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等差数列前n项和(公开课)

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1212等差数列及前n项和(公开课)ppt

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01 添 加 目 录 文 本
02 等 差 数 列 的 概 念
等差数列的前n项和 03 公 式
04 等 差 数 列 的 应 用
05 等 差 数 列 的 实 例
等差数列的图表表 06 示
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等差数列的概念
等差数列的定义 等差数列的通项公式 等差数列的性质 等差数列的应用
项和公式
定义：等差数列的每一项和它前面的那一项的差是一个定值，这个定值叫做公差。 通项公式：an=a1+(n-1)d。 前n项和公式：sn=n/2(a1+an)。 例子：以a1=1，d=2为例，计算前n项和。
通项公式：a_n = a_1 + (n-1) * d 前n项和公式：S_n = n/2 * (a_1 + a_n) 等差数列的图像特征：二次函数的图像
出前n项和
应用场景：常 用于解决等差 数列的相关问 题，如求和、
判断等
等差数列的应用
等差数列在求和公式中的应用
等差数列在找规律问题中的应用
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等差数列在解决数列问题中的应用
等差数列在解决实际问题中的应用
等差数列可以用于描述粒子运动 规律
等差数列可以用于描述振动和波 动
前n项和公式：sn=(a1+an)n/2
潮汐现象：海水受月亮和太阳的引力而产生的周期性涨落现象 年份：每4年一闰，每100年不闰，每400年又闰 气温：白天和晚上的温度差是一定的，随着时间推移，温度逐渐升高或降低 种植：在农田中种植庄稼，等距离种植保证光照和养分分布均匀生物学中细胞增殖ຫໍສະໝຸດ 次数日常生活中的存款复利计算

等差数列前n项和(公开课)PPT课件

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几何等领域。
组合数学
等差数列的前n项和公式可以应 用于组合数学中，解决一些组合 问题，如计算组合数的公式等。
数列求和
等差数列的前n项和公式是数列 求和的一种重要方法，可以用于
解决等差数列的求和问题。
在物理中的应用
力学
在物理学中，等差数列的 前n项和公式可以应用于求 解一些力学问题，如计算 多自由度振动的周期等。
简化计算
等差数列的前n项和公式在日常生活 和科学研究中有着广泛的应用，如计 算存款利息、解决生产计划问题等。
对于一些较大的等差数列，使用前n 项和公式可以大大简化计算过程，提 高计算效率。
验证答案
使用前n项和公式可以快速验证一些 等差数列求和问题的答案，确保计算 的准确性。
实例解析
简单实例
例如，一个等差数列1, 4, 7, 10... ，使用前n项和公式可以快速求出
统计学
在统计学中，等差数列的 前n项和公式可以用于计算 平均值、中位数等统计指 标。
信号处理
在信号处理中，等差数列 的前n项和可以用于计算信 号的频谱、滤波等操作。
在计算机科学中的应用
数据结构
在计算机科学中，等差数列的前n项和公式可以应用于一些数据结 构的设计，如数组、链表等。
算法设计
等差数列的前n项和公式可以用于设计一些算法，如排序算法、查 找算法等。
详细描述
等差数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻的项之间的 差是一个固定的值，这个值被称为公差。等差数列的通项公 式为 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_n 是第 n 项，a_1 是首项 ，d 是公差。
性质
总结词
等差数列具有一些重要的性质，包括对称性、中项性质和等差中项性质等。

