必修四任意角(附答案)

任意角、弧度1．1.1任意角预习课本P5～7，思考并完成下列问题1．在初中，角是怎样定义的？2．如果角按旋转的方向来进行分类，可分为哪三类？3．如果把角放入平面直角坐标系中，象限角和轴线角的规定是怎样的？4．如何表示终边相同的角？[新知初探]1．任意角(1)角的概念一个角可以看做平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．射线的端点称为角的顶点，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的始边和终边．(2)角的分类正角：按逆时针方向旋转所形成的角；负角：按顺时针方向旋转所形成的角；零角：射线没有作任何旋转所形成的角．[点睛]对角的理解关键是抓住旋转二字(1)要明确旋转的方向；(2)要明确旋转量的大小；(3)要明确旋转的开始位置．2．象限角、轴线角以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系．这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，称这个角为轴线角．[点睛](1)角的顶点要与坐标原点重合；(2)角的始边要与x轴的正半轴重合.3．终边相同的角一般地，与角α终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．[点睛]终边相同的角与相等的角是两个不同的概念，两角相等，终边一定相同，但是两角终边相同时，两角不一定相等，它们相差360°的整数倍．[小试身手]1．下列命题正确的是____________(填序号)．①－30°是第一象限角；②750°是第四象限角；③终边相同的角一定相等；④－950°12′是第二象限的角．★答案★：④2．－1 120°角所在象限是____________．★答案★：第四象限3．与405°角终边相同的角的集合是____________．★答案★：{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}4．在－180°到360°范围内，与2 000°角终边相同的角为____________．★答案★：－160°，200°角的概念辨析[典例]有下列说法：①相差360°整数倍的两个角，其终边不一定相同；②{α|α是锐角}{β|0°≤β<90°}；③第一象限角都是锐角；④小于180°的角是钝角、直角或锐角．其中正确说法的序号是________．[解析]①不正确．终边相同的两个角一定相差360°的整数倍，反之也成立；②∵α是锐角，即0°<α<90°，故{α|0°<α<90°}{β|0°≤β<90°}，故②正确；③第一象限角不一定都是锐角，如380°是第一象限角，但它不是锐角，故③不正确；④0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故④不正确．[★答案★]②有关角的概念辨析的解题策略(1)正确理解象限角及锐角、直角、钝角、平角、周角等概念．(2)可通过举出反例来进行判断．下列命题是真命题的序号是________．①三角形的内角必是一、二象限内的角；②第二象限角是钝角； ③不相等的角终边一定不同；④{α|α＝k ·360°±90°，k ∈Z}＝{α|α＝k ·180°＋90°，k ∈Z}． 解析：①90°不是象限角；②如－240°是第二象限角，但不是钝角； ③如0°和360°不相等，但终边相同；④k ·360°±90°＝2k ·180°±90°＝2k ·180°＋90°或(2k －1)·180°＋90°，k ∈Z. ★答案★：④象限角及终边相同的角[典例] 在0°到360°的范围内，求出与下列各角终边相同的角，并判断是第几象限角． (1)－736°；(2)904°18′.[解] (1)－736°＝－3×360°＋344°，344°是第四象限角． ∴344°与－736°是终边相同的角，且－736°为第四象限角． (2)904°18′＝2×360°＋184°18′，184°18′是第三象限角． ∴184°18′与904°18′是终边相同的角，且904°18′为第三象限角．(1)把任意角化为α＋k ·360°(k ∈Z 且0°≤α<360°)的形式，关键是确定k .可以用观察法(α的绝对值较小)，也可用除法．要注意：正角除以360°，按通常的除法进行；负角除以360°，商是负数，其绝对值比被除数为其相反数时的商大1，使余数为正值．(2)要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k 的值．[活学活用]写出－720°到720°之间与－1 068°终边相同的角的集合为______________． 解析：与－1 068°终边相同的角为－1 068°＋k ·360°，要落在－720°到720°之间，则取k ＝1,2,3,4.★答案★：{－708°，－348°，12°，372°}已知角α所在象限，判断αn 或nα(n ∈Z)所在象限[解] ∵α是第二象限角，∴90°＋k ·360°＜α＜180°＋k ·360°，k ∈Z. ∴180°＋2k ·360°＜2α＜360°＋2k ·360°，k ∈Z.∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y 轴的非正半轴上的角． [一题多变]1．[变设问]若本例条件不变，求α2是第几象限角？解：45°＋k 2 ·360°＜α2＜90°＋k2·360°，k ∈Z.当k 为偶数时，不妨令k ＝2n ，n ∈Z ， 则45°＋n ·360°＜α2＜90°＋n ·360°，此时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1，n ∈Z ， 则225°＋n ·360°＜α2＜270°＋n ·360°，此时，α2为第三象限角．∴α2为第一或第三象限角．2．[变设问]若本例条件不变，求α3是第几象限角？解：∵k ·120°＋30°<α3<k ·120°＋60°(k ∈Z)，当k ＝3n (n ∈Z)时， n ·360°＋30°＜α3＜n ·360°＋60°；当k ＝3n ＋1(n ∈Z)时， n ·360°＋150°＜α3＜n ·360°＋180°；当k ＝3n ＋2(n ∈Z)时， n ·360°＋270°＜α3＜n ·360°＋300°.∴α3是第一或第二或第四象限的角. 3．[变条件]已知α是第二象限角，且8α与2α的终边相同，判断2α是第几象限角． 解：8α＝2α＋k ·360°(k ∈Z)， 所以α＝k ·60°(k ∈Z)， 所以，2α＝k ·120°(k ∈Z)，当k 为偶数时， 2α的终边分别落在x 轴的正半轴和第二、第三象限． 当k 为奇数时，2α的终边分别落在x 轴的正半轴和第二、第三象限， 所以，2α为第二或第三象限角，或是终边落在x 轴正半轴上的角．已知角α终边所在象限，(1)确定nα终边所在的象限，直接转化为终边相同的角即可． (2)确定αn 终边所在象限常用的步骤如下：①求出αn 的范围；②对n 的取值分情况讨论：被n 整除；被n 除余1；被n 除余2；…；被n 除余n －1； ③下结论．层级一 学业水平达标1．在0°到360°范围内，与－950°角终边相同的角是________．解析：－950°＝130°－3×360°，所以在0°～360°的范围内，与－950°角终边相同的角是130°.★答案★：130°2．在－390°，－885°，1 351°，2 016°这四个角中，其中第四象限角的个数为________． 解析：－390°＝－360°－30°是第四象限角；－885°＝－2×360°－165°是第三角限角；1 351°＝3×360°＋271°是第四象限角；2 016°＝5×360°＋216°是第三象限角．故有2个．★答案★：23．钟表经过2小时，时针转过的度数为________．解析：时针均按顺时针方向旋转，2小时时针转过16周，所以时针转过了－60°.★答案★：－60°4．已知角α，β的终边相同，那么α－β的终边在________． 解析：∵角α，β的终边相同， ∴α＝k ·360°＋β，k ∈Z.作差α－β＝k ·360°＋β－β＝k ·360°，k ∈Z. ∴α－β的终边在x 轴的正半轴上． ★答案★：x 轴的正半轴上5. 设集合A ＝{α|α＝90°·k ＋30°，k ∈Z}，B ＝{α|0°≤α<360°}，则A ∩B ＝________. 解析：由0°≤90°·k ＋30°<360°，k ∈Z ， 得－13≤k <113，k ∈Z ，所以k ＝0,1,2,3，所以A ∩B ＝{30°，120°，210°，300°}． ★答案★：{30°，120°，210°，300°}6．若α＝45°＋k·180° (k∈Z)，则α的终边在第________象限．解析：由题意知α＝k·180°＋45°，k∈Z，当k＝2n＋1，n∈Z时，α＝2n·180°＋180°＋45°＝n·360°＋225°，在第三象限，当k＝2n，n∈Z时，α＝2n·180°＋45°＝n·360°＋45°，在第一象限．∴α是第一或第三象限的角．★答案★：一或三7．已知α与β均为正角，且α＋β＝180°，若0°<α≤90°，则角β的终边位于_______________．解析：若0°<α<90°，则90°<β＝180°－α<180°，即角β的终边在第二象限；若α＝β＝90°，则角β的终边位于y轴正半轴上．★答案★：第二象限或y轴正半轴上8．若角α满足180°＜α＜360°，角5α与角α有相同的始边，且又有相同的终边，那么角α＝______________.解析：∵5α与α的始边和终边相同，∴这两角的差应是360°的整数倍．即5α－α＝4α＝k·360°，k∈Z.即α＝k·90°.又180°<α<360°，∴180°<k·90°<360°.∴2<k<4.∴k＝3，故α＝270°.★答案★：270°9．已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合．解：(1){x|k·360°－135°≤x≤k·360°＋135°，k∈Z}．(2){x|k·360°＋30°≤x≤k·360°＋60°，k∈Z}∪{x|k·360°＋210°≤x≤k·360°＋240°，k∈Z}＝{x|2k·180°＋30°≤x≤2k·180°＋60°或(2k＋1)·180°＋30°≤x≤(2k＋1)·180°＋60°，k∈Z}＝{x|k·180°＋30°≤x≤k·180°＋60°，k∈Z}．10．已知α＝－1 910°，(1)把α写成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式，指出它是第几象限的角；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ＜0°.解：(1)设α＝β＋k·360°(k∈Z)，则β＝－1 910°－k·360°(k∈Z)．令－1 910°－k·360°≥0，解得k≤－1 910 360.所以k的最大整数解为k＝－6，求出相应的β＝250°，于是α＝250°－6×360°，它是第三象限的角．(2)令θ＝250°＋k·360°(k∈Z)，取k＝－1，－2就得到符合－720°≤θ＜0°的角：250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.故θ＝－110°或－470°.层级二应试能力达标1．在0°到360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为___________．解析：与角－60°的终边在同一条直线上的角为－60°＋k·180°，k∈Z，取k＝1,2.★答案★：120°与300°2．射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，再顺时针旋转270°到达OC位置，则∠AOC＝________.解析：根据任意角的定义可得∠AOC＝120°＋(－270°)＝－150°.★答案★：－150°3．若α是第三象限角，则180°－α是第________象限角．解析：因为α是第三象限角，所以k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z.所以k·360°－90°<180°－α<k·360°，k∈Z.所以180°－α为第四象限角．★答案★：四4．与1 991°终边相同的最小正角是________，绝对值最小的角是________．解析：与1 991°终边相同的角为1 991°＋k·360°，取k＝－5，－6.★答案★：191°，－169°5．角α，β的终边关于y轴对称，若α＝30°，则β＝________________.★答案★：150°＋k·360°，k∈Z6．已知角2α的终边落在x 轴上方，那么α是第________象限角． 解析：由题知k ·360°＜2α＜180°＋k ·360°，k ∈Z ， ∴k ·180°＜α＜90°＋k ·180°，k ∈Z.当k 为偶数时，α是第一象限角；当k 为奇数时，α为第三象限角，∴α为第一或第三象限角．★答案★：一或三7．若θ是第一象限角，判断θ2所在的象限．解：∵θ是第一象限角， ∴k ·360°<θ<k ·360°＋90°(k ∈Z)． k ·180°<θ2<k ·180°＋45°(k ∈Z)．当k ＝2n ，n ∈Z 时，n ·360°<θ2<n ·360°＋45°，∴θ2为第一象限角； 当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时， n ·360°＋180°<θ2<n ·360°＋225°，∴θ2为第三象限角．综上，θ2为第一或第三象限角．8．已知角β的终边在直线3x －y ＝0上． (1)写出角β的集合S ；(2)写出S 中适合不等式－360°<β<720°的元素． 解：(1)如图，直线3x －y ＝0过原点，倾斜角为60°， 在0°～360°范围内，终边落在射线OA 上的角是60°， 终边落在射线OB 上的角是240°，所以以射线OA ，OB 为终边的角的集合为： S 1＝{β|β＝60°＋k ·360°，k ∈Z}， S 2＝{β|β＝240°＋k ·360°，k ∈Z}， 所以角β的集合S ＝S 1∪S 2＝{β|β＝60°＋k ·360°，k ∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k ·360°，k ∈Z} ＝{β|β＝60°＋2k ·180°，k ∈Z}∪{β|β＝60°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z} ＝{β|β＝60°＋k ·180°，k ∈Z}．(2)由于－360°<β<720°，即－360°<60°＋k·180°<720°，k∈Z.解得－73<k<113，k∈Z，所以k＝－2，－1,0,1,2,3.所以S中适合不等式－360°<β<720°的元素为：60°－2×180°＝－300°；60°－1×180°＝－120°；60°＋0×180°＝60°；60°＋1×180°＝240°；60°＋2×180°＝420°；60°＋3×180°＝600°.。

