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（1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次方根用符号n a 表示；当n 是偶数时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号n a -表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根． ②式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()nn a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nna a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈②()(0,,)r s rsa a a r s R =>∈ ③()(0,0,)rr rab a b a b r R =>>∈（4）指数函数 函数名称指数函数定义函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a > 01a <<定义域 R 值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数1、 对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>．xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O1y =（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aM M N N-= ③数乘：log log ()na a n M M n R =∈ ④log a N a N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且（5）对数函数函数名称 对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a > 01a <<定义域 (0,)+∞值域RxyO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()x fy -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y fx -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y fx -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．〖2.3〗幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数． （2）幂函数的图象（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限． ②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴． ④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当q pα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则qpy x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q py x =是非奇非偶函数． ⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．[例1]已知18log 9,185,ba ==求36log 45解：∵185,b=∴18log 5b = ∴1818183621818181818log 45log 5log 9log 451818log 36log 4log 92log ()2log ()99b a b a b aa a a++++=====+-++[例2]求函数361265xxy =-⋅-的单调区间. 解：令6xt =，则6xt =为增函数，361265x x y =-⋅-＝2125t t -⋅-＝2(6)41t --∴当t ≥6,即x ≥1时，y 为关于t 的增函数， 当t ≤6,即x ≤1时，y 为关于t 的减函数∴函数361265xxy =-⋅-的单调递减区间是(,1]-∞，单调递增区间为[1,)+∞ [例3]已知)2(log ax y a -=在[0，1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是 解：∵)2(log ax y a -=是由u y a log =，ax u -=2复合而成，又a ＞0 ∴ax u -=2在[0，1]上是x 的减函数，由复合函数关系知u y a log =应为增函数，∴a ＞1又由于x 在[0，1]上时 )2(log ax y a -=有意义，ax u -=2又是减函数，∴x ＝1时，ax u -=2取最小值是a u -=2min ＞0即可， ∴a ＜2综上可知所求的取值范围是1＜a ＜2 [例4]已知函数()log (3)a f x ax =-.（1）当[0,2]x ∈时()f x 恒有意义，求实数a 的取值范围.（2）是否存在这样的实数a 使得函数()f x 在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1，如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由.解：（1）由假设，ax -3＞0，对一切[0,2]x ∈恒成立，0,1a a >≠显然，函数g(x)= ax -3在[0，2]上为减函数，从而g(2)＝32a -＞0得到a ＜32∴a 的取值范围是（0，1）∪（1，32） (2)假设存在这样的实数a ，由题设知(1)1f =，即(1)log (3)a f a =-＝1 ∴a ＝32此时3()log (3)2a f x x =- 当2x =时，()f x 没有意义，故这样的实数不存在.[例5]已知函数f (x )=1421lg 2+-⋅++a a a x x , 其中a 为常数，若当x ∈(－∞, 1］时, f (x )有意义，求实数a 的取值范围.解：14212+-⋅++a a a x x >0, 且a 2－a +1=(a －21)2+43>0, ∴ 1+2x+4x·a >0, a >)2141(x x +-, 当x ∈(－∞, 1]时, y =x 41与y =x 21都是减函数，∴ y =)2141(x x +-在(－∞, 1]上是增函数，)2141(x x +-max =－43,∴ a >－43, 故a 的取值范围是(－43, +∞).[例6]若1133(1)(32)a a --+<-，试求a 的取值范围.解：∵幂函数13y x-=有两个单调区间，∴根据1a +和32a -的正、负情况，有以下关系10320.132a a a a +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩① 10320.132a a a a+<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩② 10.320a a +<⎧⎨->⎩③ 解三个不等式组：①得23＜a ＜32，②无解，③a ＜－1 ∴a 的取值范围是（－∞，－1）∪（23，32）。