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数学建模
等差数列的前n项和公式也可以用于数学建模，例如在解决一 些实际问题时，可以利用等差数列的前n项和来建立数学模型 ，从而更好地理解和解决这些问题。
在物理中的应用
物理学中的等差数列
在物理学中，有些物理量呈等差数列 分布，例如光的波长、音阶的频率等 ，等差数列的前n项和公式可以用于 计算这些物理量的总和。
物理学中的级数求和
在物理学中，有些级数的求和问题可 以用等差数列的前n项和公式来解决 ，例如在求解一些物理问题的近似解 时，可以利用等差数列的前n项和来 简化计算。
在经济中的应用
金融投资
在金融投资中，有些投资组合的收益 呈等差数列分布，例如定期存款、基 金定投等，等差数列的前n项和公式 可以用于计算这些投资组合的总收益 。
CHAPTER 02
等差数列的前n项和公式
等差数列前n项和的定义
01
02
03
定义
等差数列的前n项和是指 从第一项到第n项的所有 项的和。
符号表示
记作Sn，其中S表示总和 ，n表示项数。
举例
对于等差数列2, 4, 6, ..., 2n，前n项和为Sn = 2 + 4 + 6 + ... + 2n。
等差数列前n项和(公开 课)ppt课件
汇报人：可编辑
2023-12-23
CONTENTS
目录
• 等差数列的概念 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列前n项和的特例 • 等差数列前n项和的应用 • 习题与解答
CHAPTER 01
等差数列的概念
等差数列的定义
等差数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常
等差数列前n项和的公式推导
推导方法

2.3.1等差数列的前n项和(第一课时)(公开课)

2.3.1等差数列的前n项和(第一课时)(公开课)
已知 a10 30 , a20 50 . (1)求通项 a n ;
(2)令sn 242 ,求 n .
三、例题分析：
例1、 2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校
通”工程的通知》。某市据此提出了实施“校校通”工程的总目 标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的 校园网。据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500 万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一 年增加50万元。那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校 通”工程中的总投入是多少？
那么：对于公差为d的等差数列，如何求它的前n项和？
公式推理
用两个式子表示前n项和
S n a1 a2 a3 an 2 an 1 an S n an an 1 an 2 a3 a2 a1
由①＋②得到
①

2S n (a1 an ) (a2 an1 ) (a3 an2 ) (an2 a3 ) (an1 a2 ) (an a1 ).
第一课时
学习目标：
1、掌握等差数列前n项的含义； 2、会推理等差数列前n项的公式 学习重点：
1、掌握等差数列前n项的公式推导方法——倒序相加法； 2、等差数列前n项和公式的理解及应用； 3、熟练应用等差数列的求和公式。
学习难点： 理解并掌握公式的灵活应用。
一、旧知回顾：
1.等差数列的概念：an-an-1=d (n∈N*且 n≥2) 2.等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d 或an=am+(n-m)d 3、公差的求法：d=(an-a1)/(n-1)=(am-an)/(m-n) 4、若m+n=p+q，则am+an=ap+aq 5、若m+n=2k，则am+an=2ak 6、{an}是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末 两项之和，即a1+an=a2+an-1=…=an-k+ak+1 7、数列{kan+b}(k、b是常数)是首项为ka1+b，公差为kd的等差数列。

《等差数列的前n项和》课件(全国讲课比赛一等奖)

《等差数列的前n项和》课件(全国讲课比赛一等奖)

对学生的答疑解惑
01
解答学生在学习过程中遇到的疑 惑和问题，帮助他们更好地理解 和掌握等差数列的前n项和。
02
针对学生的不同学习需求和问题 ，提供个性化的指导和建议。
下节课预告：等差数列的性质探究
• 预告下节课的学习内容，引导学生对等差数列的 性质进行探究和思考，激发他们的学习兴趣和好 奇心。
THANKS。
详细描述
首先，将等差数列的项倒序排列，然后将其与原数列相加。由于倒序数列与原数列的对 应项相加都等于同一个常数（等差数列的首项加末项），因此，这些相加的结果都相互 抵消，除了第一项和最后一项。因此，等差数列的前n项和可以通过求第一项和最后一
项的和，然后乘以项数n再除以2来得到。
错位相减求和
总结词
错位相减法是一种通过将等差数列的每 一项乘以一个递增或递减的系数，然后 求和来找到等差数列的和的方法。
等差数列的前n项和公式的扩 展
推广到等差数列的任意项和
总结词
等差数列的任意项和公式是等差数列前n项和公式的一种扩展，它可以计算等差数列中任意一项的值。
详细描述
等差数列的任意项和公式是基于等差数列的通项公式和前n项和公式推导出来的。通过设定等差数列的首项、公 差以及项数，可以计算出任意一项的值。这个公式在解决一些数学问题时非常有用，特别是那些需要精确计算等 差数列中某一项的值的问题。
要点二
详细描述
首先，将等差数列的每一项拆分成两个部分，通常是一个 常数和一个递增或递减的等差数列。然后，将这些拆分后 的项重新组合成新的数列，并求和。由于相邻的拆分项会 相互抵消，因此最后只剩下首项和末项的和。因此，等差 数列的前n项和可以通过求首项和末项的和，然后乘以项 数n再除以2来得到。