．任意角和弧度制．任意角[提出问题]问题：当钟表慢了(或快了)，我们会将分针按某个方向转动，把时间调整准确．在调整的过程中，分针转动的角度有什么不同？提示：旋转方向不同．问题：在体操或跳水比赛中，运动员会做出“转体两周”“向前翻腾两周半”等动作，做上述动作时，运动员分别转体多少度？提示：顺时针方向旋转了°或逆时针方向旋转了°，顺时针方向旋转了°.[导入新知]角的分类．按旋转方向.()角的终边在第几象限，则称此角为第几象限角；()角的终边在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限．[化解疑难]．任意角的概念认识任意角的概念应注意三个要素：顶点、始边、终边．()用旋转的观点来定义角，就可以把角的概念推广到任意角，包括任意大小的正角、负角和零角．()对角的概念的认识关键是抓住“旋转”二字．①要明确旋转方向；②要明确旋转角度的大小；③要明确射线未作任何旋转时的位置．．象限角的前提条件角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合.[提出问题]在条件“角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合”下，研究下列角：°，°，－°.问题：这三个角的终边位置相同吗？提示：相同．问题：如何用含°的式子表示°和－°？提示：°＝×°＋°，－°＝－×°＋°.问题：确定一条射线，以它为终边的角是否唯一？提示：不唯一．[导入新知]终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合＝，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．[化解疑难]所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子·°＋α，∈表示，在运用时需注意以下几点．()是整数，这个条件不能漏掉．()α是任意角．()·°，∈与α之间用“＋”连接，如·°－°，∈应看成·°＋(－°)，∈.()终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍；相等的角终边一定相同．[例] 已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．()－°；()°；()－°.。

