等差数列

等差数列的性质与公式等差数列是数列中相邻两项之间的差值保持恒定的数列。

在数学中，等差数列是一种常见的数学模型，具有许多重要的性质和应用。

本文将介绍等差数列的性质与公式，并探讨其在代数、几何等领域中的应用。

一、等差数列的定义等差数列可以用下列形式表示：a，a + d，a + 2d，a + 3d，...其中，a是首项，d是公差。

首项代表数列中的第一个数，公差代表相邻两项之间的差值。

二、等差数列的性质1. 通项公式等差数列的第n项可以用通项公式表示：an = a + (n-1)d其中，an代表等差数列的第n项，a是首项，d是公差。

2. 求和公式等差数列的前n项和可以用求和公式表示：Sn = (n/2)(a + an)其中，Sn代表等差数列的前n项和，a是首项，an是第n项，n代表项数。

3. 公差与项数的关系对于等差数列，项数与公差的关系可以表示为：n = (an - a)/d + 1其中，n代表项数，a是首项，an是第n项，d是公差。

4. 等差中项等差数列中的中项可以表示为：a + (n-1)(d/2)其中，a是首项，n代表项数，d是公差。

5. 等差数列的性质等差数列具有以下性质：(1) 等差数列的任意三项成等差数列；(2) 等差数列对任意项数取整后仍为等差数列；(3) 等差数列的倒序也为等差数列；(4) 等差数列的前n项和等于后n项和。

三、等差数列的应用等差数列在数学中具有广泛的应用，特别是在代数和几何领域中。

1. 代数应用(1) 等差数列可用于解决各种代数问题，如数列的推导、求和等问题。

(2) 等差数列可用于建立各种代数方程，进而解决实际问题。

2. 几何应用(1) 等差数列可用于几何问题，如等差中项问题、等差数列构成的图形问题等。

(2) 等差数列可用于建立几何方程，求解各种几何问题。

3. 统计应用(1) 等差数列可用于统计学中的各种模型建立与应用。

(2) 等差数列可用于数理统计、经济学等领域的数据分析。

数列专题（一）——等差数列1．等差数列定义：⇔∈=-+为常数d N n d a a n n ),(*1数列}{n a 为等差数列。

2．等差数列的通项公式1(1)n a a n d =+-； 3．等差数列的前n 项和：公式1：2)(1n n a a n S +=；公式2：1(1)2n n n S na d -=+； 4．等差数列的性质公式： （1）()n m a a n m d =+-；n ma a d n m-=-，如：855(85),(5)n a a d a a n d =+-=+-等；（2）若q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+，如11038a a a a +=+； （3）若2m n p +=，则2m n p a a a +=，如11162a a a +=；（4）n S 为等差数列}{n a 的前n 项和，则数列,...,,232m m m m m S S S S S --也是等差数列. 基础题1.已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若12,261=-=S a ，则6a 的值为（ ） A.4 B.5 C.6 D.82.（15年安徽文科）已知数列}{n a 中，11=a ，211+=-n n a a （2≥n ），则数列}{n a 的前 9项和等于 。

3.设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若2,11952-=+-=a a a ，则当n S 取最小值时，n 等 于（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 64.（15年广东理科）在等差数列{}n a 中，若2576543=++++a a a a a ，则82a a +=5.（15年新课标2文科）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．116.已知等差数列}{n a 中，其前n 项和为n S ，36,963==S S ，则._______987=++a a a 提高题1.（15年新课标2理科）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________．2.已知等差数列}{n a 中，若,0,031110119<⋅<+a a a a 且数列}{n a 的前n 项和n S 有最大值，那么n S 取得最小正值时n 等于（ ） A. 20 B. 17 C. 19 D. 213.已知等差数列}{n a 中，其前n 项和为n S ，且满足35124,2a a a a a n n n -=-=++，则7S =（ ） A. 7 B. 12 C. 14 D. 214.在等差数列}{n a 中，前四项之和为20，最后四项之和为60，前n 项之和是100，则项数n 为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 125.设n n T S ,分别是等差数列}{},{n n b a 的前n 项和，且5959=T S ，则35b a的值为_________.6.（15年福建文科）等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．7.【2015高考山东，文19】已知数列{}n a 是首项为正数的等差数列，数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬∙⎩⎭的前n 项和为21nn +. （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设()12n an n b a =+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .一、等差数列3．等差数列的通项公式1(1)n a a n d =+-； 2．等差数列的前n 项和：公式1：2)(1n n a a n S +=；公式2：1(1)2n n n S na d -=+； 3．等差数列的性质公式： （1）()n m a a n m d =+-；n ma a d n m-=-，如：855(85),(5)n a a d a a n d =+-=+-等；（2）若q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+，如11038a a a a +=+； （3）若2m n p +=，则2m n p a a a +=，如11162a a a +=. 基础题2.已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若12,261=-=S a ，则6a 的值为（ ） A.4 B.5 C.6 D.8 答案：C5.（15年安徽文科）已知数列}{n a 中，11=a ，211+=-n n a a （2≥n ），则数列}{n a 的前 9项和等于 。