第一章基本函数小结(一)教学目标1．知识与技能整合函数性质建构知识网络，以便于进一步理解和掌握函数的性质.提升综合运用函数性质的能力.2．过程与方法在整合函数性质、综合运用函数性质的过程中，培养学生分析、观察、思考的教学能力、提升学生的归纳、推理能力.3．情感、态度与价值观在学习过程中，通过知识整合，能力培养，激发学生的学习兴趣. 养成合作、交流的良好学习品质.(二)教学重点与难点重点：整合知识、构建单元知识系统.难点：提升综合应用能力.(三)教学方法动手练习与合作交流相结合. 在回顾、反思中整合知识，在综合问题探究、解答中提升能力. 加深对知识的准确、到位的理解与应用.(四)教学过程思络..求函数值域的基本方法总结(1)观察法：一些简单函数，通过观察法求值域．(2)配方法：“二次函数类”用配方法求值域．(3)换元法：形如y＝ax＋b±cx＋d(a、b、c、d均为常数，且a≠0)的函数常用换元法求值域.(4)分离常数法：形如y＝cx＋dax＋b(a≠0)的函数也可用此法求值域．(5)单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域．(6)数形结合法：画出函数的图像，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围．判断函数单调性的方法：①根据定义；②根据图像；③利用已知函数的增减性；⑤复合函数单调性判定方法：在复合函数y＝f(g(x))中，“同增异减”。
1．函数单调性的证明根据函数的单调性的定义，证明(判定)函数f(x)在其区间上的单调性，其步骤是：(1)设x1、x2是该区间上的任意两个值，且x1＜x2；(2)作差f(x1)－f(x2)，然后变形；(3)判定f(x1)－f(x2)的符号；(4)根据定义作出结论．。
人教版高中数学A版目录新课标A版必修1•第一章集合与函数概念•第二章基本初等函数（Ⅰ）•第三章函数的应用•单元测试•综合专栏第一章集合与函数概念• 1.1集合• 1.2函数及其表示• 1.3函数的基本性质•实习作业•同步练习•单元测试•本章综合1.1集合• 1.1.1集合的含义与表示• 1.1.2集合间的基本关系• 1.1.3集合的基本运算•本节综合1.2函数及其表示• 1.2.1函数的概念• 1.2.2函数的表示法•本节综合1.3函数的基本性质• 1.3.1单调性与最大(小)值• 1.3.2奇偶性•本节综合实习作业同步练习单元测试本章综合第二章基本初等函数（Ⅰ）• 2.1指数函数• 2.2对数函数• 2.3幂函数•同步练习•单元测试•本章综合2.1指数函数• 2.1.1指数与指数幂的运算• 2.1.2指数函数及其性质•本节综合2.2对数函数• 2.2.1对数与对数运算• 2.2.2对数函数及其性质•本节综合2.3幂函数同步练习单元测试本章综合第三章函数的应用• 3.1函数与方程• 3.2函数模型及其应用•实习作业•同步练习•单元测试•本章综合3.1函数与方程• 3.1.1方程的根与函数的零点• 3.1.2用二分法求方程的近似解•本节综合3.2函数模型及其应用• 3.2.1几类不同增长的函数模型• 3.2.2函数模型的应用实例•本节综合实习作业同步练习单元测试本章综合单元测试综合专栏新课标A版必修2•第一章空间几何体•第二章点、直线、平面之间的位置关系•第三章直线与方程•第四章圆与方程•单元测试综合专栏第一章空间几何体• 1.1空间几何体的结构• 1.2空间几何体的三视图和直观图• 1.3空间几何体的表面积与体积•复习参考题•实习作业•同步练习•单元测试•本章综合•第二章点、直线、平面之间的位置关系• 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系• 2.2直线、平面平行的判定及其性质• 2.3直线、平面垂直的判定及其性质•同步练习•单元测试•本章综合第三章直线与方程• 3.1直线的倾斜角与斜率• 3.2直线的方程• 3.3直线的交点坐标与距离公式•同步练习•单元测试•本章综合第四章圆与方程• 4.1圆的方程• 4.2直线、圆的位置关系• 4.3空间直角坐标系•同步练习•单元测试•本章综合单元测试综合专栏新课标A版必修3•第一章算法初步•第二章统计•第三章概率•单元测试•综合专栏第一章算法初步• 1.1算法与程序框图• 1.2基本算法语句• 1.3算法与案例•同步练习•单元测试•本章综合1.1算法与程序框图• 1.1.1算法的概念• 1.1.2程序框图和算法的逻辑结构•本节综合1.2基本算法语句• 1.2.1输入、输出、赋值语句• 1.2.2条件语句• 1.2.3循环语句•本节综合1.3算法与案例同步练习单元测试本章综合第二章统计• 2.1随机抽样• 2.2用样本估计总体• 2.3变量间的相关关系•实习作业•同步练习•单元测试•本章综合2.1随机抽样• 2.1.1简单随机抽样• 2.1.2系统抽样• 2.1.3分层抽样•本节综合2.2用样本估计总体• 2.2.1用样本的频率分布估计总体• 2.2.2用样本的数字特征估计总体•本节综合2.3变量间的相关关系• 2.3.1变量之间的相关关系• 2.3.2两个变量的线性相关•本节综合实习作业同步练习单元测试本章综合第三章概率• 3.1随机事件的概率• 3.2古典概型• 3.3几何概型•同步练习•单元测试•本章综合3.1随机事件的概率• 3.1.1随机事件的概率• 3.1.2概率的意义• 3.1.3概率的基本性质•本节综合3.2古典概型• 3.2.1古典概型• 3.2.2随机数的产生•本节综合3.3几何概型• 3.3.1几何概型• 3.3.2均匀随机数的产生•本节综合同步练习单元测试本章综合单元测试综合专栏新课标A版必修4•第一章三角函数•第二章平面向量•第三章三角恒等变换•单元测试•综合专栏第一章三角函数• 1.1任意角和弧度制• 1.2任意的三角函数• 1.3三角函数的诱导公式• 1.4三角函数的图象与性质• 1.5函数y=Asin（ωx+ψ）• 1.6三角函数模型的简单应用•同步练习•单元测试•本章综合第二章平面向量• 2.1平面向量的实际背景及基本概念• 2.2平面向量的线性运算• 2.3平面向量的基本定理及坐标表示• 2.4平面向量的数量积• 2.5平面向量应用举例•同步练习•单元测试•本章综合第三章三角恒等变换• 3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式• 3.2简单的三角恒等变换•同步练习•单元测试•本章综合单元测试综合专栏新课标A版必修5•第一章解三角形•第二章数列•第三章不等式•单元测试•综合专栏第一章解三角形• 1.1正弦定理和余弦定理• 1.2应用举例• 1.3实习作业•探究与发现解三角形的进一步讨论•同步练习•单元测试•本章综合第二章数列• 2.1数列的概念与简单表示法• 2.1等差数列• 2.3等差数列的前n项和• 2.4等比数列• 2.5等比数列的前n项和•同步练习•单元测试•本章综合第三章不等式• 3.1不等关系与不等式• 3.2一元二次不等式及其解法• 3.3二元一次不等式（组）与简单的线性• 3.4基本不等式：•同步练习•单元测试•本章综合单元测试综合专栏新课标A版选修一•新课标A版选修1-1•新课标A版选修1-2新课标A版选修1-1•第一章常用逻辑用语•第二章圆锥曲线与方程•第三章导数及其应用•月考专栏•期中专栏•期末专栏•单元测试•综合专栏第一章常用逻辑用语• 1.1命题及其关系• 1.2充分条件与必要条件• 1.3简单的逻辑联结词• 1.4全称量词与存在量词•同步练习•单元测试•本章综合第二章圆锥曲线与方程• 2.1椭圆• 2.2双曲线• 2.3抛物线•同步练习•单元测试•本章综合第三章导数及其应用• 3.1变化率与导数• 3.2导数的计算• 3.3导数在研究函数中的应用• 3.4生活中的优化问题举例•同步练习•单元测试•本章综合月考专栏期中专栏期末专栏单元测试新课标A版选修1-2•第一章统计案例•第二章推理与证明•第三章数系的扩充与复数的引入•第四章框图•月考专栏•期中专栏•期末专栏•单元测试•本章综合点击这里展开-- 查看子节点索引目录，更精确地筛选资料！