THE FIRST CHAPTER第一章三角函数1. 1任意角和弧度制1. 1.1任意角［学习目标］1•了解角的概念2掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义.3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角.尹预习导学全挑战自我•点点落实________________________________________________ ［知识链接］1.手表慢了5分钟，如何校准？手表快了1.5小吋，又如何校准？答可将分针顺时针方向旋转30。

；可将时针逆时针方向旋转45。

.2.在初中角是如何定义的？答定义1：有公共端点的两条射线组成的儿何图形叫做角.定义2：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角.3.初中所学角的范围是什么？答角的范围是［0。

，360°］.［预习导引］1.角的概念(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.(2)角的表示方法：①常用大写字母儿3, C等表示:②也可以用希腊字母$、匸匕等表示；③特别是当角作为变量时，常用字母丄表示.(3)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：2.象限角角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边（除端点外）在第儿象限，就说这个角是第儿象限角.如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限.3.终边相同的角所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合S=｛0|0=a+E36O。

，MZ｝, 即任一与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整数个周角的和.戸课堂讲义/ 重点难点，个个击破 ____________________________________________________________要点一任意角概念的辨析例1在下列说法中：①0。

〜90。

的角是第一象限角；②第二象限角大于第一象限角；③钝角都是第二象限角；④小于90。

第一章三角函数1.1 任意角和弧度制1.1.1 任意角课后篇巩固探究1.200°角是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角180°<200°<270°,第三象限角α的取值范围为k·360°+180°<α<k·360°+270°,k∈Z,所以200°角是第三象限角.2.在-360°≤α<0°范围内与60°角终边相同的角为( )A.-300°B.-300°,60°C.60°D.420°60°角终边相同的角α可表示为α=60°+k·360°,当k=-1时,α=-300°,故在-360°≤α<0°范围内与60°角终边相同的角为-300°.3.若角θ是第四象限角,则90°+θ是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角,将θ的终边按逆时针方向旋转90°得90°+θ的终边,则90°+θ是第一象限角.4.角α=45°+k×180°(k∈Z)的终边落在( )A.第一或第三象限B.第一或第二象限C.第二或第四象限D.第三或第四象限k是偶数时,角α是第一象限角,当k是奇数时,角α是第三象限角.5.如图,终边在阴影部分(含边界)的角的集合是( )A.{α|-45°≤α≤120°}B.{α|120°≤α≤315°}C.{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z}D.{α|120°+k·360°≤α≤315°+k·360°,k∈Z},终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z}.故选C.±45°,k∈Z},P=,P之间的关系为( ) 6.已知集合M={x|x=k·180°2A.M=PB.M⊆PC.M⊇PD.M∩P=⌀±45°=k·90°±45°=(2k±1)·45°,k∈Z, M,x=k·180°2对于集合P,x=k·180°±90°=k·45°±90°=(k±2)·45°,k∈Z.∴4M⊆P.7.已知角α,β的终边关于直线x+y=0对称,且α=-60°,则β=.-90°到0°的范围内,-60°角的终边关于直线y=-x对称的射线的对应角为-45°+15°=-30°,所以β=-30°+k·360°,k∈Z.30°+k·360°,k∈Z8.若角α与角288°终边相同,则在0°~360°内终边与角α4终边相同的角是.,得α=288°+k·360°(k∈Z),α4=72°+k·90°(k∈Z).又α4在0°~360°内,所以k=0,1,2,3,相应地有α4=72°,162°,252°,342°.9.终边落在图中阴影部分所示的区域内(包括边界)的角的集合为.由图易知在0°~360°范围内,终边落在阴影区域内(包括边界)的角为45°≤α≤90°与225°≤α≤270°,故终边落在阴影部分所示的区域内(包括边界)的角的集合为{α|k·360°+45°≤α≤k·360°+90°,k ∈Z}∪{α|k·360°+225°≤α≤k·360°+270°,k∈Z}={α|k·180°+45°≤α≤k·180°+90°,k∈Z}.Z}10.已知α=-1 910°.(1)把α写成β+k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第几象限角;(2)求θ,使θ与α的终边相同,且-720°≤θ<0°.设α=β+k·360°(k∈Z),则β=-1910°-k·360°(k∈Z).令-1910°-k·360°≥0,解得k≤-1910360=-51136.k的最大整数解为k=-6,求出相应的β=250°,于是α=250°-6×360°,它是第三象限角.(2)令θ=250°+n·360°(n∈Z),取n=-1,-2就得到符合-720°≤θ<0°的角. 250°-360°=-110°,250°-720°=-470°.故θ=-110°或θ=-470°.11.已知角α的终边在图中阴影部分所表示的范围内(不包括边界),写出角α的集合.0°~360°范围内,终边落在阴影部分内的角为30°<α<150°与210°<α<330°,故所有满足题意的角α的集合为{α|k·360°+30°<α<k·360°+150°,k∈Z}∪{α|k·360°+210°<α<k·360°+330°,k∈Z}={α|n·180°+30°<α<n·180°+150°,n∈Z}.12.已知α,β都是锐角,且α+β的终边与-280°角的终边相同,α-β的终边与670°角的终边相同,求角α,β的大小.-280°+k·360°,k∈Z.∵α,β都是锐角,∴0°<α+β<180°.取k=1,得α+β=80°.①α-β=670°+k·360°,k∈Z.∵α,β都是锐角,∴-90°<α-β<90°.取k=-2,得α-β=-50°.②由①②,得α=15°,β=65°.。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作1．下列命题中，正确的是( )A ．始边和终边都相同的两个角一定相等B ．－135°是第二象限角C ．若450°<α≤540°，则α4是第一象限角 D ．相等的两个角终边一定相同解析：选D.据角的相关概念易知．2．－1 120°角所在象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D.由题意，得－1 120°＝320°＋(－4)×360°，而320°在第四象限，所以－1 120°角也在第四象限．3．把－1 485°转化为α＋k ·360°(0°≤α<360°，k ∈Z )的形式是( )A ．45°－4×360°B ．－45°－4×360°C ．－45°－5×360°D ．315°＋(－5)×360°解析：选D.注意角α的取值范围是解题的关键．4．若角α满足α＝45°＋k ·180°，k ∈Z ，则角α的终边落在( )A ．第一或第三象限B ．第一或第二象限C ．第二或第四象限D ．第三或第四象限解析：选A.当k 为奇数时，角α与225°角终边相同，在第三象限；当k 为偶数时，角α与45°角终边相同，在第一象限．5．终边落在x 轴上的角的集合为( )A ．{β|β＝n ·360°，n ∈Z }B ．{β|β＝n ·180°，n ∈Z }C ．{β|β＝(2n ＋1)·180°，n ∈Z }D ．{β|β＝(2n ＋1)·360°，n ∈Z }答案：B6．在－360°～720°之间，与－367°角终边相同的角是________．解析：与－367°角终边相同的角可表示为α＝k ·360°－367°，k ∈Z .当k ＝1,2,3时，α＝－7°，353°，713°，这三个角都是符合条件的角．答案：－7°，353°，713°7．若时针走过2小时40分，则分针走过的角是________．解析：2小时40分＝83小时，－360°×83＝－960°，故分针走过的角为－960°. 答案：－960°8．根据角α终边的位置，写出角α的集合：在第二象限角平分线上时，α＝________，k ∈Z ；在第一、三象限角平分线上时，α＝________，k ∈Z .解析：先研究角在[0°，360°)内的情况，再加上360°的整数倍，即可得终边在第二象限角平分线上的角，α＝135°＋k ·360°，k ∈Z ；终边在第一、三象限角平分线上，α＝45°＋k ·180°，k ∈Z .答案：135°＋k ·360° 45°＋k ·180°9．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角：(1)549°；(2)－60°；(3)－503°36′.解：(1)549°＝189°＋360°，而180°<189°<270°，因此549°角为第三象限角，且在0°～360°范围内，与189°角有相同的终边．(2)－60°＝300°－360°，而270°<300°<360°，因此－60°角为第四象限角，且在0°～360°范围内，与300°角有相同的终边．(3)－503°36′＝216°24′－2×360°，而180°<216°24′<270°，因此，－503°36′角是第三象限角，且在0°～360°范围内，与216°24′角有相同的终边．10．写出如图所示阴影部分的角α的范围．解：(1)因与45°角终边相同的角可写成45°＋k ·360°，k ∈Z 的形式，与－180°＋30°＝－150°角终边相同的角可写成－150°＋k ·360°，k ∈Z 的形式．所以图(1)中阴影部分的角α的范围可表示为{α|－150°＋k ·360°<α≤45°＋k ·360°，k ∈Z }．(2)同理可表示图(2)中角α的范围为{α|45°＋k ·360°≤α≤300°＋k ·360°，k ∈Z }．。