分享到等差数列求助编辑百科名片等差数列，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。

等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d (1)前n项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2 注意：以上n 均属于正整数。

目录多项式数列等差数列的基本公式通项公式（第n项）前n项和公式推论等差中项等差数列小故事等差数列的基本性质r次等差数列一次数列的性质等差数列的判定一道例题等差数列前n项和公式S 的基本性质等差数列的特殊性质多项式数列等差数列的基本公式通项公式（第n项）前n项和公式推论等差中项等差数列小故事等差数列的基本性质r次等差数列一次数列的性质等差数列的判定一道例题等差数列前n项和公式S 的基本性质等差数列的特殊性质展开编辑本段多项式数列等差数列是多项式数列的一种简称：A.P (arithmetic progression)多项式数列:p(n)=b(0)+b(1)*n+...+b(k)*n^k多项式数列的和可以用一个矩阵来转换。

令这个转换矩阵为A，做向量b=[b0,b1,...,bk]令向量c=A*b'，c就是和公式的向量。

和项S(n)=c(1)*n+..+c(k)*n^k+c(k+1)*n^(k+1)。

3阶多项式数列的A=A有专门的算法，可以用于matlab中。

function p=leeqi(r)format ratp=zeros(r,r);for k=1:r,w=2:k; p(1,k)=1-sum(p(w,k));for n=2:r-k+1,p(n,n+k-1)=(n+k-2)/n*p(n-1,n+k-2);end等差数列是多项式数列的一次形式b(0)+b(1)*n，在这里把多项式数列的一次形式简称为（一次数列）。

一次数列的通项公式为：p(n)=b(0)+b(1)*n；前n项和的公式为：S(n)=[n,n^2]*[1,1/2;0,1/2]*[b(0);b(1)].编辑本段等差数列的基本公式通项公式（第n项）a(n)=a(1)+(n-1)×d ，注意：n是正整数即第n项=首项+第n-1项×公差前n项和公式S(n)=n*a(1)+n*(n-1)*d/2或S(n)=n*(a(1)+a(n))/2注意：n是正整数（相当于n个等差中项之和）等差数列前N项求和，实际就是梯形公式的妙用：上底为：a1首项，下底为a1+(n-1)d,高为n.即[a1+a1+(n-1)d]* n/2=a1 n+ n (n-1)d /2.推论一.从通项公式可以看出，a(n)是n的一次函数(d≠0)或常数函数(d=0)，(n，an)排在一条直线上，由前n项和公式知，S(n)是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0，a1≠0)，且常数项为0。

等差数列所有公式
等差数列（ArithmeticProgression）是一种数学概念，它指的是一组有限的有序数列，其中任意两个邻接的数之差都是一个确定的值，即常数。

它的定义和表示非常简单，却又能帮助我们解决许多日常生活中的问题。

从数学的角度来看，等差数列可以用通项公式表示，通项公式是用于求解数列的各项元素的方法。

根据它的定义，等差数列的通项公式为：
Sn = an + a1 - d (n-1)
其中Sn表示等差数列中第n项的值，an表示等差数列中最后一项的值，a1表示等差数列中第一项的值，d表示等差数列中邻项的差值，n表示等差数列中的项数。