等差数列的前n项求和公式市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件

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1指出S1，S2 S12中哪个最大，并说明理由；
2求公差d的取值范围.
解：1 S12
0, S13
0
aa76
a7 a7
0 0
a6 a7
0 0
S6最大
2
1212 1312
2d 2d
66d 78d
0 0
24 d 3 7
练习
1、已知 a6+a9+a12+a15=192,求 S20 2、一种项数为36旳数列旳前四项和是21，后四项和是67， 求这个数列旳和。 3、{an}是等差数列，S10>0,S11<0,则求使an<0旳n旳最小值
根据等差数列旳前n项求和公式
Sn
n
a1
nn 1
2
d
得
SS20102100aa1 12100222100- 11dd
310 1220
解得 a1=4，d=6 将此成果代入上面旳求和公式，得Sn=4n+n(n-1)×3=3n2+n
所以，等差数列旳前n项和旳公式是 Sn 3n2 n
解:根据题意，由7n<100 得 n<100／7
解1： 3a 3d 11a 55d
8a 52d a 13 d 0 d 0
2
Sn
na1
nn 1 d
2
n2
14n 2
d
解2： S3 S11 a1 0
由等差数列构成旳函数图象，可知 n=（3+11）/2=7时，Sn最大
即 n=7
例8.等差数列an 若令A=d/2,B=a1-d/2，则 S=An2+Bn
将等差数列旳前n项和公式写成上 述形式,有利于求其前n项和旳极值:

等差数列前n项和(公开课)

等差数列前n项和(公开课)
，共21页。
课堂小结
( 1 ) S n a 1 a 2 a 3 a n
(2)等差数列前 n项和公式（两个）：
Sn
n(a1 an) 2
n(n1) Sn na1 2 d
(3)等差数列前n项和公式的推导方法：
——倒序相加法；
（4）公式的应用：知三求一，
方程的思想方法
第二十页，共21页。
谢谢大家
06.11.2022
生产计划部
第二十一页，共21页。
S （上底下底） 高 2
a1
an +
a1
第十五页，共21页。
议（3分钟） 公式二的几何解释？
第十六页，共21页。
二展、（学3分导钟结）合
公式2： Snna1n(n21)d
a1
n
aa1 n
(n 1)d
S S S
na1n(n21)d
第十七页，共21页。
检（10分钟） 牛刀小拭
例 1 (在 1) 等 { a n } 中 差 a n 2 ， n 1 , 数 求 S n ( 结 列 n 表 果 ).
法 每组数的和均相等，都等于101，50个101
就等于5050了。高斯算法将加法问题转化
为乘法运算，迅速准确得到了结果.
第八页，共21页。
合作探究 议（5分钟）
利用高斯算法如何求等差
数列前n项和？
第九页，共21页。
展（10分钟）
1、数列前n项和的定义
一般地，我们称 a1 a2 a3 an
为数{列 an}的前n项和，S用 n表示，
2 S n a 1 a n a 2 a n 1 a 3 a n 2 a n a 1
n(a1an)
即Sn
n(a1 an) 2