1.1.2 弧度制 课时目标 1.理解角度制与弧度制的概念，掌握角的不同度量制度，能对弧度和角度进行正确的变换.2.掌握并会应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．1．角的单位制(1)角度制：规定周角的________为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．(2)弧度制：把长度等于________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作________．(3)角的弧度数求法：如果半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长为l ，那么l ，α，r 之间存在的关系是：____________；这里α的正负由角α的________________决定．正角的弧度数是一个________，负角的弧度数是一个________，零角的弧度数是________．2．角度制与弧度制的换算 角度化弧度 弧度化角度360°＝________ rad 2π rad ＝________180°＝______ rad π rad ＝________1°＝______rad ≈ 0.017 45 rad1 rad ＝______≈57°18′ 3.扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R ，弧长为l ，α (0<α<2π)为其圆心角，则度量单位类别α为角度制 α为弧度制扇形的弧长 l ＝________ l ＝______扇形的面积 S ＝________ S ＝______＝______一、选择题1．集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π＋π2，k ∈Z 与集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π±π2，k ∈Z 的关系是( ) A ．A ＝B B ．A ⊆BC ．B ⊆AD ．以上都不对2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．sin 2 C.2sin 1D ．2sin 1 3．扇形周长为6 cm ，面积为2 cm 2，则其中心角的弧度数是( ) A ．1或4 B ．1或2 C ．2或4 D ．1或54．已知集合A ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z }，B ＝{α|－4≤α≤4}，则A ∩B 等于( )A ．∅B ．{α|－4≤α≤π}C ．{α|0≤α≤π}D ．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}5．把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ值是( ) A.π4 B ．－π4 C.34π D ．－34π 6．扇形圆心角为π3，半径长为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( ) A ．1∶3 B ．2∶3 C ．4∶3 D ．4∶9二、填空题7．将－1 485°化为2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式是________．8．若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为____．9．若2π<α<4π，且α与－7π6角的终边垂直，则α＝______. 10．若角α的终边与角π6的终边关于直线y ＝x 对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝________________.三、解答题11．把下列各角化成2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角：(1)－1 500°；(2)236π；(3)－4.12．已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？能力提升13．已知一圆弧长等于其所在圆的内接正方形的周长，那么其圆心角的弧度数的绝对值为________．14．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值c (c >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应． 2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π”这一关系式．易知：度数×π180＝弧度数，弧度数×⎝⎛⎭⎫180π＝度数． 3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度．1.1.2 弧度制答案知识梳理1．(1)1360 (2)半径长 1 rad (3)|α|＝l r终边的旋转方向 正数 负数 0 2．2π 360° π 180° π180 ⎝⎛⎭⎫180π° 3.απR 180 αR απR 2360 12αR 2 12lR 作业设计1．A2．C [r ＝1sin 1，∴l ＝|α|r ＝2sin 1.] 3．A [设扇形半径为r ，圆心角为α，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋αr ＝612αr 2＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1α＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2α＝1.] 4．C [集合A 限制了角α终边只能落在x 轴上方或x 轴上．] 5．D [∵－114π＝－2π＋⎝⎛⎭⎫－34π，∴θ＝－34π.] 6．B [设扇形内切圆半径为r ， 则r ＋r sin π6＝r ＋2r ＝a .∴a ＝3r ，∴S 内切＝πr 2. S 扇形＝12αr 2＝12×π3×a 2＝12×π3×9r 2＝32πr 2. ∴S 内切∶S 扇形＝2∶3.]7．－10π＋74π 解析 ∵－1 485°＝－5×360°＋315°，∴－1 485°可以表示为－10π＋74π. 8．25解析 216°＝216×π180＝6π5，l ＝α·r ＝6π5r ＝30π，∴r ＝25. 9.73π或103π 解析 －76π＋72π＝146π＝73π，－76π＋92π＝206π＝103π. 10．－11π3，－5π3，π3，7π3解析 由题意，角α与π3终边相同，则π3＋2π＝73π， π3－2π＝－53π，π3－4π＝－113π. 11．解 (1)－1 500°＝－1 800°＋300°＝－10π＋5π3， ∴－1 500°与53π终边相同，是第四象限角． (2)236π＝2π＋116π，∴236π与116π终边相同，是第四象限角． (3)－4＝－2π＋(2π－4)，∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角．12．解 设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r .∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100. ∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2，此时θ＝l r ＝40－2×1010＝2 rad. 13．4 2解析 设圆半径为r ，则内接正方形的边长为2r ，圆弧长为42r .∴圆弧所对圆心角|θ|＝42r r＝4 2. 14．解 (1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓， ∵α＝60°＝π3，R ＝10，∴l ＝αR ＝10π3(cm)． S 弓＝S 扇－S △＝12×10π3×10－12×102×sin 60°＝50⎝⎛⎭⎫π3－32 (cm 2)． (2)扇形周长c ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，∴α＝c －2R R， ∴S 扇＝12αR 2＝12·c －2R R ·R 2＝12(c －2R )R ＝－R 2＋12cR ＝－(R －c 4)2＋c 216. 当且仅当R ＝c 4，即α＝2时，扇形面积最大，且最大面积是c 216.附赠材料答题六注意：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点:第一,考前做好准备工作。

