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1．下列对应法则f 中，能构成从A 到B 的函数的有( )①A ＝{0,2}，B ＝{0,1}，f ：x →y ＝x 2；②A ＝{－2,0,2}，B ＝{4}，f ：x →y ＝x 2；③A ＝R ，B ＝{y |y >0}，f ：x →y ＝1x2；④A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝2x ＋1. A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个解析：选B.②中A 的元素0在B 中无像，不能构成映射，也就不能构成函数；③中A 的元素0在B 中无像，不能构成映射，也就不能构成函数．①④都能构成A 到B 的函数．2．下列对应关系是从集合M 到集合N 的一一映射的是( )A ．M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝－1x，x ∈M ，y ∈N B ．M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝x 2，x ∈M ，y ∈NC ．M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝1|x |＋x，x ∈M ，y ∈N D ．M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝x 3，x ∈M ，y ∈N解析：选D.判断一个对应关系是否为一一映射，要从基本概念入手，看是否满足一一映射的条件，A 选项M 中元素0在N 中没有像与之对应，所以A 不是映射；B 选项M 中元素±1在N 中对应相同的像1，虽然B 是映射，但不是一一映射；C 选项M 中元素0及负实数在N 中没有元素与之对应，所以C 不是映射；D 选项M 中的每一个元素在N 中都有唯一元素与之对应，M 中的不同元素在N 中的像也不同，且N 中的元素在M 中都有原像，所以D 是一一映射．3．设集合A 和B 都是坐标平面上的点集{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R}，映射f ：A →B 把集合A 中的元素(x ，y )映射成集合B 中的元素(x ＋y ，x －y )，则在映射f 下，像(2,1)的原像是________．解析：本题即为求方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝1的解． 答案：⎝⎛⎭⎫32，124．已知映射f ：A →B ，其中，集合A ＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，集合B 中的元素都是A 中元素在映射f 下的像，且对任意的a ∈A ，在集合B 中和它对应的元素是|a |，则集合B 中元素的个数最少是________．解析：本题题意叙述虽长，但转换成图表语言则非常简洁．如图，即可知个数最少应为4. 答案：4[A 级 基础达标]1．(2018·九江检测)在从集合A 到集合B 的映射中，下列说法正确的是( )A ．集合B 中的某一个元素b 的原像可能不止一个B ．集合A 中的某一个元素a 的像可能不止一个C ．集合A 中的两个不同元素所对应的像必不相同D ．集合B 中的两个不同元素的原像可能相同解析：选A.由映射的概念可知，A 中的每个元素都有像，且像唯一，B 中未必每个元素都有原像且不一定唯一，故选A.2．下列对应关系f 中，不是从集合A 到集合B 的映射的是( )A ．A ＝{x |1<x <4}，B ＝[1,3)，f ：求算术平方根B ．A ＝R ，B ＝R ，f ：取绝对值C ．A ＝{正实数}，B ＝R ，f ：求平方D ．A ＝R ，B ＝R ，f ：取倒数解析：选D.因为D 中0取倒数无意义，故选D.3．设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射f ：A →B ，把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素2n ＋n ，则在映射f 下，像20的原像是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C.∵20＝2n ＋n ，分别将选择项代入检验，知当n ＝4时成立．4．(2018·淮北质检)已知A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |0≤y ≤2}，从A 到B 的对应法则分别是：(1)f ：x →y ＝12x ，(2)f ：x →y ＝x －2，(3)f ：x →y ＝x ，(4)f ：x →y ＝|x －2| 其中能构成一一映射的是________．解析：(1)y ＝12x .x ∈[0,4]．y ∈[0,2]＝B (2)y ＝x －2∈[－2,2]≠B .(3)y ＝x ∈[0,2]＝B .(4)y ＝|x －2|∈[0,2]，但如y ＝1.∴x ＝3或x ＝1. 答案：(1)(3)5．已知从A 到B 的映射是x →2x ＋1，从B 到C 的映射是y →y 2－1，其中A ，B ，C ⊆R ，则从A 到C 的映射是________．解析：x ∈A .y ∈B .z ∈C .∴y ＝2x ＋1.z ＝y 2－1 ∴z ＝12(2x ＋1)－1＝x －12.∴x →x －12答案：x →x －126．设A ＝B ＝{a ，b ，c ，d ，e ，…，x ，y ，z }(元素为26个英文字母)，作映射A →B 为：并称A 中字母拼成的文字为明文，相应B 中对应字母拼成的文字为密文，则：(1)“mathematics”的密文是什么？(2)试破译密文“ju jt gvooz”．解：由明文与密文的关系可知：(1)“mathematics”对应的密文是“nbuifnbujdt”．(2)“ju jt gvooz”对应的明文是“it is funny”．[B 级 能力提升]7．(2018·汉中调研)下列对应法则是从集合A 到集合B 的映射的是( )A ．A ＝R ，B ＝{x |x >0}，f ：x →y ＝|x |B ．A ＝{x |x ≥0}，B ＝{y |y >0}，f ：x →y ＝xC ．A ＝N ，B ＝N ＋，f ：x →y ＝|x －1|D ．A ＝R ，B ＝{y |y ≥0}，f ：x →y ＝x 2－2x ＋2解析：选D.x ＝0，y ＝0∉B ，A 错．同理B 错．C 中：当x ＝1时，y ＝0∉B .C 错.8．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5,6}，f ：A →B 为集合A 到集合B 的一个函数，那么该函数的值域C 的不同情况有( )A ．6种B ．7种C ．8种D ．27种解析：选B.该函数的值域C 的不同情况有{4}，{5}，{6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，{4,5,6}7种．9．已知(x ，y )在映射f 作用下的像是(x ＋y ，xy )，则(3,4)的像为________，(1，－6)的原像为________．解析：根据条件可知x ＝3，y ＝4，则x ＋y ＝3＋4＝7，xy ＝3×4＝12，所以(3,4)的像为(7,12)；设(1，－6)的原像为(x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，xy ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2.所以(1，－6)的原像为(－2,3)或(3，－2)．答案：(7,12) (－2,3)或(3，－2)10．(创新题)已知集合A ＝{1,2,3，k }，B ＝{4,7，a 4，a 2＋3a }，a ∈N ＋，k ∈N ＋，x ∈A ，y ∈B ，f ：x →y ＝3x ＋1是从定义域A 到值域B 的一个函数，求a ，k ，A ，B .解：根据对应法则f ，有：f ：1→4；2→7；3→10；k →3k ＋1.若a 4＝10，则a ∉N ＋，不符合题意，舍去；若a 2＋3a ＝10，则a ＝2(a ＝－5不符合题意，舍去)．故3k ＋1＝a 4＝16，得k ＝5.综上可知，a ＝2，k ＝5, 集合A ＝{1,2,3,5}，B ＝{4,7,10,16}．11．已知集合A 到集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，1，12，13的映射f ：x →1|x |－1，那么集合A 中的元素最多有几个？并写出元素个数最多时的集合A .解：∵f 是映射，∴A 中的每一个元素都应在B 中有唯一的元素对应．∵1|x |－1≠0，∴0在A 中不存在原像； 由1|x |－1＝1，得x ＝±2，∴±2可取作1的对应元素； 由1|x |－1＝12，得x ＝±3，∴±3可取作12的对应元素； 由1|x |－1＝13，得x ＝±4，∴±4可取作13的对应元素； ∴A 中元素最多只能是6个，即A ＝{－4，－3，－2,2,3,4}．。