等差数列前n项和(公开课)PPT课件

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所以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +10 =25。
04
第二题答案：16；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有4a + 6d = 12，解得a+d=2，所 以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +4 =16。
感谢您的观看
THANKS
习题答案与解析
进阶习题答案与解析
01
输标02入题
第一题答案：42；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有5a + 10d = 25，解得a+d=5， 所以第6项到第10项的和为5a+35d=42。
03
第三题答案：25；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有5a + 20d = 80，解得a+4d=8，
第二题答案：18；解析：设等差数列的首项为a，公差为d，根据题意有3a + 3d = 15，解得a+d=5，所以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +3 =18。
习题答案与解析
• 第三题答案：30；解析：设等差数列的首项为a，公差为d，根据题意有5a + 45d = 200，解得a+d=5，所以这个等差数 列共有(a+d)×(n-2)/2 +10 =30。
公式5
$S_n - S_{n-1} = a_n$
公式6
$S_n = S_{n-1} + a_n$
公式之间的联系与区别
联系
公式1、2、3都是求等差数列前n项 和的基本公式，而公式4、5、6则是 基于这些基本公式的推导或变种。
区别
公式1和公式2形式较为简洁，而公式 3则更便于观察等差数列的对称性质。 公式4、5、6则更注重于相邻两项和 之间的关系，可以用于求解某些特定 问题。

3.3等差数列前n项和公式省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件

3.3等差数列前n项和公式省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
7,27, 37, 47, , 14 7,
即 7，14，21，28，…，98
这个数列是成等差数列，记为 an
a1 7, a14 98, n 14
S14
14 (7 98) 2
735.
Sn
n（a1 2
an )
答：集合M共有14个元素，它们和等于735.
第8页
等差数列前n项和练习1
S 1. 依据以下条件，求对应等差数列 an
C组: 在等列前多少项和最大?
第16页
数列{an}前n项和Sn=100n-n2 (n∈N*) (1)判断数列{an}是什么数列? (2)设bn=│an│,求数列{bn}前n项和.
第17页
第18页
第19页
第20页
A ab 2
第3页
高斯求和故事
等差数列 1,2,…50,51,…100和
Sn=1+2+…+100
1+100=2+99=3+98=…=50+51=101
Sn=
100 •101 2
=5050
第4页
等差数列前n项和公式推导
等差数列 a1, a2 , a3 , …，an , …，前n项和
Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an
n
(1)a1 5, an 95, n 10;
S10
10 (5 95) 2
500.
Sn
n（a1 2
an )
(2)a1 100, d 2, n 50;
5（ 0 50 1)
Sn
na1
n（n 2
1)
d
S50 50 100
2

等差数列前n项和(公开课)PPT课件

等差数列前n项和(公开课)PPT课件
成立。
代数证明
利用等差数列的性质和代数方法 ，通过一系列的推导和变换，证
明前n项和公式的正确性。
图形证明
通过图形证明前n项和公式的正 确性。将等差数列的项表示为坐 标平面上的点，利用梯形的面积
公式推导出前n项和公式。
03
等差数列前n项和的性质
和的最小值和最大值
最小值
等差数列的前n项和的最小值出 现在首项小于0，公差小于0的情 况下，此时最小值为 S_n=a_1×n+d/2×n(n-1)。
等差数列的实例
01
自然数列：1, 2, 3, 4, ...
03
三角数列：1, 3, 6, 10, ...
02
偶数数列：2, 4, 6, 8, ...
04
等差数列的前n项和为Sn=n/2*(2a1+(n-1)d)，其 中a1是第一项，d是公差。
02
等差数列的前n项和公式
前n项和公式的推导
1 2
3
最大值
等差数列的前n项和的最大值出 现在首项大于0，公差大于0的情 况下，此时最大值为 S_n=a_1×n+d/2×n(n-1)。
和的奇偶性
奇数项和
等差数列的奇数项和等于中间项乘 以项数，即S_n=(a_n+a_1)/2×n。
偶数项和
等差数列的偶数项和等于首尾两项的 和乘以项数再除以2，即 S_n=(a_1+a_n)×n/2。
统计学
在统计学中，等差数列的前n项和可 以用于描述一系列数据的分布特征 ，例如测量误差、概率分布等。
在经济中的应用
金融
等差数列的前n项和可以用于计算一 系列金融数据的累加值，例如股票价 格、债券收益、投资回报等。