1.1任意角和弧度制1.1.1任意角1.理解任意角的概念.2.掌握终边相同角的含义及其表示.(重点、难点)3.掌握轴线角、象限角及区间角的表示方法.(易错点)[基础·初探]教材整理1任意角的概念阅读教材P2～P3“第5行”以上内容，完成下列问题.1.角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.2.角的表示：如图1-1-1，图1-1-1(1)始边：射线的开始位置OA，(2)终边：射线的终止位置OB，(3)顶点：射线的端点O.这时，图中的角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”.3.角的分类：按旋转方向，角可以分为三类：时钟经过1小时，时针转动的角的大小是________.【解析】时钟是顺时针转，故形成的角是负角，又经过12个小时时针转动一个周角，故经过1个小时时针转动周角的112，所以转动的角的大小是－112×360°＝－30°.【答案】－30°教材整理2象限角与轴线角阅读教材P3“图1.1-3至探究”以上内容，完成下列问题.1.象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角.2.如果角的终边在坐标轴上，称这个角为轴线角.下列说法：①第一象限角一定不是负角；②第二象限角大于第一象限角；③第二象限角是钝角；④小于180°的角是钝角、直角或锐角.其中错误的序号为________(把错误的序号都写上).【解析】由象限角定义可知①②③④都不正确.【答案】①②③④教材整理3终边相同的角阅读教材P3“探究”以下至P4“例1”以上内容，完成下列问题.1.前提：α表示任意角.2.表示：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同.()(2)终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍.()(3)终边相同的角的表示不唯一.()【解析】由终边相同角的定义可知(1)(2)(3)正确.【答案】(1)√(2)√(3)√[小组合作型]任意角的概念与终边相同的角(1)已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是()A.A＝B＝CB.A⊆CC.A∩C＝BD.B∪C⊆C(2)下面与－850°12′终边相同的角是()【导学号：00680000】A.230°12′B.229°48′C.129°48′D.130°12′【精彩点拨】正确理解第一象限角、锐角、小于90°的角的概念.【自主解答】(1)第一象限角可表示为k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z；锐角可表示为0°<β<90°，小于90°的角可表示为γ<90°.由三者之间的关系可知，选 D.(2)与－850°12′终边相同的角可表示为α＝－850°12′＋k·360°(k∈Z)，当k＝3时，α＝－850°12′＋1 080°＝229°48′.【答案】(1)D(2)B1.判断角的概念问题的关键与技巧：(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念.(2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可.2.在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法：(1)一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β<360°，k∈Z)，其中的β就是所求的角.(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止.[再练一题]1.有下列说法：①相差360°整数倍的两个角，其终边不一定相同；②终边相同的角一定相等；③终边关于x 轴对称的两个角α，β之和为k ·360°(k ∈Z ). 其中正确说法的序号是________.【解析】 ①不正确.终边相同的两个角一定相差360°的整数倍，反之也成立； ②不正确.由①可知终边相同的两个角一定相差k ·360°(k ∈Z ).③正确.因为终边关于x 轴对称的两个角，当α∈(－180°，180°)，且β∈(－180°，180°)时α＋β＝0°，当α，β为任意角时，α＋β＝k ·360°(k ∈Z ).【答案】 ③象限角与区间角的表示(1)－1 154°是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角D.第四象限角(2)已知角β的终边在如图1-1-2所示的阴影部分内，试指出角β的取值范围.图1-1-2【精彩点拨】找出0°～360°内阴影部分的角的集合――→＋k ·360°k ∈Z 适合题意的角的集合【自主解答】 (1)∵－1 154°＝－4×360°＋286°，∴在0°～360°之间，与－1 154°终边相同的角α＝286°，286°是第四象限角.故－1 154°角为第四象限角.【答案】 D(2)阴影在x 轴上方部分的角的集合为： A ＝{β|k ·360°＋60°≤β<k ·360°＋105°，k <Z }. 阴影在x 轴下方部分的角的集合为： B ＝{β|k ·360°＋240°≤β<k ·360°＋285°，k ∈Z }.所以阴影部分内角β的取值范围是A ∪B ，即{β|k ·360°＋60°≤β<k ·360°＋105°，k ∈Z }∪{β|k ·360°＋240°≤β<k ·360＋285°，k ∈Z }，其中B 可以化为：{β|k ·360°＋180°＋60°≤β<k ·360°＋180°＋105°，k ∈Z }.即{β|(2m ＋1)×180°＋60°≤β<(2m ＋1)×180°＋105°，m ∈Z }. 集合A 可以化为{β|2m ×180°＋60°≤β<2m ＋180°＋105°，m ∈Z }. 故A ∪B 可化为{β|n ·180°＋60°≤β<n ·180°＋105°，n ∈Z }.1.象限角的判定方法：(1)在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限. (2)第一步，将α写成α＝k ·360°＋β(k ∈Z,0°≤β<360°)的形式； 第二步，判断β的终边所在的象限；第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限. 2.表示区间角的三个步骤：第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x |α<x <β}，其中β－α<360°；第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合.[再练一题]2.写出图1-1-3中阴影部分(不含边界)表示的角的集合. 【导学号：70512000】图1-1-3【解】 在－180°～180°内落在阴影部分的角的集合为大于－45°小于45°，所以终边落在阴影部分(不含边界)的角的集合为{α|－45°＋k ·360°<α<45°＋k ·360°，k ∈Z }.[探究共研型]αk所在象限的判定方法及角的终边对称问题 探究1 若α是第二象限角，则α3是第几象限角？【提示】 (1)代数推导法：由题意知90°＋k ·360°<α<180°＋k ·360°(k ∈Z )， 30°＋k ·120°<α3<60°＋k ·120°(k ∈Z ).故α3是第一或第二或第四象限角. (2)画图法：如图①将各个象限2等分，从x 轴正半轴开始逆时针方向依次标注1,2,3,4，循环下去，直到填满为止，α2就在标注2的区域，即第一或第三象限的后半区(如图①阴影区域).同理，可得α3在第一、二、四象限(如图②阴影区域).探究2 若角α与β的终边关于x 轴、y 轴、原点、直线y ＝x 对称，则角α与β分别具有怎样的关系？【提示】 (1)关于x 轴对称：若角α与β的终边关于x 轴对称，则角α与β的关系是β＝－α＋k ·360°，k ∈Z .(2)关于y 轴对称：若角α与β的终边关于y 轴对称，则角α与β的关系是β＝180°－α＋k ·360°，k ∈Z .(3)关于原点对称：若角α与β的终边关于原点对称，则角α与β的关系是β＝180°＋α＋k ·360°，k ∈Z .(4)关于直线y ＝x 对称：若角α与β的终边关于直线y ＝x 对称，则角α与β的关系是β＝－α＋90°＋k ·360°，k ∈Z .已知α为第二象限角，则2α，α2分别是第几象限角？ 【导学号：70512001】【精彩点拨】 可由α范围写出2α，α2的范围后，直接求得2α的范围，然后分k 为奇数或偶数两种情况确定α2的位置.【自主解答】 ∵α是第二象限角， ∴90°＋k ·360°<α<180°＋k ·360°，∴180°＋2k ·360°<2α<360°＋2k ·360°，k ∈Z ，∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y 轴的非正半轴上的角. 同理45°＋k 2·360°<α2<90°＋k 2·360°.当k 为偶数时，不妨令k ＝2n ，n ∈Z ， 则45°＋n ·360°<α2<90°＋n ·360°，此时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1，n ∈Z ， 则225°＋n ·360°<α2<270°＋n ·360°，此时，α2为第三象限角.∴α2为第一或第三象限角.1.解决此类问题，要先确定α的范围，进一步确定出nα或αn 的范围，再根据k 与n 的关系进行讨论.2.一般地，要确定αn 所在的象限，可以作出各个象限的从原点出发的n 等分射线，它们与坐标轴把圆周等分成4n 个区域，从x 轴的非负半轴起，按逆时针方向把这4n 个区域依次循环标上号码1,2,3,4，则标号为n 的区域就是根据α所在第几象限时αn的终边所落在的区域.[再练一题]3.若α是第四象限角，则180°－α是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角D.第四象限角【解析】 ∵α是第四象限角，则角α应满足：k ·360°－90°<α<k ·360°，k ∈Z ， ∴－k ·360°<－α<－k ·360°＋90°，则－k ·360°＋180°<180°－α<－k ·360°＋90°＋180°，k ∈Z ， 当k ＝0时，180°<180°－α<270°， 故180°－α为第三象限角. 【答案】 C1.若α是第一象限角，则－α2是( )A.第一象限角B.第一、四象限角C.第二象限角D.第二、四象限角【解析】 因为α是第一象限角，所以α2为第一、三象限角，所以－α2是第二、四象限角.【答案】 D2.与－457°角终边相同的角的集合是()A.{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}B.{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}C.{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}D.{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}【解析】当选项C的集合中k＝－2时，α＝－457°.【答案】 C3.下列各角中，与角330°的终边相同的角是()A.510°B.150°C.－150°D.－390°【解析】与330°终边相同的角的集合为S＝{β|β＝330°＋k·360°，k∈Z}，当k＝－2时，β＝330°－720°＝－390°，故选 D.【答案】 D4.若角α与角β终边相同，则α－β＝________.【解析】根据终边相同角的定义可知：α－β＝k·360°(k∈Z).【答案】k·360°(k∈Z)5.在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角：(1)－120°；(2)640°. 【导学号：00680001】【解】(1)与－120°终边相同的角的集合为M＝{β|β＝－120°＋k·360°，k∈Z}.当k＝1时，β＝－120°＋1×360°＝240°，∴在0°到360°范围内，与－120°终边相同的角是240°，它是第三象限的角.(2)与640°终边相同的角的集合为M＝{β|β＝640°＋k·360°，k∈Z}.当k＝－1时，β＝640°－360°＝280°，∴在0°到360°范围内，与640°终边相同的角为280°，它是第四象限的角.。