第一章统计案例• 1.1回归分析的基本思想及其初步应用• 1.2独立性检验的基本思想及其初步应用•实习作业•同步练习•综合第二章推理与证明• 2.1合情推理与演绎推理• 2.2直接证明与间接证明•同步练习•综合第三章数系的扩充与复数的引入• 3.1数系的扩充和复数的概念• 3.2复数代数形式的四则运算•同步练习•综合第四章框图• 4.1流程图• 4.2结构图•同步练习•综合月考专栏期中专栏期末专栏单元测试本章综合新课标A版选修二•新课标人教A版选修2-1•新课标人教A版选修2-2•新课标人教A版选修2-3新课标人教A版选修2-1•第一章常用逻辑用语•第二章圆锥曲线与方程•第三章空间向量与立体几何•单元测试•本册综合第一章常用逻辑用语• 1.1命题及其关系• 1.2充分条件与必要条件• 1.3简单的逻辑联结词• 1.4全称量词与存在量词•同步练习•本章综合第二章圆锥曲线与方程• 2.1曲线与方程• 2.2椭圆• 2.3双曲线• 2.4抛物线•同步练习•本章综合第三章空间向量与立体几何• 3.1空间向量及其运算• 3.2立体几何中的向量方法•同步练习•本章综合单元测试本册综合新课标人教A版选修2-2•第一章导数及其应用•第二章推理与证明•第三章数系的扩充与复数的引入•单元测试•本册综合第一章导数及其应用• 1.1变化率与导数• 1.2导数的计算• 1.3导数在研究函数中的应用• 1.4生活中的优化问题举例• 1.5定积分的概念• 1.6微积分基本定理• 1.7定积分的简单应用•同步练习•本章综合第二章推理与证明• 2.1合情推理与演绎推理• 2.2直接证明与间接证明• 2.3数学归纳法•同步练习•本章综合第三章数系的扩充与复数的引入• 3.1数系的扩充和复数的概念• 3.2复数代数形式的四则运算•同步练习•本章综合单元测试本册综合新课标人教A版选修2-3•第一章计数原理•第二章随机变量及其分布•第三章统计案例•单元测试•本册综合第一章计数原理• 1.1分类加法计数原理与分步乘法计.• 1.2排列与组合• 1.3二项式定理•同步练习•本章综合第二章随机变量及其分布• 2.1离散型随机变量及其分布列• 2.2二项分布及其应用• 2.3离散型随机变量的均值与方差• 2.4正态分布•同步练习•本章综合第三章统计案例• 3.1回归分析的基本思想及其初步应用• 3.2独立性检验的基本思想及其初步•本章综合•同步练习单元测试本册综合新课标A版选修三•新课标A版选修3-1•新课标A版选修3-3•新课标A版选修3-4新课标A版选修3-1•第一讲早期的算术与几何•第二讲古希腊数学•第三讲中国古代数学瑰宝•第四讲平面解析几何的产生•第五讲微积分的诞生•第六讲近代数学两巨星•第七讲千古谜题•第八讲对无穷的深入思考•第九讲中国现代数学的开拓与发展•单元测试•本册综合第一讲早期的算术与几何•一古埃及的数学•二两河流域的数学•三丰富多彩的记数制度•同步练习•本章综合第二讲古希腊数学•一希腊数学的先行者•二毕达哥拉斯学派•三欧几里得与《原本》•四数学之神──阿基米德•同步练习•本章综合第三讲中国古代数学瑰宝•一《周髀算经》与赵爽弦图•二《九章算术》•三大衍求一术•四中国古代数学家•同步练习•本章综合第四讲平面解析几何的产生•一坐标思想的早期萌芽•二笛卡儿坐标系•三费马的解析几何思想•四解析几何的进一步发展•同步练习•本章综合第五讲微积分的诞生•一微积分产生的历史背景•二科学巨人牛顿的工作•三莱布尼茨的“微积分”•同步练习•本章综合第六讲近代数学两巨星•一分析的化身──欧拉•二数学王子──高斯•同步练习•本章综合第七讲千古谜题•一三次、四次方程求根公式的发现•二高次方程可解性问题的解决•三伽罗瓦与群论•四古希腊三大几何问题的解决•同步练习•本章综合第八讲对无穷的深入思考•一古代的无穷观念•二无穷集合论的创立•三集合论的进一步发展与完善•同步练习•本章综合第九讲中国现代数学的开拓与发展•一中国现代数学发展概观•二人民的数学家──华罗庚•三当代几何大师──陈省身•同步练习•本章综合单元测试本册综合新课标A版选修3-3•第一讲从欧氏几何看球面•第二讲球面上的距离和角•第三讲球面上的基本图形•第四讲球面三角形•第五讲球面三角形的全等•第六讲球面多边形与欧拉公式•第七讲球面三角形的边角关系•第八讲欧氏几何与非欧几何•单元测试•本册综合第一讲从欧氏几何看球面•一平面与球面的位置关系•二直线与球面的位置关系和球幂定理•三球面的对称性•同步练习•本章综合第二讲球面上的距离和角•一球面上的距离•二球面上的角•同步练习•本章综合第三讲球面上的基本图形•一极与赤道•二球面二角形•三球面三角形•同步练习•本章综合第四讲球面三角形•一球面三角形三边之间的关系•二、球面“等腰”三角形•三球面三角形的周长•四球面三角形的内角和•同步练习•本章综合第五讲球面三角形的全等•1．“边边边”(s.s.s)判定定理•2．“边角边”(s.a.s.)判定定理•3．“角边角”(a.s.a.)判定定理•4．“角角角”(a.a.a.)判定定理•同步练习•本章综合第六讲球面多边形与欧拉公式•一球面多边形及其内角和公式•二简单多面体的欧拉公式•三用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式•同步练习•本章综合第七讲球面三角形的边角关系•一球面上的正弦定理和余弦定理•二用向量方法证明球面上的余弦定理•三从球面上的正弦定理看球面与平面•四球面上余弦定理的应用──求地球上两城市间的距离•同步练习•本章综合第八讲欧氏几何与非欧几何•一平面几何与球面几何的比较•二欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型•三欧氏几何与非欧几何的意义•同步练习•本章综合单元测试本册综合新课标A版选修3-4•第一讲平面图形的对称群•第二讲代数学中的对称与抽象群的概念•第三讲对称与群的故事•综合专栏•单元测试第一讲平面图形的对称群•平面刚体运动•对称变换•平面图形的对称群•同步练习•本章综合第二讲代数学中的对称与抽象群的概念•n元对称群S•多项式的对称变换•抽象群的概念•同步练习•本章综合第三讲对称与群的故事•带饰和面饰•化学分子的对称群•晶体的分类•伽罗瓦理论•同步练习•本章综合综合专栏单元测试新课标A版选修四•新课标人教A版选修4-1•选修4-2•新课标A版选修4-4•新课标A版选修4-5新课标人教A版选修4-1•第一讲相似三角形的判定及有关性质•第二讲直线与圆的位置关系•第三讲圆锥曲线性质的探讨•单元测试•本册综合第一讲相似三角形的判定及有关性质•一平行线等分线段定理•二平行线分线段成比例定理•三相似三角形的判定及性质•四直角三角形的射影定理•同步练习•本章综合第二讲直线与圆的位置关系•一圆周角定理•二圆内接四边形的性质与判定定理•三圆的切线的性质及判定定理•四弦切角的性质•五与圆有关的比例线段•同步练习•本章综合第三讲圆锥曲线性质的探讨•一平行射影•二平面与圆柱面的截线•三平面与圆锥面的截线•同步练习•本章综合单元测试本册综合选修4-2•第一讲线性变换与二阶矩阵•第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法•第三讲逆变换与逆矩阵•第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量•单元测试•本册综合第一讲线性变换与二阶矩阵•一线性变换与二阶矩阵•二二阶矩阵与平面向量的乘法•三线性变换的基本性质•同步练习•本章综合第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法•一复合变换与二阶短阵的乘法•二矩阵乘法的性质•同步练习•本章综合第三讲逆变换与逆矩阵•一逆变换与逆矩阵•二二阶行列式与逆矩阵•三逆矩阵与二元一次方程组•同步练习•本章综合第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量•一变换的不变量---矩阵的特征向量•二特征向量的应用•同步练习•本章综合单元测试本册综合新课标A版选修4-4•第一章坐标系•第二章参数方程•单元测试•本册综合第一章坐标系• 