《等差数列前n项和公式》优秀课件(公开课)

《等差数列前n项和公式》优秀课件(公开课)
2021/1/21
（一）创设问题
德国伟大的数学家高斯"神速求和"的故事：小高斯上小学 四年级时，一次教师布了一道数学习题："把从1到100 的自然数加起来，和是多少？"年仅10岁的小高斯略一 思索就得到答案5050，这使教师非常吃惊，那么高斯 是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？如大家也懂 得那样巧妙计算，那你们就是二十世纪末的新高斯。
由等差数列的通项公式 an = a1+(n-1)d

n(n 1) d 2
2021/1/21
例1 等差数列 10，6，2，2，…前多少项的和是54？
解：设题中的等差数列为{an}，前n项和是 Sn，
则a1= 10，d= 6(10) 4,设 Sn=54， 根据等差数列前 n项和公式，得
下面将对等差数列的前n项和公式进行推导
设等差数列a1,a2,a3,… 它的前n 项和是 Sn=a1+a2+…+an-1+an (1) 若把次序颠倒是Sn=an+an-1+…+a2+a1 (2) 由等差数列的性质 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=… 由(1)+(2) 得 2sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+..
2021/1/21
课堂小结：
1. 数列{an}前 n项和公式的概念
2. 等差数列前 n项和公式的推导过程
3. 等差数列前 n项和公式及公式应用
2021/1/21
谢谢再见
2021/1/21
即 Sn=n(a1+an)/2 即前n项的和与首项末项及项数有关 若已知a1，n，d，则如何表示Sn呢？

等差数列前n项和教案(公开课教案)

等差数列前n项和教案(公开课教案)

“等差数列的前n项和”教案教学环节活动说明创设情境：首先让学生欣赏一幅美丽的图片——泰姬陵。

泰姬陵是印度著名的旅游景点，传说中陵寝中有一个三角形的图案嵌有大小相同的宝石，共有100层，同时提出第一个问题：你能计算出这个图案一共花了多少颗宝石吗？也即计算1+2+3+…..+100=？问题2：何老师按揭买房,向银行贷款25万元，采取等额本金的还款方式，即每月还款额比上月减少一定的数额。

2007年1月，我第一次向银行还款2348元，以后每月比上月的还款额减少5元，若以2007年1月银行贷款利率为基准利率,那么到2026年12月最后一次还款为止，何老师连本带利一共还款多少万元？现实模型：①图片欣赏②生活实例模型直观用实际生活引入新课。

首先认识一位伟大的数学家——高斯，然后提出问题：高斯是如何快速计算1+2+3+4+ (100)设等差数列{na}前n项和为nS,则问题1老师：利用高斯算法如何求等差数列的前n项和公式？老师：但是否刚好配对成功呢？（1）n为偶数时：（2）n为奇数时：老师：那么该如何解决落单的21+na呢？学生：1+100=101，2+99=101，…..50+51=101，所以原式=50⨯（1+101）=5050学生：将首末两项配对，第二项及倒数第二项配对，以此类推，每一对的和都相等，并且都等于。

