利用迭加法（或迭代法），也可以用归纳—猜想—证明的方法.6、【解析】2008。