任意角的三角函数(一)[学习目标] 1.借助单位圆理解任意角的三角函数定义.2.掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号.3.通过对任意角的三角函数的定义理解终边相同角的同一三角函数值相等．知识点一 三角函数的概念1．利用单位圆定义任意角的三角函数如图，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么：(1)y 叫做α的正弦，记作sin α， 即sin α＝y ；(2)x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ； (3)y x叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝y x(x ≠0)．对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数．2．一般地，设角α终边上任意一点的坐标为(x ，y )，它与原点的距离为r ，则sin α＝y r，cosα＝x r ，tan α＝yx.思考 角α三角函数值的大小与角α终边上的点P 离原点距离的远近有关吗？答案 角α的三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P (x ，y )在终边上的位置无关，只由角α的终边位置决定，即三角函数值的大小只与角有关． 知识点二 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图)．思考三角函数在各象限的符号由什么决定？答案三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号推导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值．因此，三角函数在各象限的符号由角α的终边所在象限决定．知识点三诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值相等，即：sin(α＋k·2π)＝sin α，cos(α＋k·2π)＝cos α，tan(α＋k·2π)＝tan α，其中k∈Z.题型一三角函数定义的应用例1 已知θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝1010x，求sin θ，tan θ.解由题意知r＝|OP|＝x2＋9，由三角函数定义得cos θ＝xr＝xx2＋9.又∵cos θ＝1010x，∴xx2＋9＝1010x.∵x≠0，∴x＝±1.当x＝1时，P(1,3)，此时sin θ＝312＋32＝31010，tan θ＝31＝3.当x＝－1时，P(－1,3)，此时sin θ＝3－12＋32＝31010，tan θ＝3－1＝－3.跟踪训练1 (1)已知角α的终边经过点P (－4a,3a )(a ≠0)，求sin α，cos α，tan α的值； (2)已知角α的终边在直线y ＝3x 上，求sin α，cos α，tan α的值．解 (1)r ＝－4a2＋3a2＝5|a |.若a >0，则r ＝5a ，α是第二象限角，则 sin α＝y r ＝3a 5a ＝35，cos α＝x r ＝－4a5a ＝－45，tan α＝y x ＝3a－4a ＝－34，若a <0，则r ＝－5a ，α是第四象限角，则 sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34.(2)因为角α的终边在直线y ＝3x 上，所以可设P (a ，3a )(a ≠0)为角α终边上任意一点． 则r ＝a 2＋3a2＝2|a |(a ≠0)．若a >0，则α为第一象限角，r ＝2a ， 所以sin α＝3a 2a ＝32，cos α＝a2a ＝12，tan α＝3a a＝3.若a <0，则α为第三象限，r ＝－2a ， 所以sin α＝3a －2a ＝－32，cos α＝－a 2a ＝－12，tan α＝3a a＝3.题型二 三角函数值符号的判断 例2 判断下列三角函数值的符号： (1)sin 3，cos 4，tan 5； (2)sin(cos θ)(θ为第二象限角)． 解 (1)∵π2<3<π<4<3π2<5<2π，∴3,4,5分别在第二、三、四象限， ∴sin 3>0，cos 4<0，tan 5<0. (2)∵θ是第二象限角， ∴－π2<－1<cos θ<0，∴sin(cos θ)<0.跟踪训练2 若sin θ<0且tan θ<0，则θ是第 象限的角． 答案 四解析 ∵sin θ<0，∴θ是第三或第四象限或终边在y 轴的非正半轴上的角，又tan θ<0，∴θ是第四象限的角．题型三 诱导公式一的应用 例3 求下列各式的值：(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π6＋cos 12π5·tan 4π. 解 (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝22×32＋12×12＝64＋14＝1＋64.(2)原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋2π5·tan(4π＋0)＝sin π6＋cos 2π5×0＝12.跟踪训练3 求下列各式的值：(1)cos 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4； (2)sin 810°＋tan 765°－cos 360°.解 (1)原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫－4π＋π4＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32；(2)原式＝sin(90°＋2×360°)＋tan(45°＋2×360°)－cos 360°＝sin 90°＋tan 45°－1＝1＋1－1＝1.利用任意角的三角函数的定义求值，忽略对参数的讨论而致错例4 已知角α的终边上有一点P (24k,7k )，k ≠0，求sin α，cos α，tan α的值． 错解 令x ＝24k ，y ＝7k ，则有r ＝24k 2＋7k 2＝25k ，∴sin α＝y r ＝725，cos α＝x r ＝2425，tan α＝y x ＝724.错因分析 点P (24k,7k )中参数k 只告诉了k ≠0，而没有告诉k 的符号，需分k >0与k <0讨论，而上述解法错在默认为k >0. 正解 当k >0时，令x ＝24k ，y ＝7k ， 则有r ＝24k2＋7k 2＝25k ，∴sin α＝y r ＝725，cos α＝x r ＝2425，tan α＝y x ＝724. 当k <0时，令x ＝24k ，y ＝7k ，则有r ＝－25k ， ∴sin α＝y r ＝－725，cos α＝xr ＝－2425，tan α＝y x ＝724.1．cos(－11π6)等于( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－32 2．当α为第二象限角时，|sin α|sin α－cos α|cos α|的值是( )A ．1B ．0C ．2D ．－2 3．如果角α的终边过点P (2sin 30°，－2cos 30°)，则cos α的值等于( ) A.12 B ．－12 C ．－32 D.324．若点P (3，y )是角α终边上的一点，且满足y <0，cos α＝35，则tan α＝ .5．已知角α的终边经过点P (2，－3)，求α的三个函数值．一、选择题1．若sin θcos θ>0，则θ在( ) A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第一、四象限D ．第二、四象限2．sin(－1 380°)的值为( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.323．设角α终边上一点P (－4a,3a )(a <0)，则2sin α＋cos α的值为( ) A.25 B.25或－25 C ．－25D ．与a 有关 4．若tan x <0，且sin x －cos x <0，则角x 的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限5．已知角α的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( ) A.5π6 B.2π3 C.5π6 D.11π6 6．角α的终边经过点P (－b,4)且cos α＝－35，则b 的值为( )A ．3B ．－3C ．±3D ．5 二、填空题7．使得lg(cos αtan α)有意义的角α是第 象限角．8．已知α终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则a 的取值范围为 ． 9．若角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝ .10．函数y ＝|sin x |sin x ＋|cos x |cos x －2|sin x cos x |sin x cos x 的值域是 ．三、解答题11．已知角α的终边落在直线y ＝2x 上，求sin α，cos α，tan α的值．12．求下列各式的值．(1)a 2sin(－1 350°)＋b 2tan 405°－2ab cos(－1 080°)； (2)tan 405°－sin 450°＋cos 750°.当堂检测答案1．答案 C解析 cos(－116π)＝cos(－2π＋π6)＝cos π6＝32.2．答案 C解析 ∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0， ∴|sin α|sin α－cos α|cos α|＝sin αsin α－cos α－cos α＝2. 3．答案 A解析 ∵2sin 30°＝1，－2cos 30°＝－3，∴r ＝2，∴cos α＝12.4．答案 －43解析 ∵cos α＝332＋y 2＝35，∴32＋y 2＝5，∴y 2＝16，∵y <0，∴y ＝－4，∴tan α＝－43. 5．解 因为x ＝2，y ＝－3， 所以r ＝22＋－32＝13.于是sin α＝y r＝－313＝－31313，cos α＝x r＝213＝21313，tan α＝y x ＝－32.课时精练答案一、选择题 1．答案 B 2．答案 D解析 sin(－1 380°)＝sin(－360°×4＋60°)＝sin 60°＝32.3．答案 C 解析 ∵a <0，∴r ＝－4a2＋3a 2＝5|a |＝－5a ，∴cos α＝x r ＝45，sin α＝yr ＝－35，∴2sin α＋cos α＝－25.4．答案 D解析 ∵tan x <0，∴角x 的终边在第二、四象限， 又sin x －cos x <0，∴角x 的终边在第四象限．故选D. 5．答案 D解析 ∵sin 2π3＝32，cos 2π3＝－12.∴角α的终边在第四象限，且tan α＝cos 2π3sin 2π3＝－33， ∴角α的最小正角为2π－π6＝11π6. 6．答案 A解析 ∵r ＝b 2＋16，cos α＝－b r ＝－b b 2＋16＝－35. ∴b ＝3.二、填空题7．答案 一或二解析 要使原式有意义，必须cos αtan α>0，即需cos α，tan α同号，所以α是第一或第二象限角．8．答案 －2<a ≤3解析 ∵sin α>0，cos α≤0，∴α位于第二象限或y 轴正半轴上，∴3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3.9．答案 2解析 ∵y ＝3x ，sin α<0，∴点P (m ，n )位于y ＝3x 在第三象限的图象上，且m <0，n <0，n ＝3m .∵|OP |＝m 2＋n 2＝10|m |＝－10m ＝10.∴m ＝－1，n ＝－3，∴m －n ＝2.10．答案 {－4,0,2}解析 由sin x ≠0，cos x ≠0知x 的终边不能落在坐标轴上，当x 为第一象限角时，sin x >0，cos x >0，sin x cos x >0，y ＝0；当x 为第二象限角时，sin x >0，cos x <0，sin x cos x <0，y ＝2；当x 为第三象限角时，sin x <0，cos x <0， sin x cos x >0，y ＝－4；当x 为第四象限角时，sin x <0，cos x >0，sin x cos x <0，y ＝2，故函数y ＝|sin x |cos x ＋|cos x |cos x －2|sin x cos x |sin x cos x的值域为{－4,0,2}． 三、解答题11．解 当角α的终边在第一象限时，在角α的终边上取点P (1,2)，由r ＝|OP |＝12＋22＝5， 得sin α＝25＝255，cos α＝15＝55，tan α＝2； 当角α的终边在第三象限时，在角α的终边上取点Q (－1，－2)，由r ＝|OQ |＝－12＋－22＝5， 得sin α＝－25＝－255， cos α＝－15＝－55， tan α＝2.12．解 (1)原式＝a 2sin(－4×360°＋90°)＋b 2tan(360°＋45°)－2ab cos(－3×360°)＝a 2sin 90°＋b 2tan 45°－2ab cos 0°＝a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2.(2)tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(720°＋30°)＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋32＝32.。