学生：不一定，需要对n取值的奇偶进行讨论。

当n为偶数时刚好配对成功。

当n为奇数时，中间的一项21+na落单了。

（可能部分学生在此会遇到困难，老师做适当的引导。

）学生：观察21+na的脚标及脚标的关系，即：高斯求和众所周知，学生能快速解答。

这里用到了等差数列脚标和性质从高斯算法出发，对n进行讨论寻找求和公式思路自然，学生容易想到。

对中间项21+na的解决办法的过程中，进一步让学生体会研究数列就是新课引入探索公式教师活动学生活动nnnaaaaS++++=-121naa+1nnnnaaaaS+++++=+1221)(21nnaanS+=∴nnnnnaaaaaS++++++=+++-+121211211211)(21+++-=nnnaaanS naa+111nnaa+++二、教学反思根据教学经历和学生的反馈信息，笔者对本课有如下五点反思：（1）根据实际教学情况，学生比较容易掌握本课知识。

等差数列前n项和教案(公开课)

等差数列前n项和教案(公开课)

等差数列的前项和公式教学设计教学目标：1.通过教学使学生理解等差数列的前项和公式的推导过程，并能用公式解决简单的问题.2.通过公式推导的教学使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法.教学重点，难点：教学重点是等差数列的前项和公式的推导和应用，难点是获得推导公式的思路.教学用具：三角板教学方法：讲授、学生自主探究、归纳相结合.教学过程一.新课引入提出问题（1）：一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1支，最上面一层放100支.这个V形架上共放着多少支铅笔？问题就是（板书）“S=1+2+3+…+100=？”{n}：1，2，3，…，100，…前100项的和教师讲授：先给出1、数列前n项和的概念：S n=a1+a2+a3+…a n教师提问：S100=？ S n+1=？（学生统一回答，对给出的概念进行理解）回到问题这是小学时就知道的一个故事，高斯的算法非常高明，回忆他是怎样算的.（由一名学生回答，再讨论其高明之处）高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组，第一个数与最后一个数一组，第二个数与倒数第二个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，…，每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了.高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.问题变化：1+2+3+…+99=？（学生分组讨论计算的方法，展示学生成功的典型方法）二.新课推进提出问题（2）：1+2+3+…+n=？由学生分组探究，教师注意收集学生得出的不同的典型方法，由学生统一展示讲解。

尽可能展示分类讨论（n 分奇偶）、分组、倒序相加等思想方法。

结论式子：1+2+3+…+n=(1)2n n +. 提出问题（3）：设等差数列的首项为 ，公差为 ， 由学生探究，研究一般等差数列求和的方法和公式.2、等差数列前 项和公式 （并板书课题）公式推导（板书）:思路一： (1)……○2， ∵()m n p q a a a a m n p q +=++=+∴1211n n n a a a a a a -+=+==+○1+○2：，于是有：. 这方法我们形象地称为倒序相加法.思路二：运用基本量思想，用通项公式将各项用 和 表示，得=…教师讲解两个公式的特点及联系.三.公式的理解应用例题1 一个堆放铅笔的梯形架的最下面一层放20支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1支，最上面一层放100支.这个梯形架上共放着多少支铅笔？先引导学生分析，再学生独立完成，点代表回答解题方法.用梯形面积公式记忆等差数列前项和公式，这里对图形进行了割、补两种处理，对应着等差数列前项和的两个公式.例题2 （课本的例1）练习：教材练习1、3两题三.小结1.推导等差数列前项和公式的思路；2.公式的应用中的数学思想.四.板书设计等差数列前n项和公式1、数列的前n项和三、公式的理解与应用2、等差数列前n项和公式例1*********推导公式一梯形图1 例2*********推导公式二梯形图2。