另外，我们还可以用相邻两项的比值来表示等差数列的公式，其公式为：
a n+1 / a n = c
其中c表示相邻项的比值，即等差数列中公差d的倒数。

- 1 -。

等差数列相关公式
等差数列是一类有序数列，它的每一项都等于前一项加上一个常数。

等差数列具有很多有用的性质，其中最重要的是其相关公式。

等差数列的首项和公差可以用a1和d表示，其中a1是数列的第一项，d是数列的公差。

同时，等差数列的第n项可以用an表示，其公式为：an=a1+(n-1)d。

等差数列的和可以用Sn表示，其公式为：Sn=n(a1+an)/2。

另外，等差数列的积可以用Pn表示，其公式为：Pn=a1a2a3...an。

等差数列的平方和可以用Sn2表示，其公式为：Sn2=n(2a1+d(n-1))(a1+an)/6。

等差数列相关公式的学习可以帮助我们更好地理解等差数列，进而更好地掌握数学知识。

等差数列的概念等差数列是数学中常见的一种数列，它的概念以及相关性质在数学领域中有着重要的地位。

本文将对等差数列进行详细的介绍和讨论。

一、等差数列的定义等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持不变。

也就是说，如果一个数列满足每一项与其后一项之间的差值都为同一个常数d，那么这个数列就是等差数列。

常数d称为等差数列的公差，用字母d表示。

例如：1, 3, 5, 7, 9, 11, ...这个数列中相邻两项之间的差值都是2，所以它是一个公差为2的等差数列。

二、等差数列的通项公式等差数列可以用一个通项公式来表示，通项公式可以根据等差数列的首项和公差来确定。

通项公式：an = a1 + (n-1)d其中，an表示等差数列的第n项，a1是第一项，d是公差。

通过这个公式，我们可以直接求出等差数列的任意一项。

三、等差数列的性质1. 等差数列的前n项和公式等差数列的前n项和可以通过以下公式来计算：Sn = n/2 * (a1 + an)其中，Sn表示前n项和，a1是第一项，an是第n项，n为项数。

这个公式可以用来计算等差数列的前n项和，方便进行数值计算。

2. 等差数列的性质（1）等差数列的项数奇偶性对于一个等差数列，如果首项、公差和末项已知，我们可以根据等差数列的性质来判断该数列的项数是奇数还是偶数。

- 当末项an已知时，如果公差d为正数，则an > a1，项数n为奇数；如果公差d为负数，则an < a1，项数n为偶数。

- 当末项an已知时，如果公差d为正数，则an < a1，项数n为偶数；如果公差d为负数，则an > a1，项数n为奇数。

（2）等差数列的中项对于一个项数为奇数的等差数列，我们可以根据等差数列的性质求出它的中项。

中项可以通过以下公式计算：中项 = (首项 + 末项) / 2四、等差数列的应用等差数列在数学中有着广泛的应用。

它不仅在数学领域中有重要作用，也在其他学科和实践中得到广泛的应用。

等差数列公式大全-等差公式大全-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1等差数列公式大全1、 a n =()1121)n n s s n s n -⎧-≥⎪⎨=⎪⎩（ （注意：（1）此公式对于一切数列均成立（2）1--=n n n s s a 不是对一切正整数n 都成立，而是局限于n ≥2）2、 等差数列通项公式：n a =1a +（n-1）dn a =m a +(n-m)d ⇒ d=mn a a m n --(重要)3、若{n a }是等差数列，m+n=p+q ⇔m a +n a =p a +q a 4、若a,A,b 成等数列则2A=a+b (A 是a,b 的等差中项) 5、 {n a }是等差数列，若m 、n 、p 、q ∈N *且m ≠n,p ≠q,则mn a a m n --=q p a a q p --=d 6、 等差数列{n a }的前n 项和为n s ，则n s =()21na a n + （已知首项和尾项）=()211d n n na -+ （已知首项和公差）=n d a dn ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+212112（二次函数可以求最值问题） 7、等差数列部分和性质：m m m m m s s s s s 232,,--…仍成等差数列。

8、 在等差数列中抽取新数列：一般地，对于公差为d 的等差数列{n a }，若...,321k k k 成等差数列，那么,......,,,321kn k k k a a a a 仍成等差数列，而且公差为（12k k -）d9、n s 的最值问题：若{n a }是等差数列，1a 为首项，d 为公差 ① 首项1a ＞0，d ＜0,n 满足n a ≥0，1+n a ＜0时前n 项和n s 最大② 首项1a ＜0，d ＞0,n 满足n a ≤0，1+n a ＞0时前n 项和n s 最小10、 在等差数列{n a }中，奇s 与偶s 的关系： ①当n 为奇数时，n s =21+n ,奇s －偶s =a 21+n ，偶奇s s ＝11-+n n ②当n 为奇数时，n s ＝n.2122++nn a a ，奇s －偶s =d n 2 偶奇s s =122+nna a 11、等差数列的判别方法：⑴定义法： 1+n a －n a ＝d (d 为常数) ⇔ {n a }是等差数 ⑵中项公式法： 21+n a =n a +a 2n + (n ∈N*)⇔ {n a }是等差数列 ⑶通项公式法： n a =ｐn+ｑ (p,q 为常数) ⇔ {n a }是等差数列 ⑷前ｎ项和公式法： n s ＝Ａn 2＋Ｂn (A,B 为常数) ⇔ {n a }是等差数列。