描述：例题：高中数学必修4(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第一章 三角函数 1.1 任意角和弧度制
一、学习任务
1. 了解任意角的概念，了解终边相同的角的意义．
2. 了解弧度制的意义，并能进行弧度与角度的互化．
二、知识清单
任意角的概念 弧度制
三、知识讲解
1.任意角的概念
任意角角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．如图，一条射线的端点是 ，它从起始位置 按逆时针方向旋转到终止位置 ，形成一个角 ，射线 称为角的始边，射线 称为角的终边．
角的分类
正角（positive angle） 按逆时针方向旋转形成的角．
负角（negative angle） 按顺时针方向旋转形成的角．
零角（zero angle） 如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角．象限角与轴线角
在直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角（quadrant angle）．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，称这样的角为轴线角．
终边相同的角
所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可以构成一个集合
，即任一与角 终边相同的角，都可以表示成角 与整数个周角的和．
O OA OB αOA OB x ααS ={β| β=α+k ⋅,k ∈Z }360∘αα在下列说法中：
①时钟经过两个小时，时针转过的角是
；②钝角一定大于锐角；③射线 绕端点 按逆时针旋转一周所成的角是 ；
60∘OA O 0∘
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又 ，∴令 得 ．
∵α∈(0,2π)k =1α=
π。