1.1直角坐标系、平面上的伸缩变换• 1.2极坐标系• 1.3曲线的极坐标方程• 1.4圆的极坐标方程• 1.5柱坐标系与球坐标系•同步练习•本章综合第二章参数方程• 2.1曲线的参数方程• 2.2直线和圆的参数方程• 2.3圆锥曲线的参数方程• 2.4一些常见曲线的参数方程•同步练习•本章综合单元测试本册综合新课标A版选修4-5•第一讲不等式和绝对值不等式•第二讲讲明不等式的基本方法•第三讲柯西不等式与排序不等式•第四讲数学归纳法证明不等式•单元测试•本册综合第一讲不等式和绝对值不等式•一不等式•二绝对值不等式•单元测试•本章综合第二讲讲明不等式的基本方法•一比较法•二综合法与分析法•三反证法与放缩法•单元测试•本章综合第三讲柯西不等式与排序不等式•一二维形式的柯西不等式•二一般形式的柯西不等式•三排序不等式•单元测试•本章综合第四讲数学归纳法证明不等式•一数学归纳法•二用数学归纳法证明不等式•单元测试•本章综合单元测试本册综合。
人教版高中数学必修一第二章基本初等函数知识点总结第二章 基本初等函数一、指数函数（一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0=0。
注意：(1)na =(2)当 n a = ，当 n ,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩2．分数指数幂正数的正分数指数幂的意义，规定：0,,,1)m na a m n N n *=>∈>且正数的正分数指数幂的意义：_1(0,,,1)m nm naa m n N n a*=>∈>且0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）(0,,)rsr s a a aa r s R +=>∈（2）()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ （3）(b)(0,0,)r rra ab a b r R =>>∈注意：在化简过程中，偶数不能轻易约分；如122[(1]11≠ （二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数xy a = 叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．即 a>0且a ≠1 20<a<1a>1定义域R , 值域（0，+∞）注意： 指数增长模型：y=N(1+p)指数型函数： y=ka 3 考点：（1）a b =N, 当b>0时，a,N 在1的同侧；当b<0时，a,N 在1的 异侧。
（2）指数函数的单调性由底数决定的，底数不明确的时候要进行讨论。
掌握利用单调性比较幂的大小，同底找对应的指数函数，底数不同指数也不同插进1(=a 0)进行传递或者利用（1）的知识。
（3）求指数型函数的定义域可将底数去掉只看指数的式子，值域求法用单调性。
（4）分辨不同底的指数函数图象利用a 1=a ，用x=1去截图象得到对应的底数。
(5)指数型函数：y=N(1+p)x 简写：y=ka x二、对数函数 （一）对数1．对数的概念：一般地，如果x a N = ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作：log a x N =（ a — 底数， N — 真数，log a N — 对数式）说明：1. 注意底数的限制，a>0且a ≠1；2. 真数N>0 3. 注意对数的书写格式． 2、两个重要对数：（1）常用对数：以10为底的对数, 10log lg N N 记为 ；（2）自然对数：以无理数e 为底的对数的对数 , log ln e N N 记为． 3、对数式与指数式的互化 log x a x N a N =⇔=对数式 指数式对数底数← a → 幂底数对数← x → 指数 真数← N → 幂 结论：（1）负数和零没有对数（2）log a a=1, log a 1=0 特别地， lg10=1, lg1=0 , lne=1, ln1=0(3) 对数恒等式：log Na a N = （二）对数的运算性质如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 有：1、 log M N log log a a a M N ∙=+（）两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和 2 、N M N Ma a alog log log -= 两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差 3 、log log n na a M n M =∈（R ） 一个正数的n 次方的对数等于这个正数的对数n倍说明:1) 简易语言表达:”积的对数=对数的和”…… 2) 有时可逆向运用公式3) 真数的取值必须是(0,＋∞)4) 特别注意：N M MN a a a log log log ⋅≠ ()N M N M a a a log log log ±≠± 注意：换底公式()log lg log 0,1,0,1,0log lg c a c b bb a ac c b a a==>≠>≠>利用换底公式推导下面的结论 ①a b b a log 1log =②log log log log a b c a b c d d ∙∙=③log log m n a a nb b m=（二）对数函数1、对数函数的概念：函数log a y x = (a>0，且a ≠1) 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 注意：（1） 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。
第二章基本初等函数(Ⅰ)
本章概览
三维目标
1.了解根式、分数指数幂、无理指数幂的运算形式和运算法则,培养合作学习的方法,体验学习数学的乐趣,了解类比法的方法步骤,增强学好高中数学的信心.
2.理解指数函数的概念,会求指数函数的定义域和值域,会画几个特殊底的指数函数的图象,能说出它们的性质,掌握指数函数的图象及其性质,会利用指数函数的增减性能比较幂的大小,了解指数函数的实际应用.培养分类讨论的思想和由特殊到一般的归纳能力,树立学好数学的信心.
3.了解对数值的概念,掌握两个基本对数、两个基本对数恒等式和积、商、幂的对数运算法则,理解常用对数和自然对数的概念,会利用计算器求常用对数和自然对数,掌握对数的换底公式和倒数公式,进一步体会类比法学习的乐趣,体验分类讨论的重要性,培养分析问题、解决问题的能力.
4.理解对数函数的概念,会求对数函数的定义域和值域,会画几个特殊底的对数函数的图象,会利用对数函数的增减性能比较对数的大小.
5.了解幂函数的概念,会求幂函数的定义域和值域,理解几个特殊幂函数的图象及其性质,能根据幂函数的性质比较同底幂的大小,进一步体会类比法在学习中的应用,体验由特殊到一般,再由一般到特殊的认识问题的规律,培养数学能力.