等差数列的前n项和公式的性质省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件

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公式一：Sn
n(a1 2
an )
公
式
二：Sn
na1
n(n 2
1)
d
议（5分钟）
『知识探究（一）——等差数列与前n项和旳关系』
思索1：若数列{an}旳前n和
Sn
n(a1 2
an )
那么数列{an}是等差数列吗？
{an}是等差数列
Sn
n(a1 2
an )
思索2：将等差数列前n项和公式
Sn
讨论二次函数旳性质
措施2：讨论数列{an} 旳通项，找出正负临界项。 （1）若a1>0，d<0，则Sn有大值，且Sn最大时旳n
满足an≥0且an+1<0; （2）若a1<0，d>0，则Sn有小值，且Sn最小时旳n
满足an≤0且an+1>0;
『变式探究』
1.首项为正数旳等差数列{an}，它旳前3项和与前11项 和相等，则此数列前___7_____项和最大？
na1
n(n 1) 2
d
看作是一种有关n旳函数，这个函数有什么特点？
Sn
d 2
n2
(a1
d )n 2
当d≠0时，Sn是常数项为零旳二次函数.
思索3：一般地，若数列{an}旳前n和Sn＝An2＋Bn，那 么数列{an}是等差数列吗？若Sn＝An2＋Bn＋C 呢？ （1）数列{an}是等差数列 Sn＝An2＋Bn （2）数列{an} 旳前n项和是Sn＝An2＋Bn＋C ，则：
解析：当n＝1时，a1＝S1＝12－12＝11；当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝12n－n2－[12(n－1)－(n－1)2]＝13－2n. ∵n＝1时适合上式，∴{an}旳通项公式为an＝13－2n. 由an＝13－2n≥0，得n≤ ，

等差数列前n项和(公开课)PPT课件

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实例
总结词
等差数列的实例包括正整数序列、负数序列、斐波那契数列等。
详细描述
正整数序列1, 2, 3, ...是一个等差数列，其中首项a=1，公差d=1；负数序列-1, 2, -3, ...也是一个等差数列，其中首项a=-1，公差d=-1；斐波那契数列0, 1, 1, 2, 3, 5, ...也是一个等差数列，其中首项a=0，公差d=1。
01
求等差数列3, 6, 9, ..., 3n的前n项和。
进阶习题2
02
求等差数列-2, -4, -6, ..., -2n的前n项和。
进阶习题3
03
求等差数列5, 10, 15, ..., 5n的前n项和。
高阶习题
1 2
Байду номын сангаас
高阶习题1
求等差数列-3, -6, -9, ..., -3n的前n项和。
高阶习题2
总结词
等差数列是一种特殊的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常 数。
详细描述
等差数列通常表示为“an”，其 中a是首项，n是项数，d是公差 （任意两个相邻项的差）。
性质
总结词
等差数列的性质包括对称性、递增性、递减性等。
详细描述
等差数列的对称性是指任意一项与它的对称项相等，即a_n=a_(n+2m)，其中 m是整数；递增性是指如果公差d>0，则数列是递增的；递减性是指如果公差 d<0，则数列是递减的。
PART 04
等差数列前n项和的变式 与拓展
REPORTING
变式公式
01
02
03
04
公式1
$S_n = frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d)$