必修四§1.1任意角和弧度制第一课时：§1.1.1任意角1. 下列命题中正确的是( )A ．终边在y 轴非负半轴上的角是直角B ．第二象限角一定是钝角C ．第四象限角一定是负角 D.若β＝α＋ｋ·360°（ｋ∈Ｚ），则α与β终边相同2.将-885化为360k α+⋅ (0360α≤<k ,∈Z )的形式是 ( ) A.-165(2)360+-⨯ B.195(3)360+-⨯ C.195(2)360+-⨯ D.165(3)360+-⨯3．在［360°，1440°］中与－21°16′终边相同的角有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．终边落在X 轴上的角的集合是（ ）A.{ α|α=k ·360°,K ∈Z }B.{ α|α=(2k+1)·180°,K ∈Z }C.{ α|α=k ·180°,K ∈Z }D.{ α|α=k ·180°+90°,K ∈Z }5．角α＝45°＋ｋ·180°，ｋ∈Ｚ的终边落在 ( )A ．第一或第三象限B ．第一或第二象限C ．第二或第四象限D ．第三或第四象限6.设,,,,那么( ) A ．B C A B ．B A C C ．D (A ∩C) D ．C ∩D=B7.下列各组角中终边相同的是( )A. +90与Z B.与ZC. +30与+30Z D.与+60Z 8.若角和的终边关于y 轴对称,则有 ( ) A. B.Z C.Z D.Zo {90A =小于的角｝{B =锐角｝{C ＝第一象限的角｝00{900}D =小于而不小于的角180k ⋅90k ⋅k ,∈(21)180k +⋅(41)180k ±⋅k ,∈180k ⋅360k ⋅k ,∈60k ⋅180k ⋅k ,∈αβ90αβ+=90αβ+=360k +⋅k ,∈360k αβ+=⋅k ,∈180αβ+=360k +⋅k ,∈9.若β是第四象限角,则180β-是第 象限角。