知识网络。
第二章 基本初等函数(Ⅰ)本章复习提升易混易错练易错点1 利用指数、对数运算性质进行运算时忽视公式中的限定条件导致错误 1.()下列结论中正确的个数为( )①当a <0时,(a2)32=a3;②√a n n=|a |(n >0);③函数y =(x-2)12-(3x -7)0的定义域是(2,+∞);④若100a =5,10b =2,则2a +b =1. A.0 B.1 C.2 D.3 2.()计算:(1)5log 25(1-√3)2+3log 9(1+√3)2;(2)√(-8)33+√(√3-2)44-√(2-√3)33.易错点2 研究指数、对数函数时忽视对底数分0<a <1和a >1两种情况讨论导致错误 3.(2019湖北武昌实验中学高一上期中,)若log a 12<2,则a 的取值范围是( )A.(√22,+∞)B.(0,√22) C.(√22,1) D.(0,√22)∪(1,+∞)4.()若函数f (x )=a x +log a (x +1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ,则a 的值为 . 5.()已知log a (2a +1)<log a (3a -1),其中a >0且a ≠1,求实数a 的取值范围.6.()已知函数f (x )=log a (8-ax )(a >0,且a ≠1).(1)若f (x )<2,求实数x 的取值范围;(2)若f (x )>1在区间[1,2]上恒成立,求实数a 的取值范围.易错点3 研究指数、对数函数时忽视定义域与值域导致错误 7.()已知f (x )是定义在R 上的奇函数,若f (x )在(0,+∞)上是增函数,且f (13)=0,则不等式f (lo g 18x )<0的解集为 ( ) A.(0,12)B.(12,+∞) C.(12,1)∪(2,+∞) D.(0,12)∪(2,+∞) 8.()若函数f (x )=log a (6-ax )在[0,2]上为减函数,则a 的取值范围是( )A.(0,1)B.(1,3)C.(1,+∞)D.[3,+∞) 9.()若函数f (x )=lo g 12(x 2-ax +3a )在区间(2,+∞)上是减函数,则a 的取值范围为( )A.(-∞,4]B.(-4,4]C.[-4,4)D.[-4,4]10.(2020山东枣庄高一上期末,)已知f (x )={3x -4,x >1,3x ,x ≤1,若a <b ,f (a )=f (b ),则a +3b 的取值范围是 .思想方法练一、函数与方程思想在解决函数问题中的应用1.(2019湖北黄冈高一上期末,)已知函数f(x)的定义域为D,若函数f(x)满足:①f(x)在D内是单调函数;②存在区间[a,b],使f(x)在区间[a,b]上的值域为[a2,b 2 ],那么就称函数f(x)为“减半函数”.若函数f(x)=log c(2c x+t)(c>0,且c≠1)是“减半函数”,则t的取值范围为()A.(0,1)B.(0,1]C.(-∞,18) D.(0,18)2.(2020江苏镇江高一期中,)已知函数y=f(x)是二次函数,且满足f(0)=3,f(1)=f(3)=0.(1)求y=f(x)的解析式;(2)求函数y=f(log2x),x∈[2,8]的最小值;(3)若x∈[1,t](t>1),试将y=f(x)的最小值表示成关于t的函数g(t).二、数形结合思想在解决函数问题中的应用3.()如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是()A.{x|-1<x≤0}B.{x|-1≤x≤1}C.{x|-1<x≤1}D.{x|-1<x≤2}4.()若实数a,b满足a+lg a=8,b+10b=8,则a+b=.5.()已知函数f (x )={|log 2x |,0<x ≤8,x 2-20x +99,x >8,若a ,b ,c ,d 互不相同,且a <b <c <d ,f (a )=f (b )=f (c )=f (d ),则abcd 的取值范围是 .三、分类与整合思想在解决函数问题中的应用 6.()已知函数f (x )={(a -2)x -1,x ≤1,log a x ,x >1,若f (x )在(-∞,+∞)上单调递增,则实数a 的取值范围为 ( ) A.(1,2) B.(2,3) C.(2,3]D.(2,+∞)7.(2019浙江嘉兴一中高一上期中,)设函数f (x )=e |ln x |(e 为自然对数的底数),若x 1≠x 2且f (x 1)=f (x 2),则下列结论一定不成立的是 ( ) A.x 2 f (x 1)>1 B.x 2 f (x 1)<1C.x 2 f (x 1)=1D.x 2 f (x 1)<x 1 f (x 2)8.()设函数f (x )={21-x ,x ≤1,1-log 2x ,x >1,则满足f (x )≤2的x 的取值范围是 .四、转化与化归思想在解决函数问题中的应用 9.(2019吉林省实验中学高一上期中,)定义域为R 的函数f (x ),对任意实数x 均有f (-x )=-f (x ),f (2-x )=f (2+x )成立,若当2<x <4时,f (x )=2x -3+log 2(x -1),则f (-1)= .10.(2020山东菏泽高一上期末联考,)设函数f (x )=1ex +a e x (a 为常数),若对任意x ∈R ,f (x )≥3恒成立,则实数a 的取值范围是 . 11.()若3x =4y =36,则2x +1y= .五、特殊与一般思想在解决函数问题中的应用 12.()设f (x )为定义在R 上的奇函数.当x ≥0时, f (x )=2x +2x +b (b 为常数),则f (-1)= ( ) A.1 B.-1 C.-3 D.313. ()已知定义域为R 的函数f (x )=-2x +b2x+1+a是奇函数,求a ,b 的值.答案全解全析第二章 基本初等函数(Ⅰ)本章复习提升易混易错练1.B 3.D 7.C 8.B9.D1.B ①中,当a <0时,(a 2)32=[(a 2)12]3=(-a )3=-a 3,∴①不正确;②中,若a =-2,n =3,则√(-2)33=-2≠|-2|,∴②不正确;③中,由{x -2≥0,3x -7≠0,得x ≥2且x ≠73,故其定义域为[2,73)∪(73,+∞),∴③不正确;④中,∵100a=5,即102a =5,10b =2,∴102a ×10b =102a +b =10,∴2a +b =1,∴④正确. 2.解析 (1)原式=25log 25(√3-1)+9log 9(1+√3)=√3-1+1+√3=2√3. (2)原式=-8+|√3-2|-(2-√3)=-8+2-√3-2+√3=-8.3.D 当a >1时,由log a 12<2,得log a 12<log a a 2,因此a 2>12,解得a >√22或a <-√22,又a >1,所以a >1;当0<a <1时,由log a 12<2,得log a 12<log a a 2,因此0<a 2<12,解得-√22<a <√22,且a ≠0,又0<a <1,所以0<a <√22.综上,a 的取值范围是0,√22∪(1,+∞).故选D . 易错警示由于对数函数的图象、单调性等受底数a 的影响,所以在底数未知的情况下应先讨论底数与1的大小关系,一般分0<a <1,a >1两种情况. 4.