等差数列的概念等差数列是指数列中相邻两项之差恒定的数列。

在数学中，等差数列是一种重要的数列类型，具有广泛的应用。

它在数学、物理、经济等领域都有着重要的地位和作用。

一、等差数列的定义等差数列的定义比较简单，即数列中任意两项之差都相等。

数列的通项公式可以表示为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。

二、等差数列的性质1. 公差：等差数列中相邻两项之差称为公差，常用字母d表示。

公差可以是正数、负数或零，代表着数列中每一项之间的间隔。

2. 首项和末项：等差数列中的第一项为首项，常用字母a1表示；最后一项为末项，常用字母an表示。

3. 通项公式：等差数列的通项公式可以用来表示数列中任意一项的值。

根据公式an = a1 + (n-1)d，我们可以轻松地求得数列中任意一项的值。

4. 总和公式：等差数列的前n项和可以用总和公式来表示。

总和公式为Sn = (n/2)(a1 + an)，其中Sn表示前n项和。

5. 递推关系：等差数列中的每一项都可以通过前一项加上公差得到。

这种递推关系使得我们可以通过已知条件计算出其他项的值。

三、等差数列的应用等差数列在数学上具有广泛的应用，它们可以通过表达式和性质来解决各种问题。

1. 数学应用：等差数列常常用来解决一次方程和一次不等式的问题。

通过等差数列的性质和公式，我们可以求解未知项的值，计算前n项和，判断数列的增减性等。

2. 物理应用：等差数列在物理学中也有重要的应用。

例如，物体匀速运动的位移、速度和加速度等可以通过等差数列来表示和计算。

3. 经济应用：等差数列在经济学中的应用也非常广泛。

例如，在贷款计算和投资分析中，我们常常需要利用等差数列的公式来计算每期的利息、本金和回报率等。

四、等差数列的例题分析为了更好地理解等差数列的概念和应用，我们来看几个例题。

例题1：已知等差数列的首项为2，公差为3，求该数列的前5项和。

解法：根据等差数列的总和公式Sn = (n/2)(a1 + an)，代入已知条件，得到S5 = (5/2)(2 + 2 + 3×4) = 35。

高中等差数列公式大全一、等差数列的定义。

如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。

设等差数列{ a_n}的首项为a_1，则a_n-a_n - 1=d(n≥slant2)二、等差数列的通项公式。

1. 基本公式。

- a_n=a_1+(n - 1)d- 推导：a_2=a_1+d，a_3=a_2+d=a_1+2d，a_4=a_3+d=a_1+3d·s，以此类推可得a_n=a_1+(n - 1)d。

2. 变形公式。

- a_n=a_m+(n - m)d（m,n∈ N^*）- 推导：由a_n=a_1+(n - 1)d，a_m=a_1+(m - 1)d，两式相减得a_n-a_m=(n - m)d，移项可得a_n=a_m+(n - m)d。

三、等差数列的前n项和公式。

1. 公式一。

- S_n=frac{n(a_1+a_n)}{2}- 推导：S_n=a_1+a_2+·s+a_n，S_n=a_n+a_n - 1+·s+a_1，将这两个式子相加得2S_n=n(a_1+a_n)，所以S_n=frac{n(a_1+a_n)}{2}。

2. 公式二。

- S_n=na_1+(n(n - 1))/(2)d- 推导：因为a_n=a_1+(n - 1)d，将其代入S_n=frac{n(a_1+a_n)}{2}中，得到S_n=frac{n<=ft[a_1+a_1+(n - 1)d]}{2}=na_1+(n(n - 1))/(2)d。

四、等差数列的性质。

1. 若m,n,p,q∈ N^*，且m + n=p + q，则a_m+a_n=a_p+a_q。

- 特别地，当m + n = 2k（m,n,k∈ N^*）时，a_m+a_n=2a_k。

2. 在等差数列{ a_n}中，若a_n=m，a_m=n（m≠ n），则a_m + n=0。