2.3等差数列前n项和(公开课)优质课件

2.3等差数列前n项和(公开课)优质课件
2.3等差数列前n项和
人教A版 必修5
高一年级数学组
范国柱
01
复习回顾
课
前
引
入
等差数列的通项公式
an a1 ( n 1) d
推论
等差数列{an }中，若 m n r s , 则am an ar as
凯里实验高级中学
Kailishiyangaojizhongxue
02
05
练一练
(1)求前500个正整数的和； (2) a1 14, n 20, an 32; (3) a1 4, n 8, d 2.
课
堂
练
习
根据下列各题中的条件,求相应的等差数列｛an｝的前n项和Sn
(1 500) 500 125250 解: (1) S500 2 20( a1 a20 ) (2) S 20 10 (14 32) 460 2
Kailishiyangaojizhongxue
新
知
探
究
等差求和的数学史
我国数列求和的概念起源很早，到南北朝时，张丘建始创等 差数列求和解法。他在《张丘建算经》中给出等差数列求和 问题： 例如：今有女子不善织布，每天所织的布以同数递减，初日 织五尺，末一日织一尺，共织三十日，问共织几何？
原书的解法是：并初、末日织布数，半之再乘以织日数，即得.
想一想
新
知
探
究
如图，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层 都比它下面一层多放1支，最上面一层放100支. 这个V形架上共放 了多少支铅笔？ 100 99
1
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二、学导结合 展（3分钟）
n(n 1) 公 式 2：Sn na1 d 2
a1
n
a1 an
(n 1)d
S S S
n (n 1)d na1 2
检（10分钟）
例1 (1)在等差数列 {an }中，an 2n 1, 求Sn (结果用n表示).
(1)解： a1 1
高斯的算法
计算： 1＋ 2＋ 3 ＋ ＋ 99 ＋ 100 高斯算法的高明之处在于他发现这 100 个数可以分为50组： 中间的一 第一个数与最后一个数一组； 组数是什 首尾 么呢？ 第二个数与倒数第二个数一组； 配对 第三个数与倒数第三个数一组，…… 相加 法 每组数的和均相等，都等于101，50个 101就等于5050了。高斯算法将加法问题转 化为乘法运算，迅速准确得到了结果.
Sn a1 a2 a3 an ① Sn an a n1 an2 a1 ② 2Sn a1 an a2 a n1 a3 an2 an a1
第n项为an , 求前n项和Sn .
n(a1 an )
情景一
我要努力背单词， 学好英语
第一天：背一个 第二天：背两个 第三天：背三个 ……………… ……………… 我努力100天到底能记 住多少单词呀 1+2+3+4+…………+100=？
情景二
It＇s beautiful!!
宝石数量： 1+2+3+4+…+98+99+100=？
5050
德国数学家 高斯 被誉为“世界数学王子”
6.
(3) 在等差数列 {an }中， a1 2, S8 156 , 则d -5 .
思考：能否给求和公式一个几 何解释呢？
评（5分钟）
n(a1 an ) 公式 一 Sn 2
类比梯形面积公式: （上底 下底） 高 S 2
a1
n
a n + a1
议（3分钟） 公式二的几何解释？
合作探究
议（5分钟）
利用高斯算法如何求等差 数列前n项和？
展（10分钟）
1、数列前n项和的定义
一般地，我们称 a1 a2 a3 an 为数列 {an }的前n项和，用Sn 表示，
即：Sn a1 a2 a3 an
2、推导公式
倒序相加法
已知等差数列{an }的首项为a1 , 项数为n,
n 9或n 3
n的值为9.
课堂小结
(1)Sn a1 a2 a3 an
(2)等差数列前 n项和公式（两个）：
n(a1 an ) n(n 1) Sn Sn na1 d 2 2
(3)等差数列前n项和公式的推导方法： — —倒序相加法； （4）公式的应用：知三求一， 方程的思想方法
n(a1 an ) 即S n 2
公式一
n(n 1) 公 式 二：Sn na1 d 2
比一比，看谁算得快！
(1)在等差数列 {an }中，a1 20, an 54, Sn 740, 则n 20 .
(2)在等差数列 {an }中，d 4, S5 70, 则a1
2.3.1等差数列的 前n项公式
2018.4.24 肖德梦
忆（2分钟）
旧知回顾：
1.等差数列的定义？ 2.等差数列的通项公式？
3.等差数列的等差中项？
4.等差数列的性质有哪些？
思（5分钟）自主预习
1.什么是等差数列的前n项和？ 2.是如何推导出来的？ 3.等差数列前n项和公式的几 何含义是什么？
Sn
n 1 2n 1 2ຫໍສະໝຸດ n 2n 2n
2
检（10分钟）
例2 .在等差数列{an }中，已知a1 10, d 4, Sn 54, 求n的值.
知三求一
n 2 6n 27 0
解 :
n(n 1) Sn na1 d 2
n(n 1) 10 n 4 54 2