答案12解析 当a >1时,y =a x 与y =log a (x +1)在[0,1]上都是增函数,因此f (x )=a x +log a (x +1)在[0,1]上是增函数,∴f (x )max =f (1)=a +log a 2,f (x )min =f (0)=a 0+log a 1=1,∴a +log a 2+1=a ,∴log a 2=-1=log a 1a ,解得a =12(舍去); 当0<a <1时,y =a x 与y =log a (x +1)在[0,1]上都是减函数,因此f (x )=a x +log a (x +1)在[0,1]上是减函数,∴f (x )max =f (0)=a 0+log a (0+1)=1, f (x )min =f (1)=a +log a 2,∴a +log a 2+1=a ,∴log a 2=-1=log a 1a ,解得a =12. 综上所述,a =12. 易错警示解决与对数函数有关的问题时需注意两点:(1)务必先研究函数的定义域;(2)注意对数自身(如真数、底数的取值)要满足的条件,特别是在研究复合函数的单调性时,除了按照“同增异减”的规律讨论之外,还要特别注意真数大于零. 5.解析 当a >1时,原不等式等价于{2a +1<3a -1,2a +1>0,3a -1>0,所以a >2;当0<a <1时,原不等式等价于{2a +1>3a -1,3a -1>0,2a +1>0,所以13<a <1. 综上所述,a 的取值范围是13,1∪(2,+∞). 6.解析 (1)当a >1时,由f (x )<2,即log a (8-ax )<log a a 2,得0<8-ax <a 2,所以8a -a <x <8a; 当0<a <1时,由f (x )<2=log a a 2,得8-ax >a 2,所以x <8a-a. 因此当a >1时,x 的取值范围是{x|8a -a <x <8a}; 当0<a <1时,x 的取值范围是{x|x <8a-a}. (2)当a >1时,f (x )=log a (8-ax )在[1,2]上是减函数,由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立,得f (x )min =log a (8-2a )>1,且在x ∈[1,2]上8-ax >0,即log a (8-2a )>log a a ,且8-2a >0,解得1<a <83. 当0<a <1时,f (x )=log a (8-ax )在[1,2]上是增函数,由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立,得f (x )min =log a (8-a )>1,且在x ∈[1,2]上8-ax >0,即log a (8-a )>log a a ,且8-2a >0,所以a >4,且a <4,故a 不存在. 综上可知,实数a 的取值范围是1,83.7.C ∵f (x )是定义在R 上的奇函数,且在(0,+∞)上是增函数,f (13)=0,∴f (x )在(-∞,0)上也为增函数,f (-13)=0.画出f (x )的大致图象如图所示.结合图象,由f (lo g 18x )<0,可得0<lo g 18x <13或lo g 18x <-13,解得12<x <1或x >2,即不等式f (lo g 18x )<0的解集为(12,1)∪(2,+∞).8.B 设u =6-ax ,则函数f (x )由y =log a u ,u =6-ax 复合而成.因为a >0,所以u =6-ax 是减函数,那么函数y =log a u 就是增函数,所以a >1.因为[0,2]为定义域的子集,且u =6-ax 是减函数,所以当x =2时,u =6-ax 取得最小值,所以6-2a >0,解得a <3. 综上,得1<a <3,故选B . 9.D 设u =x 2-ax +3a ,则函数f (x )由y =lo g 12u ,u =x 2-ax +3a 复合而成.因为y =lo g 12u 是减函数,所以u =x 2-ax +3a 在(2,+∞)上单调递增, 从而a 2≤2,解得a ≤4. 又当x ∈(2,+∞)时,u =x 2-ax +3a >0, 所以当x =2时,u =4-2a +3a ≥0, 解得a ≥-4.所以-4≤a ≤4.故选D . 易错警示f (x )在(2,+∞)上为减函数,既要考虑单调性,又要考虑f (x )在(2,+∞)上有意义,解题时注意对数的真数大于0. 10.答案 (-∞,8]解析 依题意,得a ≤1<b ,由f (a )=f (b ),得3a =3b -4,即3b =3a +4. 设S =a +3b =a +3a +4.∵函数S =a +3a +4在(-∞,1]上单调递增, ∴S ≤1+31+4=8,∴S 的取值范围是(-∞,8].思想方法练1.D 3.C 6.C 7.B 12.C1.D 显然f (x )是定义域上的单调递增函数,因此,若f (x )是“减半函数”,则{f (a )=a2,f (b )=b 2,即f (x )=x2有两个不等实根.故根据函数的性质构建关于a ,b 的方程组. log c (2c x+t )=x2,即2c x+t =c x2.令c x2=u ,则u >0,且2u 2-u +t =0.依题意知方程有两个不等正根,换元后构造关于u 的一元二次方程,根据方程根的情况,应用“三个二次”的关系求解. ∴{Δ=1-4×2×t >0,t 2>0,解得0<t <18,故选D . 2.解析 (1)设函数f (x )的解析式为f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),设出函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),根据题意,用待定系数法求出函数的解析式. 因为f (0)=c =3,所以f (x )=ax 2+bx +3, 又f (1)=f (3)=0,所以{a +b +3=0,9a +3b +3=0,解得{a =1,b =-4.所以f (x )=x 2-4x +3.(2)令t =log 2x ,∵x ∈[2,8],∴t ∈[1,3]. 则y =t 2-4t +3=(t -2)2-1,t ∈[1,3],用换元法,令t =log 2x ,构造二次函数求最值. 所以当t =2,即x =4时,y min =-1.所以函数y =f (log 2x ),x ∈[2,8]的最小值为-1. (3)f (x )=x 2-4x +3,x ∈[1,t ](t >1),定轴动区间问题,讨论区间端点t 与对称轴的相对位置. ①当1<t ≤2时,f (x )在[1,t ]上单调递减, 所以当x =t 时,f (x )有最小值t 2-4t +3;②当t >2时,f (x )在[1,2]上单调递减,在[2,t ]上单调递增, 所以当x =2时,f (x )有最小值-1,即此时g (t )=-1.综上,g (t )={t 2-4t +3,1<t ≤2,-1,t >2.3.C 作出函数y =log 2(x +1)的图象,如图所示.借助函数的图象求解不等式.在已有折线图中画出函数y =log 2(x +1)的图象,求出交点,以交点为分界点分析不等式的解集.结合图象得,BC 所在直线的解析式为y =-x +2,由{y =-x +2,y =log2(x +1),得{x =1,y =1, ∴不等式f (x )≥log 2(x +1)的解集为{x |-1<x ≤1}.4.答案 8解析 依题意得lg a =8-a ,10b =8-b ,在同一平面直角坐标系内作出函数y =lg x ,y =10x ,y =8-x ,y =x 的图象,如图所示.由图可知,A ,B 的横坐标即为a ,b.由y =lg x 与y =10x 互为反函数知,交点A ,B 关于直线y =x 对称,故a +b =8.作出函数图象,把满足等式的a ,b 转化为函数图象交点的横坐标,结合互为反函数的图象的对称性分析坐标之间的关系. 5.答案 (96,99)解析 画出函数y =f (x )和y =t 的图象,如图所示.设a ,b ,c ,d 分别为y =f (x )的图象与直线y =t 交点的横坐标.画出函数y =f (x )与y =t 的图象,问题转化为有四个交点时,横坐标乘积的范围,结合图象利用函数的性质解决该问题.由图可知,|log 2a |=-log 2a =log 2b ,即a ·b =1,c+d 2=10,且8<c <9,所以abcd =cd =c (20-c ).令g (c )=c (20-c ),8<c <9,因为函数g (c )的图象开口向下,对称轴方程为c =10,所以g (c )在(8,9)上单调递增,g (8)<g (c )<g (9),所以g (c )∈(96,99),即abcd 的取值范围是(96,99). 6.C 因为f (x )在(-∞,+∞)上单调递增,所以{a -2>0,a >1,a -2-1≤0,故2<a ≤3.所以a 的取值范围为(2,3].根据参数a 的不同,分析各段函数的单调性,根据整个函数的单调性,分析各段函数端点处函数值之间的关系. 7.B 由题知, f (x )=e |ln x |={x ,x ≥1,1x,0<x <1.按照自变量x 的不同取值范围把f (x )化为分段函数.由x ≥1时, f (x )=x 是增函数,0<x <1时,f (x )=1x 是减函数知,0<x 1<1≤x 2或0<x 2<1≤x 1. 分析分段函数的单调性,从而确定x 1,x 2分别在两个区间内. 当0<x 1<1≤x 2时, f (x 1)=1x 1, f (x 2)=x 2, ∴x 1x 2=1,∴x 2·f (x 1)=x 2x 1>1,x 1·f (x 2)=x 1·x 2=1,从而x 2 f (x 1)>x 1 f (x 2).此时A 成立. 当0<x 2<1≤x 1时, f (x 2)=1x 2, f (x 1)=x 1, ∴x 1x 2=1,∴x 2 f (x 1)=x 2·x 1=1,x 1·f (x 2)=x 1x 2>1, 从而x 2 f (x 1)<x 1 f (x 2).此时C 、D 成立. 因此无论何种情况,B 一定不成立,故选B . 8.答案 [0,+∞)解析 当x ≤1时,令f (x )≤2,即21-x ≤2,解得x ≥0,所以0≤x ≤1; 当x >1时,令f (x )≤2,即1-log 2x ≤2,解得x ≥12,所以x >1. 综上,x 的取值范围是[0,+∞). 9.答案 -2解析 由题意得,f (-1)=-f (1)=-f (2-1)=-f (2+1)=-f (3)=-[23-3+log 2(3-1)]=-(20+log 22)=-2.要想利用已知式求值,必须把自变量转化为区间(2,4)内的数. 10.答案94,+∞解析 f (x )≥3⇔1e x +a e x ≥3⇔a ≥3e x -1(e x )2.将含参的恒成立问题通过变形转化为有关参数的不等式问题.令t =1e x ,则t >0,则a ≥3t -t 2,①设g (t )=-t 2+3t =-t -322+94,t >0, 则当t =32时,g (t )max =94. 又不等式①恒成立,∴a ≥94, 把参数满足的不等式转化为函数最值问题.故a 的取值范围是94,+∞. 11.答案 1解析 已知3x =4y =36,取以6为底的对数,将指数式化为对数式,得x log 63=y log 64=2, 应用指数与对数关系将指数式转化为对数式.∴2x =log 63,2y=log 64, 即1y =log 62,故2x +1y=log 63+log 62=1. 12.C 由f (x )是定义在R 上的奇函数知, f (0)=20+0+b =0,解得b =-1, 应用定义在R 上的奇函数的性质:f (0)=0,求b. ∴f (-1)=-f (1)=-(21+2-1)=-3,故选C .13.解析 因为f (x )是定义在R 上的奇函数,所以f (0)=0,即-1+b2+a =0,解得b =1,所以f (x )=-2x +12x+1+a .由-f (x )=f (-x ),知--2x +12x+1+a =-2-x+12-x+1+a ,化简,得2x +1+a =2+a ·2x ,即(a -2)(2x -1)=0.由(a -2)(2x -1)=0对任意x ∈R 都成立,得a =2.故a =2,b =1.思维升华在处理函数奇偶性问题时,遇到定义域为R 的奇函数,应用性质f (0)=0,可以快速找到解决问题的突破口,使复杂的问题简单化.。
【创新设计】2015-2016学年高中数学第二章基本初等函数（Ⅰ）章末复习提升新人教A版必修11．指数幂、对数式的运算、求值、化简、证明等问题主要依据指数幂、对数的运算性质，在进行指数、对数的运算时还要注意相互间的转化．2．指数函数和对数函数的性质及图象特点是这部分知识的重点，而底数a的不同取值对函数的图象及性质的影响则是重中之重，要熟知a在(0,1)和(1，＋∞)两个区间取值时函数的单调性及图象特点．3．应用指数函数y＝a x和对数函数y＝log a x的图象和性质时，若底数含有字母，要特别注意对底数a＞1和0＜a＜1两种情况的讨论．4．幂函数与指数函数的主要区别：幂函数的底数为变量，指数函数的指数为变量．因此，当遇到一个有关幂的形式的问题时，就要看变量所在的位置从而决定是用幂函数知识解决，还是用指数函数知识去解决．5．理解幂函数的概念、图象和性质．在理解幂函数的概念、图象和性质时，要对幂指数α分两种情况进行讨论，即分α＞0和α＜0两种情况．6．比较几个数的大小是幂函数、指数函数、对数函数性质应用的常见题型，在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正数、负数；再将正数与1比，分出大于1还是小于1；然后在各类中两两相比较．7．求含有指数函数和对数函数复合函数的最值或单调区间时，首先要考虑指数函数、对数函数的定义域，再由复合函数的单调性来确定其单调区间，要注意单调区间是函数定义域的子集．其次要结合函数的图象，观察确定其最值或单调区间．8．函数图象是高考考查的重点内容，在历年高考中都有涉及．考查形式有知式选图、知图造式、图象变换以及用图象解题．函数图象形象地显示了函数的性质，利用数形结合有时起到事半功倍的效果．题型一 有关指数、对数的运算问题指数与指数运算、对数与对数运算是两个重要的知识点，不仅是本章考查的重要题型，也是高考的必考内容．指数式的运算首先要注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为指数式；其次若出现分式，则要注意把分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先要注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价；其次要熟练地运用对数的三个运算性质，并根据具体问题合理利用对数恒等式和换底公式等．换底公式是对数计算、化简、证明常用的公式，一定要掌握并灵活运用．例1 (1)化简a 43－8a 31b4b 32＋23ab ＋a32÷⎝⎛⎭⎪⎫1－23b a ×3ab ；(2)计算：2log 32－log 3329＋log 38－2535log .解 (1)原式＝a31a －8b2b312＋2a 31b 31＋a312×a31a 31－2b31×a 31b 31＝a31a －8ba －8b×a 31×a 31b 31＝a 3b .(2)原式＝log 34－log 3329＋log 38－535log 2+＝log 3(4×932×8)－535log 2+＝log 39－9＝2－9＝－7.跟踪演练1 (1)求lg 8＋lg 125－lg 2－lg 5log 54·log 25＋525log ＋1643的值．(2)已知x ＞1，且x ＋x －1＝6，求x 21－x21-.解 (1)lg 8＋lg 125－lg 2－lg 5log 54·log 25＋525log＋1643＝3lg 2＋3lg 5－lg 2－lg 52log 52·log 25＋2＋(24)43＝3－12＋2＋8＝11. (2)⎝⎛⎭⎫x 21－x21-2＝x ＋x －1－2＝6－2＝4， 又x ＞1，∴x 21－x21-＞0，∴x 21－x21-＝2.题型二 指数函数、对数函数及幂函数的图象与性质函数的图象是研究函数性质的前提和基础，它较形象直观地反映了函数的一切性质．教材对幂函数、指数函数、对数函数三个函数的性质的研究也正好体现了由图象到性质，由具体到抽象的过程，突出了函数图象在研究相应函数性质时的作用．例2 已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x.(1)画出函数f (x )的图象；(2)根据图象写出f (x )的单调区间，并写出函数的值域．解 (1)先作出当x ≥0时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x的图象，利用偶函数的图象关于y 轴对称，再作出f (x )在x ∈(－∞，0)时的图象．(2)函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0,1]． 跟踪演练2 (1)函数f (x )＝ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋4的图象的交点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 (2)函数y ＝x 33x－1的图象大致是( )答案 (1)C (2)C 解析 (1)g (x )＝x 2－4x ＋4＝(x －2)2，在同一平面直角坐标系内画出函数f (x )＝ln x 与g (x )＝(x －2)2的图象(如图)．由图可得两个函数的图象有2个交点． (2)由3x－1≠0得x ≠0，∴函数y ＝x 33x－1的定义域为{x |x ≠0}，可排除选项A ；当x ＝－1时，y ＝－1313－1＝32＞0，可排除选项B ；当x ＝2时，y ＝1，当x ＝4时，y ＝6480，但从选项D 的函数图象可以看出函数在(0，＋∞)上是单调递增函数，两者矛盾，可排除选项D.故选C. 题型三 比较大小比较几个数的大小问题是指数函数、对数函数和幂函数的重要应用，其基本方法是：将需要比较大小的几个数视为某类函数的函数值，其主要方法可分以下三种：(1)根据函数的单调性(如根据一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的单调性)，利用单调性的定义求解；(2)采用中间量的方法(实际上也要用到函数的单调性)，常用的中间量如0,1，－1等； (3)采用数形结合的方法，通过函数的图象解决． 例3 设a ＝log 213，b ＝⎝⎛⎭⎫130.2，c ＝231，则( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c 答案 A解析 a ＝log 213＜0,0＜b ＝⎝⎛⎭⎫130.2＜1，c ＝231＞1，故有a ＜b ＜c .跟踪演练3 (1)下列不等式成立的是( ) A ．log 32＜log 23＜log 25 B ．log 32＜log 25＜log 23 C ．log 23＜log 32＜log 25 D ．log 23＜log 25＜log 32(2)已知0＜a ＜1，x ＝log a 2＋log a 3，y ＝12log a 5，z ＝log a 21－log a 3，则( )A ．x ＞y ＞zB ．z ＞y ＞xC ．y ＞x ＞zD ．z ＞x ＞y 答案 (1)A (2)C解析 (1)由于log 31＜log 32＜log 33，log 22＜log 23＜log 25，即0＜log 32＜1,1＜log 23＜log 25，所以log 32＜log 23＜log 25.故选A.(2)依题意，得x ＝log a 6，y ＝log a 5，z ＝log a 7.又0＜a ＜1，5＜6＜7，因此有log a 5＞log a 6＞log a 7，即y ＞x ＞z .故选C. 题型四 分类讨论思想本章常见分类讨论思想的应用如下表：例4 已知偶函数f (x )在x ∈[0，＋∞)上是增函数，f ⎝⎛⎭⎫2＝0，求不等式f (log a x )＞0(a ＞0，且a ≠1)的解集．解 ∵f (x )是偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上是增函数， 又f ⎝⎛⎭⎫12＝0，∴f (x )在(－∞，0)上是减函数，f ⎝⎛⎭⎫－12＝0.故若f (log a x )＞0，则有log a x ＞12或log a x ＜－12.①当a ＞1时，由log a x ＞12或log a x ＜－12，得x ＞a 或0＜x ＜a a. ②当0＜a ＜1时，由log a x ＞12或log a x ＜－12，得0＜x ＜a 或x ＞a a. 综上可知，当a ＞1时，f (log a x )＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a a ∪(a ，＋∞)；当0＜a ＜1时，f (log a x )＞0的解集为(0，a )∪⎝⎛⎭⎪⎫a a ，＋∞. 跟踪演练4 已知函数y ＝a332+-x x 在x ∈[1,3]时有最小值18，求a 的值．解 令t ＝x 2－3x ＋3＝⎝⎛⎭⎫x －322＋34，当x ∈[1,3]时，t ∈⎣⎡⎦⎤34，3.①若a ＞1时，则y min ＝a 43＝18，解得a ＝116，与a ＞1矛盾．②若0＜a ＜1，则y min ＝a 3＝18，解得a ＝12，满足题意．综合①②知，a ＝12.1.函数是高中数学极为重要的内容，函数思想和函数方法贯穿整个高中数学的过程，纵观历年高考试题，对本章的考查是以基本函数形式出现的综合题和应用题，一直是常考不衰的热点问题． 2．从考查角度看，指数函数、对数函数概念的考查以基本概念与基本计算为主；对图象的考查重在考查平移变换、对称变换以及利用数形结合的思想方法解决数学问题的能力；对幂函数的考查将会从概念、图象、性质等方面来考查．。
